1.1常微分方程模型

温度的变化速度为
du dt .
由Newton冷却定律, 得到
du dt
k ( u u a ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数 学模型. 解得
u ( t ) u 0 Ce kt 0 u 0 150 C u (10 ) 100 0 C
dx ( t )
化简，得
dt dx dt
ky ( t ) x ( t ) , x ( 0 ) x 0
kx ( n x ) , x ( 0 ) x 0
这个模型称为 SI 模型．
对无免疫性的传染病如痢疾、伤风等，病人治愈后会再次 被感染. 单位时间内的治愈率为 ，则上述 SI 方程修正为
dI dt Q C
经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 L 为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到
L dI dt RI Q C e (t ).
, RI ,
, 其中Q
因为 I
dQ dt
, 于是得到
2
d I dt
2

R dI L dt

I LC

1 de ( t ) L dt
律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数
学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用 于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代 数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出 现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌 握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数 理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通 过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本 方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。 参考书目: 常微分方程，东北师大数学系编，高教出版社. 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社. 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社. 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社. 常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社.
例1 镭的衰变规律 设镭的衰变率与该时刻现有的质量成正比，且已知 t
镭元素来自百度文库质量为
R0
0 时，
克，试确定在任意 t 时刻镭元素的质量．
解 设 t 时刻时，镭元素的质量为 R (t ) ， 镭元素的衰变率就是
R (t )
对时间的变化率
dR kR dt R (0) R 0
常微分方程
常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和
现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物
理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运
动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人
口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票 的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规
dR ( t ) dt
依题目给出镭元素的衰变率可得 这里
k 0 ，是由于 R (t )
随时间的增加而减少
kt
解得
R (t ) R 0 e
镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中, 在时刻 t 0 时, 测得它的温度为
u 0 150 C , 10分钟后测量得温度为 u 1 100 C 试决定此物
d dt
mg sin
即
d dt
2

g l
sin
例5 人口模型
人口模型基本假设：在自然增长的过程中，净相对增长率 （单位时间人口的净增长数与人口总数之比）是常数记常数为 r（自然增长率）
解 在 t 到 t t 这段时间内人口数量
N N (t )
的增长量为
N ( t t ) N ( t ) rN ( t ) t
则
N (t ) 满足微分方程
dN dt
rN
此方程的解为 假设初值条件为
N Ce
rt
N (t 0 ) N 0
N (t ) N 0 e
r ( t t0 )
则方程满足初值条件的解为
例6 传染病模型 长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播 过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题．人们不能去 做传染病传播的试验以获取数据，所以通常主要是依据机 理分析的方法建立模型. 假设传染病在传播期间其地区总人数不变，为常数 n .开 始时染病人数为 x 0 ，在时刻 t 的健康人数为 y (t ) ，染病人 数为 x (t ) ，由于总人数为常数，有 x ( t ) y ( t ) n . 设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数 成正比，比例常数为 k ，称 k 为传染系数，于是
§1.1 微分方程模型
微分方程
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
常微分方程 自变量只有一个的微分方程. 为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是 要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学 模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方 程,下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模 型的过程.
dr ( t ) dt lx ( t ).
此时，有
x (t ) y (t ) r (t ) n
dx ( t ) dt ky ( t ) x ( t ) dr ( t ) dt
化简，消去r (t ) ，得
dx x (0) x 0 , dt kxy lx , dy kxy , y ( 0 ) y 0 n x 0 , dt
.
这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.
例4 数学摆
数学摆是系于一根长度为L的线上而质量为m的质点M，在重 力作用下，它在垂直与地面的平面上沿圆周运动，试确定摆的运 动方程．

设取逆时针方向作为计算摆与铅垂线所成的角 的正方向. 质点M沿圆周的切向速度 摆的运动方程为
m dv dt
2
v l
体的温度 u 和时间 t 的关系.(空气温度为 Newton 冷却定律:
u a 24 C
0
)
1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;
2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一 物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解 设物体在时刻 t 的温度为 u (t ). 根据导数的物理意义, 则
第一章
绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术, 自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用, 本章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用, 并讲述一些最基本概念.
微分方程的产生
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹 (Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史 上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求 解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个 重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般 地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不 太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它 的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种 己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这 种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微 分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然. 下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的 一种最为自然的数学语言.
这个模型称为 SIR 模型．
思考与练习
1. 曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 都等于常数 a 2,求该曲线所满足的微分方程. 解 过点 ( x , y )的切线的横截距与纵截距分别为
x y y 和 y xy
由题目条件有
1 2 (x y y
'
)( y xy ) a
'
2
即
u ( t ) 24 126 e
0 . 05 t
例3 R-L-C电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).
设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电
路中电流强度I与时间t之间的关系.
解
电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流
dx ( t ) dt dx dt ky ( t ) x ( t ) x ( t ) , x ( 0 ) x 0
化简，得
kx ( n x ) x , x ( 0 ) x 0
这个模型称为 SIS 模型．
对有很强免疫性的传染病如天花、流感等，病人治愈后不 会再次被感染. 设在时刻 t 的愈后免疫人数为 r (t ) ，称为移出 者，而治愈率 l 为常数，即