角平分线辅助线专题练习

D

A

B

C

角平分线专题

1、 轴对称性：

内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。

思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图，

2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形

3、 定义：带来角相等。

4、 补充性质：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则有AB:AC=BD:DC

针对性例题：

例题1：如图，AB=2AC ,∠BAD=∠DAC,DA=DB

求证：DC ⊥AC

B

例题2：如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH

例题3：如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．：

思路一：利用“角平分线的对称性”来构造

因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有 角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形．

证法1：如图1，在BC 上取BE=AB ，连结DE ，∵BD 平分

∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠A=∠DBE ，AD=DE ，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC ，DE=DC ，

则AD=DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ，

连结DE ，由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△EBF ，则AB=BE ，

BD 平分∠ABC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ），

∴AD=ED ，∠BAD=∠DEB ，又∠BAD+∠C=1800， ∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC ，则DE=DC ，∴AD=DC ． 说明：证法1，2，都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的．

证法3：如图3，延长BA 至E ，使BE=BC ，连结DE ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠C=∠E ，CD=DE ，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800， ∴∠E=∠DAE ，DE=DA ，则AD=DC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的．

B A

C D E 图1

B A

C

D

E

F 图2

B A

C

D E

图3

思路二：利用“角平分线的性质”来构造

由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以 过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形．

证法4：如图4，从D 分别作BC 、BA 的垂线，垂足为E 、F ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴DE=DF ，又∠BAD+∠C=1800，∠BAD+∠FAD=1800， ∴∠FAD=∠C ，∴△FAD ≌△ECD （AAS ），则AD=DC ．

例题4 已知：如图5，在△ABC 中，∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB .

求证：AC +CD =AB

证明：在AB 上截取AE=AC ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD = ∠DAB ，AD =AD ， ∴△CAD ≌△EAD ，∴∠DEA =90°，∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠B =45°， ∴∠B =∠BDE =45°

∴DE =BE ，∴AC +CD =AE +DE =AE +BE =AB ，即AC +CD =AB .

例题5．已知：如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，沿过B 点的一条 直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合，

当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 中点.

解：当∠A =30°时，点D 恰为AB 的中点.∵∠A =30°，∠C =90°(已知)，∴∠CBA =60°(直角三角形两锐角互余).又△BEC ≌△BED (已知)，∴∠CBE =∠DBE =30°，且∠EDB =∠C =90°(全等三角形对应角相等)，∴∠DBE =∠A (等量代换).∵BE =AE (等角对等边)，又∠EDB =90°， 即ED ⊥AB ，∴D 是AB 的中点(三线合一).

B A

C

D F

E 图4

角平分线定理使用中的几种辅助线作法

一、已知角平分线，构造三角形

例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1

()2

BE AC AB =

- 证明：延长BE 交AC 于点F 。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD 为∠BAC 的对称轴， 又因为BE ⊥AD 于F ，

所以点B 和点F 关于AD 对称，

所以BE=FE=1

2

BF ，AB=AF ，∠ABF=∠AFB 。

因为∠ABF ＋∠FBC=∠ABC=3∠C ，

∠ABF=∠AFB=∠FBC ＋∠C ， 所以∠FBC ＋∠C ＋∠FBC=3∠C ， 所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ，

所以BE=

12FC=12（AC －AF ）=1

2（AC －AB ）， 所以1

()2

BE AC AB =-。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

证明：经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。 因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠1=∠2， 所以PE=PD 。

在Rt △PBE 和Rt △PBC 中

BP BP

PE PD =⎧⎨

=⎩

所以Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ）， 所以BE=BD 。

因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ， 所以AE=CD 。

因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中

PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

2

1F E

D

C

B

A

N

P

E D

C

B

A