运筹学胡运权PPT课件
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运筹学PPT完整版胡运权
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可
行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
线性规划问题的数学模型
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
Page 30
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵 r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
运筹学的历史
“运作研究(Operational Research)小组”:解决复 杂的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 4
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量 x j 的变0换 可令 xj x，j 显x然j 0
Page 23
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
线性规划问题的数学模型
Page 25
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
x
v a 2x2 x a dv 0 dx
2(a 2 x) x (2) (a 2 x)2 0
运筹学胡运权第五版课件(第二章)分析
2 x3 4 x4 4 x2 x3 x4 6
x1 0, x2，x3 0, x4无约束
对偶问题：max w 5 y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2
2
s.t.
y1 3 y1
2 y2
y3 y3
3 5
y1 4 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无约束
zmax=wmin .
证： 设X*是原问题的最优解，则所有检验数都非正。
即 = C- CB B-1 A 0 ∴ CB B-1 A C 令 CBB-1 = Y* T，有 Y*T A C, 转置得A TY* CT -----------------------① 又因为 S′ = -CBB-1 = -Y * T 0，所以Y* = -（ S′）T 0------②
4x1 2x2 6x3 24
s.t.
3x1 6x2 4x3 15
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
解：第一步 改写为 min 的基本形式
令x1 x1，x2 x2 x2
min z 7x1 （4 x2 x2） 3x3
4
x1
（2 x2
x2）
6 x3
24
证明： 由弱对偶性： 当X 和Y 分别是P和D的可行解时，CX bTY 若CX ，则不存在Y 使得CX bTY； 若bTY ，则不存在X 使得CX bTY。
注：逆定理不成立。 即“如果原问题无可行解，那么对偶问题有无界解”不成立。 此时，对偶问题可能有无界解，也可能无可行解。
4、强对偶性（对偶定理） 若原问题有最优解，则对偶问题一定有最优解，且
由①②知Y*是对偶问题的可行解，
而 CX* = CB b ′，其满足: CX* =CB (B-1 b) = CB B-1b = Y*T b= b TY* 由最优性(性质2)，∴ Y*是对偶问题的最优解。
《运筹学》胡运权清华版-13-02风险决策
P ( I1 ) P ( S j ) P ( I1 S j ) 0.352
j 1
4
P( S1 I1 ) P( S2 I1 ) P( S3 I1 ) P( S4 I1 )
P( I1 S1 ) P ( S1 ) P( I1 ) P( I1 S 2 ) P( S 2 ) P( I1 ) P( I1 S3 ) P ( S3 ) P( I1 ) P( I1 S4 ) P( S4 ) P( I1 )
有油地区，做试验结果不好(U)的概率P(U1 )＝0.1
无油地区，做试验结果好(F)的概率P(F2 )＝0.2 无油地区，做试验结果不好(U)的概率P(U2 )＝0.8
求：在该地区做试验后，有油和无油的概率 各为多少？
解 : 利用全概率公式计算各种试验结果的概率
做地震试验结果好的概率
P(F )＝ P(1 ) P(F1 )＋ P(2 ) P(F2)
结论：如果地震试验结果为“构造很好（I1）” ， 应选方案A1，自行钻井。
P(U )
=
0.45
=
9
做地震试验结果不好的条件下无油的概率
P(2 ) P(U 2 ) 0.40 8
P(2U )＝
P(U)
=
0.45
=
9
例3 该公司计划做一次地震试验，费用——12，000元 试验可能结果： I1——构造很好 I2——构造较好 I3——构造一般 I4——构造较差
根据过去经验，地质构造与出油量之间关系如下
j
利用它计算出事件（后验）概率。
复习——后验概率的计算
某钻井大队在某地进行石油勘探，主观 估计该地区为有油(1 )地区的概率为 P(1)＝0.5 , 没油(2 )的概率为
运筹学胡运权第五版课件(第3章)分析
B3
B4
ai
11 ④
3 ③
10 7
1
9
2
③
①
7
4
⑥
10 ③
84 59
3
6
5
6 20
24 (8 3) (2 10) 1
表示新方案的费用要减少1元
综上，得到检验数表如下： B1 B2 B3 B4
A1 1 2 0 0 A2 0 1 0 －1 A3 10 0 12 0 注意：有数字格（基变量）的检验数为0。
则总费用为：
34
min z = cijxij i=1 j=1
x11+x12+x13+x14=7
产
x21+x22+x23+x24=4
量 限
制
x31+x32+x33+x34=9
x11+x21+x31=3
s.t.
x12+x22+x32=6
销 量
限
x13+x23+x33=5
制
x14+x24+x34=6 xij0,(i=1,2, 3；j=1,2,3,4)
最优性判别准则： 当所有ij 0时，运输问题达到最优解。
（1）若有负检验数，则该方案需要改进；
（2）若空格的检验数全为正数，则该问题有唯 一最优方案；
（3）若检验数全非负，且有空格的检验数为0， 则该问题有无穷多最优解。
4、改进方案的方法------闭回路法
在检验数表中，确定绝对值最大的负检验 数对应的空格，利用该空格的闭回路在满足供 需关系下调整各顶点的运量，得到费用更小的 调运方案。
5、运输问题解的情况
运筹学经典课件-04.整数规划(胡运权)
一、 概念
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
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解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
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x1
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§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
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例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
4
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
四运筹学研究的基本特点?系统的整体优化?多学科的配合?模型方法的应用五五运筹学研究的基本步骤运筹学研究的基本步骤?分析与表述问题?建立数学模型?对问题求解?对模型和模型导出的解进行检验?建立对解的有效控制?方案的实施第一章线性规划及单纯形法linearprogrammingandsimplexmethodggp11一般线性规划问题的数学模型11问题的提出例1用一块边长为a的正方形铁皮做一个无盖长方体容器应如何裁剪可使做成的容器的容积最大
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
《运筹学》胡运权第4版线性规划的对偶理论及灵敏度分析省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
13
2
y3
2 3
题
y1符号不限, y 2 0, y3 0
非 对 偶 形 式 旳 原对 偶 问 题
例2-4 写出下列问题旳对偶问题
max z c1x1 c2 x2 c3x3
a11x a12 x a13x3 b1
s.t.
a21x1 a31x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
出让自己旳资源？
问 题 旳 导 出
例2-1
条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生 产活动时获取旳获利。
y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工 序旳出让代价。 y1,y2,y3旳取值应满足：
6y 2
y 3
2
5y 1
2y 2
y 3
1
美佳企业用6h设备B和1h调试可 生产一件家电I,获利2元
y1, y2 , y3 0
LP1和LP2两个线性规划问题，一般称LP1为原问题， LP2为前者旳对偶问题。
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题
s.t.
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
规 划 问
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 旳 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
• 悬挂边 悬挂点的关联边，如 e8
• 孤立点 • 偶点
次为0的点 次为偶数的点，如 v2
• 奇点
次为奇数的点, 如 v5 运筹学胡运权第五版(第6章)
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。
（2）Lij表示图中点i和j之间的最短距离（即最小权和）。 易见 Lii=0
运筹学胡运权第五版(第6章)
3、狄克斯屈拉（Dijkstra）标号算法
（1）适用范围 用于求某两个点之间的最短距离。 即在已知的网络图中，从给定点s出发，要到达目
的地t。问：选择怎样的行走路线，可使总行程最短？
（2）原理 最短路上任何片段是最短路。
注意：
① 树是边数最多的无圈图。
在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则恰得到一个圈。
② 树是边数最少的连通图。
从树中去掉一条边，则余下的图不连通。
运筹学胡运权第五版(第6章)
3、图的最小部分树
（1）部分树：若G1是G2的一个部分图，且G1为树， 则称G1是G2的一个部分树（或支撑树）。
G2： A
5
v5
v1
v2
v3
v4
（3）思想 按离出发点s的距离由近至远逐步标出最短距离
Lsi以及最佳行进路线。运筹学胡运权第五版(第6章)
例 求图中S到T的最短路及最短距离。
A 5 S
5 5
B
5
D
T
C
E
4
运筹学胡运权第五版(第6章)
（4）步骤 在网络图中求s到t的最短路。
第一步 从s出发，将Lss=0标记在s旁边的方框内 （表示点s已标记）； 第二步 找出与s相邻且距离最小的点，设为r，计算 Lsr=Lss+dsr，并将结果标记在r旁边的方框内（表示点 r已标记），同时标记边sr； 第三步 从已标记的点出发，找出这些点的所有未 标记邻点，分别计算已标记点的方框数与其邻点的距 离之和，利用“叠加最小”的原则确定下一个被标记 点，设为p，并将最小的和标记在p旁边的方框内（表 示点p已标记）,同时标记相应边； 第四步 重复第三步，直到t得到标记为止。
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
零图： 边集为空集的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
16738-数学建模-运筹学PPT完整版胡运权
线性规划问题的数学模型
Page 18
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
a11 a1m
B
(
p1
pm
)
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
线性规划问题的数学模型
Page 29
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件
方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max Z
2 x1
x2
3(
x
3
x3)
0x4
0x5
5 x1
x2
(
x
3
x3)
x4
7
x1 x2 ( 5x1 x2
x3 2(
x
3
x3) x3)
真实系统
数据准备
系统分析 问题描述
模型建立 与修改
模型求解 与检验
结果分析与 实施
本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
平时成绩 （40％）
期末成绩 （60％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
x
j
xj
且
x
j
0
…
am1x1+am2x2+…+amnxn≤（=，≥） bm
x1 , x2, …, xn≥0
（3）其他形式： 连加形式
1-3 线性规划问题的标准形式
1、标准形式
或
2、条件
目标函数求极大值 约束条件全是等式（线性方程组） 决策变量全非负 右端常数全非负
3、标准化方法
（1）若目标函数求极小值，即
则令 z z
即求目标函数在若干约束条件下的最值。
3、规划问题数学模型的三要素
（1）决策变量：决策者为实现规划目标采取的方案、措施， 是问题中要确定的未知量。用x1，x2，…，xn表示。
（2）目标函数：问题要达到的目标要求，表示为决策变量的 函数。用 z=f(x1，x2，…，xn)表示。 （3）约束条件：决策变量取值时受到的各种可用资源的限制， 表示为含决策变量的等式或不等式。
运筹学
( Operations Research )
绪论
一、古代朴素的运筹学思想
例如：田忌赛马
二、运筹学的起源
国外 英文原名 Operations Research 简称“O.R.” 直译为：运用研究或作业研究 正式出现于1938年7月英国一份关于防空作战 系统运行的研究报告中
《运筹学》胡运权清华版-7-01动态规划
C2 5
E1 4 6
果，A在第3阶段应
D2
怎样走5，使得8第3 阶段初各起点C1、
3 C3 4
2 1
F
E2 3
C2、C3、CB24到7终
8
D3 3
点F的路长最短7 ？ C4 4
1
2ppt课件
3
4
5
17
子问题4— —
2 C1 5
8
D1
根据上一步 B1 3
4
53
的结果，4 在 6 第2阶段A 应 怎样走，5使 8
即：若某一点在最优路线上，那么从那一点到终 点的最短路线也在最优路线上。
ppt课件
6
（2）解决最短路问题的方法：
假设每一个点都在最优路线上，然后做相关计 算。
具体地：从最后阶段的两个始点E1和E2开始， 由后向前，计算每一个点到F的最短路线，直到结 点A，这时找到A到F的最短路。
ppt课件
7
最短路问题的求解
4
5
9
12
2 C1 5
7
8
D1
B1 3 10 4
4
6
C2 5
A
5
8
83
D2 52
C3 4
51
B2 7 9 8
D3
7
C4 4
4 E1
3
F
E2
1
2 ppt课件 3
4
5
10
12
13 2 C1
7
D1
B1 3 10
4
4
6
C2
E1
A
5 15 8
8 C3
D2 52
B2 7 9
51 D3
运筹学PPT完整版胡运权
另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择 与评价，工程优化设计等。
运筹学在工商管理中的应用
Page 10
组织 联合航空公司 Citgo石油公司 AT&T 标准品牌公司 法国国家铁路公司 Taco Bell Delta航空公司
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 A 10
1 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
Page 13
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
运筹学在工商管理中的应用
Page 10
组织 联合航空公司 Citgo石油公司 AT&T 标准品牌公司 法国国家铁路公司 Taco Bell Delta航空公司
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 A 10
1 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
Page 13
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
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最优路径问题 资源分配问题 排序问题 投资问题 装载问题 生产计划与库存问题 生产过程的最优控制等
动态规划 模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
例3：某工厂生产A、B、C三种产品， 都使用某种原材料，现有原材料4吨。 江不同数量的这种原料分配给各种 产品时产生的收益如表所示，试确 定使总收益最大的分配法。
ABC 0 000 1 10 6 8 2 17 17 11 3 20 18 11
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
5）运输网络问题：如图7-1所 示的运输网络，点间连线上的数字 表示两地距离(也可是运费、时间 等)，要求从A至F的最短路线。
化
例1：某厂与用户签订了如表所示
的交货合同，表中数字为月底的交 货量。该厂的生产能力为每月400 件，该厂仓库的存货能力为300件。
已知每百件货物的生产费用为 10000元。在进行生产的月份，工 厂还要支付经常费4000元。仓库保 管费为每百件货物每月1000元。假 设开始时及6月底交货后无存货。
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
为了便于求解和表示决策及过程的 发展顺序，而把所给问题恰当地划分为 若干个相互联系又有区别的子问题，称 之为多段决策问题的阶段。一个阶段， 就是需要作出一个决策的子问题，通常， 阶段是按决策进行的时间或空间上先后 顺序划分的。用以描述阶段的变量叫作 阶段变量，一般以k表示阶段变量．阶 段数等于多段决策过程从开始到结束所 需作出决策的数目，图7—1所示的最短 路问题就是一个四阶段决策过程。
这种运输网络问题也是静态决 策问题。但是，按照网络中点的分 布，可以把它分为5个阶段，而作 为多阶段决策问题来研究。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
§2 动态 规划 的基 本概 念和 基本 原理
一、动态规划的基本概念
使用动态规划方法解决 多阶段决策问题，首先要将实 际问题写成动态规划模型，同 时也为了今后叙述和讨论方便， 这里需要对动态规划的下述一 些基本术语进一步加以说明和 定义：
§2 动态 规划 的基 本概 念和 基本 原理
(一) 阶段和阶段变量
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
2.多阶段决策问题举例
属于多阶段决策类的问题很多， 例如：
1)工厂生产过程：由于市场需求 是一随着时间而变化的因素，因此， 为了取得全年最佳经济效益，就要在 全年的生产过程中，逐月或者逐季度 地根据库存和需求情况决定生产计划 安排。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
例2：下表给出了某单位的预测数据， 现决定考虑到1998年（n=5），试作5 年内的设备更新计划
产品年代 1993
1994
1995 1996 1997 1998
机龄
1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1
0
收入额
18 16 16 14 14 22 21 20 18 16 27 25 24 22 29 26 24 30 28
常包含一系列完成生产过程的设 备，前一工序设备的输出则是后 一工序设备的输入，因此，应该 如何根据各工序的运行工况，控 制生产过程中各设备的输入和输 出，以使总产量最大。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
以上所举问题的发展过程都与时间 因素有关，因此在这类多阶段决策问题 中，阶段的划分常取时间区段来表示， 并且各个阶段上的决策往往也与时间因 素有关，这就使它具有了“动态”的含 义，所以把处理这类动态问题的方法称 为动态规划方法。
月份
123456
交货量
（百件） 1 2 5 3 2 1
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
2)设备更新问题：一般企业
用于生产活动的设备，刚买来时故障 少，经济效益高，即使进行转让，处 理价值也高，随着使用年限的增加， 就会逐渐变为故障多，维修费用增加， 可正常使用的工时减少，加工质量下 降，经济效益差，并且，使用的年限 越长、处理价值也越低，自然，如果 卖去旧的买新的，还需要付出更新 费．因此就需要综合权衡决定设备的 使用年限，使总的经济效益最好。
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 5
4
新设备购置费 50
50
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
决策uk
决策un
状态
x1
阶段1状x+1...状态
状
阶段n 态
T1
T2
Tk
xn
Tn xn+1
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
1.多阶段决策过程的最优化
动态规划方法与“时间”关系很密切， 随着时间过程的发展而决定各时段的决策， 产生一个决策序列，这就是“动态”的意思。 然而它也可以处理与时间无关的静态问题， 只要在问题中人为地引入“时段”因素，就 可以将其转化为一个多阶段决策问题。在本 章中将介绍这种处理方法。
动态规划 模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
例3：某工厂生产A、B、C三种产品， 都使用某种原材料，现有原材料4吨。 江不同数量的这种原料分配给各种 产品时产生的收益如表所示，试确 定使总收益最大的分配法。
ABC 0 000 1 10 6 8 2 17 17 11 3 20 18 11
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
5）运输网络问题：如图7-1所 示的运输网络，点间连线上的数字 表示两地距离(也可是运费、时间 等)，要求从A至F的最短路线。
化
例1：某厂与用户签订了如表所示
的交货合同，表中数字为月底的交 货量。该厂的生产能力为每月400 件，该厂仓库的存货能力为300件。
已知每百件货物的生产费用为 10000元。在进行生产的月份，工 厂还要支付经常费4000元。仓库保 管费为每百件货物每月1000元。假 设开始时及6月底交货后无存货。
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
为了便于求解和表示决策及过程的 发展顺序，而把所给问题恰当地划分为 若干个相互联系又有区别的子问题，称 之为多段决策问题的阶段。一个阶段， 就是需要作出一个决策的子问题，通常， 阶段是按决策进行的时间或空间上先后 顺序划分的。用以描述阶段的变量叫作 阶段变量，一般以k表示阶段变量．阶 段数等于多段决策过程从开始到结束所 需作出决策的数目，图7—1所示的最短 路问题就是一个四阶段决策过程。
这种运输网络问题也是静态决 策问题。但是，按照网络中点的分 布，可以把它分为5个阶段，而作 为多阶段决策问题来研究。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
§2 动态 规划 的基 本概 念和 基本 原理
一、动态规划的基本概念
使用动态规划方法解决 多阶段决策问题，首先要将实 际问题写成动态规划模型，同 时也为了今后叙述和讨论方便， 这里需要对动态规划的下述一 些基本术语进一步加以说明和 定义：
§2 动态 规划 的基 本概 念和 基本 原理
(一) 阶段和阶段变量
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
2.多阶段决策问题举例
属于多阶段决策类的问题很多， 例如：
1)工厂生产过程：由于市场需求 是一随着时间而变化的因素，因此， 为了取得全年最佳经济效益，就要在 全年的生产过程中，逐月或者逐季度 地根据库存和需求情况决定生产计划 安排。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
例2：下表给出了某单位的预测数据， 现决定考虑到1998年（n=5），试作5 年内的设备更新计划
产品年代 1993
1994
1995 1996 1997 1998
机龄
1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1
0
收入额
18 16 16 14 14 22 21 20 18 16 27 25 24 22 29 26 24 30 28
常包含一系列完成生产过程的设 备，前一工序设备的输出则是后 一工序设备的输入，因此，应该 如何根据各工序的运行工况，控 制生产过程中各设备的输入和输 出，以使总产量最大。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
以上所举问题的发展过程都与时间 因素有关，因此在这类多阶段决策问题 中，阶段的划分常取时间区段来表示， 并且各个阶段上的决策往往也与时间因 素有关，这就使它具有了“动态”的含 义，所以把处理这类动态问题的方法称 为动态规划方法。
月份
123456
交货量
（百件） 1 2 5 3 2 1
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
2)设备更新问题：一般企业
用于生产活动的设备，刚买来时故障 少，经济效益高，即使进行转让，处 理价值也高，随着使用年限的增加， 就会逐渐变为故障多，维修费用增加， 可正常使用的工时减少，加工质量下 降，经济效益差，并且，使用的年限 越长、处理价值也越低，自然，如果 卖去旧的买新的，还需要付出更新 费．因此就需要综合权衡决定设备的 使用年限，使总的经济效益最好。
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 5
4
新设备购置费 50
50
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
决策uk
决策un
状态
x1
阶段1状x+1...状态
状
阶段n 态
T1
T2
Tk
xn
Tn xn+1
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
1.多阶段决策过程的最优化
动态规划方法与“时间”关系很密切， 随着时间过程的发展而决定各时段的决策， 产生一个决策序列，这就是“动态”的意思。 然而它也可以处理与时间无关的静态问题， 只要在问题中人为地引入“时段”因素，就 可以将其转化为一个多阶段决策问题。在本 章中将介绍这种处理方法。