模糊计算

• 2）．交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
• 3）．结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
• 4）．吸收律：A∪(A∩B)=A ；A∩(A∪B)=A • 5）．分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C) • 6）．对偶律： A B A B
2）A与B的交（逻辑与）记为 A B ，其隶属函 数定义为： AB (u) A (u) B (u) min A (u), B (u) 3）A的补（逻辑非）记为 A ，其传递函数定义 为： A (u) 1 A (u)
运算法则
• 1）．幂等律：A∪A=A，A∩A=A
• 例 设论域x={a1，a2，a3}，y={b1，b2，b3}，
0.5 1 0.1 z={c1，c2，c3}，已知 A a1 a2 a3 0.1 1 0.6 0.4 1 B C ， 。试确定“If b1 b2 a3 c1 c2
A AND B then C”所决定的模糊关系R，以及 输入为 A1 1.0 0.5 0.1 , B1 0.1 1 0.6
（2）并运算算子 设C=A∪B ① 模糊并算子： c ( x) Max A ( x), B ( x)
② 概率或算子： c ( x) A ( x) B ( x) A ( x) B ( x)
1, A ( x) B ( x) ③ 有界和算子： c ( x) Min
四、模糊逻辑推理
• 1、模糊语句 将含有模糊概念的语法规则所构成的语句称 为模糊语句。根据其语义和构成的语法规则不同， 可分为以下几种类型： • （1）模糊陈述句：语句本身具有模糊性，又称为 模糊命题。如：“今天天气很热”。
• （2）模糊判断句：是模糊逻辑中最基本的语句。 语句形式：“是 a” ，记作（ a ），且 a 所表示的概 念是模糊的。
• 广义拒式假言推理法(GMT, Generalized Modus Tollens) 的推理规则可表示为： 前提1：y为B 前提2：若x为A，则y为B 结 论：x为A’ • 模糊变量的隐含函数基本上可分为三类，即模糊 合取、模糊析取和模糊蕴涵。
3、模糊判决方法
在推理得到的模糊集合中取一个相对最能代 表这个模糊集合的单值的过程就称作解模糊或模 糊判决（Defuzzification）。模糊判决可以采用不 同的方法：重心法、最大隶属度方法、加权平均 法、隶属度限幅元素平均法。
A B ( A(ui ) B(ui ))
i 1
Fra Baidu bibliotek
n
三、隶属函数
模糊集合是用隶属函数描述的。 隶属度函数：模糊集合的特征函数（取值范围在 [0,1]区间） 由于模糊集理论的研究对象具有”模糊性”和经 验性,因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实 的。 确定隶属度函数的方法具有主观性，但主观的 反映和客观的存在有一定的联系，是受客观制约的。 1 确定隶属函数应遵守的一些基本原则： 1）、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合 从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的 值是必须是单调递减的,而不允许有波浪形。 凸模糊集合：隶属函数呈单峰馒头形。
模糊控制的特点：
• 1、无需知道被控对象的数学模型； • 2、是一种反映人类智慧的智能控制方法， 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如 “高”、“中”、“低”等，且控制量由 模糊推理导出； • 3、易于被人们所接受（核心：控制规则）； • 4、构造容易； • 5、鲁棒性好。
二、模糊集合
1、模糊集合的相关概念 • 集合：具有某种特定属性的对象的全体。 注:1)集合中的个体通常用小写字母表示，如：x； 2)集合的全体又称为论域，通常用大写字母 表示，如：U。 xU表示元素（个体）x在集合论域（全体） U内。 经典集合对事物用“1”“0”来表示“属于” 或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属 度(Degree of membership)”来描述元素的隶属 程度，隶属度是0到1之间连续变化的值。
2）、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。 3）、隶属度函数要符合人们的语言顺序，避免不恰 当的重叠 2 隶属度函数确立的方法： 1）、模糊统计法 基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属 于一个可变动的清晰集合A*作出清晰的判断。
模糊统计法的特点：
v0 A的次数 v0对A的隶属频率＝ 试验总次数 n
• （1）交运算算子 ： 设C=A∩B
c ( x) Min A ( x), B ( x) ① 模糊交算子：
c ( x) A ( x) B ( x) ② 代数积算子：
c ( x) Max0, A ( x) B ( x) 1 ③ 有界积算子：
将A1×B1矩阵扩展成如下行向量 (A×B)T2 0.1 0.5 1 0.1 0.5 0.5 0.1 0.1 0.1 最后得: C1=


0.1 0.4 0.4 0.1 0.4 0.4 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5 1 0.1 0.5 0.5 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5 0.5 0.1 1 0.6 0.1 0.1 0.1 0.4 0.5
A B A B
3、模糊算子
• 模糊集合的逻辑运算实质上就是隶属函数的运算 过 程 。 采 用 隶 属 函 数 的 取 大 （ MAX ） 或 取 小 （ MIN ）进行模糊集合的并、交逻辑运算是目前 最常用的方法。但还有其它公式，这些公式统称 为“模糊算子”。
设有模糊集合A、B和C，常用的模糊算子如下：
• （3）模糊推理句：语句形式：若是，则是。则为 模糊推理语句。
2、模糊推理
模糊逻辑推理是建立在模糊逻辑基础上的不 确定性推理方法，是在二值逻辑三段论基础上发 展起来的。这种推理方法以模糊判断为前提，动 用模糊语言规则，推导出一个近似的模糊判断结 论。已经提出了Zadeh法，Baldwin法、Tsukamoto 法、Yager法和Mizumoto法等方法。 • 广义取式假言推理法(GMP)推理规则可表示为： 前提1：x为A’ 前提2：若x为A，则y为B 结 论：y为B’
a1 a2 a3 b1 b2 b3
时的输出C1。
• 解：
0.5 0.1 0.5 0.5 1 0.1 1 0.6 0.1 1.0 0.6 A×B= 0.1 0.1 0.1 0.1
将A×B矩阵扩展成如下列向量： T T1 (A×B) 0.1 0.5 0.5 0.1 1.0 0.6 0.1 0.1 0.1 R=(A×B)T1×C
模糊计算
Fuzzy Computation
目录
• 一、概述 • 二、模糊集合 • 三、隶属函数 • 四、模糊推理
一、概述
•
•
“模糊”(Fuzzy)：指概念外延不明确的 不确定性。
模糊 比 “清晰” 所包含的信息量更大，内 涵更为丰富，更贴近客观世界。为了克服经典集 合不能表现模糊概念的限制，美国计算机与控制 论专家L.A. Zadeh于1965年提出模糊集合的重要概 念，并将模糊集合论应用于近似推理方面，形成 了可能性理论。现如今模糊逻辑和可能性理论已 广泛应用于专家系统和智能控制中，模糊计算就 是以模糊逻辑为基础的计算。
为了表示模糊概念，现引入模糊集合和隶 属函数的概念：
1 x A A(x ) (0, 1) x属于A的程度 0 x A
其中A称为模糊集合，由0,1及 A ( x) 构成， 表示元素 x 属于模糊集合 A 的程度，取值范 围为[0,1]，称 A ( x) 为x属于模糊集合A的隶 属度。
T
即：C1
0. 4
c1

0 .5
c2
• ①随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定 值就是v0对A的隶属度。 • ②计算量大。
2）、主观经验法 • 当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合 个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。 这种确定隶属函数的方法已经被广泛应用。
3）、神经网络法
• 利用神经网络的学习功能，由神经网络自动生 成隶属函数，并通过网络的学习自动调整隶属函 数的值。
2、模糊集合的运算 • 设A和B为论域U中的两个模糊集，其隶属函数分 别为 A 和 B ，则对于所有 u U ，存在下列运 算： 1）A与B的并（逻辑或）记为 A B，其隶属函数 定义为：
A B(u ) A(u ) B(u ) max
A(u ),B(u )
（3）集合间的运算
设A和B是论域U上两个模糊集，则
①
②
A与B的外积： A B uU ( A(u ) B(u )) 特别的，当U={u1, u2,, un }时，有
n i 1
A与B的内积： A B uU ( A(u ) B(u ))
A B (A(ui ) B(ui ))
0.1 0.5 0.5 0.1 1.0 0.6 0.1 0.1 0.1 0.4 1
T
0.1 0.4 0.4 0.1 0.4 0.4 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5 0.5 0.1 1 0.6 0.1 0.1 0.1
T
当输入为A1和B1时，有
1 0.1 0.5 1 (A1×B1) 0.5 0.1 0.5 1 0.1 0.5 0.5 0.1 0.1 0.1 0.1