工程数学基础-试卷

一. 判断 （10

分）

1．设X 是数域K 上的线性空间,12,M M 是X 的子空间, 则12⋂M M 是X 的线性子空间. （ ） 2．设A C A n

n ,⨯∈相似于对角阵的充分必要条件是其特征多项式无重零点 .

（ ）

3．设是],[b a 上以b x x x a n ≤<<<≤Λ10为节点的Lagrange 插值基函数，则

()1==∑n

k k l x . （ ）

4. 解线性方程组Ax b =，若A 是正定矩阵，则G-S 迭代格式收敛。( )

5. 设(,)x X ∈g ，当0x ≠时，必有0x >. ( )

6. 差商与所含节点的排列顺序无关. （ ）

7．对任意

,n n

A ⨯∈£A e 可逆.（ ） 8. 若Jacobi 迭代格式收敛，则Seidel 迭代格式收敛.（ ） 9. 设(,)∈⋅x,y X ，则00,x,y x =⇔=或0y =.（ ）

10.设3

3⨯∈C A 的Jordan 标准形⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2212J ，则A 的最小多项式为 2(2)λ-. （ ）

二. 填空(10分)

1. 设 201361A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

, 则A 的Jordan 标准型为 . 2. 具有1n +个不同求积节点的插值型求积公式，至少具有 次代

数精度

3．设200010011A -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，则=∞)(A Cond . 4. Cotes 求积系数()

n k

C

满足()0n

n k k C ==∑ 。

5. 2

()2-1f x x =，则0

1

2

3

[2,2,2,2]f = 。

三 . (12分) 设122224242A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

，求A 的Jordan 标准形J .和有理标准形C .

四. (14分) 设

011

110

101

A

-

⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

, （1）求A的最小多项式()

ϕλ; （2）求e At.

五. (12分) 已知线性方程组为

1

2

3

2136

1408

2112

x

x

x

⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

=-

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

(1) 写出Jacob迭代格式和Seidel迭代格式，(2) 判断迭代格式收敛性.

(1)用3次Newton插值多项式计算(78.60)

f的近似值（结果保留到小数点后第5位）。七.(14分) 对积分

1

3

1

1

dx

x

+

⎰，用Romberg方法计算积分的近似值，并将结果填入下表（结果保留至小数点后第五位）.

八．（8分）已知

010

001

254

A

⎡⎤

⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥

-

⎣⎦

，求A的谱半径()A

ρ和

1

,

A A

∞

。

九．（8分）设⋅是n n

C ⨯上的范数，n n

S C

⨯∈是可逆矩阵。若对任意n n

A C

⨯∈，

定义：1S

A S AS -=，试证明：S ⋅也是n n C ⨯上的范数。