必修二立体几何面面垂直(课堂PPT)
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高中数学人教版必修2-面面垂直的判定 课件(共17张PPT)
D1 A1
D O
A
C1
B1 C
B
1.二面角的范围
。
。
[0 ,180 ]
2.直二面角
A
平面角为直角的二面角
叫做直二面角
O
B
归纳：求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角；
（2）证明其符合定义(垂直于公共棱)；
（3）计算.
两个平面垂直的定义
B A
O
如果两个平面相交 所成的二面角是直二 面角，那么我们称这 两个平面相互垂直.
分析：线面垂直 面面垂直
已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD， 你能发现哪些平面互相垂直的，为什么?
A
B
D
C
三、证明题：
在空间四边AC的中点.
求证:平面BEF 平面BDG。 A
E
G D
B F
C
归纳小结：
（1）二面角的定义 (2)判定面面垂直的两种方法： ①定义法（直二面角） ②根据面面垂直的判定定理 (3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出 面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问
面面垂直的判定
宁德市实验学校
观察下面两个图形,它们之间有什么关系?
墙所在的平面和地面所在的平面之间的位置关 系？
直观感受面面所成的角
思考如何刻画面面所 成的角？
二面角的定义
A
O
两个半平面
B
在两个半平面上
垂直于棱的两条 射线
公共棱
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，找出二面角C1—BD—C的平面角。
题来解决.
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谢谢大家！
一日不读口生，一日不写手生。 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 不要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 付出了不一定有回报，但不付出永远没有回报。 天才是百分之一的灵感加上百分之九十九的努力。 学到很多东西的决窍，就是一下子不要学很多的东西。 学贵精不贵博。……知得十件而都不到地，不如知得一件却到地也。 困难越大，荣耀也越大。 每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。 人若软弱就是自己最大的敌人。 不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。 当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 目标不是都能达到的，但它可以作为瞄准点。 没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。 人不能创造时机，但是它可以抓住那些已经出现的时机。 如果放弃太早，你永远都不知道自己会错过什么。 勇敢地迎接逆境，即使不能实现最初的梦想，也会打开另一扇梦想的大门。 努力耕耘，少问收获。 不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 人生道路，绝大多数人，绝大多数时候，人都只能靠自己。
高中数学人教A版必修第二册《空间直线、平面的垂直---直线与平面、平面与平面垂直的性质》名师课件
掌握平面与平面垂直的性质定理.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
核心素养
逻辑推理
逻辑推理
学习目标
课程目标
1.理解直线和平面、平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2.通过对性质定理的理解和应用,培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理:探究归纳直线和平面、平面和平面垂直的性质定理,线线垂直、线面垂直、
变式训练
3.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且∠DAB＝60°,G为AD边
的中点,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB.
证明
(1)因为在菱形ABCD中,G为AD的中点, ∠DAB＝60° ,所以BG⊥AD.
复习引入
直线与平面垂直的定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们说直
线与平面互相垂直,记作 ⊥ .
直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平
面垂直.
复习引入
平面与平面垂直的定义
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.
求证:(1)DE＝DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.
证明
(1)如图,取EC的中点F,连接DF.
因为EC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EC⊥BC.
易知DF//BC,所以DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中
因为EF= EC,EC=2BD,所以EF=BD.
又FD=BC=AB所以Rt△EFD≌Rt△DBA ,故DE=DA.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,所以BG⊥平面PAD.
高中数学立体几何之线线垂直、线面垂直、面面垂直(公开课)(共16张PPT)
∵ OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,∴ OM=
2 ∴ 由余弦定理可得：cos∠OEM= 4
1 AC=1， 2
【例2】四面体ABCD中,点O,E分别是BD,BC的中
A
点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= 2 .
(3)求点E到平面ACD的距离.
（3）设点E到平面ACD的距离为h.∵ VE-ACD=VA-CDE
D1
A1
1 1
B1
C1
D
2
C
E B
A
例题讲解
实战演练
作业布置
【例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,
点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. 1 解：V= 3 · h·S△ECD
D1
A1
1
B1 D
2
C1
1 1 = 3· D1D · 2 S△ECD
∴ AE⊥A1D,
又∵ AD1∩AE=A,
D1 A1 D A
B1
C1
∴ A1D⊥平面AD1E,
D1E⊂平面AD1E,
C
E
B
∴ D1E⊥A1D.
例题讲解
实战演练
作业布置
【例2】如图,四面体ABCD中,点O,E分别
是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,
AB=AD= 2 (1)求证:AO⊥平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.
A M O
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 解： (2)取AC的中点M，连接OM，ME，OE，
∵点O，E分别是BD，BC的中点
∴ OE
D E
苏教版高中数学必修二课件(立体几何初步)面面垂直的性质教学
[分析] 在β内作BE⊥CD。要证AB⊥β，只需证AB垂直于β 内的两条相交直线就行。 而我们已经有AB⊥CD，只需寻求另一条就够了。 而我们还有α⊥β这个条件没使用，由α⊥β定义，则 ∠ABE为直角，即有AB⊥BE，也就有AB⊥β，问题 也就得到解决．
•
[两个平面垂直的性质定理1] 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一个平面． 为作辅助线提 供了理论依据
•
课堂练习： 2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α， β，γ表平面）。 ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。 其中不正确的命题的个数是（ D ）． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
•
3．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若 AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°， 则此二面角的大小是（ D） A.30°，B.30°或150°，C.45°，D.45°或135°。
课堂小结
1.定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的
2.理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义
3.证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 4.解题过程中应注意充分领悟、应用
线线垂直 面面垂直 线面垂直 线面垂直
•
面面垂直 线线垂直
布置作业：
•
A.
a 2
B.
2 a 2
C.
a
D.
2a
.
提示：利用直线与平面所成角的定义和垂直关系得： ∠BAB′=30° ，∠ABA′=45° ∴在Rt△BB′A中， BB′=AB/2=a， 在Rt△BA′A中 在Rt△BB′A′中，
•
[两个平面垂直的性质定理1] 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它 们交线的直线垂直于另一个平面． 为作辅助线提 供了理论依据
•
课堂练习： 2．给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α， β，γ表平面）。 ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。 其中不正确的命题的个数是（ D ）． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
•
3．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若 AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°， 则此二面角的大小是（ D） A.30°，B.30°或150°，C.45°，D.45°或135°。
课堂小结
1.定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的
2.理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义
3.证明面面垂直要从寻找面的垂线入手 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内 4.解题过程中应注意充分领悟、应用
线线垂直 面面垂直 线面垂直 线面垂直
•
面面垂直 线线垂直
布置作业：
•
A.
a 2
B.
2 a 2
C.
a
D.
2a
.
提示：利用直线与平面所成角的定义和垂直关系得： ∠BAB′=30° ，∠ABA′=45° ∴在Rt△BB′A中， BB′=AB/2=a， 在Rt△BA′A中 在Rt△BB′A′中，
高中数学第一章立体几何初步1.2.3第2课时平面与平面垂直课件新人教B版必修2
1.条件：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与 第三个平面相交所得的两条交线互相垂直. 2.结论：两个平面互相垂直. 3.记法：平面α，β互相垂直，记作α⊥β.
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种 方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如 果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什 么关系？
解析 ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD， ∴AF∥DE. 又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形， 故EF＝AD＝6.
1 2 34 5
解析 答案
5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，
SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.
求证：平面EBD⊥平面ABCD.
证明 连接AC与BD交于O点，连接OE.梳理文字语言图形语言符号语言
如果两个平面互相 垂直，那么在垂直一于个它们 平交线面的内直_线_________
垂直于 另一个平面
α⊥β，α∩β＝CD， BA⊂α，BA⊥CD， B为垂足⇒BA⊥β
[思考辨析 判断正误] 1.若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直.( √ ) 2.若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.( × ) 3.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此 垂线必垂直于另一个平面.×( )
谢谢
√A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B.它们两两垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
1 2 34 5
解析 答案
3.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
思考 建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种 方法来检查墙与地面是否垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如 果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什 么关系？
解析 ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD， ∴AF∥DE. 又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形， 故EF＝AD＝6.
1 2 34 5
解析 答案
5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，
SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.
求证：平面EBD⊥平面ABCD.
证明 连接AC与BD交于O点，连接OE.梳理文字语言图形语言符号语言
如果两个平面互相 垂直，那么在垂直一于个它们 平交线面的内直_线_________
垂直于 另一个平面
α⊥β，α∩β＝CD， BA⊂α，BA⊥CD， B为垂足⇒BA⊥β
[思考辨析 判断正误] 1.若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直.( √ ) 2.若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β.( × ) 3.已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此 垂线必垂直于另一个平面.×( )
谢谢
√A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B.它们两两垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
1 2 34 5
解析 答案
3.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结PPT课件
精品课件
23
【证明】(1)连结AC，取其
中点O，连结NO、MO，并
延长MO交CD于R.
因为N为PC的中点，
所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA.
而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所
以NO⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为
AC的中点，所以MO⊥CD.
而 MO∩NO ＝ O ， 所 以 CD⊥ 平 面 MNO， 所 以
B B1上 的 动 点 ．
1求 证 ： D1P AC；
2 设 AC BD＝ O，
求 当 B1P 等 于 多 少 时 ， PB
PO 平 面 D1AC ?
精品课件
10
【 解 析 】1 证 明 ：
因 为 ABCD为 菱 形 ， 所 以 AC BD. 连 结 B1D1. 因 为 D1D 底 面 ABCD， 所 以 AC D1D. 又 BD D1D＝ D， 所 以 AC 平 面 BB1D1D . 因 为 D1P 平 面 BB1D1D， 所 以 D1P AC .
通过计算证明线 线垂直
【例3】 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1中，E是BB1的中点， O 是 底 面 正 方 形 ABCD 的 中 心．求证：OE⊥平面ACD1.
精品课件
13
【
证
明
】
如
图
，
连
结
AE，
C
E，
D 1O ，
D
1
B
，
1
D 1E
.
设
正
方
体
D
B
的
1
棱
长
为
a .易
证
北师大版必修第二册第六章立体几何初步专题课：平面与平面垂直的证明技法课件
直：即在一个面内找一条线与另一个面垂直
证明：取BC的中点D，连接AD，SD。由题意知
, 为等边三角形，所以 = ,易证 ⊥
。
因为 ∆是等腰直角三角形，所以 =SD，可得
2
2
2
2
2
2
+ = + = = 。
在 ∆中，由勾股定理的逆定理知 ⊥SD.由 ∩
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.两个平面与第三个平面垂直，则这两个平面互相平行
D.两个平行平面中的一个平面与第三个平面垂直，则另一
个平面也与第三个平面垂直
分析：本题主要考查空间直线与直线，直线与平
面，平面与平面的位置关系。
解：对于A，平行于同一个平面的两条直线可能
的位置关系有相交、异面、平行，因此不一定是
互相平行。
对于B，垂直于同一条直线的两条直线的位置关
系有平行、相交、异面，因此不一定是互相平行。
对于C，如图3所示，平面ABC与平面ABE都垂直
平面BCE，但平面ABC与平面ABE相交 。D是正
确的。
说明
这种方法用的比较少，在理论中行得通，
在实践中，针对性的题比较少。
四、向量法
已知两个平面α，β，两个平面的法向量分别为
垂线在平面BDM内.
(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.
∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC，
又由已知，易得DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝EC＝BD，
且由已知，易得FD＝BC＝AB，
∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故ED＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，
则MN∥EC，又BD∥CE，且MN=EC，又BD=CE
证明：取BC的中点D，连接AD，SD。由题意知
, 为等边三角形，所以 = ,易证 ⊥
。
因为 ∆是等腰直角三角形，所以 =SD，可得
2
2
2
2
2
2
+ = + = = 。
在 ∆中，由勾股定理的逆定理知 ⊥SD.由 ∩
B.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.两个平面与第三个平面垂直，则这两个平面互相平行
D.两个平行平面中的一个平面与第三个平面垂直，则另一
个平面也与第三个平面垂直
分析：本题主要考查空间直线与直线，直线与平
面，平面与平面的位置关系。
解：对于A，平行于同一个平面的两条直线可能
的位置关系有相交、异面、平行，因此不一定是
互相平行。
对于B，垂直于同一条直线的两条直线的位置关
系有平行、相交、异面，因此不一定是互相平行。
对于C，如图3所示，平面ABC与平面ABE都垂直
平面BCE，但平面ABC与平面ABE相交 。D是正
确的。
说明
这种方法用的比较少，在理论中行得通，
在实践中，针对性的题比较少。
四、向量法
已知两个平面α，β，两个平面的法向量分别为
垂线在平面BDM内.
(1)如图所示，取EC的中点F，连接DF.
∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC，
又由已知，易得DF∥BC，
∴DF⊥EC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，EF＝EC＝BD，
且由已知，易得FD＝BC＝AB，
∴Rt△DFE≌Rt△ABD，故ED＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，
则MN∥EC，又BD∥CE，且MN=EC，又BD=CE
高中数学——面面垂直的性质 PPT课件 图文
[两个平面垂直的性质定理2] 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点
垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
练习．在互相垂直的两个平面中，下列命题中正
确命题的个数为 [ ]
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的无数多条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平
已知： α⊥γ ，β ⊥γ ，α ∩ β =l 求证：l ⊥γ
α
β
lB
γ
A
例 4：如图，平面 AED⊥平面 ABCD，⊿AED 是等边
三角形，四边形 ABCD 矩形，且 AD= a ,AB= 2a ,
(1) 求证：EA⊥CD (2) 求 EC 与平面 ABCD 所成的角
E 解（1）∵平面AED⊥平面ABCD 又CD⊥AD ∴CD⊥平面AED ∵AE在平面AED内 ∴CD⊥EA
(2) 若E、F分别是AB、BC的中点，
D
求证： 平面A1C1FE⊥平面B1D
(3) 若G是BB1的中点
A
E
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
D1
A1
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相
垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
练习．在互相垂直的两个平面中，下列命题中正
确命题的个数为 [ ]
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的无数多条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平
已知： α⊥γ ，β ⊥γ ，α ∩ β =l 求证：l ⊥γ
α
β
lB
γ
A
例 4：如图，平面 AED⊥平面 ABCD，⊿AED 是等边
三角形，四边形 ABCD 矩形，且 AD= a ,AB= 2a ,
(1) 求证：EA⊥CD (2) 求 EC 与平面 ABCD 所成的角
E 解（1）∵平面AED⊥平面ABCD 又CD⊥AD ∴CD⊥平面AED ∵AE在平面AED内 ∴CD⊥EA
(2) 若E、F分别是AB、BC的中点，
D
求证： 平面A1C1FE⊥平面B1D
(3) 若G是BB1的中点
A
E
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
D1
A1
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相
人教B版高中数学必修二课件1.2.3面面垂直应用
符号语言
α A
l
a
a
β
l
B
C
a l
练习：
1、下列命题中错误的是（）B
α α A如果平面⊥平面,那么β平面内一定存在直线平行
于平面
β
α α B如果平面⊥平面,那么β平面内所有直线都垂直于
平面
β
α α C如果平面不垂直于平面，则平β 面内一定不存在直
E
F
C B
D
O A
8.四面体SABC中，△ABC是等腰三角形， AB=BC=2a，∠ABC=1200，且SA⊥平面ABC， SA=3a。求A到平面SBC的距离。
S
关键：
构造BC⊥ASD面 →ASD⊥CSD→
构造AH⊥CSD面
H
A
C
B
D
高中数学课件
灿若寒星整理制作
面面垂直应用
平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直.
符号语言:
β
l
l
l 面
线面垂直
α
面面垂直
平面与平面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面
A3B2C1D0
练习：
3.已知PD矩形平面ABCD所在平面, 图中互相垂直的平面有几对?
P
D A
C B
练习：
4．如图在三棱锥 S—ABC 中，
SA⊥平面 ABC，平面 SAB⊥平面 SBC.
求证：AB⊥BC； S
关键：证明BC⊥ABS面 H
A
注意挖掘面面垂直中隐 含的线面垂直关系!
面面垂直课件
5 P
3 60
E
B
0
a
A
例 • 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、
B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面 内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
C A D B
能力·思维·方法
例.如图，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点. (1)证明AB1∥平面DBC1. (2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二 面角α的度数. A A1
∠A O B
B1 B
？
l
O1
∠A1O1B1 平面角是直角的二面角 叫做直二面角
A A1
O
9
⑵二面角的平面角的取 值范围是 [0 ,180 ]
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
注意：
A
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
。
C
B
D
E
即AB⊥BE ∴AB⊥ β .
又∵CD∩BE=B，
性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .
例2.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必 在第一个平面内.
P
b a b
a
P
c
c
本课小结:
定义:如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相 互垂直.
3 60
E
B
0
a
A
例 • 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、
B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面 内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
C A D B
能力·思维·方法
例.如图，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点. (1)证明AB1∥平面DBC1. (2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二 面角α的度数. A A1
∠A O B
B1 B
？
l
O1
∠A1O1B1 平面角是直角的二面角 叫做直二面角
A A1
O
9
⑵二面角的平面角的取 值范围是 [0 ,180 ]
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
注意：
A
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
。
C
B
D
E
即AB⊥BE ∴AB⊥ β .
又∵CD∩BE=B，
性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .
例2.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必 在第一个平面内.
P
b a b
a
P
c
c
本课小结:
定义:如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相 互垂直.
人教A版高中数学必修2课件2.3.2面面垂直的判定课件
面面垂直的判定
【典型例题】 如图，在立体图形D-ABC中，若AB=CD,AD=CD, E是 AC的中点，则下列命题中正确的是（ ） （A）平面ABC⊥平面ABD （B）平面ABD⊥平面BCD （C）平面ABC⊥平面BDE ，且平面ADC⊥平面 BDE （D）平面ABC⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE
分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内 有一直线垂直于另一平面即可，此【变式训练】
证明：如图，任取点A ，作AB ⊥SB 于B ，过B 作 BC ⊥SC于C ，连结AC ． ∵ SB=AS ·cos α ，SC=SB ·cosβ ， 故 SC=AS ·cos α ·cosβ ．又由cos α ·cosβ = cos θ ， 则 SC=AS ·cos θ ，从而可得 ∠ ACS=90 ° ， 即AC ⊥SC ，已作BC ⊥ SC ，故SC ⊥ 平面ACB ， 即有 AB ⊥ SC，已作AB ⊥SB ，从而AB ⊥ 平面 BSC， 故平面 ASB ⊥平面 BSC．
面面垂直的判定
【典型例题】
分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中 一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平 面垂直. 解：因为 AB=CD且E是AC的中点，所以BE ⊥AC, 同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因 为 AC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE . 又由于 AC 平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面 BDE.所以选C.
面面垂直的判定
【典型例题】 说明：本题意图是训练学生观察图形，发现 低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一 个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等 腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂 直,由线面垂直可得到面面垂直.
面面垂直的判定
高二数学(人教b版)必修2课件：1.2.3空间中的垂直关系(2)面面垂直(共15张ppt)
1.2.2 空间中的垂直关系
2020年5月10日
2
一、复习引入
我们研究了直线与平面垂直之后，接下来就要 研究空间垂直中的另一种形式，平面与平面的垂直。
3
二、提出问题
思考：空间中的两个平面垂直如何定义？
我们的教室的墙面与地面是垂直的，这两个面 垂直你是从哪里看出来的？
如果两个平面的交线与第三个平面垂直，又这 两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂 直，则称这两个平面互相垂直。6三、ຫໍສະໝຸດ 念形成概念1.直线与平面垂直
平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于 它们交线的直线垂直于另一个平面。
符 号 表
I
b
a
a
示
a b
β a
b α
7
四、应用举例
例1.如图AB是平面的垂线, AC是平面的斜线 ，CD ，CD BC。求证 :
(1)CD AC;(2)平面ABC 平面ACD
空间问题
平面问题
13
七、布置作业
课本第51页，练习B，2，3，4 弹性作业： 课本第 页：优化设计，同步测控，第 页，我夯 基，我达标
14
下课
1
书少成天勤什怀 劳才功山么小才的就天=有艰孩是也不在苦子百下路不展分学于的勤之望问，劳习勤一为未动的，的来求径奋+老灵,正人，感确真学来努什但，的懒百海么知徒力方惰分无法也的之伤才，+孩崖九学少悲能子十苦学谈享不九成空作受的到做话现汗舟功!在水!！! 人!！!!
普通高中课程标准数学5(必修)
第一章 立体几何初步
β
平面α与β垂直记作： α⊥β
α
4
三、概念形成
概念1.平面与平面垂直
2020年5月10日
2
一、复习引入
我们研究了直线与平面垂直之后，接下来就要 研究空间垂直中的另一种形式，平面与平面的垂直。
3
二、提出问题
思考：空间中的两个平面垂直如何定义？
我们的教室的墙面与地面是垂直的，这两个面 垂直你是从哪里看出来的？
如果两个平面的交线与第三个平面垂直，又这 两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂 直，则称这两个平面互相垂直。6三、ຫໍສະໝຸດ 念形成概念1.直线与平面垂直
平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于 它们交线的直线垂直于另一个平面。
符 号 表
I
b
a
a
示
a b
β a
b α
7
四、应用举例
例1.如图AB是平面的垂线, AC是平面的斜线 ，CD ，CD BC。求证 :
(1)CD AC;(2)平面ABC 平面ACD
空间问题
平面问题
13
七、布置作业
课本第51页，练习B，2，3，4 弹性作业： 课本第 页：优化设计，同步测控，第 页，我夯 基，我达标
14
下课
1
书少成天勤什怀 劳才功山么小才的就天=有艰孩是也不在苦子百下路不展分学于的勤之望问，劳习勤一为未动的，的来求径奋+老灵,正人，感确真学来努什但，的懒百海么知徒力方惰分无法也的之伤才，+孩崖九学少悲能子十苦学谈享不九成空作受的到做话现汗舟功!在水!！! 人!！!!
普通高中课程标准数学5(必修)
第一章 立体几何初步
β
平面α与β垂直记作： α⊥β
α
4
三、概念形成
概念1.平面与平面垂直
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说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。）
2 判定定理： 要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到
另一个平面的一条垂线。 （线面垂直面面垂直）
5
说一说 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检
查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。
大家能否说出这墙面 与地面垂直的依据吗？
§9.7.3 面面垂直
大家能否判断这墙面 是否和地面垂直？
1
问题引入 建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检
查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。大家知 道其中的理论根据吗？
——它就是本节课的内容之一：平面与平面垂直的判定定理。 2
两个平面垂直的定义： 相交成直二面角的两个平面, 叫做互相垂直的平面．
6
议一议
α
请判断命题的真假？
A D
B
假
β
C
7
猜一猜
α
A D
B
β
C
α
A D
B
β
C
8
面面垂直性质定理的证明： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于
它们的交线的直线垂直于另一个平面．
α
A D
BE
β
C
9
面面垂直应用： 例1.
10
面面垂直应用： 练习1.
11
面面垂直应用： 例2.
12
面面垂直应用： 练习.
13
面面垂直应用：
课堂训练
1.
B
2. D
14
面面垂直应用： 作业 1.
2.
15
忆一忆
1 两个平面垂直的判定定理和性质定理
2 数学的“转化思想”
线线垂直
线面垂直
面面垂直
16
同学们再见！
17
两平面垂直的判定定理：（线面垂直＝>面面垂直）
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 这两个平面互相垂直．
图形语言：
α
符号语言：
l
β
3
面面垂直判定定理的证明： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这
两个平面互相垂直．
α
A D
BE
β
C
4
两个平面垂直的判断方法：
1 定义法：
找二面角的平面角