函数零点 高考专题

函数零点

例1：函数的零点所在的一个区间是（ ） A ． B ． C ． D ．

【答案】C

【解析】，，，

，

，所以零点在区间上．

例2：函数的零点的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C

【解析】当时，直接解方程，即，解得， 当时，为增函数，

，，所以在有一零点，

即在有一个零点，

综上，函数有两个零点，故选C ．

例3：已知函数与的图象有且仅有两个公共

()2x f x e x =+-(2,1)--(1,0)-(0,1)(1,2)()22220f e --=--<()11120f e --=--<()00020f e =+-<()1120f e =+->()()100f f ∴<(0,1)()22,026lg ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩

0x ≤()0f x =220x -=2x =-0x >()26lg f x x x =-+(1)40f =-<(10)150f =>()f x (1,10)()f x (0,)+∞()f x ()1x

y a a =>()log 1a y x a =>1、判断零点所在区间

2、判断零点的个数

3、根据零点求参数的取值范围

点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ．

D ．

【答案】A

【解析】因为函数与的图像关于对称，

所以其公共点在上，

由已知图像与直线有两个公共点．

可转化为与有两个公共点，即有两解，

即，即， 令，所以， 当，单调递增；当，单调递减， 画出的图像，

则只需，有两个公共点，解得，故选A ．

一、选择题

1．函数的零点所在的大致区间是（ ） a 1

1e

a e <<1a e <<1e

e a e <()1x

y a a =>()log 1a y x a =>y x =y x =()log 1a y x a =>y x =y x =()1x

y a a =>x x a =ln ln x x a =ln ln x

a x

=()ln x h x x =

()21ln x

h x x

-'=()0,x e ∈()h x (),x e ∈+∞()h x ()h

x 10ln a e <<11,e

a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

()()()23

log 111

f x x x x =+-

>-

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】易知在上是连续增函数， 因为，， 所以的零点所在的大致区间是，故选B ．

2．已知函数，则函数的零

点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．6

【答案】C

【解析】令，则，

令，若，解得或，符合；

若，解得，符合． 作出函数的图象，如下图，时，；

时，；时，．

结合图象，若，有

3个解；若，无解；若，

有1个解．

所以函数的零点个数为4个，故选C ．

1,2()2,3()3,4()4,5()f x ()1,+∞()22log 330f =-<()3

3202

f =-

>()f x ()2,32log (1),(1,3)()4,

[3,)1x x f x x x ⎧+∈-⎪

=⎨∈+∞⎪-⎩

[]()()1g x f f x =-[]()()10g x f f x =-=[]()1f f x =()1f x =2log (1)1x +=1x =1

2x =-(1,3)x ∈-4

11

x =-5x =[3,)x ∈+∞()f x (]1,0x ∈-[)()0,f x ∈+∞()0,3x ∈()()0,2f x ∈[3,)x ∈+∞(]()0,2f x ∈()1f x =1

()2

f x =-()5f x =[]()()1

g x f f x =-

3．已知函数，函数有两个零点，则

实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ．

D ． 【答案】C

【解析】当时，设，

则，

易知当时，，即是减函数，∴时，

， 又时，且，

而时，是增函数，．

有两个零点，即的图象与直线有两个交点，

函数的图象如下所示：

所以，故选C ．

()22,22,2x x x

x f x e x x ⎧+>⎪

=⎨⎪+≤⎩

()()g x f x m =-m 28,

e ⎛

⎫-∞ ⎪⎝

⎭

28,4e ⎛⎤

⎥⎝⎦

280,e ⎛⎫

⎪⎝⎭[)28,4,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝

⎭2x ≥()22x

x x

h x e +=()()()2222222x x

x

x x e x x e x h x e e

+-+-'=

=-2x >()0h x '<()h x 2x =()()2

max 8

2h e h x ==x →+∞()0h x →()0h x >2x ≤()2f x x =+()24f =()()g x f x m =-()y f x =y m =()22,22,2x

x x

x f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩

2

8

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