锐角三角函数超经典讲义

锐角三角函数

知识点一：锐角三角函数

1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。

2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

斜边

的对边

A

A

∠

=

sin。

3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即

斜边

的邻边

A

A

∠

=

cos。

4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即

的邻边

的对边

A

A

A

∠

∠

=

tan。

sinα，cosα，tanα都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。

考点一：锐角三角函数的定义

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=

5

4

，则AC：BC：AB=（）

A、3：4：5

B、5：3：4

C、4：3：5

D、3：5：4

2、已知锐角α，cosα=

3

5

，sinα=_______，tanα=_______。

3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=

1

3

，则BC等于_______。

5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（）

A、ncosB

B、

1

n

cosB C、

cos

n

B

D、不变

考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形

例1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE BC

=，DF AE

⊥，垂足为F，连接DE。

（1）求证：ABE

△DFA

≌△；

（2）如果10

AD AB

=，=6，求sin EDF

∠的值。

6、如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC面积（结果可保留根号）。

7、如图（1），∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一个点P（3，4），则sinα=______

8、如图（2）所示，在正方形网格中，sin∠AOB等于（）

A

5

B

25

C、

1

2

D、2

注意：正弦、余弦、正切是在

一个直角三角形中引入的，实

际上是两条边的比，它们是正

实数，没单位，其大小只与角

的大小有关，而与所在直角三

角形无关。

9、如图（3），在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ）

A 、2

B 、

2

2

C 、

63

D 、

33

10、如图（4），直径CD 为10的⊙A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ).

A 、

1

2

B 、

3

4

C 、

3

2

D 、

45

11、如图（5），A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ）

A 、

12

B 、

13

C 、

14

D 、

24

12、如图（6），菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3

sin 5

A =

，则这个菱形的面积= cm 2。

图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）

13、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=

3

5

，点D 在BC 边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD 的正切值。

14、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。

15、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠BCD=90°，AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2。 （1）求证：DC=BC

（2）E 是梯形ABCD 内一点，F 是梯形ABCD 外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，是判断△ECF 的形状，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值。

【知识点二】 30°、45°、60°的三角函数值

三角函数\锐角α

30°

45°

60°

sin α 21 22 23 cos α 23 2

2 2

1 tan α

3

3 1

3

考点一：利用特殊角的三角函数值进行计算 16、计算： （1）01

9(π4)sin 302

--- （2）2

01()

(32)2sin 3032

--+︒+-

（31

182sin 45(2)3-⎛⎫

+-π- ⎪⎝⎭

（4）2sin45°＋3cos30°－

2

3

17、∠B 是Rt △ABC 中的一个内角，且sinB=23，则cos 2

B

=（ ）

A 、

2

1

B 、

23

C 、

2

2

D 、

2

1 18、在△ABC 中，a =3，b =4，∠C=60°，则△ABC 的面积为________。 19、Rt △ABC 中，∠C=90°，c =12，tanB=3

3

，则△ABC 的面积为（ ） A 、363 B 、183 C 、16 D 、18 20、如图所示，在直角坐标系中，OP=4，OP 与x 轴正半轴的夹角为30°，则点P 的坐标为（ ）

A 、（2、3-

B 、（232）

C 、（2，23

D 、（232）

21、已知PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PA=3APO=30°，则⊙O 的半径长为_______。 22、在菱形ABCD 中，已知其周长为16 cm ，较短对角线长为4 cm ，求菱形较小角的正弦值 和余弦值。

23、如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限内，点B 的坐标为（3，0），OA=2，∠AOB=60°。 （1）求点A 坐标；

（2）若直线AB 交y 轴于点C ，求△AOC 的面积。