五、秩检验与游程检验

定理：当 H 0 成立时（即 F ( x ) = G ( x ) 时） ，秩和 检验统计量 T 的均值和方差分别为
1 1 E (T ) = m ( m + n + 1) ； D (T ) = mn ( m + n + 1) 2 12
当 H 0 成立时（即 F ( x ) = G ( x ) 时）且 m 、 n 不太小 ( ≥ 10 ) 时，
总体的分布函数分别为 F ( x ) 、 G ( x ) ，未知但 足 G ( x ) = F ( x − δ ) 且连续。要检验
H0 : δ = 0
（ H1 : δ ≠ 0 ）
把合样本 ( Z1 ,⋯ Z m + n ) = ( X 1 ,… , X m , Y1 ,… , Yn ) 按 从小到大的次序排列，得到次序统计量 Z (1) ,⋯ Z ( m + n ) ，
0 如果Z (i )来自总体X 记Ui = 1 如果Z (i )来自总体Y
(
)
， i = 1, 2,⋯ m + n
这样我们得到一个仅由 0 与 1 两个元素组成的序列
U1 ,U 2 ,… ,U m + n 。我们把连续出现 0（或 1）的一组数
称为一个游程，一个游程中所含 0（或 1）的个数称 为游程长度。
例 3.27 p163
假定不知道认为断裂强力服从
正态分布是否合理，但知道两个总体分布函数 的不同仅是位置参数引起的，在显著性水平 10% 下判断两种温度下的断裂强力有无显著差异。
利用秩和检验也可以处理单侧假设检验问题。 如果要检验 H 0 : δ ≤ 0 （ H1 : δ > 0 ）
那么，对于给定的（近似）显著性水平 α ， 且 m 、 n ≥ 10 ，当
1 1 近似的有 T ∼ N m ( m + n + 1) , mn ( m + n + 1) 12 2
因此，给定显著性水平 α ，取临界值
1 1 c1 = m ( m + n + 1) − u α mn ( m + n + 1) 1− 2 2 12 1 1 c2 = m ( m + n + 1) + u α mn ( m + n + 1) 1− 2 2 12
例：110000100111。这个序列一共有 5 个游程， 长度分别为 2、4、1、2、3。
游程的总个数 U N 与最大游程长度 U L 都是统计量。
游程（总个数）检验： 给定显著性水平 α ，检验的拒绝域为 U N < cN 。 当 m ≤ n ≤ 20 时，临界值 cN 可以查附表八得到。 这个检验称为游程（总个数）检验。
（二）秩和检验 在非参数型统计问题中，设两个总体的分布函数
F ( x ) 、 G ( x ) 满足 G ( x ) = F ( x − δ ) ，应该如何判
断“ F ( x ) = G ( x ) ”是否成立？称未知参数 δ 为位 置参数。
设 ( X 1 ,… , X m ) 是取自总体 X 的一个样本， (Y1 ,… , Yn ) 是取自总体 Y 的一个样本；这两个总体的分布函数分 别为 F ( x ) 、 G ( x ) ，未知但满足 G ( x ) = F ( x − δ ) 且连续。要检验 H 0 : δ = 0 （ H1 : δ ≠ 0 ）
设 ( X 1 ,… , X n ) 是取自正态总体的一个样本。 首先被怀疑的应该是 X (1) 与 X ( n ) 。判断它们 是否是异常值可以用假设检验问题来处理， 即在显著性水平 α 下检验：
H 0 : X (1) 来自正态总体
（或 H 0 : X ( n ) 来自正态总体）
（1） 假定 σ 2 已知 奈尔提出取检验统计量 TN =
i =1 m
秩之和。给定显著性水平 α ，检验的拒绝域为
T < c1 或者 T > c2 。当 m ≤ n ≤ 10 时，临界值 c1 、 c2
可以查附表七得到。这个检验称为（两样本）秩和检验。
T 是一个离散型随机变量，它的取值范围为
1 1 1 m ( m + 1) , m ( m + 1) + 1,⋯ , m ( m + 2n + 1) 2 2 2
五、秩检验与游程检验
（一）秩统计量及其分布 定义：设 ( X 1 ,… , X n ) 是一个样本， X (1) ,… , X ( n )
(
)
是次序统计量。如果 X i = X ( k ) 那么称 k 为 X i 在样 本 ( X 1 ,… , X n ) 中的秩，记作 Ri 。对每一个
i = 1, 2,⋯ n ，称 Ri 为第 i 个秩统计量。
)
3
游程（最大长度）检验： 给定显著性水平 α ，检验的拒绝域为 U L > cL 。 当 m ≤ n ≤ 20 时，临界值 cL 可以查附表九得到。 这个检验称为游程（最大长度）检验。
例 3.30 p169 例 3.31 p170
六、正态数据中异常值的判断与处理
数据中存在一些过大或者过小的数值，在统计 中把这类值称为异常值。如何从数据中找出异 常值？找出之后如何处理？下面假定数据来自 某个正态总体 N ( µ , σ 2 ) 。
更新设备前 7
26
40 38 27
更新设备后 3 150 42 84 72 48 101
试问，
在显著性水平 2.5%下，能否认为设备更新后仪器 的使用寿命,… , X m ) 是取自总体 X 的一个样本，
(Y1 ,… , Yn ) 是取自总体 Y 的一个样本；这两个
1 上的均匀分布，且 E ( Ri ) = ( n + 1) ， 2 1 2 D ( Ri ) = ( n − 1) ； 12
对任意两个 i, j ， i ≠ j ， ( Ri , R j ) 服从二维
1 离散型均匀分布，且 cov ( Ri , R j ) = − ( n + 1) 12
在讨论两个方差相等的正态总体均值的比较 问题时，我们会看到它们仅有的差异体现在 均值，当均值相等时，两个总体的分布就完 全相同。在非参数型统计问题中，设两个总 体的分布函数分别为 F ( x ) 、 G ( x ) ，应如何 判断“ F ( x ) = G ( x ) ”？有一个常见的方法， 通过比较两个样本的经验分布函数来处理。
（2）假定 σ 2 未知 格拉布斯提出取检验统计量 TG =
X ( n) − X S
∗
X − X (1) S∗
（或 TG =
） ，
类似的可以证明，两种方式定义的 TG 的分布在 H 0 成立 时相同。于是对于给定的显著性水平 α ，检验的拒绝域 为 TG > cG 。临界值 cG 可以查附表十一得到。这个检验称 为格拉布斯检验。具体实施方法与奈尔检验相同。
把两个样本合在一起：记为
( Z1 ,⋯ Z m+ n ) = ( X 1 ,… , X m , Y1 ,… , Yn ) ，称它为合样本。
它的秩统计量记为 ( R1 ,… , Rm + n ) ，Wilcoxon 取检验 统计量 T = ∑ Ri ，即 T 是 X 1 ,… , X m 在合样本中的
当 H 0 成立（即 F ( x ) = G ( x ) ）且 m 、 n ≥ 20 时，
2mn 4m 2 n 2 , 近似的有 U N ∼ N 。因此，给定 3 m + n (m + n)
显著性水平 α ，取临界值
2mn cN = − u1−α m+n
(
2mn m+n
X − X (1)
σ
（或 TN =
X (n) − X
σ
）
对于给定的显著性水平 α ，检验的拒绝域为 TN > cN （或 TN > d N ） 。 可以证明，两种方式定义的 TN 的分布在 H 0 成立时相同， 因此临界值 cN = d N ，可以查附表十得到。这个检验称为 奈尔检验。
在检验异常值的时候，一般采用逐个检验的方法。 比较 x − x(1) 与 x( n ) − x 的大小，如果前者大，便先 检验 X (1) ；反之，则先检验 X ( n ) 。如果检验的结论 是不能拒绝 H 0 ，那么终止检验。否则对剩下的 n − 1 个数据重新使用奈尔检验法。由于已知大部分数据 来自某个正态总体，因此可以事先规定打算检验的 异常值的个数上限。
1 1 T < m ( m + n + 1) − u1−α mn ( m + n + 1) 时 2 12
应该拒绝 H 0 。
如果要检验 H 0 : δ ≥ 0
（ H1 : δ < 0 ）
那么，对于给定的（近似）显著性水平 α ， 且 m 、 n ≥ 10 ，当
1 1 T > m ( m + n + 1) + u1−α mn ( m + n + 1) 时 2 12
定理：设总体 X 的分布函数连续； ( X 1 ,… , X n ) 是取自这个总体的一个样本。秩统计量 ( R1 ,… , Rn ) 服从 n 维离散型均匀分布，它取 (1, 2,⋯ , n ) 的任意
1 一个置换的值的概率都是 。 n!
定理：设总体 X 的分布函数连续； ( X 1 ,… , X n ) 是取自这个总体的一个样本。 对任意一个 i = 1, 2,⋯ n ， Ri 服从集合 {1, 2,⋯ , n}
应该拒绝 H 0 。
当 m ≤ n ≤ 10 时，也可以借用附表七得到 精确的临界值，但要把那里的 α = 0.10, 0.05 分别理解成 α = 0.05, 0.025 。