用蒙特卡洛方法计算定积分
蒙特卡罗方法计算定积分
蒙特卡罗方法计算定积分作者：黄婧涵来源：《科学家》2017年第07期摘要数学领域中，定积分计算问题应用广泛，经典的定积分数学定义方法可直接用于求解定积分，但是，对于函数解析式未知的情况下，传统的数学定义方法无法进行定积分计算，而蒙特卡罗方法对函数解析式不进行限制，其以概率方法进行近似计算从而逐渐逼近定积分理论值。
本文针对函数解析式已知与未知的两种情况，分别以定积分数学定义方法和蒙特卡罗方法进行定积分计算，并从算法收敛速度以及计算结果精确度两方面对算法进行评测。
实验结果表明，定积分数学定义法收敛速度快，计算精度高，但是普适性低，对于函数解析式未知情况下无法进行计算；而蒙特卡罗方法尽管收敛速度较慢，但是普适性极高，且函数解析式未知情况下，效果更优。
关键词微积分；定积分；蒙特卡罗方法；收敛速度中图分类号 O1 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）07-0003-021 概述微积分[ 1 ]是数学领域的一个基础学科，是高等数学中研究函数微分、积分以及有关概念与应用的数学分支，其研究范畴包含3个方面：微分、积分以及微分与积分两者之间的关系。
若（）f x是[a，b]上的连续函数，并且有’（）（）F xf x=，则（）（）（）baf x dxF bF a∫=？。
也就是说，一个定积分的值就是原函数积分上限的值与原函数在积分下限的值的差值，即牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。
其表明对于图形无限细分再累加成为可能，并可将其转化为对积分的计算，揭示了积分与微分本质的关系，因此牛顿-莱布尼兹公式又称微积分基本定理。
然而计算定积分[ 2 ]的数学定义方法以及牛顿-莱布尼兹公式方法都仅限于函数（）f x解析式已知的情况，对于（）f x未知解析式的情况下，无法进行定积分求解。
蒙特卡罗（Monte-Carlo）[3]方法是20世纪40年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，被提出的一种以概率理论[4]为指导的一类极其重要的数值计算方法，是以随机抽样为主要手段，使用随机数（或伪随机数）解决数值计算问题的方法，又称统计模拟方法。
蒙特卡洛模拟法求积分
蒙特卡洛模拟法求积分1. 引言蒙特卡洛模拟法是一种基于随机采样的数值计算方法，被广泛应用于求解各种数学问题。
其中之一便是利用蒙特卡洛模拟法求解积分。
本文将介绍蒙特卡洛模拟法的基本原理、步骤以及在求解积分中的应用。
2. 蒙特卡洛模拟法基本原理蒙特卡洛模拟法以概率统计为基础，通过生成大量的随机样本来近似计算一个问题的解。
其基本原理可以概括为以下几个步骤：•随机生成样本：根据问题的要求，生成符合一定概率分布的随机样本。
•计算函数值：将每个随机样本代入目标函数中进行计算，得到对应的函数值。
•统计平均：对所有函数值进行求和并取平均，得到近似解。
3. 求解积分的蒙特卡洛模拟法步骤在使用蒙特卡洛模拟法求解积分时，需要按照以下步骤进行操作：步骤1：确定积分范围需要明确要求解的积分范围。
假设要求解的积分为∫f(x)dx，其中x的范围从a到b。
步骤2：确定随机样本生成规则根据积分范围确定随机样本生成规则。
可以使用均匀分布或其他概率分布来生成随机样本，确保样本覆盖整个积分区间。
步骤3：生成随机样本使用确定的随机样本生成规则，生成足够数量的随机样本。
通常情况下，生成的样本数越多，计算结果越接近真实值。
步骤4：计算函数值将每个随机样本代入目标函数f(x)中进行计算，得到对应的函数值。
这相当于在积分区间上进行采样，并计算采样点处的函数值。
步骤5：统计平均对所有函数值进行求和并取平均，得到近似解。
根据大数定律，当样本数量充足时，平均值将趋近于真实解。
4. 蒙特卡洛模拟法求解积分示例以下是一个使用蒙特卡洛模拟法求解积分的示例：假设要求解的积分为∫x^2dx，积分范围为0到1。
步骤1：确定积分范围。
积分范围为0到1。
步骤2：确定随机样本生成规则。
使用均匀分布生成随机样本。
步骤3：生成随机样本。
生成足够数量的随机样本，例如10000个。
步骤4：计算函数值。
将每个随机样本代入目标函数f(x)=x^2中进行计算，得到对应的函数值。
步骤5：统计平均。
matlab蒙特卡洛法求定积分
文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。
传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。
而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。
1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。
具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。
2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。
通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。
matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。
3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。
在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。
4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。
蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。
26——matlab——用蒙特卡罗法估算定积分
用蒙特卡罗法估算定积分• 求解示例：程序是：clcn=10^6;maxfx=1;mimfx=0;a=0; b=1; m=0;d=1;c=[];for i=1:nx=a+rand*(b-a);y=rand*(maxfx-mimfx)+mimfx;if y<=x^2m=m+1;endendfprintf('积分值是：%f\n',m/n*(maxfx-mimfx)*(b-a))结果是： dx x 102积分值是：0.333116 积分值是：0.334410 积分值是：0.333132 积分值是：0.333022 积分值是：0.332899 积分值是：0.333604 积分值是：0.333535 积分值是：0.333117 积分值是：0.333312 积分值是：0.334002 积分值是：0.332966 积分值是：0.332274 积分值是：0.334320 积分值是：0.333143 积分值是：0.333144 积分值是：0.333840 积分值是：0.332857 积分值是：0.333487 积分值是：0.333332 积分值是：0.333501 积分值是：0.333358 积分值是：0.333129积分值是：0.333495 积分值是：0.334282 积分值是：0.333183 积分值是：0.333594 积分值是：0.333894 积分值是：0.333766 积分值是：0.333126 积分值是：0.332993 积分值是：0.333032 积分值是：0.333090 积分值是：0.332987 积分值是：0.333853 积分值是：0.333412 积分值是：0.332419 积分值是：0.333338 积分值是：0.333622 积分值是：0.334497 积分值是：0.333565 积分值是：0.333759 积分值是：0.332973 积分值是：0.332783 积分值是：0.332990积分值是：0.332452 积分值是：0.334463 积分值是：0.332927 积分值是：0.332749 积分值是：0.332269 积分值是：0.333389 积分值是：0.332691 积分值是：0.333038 积分值是：0.333918 积分值是：0.333517 积分值是：0.333182 积分值是：0.333919 积分值是：0.333463 积分值是：0.332823 积分值是：0.333679 积分值是：0.332826 >>Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
python编程通过蒙特卡洛法计算定积分详解
python编程通过蒙特卡洛法计算定积分详解想当初，考研的时候要是知道有这么个好东西，计算定积分。
开玩笑，那时候计算定积分根本没有这么简单的。
但这确实给我打开了⼀种思路，⽤编程语⾔去解决更多更复杂的数学问题。
下⾯进⼊正题。
如上图所⽰，计算区间[a b]上f(x)的积分即求曲线与X轴围成红⾊区域的⾯积。
下⾯使⽤蒙特卡洛法计算区间[2 3]上的定积分：∫(x2+4*x*sin(x))dx# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(x):return x**2 + 4*x*np.sin(x)def intf(x):return x**3/3.0+4.0*np.sin(x) - 4.0*x*np.cos(x)a = 2;b = 3;# use N drawsN= 10000X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to bY =f(X) # CALCULATE THE f(x)# 蒙特卡洛法计算定积分：⾯积=宽度*平均⾼度Imc= (b-a) * np.sum(Y)/ N;exactval=intf(b)-intf(a)print "Monte Carlo estimation=",Imc, "Exact number=", intf(b)-intf(a)# --How does the accuracy depends on the number of points(samples)? Lets try the same 1-D integral# The Monte Carlo methods yield approximate answers whose accuracy depends on the number of draws.Imc=np.zeros(1000)Na = np.linspace(0,1000,1000)exactval= intf(b)-intf(a)for N in np.arange(0,1000):X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to bY =f(X) # CALCULATE THE f(x)Imc[N]= (b-a) * np.sum(Y)/ N;plt.plot(Na[10:],np.sqrt((Imc[10:]-exactval)**2), alpha=0.7)plt.plot(Na[10:], 1/np.sqrt(Na[10:]), 'r')plt.xlabel("N")plt.ylabel("sqrt((Imc-ExactValue)$^2$)")plt.show()>>>Monte Carlo estimation= 11.8181144118 Exact number= 11.8113589251从上图可以看出，随着采样点数的增加，计算误差逐渐减⼩。
蒙特卡罗模拟及例
1）问题背景
返回 D 吸收
三种 状态
穿透
阐述中子的运动， 2）简化假设： 为模拟做理论准备 *1 假定屏蔽层平行板厚度为D=3d，其中d 为两次碰撞之间中子的平均游动距离；
*2 假设在第10 次碰撞以后，中子速度下降到 为某一很小数值而终止运动（被引收）. *3 假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游 动的距离服从指数分布；
4
计算机上做n次掷点试验： 产生n 对二维随机点(xi，yi) ，i＝1 ,2, …, n .
其中，xi 和yi 是RND 随机数对. 检查每对数是否满足: 相当于第i 2 2 x i yi 1 个随机点落 在1/4圆内. 若有k 个点落在l／4圆内 随机事件“点落入1/4圆内”的 频率为 k/n
中子数(个) 穿透(%)
100 1000 3000 5000 30.0 26.0 26.5 26.3
吸收(%)
28.0 23.4 21.8 22.0
返回(%)
42.0 50.6 51.7 51.7
中子穿透屏蔽层的百分比超过了1/4，模拟结 果表明屏蔽层厚度D=3d不合适.
问
多厚的屏蔽层才能使穿透的概率 题： W＜10－6？
注：平均值法本质上是用样本平均值作为
总体教学期望的估计。
2. 蒙特卡罗模拟试验次数的确定
M－C 模拟是一种试验近似方法 , 试验次 数如何确定？
希望：模拟次数较少、 模拟精度较高
？
频率法的讨论 频率法是用事件A出现的频率作为概率p 的估计: kn ˆ p n 问题：试验次数 n 多大时，对给定的置信度 1－α（0<α<1），估计精度达到ε.
三、 蒙特卡罗模拟及例
蒙特卡罗(Monte－Carlo)模拟，又称蒙特卡 罗方法、统计试验法等. M－C模拟是静态模拟，描述特定时间点上的 系统行为. 模拟过程中 基本思想:把随机事件 不出现时间 （变量）的概率特征与 参数。 数学分析的解联系起来.
7.蒙特卡罗方法在积分计算中的应用——【数学建模 蒙特卡罗算法】
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂
•
设整数 n≥1，令
gi (P) g(P) n
•
则
i Vs gi (P) f (P)dP
n
•
gi(P)于为是原计来算θ的θ的估问计题Vgs，(gP)(可P的化) 1f为/(Pn计)，d算P这n就个i是1θ分i 的i 裂和技来巧得。到，而每个
2) 俄国轮盘赌
N
g(xi , yi )
i 1
•
其方差为
2 gˆ N
1 N
2 x
f1
(
x)dx
•
与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约
1
N
( x )2 f1(x)dx
6. 分层抽样
•
考虑积分
1
•
g(x) f (x)dx
•
特别地，当 g(P)≥0 时，有
g(P) f (P) g(P) f (P)
f1(P)
g(P) f (P)dP
Vs
•
这时
2 g1
0
•
即 g1的方差为零。实际上，这时有
g1(P) Vs g1(P) f1(P)dP
•
不管那种情况，我们称从最优分布 称函数 | g(P) | 为重要函数。
fl(P)的抽样为重要抽样，
•
我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：
•
从 fl(x) 中抽取 xi，
xi
f1 ( x)dx
1i
•
再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，
yi
f2(y
xi )dy 2i
•
现在改变 xi 的抽样方法如下：
xi
f1(x)dx i
蒙特卡洛方法求定积分一
蒙特·卡罗（Monte Carlo）法是一种统计模拟方法，通常是利用随机数来解决一些数值计算问题，本文要讲的就是利用蒙特·卡罗方法来求解数值积分。
基本思路首先我们知道定积分其实就是一个面积，将其设为I，现在我们就是要求出这个I。
我们的想法是通过在包含定积分的面积为S的区域（通常为矩形）内随机产生一些随机数，其数量为N，再统计在积分区域内的随机数，其数量为i，则产生的随机数在积分区域内的概率为iN，这与积分区域与总区域面积的比值IS应该是近似相等的，我们利用的就是这个关系，即IS≈iN最后即得所求定积分算式为：I=iNS代码部分有了上面的铺垫，我们就可以来写MATLAB代码了。
我们要求的定积分为∫0πsinxdx.对于上述积分我们很容易可以得到其解析解为2，下面我们来看用蒙特·卡罗方法得到的结果，输入代码% Monte Carlo% 蒙特卡洛法求定积分clearN = 1e4;x_min = 0; x_max = pi;f = @(x) sin(x);xx =x_min:0.01:x_max;x = x_min + (x_max-x_min)*rand(N,1);y_min = min(f(xx)); y_max = max(f(xx));y = y_min +(y_max-y_min)*rand(N,1);i = y < f(x);I = sum(i)/N*(x_max-x_min)*(y_max-y_min);% 画图plot(x,y,'go',x(i),y(i),'bo')axis([x_min x_max y_min y_max])hold onplot(xx,f(xx),'r-','LineWidth',2)。
蒙特卡罗方法计算定积分的进一步讨论
蒙特卡罗方法计算定积分的进一步讨论
蒙特卡罗方法是一种用于计算定积分的近似方法，它是基于随机抽样的数学方法，通过从一组样本点中提取随机样本来估计数学积分的值。
它的优点在于它可以用于计算复杂的函数的定积分，而不需要任何额外的运算。
它也可以用于计算非定积分，因为它可以利用复合积分来计算它们。
蒙特卡罗方法的主要缺点在于它的结果只能作为一种近似估计，而且它的精度取决于样本点的数量。
因此，如果要获得更准确的结果，需要收集更多的样本点。
另外，蒙特卡罗方法需要专门的硬件来执行，而且可能需要大量的时间来运行，这意味着可能会有一定的成本。
另外，蒙特卡罗方法是基于随机抽样的，所以结果仍然受到偏差的影响。
如果抽样点不能准确地反映实际函数，那么抽样结果可能会有偏差。
因此，需要把控抽样过程来减少这种偏差的影响。
本文的目的是对蒙特卡罗方法计算定积分的进一步讨论。
它的优点在于可以用于计算复杂的函数的定积分，而不需要任何额外的运算。
但是，蒙特卡罗方法的结果只能作为一种近似估计，而且它的精度取决于样本点的数量，而且可能会涉及一定的成本。
此外，因为它是基于随机抽样的，所以结果仍然受到偏差的影响。
因此，只有充分考虑各种因素，有认真的抽样过程和良好的约束条件，才能获得准确的结果。
蒙特卡洛方法求取积分原理
蒙特卡洛方法求取积分原理蒙特卡洛方法是一种以随机数和概率统计理论为基础的计算模拟方法。
它通过随机抽样获得样本数据，并对这些数据进行统计分析，以获得所关注问题的近似解。
在数值计算中，蒙特卡洛方法被广泛应用于求解复杂的积分问题。
积分是数学中的基本概念，它描述了曲线下面积、函数间的平均值等。
根据定积分的定义，我们可以将积分问题视为求解函数在某一区间上的面积或体积。
在实际问题中，有些积分无法通过解析方法得到精确解，这就需要借助数值方法来近似求解。
而蒙特卡洛方法恰好能够提供这样的数值近似解。
蒙特卡洛方法的核心思想是通过对待求积分函数进行随机取点，然后对这些点所对应的函数值进行计算和统计分析，从而得到积分的近似值。
具体而言，使用蒙特卡洛方法求解积分问题的步骤如下：1.确定求解的积分问题，并对积分函数进行变换和适当的数学化简，以便将复杂的积分问题转化为简单形式的求和问题。
2.定义积分区域，并确定求解的精度要求。
根据问题的特点，选择取点的方法和取点的数量。
通常采用随机抽样法，并根据取点的数量和分布情况来判断结果的稳定性和可靠性。
3.随机抽样确定取点的坐标。
针对每个抽样点，计算其在积分函数中的函数值。
4.通过对所有抽样点的函数值进行统计分析，即求解其均值和方差，从而得到积分的近似值。
5.判断近似值是否满足精度要求。
如果满足要求，则给出最终结果；如果不满足要求，则重新确定取点的数量和分布，并返回第3步。
蒙特卡洛方法的优点在于它的简单性和灵活性。
由于它不依赖于具体的数学公式和求解算法，因此可以广泛应用于各种复杂的积分问题。
此外，蒙特卡洛方法具有较好的可扩展性，通过增加取点数量可以提高计算的精度。
然而，蒙特卡洛方法也存在一些不足之处。
首先，由于需要进行大量的随机抽样，因此蒙特卡洛方法的计算效率较低。
其次，在一些高维的积分问题中，蒙特卡洛方法的精度收敛较慢，需要大量的取点才能得到较精确的解。
为了提高蒙特卡洛方法的效率和精度，人们提出了一系列的改进方法。
用蒙特卡罗方法计算定积分
19.
20.
sum/4000
结果如图
由图可知，结果稳定在0.46附近。 有牛顿-莱布尼茨公式可知
5.
xlabel('x轴'),ylabel('y轴')
6.
7.
for n=1:4000
8.
sumset(n)=0;
9.
end
10.
11.
sum=0;
12.
13.
for n=1:4000
14.ห้องสมุดไป่ตู้
sum=sum+sin(random(n));
15.
sumset(n)=sum/n;
16.
end
17.
18.
subplot(2,1,2),plot(x,sumset);
其中，
是计算机上生成的伪随机数。
用蒙特卡罗方法积分
首先选定一个区间
，然后抽取4000个随机点的坐标
服从区间 上的均匀分布。
，他们
利用MATLAB生成区间随机掷点效果图
1.
random = unifrnd(0,1,1,4000);%生成4000个区间[0,1]上服从均匀分布的随机数
2.
x=0.00025:0.00025:1;
服从区间 上的均匀分布。
利用MATLAB生成区间随机掷点效果图
，他们
1. random = unifrnd(0,1,1,4000);%生成4000个区间[0,1]上服从均匀分布的随机数
2.
x=0.00025:0.00025:1;
3.
y=sin(x);
4.
subplot(2,1,1),plot(x,y,'k',x,random,'.');
利用蒙特卡罗方法计算定积分
利用蒙特卡罗方法求定积分的基本方法和原理:
计算f(x)在区域V1中的积分ill：fi：?< dx
原理：设x是在V1中均匀分布的随机变量，^UjlL-裁:ck=E(f(x) | m E ) *V1
证明：由于x是在V1中均匀分布的随机变量，因此其分布密度函数是
p(x)=〔7i 5 "
0 otherwise
因此E(f(x) 1 % E V!乒匹一C dw =匹一_ ci"二，
因而
j[L*Mdw=E(f(x) | 卷任)*V1
注意：x必须是在V1中均匀分布的随机变量。
利用以上原理计算定积分的算法：
在V中选取N个均匀分布的点x,记为x(1), x(2), •…x(N)
设区域V的体积是V
N1=0；% N1表示落在V1中的点数
V1=0；% V1表示区域V1的体积
Sum_f=0; %对V1中的x,求f(x)的和
For i=1:N
If X(i)在V1 中，
N1=N1+1；
Sum_f=Sum_f+f(X(i));
End
End
V1=N1/N*V %因为按上述过程，x落在V1中的概率%N1/N Mean_f=Sum_f/N1;
f(x)在V1 中的积分必Mean_f*V1= Sum_f/N*V。
用Monte Carlo方法计算定积分
机投点。若点落在 y f (x) 下方称为中的，否则成为不中，则点中的概率为：
p ，若进行了N 次投点，其中n 次中的，则得到 的一个估计 M (b a)
1
M (b a)
n N
。
其实施步骤为：
1）独立产生2N 个U(0,1)的随机数 ui , vi ,i 1, 2,..., N;
2）计算 xi a ui (b a), yi Mvi 和 f (xi ) ；
10
0.9431
11
0.8474
12
0.4438
13
0.4385
14
0.6692
15
0.9327
16
0.2334
17
0.2148
18
0.9569
19
0.4379
20
0.5157
则满足条件 yi f (xi ) 的 yi 个数 n=12,利用公式（1）得到，所求积分的估计值为
M (b a) n 12 1.885 N 20
关个方面的 Monte Carlo 的使用，特别是在对数值结果的精确的讨论。 Monte Carlo 理论的应用非常广泛,由于作者的知识水平,研究能力有限,
Monte Carlo 理论在各行各业中都有广泛使用,思想、理论等方面仍存在欠缺之
处,但这些都是以后的努力研究的方向,有侍继续发掘。
参考文献： [1]曲双石，王会娟；MonteCarlo 方法及其应用[J]；统计教育；2009.1. [2]柴中林，银俊成；蒙特卡罗方法计算定积分的进一步讨论[J]；应用数学与 计算数学学报。2008.第 1 期. [3]张韵华，奚梅成，陈效群；数值计算方法与算法[M];科学出版社 2006.第 2 版.
蒙特卡罗方法计算定积分
蒙特卡罗方法计算定积分蒙特卡罗方法（Monte Carlo Method）是一种通过运用随机数抽样，利用计算机模拟实验来求解复杂问题的方法。
主要是利用概率统计中大数定律来求解，它可以帮助我们在数学上求解积分，快速准确的进行估计，被用在金融学，计算物理学，经济学，数学统计，技术分析等诸多领域。
一、蒙特卡罗方法计算定积分1、估计问题定义：计算一个未知函数积分。
2、随机抽样：由蒙特卡罗定理，我们在总体样本里进行随机抽样，随机抽取的样本可用与能够准确估计积分的概率多样性。
首先，创建一个具有期望值的随机变量，即函数中的随机变量，有且只有一个。
3、抽样的选择：抽样的选择非常重要，随机抽样的样本数量要远大于正常的定积分计算过程中要求的样本数量。
4、统计估计：通过蒙特卡罗方法，估计积分就是所抽样本的函数值的平均值乘以定积分范围。
二、蒙特卡罗方法容易出现的问题1、抽样样本量不够：如果抽样样本量不够，结果会出现较大误差，蒙特卡罗方法所估计值将可能与实际结果存在较大偏差。
2、估计值不够稳定：蒙特卡罗方法产生的结果一般存在很大的变动，估计值的结果可能会出现很大的波动，如果这种情况发生，就要调整抽样数量来达到稳定的结果。
3、结果不精确：由于蒙特卡罗方法依赖于随机样本，对精确度的要求很高，如果抽样数量不够，很可能出现精度较差的情况。
三、蒙特卡罗方法计算定积分的优点1、随机变量可定义：由于蒙特卡罗方法是基于随机变量的，所以可以通过定义方法来求出任意函数的定积分。
2、结果准确：在合理的的抽样数量下，蒙特卡罗方法的估计结果都基本准确。
3、实用性强：蒙特卡罗方法不仅实用于算法应用，还可以用于复杂估计。
四、总结蒙特卡罗方法是一种基于随机变量的，主要用于求解数学和经济类问题的方法。
它具有计算定积分快速准确、估计值结果可靠、实用性强等优点，是复杂问题求解的重要工具。
但同时也存在诸如抽样数量不足、估计值不稳定和精度较低等问题，因此在使用时要醉倒，确保估计结果的准确性。
蒙特卡罗方法求解定积分
蒙特卡罗方法求解定积分作者：程锦华来源：《课程教育研究》2018年第42期【摘要】蒙特卡罗方法，又称随机模拟，是利用随机数进行统计试验以确定随机事件相应的概率与数学期望的方法。
本文首先介绍均匀分布和强大数定律的有关内容，然后讨论用蒙特卡罗方法求定积分的理论基础，收敛速度以及在高维空间中的适用性。
【关键词】均匀分布 ;强大数定律 ;蒙特卡罗方法【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）42-0142-021.前言蒙特卡罗（Monte Carlo）是摩纳哥国的世界著名赌城。
第二次世界大战期间，美国原子弹“曼哈顿”计划的成员冯·诺依曼和乌拉姆对裂变物质中子的随机扩散进行模拟，并以蒙特卡罗来命名这种方法。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，所以很难得到令人满意的结果，而蒙特卡罗方法能够真实地模拟实际物理过程，故在解决实际问题时往往可以得到很圆满的结果。
比如18世纪法国科学家蒲丰就提出了著名的用投针试验来估计圆周率的方法。
本文也介绍了利用蒙特卡罗方法求解定积分的过程。
2.预备知识2.1 均匀分布的随机变量若随机变量的X的概率密度函数为：P（x）=■， ;a则称X服从区间（a，b）上的均匀分布，记作X～U（a，b）。
其分布函数为F（x）=0， ; ; ; ; x例1：假设我们从（0，1）区间上取点，取得的点在数轴上的坐标记为随机变量X，则X 服从均匀分布。
那么X落在[■，■]内的概率是多少？解：记随机变量X的概率密度函数为p（x），则P（■≤x≤■）=■p（x）dx=■1dx=■实际上（0，1）上的均匀分布和高中所学的几何概型息息相关，因为点落在[■，■]内的概率就是此区间的长度除以（0，1）区间的长度。
2.2 强大数定律定义2.1 假设我们有概率空间（Ω，F，P），定义在其上的随机变量序列X1，X2，…，Xn…及X，满足P■Xn=X=1，则称序列{Xn}几乎处处收敛到X，记为Xn→Xa.s.（n→+∞）。
概率论在定积分计算上的应用
概率论在定积分计算上的应用摘要：本文将对蒙特卡罗方法在定积分计算的应用做一个介绍，是可作为概率论在计算方法中的应用之一．此外，将对该法在重积分和反常积分上的应用做一个简单介绍． 关键词：概率论 积分计算随着电子计算的出现和发展，近年来用概率模型来作近似计算的方法得到了很大的发展，即蒙特卡罗（Monte-Garlo ）方法．蒙特卡罗法已被广泛地运用到各个领域中，如金融工程学、宏观经济学、计算物理学等．一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分．对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法．它解决问题时的基本思想是：首先建立与描述该问题有相似性的概率模型（如随机向量、随机过程等），使该模型的若干数字特征（如数学期望）恰好重合于所要计算的量；然后对该模型进行随机模拟或统计抽样，再利用所得的结果求出这些特征的统计估计值作为原来问题的近似解．本文将对蒙特卡罗方法在定积分计算的应用做一个介绍，是可作为概率论在计算方法中的应用之一．此外，也将对该法在重积分和反常积分上的应用做一个简单介绍．一、理论基础定理1. 设ξ是随机变量，)(x f 是一元波雷尔函数，则 )(E ξf =⎰+∞∞-dx x p x f )()(.定理2.（柯尔莫哥洛夫强大数定律） 设}{n ξ是定义在概率空间），，（P F Ω上的独立同分布随机变量序，+∞<1E ξ.1E ξμ=.记n S =∑=n1k k ξ，则0nS n→-μ .a.s 定理3.（林德贝格-勒维定理） 设}{n ξ是一列独立同分布随机变量，记n S =∑=n1k kξ，1E ξ=a ,1Var ξ=2σ,则中心极限定理成立，即)1,0(N n na -S dn −→−σ. 二、在定积分计算上的应用设)(g x 是有限区间[]b a ,上的连续函数，我们来计算定积分⎰=ba)(g G dx x 的值．1. 随机投点算法我们可以通过简单的线性变换，将[]b a ,相应变为[]1,1，故不妨设[]b a ,=[]1,1，0≤≤)(g x 1，于是G 就等于图1中的面积A.现在向矩形10≤≤x ，10≤≤y 中均匀分布地随机投点i P =()i i ηξ,，i =1,2,…,n,落于A 中的点数设为k ，则由于每次成功（即落于A 中）的概率为G ，故由强大数定理，有 G nk=∞→n lim . 2. 平均值法先不假设[]b a ,=[]1,1，0≤≤)(g x 1．任取一列独立同分布的随机变量}{n ξ，i ξ在[]b a ,中均匀分布，则{)(i g ξ}也是一列独立同分布的随机变量，且E )(i g ξ=⎰-=-b a ab Gdx x g a b )(1． 故由强大数定理， 有 ng a b ni in ∑=∞→-1)()(lim ξ=G .a.s3. 两种方法的精确度和运算次数比较由于我们是以统计量作为近似值，我们当然希望估值的方差越小越好．此外，我们还希望计算速度越快越好，这就要求运算次数越少越好．下面我们就对以上两种方法做一个比较．在随机投点法中：所谓的均匀分布地随机投点即i i ηξ,是独立的均匀随机数，而第i 次成功等价于 i i g ηξ≥)(.又k 是n 次贝努力实验中的成功总次数，故k ～),(G n B ，方差为Var k =)1(G nG -，因此Varn k =21n Var k =nG G )1(-，而E n k =G .那么，n 应该取多大，才能使ε<-G nk的概率不小于D ，其中ε为精确度，取很小的正数，D 为接近1的正数．根据中心极限定理，)1(G nG nG k --−→−d)1,0(N ，因此,(P ε<-G n k )=))1()1((P g G n G nG nG k -<--ε ≈))1(())1((G G nG G n --Φ--Φεε≥D ，其中)(x Φ为正态分布函数．我们把ε，G ，D 看成已知量，就可以解除满足上式的最小的n ．实际上，查表，对任何D （10≤≤D ），可以找到D t >0，使得)()(D D t t -Φ-Φ≈D ．如当D=99.7%，95.5%，68.3%时，D t 分别为3,2,1．故我们可以得到)1(G G n-ε=D t ，由此得n ≈2)1(2εG G t D -．这里矛盾出现了，G 是待求的数，我们用G 值估计n ．一般地，我们可以先试算若干次，以求出G的一个粗略估值，再用这个粗略的估值来估计n ．在平均值方法中：取n G =ng a b ni i∑=-1)()(ξ作为G 的点估值，有E n G =G ．若)(x g 在[]b a ,中平方可积，则方差 Var n G =n a b 2)(-Var )(i g ξ=na b 2)(-{22)]([)(i i Eg Eg ξξ-} =n1]))(()()[(22⎰⎰--b a b a dx x g dx x g a b类似上面的讨论，可得n ≈22)(12a b t D -εVar )(i g ξ．现举一例具体来看：试计算积分⎰=104dx e G x．要求以99.7%的概率，精确到小数点后第三位． 利用随机投点法，则可以计算得Var n k ≈n2451.0，≥n 610059.22⨯；利用平均值法，则可以计算得Var n G =n151.00，≥n 610359.10⨯． 比较两者可知，平均值法的估值方差较小、计算次数较少．三、在重积分计算和广义积分计算上的应用重积分计算：蒙特卡罗方法计算积分针对的是不易直接积分求解的情形，因而用蒙特卡罗方法计算重积分具有很大的优越性．上述方法原则上也适用于多重积分．在此不多做叙述．广义积分计算： 1) 瑕积分.计算瑕积分⎰=ba)(g G dx x ，这里不妨设b 是瑕点．若瑕积分收敛，则由瑕积分收敛定义和强大数定理有⎰badx x g )(=⎰-+→εεb adx x g )(lim0≈∑=+→--n k i g n a b 10)(lim ξεε=∑=-nk i g n a b 1)(ξ． 若瑕积分发散，则随着n 的不同，用上式右边计算所得的值将不收敛．换句话说，我们可以用蒙特卡罗方法逼近，来判断瑕积分的敛散性，并且，若收敛，则可求出其积分值． 2) 无穷积分.计算⎰+∞=adx x g G )(.我们可通过定积分的性质和变量替换化为⎰+∞)(dx x g ，选取服从指数分布的随机变量ξ，则有∑==nk i i e g n G 1)(1ξξ.这样就可以用蒙特卡罗方法计算无穷积分了.参考文献[1]王梓坤.概率论基础及其应用（第三版）[M].北京：北京师范大学出版社，2007.334-340[2]柴中林,银俊成.蒙特卡罗方法计算定积分的进一步讨论[J].应用数学与计算数学学报, 2008,22(1):125-128[3]胡能发,邓永发.求解定积分的概率算法[J].计算机工程与设计,2007,28(10):2294-2296。
蒙特卡洛（MonteCarlo）法求定积分
蒙特卡洛（MonteCarlo）法求定积分蒙特卡洛（Monte Carlo）法是⼀类随机算法的统称。
随着⼆⼗世纪电⼦计算机的出现，蒙特卡洛法已经在诸多领域展现出了超强的能⼒。
在机器学习和⾃然语⾔处理技术中，常常被⽤到的MCMC也是由此发展⽽来。
本⽂通过蒙特卡洛法最为常见的⼀种应⽤——求解定积分，来演⽰这类算法的核⼼思想。
⽆意识统计学家法则（Law of the unconscious statistician）这是本⽂后续会⽤到的⼀个定理。
作为⼀个预备知识，我们⾸先来介绍⼀下它。
先来看⼀下维基百科上给出的解释。
In probability theory and statistics, the law of the unconscious statistician (sometimes abbreviated LOTUS) is a theorem used to calculate the 期望值 of a function g(X)" role="presentation" style="position: relative;">g(X)g(X) of a 随机变量 X"role="presentation" style="position: relative;">XX when one knows the probability distribution of X" role="presentation" style="position: relative;">XX but one does not explicitly know the distribution of g(X)" role="presentation" style="position: relative;">g(X)g(X). The form of the law can depend on the form in which one states the probability distribution of the 随机变量 X"role="presentation" style="position: relative;">XX.If it is a discrete distribution and one knows its PMF function ƒX" role="presentation"style="position: relative;">ƒXƒX (but not ƒg(X)" role="presentation" style="position: relative;">ƒg(X)ƒg(X)), then the 期望值 of g(X)" role="presentation" style="position: relative;">g(X)g(X) isE[g(X)]=∑xg(x)fX(x)" role="presentation" style="position:relative;">E[g(X)]=∑xg(x)fX(x)E[g(X)]=∑xg(x)fX(x)where the sum is over all possible values x" role="presentation" style="position: relative;">xx of X" role="presentation" style="position: relative;">XX.If it is a continuous distribution and one knows its PDF function ƒX" role="presentation">ƒXƒX (but not ƒg(X)" role="presentation">ƒg(X)ƒg(X)), then the 期望值 of g(X)"role="presentation">g(X)g(X) isE[g(X)]=∫−∞∞g(x)fX(x)dx"role="presentation">E[g(X)]=∫∞−∞g(x)fX(x)dxE[g(X)]=∫−∞∞g(x)fX(x)dxLOTUS到底表达了⼀件什么事呢？它的意思是：已知随机变量X" role="presentation"style="position: relative;">XX的概率分布，但不知道g(X)" role="presentation" style="position: relative;">g(X)g(X)的分布，此时⽤LOTUS公式能计算出函数g(X)" role="presentation"style="position: relative;">g(X)g(X)的数学期望。