实验四 离散傅里叶变换的性质
离散傅里叶变换性质
X [m] X [ N m]
实序列 实部周期偶对称，虚部 周期奇对称
当x[k]是实序列周期偶对称时：X [m] X [ N m]
实序列，周期偶对称 实序列，周期偶对称
当x[k]是实序列周期奇对称时： X [m] X [ N m]
实序列，周期奇对称 纯虚序列，周期奇对称
第2章 离散傅里叶变换(DFT)
问题的提出
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
2. 循环位移
3. 对称性 4. 序列的循环卷积 5. 序列DFT与z变换的关系
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
X1[m] DFTx1[k ]
k
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x[(k 2) 5 ]R N [k ]
k
0 1 2 3 4
DFT时域循环位移特性
mn ~ ~ DFS {x[k n]} WN X [m]
DFTx[( k n) N ]RN [k ]
mn WN X [m]
时域的循环位移对应频域的相移
DFT{ x [k ]} X [(m)N ]RN [m] X [ N m]
时域共轭 频域周期共轭 ~ DFT{x [(k ) N ]RN [k ]} X [m] 时域周期共轭 频域共轭
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
3. 对称性 (symmetry)
当x[k]是实序列时：
DFT性质
离散傅里叶变换的性质
序列的循环卷积步骤： （1）补零
（2）周期延拓
离散傅里叶变换的性质
DFT [ x1 (n)] X 1 (k )
DFT [ x2 (n)] X 2 (k )
若 则
Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
y (n) IDFT [Y (k )] [ x1 (m) x2 ((n m)) N ]RN ( n)
m 0 N 1
圆周卷积和
——电子信息工程
纯虚序列的共轭对称性 序列
Re[ x ( n )] 0 j Im[ x ( n )]
DFT
X ep ( k ) 0 X op ( k ) X ( k )
X ( k ) X (( N k )) N R N ( k )
xep ( n ) xop ( n ) Re[ X ( k )] j Im[ X ( k )]
*
1/ 2[ X (( k )) N X (( N k )) N ]RN ( k )
*
X op (k ) X op (( N k )) N RN (k )
*
1/ 2[ X (( k )) N X (( N k )) N ]RN ( k )
*
——电子信息工程
共轭对称性
~ x (n 2)R N (n)
x2 (n)
——电子信息工程
DFT 的性质: 圆周移位(续)
N=15
x(n)
~ x (n)
~ x ( n 13 )
~ x ( n 13 ) R 15 ( n )
——电子信息工程
X m (k ) DFT [ xm (n)] DFT [ x((n m)) N RN (n)]
1 N 1
N 1
2
(n m) x2 (( n m )) N (( n m )) N
§4.11 离散傅里叶变换及其性质
f N(k m) e
i m
j
2 kn N
N m 1
[
j
f N(i) e
2 2 in j mn N ]e N
j
2 in N
都是以N为周期的函数，因此
2 in N
j
f N(i) e
N 1 i 0
f N(i) e
j
2 in N
解 F (n) = DFT[f(k)] = 仅当n=0时，
j 2n N
e
1
F (0) =N
当n=1，2，…，N-1时，
j
2n j 2n N )N j 1 (e , (e N 1) 2n j 1 (e N ) 2n j N, (e N 1)
若
则 证明
f(k)←→ F(n)
f ((k –m))NGN(k) ←→ WmnF(n)
▲ ■ 第 7页
DFT时移特性证明
DFT[ f ((k –m))NGN(k)]=DFT[ fN (k –m)GN(k)]
N 1 k 0
令i=k-m，有 DFT[ f ((k –m))NGN(k)]= 由于fN (k )和 e
■
第 1页
一．离散傅里叶变换(DFT)
借助周期序列DFS的概念导出有限长序列的DFT。 将有限长序列f(k)延拓成周期为N的周期序列fN(k)
f (k)
f N (k )
l
f (k lN )
o
(a)
fN(k)
N-1
k
o
(b)
N-1 N
2N-1 k
F (n) DFT[ f (k )]
实验离散傅里叶变换的性质及应用
实验一离散傅里叶变换地性质及应用一、实验目地1．了解DFT 地性质及其应用2．熟悉MATLAB 编程特点二、实验仪器及材料计算机，MATLAB 软件三、实验内容及要求1．用三种不同地DFT 程序计算)()(5n R n x =地256点离散傅里叶变换()X k ，并比较三种程序计算机运行时间.（1）编制用for loop 语句地M 函数文件dft1.m ，用循环变量逐点计算()X k ；（2）编写用MATLAB 矩阵运算地M 函数文件dft2.m ，完成下列矩阵运算：00000121012(1)(1)(1) (0)(0) (1)(1) (1)(1) N N N N N N N N N N N N N N N N N X x W W W W X x W W W W x N X N W W W W -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3）调用fft 库函数，直接计算()X k ；（4）分别调用上述三种不同方式编写地DFT 程序计算序列()x n 地离散傅里叶变换()X k ，并画出相应地幅频和相频特性，再比较各个程序地计算机运行时间.2．研究实序列地DFT 特点及性质.已知序列)()/2cos(5)(n R N rn n x N π=，若128=N 计算下列三种情况下序列地DFT 地幅度、实部及虚部，并用图形表示相应地[][])(Im ,)(Re ,)(),(k X k X k X n x .（1）)/2cos(5)(N rn n x π=，5=r（2）)/2cos(5)(N rn n x π=，4.4=r（3）)/2cos(5)(N rn n x π=，0=r3．利用DFT 实现两序列地卷积运算，并研究DFT 点数与混叠地关系.（1）已知两序列)()(3n R n x =)()1()(5n R n n h +=（2）用直接法（即用线性卷积地定义计算，见下式）计算线性卷积y (n )=x (n )*h (n )地结果，并以图形方式表示结果；20),()()(10-+≤≤-⨯=∑-=M N n m n h m x n y N m 其中：序列)1N n 0(),n (x -≤≤和序列)1M n 0(),n (h -≤≤（3）用MATLAB 编制利用DFT 计算线性卷积y (n )=x (n )*h (n )地程序；分别令圆周卷积地点数为L=5，6，7，8，以图形方式表示结果.（4）对比直接法和圆周卷积法所得地结果.clc;clear all;close all;N=256;x=[ones(1,8),zeros(1,N-8)];n=[0: (length(x)-1)]t=cputime;[Am1,Pha1]=dft1(x);t1=cputime-t,t=cputime;[Am2,Pha2]=dft2(x);t2=cputime-t,t=cputime;[Am3,Pha3]=dft3(x);t3=cputime-t,sizex=4;sizeh=6;x=[1,2,3,4]h=[0,1,0,0,0,-2];y=conv(x,h);figure(1)subplot(2,3,1)le1=0:1:sizex-1;stem(le1,x,'r');title('x sequence')ylabel('x(n)')subplot(2,3,2)le2=0:1:sizeh-1;stem(le2,h);title('h sequence')ylabel('h(n)')subplot(2,3,3)le3=0:1:sizex+sizeh-2;stem(le3,y,'g')title('y sequence by direct metod')ylabel('y(n)')LL=[6 9 12];for n=1:3L=LL(n);X=fft(x,L);H=fft(h,L);Y=X.*HyFFT=ifft(Y,L);subplot(2,3,n+3)le3=0:1:L-1;stem(le3,yFFT);if (n==1)title('y sequence by FFT L=6')elseif (n==2)title('y sequemce by FFT L=9')elseif (n==3)title('y sequence by FFT L=12')endendr=4.4N=128;n=0:N-1;x=5*cos(2*pi*r*n/N);f1=1000*r/N,f2=1000*0/N,f3=1000*4.4/NX=fft(x,N);figure(2)subplot(221);stem(n,x);subplot(222);stem(n,abs(X));subplot(223);stem(n,real(X));subplot(224);stem(n,imag(X));n =Columns 1 through 220 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21Columns 23 through 4422 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 35 36 37 38 39 40 41 42 43Columns 45 through 6644 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 57 58 59 60 61 62 63 64 65Columns 67 through 8866 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 7778 79 80 81 82 83 84 85 86 87Columns 89 through 11088 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99100 101 102 103 104 105 106 107 108 109Columns 111 through 132110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131Columns 133 through 154132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153Columns 155 through 176154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165166 167 168 169 170 171 172 173 174 175Columns 177 through 198176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187188 189 190 191 192 193 194 195 196 197Columns 199 through 220198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209210 211 212 213 214 215 216 217 218 219Columns 221 through 242220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241Columns 243 through 256242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253254 255t1 =0.7644t2 =0.6396t3 =x =1 2 3 4Y =-10.0000 -9.5000 +11.2583i 3.5000 - 6.0622i -2.0000 3.5000 + 6.0622i -9.5000 -11.2583iY =Columns 1 through 7-10.0000 -7.4363 -21.7778i 4.5753 - 1.6805i 3.5000 -6.0622i 4.3610 + 1.9108i 4.3610 - 1.9108i 3.5000 + 6.0622iColumns 8 through 94.5753 + 1.6805i -7.4363 +21.7778iY =Columns 1 through 7-10.0000 14.7942 -17.6244i -9.5000 +11.2583i -2.0000 -2.0000i3.5000 - 6.0622i -0.7942 + 6.6244i -2.0000Columns 8 through 12-0.7942 - 6.6244i 3.5000 + 6.0622i -2.0000 + 2.0000i -9.5000-11.2583i 14.7942 +17.6244ir =4.4000f1 =34.3750f2 =f3 =34.3750版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.sQsAE。
实验四 离散傅里叶变换的性质
实验四离散傅里叶变换的性质一、实验目的1. 熟悉matlab软件中离散傅里叶变换的实现方法及FFT函数的使用方法；2. 通过软件仿真，加深对离散傅里叶变换性质的理解。
二、实验内容1. 验证离散傅里叶变换的线性性质；2. 掌握用matlab实现圆周移位的方法；3. 验证圆周卷积与线性卷积的关系。
三、实验步骤1. 验证线性性质设两个有限长序列分别为xn1=[3,1,-2,2,3,4]，xn2=[1,1,1,1]，做4DFT[xn1]+2DFT[xn2],及DFT[4xn1+2xn2]的运算，比较它们的结果。
代码如下：clear,N=20;n=[0:1:N-1];xn1=[3,1,-2,2,3,4];n1=0:length(xn1)-1; %定义序列xn1xn2=[1,1,1,1];n2=0:length(xn2)-1; %定义序列xn2yn1=4*xn1;yn2=2*xn2;[yn,ny]=seqadd(yn1,n1,yn2,n2); %计算4xn1+2xn2xk1=fft(xn1,N);xk2=fft(xn2,N); %分别求DFT[xn1] 和DFT[xn2]yk0=4*xk1+2*xk2; %计算4DFT[xn1]+2DFT[xn2]yk=fft(yn,N); %计算DFT[4xn1+2xn2]subplot(2,1,1);stem(n,yk0);title('傅里叶变换之和') %显示4DFT[xn1]+2DFT[xn2]subplot(2,1,2);stem(n,yk);title('序列和之傅里叶变换') %显示DFT[4xn1+2xn2]运行结果如图1所示，从图中可知，用两种方法计算的DFT完全相等，所以离散傅里叶变换的线性性质得到验证。
图1 离散傅里叶变换的线性性质2. 圆周移位设x=[7,6,5,4,3,2]，位于主值区间，现要把x分别圆周右移两位，圆周左移1位，成为新主值区间的向量，以此观察圆周移位的特点。
离散傅里叶变换及性质c
思考题解答
（1）实验1中序列1和序列2在N=8时的幅频特性是否相同，为什么？N=16呢？
由以上图像可知序列1和序列2在N=8时的幅频特性相同，因为周期延拓，它们的图像有一部分相同，当抽样段不同他们的幅频特性就可以相同。当N=16时是周期的整数倍，此时它们的幅频特性就不相同，如1.1.1图和1.1.2图所示。
N=length(xn);
subplot(211);stem([0:N-1],xn);
grid;
X=zeros(1,N);
for k=0:N-1
for n=0:N-1
X(k+1)=X(k+1)+xn(n+1)*exp(-j*2*pi*n*k/N);%按定义式计算序列的DFT
end;
end;
subplot(212);stem([0:N-1],abs(X));
2、抽样频率应为信号频率的整数倍，且倍数应不小于3；
3、由于在用快速傅里叶变换实现信号的频谱分析时往往要求数据的长度是2的整次幂，所以抽样频率应取信号频率的4倍，即每个周期抽四个点；
4、对抽样后的数据截短时，应使截短后的数据包含整周期；
5、在截短后的数据后不宜补零以避免频谱的泄露。
分析补零对频谱的影响：1、能使序列的频谱变得细致,但不能提高序列的频率分辨率,只有采集更多的有效数据,才能得到序列的高分辨率频谱；2、补零使谱线插值式密化对提高谱分析精度也有一定好处；3、插零使谱线周期性密化，可方便地实现基带带宽压缩和多采样；
3、fs和N确定后，即可确定所需相应模拟信号x(t)的长度T=N/fs.分辨率变化量f反比于T，而不是N，在给定的T情况下，靠减小Ts来增加N时不能提高分辨率的，因为T=NTs为常数。
离散傅里叶变换及其特性验证
实验名：离散傅里叶变换及其特性验证一、实验目的1、掌握离散时间傅立叶变换（DTFT ）的计算方法和编程技术。
2、掌握离散傅立叶变换（DFT ）的计算方法和编程技术。
3、理解离散傅立叶变换（DFT ）的性质并用MA TLAB 进行验证。
二、实验原理与计算方法1、离散时间傅立叶变换如果序列x (n )满足绝对可和的条件，即∞<∑∞-∞=n n x |)(|，则其离散时间傅立叶变换定义为： ∑∞-∞=-==n nj j en x n x F e X ωω)()]([)( （1）假设序列x (n )在N n n n ≤≤1(即不一定在[0, N -1])有N 个样本，要估计下列各点上的X (e j ω)：M k k Mk ...,2,1,0==， πω它们是[0,π]之间的(M +1)个等间隔频点，则（1）式可写成： M k n x ee X Nl l kn Mjj l...,2,1,0)()(1==∑=-， πω（2）将{x (n l )}和{X (e j ωk)}分别排列成向量x 和X ，则有：X=Wx （3） 其中W 是一个(M +1)×N 维矩阵：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤≤=-M k n n n e N kn M j ...,2,1,0;1， πW将{k }和{n }排成列向量，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n k W T M j πexp 在MA TLAB 中，把序列和下标排成行向量，对（3）式取转置得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k n x X T T T M j πexp其中n T k 是一个N ×(M +1)维矩阵。
用MATLAB 实现如下：k=[0:M]; n=[n1:n2];X=x*(exp(-j*pi/M)).^(n ’*k); 2、离散傅立叶变换一个有限长序列的离散傅立叶变换对定义为：10,)()(10-≤≤=∑-=N k W n x k X N n nk N （4）10,)(1)(1-≤≤=∑-=-N n Wk X Nn x N k kn N （5）以列向量x 和X 形式排列x (n )和X (k )，则式（4）、（5）可写成： X =W N x可由下面的MA TLAB 函数dft 和idft 实现离散傅立叶变换运算。
离散傅里叶变换及其性质
离散傅⾥叶变换及其性质1 ⼀维与⼆维离散傅⾥叶变换以周期对函数 f(t) 采样可表⽰为，对采样函数进⾏傅⾥叶变换得，整理得。
由于对函数 f(t) 的采样周期为，采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期为，同样的，也是采样函数的傅⾥叶变换的⼀个完整周期，只是这个周期不是以原点对称的。
在区间中取 M 个点，则第 m 个点的频率为，带⼊公式得，其中，为连续函数 f(t) 对应的 M 个离散值，为取样函数的傅⾥叶变换对应的 M 个离散值，整理公式得（由于函数仅在 [0,M-1] 上有⾮零值，故真实求和区间为 [0,M-1]）。
因此，⼀维离散傅⾥叶变换对为，。
类似的，⼆维离散傅⾥叶变换对为，。
2 傅⾥叶变换的性质1）傅⾥叶变换平移特性，⽤指数项乘以 f(t) 使得傅⾥叶变换后原点移动到处，使⽤负指数乘以使得反傅⾥叶变换后原点移动到处，证明如下：，使⽤替换得，因此有，类似推导可得。
将平移特性扩展到⼆维离散变量上有。
2）离散傅⾥叶变换⼀定具有周期特性，因为离散傅⾥叶变换的频率取值在区间内，有限频率导致必然具有周期性，连续傅⾥叶变换频率取值为⽆穷⼤，所以连续傅⾥叶变换⼀般不具有周期性（但也有所有频率都⼀样的函数）。
离散傅⾥叶变换周期性可表⽰为。
观察公式 或，发现频率取值在之间，⽽⼀个完整的频率应该在之间，如下图：如果直接应⽤公式进⾏傅⾥叶变换，得到的频率为 [0,M-1]区间，这是两个半周期组成的⼀个周期。
在图像中则表现为低频信号分布在4个⾓落，这显然不便于观察频率信息。
结合傅⾥叶变换的平移特性，可以将原函数乘以⼀个正指数项，使得平移后傅⾥叶变换再 [0,M-1]区间正好是⼀个完整的周期。
将原函数平移 M/2 可以实现该⽬标，具体分析如下： 原函数平移 M/2 得 ，由于 x 为⾮负整数，,最终得到。
对于⼆维离散变量有相似结论 。
3）原函数（⼆维及以上）旋转⼀定⾓度，其傅⾥叶变换也旋转对应⾓度。
令 为原函数变量的列向量， 为傅⾥叶变换函数变量的列向量，对的傅⾥叶变换可表⽰为，对 旋转⼀定⾓度可表⽰为，其中 R 为旋转矩阵，对 的傅⾥叶变换可表⽰为 ，由 得 ，并将其带⼊上式得，由于，因此 ，使得傅⾥叶变换旋转相应⾓度。
实验四--傅里叶变换(FT)及其性质
实验四--傅里叶变换(FT)及其性质实验四傅里叶变换(FT)及其性质一、实验目的1、学会运用Matlab求连续时间信号的傅里叶2、学会运用Matlab求连续时间信号的频谱图3、学会运用Matlab分析连续时间信号的傅里叶变换的性质二、实验原理及实例分析（一）傅里叶变换的实现例1：用Matlab 符号运算求解法求单边指数信号)()(2t u e t f t-=的FT 。
例2：用Matlab 符号运算求解法求211)(ωω+=j F 的IFT 。
例3：用Matlab 命令绘出例1中单边指数数信号的频谱图。
例4：用Matlab命令求图示三角脉冲的FT，并画出其幅度谱。
例5：用Matlab数值计算法求例3的三角脉冲幅度频谱图。
（二）FT 的性质1、尺度变换例6：设矩形信号)5.0()5.0()(--+=t u t u t f ，利用Matlab 命令绘出该信号及其频谱图。
同时绘出)2()2/(t f t f 和的频谱图，并加以比较。
下面利用Matlab将常规矩形脉冲信号的频谱和其调制信号（课本例3-4信号）频谱进行比较。
Matlab源程序如下：傅里叶变换的其它性质可用类似的方法验证，希望大家课下练习。
三、实验内容[注意：(1)写代码时j i]1.11.22.12.23、分别利用Matlab符号运算求解法和数值计算法求下图所示信号的FT，并画出其频谱图。
4、已知门函数自身卷积为三角波信号，试用Matlab命令验证FT的时域卷积定理。
四、实验报告要求实验名称、实验目的、实验原理、实验环境、实验内容（上述几部分代码及结果图形）、实验思考等。
五、实验思考通过实验自己对课本知识有了更深的理解，也对MATLAB的功能有了进一步的认识，作为一种学习工具，MATLAB功能如此全面，更加激励我去探索开发期强大的功能。
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
目录对换实例离散傅里叶变换的基本性质对换实例离散傅里叶变换的基本性质展开编辑本段对换实例傅里叶变换的变换对对于N点序列{x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为?x[k ] = N - 1Σn = 0 e - i 2 π–––––N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1.其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。
通常以符号F表示这一变换，即?x= Fx离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：x[n ] = 1––N N - 1Σk = 0 e i 2 π–––––N nk ?x[k ] n = 0,1, …,N-1.可以记为：x = F -1 ?x实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。
在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。
有时会将这两个系数都改成1/ √––N，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。
从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）?x( ω)都是连续的。
由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和?x都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。
数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。
设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。
x discrete (t) = x (t) N - 1Σn = 0 δ(t-nT) = N - 1Σn = 0 x (nT) δ(t-nT)它的傅里叶变换为?xdiscrete ( ω) = N - 1Σn = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1––T N - 1Σn = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。
离散傅里叶变换的基本性质
x4 (l)WNkl/ 4
i0
i0
x3(k ) WNk /2 X 4 (k ), k 0,1, N / 2 1
式中
N / 41
x3(k)
x3(l)WNkl/ 4 DFT [x3(l)]
i0
N / 41
x4(k)
x4 (l)WNkl/ 4 DFT [x4 (l)]
第二节 快速傅里叶变换
一、离散傅里叶变换 （一）离散傅里叶变换的定义 （二）离散傅里叶变换的基本性质 （三）频率域采样
DFT要解决两个问题： 一是离散化(有利于计算机处理)； 二是快速运算(提高实时性)。
傅氏变换
离散化
信号处理
DFT(FFT)
（一）离散傅里叶变换的定义
DFT的定义： 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N
例如，N=210=1024时，DFT与FFT运算量之比为：
N2
1048576 204.8
(N / 2) log2 N 5120
FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线
4. DIT―FFT的运算规律及编程思想 （1）原位计算 由图可以看出，DIT-FFT的运算过程很有规律。
N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运 算组成。
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)
实验四 离散时间系统的频域分析
实验四 离散时间系统的频域分析1.实验目的（1）理解和加深傅里叶变换的概念及其性质。
（2）离散时间傅里叶变换(DTFT)的计算和基本性质。
（3）离散傅里叶变换(DFT)的计算和基本性质。
2.实验原理对离散时间信号进行频域分析，首先要对其进行傅里叶变换，通过得到的频谱函数进行分析。
离散时间傅里叶变换(DTFT ，Discrete-time Fourier Transform)是傅立叶变换的一种。
它将以离散时间nT （其中，T 为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）f (nT )变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱()iw F e ，其频谱是连续周期的。
设连续时间信号f (t )的采样信号为：()()()sp n f t t nT f nT d ¥=-=-å，并且其傅里叶变换为：()()(){}sp n iwt f t f nT t nT dt e d ¥¥-=---=åòF 。
这就是采样序列f(nT)的DTFT:：()()iwTinwT DTFT n F ef nT e ¥-=-=å,为了方便，通常将采样间隔T 归一化，则有：()()iwinw DTFT n F ef n e ¥-=-=å，该式即为信号f(n)的离散时间傅里叶变换。
其逆变换为：()1()2iw DTFT inw F e dw f n e ppp-=ò。
长度为N 的有限长信号x(n)，其N 点离散傅里叶变换为：1()[()]()knNN n X k DFT x n x n W -===å。
X(k)的离散傅里叶逆变换为：101()[()]()knN N k x n IDFT X k X k W N --===å。
DTFT 是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT 是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT 的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。
实验四 利用离散傅立叶变换(DFT)分析信号的频谱
实验四 利用离散傅立叶变换（DFT ）分析信号的频谱一、实验目的1、通过这一实验，能够熟练掌握快速离散傅里叶变换（FFT ）的原理及其用FFT 进行频谱分析的基本方法。
2、在通过计算机上用软件实现FFT 及信号的频谱分析。
3、通过实验对离散傅里叶变换的主要性质及FFT 在数字信号处理中的重要作用有进一步的了解。
二、实验原理1、离散傅里叶变换（DFT ）及其主要性质DFT 表示离散信号的离散频谱，DFT 的主要性质中有奇偶对称特性，虚实特性等。
通过实验可以加深理解。
例如：实序列的DFT 具有偶对称的实部和奇对称的虚部，这可以证明如下： 由定义∑-==10)()(N n kn NW n x k X ∑∑-=-=-=1010)2sin()()2cos()(N n N n kn N n x j kn N n x ππ ∑-=-=-10)()()(N n n k N N W n x k N X∑-=-=10)(N n kn N Nn W W n x ∑-=-=10)(N n kn N W n x ∑∑-=-=+=1010)2sin()()2cos()(N n N n kn N n x j kn N n x ππ )(*)(k N X k X -=∴实序列DFT 的这个特性，在本实验中可以通过实指数序列及三角序列看出来。
对于单一频率的三角序列来说它的DFT 谱线也是单一的，这个物理意义我们可以从实验中得到验证，在理论上可以推导如下： 设：)()2sin()(n R n N n x N π=，其DFT 为： ∑-=-=102)()(N n kn N j en x k X π kn Nj N n e n N ππ210)2sin(--=∑= kn N j N n n N j n N j e e e j πππ21022)(21--=-∑-= ∑-=+----=10)1(2)1(2)(21N n k n N j k n N j e e j ππ 从而∑-=-=-=10220)(21)0(N n n N j n N j e e j X ππ∑-=--==-=10422)1(21)1(N n n N j N j j N e j X π 0)2(=X0)2(=-N X22)(21)1(102)2(2N j j N e e j N X N n n j n N N j =-=-=-∑-=--ππ以上这串式中)0(X 反映了)(n x 的直流分量，)1(x 是)(n x 的一次谐波，又根据虚实特性)1()1(*X N X =-，而其它分量均为零。
信号处理实验四离散傅里叶变换
信号处理实验四离散傅里叶变换哈尔滨工程大学实验报告实验名称：实验四：离散傅里叶变换班级：电子信息工程4班学号：姓名：实验时间： 2016年10月19日成绩：________________________________指导教师：栾晓明实验室名称： 数字信号处理实验室哈尔滨工程大学实验室与资产管理处 制实验四 离散傅里叶变换一、 实验原理1. 由DFT 定义式：10()[()]()NN knn X k DFT x n x n W -===∑ k=0,1 , … , N -1,将其写成矩阵方程表示为NX W x =利用MATLAB 的矩阵运算功能，可编写出计算DFT 的函数文件。
function [Xk] = dft(xn,N) %计算离散傅里叶变换%Xk = 在0<=k<=N-1间的DFT 系数数组 %xn = N 点有限长序列 % N = DFT 的长度 n = [0:1:N-1]; %n 的行向量 k = [0:1:N-1]; %k 的行向量WN = exp(-j*2*pi/N);%Wn 因子 nk = n'*k;%产生一个含bk 值的N 乘N 维矩阵 WNnk = WN.^nk; %DFT 矩阵 Xk = xn*WNnk; %DFT 系数的行向量由IDFT 定义式：11()[()]()N nkk x n IDFT X k X k W N--===∑ ，n= 0, 1, 2, … ,N -1，利用MATLAB 的矩阵运算功能，可编写出计算傅里叶反变换的函数文件。
function [xn] = idft(Xk,N) %计算离散傅里叶反变换 %----------------- %xn = 在0<=n<=N-1 %Xk = N 点有限长序列 % N = IDFT 的长度 k = [0:1:N-1]; %k 的行向量 n = [0:1:N-1]; %n 的行向量WN = exp(-j*2*pi/N); %Wn 因子 nk = n'*k;%产生一个含bk 值的N 乘N 维矩阵 WNnk = WN.^nk; %DFT 矩阵 xn = Xk*WNnk;%傅里叶反变换计算序列值 DFT 的快速算法FFT 利用了W nkN的三个固有特性：(1)对称性，(W )W nk nkN N*-=，(2)周期性，()()W W W nk n N k n k N N N N++==，(3)可约性，W nk nmkN mNW =和//W nk nk m N N mW =。
离散傅里叶变换(DFT)快速傅里叶变换(FFT) 实验四
实验四：DFS 、DFT 与FFT1、已知某周期序列的主值序列为x(n)=[0,1,2,3,2,1,0]，编程显示2个周期的序列波形。
要求：① 用傅里叶级数求信号的幅度谱和相位谱，并画出图形 ② 求傅里叶级数逆变换的图形，并与原序列进行比较 程序清单： N=7;xn=[0,1,2,3,2,1,0]; xn=[xn,xn]; n=0:2*N-1; k=0:2*N-1;Xk=xn*exp(-1i*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(1i*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1);stem(n,xn);title('x(n)');axis([-1,2*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]); subplot(2,2,2);stem(n,abs(x));title('IDFS|X(k)|');axis([-1,2*N,1.1*min(x),1.1*max(x)]); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk));title('|X(k)|');axis([-1,2*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk));title('arg|X(k)|');axis([-1,2*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk)]);程序运行结果如下图：课程名称：数字信号处理 实验成绩：指导教师：实 验 报 告院系： 信息工程学院 班级： 学号： 姓名：日期： 2011. 10.300510123x(n)0510510IDFS|X (k)|51051015|X (k)|510-2-1012arg|X (k)|2、已知有限长序列x(n)=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]，要求： ① 求该序列的DFT 、IDFT 的图形； 程序清单：xn=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; N=length(xn); n=0:N-1;k=0:N-1;Xk=xn*exp(-1i*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(1i*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1);stem(n,xn);title('x(n)');axis([-1,N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]); subplot(2,2,2);stem(n,abs(x));title('IDFT|X(k)|');axis([-1,N,1.1*min(x),1.1*max(x)]); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk));title('|X(k)|');axis([-1,N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk));title('arg|X(k)|');axis([-1,N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);程序运行结果如下图：024680.51x(n)024680.51IDFT|X (k)|24681234|X (k)|2468-2-1012arg|X (k)|② 用FFT 算法求该序列的DFT 、IDFT 的图形； 程序清单：xn=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0]; N=length(xn);subplot(2,2,1);stem(n,xn); title('x(n)'); k=0:N-1;Xk=fft(xn,N);subplot(2,1,2);stem(k,abs(Xk)); title('Xk=DFT(xn)'); xn1=ifft(Xk,N);subplot(2,2,2);stem(n,xn1);title('x(n)=IDFT(Xk) 程序运行结果如下图：246800.20.40.60.81x(n)1234567012345X k=DFT(xn)246800.20.40.60.81x(n)=IDFT(X k)③ 假定采用频率Fs=20Hz ，序列长度N 分别取8、32和64，用FFT 计算其幅度谱和相位谱。
离散傅里叶变换的特点
离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种数学变换技术，用于将时域离散信号转换为频域离散信号。
它是傅里叶变换在离散时间序列上的推广和离散信号处理中最重要的工具之一。
离散傅里叶变换具有以下几个特点：1. 离散性：离散傅里叶变换适用于离散时间序列的信号处理，它将连续时间信号转换为离散频率信号。
与连续傅里叶变换不同，离散傅里叶变换对信号进行采样和离散化处理，适用于数字信号处理领域。
2. 周期性：离散傅里叶变换是一种周期性变换，其输入信号在时域上必须是周期性的。
这是因为离散傅里叶变换假设信号是周期重复的，频域上的离散频率点也是周期性重复的。
3. 线性性：离散傅里叶变换具有线性性质，即对于输入信号的线性组合，其离散傅里叶变换等于各个信号的离散傅里叶变换的线性组合。
这使得离散傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用。
4. 对称性：离散傅里叶变换具有对称性质，即输入信号的离散傅里叶变换结果的实部和虚部具有对称性。
这个性质在信号处理中常常用于简化计算和减少存储空间。
5. 傅里叶变换和逆变换：离散傅里叶变换和逆变换是互逆的，即对一个信号进行离散傅里叶变换后再进行逆变换，可以恢复原始信号。
这使得离散傅里叶变换在信号压缩、滤波和频谱分析等方面具有重要应用。
离散傅里叶变换的特点使其在数字信号处理、通信系统、图像处理、音频处理等领域得到广泛应用。
在数字信号处理中，离散傅里叶变换可以用于信号的频谱分析和滤波。
通过计算信号的离散傅里叶变换，可以将信号从时域转换为频域，得到信号的频谱信息。
频谱分析可以帮助我们了解信号的频率成分和能量分布，从而对信号进行特征提取、模式识别和信号分类等任务。
同时，通过对信号的频域信息进行滤波，可以实现信号的去噪、陷波和增强等处理。
在通信系统中，离散傅里叶变换可以用于信号的调制和解调。
调制是将基带信号转换为带通信号，而解调是将带通信号转换为基带信号。
离散傅里叶变换
2、时域循环移位定理
已知 x(k ) DFT[ x(n)]N 则有 ：
DFT[ x((n m))N RN (n)]N x(k ) W
km N
km DFT[ x((n m))N RN (n)]N x(k ) WN
3、频域循环移位定理
已知： x(k ) DFT[ x(n)]N 则有：
DFT[a1(n) b2(n)]N DFT[ax1(n)]N DFT[bx2(n)]N
例：x1(n)=[1 2 3 4 5], x2(n)=[18,23,35,47,5,7 ]
二、循环移位性质
• 1、循环移位
y(n) x((n m))NRN (n)
例：已知有限长序列 x(n)＝［1，2，3，3， 2，1］， 求x(n)向左循环移位得 到的序列。
y(n)的图像
yc (n) 的图像
L=5时
L=8时
L=10时
结论
当圆周卷积的卷积L>=N+M时，N和M分 别为两个序列的长度，此时，圆周卷积等 于线性卷积。当圆周卷积长度L<N+M时 ， 由于此时圆周卷积会造成频谱混迭，因此 圆周卷积不等于线性卷积。
x(n) xep(n) xop(n)
N点DFT
X ( K ) X R ( K ) jX I ( K )
DFT共轭对称性的推论
1、x(n)为实序列
即
x(n) x (n)
X (K ) X ( N K )
X (K ) X ( N K )
X(K)共轭对称
2、x(n)为偶对称序列
0 k N 1
nl x(k l ) DFT[ x(n)WN ]N
离散傅里叶变换DFT的性质
N 1
X1(k ) X 2 (k )e j2 km/ N
k 0
1 N
N 1 k 0
N 1 n0
x1
(n)e
j
2
kn
/
N
N 1 l 0
x2
(l
)e
j
2
kl
/
N
e
j
2
km
/
N
1 N
N 1 n0
x1
(n)
N 1 l0
x2
(l
)
N 1 k 0
e
j
2
k
(
mnl
)
/
N
N 1 ak
k 0
1N,aN 1 a
,
a 1 a 1
此时，a e j 2 (mnl )/ N
N 1 ak
k 0
N, 0,
l m n pN ((m n))N , p为整数 其他
N 1
x3(m) x1(n)x2 ((m n))N m 0, 1, L , N 1
n0
在个而圆序称上周列为式卷的圆具积序周有中号卷卷，做积积折模。和叠N运的和算形移按式位照，(旋周包转期含)方了操式序作实号是现通的(过(m，对 n而)一)N，在因 线性卷积中，不存在模运算。
0 n N 1 0 k N 1
DFT :
X R (k)
N 1 n0
xR
(n)
cos
2 kn
N
xI
(n) sin
2 kn Βιβλιοθήκη N XI(k)
N 1
n0
xR
(n) sin
2 kn
N
xI
(n)
cos
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实验四离散傅里叶变换的性质
一、实验目的
1. 熟悉matlab软件中离散傅里叶变换的实现方法及FFT函数的使用方法；
2. 通过软件仿真，加深对离散傅里叶变换性质的理解。
二、实验内容
1. 验证离散傅里叶变换的线性性质；
2. 掌握用matlab实现圆周移位的方法；
3. 验证圆周卷积与线性卷积的关系。
三、实验步骤
1. 验证线性性质
设两个有限长序列分别为xn1=[3,1,-2,2,3,4]，xn2=[1,1,1,1]，做4DFT[xn1]+2DFT[xn2],及DFT[4xn1+2xn2]的运算，比较它们的结果。
代码如下：
clear,N=20;n=[0:1:N-1];
xn1=[3,1,-2,2,3,4];n1=0:length(xn1)-1; %定义序列xn1
xn2=[1,1,1,1];n2=0:length(xn2)-1; %定义序列xn2
yn1=4*xn1;yn2=2*xn2;[yn,ny]=seqadd(yn1,n1,yn2,n2); %计算4xn1+2xn2
xk1=fft(xn1,N);xk2=fft(xn2,N); %分别求DFT[xn1] 和DFT[xn2]
yk0=4*xk1+2*xk2; %计算4DFT[xn1]+2DFT[xn2]
yk=fft(yn,N); %计算DFT[4xn1+2xn2]
subplot(2,1,1);stem(n,yk0);title('傅里叶变换之和') %显示4DFT[xn1]+2DFT[xn2]
subplot(2,1,2);stem(n,yk);title('序列和之傅里叶变换') %显示DFT[4xn1+2xn2]
运行结果如图1所示，从图中可知，用两种方法计算的DFT完全相等，所以离散傅里叶变换的线性性质得到验证。
图1 离散傅里叶变换的线性性质
2. 圆周移位
设x=[7,6,5,4,3,2]，位于主值区间，现要把x分别圆周右移两位，圆周左移1位，成为新主值区间的向量，以此观察圆周移位的特点。
代码如下：
x=[7,6,5,4,3,2];Nx=length(x);nx=0:Nx-1; % 给出x序列
nx1=-Nx:2*Nx-1;x1=x(mod(nx1,Nx)+1); % 延拓为周期向量x1,注意mod用法
[y1,ny1]=seqshift(x1,nx1,2); % 将x1右移两位，得到y1
[y2,ny2]=seqshift(x1,nx1,-1); % 将x1左移三位，得到y2
RN=(nx1>=0)&(nx1<Nx); % 在x1的位置向量nx1上设置主值窗
RN1=(ny1>=0)&(ny1<Nx); % 在y1的位置向量ny1上设置主值窗
RN2=(ny2>=0)&(ny2<Nx); % 在y2的位置向量ny2上设置主值窗
subplot(6,1,1),stem(nx1,RN.*x1) % 在子图上画出x1的主值
title('主值序列x')
axis([-6,15,0,10])
subplot(6,1,2),stem(nx1,x1) % 画出x1
title('周期序列x1')
axis([-6,15,0,10])
subplot(6,1,3),stem(ny1,y1) % 画出y1
title('移位周期序列y1')
axis([-6,15,0,10])
subplot(6,1,4),stem(ny2,y2) % 画出y2
title('移位周期序列y2')
axis([-6,15,0,10])
subplot(6,1,5),stem(ny1,RN1.*y1) % 画出y1的主值
title('y1的主值序列y')
axis([-6,15,0,10])
subplot(6,1,6),stem(ny2,RN2.*y2) % 画出y2的主值
title('y2的主值序列y')
axis([-6,15,0,10])
运行结果如图2所示。
图2 序列的圆周移位
3. 圆周卷积和与线性卷积和
设x1=[1,2,3,0]；x2=[5,4,-3,-2]；分别求它们的N点圆周卷积和与线性卷积和，并做比较。
代码如下：
圆周卷积和函数
function y = circonv(x,h,N)
if length(x) > N
error('N 必须>= x的长度')
end
% 检查h的长度
if length(h) > N
error('N 必须>= h的长度')
end
x=[x,zeros(1,N-length(x))]; % 将x的长度扩展至N
h=[h,zeros(1,N-length(h))]; % 将h的长度扩展至N
m = [0:N-1];
hm = h(mod(-m,N)+1); % 将h循环折叠
H = toeplitz(hm,[0,h(2:N)]); % 用toeplitz函数产生循环卷积矩阵
y = x*H; % 用向量－矩阵乘法求卷积
x1与x2的N（N分别取4、7、10）点圆周卷积和及线性卷积和
x1=[1,2,3,0];x2=[5,4,-3,-2];
y1=circonv(x1,x2,4)
y2=circonv(x1,x2,7)
y3=circonv(x1,x2,10)
y4=conv(x1,x2)
运行结果如下：
y1 =
-8 8 20 4
y2 =
5 14 20 4 -13 -
6 0
y3 =
5 14 20 4 -13 -
6 0 0 0 0
y4 =
5 14 20 4 -13 -
6 0
从计算结果中，可得，当N≥N1+N2-1时，圆周卷积和与线性卷积和相等。