四边形中的几何结构(讲义及答案)

合集下载

【教育资料】四边形中的几何结构(讲义及答案)学习精品

四边形中的几何结构（讲义）课前预习条件的组合搭配是解决几何综合题目的基本思路，在进行组合搭配中往往遇到一些常用的结构．请根据提示，补全思路及图形：ACB DC AD B等腰+中点考虑．直角+中点考虑．ABO CAB D CD平行夹中点，．见中点，要，之后证全等．DA EGB F C多个中点，考虑．坐标系中见到中点，考虑．A N平行线+角平分线出现．三线中两线重合，考虑证．知识点睛1.几何计算、证明的基本思考流程①标注条件，合理转化；②组合特征，分析结构；③由因导果，执果索因．2.特殊四边形中隐含条件①平行四边形中隐含条件：平行、中点；②菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直；③矩形中隐含条件：平行、中点、垂直；④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直．3.四边形中常见几何结构举例①中点结构：直角+中点，平行+中点，多个中点；②旋转结构：等线段共点；③弦图结构：外弦图，内弦图；④面积结构：三个“一半”，平行转化．精讲精练1.如图，在平行四边形ABCD 中，BC=2AB，CE⊥AB 于点E，F为A D 的中点，若∠AEF=54°，则∠B= ．DAA F DE PCB CB第1题图第2题图2.如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E，F 分别是边AB，BC的中点，若E P⊥CD 于点P，则∠FPC= ．3.如图，在四边形A BCD 中， D∠ABC=∠ADC=90°，AD=C CD，DP⊥AB 于点P．若四边形ABCD 的面积是 16，则D P 的长为．A P B4.如图 1，将正方形ABCD 的顶点B 与正方形EFGH 的对角线的交点重合在一起，则两正方形重叠部分（即阴影部分）的面积是正方形ABCD 面积的3，若将正方形ABCD 的对角线16的交点与正方形E FGH 的顶点H重合在一起，如图2所示，则两正方形重叠部分（即阴影部分）的面积是正方形EFGH 面积的．EEA F AB FHGD C D C图1图25.如图，在菱形ABCD 中，AB=BD，点E，F 分别在边AB，AD 上，且AE=DF．连接BF，交DE 于点G，连接CG，交BD 于点H ．则下列结论：①△AED≌△DFB；②∠BGD=120°；③S四边形BCDG3CG2 ．其中正确的是4D．（填写序号）CA E B6.已知，在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形，其中点B1 在y 轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3 均在x 轴上．若正方形A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3 到x轴的距离为．7.如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC，BD 相交于点O ，在 Rt △D CE 中，∠C ED=90°，∠D CE=30°，若OE ，则正方形A BCD 的面积为．2A D DC EFPQB C A E B第7题图第8题图8.如图，在平行四边形ABCD 中，AB:BC=3:2，∠DAB=60°，点E 在AB 边上，且AE:EB=1:2，F 为BC 边的中点，过点D 作DP ⊥A F于点P ，D Q ⊥C E 于点Q ，则DP:DQ 的值为9.如图，在边长为 4 的菱形ABCD 中，∠B=60°，点E，G，H，F 分别在边AB，BC，CD，AD 上，且AF=CG=1，BE=DH=2．P是直线EF，GH 之间的任一点，连接PE，PF，PG，PH，则△PEF 与△PGH 的面积之和为．PA F DEHB G C【参考答案】课前预习等腰+中点考虑三线合一直角+中点考虑斜边中线等于斜边的一半平行夹中点，延长证全等见中点，要倍长，倍长之后证全等多个中点，考虑中位线坐标系中见到中点，考虑中点坐标公式平行线+角平分线出现等腰三线中两线重合，考虑证等腰精讲精练1. 72°2. 55°3. 44.135. ①②③6. 3 1 67. 48. 2 39 139. 2。

四边形知识点六年级下册

四边形知识点六年级下册四边形知识点四边形是几何学中一个重要的概念，它是由四个边和四个角所组成的图形。

在六年级下册的数学教材中，我们学习了一些关于四边形的重要知识点。

本文将介绍几个常见的四边形及其性质，以及与之相关的定理和公式。

1. 正方形正方形是一种具有特殊性质的四边形。

它的四条边相等且四个角均为90度，同时具有对称性。

由于正方形的特殊性质，它有一些独特的定理和公式：- 定理1：正方形的对角线相等且互相垂直。

- 定理2：正方形的四个角均为90度。

- 公式1：正方形的周长等于四条边的和，即C = 4a，其中a为正方形的边长。

- 公式2：正方形的面积等于边长的平方，即A = a²。

2. 长方形长方形也是一种常见的四边形，它的两对相对边相等且四个角均为90度。

与正方形不同的是，长方形的边长可以不相等，但对角线的长度相等。

- 定理3：长方形的对角线相等。

- 公式3：长方形的周长等于两边长的和的两倍，即C = 2(a + b)，其中a和b分别是长方形的两个相邻边长。

- 公式4：长方形的面积等于两边长的乘积，即A = ab。

3. 平行四边形平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的对边分别平行且相等。

由于平行四边形的特点，它也有一些定理和公式：- 定理4：平行四边形的对角线互相平分。

- 公式5：平行四边形的周长等于两边长的和的两倍，即C =2(a + b)，其中a和b分别是平行四边形的相邻边长。

- 公式6：平行四边形的面积等于底边长乘以高，即A = bh，其中b是平行四边形的底边长，h是它的高。

4. 梯形梯形是一种至少有一对边不平行的四边形。

根据梯形的性质，我们可以得到以下定理和公式：- 定理5：梯形的对角线一般不相等。

- 公式7：梯形的周长等于所有边长的和，即C = a + b + c + d，其中a、b、c和d分别是梯形的四条边长。

- 公式8：梯形的面积等于上底和下底的平均值乘以高，即A = (a + c) × h / 2，其中a和c分别是梯形的上底和下底长，h是它的高。

2023-2024学年八年级数学下册专题05 平行四边形六大模型(解析版)

专题05平行四边形六大模型模型一：中点四边形模型二：梯子模型模型三：十字架模型四：对角互补模型五：半角模型模型六：与正方形有关三垂线模型一：中点四边形中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1:点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形结论2:对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4:对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】A【解答】解：如图，连接AC，∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；∴EF＝HG且EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形．故选：A．【变式1-1】（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【答案】D【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，∴EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，EF＝BD，∴EH∥FG，EF＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，假设AC＝BD，∵EH＝AC，EF＝BD，则EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC＝BD即可推出四边形是菱形，故选：D．【变式1-2】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【答案】A【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，故选：A．【变式1-3】（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】D【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四边形EFGH是正方形，故选：D．模型二：梯子模型如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。

第十八章四边形章节复习辅导讲义

第十八章、四边形章节复习辅导讲义一、四边形知识框架： 1.四边形的知识结构 2.平行四边形的知识结构二、四边形1. 定义：有不在同一直线上的四条首尾依次连接的线段构成的封闭图形。

2. 四边形的表示：四边形一般由依次的四个大写的字母表示，如四边形ABCD 等。

3. 四边形的分类：（1）按照四边形的凹凸性将四边形分为凸四边形和凹四边形。

注意：中学阶段学习的四边形都是凸四边形。

（2）按照四边形对边的平行性将四边形分为： ① 一般四边形：任何对边都不平行的四边形。

② 梯形：只有一组对边平行的四边形； A. 梯形分类： a ．一般的梯形b ．等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。

c. 直角梯形：有一个内角为直角的梯形。

（3）平行四边形：两组对边分别平行的四边形。

① 平行四边形的分类： A. 一般的平行四边形 B. 矩形（长方形）：有一个较为直角的平行四边形。

C. 菱形：邻边相等的平行四边形。

D. 正方形：四条边都相等，四个内角也相等的四边形。

4. 四边形的内角和与外角和：（1）四边形的内角和为360度（2）四边形的外角和为360度。

5. 四边形的性质：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形【基础练习】1. 顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形． 2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________．3. 如图1，已知：在ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线交AD•于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF=______cm ．4. 如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形，AC 为正方形ABCD 的对角线，则∠EAC ＝___度．5. 四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）1250°1 2A BC DB F C6.在如图所示的四边形中，若去掉一个50的角得到一个五边形，则12+=∠∠ 度．7.如图，已知AC 平分BAD ∠，12∠=∠，3AB DC ==，则BC = ． 8.已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．三、平行四边形（一）平行四边形：1. 定义：两组对边分别平行的四边形。

四边形分类讲解(附答案)

四边形分类讲解平行四边形1、如图，将▱ABCD （纸片）沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 1交CD 于点G ，A 1B 1分别交CD ，DE 于点H ，I ．求证：EI=FG ．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D ，由（1）得AE=CF ，由折叠的性质可得：AE=A 1E ，∠A 1=∠A ，∠B 1=∠B ，∴A 1E=CF ，∠A 1=∠A=∠C ，∠B 1=∠B=∠D ，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A 1IE 与△CGF 中，11 5 6 A C A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1IE ≌△CGF （AAS ），∴EI=FG ．矩形12．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，若将矩形折叠，使点B 与D 重合，求折痕EF 的长。

如图，连结BE ，∵E 垂直平分BD ，∴EB=ED ，设ED=EB=X ，则AE=8-X ，由AE²+AB²=BE²得(8-X)²+6²=X² 解得X=25/4∵∠ABC=90°，AB=6，AD=BC=8，∴BD=10，∴OB=1/2BD=5，由勾股定理得OE²=BE²-OB²，∴OE=15/4，∴EF=2OE=15/213．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°．∵EF ⊥ED ， ∴∠BEF ＋∠CED ＝90°．∴∠BFE ＝∠CED ．又∵EF ＝ED ， ∴△EBF ≌△DCE ．∴BE ＝CD ． ∴BE ＝AB ．∴∠BAE ＝∠BEA ＝45°．∴∠EAD ＝45°．∴∠BAE ＝∠EAD ．∴AE 平分∠BAD ．拓展、探究、思考14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，3 AD ．(1)在边CD 上找一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；(2)若P 为BC 边上一点，且BP ＝2CP ，连结EP 并延长交AB 的延长线于F ．①求证：AB ＝BF ；②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理由。

四边形中的几何结构 (讲义及答案)

四边形中的几何结构（讲义）➢ 课前预习条件的组合搭配是解决几何综合题目的基本思路，在进行组合搭配中往往遇到一些常用的结构．请根据提示，补全思路及图形：等腰+中点考虑________．直角+中点考虑________．C平行夹中点，____________．见中点，要_________，_______之后证全等．多个中点，考虑________．坐标系中见到中点，考虑____________．M NC BA平行线+角平分线出现_______．三线中两线重合，考虑证_______．➢ 知识点睛1. 几何计算、证明的基本思考流程①标注条件，合理转化； ②组合特征，分析结构； ③由因导果，执果索因． 2. 特殊四边形中隐含条件①平行四边形中隐含条件：平行、中点；②菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直； ③矩形中隐含条件：平行、中点、垂直；④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直． 3. 四边形中常见几何结构举例①中点结构：直角+中点，平行夹中点，多个中点； ②旋转结构：等线段共端点； ③弦图结构：外弦图，内弦图； ④面积结构：三个“一半”，平行转化．➢ 精讲精练1. 如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，若∠AEF =54°，则∠B =__________．CDFBE AP A EB FDC第1题图第2题图2. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，若EP⊥CD 于点P ，则∠FPC =__________．3. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，AD = CD ，DP ⊥AB 于点P ．若四边形ABCD 的面积是16，则DP 的长为__________．4. DC5. 接BF ，与DE 相交于点G ，连接CG ，与BD 相交于点H ．则下列结论：①△AED ≌△DFB ；②∠BGD =120°；③24BCDG S CG =四边形．其中正确的是__________．（填写序号）B E AF HCD G6. 已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，其中点B 1在y 轴上，点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3均在x 轴上．若正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，则点A 3到x 轴的距离为___________．7. 如图，O ，在Rt △DCE中，∠CED ABCD 的面积为___________．EO DCBAPQFEABCD第7题图第8题图8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB :BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在AB 边上，且AE :EB =1:2，F 为BC 边的中点，过点D 作DP ⊥AF 于点P ，DQ ⊥CE 于点Q ，则DP :DQ 的值为__________．9. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠B =60°，点E ，G ，H ，F 分别在边AB ，BC ，CD ，AD 上，且AF =CG =1，BE =DH =2．P 是直线EF ，GH 之间的任一点，连接PE ，PF ，PG ，PH ，则△PEF 与△PGH 的面积之和为________________．D PFHCGBE A【参考答案】➢课前预习三线合一；斜边中线等于斜边的一半；延长证全等；倍长；倍长；中位线；中点坐标公式；等腰；等腰➢精讲精练1.72°2.55°3. 44.1 35.①②③6.7. 48.9.。

四边形中的几何结构(优质pdf)

四边形中的几何结构一、课前预习条件的组合搭配是解决几何综合题目的基本思路，在进行组合搭配中往往遇到一些常用的结构．请根据提示，补全思路及图形：等腰+中点，考虑：直角+中点，考虑平行+（夹）中点，考虑一边上的中点，考虑三线合一斜边上的中线等于斜边的一半延长证全等倍长证全等多个中点，考虑坐标系中见中点，平行+角平分线，考虑三线中两线重合，考虑中位线考虑中点坐标公式等腰三角形等腰三角形二、方法技能点睛1．几何计算、证明的基本思考流程①标注条件，合理转化；②组合特征，分析结构；③由因导果，执果索因．2．特殊四边形中隐含条件①平行四边形中隐含条件：平行、中点；②菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直；③矩形中隐含条件：平行、中点、垂直；④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直．3．四边形中常见几何结构举例①中点结构：直角+中点，平行+中点，多个中点；②旋转结构：等线段共点，对角互补；③弦图结构：外弦图，内弦图，等腰直角，三垂；④面积结构：三个“一半”，平行转化．平行转化三、精讲精练1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB CE ⊥于点E ，F 为AD 的中点，若∠︒=54AEF ，则B ∠=．【分析】（体会条件组合与搭配）方法一：①AB ∥CD ，F 为AD 的中点；→平行夹中点→延长证全等；②︒=∠=∠90CEB GCE ，F 为AD 的中点；→直角+中点→直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．∴易证AFE ∆≌DFG ∆)(SAS ，∴FGEF =∵︒=∠=∠90CEB GCE ，∴CFGF EF ==∵AB BC 2=，∴CDFD =∵︒=∠54AEF ，∴︒=∠=∠36FCE FEC ，︒=∠=∠=∠54G FCD CFD ∴︒=︒-︒=∠=∠72108180CDF B ．方法二：F 为AD 的中点，取CE 中点造梯形AECD 的中位线（构成CEF ∆两线合一）∵︒=∠54AEF ，∴︒=∠=∠36FCE FEC ，︒=∠=∠54FCD CFD ∴︒=︒-︒=∠=∠72108180CDF B ．方法三：∵AB CE ⊥于点E ，∴取BC 中点，构造直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半又∵AB BC 2=，∴AF FD CD CG EG BG =====，∴AB ∥FG ∥CD ，∴︒=∠=∠=∠54AEF GFE GEF ，︒=∠=∠72GEB B ．2．如图，在菱形ABCD 中，︒=∠110A ，E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，若CD EP ⊥于点P ，则FPC ∠=．【分析】四边形ABCD 是菱形，F 分别是边BC 的中点，构成平行夹中点→延长证BEF ∆≌CGF ∆)(SAS ∴FP FG EF ==，FG BF BE AE ===（菱形的四边相等）∴︒=∠70B ，︒=∠=∠=∠=∠55FPC G BEF BFE ．3．如图，在菱形ABCD 中，BD AB =，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且DF AE =．连接BF ，与DE 相交于点G ，连接CG ，与BD 相交于点H ．则下列结论：①AED ∆≌DFB ∆；②︒=∠120BGD ；③243CG S BCDG =四边形．其中正确的是．（填序号）【分析】①AED ∆≌DFB ∆（SAS ），∴①正确②由AED ∆≌DFB ∆得21∠=∠，∴︒=+∠=∠+∠=∠603231BGE ，︒=∠120BGD ∴②正确③∵︒=︒+︒=∠+∠18060120BCD BGD （对角互补），CB CD =（等线段共点C ）∴可以考虑将CDG ∆绕点C 逆时针旋转︒60到CBM ∆，也可将CBG ∆绕点C 顺时针旋转︒60．注意：辅助线的叙述与三点共线叙述一：将CDG ∆旋转到CBM ∆，必须根据对角互补说明G 、B 、M 三点在一条直线上；叙述二：延长GB 至M ，使DG BM =（保证了G 、B 、M 三点在一条直线上），连接CM ，此法只需要证明CBM ∆≌)(SAS CDG ∆，从而证得CGM ∆是等边三角形∴243232121CG CG CG MN CG S BCDG =⨯⨯=⨯⨯=四边形，∴③正确4．（2019原创）如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，6==BC AC ，点D 为BC 的中点，点P 是射线AD (不与A 重合)上的一个动点，则当PBC ∆为直角三角形时，AP 的长为．【分析】∵点P 是射线AD 上的一点，且不与A 重合，∴︒<∠90BCP ∵︒=∠90ACB ，6==BC AC ，点D 为BC 的中点，∴5322=+=AC CD AD 当︒=∠90BPC ，点P 在线段AD 上，构成直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，353-=AP 当︒=∠90BPC ，点P 在线段AD 延长线上，构成直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，353+=AP 当︒=∠90PBC 时，BP ∥AC ，点D 为BC 的中点，构成平行夹中点，PBD ∆≌ACD∆∴53==AD PD ，56=AP ．综上，AP 的值为：353-或353+或56．四、巩固练习1．如图，在□ABCD 中，AB AD 2=，AB CE ⊥于点E ，F 为AD 的中点，连接CF ，则下列结论：①BCD DCF ∠=∠21；②CF EF =；③CEF BEC S S ∆∆=2；④AEF DFE ∠=∠3．其中一定正确的是．（填序号）【思路分析】本题给出F 为AD 的中点，结合平行四边形提供的对边平行，故考虑“平行夹中点”，借助全等转移边、转移角．①∵AD ∥BC ，CD FD AF ==，∴21∠=∠=∠BCF ，∴①正确；②易证：AEF ∆≌DGF ∆，∵AB ∥CD ，AB CE ⊥，F 为AD 的中点，∴GF CF EF ==，∴②正确；③∵F 为AD 的中点，∴CEF ECG S S ∆∆=2，∵CG BE ≠，∴ECG BEC S S ∆∆≠，∴CEF BEC S S ∆∆≠2，③错误④∵AB //CD ，∴AEF G ∠=∠，∵FG FC =，CD FD =，∴AEF G ∠=∠=∠=∠12，∴AEF AEF ADC AEF A AEF DFE ∠=∠+∠+∠=∠-︒+∠=∠+∠=∠321)180(，故④正确．综上，其中一定正确的是①②④．2．（2018哈尔滨）如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OB AB =，点E ，点F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，︒=∠45CEF ，BC EM ⊥于点M ，EM 交BD 于点N ，10=FN ，则线段BC 的长为．【思路分析】本题给出OB AB =，点E 是OA 的中点（等腰+中点构三线合一）∴连接BE 得ACBE ⊥由中位线定理得EF ∥AD ∥BC ，BC AD EF 2121==；由︒=∠45CEF ，BC EM ⊥于点M ，得︒=∠=∠45CEF BCM ，∴EFMC EM BM ===∴易证BMN ∆≌FEN ∆，∴10==FN BN ,x NE MN ==,∴x BM 2=，xBC 4=由勾股定理得：222)10()2(=+x x ，∴2=x ，244==x BC ．3．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 边上，BE AE =，F 是CD 边的中点，且AB AF ⊥．若7.2=AD ，4=AF ，6=AB ，则CE 的长为．【思路分析】本题给出AD ∥BC ，F 是CD 边的中点，这是很典型的“平行夹中点”∴延长AF ，BC 交于点G ，易证ADF ∆≌GCF ∆，∴4==FG AF ，∵AB AF ⊥，∴由勾股定理可得10=BG ．∵BE AE =，∴2∠=∠B ，∴︒=∠+∠=∠+∠9021G B ，∴G ∠=∠1，5===BE EG AE ，∴3.27.25=-=CE ．4．如图，以ABC Rt ∆的斜边BC 为一边，在ABC ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形BCEF 的中心为O ，连接OA ．若4=AB ，26=OA ，则AC 的长为．【思路分析】本题给出正方形内含有正方形结构，∴构造弦图易证：ABC ∆≌GFB ∆，AOB ∆≌GOF ∆得OG OA =，︒=∠90AOG ，12=AG ，∴16412=+==GB AC ．5．如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC ，BD 相交于点O ，在DCE Rt ∆中，︒=∠90CED ，︒=∠30DCE ，若226+=OE ，则正方形ABCD 的面积为．【思路分析】本题给出ABCD 是正方形，︒=∠90CED ，∴︒=∠+∠180CED COD ，︒=∠+∠180OCE ODE 构成对角互补，∵OD OC =，构成等线段共点，∴可考虑将ODE ∆顺时针旋转︒90∴将OE 顺时针旋转︒90到OF ，连接CF ，易证ABC ∆≌GFB ∆，∴OCF ODE ∠=∠，CF DE =，OF OE =∴︒=∠+∠=∠+∠180ODE OCE OCD OCE ，∴E 、C 、F 三点共线，∴OEEF 2=∴2262)13+⨯=+a （，1=a ，∴22==a CD ,4=ABCD S 正方形．6．如图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，正方形OPQR 的顶点O 与正方形ABCD 的中心重合．给出以下结论：①四边形OECF 的面积为1；②2=+CF CE ；③2=+OF OE ；④四边形OECF 的周长为4．其中正确的是．（填序号）【思路分析】本题给出正方形OPQR 的顶点O 与正方形ABCD 的中心重合．方法一：∴︒=︒+︒=∠+∠1809090ECF EOF （对角互补），连接OC 、OD ，OEC ∆与OFD ∆构成旋转型全等①∴141===∆ABCD COD OECF S S S 正方形四边形，①正确②∴DF CE =，2==+=+CD CF EF CF CE ，②正确③∵21≤≤OE ，21≤≤OF ，∴222≤+≤OF OE ，∴③错误（运动观考虑线段长的取值范围）④由②③可得四边形OECF 的周长大于或等于4，小于或等于222+，∴④错误综上，正确结论为①②方法二：∵EOF ∠这个直角的两边不是水平线和铅垂线（称为斜直角），解决“斜直角”问题常用的方法就是“斜直角放正”（直角的两边由水平线和铅垂线构成），这种方法在直角坐标系中用得很多！∴作BC OG ⊥于G ，CD OH ⊥于H ，易证OGE ∆≌OHF ∆，同样可得上述结论．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为），（20，顶点B 在x 轴上，对角线AC ，BD 相交于点M ．若23=OM ，则点C 的坐标为．【思路分析】AMF ∠是斜直角，可考虑“斜直角放正”，得AMG ∆≌BMF ∆，∴FB AG =，FM GM =∴四边形OGMF 是正方形，3==OF OG ，1==FB AG ；OAB ∆≌EBC ∆（三垂全等），∴2==OA BE ，4==OB CE ，∴点C 的坐标为），（46构造弦图可得：OAB ∆≌EBC ∆（三垂全等），OME ∆是等腰直角三角形，∴6=OE ,2==OA BE ,4==OB CE ,∴点C 的坐标为），（46．8．如图，正方形ABCD 的面积为18，菱形AECF 的面积为6，则菱形的边长为．【思路分析】本题给出正方形和菱形，他们的对角线都是互相垂直平分的，∴连接BD ，AC ∴1821=⨯=BD AC S ABCD 正方形，∴6==BD AC ，621=⨯=EF AC S AECF 菱形，∴2=EF ∴3==OC OA ，1==OF OE ，∴1022=+=OE OA AE ．∴菱形的边长为10．9．如图，四边形ABCD 和CEFG 都是菱形，连接AG 、GE 、AE ，若︒=∠60F ，4=EF ，则AEG ∆的面积为．【思路分析】本题给出两个锐角为︒60的菱形，∴连接AC ，可得︒=∠=∠60GEC ACB ，∴AC ∥BG ，∴343242121=⨯⨯=⨯==∆∆GH CE S S CGE AGE ．（构造平行线造等底等高，平行转移）10．如图，E 是□ABCD 内任一点，若□ABCD 的面积为8，则图中阴影部分的面积为．【思路分析】过点E 作AD 的平行线交AB 于G ，交CD 于F ，利用平行转移得：421==+=+∆∆∆∆ABCDBCF ADF BCE ADE S S S S S 平行四边形11．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，︒=∠60B ，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，AD ，DC ，CB 上，且CH AF =，2==DG BE ．P 是直线EF ，GH 之间的任一点，连接PE ，PF ，PG ，PH ，则PEF ∆与PGH ∆的面积之和为．【思路分析】由已知易证AEF ∆≌CGH ∆，BEH ∆≌DGF ∆，∴FG EH GH EF ==，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴由“三个一半，平行转化”知连接EG ，过点P 作EF 的平行线∴323244*********=⨯⨯=⨯=⨯==+∆∆AM BC S S S S ABCD EFGH PGH PEF 平四平四．12．如图，在平行四边形ABCD 中，2:3:=BC AB ，︒=∠60DAB ，点E 在AB 边上，且2:1:=EB AE ，F为BC 边的中点，过点D 作AF DP ⊥于点P ，CE DQ ⊥于点Q ，则DQ DP :的值为．【思路分析】∵CE DQ ⊥，AF DP ⊥，由“三个一半”得ABCD FAD EDC S S S 平四21==∆∆，∴DP AF DQ CE ⨯=⨯2121，AFCE DQ DP =．(求两高之比，由面积公式转化为底边之反比)由已知数据求得：32=CE ，1323272222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=GF AG AF ，∴133921332==DQ DP重点强化专题——中点结构1．已知12=AB ，BC AB ⊥于点B ，AD AB ⊥于点A ，5=AD ，10=BC ．若点E 是CD 的中点，则AE 的长是．2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90D ，点M 是AB 的中点．若5.6=CM ，5=CD ，7=BC ，则AD 的长为．3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AD AB +=，M 是CD 的中点，如果︒=∠50ABC ，那么BAM ∠的度数为．4．已知：如图，ABC ∆和CDE ∆均为等腰直角三角形，︒=∠=∠90CDE ABC ，BC AB =，DE DC =，BC CD >，点C 、B 、D 在同一直线上，F 是AE 的中点．则：①BF DF =；②BF AB =；③BF DF ⊥；④BC BD 2=．以上结论中一定正确的有．5．如图所示，DE 为ABC ∆的中位线，点F 在DE 上，且︒=90AFB ，若5=AB ，8=BC ,则EF 的长为．6．如图，在菱形ABCD 中，︒=∠80A ，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，CD EP ⊥于点P ，则∠FPC 的度数为．7．如图，在平行四边形ABCD 中，︒=∠135A ，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，CD EP ⊥于点P ，若8=AB ，23=AD ，则FP =．8．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，点F 分别是AB ，BC 的中点，CE 交BD 于点G ，连结DF ，OF ，GF ，则=∠-∠BDF BFG ．重点强化专题——直角结构1．已知︒=90ABC ，D 是直线AB 上的点，BC AD =．①如图1，过点A 作AB AE ⊥，并截取BD AE =，连接DC 、DE 、CE ，则CDE ∆的形状是；②如图2，E 是直线BC 上一点，且BD CE =，直线AE 、CD 相交于点P ，则APD ∠=．根据图1的启示，构造全等，总结解法，不难想到另两种构图方法．2．如图，AD 为ABC ∆的外角平分线，且BD AD ⊥、M 为BC 的中点，若12=AB ，18=AC ，求MD 的长为．角平分线+垂线（两线合一），考虑构造等腰和中位线．3、如图，平行四边形ABCD 中，︒=∠72ABC ，BC AF ⊥于F ，AF 交BD 于E ，若AB DE 2=，则=∠AED ．执果索因：AB DE 2=，BC AF ⊥，∴取DE 的中点O ，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得：AB OE OD OA ===．4．如图，︒=∠=∠90CDE ACB ，CB CA =，DM CD =，M 为BE 的中点，求证：DM AE 2=．要证两线段的二倍关系，已知中点，所以倍长构中位线．（两线段二倍关系，执果索因）5、如图，ABC ∆和ADE ∆△都是等腰直角三角形，︒=∠=∠90AED ACB ，点D 在AB 上，M 、N 分别为BD 、CE 的中点，求证：（1）CE MN 21=；（2）CE MN ⊥．。

四边形的构造与性质

四边形的构造与性质四边形是指由四个线段组成、四个顶点所围成的图形。

在几何学中，四边形是一个重要的概念，它具有丰富的性质和特征。

本文将探讨四边形的基本构造和其相关性质，并通过具体例子加以说明。

一、基本构造在平面几何中，有几种不同的方法可以构造四边形。

常见的构造方法包括以下几种：1. 边长构造：已知四边形的边长，根据边的长度绘制四条线段，使它们相交于四个顶点，连接相邻的顶点得到一个四边形。

2. 对角线构造：已知四边形的两条对角线的长度，首先绘制两条对角线，然后连接相邻的顶点得到一个四边形。

3. 边角构造：已知四边形的一条边和相邻两个角的度数，首先绘制该边，然后根据角的大小和相对位置确定另外两条边，最后连接相邻的顶点得到一个四边形。

二、性质与特征四边形具有多种性质和特征，下面将介绍其中的几个重要性质：1. 内角和性质：四边形的内角和等于360度。

根据这个性质，我们可以计算任意四边形的内角和，进而推导出其他角度的大小关系。

2. 对角线性质：四边形的两条对角线相交于一点，该点被称为对角线的交点或对角点。

对角线的交点将四边形分成两个三角形，其中每个三角形的内角和等于180度。

3. 边长性质：四边形的四条边可以具有不同的长度，但有一些特殊情况下，边长具有特殊的关系。

例如，正方形的四条边长度相等，矩形的对边长度相等。

4. 线对线性质：四边形的相对边可以满足一些线对线的性质。

例如，平行四边形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直且平分对角。

三、例题解析为了更好地理解四边形的构造与性质，让我们通过几个例题来进行解析。

例题1：已知一四边形ABCD，AB=CD，∠ABC=∠CDA=90度，BD=10cm，求四边形的周长和面积。

解析：根据题目中给出的信息，我们可以得知该四边形是一个矩形，因为对边AB和CD长度相等，并且∠ABC和∠CDA均为90度。

根据矩形的性质，我们知道矩形的对角线相等且平分对角，所以AC=BD=10cm。

四边形中的几何结构(习题及答案)

四边形中的几何结构（习题）例题示范例 1：如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB，CE⊥AB 于点E，F 为A D 的中点，连接C F，则下列结论：①DCF =1∠BCD ； A F D 2②EF=CF；③S△BEC = 2S△CEF；④DFE = 3∠AEF ．其中一定正确的是．（填写序号）B C 【思路分析】1.本题给出F 为AD 的中点，结合平行四边形提供的对边平行，故考虑“平行夹中点”，借助全等转移边、转移角．2.如图，延长EF，CD 交于点G，在平行四边形ABCD 中，由F 为AD 中点，可知△AEF≌△DGF．①在平行四边形A BCD 中，AB=CDG ∵AD=2AB∴AD=2CD∵F 为AD 中点∴FD=CD∴∠1=∠2∵AD∥BC∴∠1=∠BCF∴∠2=∠BCF即DCF =1∠BCD ，故①正确2②由△AEF≌△DGF，可知EF=GF ∵CE⊥AB，AB∥CD∴∠ECG=90°在 Rt△ECG 中，F 为EG 中点∴CF=EF=GF，故②正确③∵F 为EG 的中点∴S△ECG = 2S△CEF∵BE≠CG∴S△BEC≠S△ECG∴S△BEC ≠2S△CEF ，故③不正确A F1E2B CD④∵AB ∥CD ∴∠G =∠AEF ∵FC =FG ∴∠G =∠2 ∵∠1=∠2∴∠1=∠2=∠G =∠AEF又∵∠DFE =∠G +∠GDF =∠G +∠1+∠2 ∴ DFE = 3∠AEF ，故④正确综上，其中一定正确的是①②④例 2：将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示的方式摆放，其中点 A 1，A 2，A 3，…，A n 分别是正方形的中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和为．【思路分析】首先分析其中一个阴影部分的面积，如图，因为 A 1D = A 1C ，有等线段共点结构，考虑旋转，所以把△A 1ED 绕点 A 1 顺时针旋转 90°得到△A 1FC ，则△A 1ED ≌△A 1FC ，所以S △A ED = S △A FC ，故 S 阴影 = S △A 1CD = 1S 4正方形ABCD= 1．ABC因为 n 个正方形形成（n -1）个阴影，故面积之和为 n -1．巩固练习1.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC的延长线交于点E，与CD 交于点F，且F 为CD 边的中点，DG⊥AE 于点G．若D G=1，则A E 的长为．E DF CG A BD C AE B第1题图第2题图2.如图，在等腰梯形A BCD 中，AB∥CD，AC⊥BC，E 为A B 边的中点，且C E∥AD，则∠ABC= ．3.如图，在菱形ABCD 中，∠A=100°，E，F 分别是边AB，BC的中点．若E P⊥CD 于点P，则∠FPC= ．DAE PCB第3题图第4题图4.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，若O1，O2 是其中两个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为．5.如图，两个边长均为 2 的正方形重叠在一起，正方形OPQR的顶点O 与正方形ABCD 的中心重合．给出以下结论：①四边形OECF 的面积为 1；②CE+CF=2；③OE+OF=2；④四边形O ECF 的周长为4．其中正确的是．（填写序号）A D RFOB EC QP6.如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，E，F 分别是边AB，BC 上的点，且BE=CF，连接CE，AF 交于点H，连接DH 交AC 于点O ．给出以下结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=60°；③AH+CH=DH．其中正确的是．（填写序号）BA DCB FE第6题图第7题图7.如图，以 Rt△ABC 的斜边BC 为一边，在△ABC 的同侧作正方形BCEF，设正方形BCEF 的中心为O，连接OA．若AB=4，OA= 6 ，则A C 的长为．8.如图，在平面直角坐标系x Oy 中，正方形A BCD 的顶点A的坐标为(0，2)，顶点B在x轴上，对角线A C，BD相交于点M．若O M3 2 ，则点C的坐标为．D CA B第8题图第9题图9.如图，E 是□ABCD 内任一点，若□ABCD 的面积为8，则图中阴影部分的面积为．思考小结1. 四边形中常见几何结构（根据特征画出对应结构的图形）①中点结构：直角+中点，平行+中点，多个中点；②旋转结构：等线段共点；③弦图结构：外弦图，内弦图；④面积结构：三个“一半”，平行转化【参考答案】巩固练习1．42．60°3．50°4．25．①②6．①②③7．16 8．(6，4)9．4思考小结略。

金老师教育-中考数学总复习：35四边形综合复习--知识讲解(附基础掌握题练习含答案解析)

中考总复习：四边形综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.【知识网络】【考点梳理】考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360°.考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2. 平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S 菱形 =21ab=ch （a 、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高）. S 平行四边形 =ah(a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）.考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底. (2)不平行的两边叫做梯形的腰. (3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等. 5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； (3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式： S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.【典型例题】类型一、多边形及其镶嵌1. 一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现少了一个内角.少了的这个内角是_________度，他求的是_________边形的内角和.【思路点拨】一个多边形的内角和能被180°整除，本题内角和1125°除以180°后有余数，则少的内角应和这个余数互补.【答案】135；九.【解析】设这个多边形边数为n，少算的内角度数为x，由题意得：(n-2)·180°=1125°+ x°，∴n=，∵n为整数，0°＜x＜180°，∴符合条件的x只有135°，解得n=9.【总结升华】多边形根据内角或外角求边数，或是根据边数求内角或对角线条数等题是重点，只需要记住各公式或之间的联系，并准确计算.举一反三：【变式】（2020•眉山）一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C.【解析】∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，则这个多边形的边数是7，故选C．2．（2020•蓬溪县校级模拟）下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（）A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形C．正三角形和正六边形D．正五边形和正十边形【思路点拨】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．【答案】B.【解析】A、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，3×60°+2×90°=360°，故能铺满，不合题意；B、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；C、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满，不合题意；D、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能铺满，不合题意．故选：B．【总结升华】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．类型二、特殊的四边形【高清课堂：四边形综合复习例1】3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)判断四边形EHFG的形状；(2)在什么情况下，四边形EHFG为菱形？【思路点拨】（1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，通过证明有一组邻边相等，可得平行四边形EHFG是菱形；【答案与解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，AB=CD，∵E是AB中点，F是CD中点，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．同理可得DE∥BF，∴四边形FGEH是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，平行四边形EHFG是菱形．∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°，∵E是AB中点，F是CD中点，∴BE=CF，在△EBC与△FCB中，∵BE CFABC DCB BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCB，∴CE=BF， ∠ECB=∠FBC ，BH=CH ，EH=FH ，平行四边形EHFG 是菱形.【总结升华】本题属于综合题，考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定和正方形的判定，注意找准条件，有一定的难度．举一反三：【变式】已知：如图所示，四边形ABCD 中，∠C ＝90°，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝CB ，P 是BD 上一点，PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，求证：PA ＝EF ．【答案】连结PC ．因为PE ⊥BC ，PF ⊥DC ，ABCDEF P所以∠PEC ＝∠PFC ＝∠ECF ＝90°，所以四边形PECF 是矩形，所以PC ＝EF ．在△ABP 和△CBP 中，AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，所以△ABP ≌△CBP ，所以AP ＝CP ．所以AP ＝EF ．4.（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，直线EF 过点O ，分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：AE=CF ．（2）如图②，将▱ABCD （纸片）沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A 1处，点B 落在点B 1处，设FB 1交CD 于点G ，A 1B 1分别交CD ，DE 于点H ，I ．求证：EI=FG ．【思路点拨】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD ∥BC ，OA=OC ，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA ，即可证得△AOE ≌△COF ，则可证得AE=CF ．（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A 1E=CF ，∠A 1=∠A=∠C ，∠B 1=∠B=∠D ，继而可证得△A 1IE ≌△CGF ，即可证得EI=FG ．【答案与解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，OA=OC ，∴∠1=∠2，在△AOE 和△COF 中，1234OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△COF （ASA ）， ∴AE=CF ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠C ，∠B=∠D ，由（1）得AE=CF ，由折叠的性质可得：AE=A 1E ，∠A 1=∠A ，∠B 1=∠B ， ∴A 1E=CF ，∠A 1=∠A=∠C ，∠B 1=∠B=∠D ，又∵∠1=∠2， ∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6， ∴∠5=∠6，在△A 1IE 与△CGF 中，1156A C A E CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△A 1IE ≌△CGF （AAS ）， ∴EI=FG ．【总结升华】考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．【高清课堂：四边形综合复习例4】5.如图，在△AOB 中，OA=OB=8，∠AOB=90︒，矩形CDEF 的顶点C 、D 、F 分别在边AO 、OB 、AB 上. （1）若C 、D 恰好是边AO ，OB 的中点，求矩形CDEF 的面积；（2）若tan ∠CDO=34，求矩形CDEF 面积的最大值.EFBOC【思路点拨】（1）因为当C 、D 是边AO ，OB 的中点时，点E 、F 都在边AB 上，且CF ⊥AB ，所以可求出CD 的值，进而求出CF 的值，矩形CDEF 的面积可求出；（2）设CD=x ，CF=y ．过F 作FH ⊥AO 于H ．在 Rt △COD 中，用含x 和y 的代数式分别表示出CO 、AH 的长，进而表示出矩形CDEF 的面积，再配方可求出面积的最大值．【答案与解析】（1）如图，当C 、D 是边AO ，OB 的中点时，点E 、F 都在边AB 上，且CF ⊥AB ． ∵OA=OB=8，∴OC=AC=OD=4． ∵∠AOB=90°，∴CD=42．在 Rt △ACF 中，∵∠A=45°，∴CF=22． ∴S 矩形CDEF =42×22=16．（2）设CD=x ，CF=y ．过F 作FH ⊥AO 于H ．在 Rt △COD 中，∵tan ∠CDO=43， ∴sin ∠CDO=45，cos ∠CDO=35．∴CO=45x ．∵∠FCH+∠OCD=90°， ∴∠FCH=∠CDO ．∴HC=y •cos ∠FCH=35y ． ∴FH=22CF CH =45y ．∵△AHF 是等腰直角三角形，∴AH=FH=45y ．∴AO=AH+HC+CO ． ∴75y +45x =8．∴y=17(40-4x)．易知S 矩形CDEF =xy=17(40x-4x 2)=- 47[(x-5)2-25]，∴当x=5时，矩形CDEF 面积的最大值为1007．【总结升华】本题考查了二次函数与几何知识（矩形）的综合应用和求二次函数的最值，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．6 .ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △ 是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ．（1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时． ①求证：AEB ADC △≌△；②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．【思路点拨】此题要熟练多方面的知识，特别是全等三角形和平行四边形和菱形的判定．【答案与解析】（1）①∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AE=AD ，AB=AC ，∠EAD=∠BAC=60°．又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD ，∠DAC=∠BAC-∠BAD ， ∴∠EAB=∠DAC ， ∴△AEB ≌△ADC ．②方法一：由①得△AEB ≌△ADC ， ∴∠ABE=∠C=60°．又∵∠BAC=∠C=60°， ∴∠ABE=∠BAC ， ∴EB ∥GC ．又∵EG ∥BC ，∴四边形BCGE 是平行四边形．方法二：证出△AEG ≌△ADB ，得EG=AB=BC ． ∵EG ∥BC ，∴四边形BCGE 是平行四边形．（2）①②都成立．（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE 是菱形．理由：方法一：由①得△AEB ≌△ADC ， ∴BE=CD 又∵CD=CB ， ∴BE=CB ．由②得四边形BCGE 是平行四边形，∴四边形BCGE 是菱形．方法二：由①得△AEB ≌△ADC ， ∴BE=CD ．又∵四边形BCGE 是菱形， ∴BE=CB （11分） ∴CD=CB ．方法三：∵四边形BCGE 是平行四边形， ∴BE ∥CG ，EG ∥BC ，∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF 是等边三角形．又∵AB=BC ，四边形BCGE 是菱形， ∴AB=BE=BF ，∴AE ⊥FG ∴∠EAG=30°，∵∠EAD=60°，∴∠CAD=30度．【总结升华】本题考查三角形的全等以及菱形的判定．举一反三：【变式】如图，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点，试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）如图1 ∵AE ⊥EF ，∴∠2+∠3=90°，∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠B=∠C=90°， ∵∠1+∠3=90°， ∴∠1=∠2，∴△ABE ∽△ECF ， ∴AB ：CE=BE ：CF ， ∴EC ：CF=AB ：BE=5：2 （2）如图（二），在AB 上取BM=BE ，连接EM ， ∵ABCD 为正方形，∴AB=BC ， ∵BE=BM ，∴AM=EC ，∵∠1=∠2，∠AME=∠ECP=135°，ADCBEBCE DAF P F∴△AME≌△ECP ，∴AE=EP ；（3）存在．顺次连接DMEP ．如图2 在AB 取点M ，使AM=BE ， ∵AE ⊥EF ，∴∠2+∠3=90°，∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠B=∠BCD=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠1=∠2，∵∠DAM=∠ABE=90°，DA=AB ，AD AB DAM ABE AM BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAM ≌△ABE （SAS ）， ∴DM=AE ， ∵AE=EP ， ∴DM=PE ，∵∠1=∠5，∠1+∠4=90°， ∴∠4+∠5=90°， ∴DM ⊥AE ， ∴DM ∥PE∴四边形DMEP 是平行四边形．中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．下列说法中，正确的是( )．A．等腰梯形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相垂直且相等2．如图，在中，于且是一元二次方程x2+x-2=0 的根，则的周长为（）.A．4+2B．4+22C．8+22D．2+23.如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）.A．B．C．D．4.下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5.（2020•蓬溪县校级模拟）下列每组多边形均有若干块中，其中不能铺满地面（镶嵌）的一组是（）A．正三角形和正方形 B．正方形和正六边形C．正三角形和正六边形D．正五边形和正十边形6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC＝15°，则∠A′BD的度数为（）．A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第6题二、填空题7.若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角是______度.8. 矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为_________平方单位．9.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．10.如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，…，依次进行下去，则点的坐标是__________________.11.如图，若△ABC的边AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，则图中三个阴影部分面积之和的最大值为________.12.（2020秋•隆化县校级期中）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE的长为．三、解答题13. 如图，过正方形ABCD的顶点作，且作，又．求证：．14. (2020春•武侯区期末）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求∠CBD的度数．15.（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．16（2011•营口）已知正方形ABCD ，点P 是对角线AC 所在直线上的动点，点E 在DC 边所在直线上，且随着点P 的运动而运动，PE=PD 总成立．（1）如图（1），当点P 在对角线AC 上时，请你通过测量、观察，猜想PE 与PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点P 运动到CA 的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点P 运动到CA 的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE 与PB 有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）【答案与解析】一．选择题 1．【答案】D ． 2．【答案】B.【解析】解方程x 2+x-2=0得：x 1=-2，x 2=1，∵AE=EB=EC=a ，a 是一元二次方程x 2+x-2=0的一个根， ∴a=1，即AE=BE=CE=1， ∵AE ⊥BC ， ∴∠AEB=90°，∴由勾股定理得：AB=22112+=，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD=2，AD=BC=1+1=2，∴平行四边形ABCD 的周长是2（2+2）=4+22，故选B ．4．【答案】B ．【解析】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，故选B ． 5．【答案】B.【解析】A 、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，3×60°+2×90°=360°，故能铺满，不合题意；B 、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意；C 、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，2×60°+2×120°=360°，故能铺满，不合题意；D 、正五边形和正十边形内角分别为108°、144°，2×108°+1×144°=360°，故能铺满，不合题意．故选：B ． 6．【答案】D.【解析】∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，∴∠C=90°，∵∠A ′BC=15°，∴∠DA ′B=∠A ′BC+∠C=15°+90°=105°，由折叠的性质可得：∠A=∠DA ′B=105°，∠ABD=∠A ′BD ，∵AD ∥BC ，∴∠ABC=180°-∠A=75°，∴∠A ′BD=2ABC A BC'∠-∠=30°．二．填空题 7．【答案】30. 8．【答案】64. 9．【答案】20.【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD ，AD=BC ， ∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE 的周长为10，即CD+DE+EC=10，∴平行四边形ABCD 的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD ）=2（BE+EC+CD ）=2（DE+EC+CD ）=2×10=20．故答案为：20． 10．【答案】.【解析】把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置，根据旋转的性质和正方形的性质有A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，得到S△CHF=S△BCH'=S△ABC，同理：S△BDG=S△AEM=S△ABC，所以S阴影部分面积=3S△ABC=3×12AB×AC×sin∠BAC，即当AB⊥AC时，S△ABC最大值为：12×2×3=3，即可得到三个阴影部分的面积之和的最大值．12．【答案】1.【解析】∵△ABC等腰直角三角形∴AC=BC，∵△ABD是等边三角形∴BD=AD∴△ADC≌△BDC∴∠BCD=（360°﹣90°）÷2=135°又∵∠CBD=60°﹣45°=15°∴∠CDB=180°﹣135°﹣15°=30°，∠BDE=60°﹣30°=30°∴CD=ED，∠CDB=∠BDE，BD=BD∴△BCD≌△BED∴BE=CB=×sin45°=1∴BE=1．三.综合题13．【解析】提示：易证菱形AEFC，∠AEB=∠ACF,设正方形边长为1，则，，做CG⊥AC,BG∥AC，即得等腰Rt△CBG,等腰Rt△CBG中，故∠CFG=30°∴∠ACF=30°，∠FCB=15°∴14．【解析】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；又∵AM丄BC（已知），∴AM⊥AD；∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN，∴AE∥CF；又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），在△ADE和△CBF中，90DAE BCFAD CBADE FBC⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，则AC与EF互相垂直平分，∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），∴AC与BD互相垂直平分，∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），∴AB=BC（菱形的邻边相等）；∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），∴△ABM≌△CAM，∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，∠CBD=30°.15.【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．16.【解析】（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．（2）解：（1）中的结论成立．①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，又PC=PC，∴△PDC≌△PBC，∴PD=PB，∵PE=PD，∴PE=PB，②：由①，得△PDC≌△PBC，∴∠PDC=∠PBC．（7分）又∵PE=PD，∴∠PDE=∠PED．∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，∴∠EPB=360°-（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，∴PE⊥PB．（3）解：如图所示：结论：①PE=PB，②PE⊥PB．。

四边形之模型结构(讲义及答案)

四边形之模型结构（讲义）➢ 知识点睛1. 四边形分析思路（1）按照边、角、对角线的顺序，从四边形的定义、性质、判定切入进行分析；（2）转化为熟悉图形进行分析研究．60°DCBAFE D C BA E DCBA含60°角菱形转梯形转化为①矩形+直角三角形；化为等边三角形②平行四边形+三角形CBD A CBD ADCBA筝形转化为①一对全等三角形；②两个等腰三角形注：对角线相互垂直的四边形面积为对角线乘积的一半． 2. 四边形与轴对称性、中心对称性（1等（完全重合）的两部分（2MPDCB A3. 正方形中的常见结构F'FED C B AOF EDCBA特征：①正方形；特征：①正方形； ②∠EAF =12∠BAD②BE =CF结论：△DAF 绕点A 顺时结论：△OBE ≌△OCF 针旋转至AD 与AB 重合，（△OBE 可看作△OCF 绕可证△F′AE ≌△F AE点O 顺时针旋转90°得到）FEDCBA××G FEDCBA特征：①正方形；特征：①正方形；②BE =CF ②EF ⊥AE ，且与正方形一结论：AE =BF 且个外角的角平分线交于点F AE ⊥BF结论：△AGE ≌△ECF特征：直角三角形的斜边为正方形的边长（或等腰直角三角形的直角边），考虑补全弦图结论：①四个全等的直角三角形；②两个正方形共中心➢ 精讲精练1. 已知菱形ABCD ，边长为4，∠BAD =120°．点E ，F 分别是AB ，AD 边上的动点，且满足BE =AF ，则下列结论：①△BEC ≌△AFC ；②△ECF 为等边三角形；③∠AGE =∠AFC ；④若F 为AD 中点，则CE ⊥AB ；⑤设AF =x ，则 S △AEF=2x ．其中正确的有___________． GF E DCBAF第1题图第2题图2. 如图，在菱形ABCD 中，AB =4 cm ，∠ADC =120°，点E ，F 同时从A ，C 两点出发，分别沿AB ，CB 方向向点B 匀速运动（到点B 为止），点E 的速度为1 cm/s ，点F 的速度为2 cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为（）A ．1B ．13C ．12D ．433. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =30°，∠BCD =60°，若AD =4，AB=BC 的长为____________．60°30°D CB A4. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，则以下结论：①∠B =∠C ；②若AD =4，BC =12，AB =8，则∠ABC =60°；③若AC =BC +AD ，则∠ACB =60°．其中正确的有________．DCB A5. 如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =DC ，∠A =60°，点E 为AD 边上一点，连接BD ，CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若AB =8，CE =6，则BC 的长为__________．FEDCBAFED CBA第5题图第6题图6. 如图，四边形ABCD 中，AD =DC ，AB =DE =12CD ，∠BAD =∠ADC =90°，DF ⊥BC 于点F ，连接EF ，AF ，AE ．下列结论：①AE 垂直平分DF ；②AF =AD ；③S 四边形ADEF =23S 四边形ABCD ；④∠CEF =∠DAF ．其中正确的有____________． 7. 如图，在□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC =6，BC 边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（） A ．3B ．6C ．12D ．24第7题图第8题图8. 如图，在平面直角坐标系中，已知多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O (0，0)，A (0，6)，B (4，6)，C (4，4)，D (6，4)，E (6，0)．若直线l 经过点M (2，3)，且将多边形OABCDE 分成面积相等的两部分，则下列各点在直线l 上的是（）A ．(4，3)B ．(5，2)C ．(6，2)D ．(0，103) 9. 在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（） A．BC．2DAB CDP MN第9题图第10题图10. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，AC =12，P 是菱形的对角线AC 上的动点．（1）若M ，N 是菱形ABCD 的边AB ，BC 的中点，PM +PN 的最小值为_______；（2）若N 是菱形ABCD 的边BC 上的动点（可与端点B ，C 重合），BP +PN 的最小值为_______；（3）若M ，N 是菱形ABCD 的边AB ，BC 上的动点，PM +PN 的最小值为_______．11. 如图，四边形ABCD 是正方形且边长为2，以CD 为边作等边三角形CDE ，连接AC ，M 是线段AC 上一点．当DM +EM 最小时，∠AMB 的角度为_______，此时DM 的长为_______．ABCDMEFE D C B A第11题图第12题图12. 如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在BC 和CD 边上，分别连接AE ，AF ，EF ，若∠EAF =45°，则△CEF 的周长是（） A．6B ．8.5C ．10D ．1213. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，E ，F 为线段AB 上两个动点，且∠ECF =45°，过点E ，F 分别作BC ，AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H ，G ．现有以下结论：①ABE 与点B 重合时，MH =12；③AF 2+BE 2=EF 2．其中正确的结论为（） A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③M GHFECBA14. 如图，在△ABC 中，AB =AC=BAC =120°，点D ，E 都在边BC 上，∠DAE =60°．若BD =2CE ，则DE 的长为 _________．ABCD E15. 如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点C ，D 重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ．以下结论：①连接AH ，则HA 平分∠DHG ；②连接AH ，AG ，则∠HAG =45°；③△CHG 的周长为2CD ．其中正确的是_____________．HG FED CBA16.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．以下结论：①GF=GC；②DE=EH；③BH；④若AE=1，AD=3，则DH=其中正确的有_________．HEA17.如图，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别为BC，CD上的两点，BE=CF，AE，BF分别交BD，AC于M，N两点，连OE，OF．下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③CE+CF=BD；④S四边形OECF =14S正方形ABCD．其中正确的是_________．NMOAB CDEF【参考答案】1.①②③④⑤2. D3.124.①②③5.6.①②③④7. C8. B9. D10.（1）（2）6；（3）6．11.60°12.C13.A14.315.①②③16.①②③④17.①②④。

四边形全章知识点与常见题型总结(讲解)

平行四边形的知识点汇总1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

两层意义：①四边形；②两组对边分别平行。

2．对角线的定义：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。

3．平行四边形的性质：①从边看：平行四边形的对边平行且相等。

②从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补。

③从对角线看：平行四边形的对角线互相平分，互相平分是指两条线段有公共的中点。

④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

⑤两平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。

2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。

4．平行四边形的面积：⑴平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．⑵平行四边形的两条对角线将平行四边形的面积平均一分为四。

5.平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形；6.平行四边形的性质与判定的区别：平行四边形的性质是指平行四边形的边,角,对角线等所具有的大小或位置之间的关系,而平行四边形的判定是指四边形具有什么条件就是平行四边形。

7.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形8.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质②矩形的四个角都是直角③矩形的对角线相等④矩形既是中心对称图形又是轴对称图形。

9.矩形的判定：①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

10.直角三角形的性质：⑴直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑵直角三角形勾股定理；⑶直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半。

11.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

12.菱形的性质：①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角；④菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。

四边形中的几何结构(习题及答案)-(1)

四边形中的几何结构（习题）➢例题示范例1：如图，在□ABCD 中，AD=2AB，CE⊥AB 于点E，F 为AD 的中点，连接CF，则下列结论：①∠DCF =1∠BCD ；②EF=CF；③S 2④∠DFE = 3∠AEF ．△BEC= 2S△CEF；其中一定正确的是．（填序号）【思路分析】1.本题给出F 为AD 的中点，结合平行四边形提供的对边平行，故考虑“平行夹中点”，借助全等转移边、转移角．2.如图，延长EF，CD 交于点G，在平行四边形ABCD 中，由F 为AD 中点，可知△AEF≌△DGF．①在平行四边形ABCD 中，AB=CD∵AD=2AB∴AD=2CD∵F 为AD 中点∴FD=CD∴∠1=∠2∵AD∥BC∴∠1=∠BCF∴∠2=∠BCF即∠DCF =1∠BCD ，故①正确2②由△AEF≌△DGF，可知EF=GF ∵CE⊥AB，AB∥CD∴∠ECG=90°在Rt△ECG 中，F 为EG 中点∴CF=EF=GF，故②正确③∵F 为EG 的中点∴S△ECG = 2S△CEF∵BE≠CG11 1∴ S △BEC ≠ 2S △CEF ，故③不正确 ④∵AB ∥CD ∴∠G =∠AEF ∵FC =FG ∴∠G =∠2 ∵∠1=∠2∴∠1=∠2=∠G =∠AEF又∵∠DFE =∠G +∠GDF =∠G +∠1+∠2 ∴ ∠DFE = 3∠AEF ，故④正确综上，其中一定正确的是①②④．例 2：将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示的方式摆放，其中点 A 1，A 2，A 3，…，A n 分别是正方形的中心，则这 n 个正方形重叠部分的面积之和为．【思路分析】首先分析其中一个阴影部分的面积，如图，因为 A 1D = A 1C ，有等线段共点结构，考虑旋转，所以把△A 1ED 绕点 A 1 顺时针旋转90°得到△A 1FC ，则△A 1ED ≌△A 1FC ，所以S △A ED = S △A FC ，故S 阴影 = S △A 1CD= 1 S 4正方形ABCD = 1．因为 n 个正方形形成（n -1）个阴影，故面积之和为 n -1．➢巩固练习1.如图，在□ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E，与CD 交于点F，且F 为CD 边的中点，DG⊥AE 于点G．若DG=1，则AE 的长为．第1 题图第2 题图2.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，AC⊥BC，E 为AB 边的中点，且CE∥AD，则∠ABC= ．3.如图，在菱形ABCD 中，∠A=100°，E，F 分别是边AB，BC的中点．若EP⊥CD 于点P，则∠FPC= ．第3 题图第4 题图4.如图，三个边长均为2 的正方形重叠在一起，若O1，O2 是其中两个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为．5.如图，两个边长均为2 的正方形重叠在一起，正方形OPQR的顶点O 与正方形ABCD 的中心重合．给出以下结论：①四边形OECF 的面积为1；②CE+CF=2；③OE+OF=2；④四边形OECF 的周长为4．其中正确的是．（填序号）26.如图，在菱形 ABCD 中，∠B =60°，E ，F 分别是边 AB ，BC 上的点，且 BE =CF ，连接 CE ，AF 交于点 H ，连接 DH 交 AC 于点 O ．给出以下结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC =60°； ③AH +CH =DH ．其中正确的是．（填序号）第 6 题图第 7 题图7.如图，以 Rt △ABC 的斜边 BC 为一边，在△ABC 的同侧作正方形 BCEF ，设正方形 BCEF 的中心为 O ，连接 OA ．若 AB =4， OA = 6 ，则 AC 的长为．8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为(0，2)，顶点 B 在 x 轴上，对角线 AC ，BD 相交于点 M ．若 OM 3 2 ，则点 C 的坐标为．第 8 题图第 9 题图9.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O ，过点 O 的直线分别交 AD ，BC 于点 E ，F ．若 AB =2，BC =3，则图中阴影部分的面积为．10. 如图，E 是□ABCD 内任一点，若□ABCD 的面积为 8，则图中阴影部分的面积为．1➢ 思考小结1. 四边形中常见几何结构（根据特征画出对应结构的图形）中点结构：直角+中点，平行+中点，多个中点；旋转结构：等线段共点；弦图结构：外弦图，内弦图；面积结构：三个“一半”，平行转化234【参考答案】➢巩固练习31．42．60°3．50°4．25．①②6．①②③7．16 8．(6，4)9．310．4➢思考小结略。

模型35 垂美四边形模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇

模型介绍结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB2+CD2＝AD2+BC2【证明】∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2方法点拨①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形例题精讲【例1】．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AB＝5，AD＝5，CD＝12，则BC ＝13．解：设AC，BD交于点O，∵AC⊥BD，AB＝5，AD＝5，CD＝12，∴OA2+OB2＝75，OA2+OD2＝50，OD2+OC2＝144，BC2＝OB2+OC2，∴OA2+OB2+OD2+OC2﹣（OA2+OD2）＝OB2+OC2＝169，即BC2＝169，∴BC＝13．故答案为：13．变式训练【变式1-1】．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2解：连接DE，如图，设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴＝＝＝，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，x2+4y2＝b2，②在Rt△BFD中，4x2+y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．【变式1-2】．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，请回答下列问题：（1）若AB∥CD，求证：弧BD＝弧AC（2）若AC⊥BD，CD＝4，圆O的半径为3，求AB的长；（3）在（2）的条件下求PA2+PB2+PC2+PD2的值．（1）证明：∵AB//CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴，∴，∴弧BD＝弧AC；（2）解：过点O作OE⊥CD于点E，作直径CF，连接FA，FD，如图：∵OE⊥CD于点E，∴E为CD中点，CE＝DE＝CD×4＝2，∵圆O的半径为3，∴OE＝＝＝，∵O为CF中点，E为CD中点，∴DF＝2OE＝2，∵CF是⊙O直径，∴∠CAF＝90°，即AC⊥AF，∵AC⊥BD，∴BD∥AF．∴∠ADB＝∠FAD，∴＝，∴AB＝DF＝2；（3）解：∵AC⊥BD于点P，∴AB2＝PA2+PB2，CD2＝PC2+PD2，∴PA2+PB2+PC2+PD2＝AB2+CD2，由（2）知AB＝2，CD＝4，∴AB2+CD2＝（2）2+42＝36，∴PA2+PB2+PC2+PD2＝36．【例2】．已知点P是矩形ABCD内的一点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则PD＝．证明：过点P作EF⊥AB交AD于点F，DC于点E；过点P作GH⊥AD交AD于点G，CB于点H．则FA＝DE，FP＝HB，CH＝EP，HP＝EC．∴PA2+PC2＝FA2+FP2+CH2+HP2＝DE2+HB2+EP2+HP2＝PB2+PD2，∴PA2+PC2＝PB2+PD2，∴22+42＝32+PD2，∴PD＝．故答案为．变式训练【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝，BC＝3，则AB2+CD2＝23．解：∵AC⊥BD，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝∠AOB＝90°，∴OB2+OC2＝BC2，OA2+OD2＝AD2，OB2+OA2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，∴AB2+CD2＝OB2+OA2+OC2+OD2＝BC2+AD2，∵AD＝，BC＝3，∴BC2+AD2＝（3）2+（）2＝18+5＝23，∴AB2+CD2＝23，故答案为：23．【变式2-2】．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，∴BD＝BC＝2，AE＝AC＝，点O为△ABC的重心，∴AO＝2OD，OB＝2OE，∵BE⊥AD，∴BO2+OD2＝BD2＝4，OE2+AO2＝AE2＝，∴BO2+AO2＝4，BO2+AO2＝，∴BO2+AO2＝，∴BO2+AO2＝5，∴AB＝＝．故答案为．1．两个矩形，小矩形绕着公共点C任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE2+DK2的值．解：∵∠BCD＝∠KCE＝90°，∴∠BCK＝∠DCE，又∵＝，＝，∴＝，∴△BCK∽△DCE，∴∠CBK＝∠CDE，∵∠CBK+∠KBD+∠BDC＝90°，∴∠CDE+∠KBD+∠BDC＝90°，∴∠DOB＝90°，∴OK2+DO2＝DK2，BO2+OE2＝BE2，∴BE2+DK2＝OK2+EO2+DO2+BO2＝BD2+KE2＝AB2+AD2+KF2+KE2＝36+64+36+20.25＝156.25．2．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O，若AD＝2，BC ＝6，则AB2+CD2＝40．解：在Rt△ABO与Rt△CDO中，由勾股定理得，AB2＝BO2+AO2，CD2＝CO2+DO2，∴AB2+CD2＝BO2+CO2+AO2+DO2，在Rt△BOC与Rt△AOD中，由勾股定理得，BC2＝BO2+CO2，AD2＝AO2+DO2，∴AB2+CD2＝BC2+AD2＝62+22＝40，故答案为：40．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，M、N是BC边上的点，BM＝MN＝NC，如果AM＝4，AN＝3，则MN＝．解：过M，N分别作AC的垂线MD和NE，作NO⊥MO，D、E、O为垂足，则MD＝2NE，AE＝2AD，如图，可得AM2＝AD2+MD2，AN2＝AE2+NE2，解得AD2＝，NE2＝，∵EN为△CDM的中位线，所以MD＝2NE，∵NO⊥MO，MD⊥ED，∴四边形ODEN为平行四边形，即OD＝NE，∴MO＝NE，ON＝DE，∴MN＝＝＝．故答案为．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：如图2，连接AC、BD，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：如图1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，连接CG、BE，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∵∠AME＝∠BMN，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．6．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，＝．则S△ABC解：（1）如图1，∵四边形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，延长CB交DE于M，过点D作DN⊥CB于N，又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝∠EBN＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，AC＝＝3，∴∠BAC＝∠DBN，在△ACB和△BND中，，∴△ACB≌△BND（AAS），∴BC＝DN＝BE＝4，AC＝BN＝3，在△DNM和△EBM中，，∴△DNM≌△EBM（AAS），∴MN＝MB＝BN＝×3＝，MD＝ME＝DE，在Rt△DNM中，∠MND＝90°，∴MD＝＝＝，∴DE＝2MD＝；（3）如图3，∠ACB≠90°，分别过点A、D作AM⊥CB于点M，DN⊥CB于点N，连接DC，又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，∴∠AMB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，∴∠BAM＝∠DBN，在△AMB和△BND中，，∴△AMB≌△BND（AAS），∴BM＝DN，AM＝BN，设AM＝BN＝x，则CN＝BC+BN＝4+x，∵点G、H分别是AD、AC中点，连接GH、DC，GH＝2，∴DC＝2GH＝4，在Rt△DNC和Rt△DNB中，由勾股定理得：DN2＝DB2﹣BN2，DN2＝DC2﹣CN2，∴DB2﹣BN2＝DN2＝DC2﹣CN2，即（5）2﹣x2＝（4）2﹣（4+x）2，解得：x＝，即AM＝BN＝x＝，＝BC•AM＝×4×＝．∴S△ABC7．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是菱形，正方形．（2）性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对边AB，CD 与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE交AB于点M，已知AC＝4，AB＝5，求GE 的长．解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，∴菱形、正方形都是垂美四边形，故答案为：菱形，正方形；（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由如下：连接AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）连接CG，BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，又∵∠BMC＝∠AME，∴∠ABG+∠BMC＝90°，∴CE⊥BG．∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）可知CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴由勾股定理，得CB2＝9，CG2＝32，BE2＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE＝．8．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是④；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；（3）如图，过点O作OE⊥BD，连接OD，∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD，又∵垂等四边形的面积是24，∴AC•BD＝24，解得，AC＝BD＝4，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD＝r，DE＝，∴r＝＝＝4，∴⊙O的半径为4．9．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形正方形；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是A．A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定（3）如图1，点O是和美四边形ABCD的中心，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接OE、OF、OG、OH，记四边形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面积为S1、S2、S3、S4，用等式表示S1、S2、S3、S4的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD是和美四边形，若AB＝3，BC＝2，CD＝4，求AD的长．解：（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，故选：A．（3）由和美四边形的定义可知，AC⊥BD，则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴△AOE的面积＝△BOE的面积，△BOF的面积＝△COF的面积，△COG的面积＝△DOG的面积，△DOH的面积＝△AOH的面积，∴S1+S3＝△AOE的面积+△COF的面积+△COG的面积+△AOH的面积＝S2+S4；（4）如图2，连接AC、BD交于点O，则AC⊥BD，∵在Rt△AOB中，AO2＝AB2﹣BO2，Rt△DOC中，DO2＝DC2﹣CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2﹣BO2+DC2﹣CO2＝AB2+DC2﹣BC2＝32+42﹣22＝21，即可得AD＝．10．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）写出2个所学的特殊四边形是垂美四边形：菱形，正方形．（2）性质探究：已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰Rt△ACG（∠GAC＝90°）和等腰Rt△ABE（∠BAE＝90°），连接GE，GB，CE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的长．解：（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直，∴菱形和正方形都是垂美四边形，故答案为：菱形，正方形；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：∵四边形ABCD是垂美四边形，∴AC⊥BD，∴OA2+OB2＝AB2，OD2+OC2＝CD2，∴OA2+OB2+OD2+OC2＝CD2+AB2，∴AD2+BC2＝CD2+AB2；（3）∵∠GAC＝∠BAE，∴∠GAB＝∠CAE，∵AC＝AG，AB＝AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，设CE与BG交于H点，CE与AB交于O点，∵∠AOE＝∠BOC，∴∠BHC＝∠OAE＝90°，∴BG⊥CE，∴四边形BCGE是垂美四边形，∴CG2+BE2＝BC2+EG2，∵AC＝2，AB＝5．由勾股定理得，CG2＝8，BE2＝50，BC2＝21，∴EG2＝8+50﹣21＝37，∵EG＞0，∴EG＝．11．如图1，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1＝S2+S3．（1）如图2，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明．（3）四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个正方形，面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1、S2、S3和S4之间的关系是S1+S3＝S2+S4．解：（1）如图（2），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1＝S2+S3，理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3；（2）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，S1、S2、S3之间的关系为S1＝S2+S3，理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3．（3）由（2）可知：S1+S3＝S2+S4故答案为：S1+S3＝S2+S4．12．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称正方形；（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，经过点A、B的圆交AC边于点D，交BC边于点E，连结DE．若四边形ABED为圆美四边形，求的值；（3）如图2，在△ABC中，经过A、B的圆交AC边于点D，交BC于点E，连结AE，BD交于点F．若在四边形ABED的内部存在一点P，使得∠PBC＝∠ADP，连结PE交BD于点G，连结PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．求证：四边形ABED为圆美四边形．（1）解：根据圆美四边形的定义知，正方形是圆美四边形，故答案为：正方形；（2）解：连接BD，AE，∵∠BAC＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴∠BED＝∠CED＝90°，∵四边形ABED为圆美四边形，∴BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAE＝90°，∵∠CAE+∠BAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，∴＝，∴AD＝DE，在等腰直角△CDE中，CD＝DE，∴CD＝AD，∴AC＝（+1）AD，∵AB＝AC，AD＝DE，∴＝+1；（3）证明：∵PA⊥PD，PB⊥PE，∴∠APD＝∠BPE＝90°，∵∠PBC＝∠ADP，∴△APD∽△EPB，∴＝，∴＝，又∵∠APD+∠DPE＝∠BPE+∠DPE，即∠APE＝∠DPB，∴△APE∽△DPB，∴∠AEP＝∠DBP，又∵∠DBP+∠PGB＝90°，∠PGB＝∠EGF，∴∠AEP+∠EGF＝90°，即∠BFE＝90°，∴BD⊥AE，又∵A，B，E，D在同一个圆上，∴四边形ABED为圆美四边形．13．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：经探究发现，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有这样的数量关系：AB2+CD2＝AD2+BC2，请写出证明过程；（先画出图形，写出已知，求证）（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG和GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE长．解：（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：如图2，连接AC、BD，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）证明：如图1中，设AC交BD于点O．∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，连接CG、BE，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∵∠AME＝∠BMN，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝3，∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．14．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有菱形和正方形；（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，∴菱形、正方形都是垂美四边形．故答案为：菱形和正方形．（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）连接CG、BE，设AB，CE交于点M，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，∵在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，∴CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，CG＝AC＝3，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，∴GE＝2，∴OH＝GE＝．15．数学活动：图形的变化问题情境：如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，E是AC边上的一个动点（点E与A，C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD＝90°，连接BE，AD．猜想线段BE，AD之间的关系．（1）独立思考：请直接写出线段BE，AD之间的关系；（2）合作交流：“希望”小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图（2）的位置，BE交AC于点H，交AD于点O．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．（3）拓展延伸：“科技”小组将（2）中的等腰直角△ABC改为Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将等腰直角△ECD改为Rt△ECD，∠ECD＝90°，CD＝4，CE＝3．试猜想BD2+AE2是否为定值，结合图（3）说明理由．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE＝∠ACD＝90°，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，∠CEB＝∠CDA，∵∠CBE+∠CEB＝90°，∴∠CBE+∠CDA＝90°，∴BE⊥AD，（2）BE＝CD，BE⊥AD，理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°∴AC＝BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∠ECD＝90°，∴CD＝CE，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD，∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD，∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，∴∠CAD+∠AHO＝90°，∴∠AHO＝90°，∴BE⊥AD；即：BE＝AD，BE⊥AD；（3）是定值，理由：∵∠ECD＝90°，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB+ACE＝∠ECD+∠ACE＝90°，∴∠BCE＝ACD，∵AC＝8，BC＝6，CD＝4，CE＝3，∴＝，∴△BCE∽△ACD，∴∠CBE＝∠CAD，∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，∴∠CAD+∠AHO＝90°，∴∠AOH＝90°，∴BE⊥AD，∴∠BOD＝∠AOB＝90°，∴BD2＝OB2+OD2，AE2＝OA2+OE2，AB2＝OA2+OB2，DE2＝OE2+OD2，∴BD2+AE2＝OB2+OD2+OA2+OE2＝AB2+DE2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝100，在Rt△ECD中，∠ECD＝90°，CD＝4，CE＝3，∴DE2＝25，∴BD2+AE2＝AB2+DE2＝125．16．【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）如图1，已知在垂等四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，若AB⊥AD，AB ＝4cm，cos∠ABD＝，求AC的长度．【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在⊙O中，已知AB是⊙O的弦，只需作OD⊥OA、OC⊥OB，分别交⊙O于点D 和点C，即可得到垂等四边形ABCD，请你写出证明过程．【问题解决】（3）如图3，已知A是⊙O上一定点，B为⊙O上一动点，以AB为一边作出⊙O的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线AC与BD交于点E，⊙O的半径为2，当点E到AD的距离为时，求弦AB的长度．解：（1）∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴cos∠ABD＝，∵AB＝4cm，cos∠ABD＝，∴BD＝5cm，∴AC＝5cm；（2）如图2，连结AC、BD，AC、BD相交于点E，∵OD⊥OA、OC⊥OB，∴∠AOD＝∠BOC＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∠BDC＝∠BOC＝45°，∴∠DEC＝90°，即AC⊥BD，∵∠AOC＝∠AOD+∠DOC，∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∴∠AOC＝∠BOD，又∵AO＝DO，CO＝BO，∴△AOC≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴四边形ABCD是垂等四边形；（3）∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD，AC⊥BD，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴＝，∴＝，∴∠ABE＝∠BAE＝（180°﹣∠AEB）＝45°，∴∠AOD＝90°，∴△AOD和△ABE是等腰直角三角形，∴AD＝OA，∵OA＝2，∴AD＝4，过点E作EF⊥AD于点F，∴∠EFD＝∠EFA＝90°，∴∠FAE+∠FEA＝90°，∵∠FEA+∠FED＝90°，∴∠FED＝∠FAE，∴Rt△DEF∽Rt△EAF，∴＝，∴EF2＝DF•AF，设DF＝x，则AF＝4﹣x，∵EF＝，∴3＝x（4﹣x），∴x1＝1，x2＝3，∴AF＝3或1，∵AE＝，∴AE＝2或2，∵AB＝AE，∴AB＝2或2．。

四边形及三角函数知识点回顾、例题讲解及课后练习（含答案）

图形的变换、四边形及初中三角函数知识点回顾、典例精讲、课后练习（含答案）教学目标：一. 教学目标：1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。

、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。

2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。

算和证明。

教学重点与难点：特殊四边形的综合应用二. 教学重点与难点：特殊四边形的综合应用知识要点：三. 知识要点：知识点1：图形的变换与镶嵌知识点2：四边形的定义、判定及性质知识点3：矩形、菱形及正方形的判定知识点4：矩形、菱形及正方形的性质知识点5：梯形的判定及性质例题精讲例1.如图所示，△ABC 是等边三角形，延长BC 至E ，延长BA 至F ，使AF =BE ，连结CF 、EF ，过点F 作直线FD ⊥CE 于D ，试发现∠FCE 与∠FEC 的数量关系，并说明理由．的数量关系，并说明理由．解：如图所示，延长BE 到G ，使EG =BC ，连FG ．∵AF =BE ，△ABC 为等边三角形，∴BF ＝BG ，∠ABC ＝60°，°，∴△GBF 也是等边三角形．在△BCF 和△GEF 中，中，∵BC =EG ，∠B =∠G =60°，BF =FG ， ∴△BCF ≌△GEF ，∴CE =DE ，又∵FD ⊥CE ，∴∠FCE =∠FEC （等腰三角形的“三线合一”）．过T 作TF ⊥AB 于F , 证△ACT ≌∠AFT (AAS ),△DCE ≌△FTB (AAS )．例2. 已知：知：如图，△如图，△ABC 中，中，∠∠C =90°，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，求证CT =BE ．解：过T 作TF ⊥AB 于F , 证△ACT ≌∠AFT(AAS),△DCE ≌△FTB(AAS) 例3.如图，已知△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，∠C =35°，且AB +BH =HC ，求∠B 度数．度数．解：在CH 上截取DH =BH ，连结AD ，先证△ABH ≌△ADH ，再证∠C =∠DAC ，得到∠B =70°．°．例3. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，•就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．面图形．（1）请根据图，填写下表中的空格：例题精讲 BACDEFAC TEBM D CA BH正多边形边数正多边形边数 3 4 5 6 …n 正多边形每个内角的度数正多边形每个内角的度数 60°90°108°120°…？（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；并探究这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．【解析】（1）n 180)2n(´-．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3）如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有n个正方形的角，n个正八边形的角，则m、n•应是方程m²90°＋n²135°＝360°的正整数解．°的正整数解．即2m＋3n＝8的正整数解，的正整数解，••这个方程的正整数解只有12mn=ìí=î一组。

2025年数学中考总复习第一部分整体知识梳理第五章四边形微专题“十字架”结构的解读

AB上，求的值.

图3
-15-
微专题“十字架”结构的解读
（3）如图2，过点D作EF⊥BC于点E，过点A作AF⊥EF于点F，连接AC，BD交于点O.
∵EF⊥BC，AF⊥EF，∠ABC=90°，
∴四边形ABEF为矩形.
∵AB=AD，BC=CD，

∴AC垂直平分DB，∴

∵AM⊥DN，∴
-5-
微专题“十字架”结构的解读
（2）当点E运动到AB的中点时，求CM的长.
（2）由（1）知△ABF≌△DAE，
∴BF=AE=BE=2.
解法1：如图1，过点F作FN⊥CM于点N.
由翻折可知FM=BF=2，∠AFB=∠AFM.
∵FM=FC，FN⊥CM，∴MN=NC，∠MFN=∠CFN，
图1
1
∴ （∠BFM+∠CFM）=∠AFM+∠MFN=∠AFN=90°，
（ⅱ）过点M作MN⊥AD，交AD的延长线于点N.
∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.
∵∠DBF=∠AMD=∠ADB，
∴∠BDF=∠AMD=∠ADB.
∵∠DOG=∠MOD，
∴△ODG∽△OMD，
∴∠ODM=∠OGD=90°，
∴∠ADB+∠MDN=90°，∠BDF+∠FDM=90°，
∴∠FDM=∠MDN.
如图1，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点

E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：

图1
=

.

-12-
微专题“十字架”结构的解读
【答案】（1）如图1，过点D作DM∥GH交BC于点M，过点C作CN∥EF

四边形中的几何结构(二)(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：几何计算、证明的基本思考流程是什么？问题2：遇到中点的处理思路有哪些？四边形中的几何结构（二）（北师版）一、单选题(共4道，每道20分)1.如图，在菱形ABCD中，∠A=80°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为( )A.40°B.45°C.50°D.55°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形2.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=135°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，若AB=8，AD=，则FP=( )A.4B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行四边形3.如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（），下列结论：①∠AEF=∠BCE；②；③若，则△CEF≌△CDF；④．其中正确的结论是( )A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：长方形4.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC中点，AF⊥CD于点F，AE=4，AF=6，则△AEF的面积是( )A.6B.C. D.9答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行四边形二、填空题(共1道，每道20分)5.如图，在菱形ABCD中，∠A=130°，E，F分别是边AB，AD的中点，EP⊥DC的延长线于点P，则∠FPD=____°．答案：25解题思路：试题难度：知识点：菱形学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：本套试题主要训练学生能够调用几何题的思考流程，通过不断组合特征，分析结构来向前推进，解决问题。

本套试题你在做的时候哪些题目有困难？问题2：自己做不下去的原因是什么？①你按照几何题的思考流程来组合特征，分析结构了吗？②你对本道题中的条件如何搭配有思路吗？③当你走不下去的时候你尝试其他条件的搭配使用了吗？。