2019届惠州一调数学(理科)试题

惠州市2019届高三第一次调研考试 理科数学 2018.07
全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求. （1）复数
5
2
i -的共轭复数是（ ） (A)2i + (B)2i -+ (C)2i --
(D)2i -
（2）已知集合{
}
2
1M x x ==，{}
1N x ax ==，
若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）(A) {}1 (B) {}1,1- (C) {}1,0 (D) {}1,1,0-
（3）函数22
()2cos sin +2f x x x ωω=-的最小正周期为π，则=ω（ ）
(A)
3
2
(B) 2
(C) 1
(D)
12
（4）下列有关命题的说法错误的是（ ）
(A)若“p q ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题； (B)“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件；
(C)若命题200R 0p x x ∃∈≥：，，则命题2
R 0p x x ⌝∀∈<：，；
(D)“1sin 2x =
”的必要不充分条件是“6
x π=”. （5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，32a ，5a ，43a 成等差数列，则数
列{}n a 的前n 项和n S =（ ） (A)21n
- (B)1
2
1n -- (C)12n - (D)2n
（6）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的
一个和谐优美的几何体。

它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。

其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。

当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
（7）若函数2
()x f x a
-=，()log ||a g x x =（0a >，且1a ≠），且(2)(2)0f g ⋅<，则
函数()f x ，()g x 在同一坐标系中的大致图象是（
(A)
(B)
(C) (D)
（8）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如
下表所示的数据. 观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据i a
40
41
43
43
44
46
47
48
在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程 图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是（ ）
(A) 6 (B) 7 ( C) 8 (D) 9
输出S
结束
输入i a
i =1
是 开始
2()i S S a a =+-
i= i +1
S =0
i ≥ 8 ?
否
S = S / 8
（9）已知1F 和2F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为
圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB V 是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ( )
(A)
(B) 1
(C)
1 (D) 2
（10）
则这个四棱锥外接球的表面积为（ ）
(A) 108π (B) 72π (C) 36π (D) 12π （11）已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈且(2)()k x f x -<对任意2x >恒成立，则k
的最大值为（ ）
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
（12）设抛物线2
4y x =的焦点为F ，过点()2,0的直线交抛物线于,A B 两点，与抛物线
准线交于点C ，若
2
5
ACF BCF S S =V V ，则AF =（ ） (A)
23
(B) 4
(C) 3 (D) 2
二．填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）若实数x ，y 满足的约束条件101010x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则函数2z x y =+的最大值是 ．
（14）已知向量(2,1),(,1)a b x ==-r r
，且a b -r r 与b r 共线，则x 的值为 ．
（15）某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分
给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是 ．
（16）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合
{},,,1i
j
x x a a i N j N i j n =+∈∈≤<≤的元素个数为n
c
，把{}n c 的各项摆成如
图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为___________．
3c 4c 5c
6c 7c 8c 9c 10c 11c 12c
…………
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，
每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分12分）
在ABC ∆中，锐角C 满足2
52sin cos 232
C C π⎛
⎫
-+= ⎪⎝
⎭. （1）求角C 的大小；
（2）点P 在BC 边上，3
PAC π
∠=
，3PB =
，sin BAP ∠=
， 求ABC ∆的面积。

（18）（本小题满分12分）
如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，侧面是正方形，0
60=∠DAB ，E 是棱CB 的延长线上一点，经过点A 、1C 、E 的平面交棱1BB 于点F ，BF F B 21=．
（1）求证：平面⊥E AC 1平面11B BCC ；
（2）求二面角C AC E --1的平面角的余弦值．
A
A 1
如图，椭圆E ：()222210x y a b a b
+=>>经过点()0,1A -，且离心率为2
2．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），
证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．
（20）（本小题满分12分）
甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：
（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元), 求X 的分布列和数学期望； （ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，
请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数
38
39 40 41 42 天数 20 40
20
10
10
乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数
38
39 40 41 42 天数 10
20
20
40
10
已知函数()()()2x f x x e a a R =-+∈， （1）试确定函数()f x 的零点个数；
（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122x x +<．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的
第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C 的圆心C 4π⎫
⎪⎭
，半径r = （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若0,
4πα⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭，直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长AB 的取值范围．
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()32f x x x k =-+-+． （1）若()3f x ≥恒成立，求k 的取值范围； （2）当1k =时，解不等式：()3f x x <．。