北京汇文中学谢达鸿老师点拨高考数学复习-数学试题
2023-2024学年北京东城区汇文中学高三(上)期中数学试题及答案
北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第一学期期中考试高三年级 数学学科本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、选择题(每题4分，共40分)1. 已知集合{}260A x x x =--≤，{}||1B y y x ==+，则AB =( )A. [1，2]B. [1，3]C. [0，2]D. [0，3] 2. 下列命题中，正确的是( )A ．12i -的虚部是2B ．|12|i -=C ．12i -的共轭复数是12i --D ．12i -在复平面内对应的点在第二象限3．已知点(6,8)P -是角α终边上一点，则sin()(2πα+= )A ．35B ．35- C ．45 D ．45-4. 已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是( ) A ．若//l m ，m α⊂，则//l α B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ D ． 若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥5.在△ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m =，CD n =.则CB =( ) A. 32m n - B. 23m n -+ C. 32m n + D. 23m n +6．函数2()22cos f x x x =-在区间[0,]2π上的最大值为( )A ．12B 1-C ．1D 7. 在数列{}n a 中，已知2n a n n λ=+，*N n ∈，则“12a a <”是“{}n a 是单调递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象．若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是( )A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离为( )图1 图2 图3A.2B.2C.1D.10.设函数2(1)2,1()|2|,1x a x a x f x a x x ⎧-++<=⎨-≥⎩，给出下列四个结论：①当0a <时，函数()f x 有三个极值点； ②当01a <<时，函数()f x 有三个极值点； ③R,2a x ∀∈=是函数()f x 的极小值点； ④1R,2a a x +∀∈=不是函数()f x 的极大值点． 其中，所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、填空题(每题5分，共25分)11．首项为1的等比数列{}n a 中，12342,,a a a 成等差数列，则公比q =_______．12.若函数1()2()2x x f x a =-⋅为偶函数，则a =________，()f x 的最小值为_______.13.已知正四棱锥S ABCD -，底面边长为2 ，体积为3，则这个四棱锥的侧棱长为_______. 14．已知数列{}n a 满足122122111n n n n a a n a a a +-==+=+，，，*N n ∈.则集合{|20}m m a ≤中元素的个数为________.15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足12b e ⋅=，252b e ⋅=，且对于任意,R x y ∈，12010200()()1(,R)b xe ye b x e y e x y -+≥-+=∈，则00x y += ，b = ．三、解答题（本大题共6小题，共85分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（13分）△ABC 中，222b c a +=+． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件， 并求△ABC 的面积．条件①：sin 2B =，b =；条件②：cos 3B =，a = 条件③：1a =，b =．注：条件选择错误，第（2）问得0分．在17. （14分）如图，已知PAB ⊥平面平面，四边形是矩形，PA AB =，点，分别是，的中点．（Ⅰ）若点为线段中点，求证：∥平面； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面PBC .18. （15分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对于任意1[,]x e e∈，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围．ABCD ABCD E F BC PB M AD PMAEF19. （14分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F为棱CD 上一点．（Ⅰ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角11A A C E --的正弦值；（Ⅲ）是否存在点F ，使1D F //平面11A EC ？若存在，求出DF 的长度；若不存在，请说明理由.20. （14分）已知函数()(2)ln x f x x e x x =--+． （Ⅰ）求证：函数()f x 在区间[1,)+∞上为单调递增函数；（Ⅱ）若函数()f x 在1[,1]4上的最大值在区间(,1)m m +内，求整数m 的值．21. （15分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω.求证：i Ω是等差数列.【参考答案】一、选择题：BBADB CCBAD二、填空题11. 212. -1,214.2415.16.（1）由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，又222b c a+=+，可得2cosbc A=，所以cos2A=，又因为()0,Aπ∈，所以6Aπ=（2）选择条件②由（1）知，6Aπ=，根据条件②中cos3B=，()0,Bπ∈，所以B∠也是唯一确定的，从而可得C∠也是唯一确定的，再由a=,b c也是唯一确定的，故选择条件②.因为cos3B=，()0,Bπ∈，所以1sin3B=．由正弦定理sin sina bA B=，可得1sin31sin32Bb aA===，所以()11sin sin sin cos cos sin23236C A B A B A B=+=+=⨯+⨯=所以三角形面积1sin29S ab C+==17.（Ⅰ）证明：连结BM 交AE 于N ，连结PM ，FN ． 因为四边形ABCD 是矩形， 所以//AD BC ，且=AD BC ， 又M ，E 分别为AD ，A 的中点，所以四边形AMEB 是平行四边形， 所以N 为BM 的中点， 又因为M 是PB 的中点，所以PM ∥FN ，因为PM ⊄平面AEF ，NF ⊂平面AEF ，所以PM ∥平面AEF . （Ⅱ）证明：,ABCD BC AB ⊥在矩形中BC AB PAB ABCD PAB ABCD AB BC ABCD ⊥⎧⎪⊥⎪⎨⋂=⎪⎪⊂⎩面面面面面 BC PAB ∴⊥面因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥． 因为PA AB =，点M 是PB 的中点， 所以PB AF ⊥ 又因为BCPB B =，所以AF ⊥平面PBC ．18.解：(Ⅰ)因为函数f(x)=xlnx ， 所以f ′(x)=lnx +x ⋅1x=lnx +1， f′(1)=ln1+1=1． 又因为f(1)=0，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =x −1．(Ⅱ)函数f(x)=xlnx 定义域为(0,+∞)， 由(Ⅰ)可知，f′(x)=lnx +1． 令f′(x)=0，解得x =1e．f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：故f(x)的增区间为(e ,+∞)，减区间为(0,1e )．(Ⅲ)当1e⩽x ⩽e 时，“f(x)≤ax −1”等价于“a ≥lnx +1x”恒成立， 令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e ,e]， g′(x)=1x−1x 2=x−1x 2，x ∈[1e,e]．当x ∈[1e ,1)时，gˈ(x)<0，所以g(x)在区间[1e ,1)单调递减．当x ∈(1,e]时，gˈ(x)>0，所以g(x)在区间(1,e]单调递增． 而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5，g (e )=1+1e <1.5， 所以g(x)在区间[1e ,e]上的最大值为g(1e)=e −1．所以当a ≥e −1时，对于任意x ∈[1e,e]，都有f(x)≤ax −1． 19.(1) 以 A 为原点， AB,AD,AA 1分别为 x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， A 1(0,0,2)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， C 1(2,2,2)， D 1(0,2,2)，E(2,1,0)1111(2,2,2),(2,2,0),(0,1,2)AC AC EC ===设平面11A C E 的一个法向量为(,,)m x y z =1110m A C m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 不妨设y =2，则x =−2，z =−1, (2,2,1)m =--设直线 AC 1与平面 A 1EC 1所成角为 θ，则111sin |cos ,|3,m AC m AC m AC θ⋅=<>===⨯． (2)由正方体可得，平面 AA 1C 1的一个法向量为 DB →=(2,−2,0)， 则cos ,33DB m DB m DB m⋅<>===⨯⋅ . 因为二面角 A −A 1C 1−E 为锐二面角，所以二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值为 √1−cos 2 ⟨DB →,m →⟩=13．（3）存在，设F 点的坐标为(t,2,0),所以FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,0,2) 平面 A 1EC 1的一个法向量为 m →=(−2,2,−1)， 因为FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m →，所以m ⃗⃗ ∙FD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，t =1因为 D 1F ⊄平面 A 1EC 1，所以 D 1F//平面 A 1EC 1．此时DF =120.解：(1)x ∈[1,+∞),f ′(x )=e x +(x −2)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x ) 当x ≥1时x −1≥0,e x ≥e,1x ≤1,e x >1x ∴f ′(x )≥0，f (x )单调递增 (2)f′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)(e x −1x). 令ℎ(x)=e x −1x ，则ℎ′(x)=e x +1x 2>0，所以ℎ(x)在[14,1]上单调递增，因为ℎ(12)=e 12−2<0，ℎ(1)=e −1>0，所以存在x 0∈(12,1)，使得ℎ(x 0)=0，即e x 0=1x 0，即lnx 0=−x 0，故当x ∈[14,x 0)时，ℎ(x)<0，当x ∈(x 0,1]时，ℎ(x)>0， 又当x ∈[14,1]时，x −1≤0(等号仅在x =1时成立)，所以当x ∈[14,x 0)时，f′(x)>0，当x ∈(x 0,1]时，f′(x)≤0(等号仅在x =1时成立)， 所以f(x)在[14,x 0)上单调递增，在(x 0,1]上单调递减， 则f(x)max =g(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0=(x 0−2)⋅1x 0−x 0−x 0=1−2x 0−2x 0，令G(x)=1−2x −2x ，x ∈(12,1)，则G′(x)=2x2−2=2(1−x 2)x2>0(x ∈(12,1))，所以G(x)在(12,1)上单调递增，则G(x)>G(12)=−4，G(x)<G(1)=−3， 所以−4<f(x)max <−3，所以m =−4．21.（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………3分（Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立； ② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--. 当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+-- 11(1)()k k k k n a a a a a +=+----111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =.由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()iii i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =.因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+--12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列， 所以i Ω是等差数列. ………………13分 证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=. 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =， 1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -这12n -个式子都乘以1-， 相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-. 设数列n B 的“衍生数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列. 即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。
2024届北京东城区北京汇文中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析
2024届北京东城区北京汇文中学数学高一第二学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线222x ay a +=+与直线20ax y +=平行，则实数a = A ．0B ．1C ．1-D ．±12．已知向量()2,1a =，()1,1b =-，则a b ⋅=（ ） A ．-1B ．-2C ．1D ．03．已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2παπ<<，则2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A．B． CD． 4．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b <<，则11a b < D ．若0a b <<，则b a a b> 5．已知向量a 与b 的夹角为60，2a =，1b =，当()2b a b λ⊥-时，实数λ为( ) A ．1B ．2C ．4D ．86．若2cos75a =，4cos15b =，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是（ ） A ．12B．2CD．7．已知实数a b c 、、满足0a b c ++=且a b c >>，则下列关系中一定正确的是（ ） A ．ab ac <B ．()0ac a c ->C ．22cb ab <D ．()0c b a ->8．已知点()1,2A -，()5,4B 则向量BA =（ ） A ．()6,2B ．()9,4-C ．()9,4-D ．()6,2--9．在中，内角所对的边分别为，若，，则( )A ．B ．C ．D ．10．已知向量23,4a b ==，且12a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区汇文中学2025届数学高三上期末经典试题含解析
北京市东城区汇文中学2025届数学高三上期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1632．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦3．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ） A ．231⎛ ⎝⎭,B ．(3C ．231⎛ ⎝⎦,D ．3]4．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（ ） A ．2B ．3C ．-2D ．-35．函数1()1xxe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．6．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( ) A ．1B ．12C ．13D ．147．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．1408．给出50个数 1，2，4，7，11，，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大 1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这50个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )A ．i 50≤；p p i =+B ．i 50<；p p i =+C ．i 50≤；p p 1=+D ．i 50<；p p 1=+9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D ．53410．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-11．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >12．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（ ） A ．30B ．31C ．32D ．33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市汇文中学2025届高三适应性调研考试数学试题含解析2
北京市汇文中学2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．12 2．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．94B ．5C ．5224+ D ．93．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln 2D ．2ln 24．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．132B ．5C ．25D ．136．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．2807．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14158．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．9．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.810．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20B ．50C ．40D ．6011．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π1633+B ．4π1633+C ．16343π3+D ．43π1633+12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．2155二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市汇文中学2025届高三年级第二次四校联考数学试题
北京市汇文中学2025届高三年级第二次四校联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数y =2x sin2x 的图象可能是 A ． B ．C ．D ．2．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，设2(ln 2),(2),(ln )2a f b f c f ===，则（ ）A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>3．设集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣1，3]B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．845．下列命题是真命题的是（ ）A ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；B ．命题p ：x R ∀∈，211x -≤，则p ⌝：0x R ∃∈，2011x -≤；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件；D ．命题“若()110x x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”. 6．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．96 7．设()f x x =，点()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm9．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( ) A ．{}|02x x ≤< B ．{}|13x x ≤< C ．{}|23x x <≤ D ．{}|02x x <≤10．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( )A ．4B ．8C ．6D ．1211．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．822+D ．842+12．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图： 记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市汇文中学2025届高三适应性调研考试数学试题含解析
北京市汇文中学2025届高三适应性调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．12．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④3．已知函数())33x x f x x -=+-，不等式()2(50f f x ++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．(,2]-∞-C ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦4．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（ ）A ．1BC ．2D ．35．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．427．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 8．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．609．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数） 32e >；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0B ．1C ．2D ．310．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种11．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 12．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年北京市东城区汇文中学高三(下)开学数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京市东城区汇文中学高三（下）开学数学试卷一、单选题（本大题共22小题，共100.0分）1.若集合A={x|x2−2x≤0}，集合B满足A∪B=A，则B可以为()A. {x|x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {1,2}D. {−1,0，1，2}2.设复数z=|√3+i|−i2021，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，整理前三季度的收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A. 该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍B. 该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多C. 该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的13D. 该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的164.函数f(x)=x的图象大致为()ln|x|A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=sinx −x ，设a =f(π0.1)，b =f(0.1π)，c =f(log 0.1π)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c6. 在钝角三角形ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，S △ABC =√32，点D 为BC 的中点，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √72B. √52C. √32D. 127. 已知函数f(x)=me x−2+n 的图象恒过点(2,1)，若对于任意的正数m ，n ，不等式1m+4n ≥A 恒成立，则实数A 的最大值为( ) A. 9 B. 3+2√2 C. 7D. 4√28. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，倾斜角为θ(0<θ<π2)的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FN 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin2θ=( )A. 2√23B. 13C. √24D. 4√299. 若各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，a 1a 5=256，则使得不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立的最大正整数n 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 在平面内，A ，C 是两个定点，B 是动点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的内角A 的最大值为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 已知函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,若函数g(x)=f(x)−kx +k 在区间[−2,1]上有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−4−2√3,0)B. (−1,0)C. (−4+2√3,0)D. (−12,0)12.在△ABC中，AC=2√3，顶点B在以AC为直径的圆上，点P在平面ABC上的射影为AC的中点，PA=2，则其外接球的表面积为()A. 12πB. 163π C. 94π D. 16π13.已知集合A={x∈R|−1≤x≤3}，B={x∈N|2x<4}，则集合A∩B中元素的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 414.若z(1−i)=2i，则z−的虚部为()A. 1B. −1C. iD. −i15.在(√x2−1√x)6的二项展开式中，x2的系数为()A. 1516B. −1516C. 316D. −31616.已知平面向量a⃗=(√3,−1)，|b⃗ |=4，且(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗−b⃗ |=()A. 2B. 3C. 4D. 517.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A，B两点的任意一点，且AB=2，PA=BC=√3，则二面角A−BC−P的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°18.已知f(x)=√32sinωx+sin2ωx2−12(ω>0)，则下列说法错误的是()A. 若f(x)在(0,π)内单调，则0<ω≤23B. 若f(x)在(0,π)内无零点，则0<ω≤16C. 若y=|f(x)|的最小正周期为π，则ω=2D. 若ω=2时，直线x=−2π3是函数f(x)图象的一条对称轴19.数列{a n}的前n项和记为S n，则“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件20.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点P在C上，|PF|=174，若以线段PF 为直径的圆过点(1,0)，则C的方程为()A. x2=y或x2=8yB. x2=2y或x2=8yC. x2=y或x2=16yD. x2=2y或x2=16y21.在△ABC中，a=2√3，√7bcosA=3asinB，则△ABC面积的最大值是()A. 3√7B. 6√7C. 9√7D. 18√722.已知函数f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关于f(x)有下述四个结论：①f(x)的一个周期是2π；②f(x)是偶函数；③f(x)的最大值大于√2；④f(x)在(0,π)单调递减．其中所有正确结论编号是()A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④二、单空题（本大题共9小题，共45.0分）23.若某几何体的三视图如图所示、则该几何体的体积为______ ．24.从古至今，文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新诗，称之为“通体回文诗”，数学中也有类似的情况：对一个整数n(n>10)从左向右和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间[10,30]中，任取一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为______ ．25.对于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)来说，我们定义圆x2+y2=a2为它的“伴随圆”.过双曲线x2a2−4y29=1(a>0)的左焦点F1作它的伴随圆的一条切线，设切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P，若M为PF1的中点，M在T右侧，且|MO|−|MT|为定值12，则该双曲线的离心率为______ ．26.已知函数f(x)=sin2x+sin(2x+π3)+a同时满足下述性质：①若对于任意的x1，x2，x3∈[0,π4]，f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立；②f(π6)≤√3−a2，则a的值为______ ．27.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老、中、青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为______ ．28.在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a2⋅a4=16，a6=32，记b n=a n+a n+1，则数列{b n}的前六项和S6为______ ．29.已知F是双曲线C：x2−y28=1的右焦点，P是双曲线C上的点，A(0,6√2)．①若点P在双曲线右支上，则|AP|+|PF|的最小值为______ ；②若点P在双曲线左支上，则|AP|+|PF|的最小值为______ ．30.已知函数f(x)={3x−1+kx−1,x≤0|lnx|+kx−2,x>0，若f(x)恰有4个零点，则实数k的取值范围为______ ．31.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求见选票，如图所示.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的84%，75%，46%，则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为______ ．三、解答题（本大题共13小题，共167.0分）32.已知数列{a n}是递增的等差数列，a1=12，且满足a4是a2与a8的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n+1}的前n项和．33.如图，DA⊥平面ABC，DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形．(1)证明：平面ACD⊥平面BCE；(2)若AD//BE，P为CE的中点，Q为线段OP上的动点，判断三棱锥QACD的体积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．34.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾病，某医疗机构随机抽取了100人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3，整理数据得到如表：感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟15不吸电子烟50总计(1)完成2×2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关？(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v求这两个人来自同一类别的概率．，其中n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)35.已知函数f(x)=sinx−ae x−1(a∈R)．(1)定义f(x)的导函数为f(1)(x)，f(1)(x)的导函数为f(2)(x)，……以此类推，若)的单调区间；f(2020)(1)=sin1，求函数f(2x+π3(2)若a≥1，x≥0，证明：f(x)<0．36.已知圆M：(x−√6)2+y2=32，点Q是圆M上的一个动点，点N(−√6,0)，若线段QN的垂直平分线交线段QM于点T．(1)求动点T的轨迹曲线C的方程；(2)设O是坐标原点，点P(2,1)，点R(异于原点)是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线PR，PS分别与曲线C交于A，B(异于点P)两点，判断直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．37.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=mt 2y=mt，(m≠0,t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求|TM|⋅|TN|．38.已知函数f(x)=|x−1|．(1)求不等式f(x)−f(2x+4)≤1的解集；(2)当x<−1时，f(ax)+f(−x)+x>0恒成立，求实数a的取值范围．39.已知△ABC中，bcosA−c>0．(Ⅰ)△ABC中是否必有一个内角为钝角，说明理由．(Ⅱ)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sinA =√22；②sinC =√32；③a =2；④c =√2．请证明使得△ABC 存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出b 的值．40. 如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，M 分别是线段AD ，BD ，AC 的中点，∠ABD =∠BCD =90°，EC =√2，AB =BD =2． (Ⅰ)证明：EM//平面BCD ； (Ⅱ)证明：EF ⊥平面BCD ；(Ⅲ)若直线EC 与平面ABC 所成的角等于30°，求二面角A −CE −B 的余弦值．41. 某企业发明了一种新产品，其质量指标值为m(m ∈[70,100])，其质量指标等级如表： 质量指标值m [70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]质量指标等级良好 优秀 良好 合格 废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(Ⅰ)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；(Ⅱ)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品中任取3件产品，求m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望；(Ⅲ)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如表(1<t<4)：质量指标值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利润y(元)4t9t4t2t−5 3 e t试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：ln2≈0.7，ln5≈1.6)．42.已知函数f(x)=12x2−alnx−12(a∈R,a≠0)．(Ⅰ)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≥0成立，求a的取值范围．43. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且经过点(1,√32)．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知O 为坐标原点，A ，B 为椭圆C 上两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|AB||OA|=32，求△OAB 的面积．44. 已知项数为m(m ∈N ∗,m ≥2)的数列{a n }为递增数列，且满足a n ∈N ∗，若b n =(a 1+a 2+⋯+a m )−a nm−1∈Z ，则{b n }为{a n }的“关联数列”．(Ⅰ)数列1，4，7，10是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)若{b n }为{a n }的“关联数列”，{b n }是否一定具有单调性？请说明理由． (Ⅲ)已知数列{a n }存在“关联数列”{b n }，且a 1=1，a m =2021，求m 的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B可以为{1,2}．故选：C．求出集合A，由集合B满足A∪B=A，得B⊆A，由此能求出集合B．本题考查集合的运算，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵i4=1，i2021=(i4)505⋅i=i，|√3+i|=√(√3)2+12=2，复数z=|√3+i|−i2021=2−i，则在复平面内z对应的点(2,−1)位于第四象限，故选：D．由i4=1，可得i2021=(i4)505⋅i=i，再利用几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查统计图的应用，属基础题．依题意，根据统计图的数据，逐个选项判断即可．【解答】解：设第一季度的总收入为a，则由题意可知，第二季度的总收人为2a，第三季度的总收入为4a，故A正确；由图可知，该直播间第三季度的服装收人为4a×0.7=2.8a，第一季度和第二季度的服装总收入为a×0.9+2a×0.8=2.5a<2.8a，故B正确；该直播间第二季度的食品收入为2a×0.2=0.4a，第三季度的食品收入为4a×0.3=1.2a；0.4a1.2a =13，故C正确；而第一季度的食品收人是0.1a，不满足是第三能度食品收入的16.故D错误．故选D．4.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，f(−x)=−xln|−x|=−xln|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f(x)→+∞，排除D，当x=e时，f(e)=elne=e<5，排除C，故选：B．先求出函数的定义域，判断函数是奇函数，利用极限思想以及f(e)的值利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用极限思想以及排除法是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用指数函数、对数函数性质比较大小，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意得f′(x)≤0，可得f(x)在定义域上单调递减，比较π0.1，0.1π，log0.1π大小即可得a，b，c的大小关系．【解答】解：由题意得f′(x)=cosx−1≤0，所以f(x)在定义域上单调递减．因为π0.1>π0=1，0<0.1π<0.10=1，log0.1π<0，所以π0.1>0.1π>log0.1π，即c >b >a ． 故选C ．6.【答案】C【解析】解：如图，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,S △ABC =√32， ∴12|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin∠BAC =sin∠BAC =√32，∴cos∠BAC =±12，若cos∠BAC =12，则：|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4−2×2×1×12=3，∴∠B =90°，△ABC 是直角三角形，与已知△ABC 是钝角三角形矛盾， ∴cos∠BAC =−12，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12⋅√4+1−2×2×1×12=√32． 故选：C ．可画出图形，可求出|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，根据S △ABC =√32即可求出sin∠BAC =√32，从而得出cos∠BAC =±12，然后根据△ABC 为钝角三角形可得出cos∠BAC =−12，然后根据|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，进行数量积的运算即可求出|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：可令x −2=0，即x =2，可得f(2)=m +n =1， 由m >0，n >0，可得1m +4n =(m +n)(1m +4n )=1+4+nm +4m n≥5+2√n m ⋅4m n=9，当且仅当n =2m =23时取得等号，则A ≤9，可得A 的最大值为9． 故选：A ．可令x −2=0，求得m +n =1，再由乘1法和基本不等式求得1m +4n 的最小值，由不等式恒成立思想得到A 的最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为抛物线y 2=2px(p >0)， 所以焦点F(p2,0)，设过焦点F ，倾斜角为θ的直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)， 设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)， 与抛物线联立得k 2x 2−(2p +pk 2)x +p 2k 24=0，所以x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 所以|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以x 1+p2=2(x 2+p2)，即x 1=2x 2+p2， 两边加x 2可得，x 1+x 2=3x 2+p2， 又因为x 1+x 2=2p+pk 2k 2，所以2p+pk 2k 2=3x 2+p 2，解得x 2=pk 2+4p 6k 2，又因为x 1x 2=p 24，所以(2x 2+p2)x 2=p 24，所以2x 22+p2⋅x 2=p 24，所以2(pk 2+4p 6k 2)2+p2⋅(pk 2+4p 6k 2)=p 24，所以k 4−7k 2−8=0， 解得k 2=8或k 2=−1(舍)，又因为k >0， 所以k =tanθ=2√2，所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=4√29．故选：D ．根据题意设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)，直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)，与抛物线联立，结合韦达定理可得x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，由于FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，推出|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即x 1=2x 2+p2，即可解得k ，tanθ，再计算sin2θ即可得出答案．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，可得a n+1a n=4，则数列{a n }是公比为4的等比数列，又a 1a 5=256，∴a 12q 4=256，即a 1=1，∴a n =4n−1=(2n−1)2，可得√a n =2n−1，由不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立， 得4n <133(1+20+21+22+⋯+2n−1)=133(1+1−2n 1−2)=133×2n ，∴2n <133<28，即n <8，可得最大正整数n 的值为7． 故选：C ．由已知可得数列{a n }是公比为4的等比数列，再由已知求得公比，得到数列通项公式，然后利用等比数列的前n 项和公式求1+√a 1+√a 2+⋯+√a n ，代入已知不等式求得n 的范围，可得最大正整数n 的值．本题考查等比数列的通项公式及前n 项和，考查指数不等式的解法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3r ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，CD 的中点为E ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 又由|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上， 连接AB ，当AB 与圆E 相切时，∠A 最大，当AB 与圆相切时，BE =r ，AE =2r ，∠EBA =π2， 则A =π6，故内角A 的最大值为π6， 故选：A ．根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量加法的性质可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，进而可得|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上，分析可得当AB 与圆相切时，∠A 最大，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查平面向量数量积的性质以及向量加法的性质，关键是分析B 的轨迹，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,， 作出f(x)在[−2,1]的函数图象， 当x ∈[−2,0)时，f(x)=−x 2−2x ． 那么g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．∵y =kx −k =k(x −1)，直线恒过(1,0)， ∴−x 2−2x =kx −k 只有2个交点， 此时△=(2+k)2+4k =0， 解得k =2√3−4，要使f(x)图象与y =kx −k 有3个交点， 可知−4+2√3<k <0． 故选：C ．作出f(x)在[−2,1]的函数图象，根据g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y=kx−k的交点问题即可求解．本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，∵顶点B在以AC为直径的圆上，∴∠ABC=90°，∵AD=DC，∴D为△ABC的外心，又PD⊥平面ABC，且AD=DC，∴PA=PC=2，∵PD⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，则△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心．在△PAC中，由余弦定理可得，cos∠APC=22+22−(2√3)22×2×2=−12，∴∠APC=120°，sin∠APC=√32，设△PAC外接圆的半径为R，则2R=ACsin∠APC=2√3√32=4，得R=2．∴其外接球的表面积为S=4π×22=16π．故选：D．由已知可得△ABC为直角三角形，得到AC的中点D为△ABC外接圆圆心，再由PD⊥底面ABC，可得△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】B【解析】解：∵A={x∈R|−1≤x≤3}，B={x∈N|2x<4}={x∈N|x<2}={0,1}，∴A∩B={x∈R|−1≤x≤3}∩{0,1}={0,1}，∴集合A∩B中元素的个数为2．故选：B．求解指数不等式化简B，再由交集运算求得A∩B，得到集合A∩B中元素的个数．本题考查指数不等式的解法，交集及其运算，是基础题．14.【答案】B【解析】解：由z(1−i)=2i，得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=2i+2i212+12=−2+2i2=−1+i，∴z−=−1−i，则z−的虚部为−1．故选：B．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．15.【答案】D【解析】解：(√x2√x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅2r−6⋅x3−r，令3−r=2，求得r=1，故x2的系数为−C61⋅2−5=−316．故选：D．求出二项展开式的通项公式，令x的指数为2，求出r的值，即可得解．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：由平面向量a⃗=(√3,−1)，可得|a⃗|=√3+1=2，由(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，可得a⃗⋅(a⃗−2b⃗ )=0，即a⃗2=2a⃗⋅b⃗ =4，则a⃗⋅b⃗ =2，|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√4−2×2+16=4，故选：C．由向量的模的定义和向量垂直的性质，求得a⃗⋅b⃗ ，再由向量的平方即为模的平方，化简计算可得所求值．本题考查向量数量积的性质和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】C【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在平面，C 是圆周上不同于A ，B 两点的任意一点， 且AB =2，PA =BC =√3，∴AC ⊥BC ，AC =√AB 2−BC 2=√4−3=1， 以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， P(0,0，√3)，B(√3,1，0)，C(0,1，0)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−√3)， 设平面PBC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y −√3z =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =y −√3z =0，取z =1，得n ⃗ =(0,√3,1)，平面ABC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设二面角A −BC −P 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=12，∴θ=60°， ∴二面角A −BC −P 的大小为60°， 故选：C ．以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −BC −P 的大小．本题考查二面角的大小的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．18.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)=√32sinωx +sin 2ωx 2−12=√32sinωx −12cosωx =sin(ωx −π6)，由此依次分析选项：对于A，若f(x)在(0,π)内单调，则有ωπ−π6≤π2，解可得ω≤23，A正确，对于B，当x∈(0,π)时，则ωx−π6∈(−π6,ωπ−π6)若f(x)在(0,π)上无零点，则ωπ−π6≤0，解可得0<ω≤16，B正确，对于C，若y=|f(x)|的最小正周期为π，则πω=π，解可得ω=1，C错误，对于D，若ω=2，则f(x)=sin(2x−π6)，当x=−2π3时，2x−π6=−3π2，则直线x=−2π3是函数f(x)图象的一条对称轴，D正确，故选：C．根据题意，将函数的解析式变形可得f(x)=sin(ωx−π6)，据此依次分析选项，综合可得答案．本题考查三角函数的性质，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．19.【答案】B【解析】解：若数列{a n}为常数列，则设a n=a，所以S n=na，于是S1=a1=a，S n+1−S n=a，所以{S n}为等差数列，所以“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要条件；若数列{S n}为等差数列，设公差为d，则S n=S1+(n−1)d，于是a1=S1，a n+1=S n+1−S n=(S1+nd)−(S1+(n−1)d)=d，当a1=S1≠d时，数列{a n}不是常数列，所以，“数列{S n}为等差数列”不是“数列{a n}为常数列”的充分条件；综上所述，“数列{S n}为等差数列”是“数列{a n}为常数列”的必要不充分条件．故选：B．求出数列的通项公式，利用等差数列的定义及充分条件和必要条件概念进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的基本概念，考查了等差数列的基本性质，属于基础题．20.【答案】C【解析】解：由题意可知F(0,p 2)，准线方程为y =−p2， 设点P(m.n)，|PF|=n +p2=174，又线段PF 为直径的圆过点(1,0)，∴圆的半径为178，圆心坐标为(m 2,178)，√(m 2−1)2+(178−0)2=178，∴m =2，即P(2,174−p 2)代入抛物线方程得，4=2p ×(174−p2)，解得p =8或12， 故选：C ．设出点P 坐标，根据抛物线定义和性质，可将点P 坐标代入即可解出． 本题考查抛物线的性质，圆的方程，属于基础题．21.【答案】A【解析】解：由正弦定理及√7bcosA =3asinB ，得√7sinBcosA =3sinAsinB ， 因为sinB >0，所以√7cosA =3sinA ，A 为锐角， 结合sin 2A +cos 2A =1， 所以sinA =√74，cosA =34，由余弦定理得，cosA =34=b 2+c 2−122bc，整理得，24=2b 2+2c 2−3bc ≥4bc −3bc =bc ，当且仅当b =c 时取等号，即bc ≤24， 则△ABC 面积S =12bcsinA ≤12×24×√74=3√7，故选：A ．由已知结合正弦定理及同角基本关系可求sin A ，cos A ，然后结合余弦定理及基本不等式可求bc 的范围，进而可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在三角形求解中的应用，属于中档题．22.【答案】B【解析】解：①：因为f(x +2π)=sin[cos(x +2π)]+cos[sin(x +2π)]=sin[cosx]+sin[cosx]=f(x)，所以函数的一个周期为2π，故①正确；②：因为f(π4)=sin[cosπ4]+cos[sinπ4]=sin0+cos0=1，f(−π4)=sin[cos(−π4)]+cos[sin(−π4)]=sin0+cos(−1)=cos1，所以f(π4)≠f(−π4)，故函数不是偶函数；故②错误；③因为f(0)=sin[cos0]+cos[sin0]=sin1+1>√22+1>√2，故③正确；④：当x∈(0,π2)时，0<sinx<1，0<cosx<1，所以[sinx]=[cosx]=0，所以f(x)=sin[cosx]+cos[sinx]=sin0+cos0=1，即当x∈(0,π2)时，f(x)=1为定值，故④错误；故选：B．①，利用周期定义判断；②，利用f(π4)和f(−π4)的值判断；③利用f(0)的值判断；④判断函数f(x)在(0,π2)的函数值判断即可．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】16π9【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为2，高为4的13圆锥体；故V=13×13×π×22×4=16π9．故答案为：16π9．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．24.【答案】421【解析】解：在闭区间[10,30]中，任取一个整数，基本事件总数n=21，此整数是“通体质数”包含的基本事件有：11，13，17，19，共4个，∴此整数是“通体质数”的概率为P=421．故答案为：421．先求出基本事件总数n=21，再用列法求出此整数是“通体质数”包含的基本事件有4个，由此能求出此整数是“通体质数”的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．25.【答案】√132【解析】解：设双曲线的右焦点为F2，如图，则|MO|=12|PF2|，在Rt△OF1T中，|OF1|=c，|OT|=a，∴|TF1|=b，|OM|−|MT|=12|PF2|−(12|PF1|−b)=b−a=32−a=12，∴a=1，∴c=√a2+b2=√1+94=√132，故答案为：√132．根据双曲线的性质，定义，设出双曲线右焦点为F2，即可解出a的值，可以直接求出离心率．本题考查了双曲线的定义，性质，学生的运算能力，属于中档题．26.【答案】0【解析】解：f(x)=sin2x +(12sin2x +√32cos2x)+a=32sin2x +√32cos2x +a =√3(√32sin2x +12cos2x)+a=√3sin(2x +π6)+a当x ∈[0,π4]时，2x +π6∈[π6,2π3]，∴当x ∈[0,π4]时，f(x)∈[a +√32,a +√3]，∵对于任意x 1，x 2，x 3∈[0,π4]，f(x 1)+f(x 2 )≥f(x 3) 恒成立， ∴2f(x)min ≥f(x)max ， ∴2(a +√32)≥a +√3，∴a ≥0 ①，∵f(π6)=√3+a ≤√3−a 2，∴a 2+a ≤0，∴−1≤a ≤0 ②， 由①②可得a =0． 故答案为：a =0．首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最值的应用得出结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．27.【答案】36【解析】解：设老年职工有x 人，则中年职工有2x 人，所以x +2x +160=430， x =90，所以老年职工有90人，设该样本中的老年职工人数为y 人，则y90=64160， 解得y =36，所以该样本中的老年职工人数为36人．设老年职工有x 人，列方程求出x 的值，再设该样本中的老年职工人数为y 人，列方程求出y 的值即可．本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．28.【答案】189【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2⋅a4=16=a32，a n>0，∴a3=4，=q3=8，解得：q=2，又∵a6=32，∴a6a3∴a n=a6q n−6=2n−1，∴b n=2n−1+2n=3×2n−1，=189，∴S6=3(1−26)1−2故答案为：189．先由题设求得a3，进而求得公比q与a n，再求得b n，然后利用等比数列的前n项和公式求得结果．本题主要考查等比数列的性质及基本量的计算，属于基础题．29.【答案】9 11【解析】解：由题意知，F(3,0)，①|AP|+|PF|≥|AF|=√(0−3)2+(6√2−0)2=9，当且仅当A，P，F按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为9；②设双曲线的左焦点为F′(−3,0)，由双曲线的定义知，|PF|−|PF′|=2a=2，所以|AP|+|PF|=|AP|+|PF′|+2≥|AF′|+2=√(0+3)2+(6√2−0)2+2=11，当且仅当A，P，F′按此顺序三点共线时，等号成立，所以|AP|+|PF|的最小值为11．故答案为：9；11．由题意知，F(3,0)，①当A，P，F按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值；②设双曲线的左焦点为F′，由双曲线的定义可知，|PF|=|PF′|+2，当A，P，F′按此顺序三点共线时，|AP|+|PF|取得最小值．本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．30.【答案】(−e−3,0)【解析】解：原问题等价于函数g(x)={2x−1−1|lnx|−2与函数y=−kx存在4个不同的交点．绘制函数g(x)的图像如图所示，很明显，当k≥0时，不满足题意，当k<0时，两函数在区间(−∞,0)和区间(0,1)上必然各存在一个交点，则函数g(x)与函数y=−kx在区间(1,+∞)上存在两个交点，临界条件为函数y=−kx与函数ℎ(x)=lnx−2相切，考查函数ℎ(x)=lnx−2过坐标原点的切线：由函数的解析式可得：ℎ′(x)=1x，设切点坐标为(x0,lnx0−2)，则切线方程为：y−(lnx0−2)=1x(x−x0)，切线过坐标原点，则：0−(lnx0−2)=1x(0−x0)，解得：x0=e3，此时切线的斜率为：−k=ℎ′(x0)=e−3，据此可得：实数k的取值范围是(−e−3,0)．故答案为：(−e−3,0)．首先将问题进行等价转化，然后结合函数的图像即可确定实数k的取值范围．本题主要考查由函数零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．31.【答案】95%【解析】解：不妨设共有选票100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则根据题意得{x+2y+3z=84+75+46 x+y+z=100x,y,z∈N，整理可得z−x=5，即z=x+5，由题意，若要投票有效率越高，则z需越小，故当x=0时，z最小为5，此时y=95，此时投票的有效率为95÷100=95%，故答案为：95%．假设总票数为100张，投1票的x，投2票的y，投3票的z，则可得{x+2y+3z=84+75+46x+y+z=100x,y,z∈N，整理后得到当x=0时z取最小值5，进而可计算出投票的有效率．本题考查了函数模型的选择，考查简单的逻辑推理，属于中档题．32.【答案】解：(1)由数列{a n}是递增的等差数列，设公差为d，d>0，由a1=12，且a4是a2与a8的等比中项，可得a42=a2a8，即(12+3d)2=(12+d)(12+7d)，解得d=12(0舍去)，则a n=12+12(n−1)=12n；(2)1a n a n+1=112n⋅12(n+1)=4(1n−1n+1)，则数列{1a n a n+1}的前n项和为4(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=4(1−1n+1)=4nn+1．【解析】(1)设公差为d ，d >0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式； (2)求得1an a n+1=4(1n−1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．33.【答案】证明：(1)∵DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DA ⊥BC ，∵DA =AC =1，O 是AB 的中点，△ACO 为等边三角形， ∴OC =12AB ， ∴BC ⊥AC ， ∵DA ∩AC =A ， ∴BC ⊥平面ACD ， ∵BC ⊂平面BCE ， ∴平面ACD ⊥平面BCE ．解：(2)取BC 的中点R ，连接OR ，PR ， 在△ACB ，△BCE 中，OR ，PR 分别为中位线， ∴OR//AC ，PR//BE ， ∵AD//BE ， ∴PQ//AD ，∵AC ⊂平面ACD ，PR ⊄平面ACD ， ∴PR//平面ACD ， 同理OR//平面ACD ，∵PR ∩OR =R ，PR ⊂平面OPR ，OR ⊂平面OPR ， ∴平面ACD//平面OPR ， ∵BC ⊥AC ，∴平面ACD 与平面OPR 的距离CR =12BC =√32，∵S △ACD =12×1×1=12，。
北京市汇文中学2023届高三下学期校模数学试题(含答案解析)
北京市汇文中学2023届高三下学期校模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，{}2,1B =--，那么A B ⋃=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}2,1--D ．{}1-2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（）A ．a b<B ．11a b>C ．1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln a b>3．如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，那么下列结论中正确的是（）．A ．||a b|=|B ．a b ⋅= C ．()a b b-⊥v v vD ．a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n ⊂α，那么“m ⊥n”是“m ⊥α”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在等比数列{}n a 中，13a =，1239a a a ++=，则456a a a ++等于（）A ．9B ．72C ．9或72D ．9或-726．下列函数中,定义域为R 的奇函数是A ．21y x =+B ．tan y x=C ．2x y =D ．sin y x x=+7．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（）A ．0x =B 0y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体-P ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是()．A ．1]-B ．[1,3]C ．1,2]-D ．1]9．如果函数()sin (0)f x x x ωωω=>的两个相邻零点间的距离为2，那么()()()()1239f f f f ++++L 的值为（）．A ．1B ．1-C D ．10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是棱AD 、11B C 上的动点，设AE x =，1B F y =.若棱1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是（）A ．[]1,2B ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1二、填空题11．复数1i1i+=-____．12．在261()x x-的展开式中，常数项是__________（用数字作答）．13．若lg 2lg21a -=，则=a ______;14．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3c =，π3C =，sin 2sin B A =，则=a __________．三、双空题15．设函数()3,log ,,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩其中0a >.①若3a =，则()9f f =⎡⎤⎣⎦______；②若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.四、解答题16．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD，AB =，CD =cos A =，1cos 3ADB ∠=.（1）求cos BDC ∠；（2）求BC 的长.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面,1ABCD PO =．在底面ABCD 中，//,,1,2BC AD CD AD BC CD AD ⊥===．（1）求证：//AB 平面POC ；（2）求二面角B AP D --的余弦值．18．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,7070以上使用人数312176420未使用人数314363（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率；（Ⅱ）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.19．已知函数2()()x kf x x k e =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围．20．已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．21．设数列()12:,,,2n A a a a n ≥ .如果{}()1,2,,1,2,,i a n i n ∈= ，且当i j ≠时，()1,i j a a i j n ≠≤≤，则称数列A 具有性质P .对于具有性质P 的数列A ，定义数列()121:,,,n T A t t t - ，其中()111,,1,2,,10,k k k k k a a t k n a a ++⎧==-⎨⎩ ＜＞.(1)对():0,1,1T A ，写出所有具有性质P 的数列A ；(2)对数列()121:,,,2n E e e e n -≥ ，其中{}()0,11,2,,1i e i n ∈=- ，证明：存在具有性质P 的数列A ，使得()T A 与E 为同一个数列；(3)对具有性质P 的数列A ，若()115n a a n -=≥且数列()T A 满足()0,,1,2,,11,i i t i n i ⎧==-⎨⎩为奇数为偶数，证明：这样的数列A 有偶数个.参考答案：1．B【分析】求解一元二次不等式从而求解集合A ，再根据并集的定义求解A B ⋃.【详解】由()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，得{}1,0A =-，结合{}2,1B =--，可知{}2,1,0A B =-- .故选：B.2．D【分析】根据不等式的性质判断A 、B ，再根据指数函数的性质判断C ，根据对数函数的性质判断D ；【详解】解：因为0a b >>，所以0a b >>，故A 错误；因为0a b >>，所以11a b<，故B 错误；因为0a b >>，且12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为0a b >>，且ln y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以ln ln a b >，故D 正确；故选：D 3．C【详解】由平面向量(2,0)a = ，(1,1)b =知：在A 中，||2a = ，||b =r∴||||a b ≠，故A 错误；在B 中，2a b ⋅=，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-=，∴()a b b -⊥，故C 正确；在D 中，∵2011≠，∴a 与b不平行，故D 错误．综上所述．故选C ．4．B【详解】若m α⊥，则m n ⊥，即必要性成立，当m n ⊥时，m α⊥不一定成立，必须m 垂直平面α内的两条相交直线，即充分性不成立，故“m n ⊥”是“m α⊥”的必要不充分条件，故选：B ．5．D【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵13a =，1239a a a ++=，∴23339q q ++=，解得1q =或2q =-，故()34561239a a a a a a q ++=++=或72-，故选：D.6．D【详解】定义域为R,所以舍去B,又21y x =+为偶函数,=2为非奇非偶函数,故选：D.7．B【分析】求出b 的值即得解.【详解】解：由题得21+4,b b =∴=，所以双曲线的渐近线方程为1y x =±=0y ±=.故选：B 8．A【分析】固定正四面体-P ABC 的位置，原点O 在以AB 为直径的球面上运动,由此根据球的性质可以得到答案.【详解】如图所示，若固定正四面体-P ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球面上运动，设AB 的中点为M ，则PM 所以原点O 到点P 的最近距离等于PM 减去球M 的半径，最大距离是PM 加上球M 的半径，11OP -≤≤，即||OP 的取值范围是1]．故选:A ．9．A【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，由已知求出ω，再结合函数式计算作答.【详解】依题意，π()2sin()3f x x ω=+，函数()f x 的周期4T =，而0ω>，则2ππ2T ω==，ππ()2sin(23f x x =+，5π11π(1)(3)2sin2sin 066f f +=+=，4π7π(2)(4)2sin 2sin 033f f +=+=，所以()()()()5π1239(1)2[(1)(2)(3)(4)](1)2sin 16f f f f f f f f f f ++++=++++===L .故选：A 10．A【分析】取特殊值1x y ==和0x =，1y =进行验证，结合排除法可得出结论.【详解】由题意，若1x y ==，则棱1DD 与平面BEF 交于点D ，符合题意，此时2x y +=；若1x =，0y =，则棱1DD 与平面BEF 交于线段1DD ，符合题意，此时1x y +=.排除B 、C 、D 选项.故选：A ．【点睛】本题考查线面位置关系，考查特殊值法的运用，属于中档题．11．i【分析】利用复数的代数形式的四则运算法则求解．【详解】()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 11++===--++．故答案为：i ．12．15【分析】求出通项()36161 rr r r T C x -+=-，，令3662r r -==，由此求得展开式中常数项．【详解】在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，通项()()26123166 11 r r r rr r r r T C x x C x （），---+=-=-令3662r r -==，．故展开式中常数项是()2261 15 C -=，，故答案为15．【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13．40【解析】利用对数的运算公式log log na a n M M =，log log log ()a a a M N MN +=，直接求值即可.【详解】lg 2lg 21a -=Q lg 2lg 21lg 4lg10lg 40a ∴=+=+=40a ∴=故答案为：4014【分析】由正弦定理得到2b a =，再由余弦定理求出a 的值.【详解】由正弦定理得：2b a =，再有余弦定理得：22222225591cos 22242a b c a c a C ab a a a +---====⨯⋅，解得：a故答案为：15．[)4,9【解析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与y ＝2的图象，函数()2y f x =-有两个零点，结合图象可得答案．【详解】解：①当3a =时，()33,log ,3,x f x x x ≤≤=>⎪⎩则()39log 92f ==，∴()()92f f f ⎡⎤⎣⎦=②分别画出()y f x =与y ＝2的图象，如图所示，函数()2y f x =-有两个零点，结合图象可得4≤a ＜9，故a 的取值范围是[)4,9.；[)4,9.【点睛】本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．注意要利用数形结合．16．（1（2.【分析】（1）计算出sin A 、sin ADB ∠，利用两角和的余弦公式可求得cos cos BDC ABD ∠=∠的值；（2）在ABD △中，利用正弦定理可求出BD 的长，然后在BCD △中利用余弦定理可求得BC 的长.【详解】（1）因为cos 3A =，1cos 3ADB ∠=，则A 、ADB ∠均为锐角，所以，sin 3A ==，sin 3ADB ∠=，()()cos cos cos sin sin cos cos ABD A ADB A ADB A ADB A ADBπ∠=--∠=-+∠=∠-∠133==//AB CD Q ，则BDC ABD ∠=∠，因此，cos cos 9BDC ABD ∠=∠=；（2）在ABD △中，由正弦定理可得sin sin AB BDADB A=∠，可得sin 3sin 3AB ABD ADB==∠，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 962311BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⋅⋅，因此，BC =【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.17．（1）证明见解析；（2．【分析】（1）证明//AB OC 后可证线面平行；（2）以,,OB OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）由题意BC OA =，又//BC OA ，所以BCOA 是平行四边形，所以//AB OC ，又AB ⊄平面POC ，OC ⊂平面POC ，所以//AB 平面POC ；（2）,//BC OD BC OD =，所以BCDO 是平行四边形，所以//OB DC ，OB CD =，而CD AD ⊥，所以OB AD ⊥，以,,OB OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)B ，(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，(1,1,0)AB = ，(0,1,1)= AP ，设平面ABP 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB x y n AP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，则1,1y z =-=，即(1,1,1)n =- ，易知平面APD 的一个法向量是(1,0,0)m = ，所以cos ,m n m n m n ⋅<>== ，所以二面角B AP D --．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18．17100；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200【解析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；（Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =．（Ⅱ）X 所有的可能取值为1,2,3，()124236C C 115C P X ===,()214236C C 325C P X ===,()304236C C 135C P X ===.所以X 的分布列为X123P 153515所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=.【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题．19．（Ⅰ）当0k >时，()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-和(,)k +∞：单调递减区间是(,)k k -，当0k <时，()f x 的单调递减区间是(,)k -∞和(,)k -+∞：单调递减区间是(,)k k -．（Ⅱ）102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．【详解】221()()x k f x x k e k-'=，令()0,f x x k ='=±，当0k >时，(),()f x f x '的情况如下：x (,)k -∞-k -(,)k k -k (,)k +∞()f x '+0-0+()f x 214k e -0所以，()f x 的单调递增区间是(,)k -∞-和(,)k +∞：单调递减区间是(,)k k -，当0k <时，()f x 与()f x '的情况如下：x(,)k -∞k (,)k k -k -(,)k -+∞()f x '-0+0-()f x 0214k e -所以，()f x 的单调递减区间是(,)k -∞和(,)k -+∞：单调递减区间是(,)k k -．（Ⅱ）当0k >时，因为11(1)k k f k e e++=>，所以不会有1(0,),().x f x e ∀∈+∞≤当0k <时，由（Ⅰ）知()f x 在(0,)+∞上的最大值是24()k f k e-=所以1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤等价于24()k f k e -=1e ≤，解得10.2k -≤<故当1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤时，k 的取值范围是102⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，．20．(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =-得到方程，解得即可；【详解】（1）解：依题意可得1b =，2c =222c a b =-，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）解：依题意过点()2,1P -的直线为()12y k x -=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x -≤<≤，由()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=，所以()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>，解得0k <，所以212216814k k x x k ++=-+，2122161614k k x x k +⋅=+，直线AB 的方程为1111y y x x --=，令0y =，解得111M x x y =-，直线AC 的方程为2211y y x x --=，令0y =，解得221N x x y =-，所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++()()12212222x x k x x -==++，所以()()122122x x k x x -=++，()212124k x x x x =+++⎡⎤⎣⎦22221616168241414k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫++=+-+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()222216162168414kk k k k k ⎡⎤+-+++⎣⎦+整理得4k =，解得4k =-21．(1)4,1,2,3、3,1,2,4、2,1,3,4(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据数列()T A 的定义，得到4n =且12a a >，23a a <，34a a <，确定21a =，按照14a =或44a =分别讨论可得答案；（2）设数列E ：121,,,n e e e - 中恰有s 项为1，在按照0s =、1s n =-、01s n <<-三种情况分别讨论可证结论；（3）按照n 的奇偶分类讨论，结合数列()T A 的定义可证结论.【详解】（1）因为():0,1,1T A ，所以13-=n ，则4n =因为10t =，21t =，31t =，所以12a a >，23a a <，34a a <，又{1,2,3,4}(1,2,3,4)i a i ∈=，所以21a =，14a =或44a =，当14a =时，342,3a a ==，当44a =时，133,2a a ==或132,3a a ==，综上所述：所有具有性质P 的数列A 为：4,1,2,3、3,1,2,4、2,1,3,4.（2）由于数列E ：121,,,n e e e - ，其中{0,1}i e ∈(1,2,3,1,2)i n n =-≥ ，不妨设数列E ：121,,,n e e e - 中恰有s 项为1，若0s =，则:,1,,1A n n - 符合题意，若1s n =-，则:1,2,,A n 符合题意，若01s n <<-，则设这s 项分别为12,,,s k k k e e e 12()s k k k << ，构造数列12:,,,n A a a a L ，令1211,,1,s k k k a a a +++ 分别为1,2,,n s n s n -+-+ ，数列A 的其余各项12,,,n s m m m a a a - 12()n s m m m -<<< 分别为,1,,1n s n s --- ，经检验数列A 符合题意.（3）对于符合题意的数列1,2:,,(5)n A a a a n ≥ ，①当n 为奇数时，存在数列11:,,,n n A a a a -' 符合题意，且数列A 与A '不同，()T A 与()T A '相同，按这样的方式可由数列A '构造出数列A ，所以n 为奇数时，这样的数列A 有偶数个，当3n =时，这样的数列A 也有偶数个，②当n 为偶数时，如果,1n n -是数列A 中不相邻的两项，交换n 与n 1-得到数列A '符合题意，且数列A 与A '不同，()T A 与()T A '相同，按这样的方式可由数列A '构造出数列A ，所以这样的数列A 有偶数个，如果,1n n -是数列A 中相邻的两项，由题设知，必有1n a n -=，1n a n =-，12a n =-，除这三项外，232,,,n a a a - 是一个3n -项的符合题意的数列A ，由①可知，这样的数列A 有偶数个，综上，这样的数列A 有偶数个.【点睛】关键点点睛：正确理解数列()T A 的定义，并利用定义求解是解题关键.。
2023-2024学年北京东城区汇文中学高二(上)期中数学试题及答案
2023北京汇文中学高二（上）期中数 学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 直线l 过点()12P −，，倾斜角为45︒，则直线l 的方程为 A. 10x y −+＝B. 10x y −−=C. 30x y −−=D. 30x y −+=2. 设a ∈R ，则“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 直线142x y+=与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（ ） A. 224210x y x y +−−−= B. 22420x y x y +−−= C. 224210x y x y +−−+=D. 22240x y x y +−−=4. 已知方程221104x y t t +=−−表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围（ ）A. ()4,7B. ()()4,77,10⋃C. ()7,10D. ()4,105. 已知圆1:C 221x y +=与圆2:C 22870x y y +−+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交C. 内切D. 外切6. 抛物线2y x 上的一动点M 到直线:10l x y −−=距离的最小值是（ ）A.8B. 38C.34D.47. 直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y 、()22,B x y ，若123x x +=，则弦AB 的长是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58. 的椭圆称为“黄金椭圆”.已知“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为右顶点和是上顶点，则ABF ∠=A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒9. 已知圆22:2220M x y x y +−−−=，直线:220,l x y P ++=为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，且切点为A ，B ，||||PM AB ⋅最小值为（ ）A.2C. 3D. 410. 已知圆C ：224x y +=，直线L ：y kx m =+，则当k 的值发生变化时，直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，则m 的取值为（ ）A. 2±B.C. D. 3±11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A. 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. 122,,1333⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12. 曲线C 是平面直角坐标系内与两个定点1(1,0)F −和2(1,0)F 的距离之积等于4的点的轨迹，则（ ） ①曲线C 过原点； ②曲线C 关于原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12PF F △的面积不大于2；④曲线C 与曲线22143x y +=有且仅有两个交点．其中正确命题的序号为（ ） A. ①②B. ②③④C. ③④D. ①②④二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 已知抛物线22y px =的准线方程为=1x −，则p =_________14. 已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y x =±，则m =__________．15. 圆22:(2)(2)8C x y −+−=与y 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为_________．16. 设P 为椭圆22:173x y C +=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得2||PQ PF =，则动点O 的轨迹方程为__________．17. 若直线1y kx =−与曲线y =k 的取值范围是_____________． 18. 在平面直角坐标系中，定义2121(,)||||d S T x x y y =−+−为两点1122(,),(,)S x y T x y 之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是___________.（填序号） ①若(0,0),(1,1)A B ，则(,)2d A B =；②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；③原点O 与直线30x y −+=上任意一点M 之间的折线距离(,)d O M 的最小值为3；④原点O 与圆22(2)(4)1x y −+−=上任意一点M 之间的折线距离(,)d O M 的最大值为6三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 在ABC ∆中，BC 边上的高所在直线的方程为210x y −+=，A ∠的平分线所在直线方程为0y =，若点B 的坐标为(1,2)． （1）求点A 和点C 的坐标；（2）求AC 边上的高所在的直线l 的方程．20. 设抛物线C 的方程为2x y =，点M 为直线:(0)l y m m =−>上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ． （1）当M 的坐标为10,4⎛⎫−⎪⎝⎭时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系； （2）求证：直线AB 恒过定点．21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，3AB =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P （异于点F ），使x 轴上任意点到直线PA ，PB 的距离均相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由.22. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(2,1)P −作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．参考答案一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 【答案】D【详解】试题分析：由直线的倾斜角为45︒，得其斜率为tan 451k =︒=．又过点()12P −，，∴方程为()211y x −=⨯+，即30x y −+=．故选D ．考点：直线的点斜式方程． 2. 【答案】A【分析】由“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”得到a ＝－2或a ＝1，即得解. 【详解】解：若a ＝－2，则直线l 1：－2x ＋2y －1＝0与直线l 2：x －y ＋4＝0平行；若“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”，∴(1)20a a +−=，解得a ＝－2或a ＝1，∴“a ＝－2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的充分不必要条件． 故选：A 3. 【答案】B【分析】利用截距式的几何意义得到(4,0)A ，(0,2)B ，从而求得该圆的圆心与半径，进而得解. 【详解】因为直线142x y+=在x ，y 轴上的截距分别为4，2，则(4,0)A ，(0,2)B ， 所以AB 的中点坐标为(2,1)，且11||22r AB === 故以线段AB 为直径的圆的方程为22(2)(1)5x y −+−=，即22420.x y x y +−−=故选：B. 4. 【答案】B【分析】椭圆方程的分母均大于0且不相等，进而解出t .【详解】由题意，()()100404,77,10104t t t t t −>⎧⎪−>⇒∈⋃⎨⎪−≠−⎩.故选：B. 5. 【答案】D 【分析】利用圆心距与半径和的关系可判断两者的位置关系. 【详解】圆2:C ()2249x y −+=，其半径为3，又124C C ==，因为413=+即圆心距为两个圆的半径之和，故两圆外切，故选：D. 6. 【答案】A 【分析】对2yx 求导可求与直线10x y −−=平行且与抛物线2y x 相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离． 【详解】因为2yx ，所以2y x '=，令21y x '==，得12x =， 所以与直线10x y −−=平行且与抛物线2y x 相切的切点11(,)24，切线方程为1142y x ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，即104x y −−=， 由两平行线的距离公式可得所求的最小距离221|1|324811d. 故选：A. 7. 【答案】C【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦AB 的长. 【详解】抛物线22y x =的准线方程为12x =−， 因为直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y 、()22,B x y ， 则121211131422AB x x x x =+++=++=+=. 故选： C. 8. 【答案】D【分析】设出椭圆的方程，根据题意写出A,B,F 的坐标，利用向量BF 与向量BA 乘积为0，得到ABF ∠.【详解】设椭圆的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>由已知，得(,0),(0,),(,0)A a B b F c − 则(,),(,)BF c b BA a b=−−=−离心率11,22c e c aa −−==∴=即b ===20BF BA b ac ∴⋅=−=90ABF ︒∴∠=故答案选D【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质，属于基础题. 9. 【答案】D【分析】||||PM AB 最小值满足四边形PAMB 的面积最小，可转化为动点P 到点M 的距离最小值，即可求解．【详解】圆22:2220M x y x y +−−−=，22(1)(1)4x y ∴−+−=，即圆心为(1,1)，半径为2，如图所示，连接AM ，BM ，四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅， 要使||||PM AB 最小，则只需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM △的面积最小， ||2AM =，∴只需||PA 最小，||AM ==所以只需直线220x y ++=上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线的距离d =，此时PM l ⊥，||1PA =，则此时四边形PAMB 的面积为2，即||||PM AB 的最小值为4． 故选：D ． 10. 【答案】C【分析】由直线L 过定点(0,)M m ，结合圆的对称性以及勾股定理得出m 的取值.【详解】直线L ：y kx m =+恒过点(0,)M m ，由于直线被圆C 所截的弦长的最小值为2，即当直线L 与直线OM 垂直时（O 为原点），弦长取得最小值，于是2222122||12OM m ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭，解得m = 故选：C 11. 【答案】D【分析】分等腰三角形12PF F 以12F F 为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点P 为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点P ，使得112PF F F =或212PF F F =，设点(),P x y 在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于a 、c 的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围.【详解】如下图所示：（1）当点P 与椭圆短轴的顶点重合时，12PF F △是以12F F 为底边的等腰三角形， 此时，有2个满足条件的等腰12PF F △；（2）当12PF F △构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，以2F P 为底边为例，则112PF F F =或212PF F F =，此时点P 在第一或第四象限，由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点P ，使得12PF F △是以12F F 为一腰的等腰三角形，不妨设点(),P x y 在第一象限，则22222by b x a=−，其中0x a <<，则12c PF x a c a====+=，或22c PF a x c a====−=， 由2c x a c a +=可得22ac a x c −=，所以，220ac a a c −<<，解得112c e a <=<， 由2c a x c a −=可得22a ac x c−=，所以，220a ac a c −<<，解得1132c e a <=<，综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 12. 【答案】B【分析】根据题意，化简得到曲线C 的方程为2222[(1)][(1)]16x y x y ++⋅−+=，结合曲线的对称性的判定方法，可①不正确，②正确；结合三角形的面积公式，可判定③正确；联立方程组，求得交点坐标，可判定④正确.【详解】设轨迹上的任意一点(,)P x y ，则124PF PF =，4=，化简得2222[(1)][(1)]16x y x y ++⋅−+=，①中，把0x y ==代入上述方程，可得116=，此式不成立，所以曲线C 不过原点，所以①不正确； ②中，把(,)x y −−代换上述方程中的(,)x y ，其方程不变，所以曲线关坐标于原点对称，所以②正确； ③中，若点P 在曲线C 上，则12PF F △的面积为12121211sin 4sin 222S PF PF F PF F PF =∠=⨯⨯∠≤，所以③正确；④中，由曲线22143x y +=，可得[2,2]x ∈−，解得223(1)4x y =−，代入曲线C ，整理得22(32)0x x −=，解得232x =（舍去），所以0x =，解得y =C 与曲线22143x y +=有且仅有两个公共点(0,，所以④正确.故选：B.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13. 【答案】2【分析】由抛物线的准线方程可直接求解. 【详解】由抛物线22y px =，得准线方程为2px =−， 由题意，12p−=−，得2p =． 故答案为：2． 14. 【答案】3−【分析】首先可得0m <，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a 、b ，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线221x y m +=，所以0m <，即双曲线的标准方程为221x y m−=−，则1a =，b =221x y m +=的渐近线方程为3y x =±，所以3a b =3=，解得3m =−； 故答案为：3− 15. 【答案】【详解】试题分析：由题可知，根据圆的标准方程22:(2)(2)8C x y −+−=，令，解得，因此在中，因此为直角三角形，即故弦AB 所对的圆心角的大小为；考点：圆的标准方程16. 【答案】22(2)28x y ++=【分析】由椭圆定义可得12||||2PF PF a +==2||||PQ PF =，从而11||||||PF PQ F Q +==，进而Q的轨迹是以1(2,0)F −为圆心，Q 的轨迹方程．【详解】P 为椭圆22:173x y C +=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得2||||PQ PF =，12||||2PF PF a ∴+==2||||PQ PF =，11||||||PF PQ F Q ∴+==，Q ∴的轨迹是以1(2,0)F −为圆心，为半径的圆，∴动点Q 的轨迹方程为22(2)28x y ++=．故答案为：22(2)28x y ++= 17. 【答案】[0，1]【详解】如图，曲线y =表示如图所示的半圆，1y kx =−表示过定点()0,1−的动直线，当动直线在12,l l 之间时，它与半圆总有公共点，又10(1)110k −−==−，20k =，故01k ≤≤，也即是[]0,1k ∈.点睛：注意y =表示半圆，又本题的实质是动直线与半圆的至少有一个公共点.利用几何意义可以直接求得两个临界值，所求范围在两个临界值之间. 18. 【答案】①③④【分析】根据定义直接计算①，设点(),P x y 到原点的“折线距离”不大于1，即可得到1x y +≤，画出图象，求出面积即可判断②，设(),3M x x +即可表示(,)d O M 再根据分段函数的性质计算可得③，依题意设(),M x y ，则(),d O M x y =+，再利用点到直线的距离求出x y +的范围，即可判断④； 【详解】解：对于①若(0,0),(1,1)A B 则(,)10102d A B =−+−=，故①正确；对于②，设点(),P x y 到原点的“折线距离”不大于1，则001x y −+−≤，即1x y +≤，则P 点在下图所示的平面区域内，则所围成的区域的面积为122122⨯⨯⨯=，故②错误；对于③，设(),3M x x +，则23,0(,)33,3023,3x x d O M x x x x x +≥⎧⎪=++=−<<⎨⎪−−≤−⎩，函数图象如下所示：则min (,)3d OM =，故③正确；对于④，因为圆22(2)(4)1x y −+−=表示以()2,4为圆心，1为半径的圆， 设(),M x y ，则(),d O M x y x y =+=+，令x y z +=，则0x y z +−=1≤，解得66z ≤≤+()max ,6d O M =+故答案为：①③④三、解答题（本大题共4小题，共60.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 【答案】（1）(5,6)C −（2）10x y −+=【详解】试题分析：（1）联立直线210x y −+=和0y =，可求得A 点的坐标，利用点斜式可得直线BC 的方程，利用角平分线可得直线AC 的斜率，利用点斜式可写出直线AC 的方程，联立直线,BC AC 的方程可求得交点C 的坐标.（2）由直线AC 的斜率可得高的斜率，利用点斜式可求得高所在直线方程. 试题解析：（1）由已知点A 应在BC 边上的高所在直线与A ∠的角平分线所在直线的交点， 由210{x y y −+==得1{x y =−=，故()1,0A −．由1AC AB k k =−=−，所以AC 所在直线方程为()1y x =−+，BC 所在直线的方程为()221y x −=−−，由()()1{221y x y x =−+−=−−，得()5,6C −．（2）由（1）知，AC 所在直线方程10x y ++=，所以l 所在的直线方程为()()120x y −−−=，即10x y −+=．20. 【答案】（1）2211()44x y +−=，相切（2）证明见解析【分析】（1）设过M 点的切线方程，代入2x y =，整理得2104x kx −+=，令Δ0=，可得A ，B 的坐标，进而可得AB 的中点1(0,)4N ，根据12NA NB NM ===即可求解圆的方程，从而可判断圆与直线l 相切；（2）利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线AB 的方程，从而可得结论； 【小问1详解】 当M 的坐标为10,4⎛⎫−⎪⎝⎭时，设过M 点的切线方程为14y kx =−，代入2x y =，整理得2104x kx −+=， 令21404k ∆=−⨯=，解得1k =±， 代入方程得12x =±，故得11(,)24B ，11(,)24A −，因为AB 的中点1(0,)4N ，且12NA NB NM ===从而过M ，A ，B 三点的圆的圆心为1(0,)4N ，半径为12， 故其方程为2211()44x y +−=．圆心坐标为1(0,)4N ，半径为12，∴圆与直线1:4l y =−相切 【小问2详解】 由已知得2yx ，求导得2y x '=，切点分别为1(A x 1)y ，2(B x 2)y ，故过点1(A x 1)y 的切线斜率为12k x =，从而切线方程为21112()y x x x x −=− 即2112y x x x =−又切线过点0(M x )m −，所以得21012m x x x −=−①,即1012x x y m =−− 同理可得过点2(B x 2)y 的切线为2222y x x x =−，又切线过点0(M x )m −，所以得22022m x x x −=−②即2022x x y m =−−即点1(A x 1)y 2(B x 2)y 均满足02m xx y −=− 故直线AB 的方程为02m xx y −=− 又0(M x )m −为直线:(0)l y m m =−>上任意一点，故02xx y m =−对任意0x 成立， 所以0x =，y m =，从而直线AB 恒过定点(0,)m【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.21. 【答案】（1）22143x y +=；（2）存在点(4,0)P 【分析】（1）由题意可得方程222223,1,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解方程后即可得解；（2）设直线:1(0)l x my m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题意120121020122(1)()0()()my y x y y x k x x k x +−+−+==−，联立方程组表示出12y y +、12y y ，代入即可得解.【详解】（1）由题意得222223,1,2b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得:2a =，b =1c =.所以椭圆的标准方程为：22143x y +=.（2）依题意，若直线l 的斜率不为零，可设直线:1(0)l x my m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y . 假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题设，01x ≠，且10x x ≠，02x x ≠. 设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ， 则1110y k x x =−，2220y k x x =−. 因为11(,)A x y ，22(,)B x y 在1x my =+上， 故111x my =+，221x my =+，而x 轴上任意点到直线PA ，PB 距离均相等等价于“PF 平分APB ∠”， 继而等价于120k k +=. 则12121020y y k k x x x x +=+−−12210121020()()()x y x y x y y x x x x +−+=−−1201210202(1)()0()()my y x y y x x x x +−+==−−.联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得：22(34)690m y my ++−=， 有122634m y y m −+=+，122934y y m −=+. 则0012221020102018662460(34)()()(34)()()m m mx m mx k k m x x x x m x x x x −−+−++===+−−+−−，即040m mx −+=，故04x =或0m =（舍）. 当直线l 的斜率为零时，(4,0)P 也符合题意.故存在点(4,0)P ，使得x 轴上任意点到直线PA ，PB 距离均相等.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用，属于中档题.22. 【答案】（1）2214x y +=（2）4k =−【分析】（1）依题意可得22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，即可求出a ，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设()11,B x y 、()22,C x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB 、AC 的方程，表示出M x 、N x ，根据N M MN x x =−得到方程，解得即可；【小问1详解】解：依题意可得1b =，2c =222c a b =−，所以2a =，所以椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】解：依题意过点()2,1P −的直线为()12y k x −=+，设()11,B x y 、()22,C x y ，不妨令1222x x −≤<≤，由()221214y k x x y ⎧−=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()22221416816160k x k k x k k +++++=， 所以()()()222216841416160k kk k k ∆=+−++>，解得0k <，所以212216814k kx x k++=−+，2122161614k k x x k +⋅=+， 直线AB 的方程为1111y y x x −−=，令0y =，解得111M xx y =−，直线AC 的方程为2211y y x x −−=，令0y =，解得221N xx y =−，所以212111N M x xMN x x y y =−=−−− ()()2121121121x x k x k x =−−++−++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+−++()()()()2121212222x x x x k x x +−+=++()()12212222x x k x x −==++，所以()()122122x x k x x −=++， ()212124k x x x x =+++⎡⎤⎣⎦22221616168241414k k k k k kk ⎡⎤⎛⎫++=+−+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()22221616216841414kk k k k k k⎡⎤=+−+++⎣⎦+整理得4k =，解得4k =−。
北京汇文中学中学部高三数学理期末试题含解析
北京汇文中学中学部高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450D．120参考答案：B2. 在区间上随机取一个数x，cosx的值价于0到之间的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A3. sin300°等于（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】解：sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选A【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. 若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则 ( )A. 或B. 或C. 或D. 或参考答案：答案：A解析：由求导得设曲线上的任意一点处的切线方程为，将点代入方程得或.（1）当时：切线为，所以仅有一解，得（2）当时：切线为,由得仅有一解，得.综上知或.5. 棱长为1的正方体中，点分别是线段（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是（）A．B．C．D．参考答案：A6. 在中，，，且，则（）A．B．5 C. D．参考答案：A7. 已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：D【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】利用sin2θ+cos2θ=1，令原式除以sin2θ+cos2θ，从而把原式转化成关于tanθ的式子，把tanθ=2代入即可．【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ====．故选D．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．8. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（A）（B）（C）8（D）4参考答案：D由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为，选D.9. 已知F1，F2是椭圆的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为A.B．C．D．参考答案：D10. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为（）A．5 B．6 C．D．7参考答案：C【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+2y为y=﹣．由图可知，当直线y=﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知正方形的边长为2，则.参考答案：4 14. 15. 16.12. 长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为参考答案：13. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为214. 图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现“数学美”．“黄金分割”也是数学美得一种体现，如图，椭圆的中心在原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由勾股定理求得|BF|2+|AB|2=|AF|2，代入由双曲线的离心率公式即可求得离心率e．【解答】解：在黄金双曲线中，|OA|=a，|OB|=b，|OF|=c，由题意可知，|BF|2+|AB|2=|AF|2，∴b2+c2+c2=a2+c2+2ac，∵b2=c2﹣a2，整理得c2=a2+ac，∴e2﹣e﹣1=0，解得e=，或e=，由e＞1，则e=，故黄金双曲线的离心率e=，故答案为：，15. （x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数是 ．参考答案：240【考点】二项式定理的应用．【分析】根据（x 2+3x+2）5 =（x+1）5 ?（x+2）5，可得x 的系数是??25+??24，计算求得结果．【解答】解：（x 2+3x+2）5=（x+1）5?（x+2）5， 故x 的系数是??25+??24=240，故答案为：240．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16. 设f （x ）=，则f{f[f （﹣1）]}= ．参考答案：π+1【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】从内到外，依次求f （﹣1），f[f （﹣1）]，f{f[f （﹣1）]}即可．要注意定义域，选择解析式，计算可得答案． 【解答】解：∵﹣1＜0 ∴f（﹣1）=0∴f[f（﹣1）]=f （0）=π； f{f[f （﹣1）]}=f{π}=π+1．17. 若变量x ，y 满足约束条件，则z=2x ﹣y 的最大值等于 ．参考答案：6【考点】简单线性规划．【分析】作出满足不等式组的可行域，由z=2x ﹣y 可得y=2x ﹣Z 可得﹣z 为该直线在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可求z 的最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示由于z=2x ﹣y 可得y=2x ﹣z ，则﹣z 表示目标函数在y 轴上的截距，截距越大，z 越小 作直线L ：y=2x ，然后把直线l 向平域平移，由题意可得，直线平移到A 时，z 最大由可得C （4，2），此时z=6故答案为6三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
北京汇文中学2021年高一数学文联考试题含解析
北京汇文中学2020-2021学年高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象如下:则函数y=f(x)g(x)的图象可能是（）参考答案：A略2. Sin1cos2tan3的值( )A．无法确定B．小于0 C．等于0 D．大于0参考答案：D3. 已知, 且点在的延长线上, , 则点的坐标为 ( )A． B． C． D．参考答案：D 4. 三个数70。
3，0.37，，㏑0.3，的从大到小顺序是（）A、70。
3，0.37，㏑0.3,B、70。
3，㏑0.3, 0.37C、0.37, , 70。
3，㏑0.3,D、㏑0.3, 70。
3，0.37，参考答案：A5. 下列函数中既是偶函数，又是区间(－1，0)上的减函数的是( )A. y=cosxB. y=－|x－1|C. y=lnD. y=e x+e－x参考答案：D6. 已知，，则等于A. B. C.D.参考答案：D略7. 集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．3参考答案：D【考点】子集与真子集．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的子集的个数为22=4个，去掉空集，得到集合{1，2}的非空子集的个数为22﹣1=3个．故选：D．【点评】本题考查子集的概念和应用，解题时要熟记若集合A中有n个元素，则集合A中有2n个子集，有2n﹣1个真子集．8. 右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D.参考答案：D略9. 已知数列{a n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在(0,+∞)上的如下函数：①；②；③；④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（）A. ①②B. ③④C. ①②④D. ②③④参考答案：C【详解】①，为“保比差数列函数” ；②，为“保比差数列函数” ；③不是定值，不是“保比差数列函数” ；④，是“保比差数列函数”，故选C.考点：等差数列的判定及对数运算公式点评：数列，若有是定值常数，则是等差数列10. 已知函数，则（）A.4B.C. - 4 D -参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则函数的值域为 . 参考答案：312. 设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=．参考答案：{﹣1，3}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故答案为：{﹣1，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．13. 若向量的夹角为，，则的值为．参考答案：2∵，∴．14. 幂函数在时为减函数，则m =.参考答案： 2 略15. 函数y=（x ﹣1）2的最小值为 ．参考答案：考点： 二次函数的性质． 专题： 函数的性质及应用．分析： 根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，0），再根据其a ＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是0．解答： 解：根据非负数的性质，（x ﹣1）2≥0， 于是当x=1时，函数y=（x ﹣1）2的最小值y 等于0． 故答案为：0．点评： 本题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，属于基础题．16. 如图,圆锥型容器内盛有水,水深3dm ,水面直径放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为________dm参考答案：【分析】通过将图形转化为平面图形，然后利用放球前后体积等量关系求得球的体积.【详解】作出相关图形，显然,因此，因此放球前，球O 与边相切于点M ，故，则，所以，,所以放球后，而，而，解得.【点睛】本题主要考查圆锥体积与球体积的相关计算，建立体积等量关系是解决本题的关键，意在考查学生的划归能力，计算能力和分析能力. 17. 甲、乙两人下棋，两人下和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲获胜的概率为_______________参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2023-2024学年北京东城区汇文中学高一(上)期中数学试题及答案
北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第一学期期中考试高一年级 数学学科本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题（每题5分，共60分）1. 下列关系中正确的是（ ）A. 0∈∅B. {0}∈∅C. 0N ∈D. {0}N ∈2. 已知集合{1}A x N x =∈>，{04}B x x =<<，则A B =（ ） A. {14}x x << B. {0}x x > C. {23}，D. {123}，， 3. 命题p ：21,02x R x x ∀∈++>，则命题p 的否定是（ ） A. 21,02x R x x ∃∈++≤ B. 21,02x R x x ∃∈++> C. 21,02x R x x ∀∈++≤ D. 21,02x R x x ∀∈++> 4.下列函数中，值域是R 的幂函数是（ ） A. 13y x = B. 1()3x y = C. 23y x = D. 2()3x y = 5.若0a b >>，c 为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A. 22ac bc > B. 11a b < C. 22a b > D. a c b c +>+ 6.若a 、b 均为非零实数，则不等式2b a a b +≥成立的一个充要条件为（ ） A. 0ab > B. 0ab ≥ C.0ab < D. 0ab ≤ 7. 函数()3xx f x x =⋅的图象大致为（ ）A. B. C. D.8. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递减，(7)0f -=，则下列结论错误的是（ ）A. ()f x 在(,0)-∞上单调递减B. ()f x 的图象与x 轴只有2个公共点C. (8)0f <D.不等式()0f x >的解集为(,7)(0,7)-∞-9. 已知函数2()2f x x bx c =++（b c ，为实数），(10)(12)f f -=，若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211x x +的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 1210. 已知集合{2,1}A =-，{2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 的取值集合为（ ）A. {1}-B. {2}C. {10,2}-,D. {1,2}-11. 若函数223,0()(2),0x x f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩ 的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ）A.（0，1]B.（0，1）C.（1，4）D.（2，4）12. 已知函数2()(1)22x f x m x nx =+⋅++，集合{()0,}A x f x x R ==∈，集合{[()]0,}B x f f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [1,4]-B. [1,1)-C. [3,5]-D. [0,4)二、填空题（每题5分，共30分）13.函数1()24f x x =-的定义域是______________ 14. 计算：13331()log 5log 1527+-=________ 15. 已知集合2{21,,0}A a a =-，{1,5,9}B a a =--，若满足{9}A B =，则实数a 的值为_________16. 不等式231x x ≥-的解集是__________ 17. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S （单位：平方米）与时间t （单位：月）的关系式为1t S a +=（0a >，且1a ≠），图象如图所示．则下列结论：① 浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；② 浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延5个月后的面积的14；③ 浮萍蔓延每个月增长率相同，都是50%；④ 浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到7平方米所经过的时间少．其中所有正确结论的序号是 ________18. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.1]1=．已知21()[]1x f x x -=+，(,3)(2,)x ∈-∞-+∞，则函数()f x 的值域为____________三、解答题（共60分）19. 已知二次函数2()21f x ax ax =-+（1）求()f x 的对称轴；（2）若(1)7f -=，求a 的值及()f x 的最值．20. 已知函数()22x x a f x =- 是定义在R 上的奇函数． （1）求(1)f 的值；（2）若[0,3]x ∈时，不等式2(2)()0f t x f x -+≤恒成立，求实数t 的取值范围．21. 设函数1()2x f x x +=- （3x >） （1）指出()f x 在(3,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）若()0f x a -<在(3,)+∞上有解，求a 的取值范围．22. 已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数，满足下列两个条件： ① 当0x <时，()0f x <恒成立； ② 对任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞，都有()()()()y f x f y f xy f x=+ ． （1）求(1)f 和(1)f -；（2）判断()f x 的奇偶性，并证明；（3）若()f x 在区间(0,1]上单调递减，直接写出关于x 的不等式21(1)()3f x x f ++≤的解集．23. 设A 是实数集的非空子集，称集合{,}B uv u v A u v =∈≠且为集合A 的生成集．（1）当{2,3,5}A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{2,3,5,6,10,16}B =，并说明理由．北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第一学期期中考试高一年级 数学学科答案：选择题：CCAAA ADBBC BB填空题：13. [1,2)(2,)-+∞ 14. 23- 15. 3-16. (1,3]17. ②④18. {1,2,3}19. （1）2()21f x ax ax =-+2(1)1a x a =-+-∴对称轴为：1x =（2）∵(1)7f -=，(1)217f a a -=-+=∴解得2a = ∴2()241f x x x =-+22(1)1x =--，∴函数()f x 的最小值为(1)1f =-，无最大值20. （1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴(0)0f = 即00202a -=，解得1a =，∴1()22x x f x =-， x R ∀∈，则11()22()22x x x x f x f x ---=-=-=-，符合题意， 3(1)2f = （2）解：因为1()22x x f x =- ， 所以()f x 在定义域上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以2(2)()0f t x f x -+≤在[0,3]x ∈恒成立，等价于2(2)()f t x f x -≤-即2(2)()f t x f x -≤-在[0,3]x ∈上恒成立， 即22t x x -≤-在[0,3]x ∈上恒成立，即22t x x ≤-+，[0,3]x ∈恒成立， 令22()2(1)1g x x x x =-+=--+，[0,3]x ∈，()t g x ≤的最小值 当[0,3]x ∈时，min ()(3)3g x g ==-∴3t ≤-21. （1）()f x 在(3,)+∞上单调递减，证明： 123x x ∀<<，1221121212113()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x ++--=-=---- ∵123x x <<，∴210x x ->，120x ->，220x ->∴12()()f x f x >∴()f x 在(3,)+∞上单调递减（2）∵3()12f x x =+-（3x >）， ∴()(1,4)f x ∈∵()0f x a -<在(3,)+∞上有解，∴1a >22. （1）解：令1x y ==，得2(1)2(1)f f = ∴(1)0f =或(1)2f =若(1)0f =，取1x y ==-，则2(1)2(1)0f f -==得(1)0f -=， 与0x <时，()0f x <矛盾，故(1)0f =舍去．∴(1)2f =， 2(1)2(1)4f f -==，又0x <时，()0f x <，∴(1)2f -=-（2）证明：取y x =，1x =-，得(1)()()()f f x f x f x -=-+-则2()2()f x f x -=-，∴()()f x f x =--，函数()f x 为奇函数．（3）[2,1]-23. （1）{6,10,15}B =（2）设12345{,,,,}A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<< ∵12131415253545a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<∴B 中元素个数至少有7个，当12345{2,2,2,2,2}A =时，3456789{2,2,2,2,2,2,2}B =，此时B 中有7个元素 所以生成集B 中元素个数的最小值为7．（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{,,,}A a b c d =，使其生成集{2,3,5,6,10,16}B =不妨设0a b c d <<<<，则ab ac bc <<，ab ac ad <<，bc bd cd <<，ad bd cd <<则有2ab =①，3ac =②，10bd =③，16cd =④，由①④32abcd =，由②③得30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{2,3,5,6,10,16}B =。
北京东城区北京汇文中学2024年高三阶段性检测试题含解析
北京东城区北京汇文中学2024年高三阶段性检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．1、阅读下面的文字,完成下面小题。
老市长钓鱼李忠元一清早,黄诚书记就接到上边电话,说老市长在周末闲来无事,出来散散心,想到大碗河钓鱼。
黄诚吓了一跳,他知道老市长爱钓鱼，但他从没想到老市长会舍近求远,来他这个偏僻的小县城钓鱼。
没办法,在电话里,黄诚不得不哼哼哈哈地答应下来。
放下电话,黄诚呆傻在那里:大碗河近年受到严重污染,已今非昔比,哪来的鱼可钓啊?可急也没用,老市长的车已经在路上了。
黄诚不敢怠慢,赶紧给临河街造纸厂厂长钱千万打电话,勒令他立即停产,不得排放废水,并马.上启动备用的十眼深水井向大碗河里迅速补水……钱厂长在电话里争辩:“那个‘环保一票否决’检查组不是前脚刚走吗?怎么这个退居二线的老爷子又杀回马枪呢?”“检查组是走了,可这老爷子是环保顾问,我们更惹不起,我让你停，你就立马给我……”黄书记骂了一句,火速叫上司机,赶紧去迎接老市长大驾。
说来真快,黄诚刚到小坝县县界,老市长就到了。
黄诚的车在前面带路,向大碗河慢慢开去。
慢是他的命令，他要为钱厂长办事争取些时间。
此时,坐在副驾驶的位置上,黄诚心里像装了一只小兔子,一个劲噗通、噗通乱跳。
他暗想:这个钱厂长啊,也不知有没有按照吩咐,把事办好,如果……黄诚不敢再往下想了,他的右手摁在胸前,长长地吐了一口气，企图将自已心头的不安驱走。
北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}Z 12A x x =∈-≤<，则下列说法正确的是（）A ．0A⊆B ．0A∉C ．3A∈D ．1A-∈2．记命题:0,3p x x ∃>≥，则p ⌝为（）A ．0,3x x ∀><B ．0,3x x ∀≤<C ．0,3x x ∃≤≥D ．0,3x x ∃><3．集合{}0,1A =的真子集的个数（）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．b a c a -<+B ．2c ab <C ．c c b a>D ．b c a c<5．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．1y xx=-B ．y =C ．2xy -=D ．22y x x =-6．“12x -<<”是“12x>”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知偶函数()f x 在区间(,1]-∞-上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A ．5()(3)(2)2f f f -<<B ．5(3)()(2)2f f f <-<C ．5(2)(3)()2f f f <<-D ．5(2)()(3)2f f f <-<8．若函数||x y a =（0a >，且1a ≠）的值域为(]0,1，则函数log ||a y x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A ．(1,1)-B ．(−∞,−1)∪(1,+∞)C ．(0,1)D ．(−∞,0)∪(1,+∞)10．设 1.2 1.23log 6,2,0.5a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．c a b <<D ．a c b<<11．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)12．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i Aϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()i A ϕ ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题13．函数1()=1f x x -的定义域为.14．已知函数3()27log xf x x =+，则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭．15．能够说明“若()g x 在R 上是增函数，则()xg x 在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =.16．函数()221,12,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩的值域为．17．已知下列四个函数：1,,ln ,e x y x y y x y x====．从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()F x =()()f x g x +的图象如图所示，则()F x =．18．已知函数2,,(),,x a x a f x x x a +≤⎧=⎨>⎩若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围为．三、解答题19．已知集合{}3,{|1A x a x a B x x =≤≤+=<-或5}x >.(1)若2a =-，求集合R R ()()B A ；I 痧(2)若A B A = ，求a 的取值范围.20．分别求下列关于x 的不等式的解集：(1)2610x x --<；(2)2(2)20x a x a +--≤.21．某地为助力乡村振兴，把特色养殖确定为特色主导产业，现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x 米，如下图所示．(1)用x 表示两个养殖池的总面积y ，并求出x 的取值范围；(2)当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？22．已知函数()2,R f x x x a a =--∈.(1)当2a =时，直接写出函数()f x 的单调递增区间；(2)当2a >时，求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值.23．已知()y f x =是定义在[3,3]-上的奇函数，当[3,0]x ∈-时，()f x ＝()941R x xaa +∈.(1)求()y f x =在(0,3]上的解析式；(2)当1[1,2x ∈--时，不等式()1134x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.24．若集合A 具有以下性质：①0A ∈，1A ∈；②若x ，y A Î，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“好集”.(1)分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是不是“好集”，并说明理由；(2)设集合A 是“好集”，求证:若x ，y A Î，则x y A +∈；(3)对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题p ：若x ，y A Î，则必有xy A ∈；命题q ：若x ，y A Î，且0x ≠，则必有yA x∈.。
2020-2021学年北京市东城区汇文中学高三(下)开学数学试卷(附解析)
12. 在各项均为正数的等比数列h ht中，已知 2 t 1 ， t 2，记 h t h t ht1，
则数列h ht的前六项和 为______ ．
1 . 已知 F 是双曲线 C： 2
2
t 1 的右焦点，P 是双曲线 C 上的点，
8
2．
若点 P 在双曲线右支上，则 t h 的最小值为______ ；
若点 P 在双曲线左支上，则 t h 的最小值为______ ．
Ⅲ 若直线 EC 与平面 ABC 所成的角等于 ，求二面角
意
的余弦值．
第 页，共 21页
18. 某企业发明了一种新产品，其质量指标值为 表：
7 1 ሻ ，其质量指标等级如
北京市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
北京市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD-中，PD^平面ABCD，底面ABCD为正方形，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：平面//BAF平面CDE(2)求证：平面EAC^平面EBD(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点的结论．20．在ABCD中，2A=sin sin又AB BC ^，1AB BB B Ç=，1,AB BB Ì平面11ABB A ，故BC ^平面11ABB A ，又1BA Ì平面11ABB A ，故1BC BA ^，显然11BC B C ∥，即111B C BA ^，故1,A Q 重合时，11BQ B C ^，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ^，B 选项已经分析过，BC ^平面11ABB A ，由1AB Ì平面11ABB A ，故1AB BC ^，又1BC BA B Ç=，1,BC BA Ì平面1BCA ，故1AB ^平面1BCA ，又BQ Ì平面1BCA ，则1BQ AB ^必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ^，垂足为N ，根据1BB ^平面ABC ，BN Ì平面ABC ，故1BB BN ^，显然11BB CC ∥，故1BN CC ^，由BN CM ^，1CC CM C =I ，1,CC CM Ì平面1CMPC ，故BN ^平面1CMPC ，若BQ P 平面1PCC ，则BQ BN ^，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B =I ，1,BQ BB Ì平面1BQOB ，故BN ^平面1BQOB ，由于1B O Ì平面1BQOB ，故1BN B O ^，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ^，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C 10．D【解析】先求BAD Ð，在BAD V 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD V 中即可求AC .20．（1）π3B Ð=，（2）【分析】试题分析：（Ⅰ）因定理得21．(1)具有性质P(2)4(3)证明见解析【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x =ur ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a uu r ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =Îur ，()2,a s t Y =Îuu r ，由120a a ×=ur uu r ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X Î，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【详解】（1）{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y Îu u r ，存在2a Y Îuu r 使得120a a ×=ur uu r ，所以X 具有性质P .（2）因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x =ur ，又Y 中与()1,2a x =ur 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =-uu r 时，由120a a ×=ur uu r ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =-uu r 时，由120a a ×=ur uu r ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =-uu r 时，由120a a ×=ur uu r ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.（3）证明：取()111,a x x Y =Îur ，设()2,a s t Y =Îuu r ，满足120a a ×=ur uu r ，所以()100s t x s t +=Þ+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X Î，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,nb x x =u r ，并设()2,b p q =u u r ，满足120b b ×=u u r u r ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。
北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
北京汇文中学教育集团2023-2024学年度第二学期期中考试高二年级数学学科本学期共6页，试卷分值为150分。
考试时长为120分钟。
请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分。
1．集合={U2−≤0}，={U<−1}，则∪∁R=A．{U>−1}B．{U0≤≤1}C．{U0<≤1}D．{U≥−1} 2．已知曲线=在点1,1处的切线过点2,0，且′1=−2，则1的值为A．−1B．1C．2D．33．下列函数中，的最小值是2的是A．=+1B．=−lnC．=cos+1cos0<<π2D．=−+14．已知=20.1，=130.4，=log21，则A．>>B．>>C．>>D．>>5．已知函数=lg1++lg1−，则A．是奇函数，且在1,+∞上是增函数B．是偶函数，且在1,+∞上是增函数C．是奇函数，且在1,+∞上是减函数D．是偶函数，且在1,+∞上是减函数6．7张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，7.从中随机取出2张，记事件=“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件=“所取2张卡片上的数字之和小于8”，则U=A．13B．23C．49D．597．小明家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3.已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为A．0.45B．0.5C．0.6D．0.728．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：=Eog21+，其中为最大数据传输速率，单位为bvs；为信道带宽，单位为H；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当=99，=2000H时，最大数据传输速率记为1；当=9999，=3000H时，最大数据传输速率记为2，则21为A．154B．3C．52D．19．已知函数=2+2+1，则“=2”是“函数在=−1处取得极小值”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．设函数的定义域为，如果∀∈，∃∈，使得=−成立，则称函数为“Ω函数”.给出下列四个函数：①=sin；②=+4；③=1K1；④=−ln，则其中“Ω函数”共有A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分。
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北京汇文中学谢达鸿老师点拨高考数学复习-数学试题
4月14日晚7：00北京汇文中学高三年级数学组组长谢达鸿老师做客新浪嘉宾聊天室，就高三学生关心的高考复习的相关问题与问进行了在线交流，整理如下：
问：我的数学成绩很差，如何在很快的时间提高成绩？
谢达鸿：这个应该结合自己的实际情况，有重点地做一些专项的复习。
比如首先从选择题入手，把选择题在做的过程中，尽量减少猜的成分，做选择题的过程中，也象做解答题一样，每一个环节，每一个步骤，运用的每一个原理都搞清楚。
再进一步扩展到填空题，如果填空题能够正确率提高，说明这是一个比较大的进步。
当你的选择题和填空题的成功率比较大的时候，对知识的运用自然就提高了，比较简单的解答题的解题的能力也相应地提高了。
根据自己的情况，不要盲目地做难题。
问：数学归纳法是什么动向？
谢达鸿：数学归纳法的证明，从这两年的考题看，一般在题里不是明确提出的，而是结合题的证明的需要，采用这种方法。
以前的题，经常是指出用数学归纳法证明，这两年不是这么个提法。
关于N的命题，在证明过程中，需要用到数学归纳法，侧重于考察一个人的判断能力。
问：我是高三的学生，学习到最后阶段，应该如何冲刺？数学的复习进程应该如何掌握？
谢达鸿：现在数学应该说是到了综合复习阶段了，因为五月初就开始一模，从北京地区来讲，今年又是考前填志愿，所以这一模的参考价值就比较高了。
我觉得现在应该为一模的考试做一些准备，起码在四月份这一个月里，能做到四至五套综合题，而且是高质量的做。
综合题的来源可以是老师提供的，也可以自己选择去年的，经过考验的一些好的综合题。
因为现在市面上卖的各种题比较多，也是鱼龙混杂，如果咱们就做这么四五套题，题的质量不好，恐怕也是很浪费精力的，所以这个事应该取得老师的帮助和指导。
问：谢老师，如何在做题的时候提高数学做题速度？
谢达鸿：现在的复习到了综合复习阶段了，在做题的过程中，不要盲目地多做题，而是在做题的过程中思考你学过的基本知识，基本概念，基本方法，在题里是怎么体现的。
在习题中怎么组合这些基本知识，以什么形式组合。
这样形成一种思维习惯，拿到题以后有一种分析的能力。
再有一个，复习的过程中，有些题的基本方法，在运用过程中，要有主动的意识，不能说我做完一个题是一个题，应该是做一个题想一类情况，能够及时总结。
问：今年高考的数学是重能力还是重基础，您认为今年的数学会增加难度吗？
谢达鸿：我觉得还是以基础为主，但是这个基础用什么去考察呢？用测试能力的形式去考察。
举一个例子，比如去年的高考题，里面有一些关于立体几何的，关于不等式的证明等等这一类题，涉及的问题是非常基本的，可以说，象单调性的证明，象立体几何里的关于投影的问题，可以说是数学里最基本的问题，属于最核心的问题，但是在提法上，在命题的设问的形式上，却采取了以前不曾出现的形式，这样对一个人的能力就有了要求。
所以，高考的题发展的形势就是考察内容，仍然是基本概念，回归自然，回归基础，但是在考题的命题形式上，却突出了能力的考察。
问：今年高考想达到及格水平，侧重复习哪类的习题？
谢达鸿：还是我刚才说的，第一侧重选择，然后是填空，但是选择填空，应该每一个选择题，每一个填空题，都当成解答题做，然后用百分之五十的力量搞选择填空，用百分之五十的力量搞中等难度的题，我觉得这样安排还是比较合理的。
问：我现在数学复习抓不住重点，能不能为我介绍几本精品参考书？
谢达鸿：参考书应该以学校指定的为主，因为每个老师，作为高三老师，应该说是有一定的经验，他自己复习也成了一个系统。
当然如果让我介绍一个精品参考书的话，我觉得就是高考题汇编，高考题最值得研究，就是说所有的练习册上的书都是高考题的变种，所以要好好做高考题，好好地分析。
现在到了综合复习阶段，应该说没有什么重点了，实际是一个叫考前热身的阶段，就是不断地增长实战能力，所以还是从实战出发。
当然这个实战，就是做题以后，错题一定要改，不要错完了又过，做新题，新题还接着错。
做完的题，放两天以后，再把那个错题做一遍，这样就是补漏洞的过程。
问：是做课本上的题还是跟着老师复习好？
谢达鸿：还是跟着老师复习好，因为课本已经学了三年了，再看课本也解决不了你的实际做题的能力问题了，到了这种阶段，最重要的就是实战能力，要解决的问题，最主要的是这个。
通过做题找问题。
问：数学科有综合题怎么复习？
谢达鸿：数学和其他学科的综合，现在好象不是一个主要的问题。
但是数学里内部的综合性运用基本上是在近两年的高考题里体现得比较充分。
如果说数学考虑综合的问题，还是重点考虑数学内部知识、学科本身知识的综合。
问：今年北京市第一年3＋X，数学会变难吗？
谢达鸿：今年是3＋2，明年是3＋X。
我觉得数学的难度不会有太大的起伏，基本上还是和去年持平的。
问：做数学题时，尤其是考试的时候，遇到无从下手的题目怎么办？
谢达鸿：如果你开始遇到无从下手的题那就绕过，一般来说，拿到一个题，如果一点思路都没有的话，应该先避一避，把一些比较顺手的题做好了以后，一方面会提高信心，再一方面，开始考的时候一般心情都比较紧张，考试中慢慢情绪会稳定的。
问：一般说来，选择题会花多长时间？
谢达鸿：选择题的题量逐年减少，去年就少了两道题，好象有消息说今年选择题的题量还要减少。
这样选择题的比重就比以前减弱了，所以选择题占过多的时间恐怕就会影响到大题的解答。
问：我的成绩比较好，现在可以达到一百二十分以上，我应该怎么样才可以拿到更高的分？
谢达鸿：对于数学成绩比较好的同学来讲，这段时间正好是提高自己综合能力的好阶段。
因为前一段进行阶段复习的时候，说明这些同学各部分知识掌握得还不错，所以成绩能到一百二。
但是，各个部分的知识学得不错，不能代表综合能力就到位。
所以，利用这一个月的时间，基本上在一模之前，使得自己做中档题和较难题这部分能有一个提高，这是这部分学生在这段时间里的主要任务。
问：数学成绩如果想达到一百一十分，应该侧重哪一种程度的题？
谢达鸿：如果平时的数学成绩能够基本保持在一百分以上的话，就应该采取我刚才说的那种方法，重视自己的综合能力，综合运用知识的能力，有意识地去培养。
问：我是浙江的考生，我数学成绩波动很大，在复习上有没有什么需要注意的？
谢达鸿：数学成绩波动大，说明能力还是有，要不怎么能有好的时候呢？第一是心理状态不是特别好，心情好的时候，或者情绪比较高涨的时候，就能发挥得比较好，情绪比较低落的时候就发挥不出来，我觉得调整的方法，第一就是在心理方面对自己有一种暗示，心理问题就得靠暗示来解决，提高自己的信心，经常保持愉快和比较兴奋，心态比较好的情况，可能成绩能够更稳定一点。
问：在解析几何中，解题有很多思路，怎样选择最快的，最好的方法。
谢达鸿：在解析几何里，要提高解析几何这类问题计算量的问题，还得靠数型结合。
对问题的内部结构，能有一个比较透彻的了解，这样就能选择比较恰当的方法。
再有一个，有些通法还是应该掌握，比如说涉及到圆锥曲线的玄的重点，和斜率的问题，如果能够确定这
个玄和圆锥曲线有交点的情况下，那就采取设点的形式比较好，这样计算量就可以大大降低。
通过数型结合，掌握这个题目的内部结构，这样可以找到比较恰当的方法。
问：我现在进入第二轮的复习了，我成绩不好，还有没有提高的余地？
谢达鸿：肯定有提高的余地。
刚才我已经说了好几遍了，对于学习成绩不好的，就从基础的，最基本的选择填空入手，注意两点，第一就是不要做难题，第二就是做错的题要改。
问：对目前来说，分类整理还是综合练习比较好？
谢达鸿：综合练习。
问：数学考试时应该怎样分配时间？
谢达鸿：根据自己不同的情况，我觉得学习成绩比较好的同学，选择题也就占到四十分钟，要更好的同学，可能更短一点。
对于平时成绩不是太好的，那么选择题恐怕要占到五十分钟甚至更多。
做后面的解答题，平时成绩不是特别理想的，就集中力量做中间的四道解答题。
后两道大题，也就是第一问，头两问，看一看，当然不要失掉机会，有时候最后的一道大题的第一问也是可以做的。
对于好学生来讲，争取中间的四道题，也就是中档难度的题快一点拿下，因为要提高差距的话，想使自己成绩比别人更好一点，区别还是在后两道题上。
问：做数学抓通法很重要吗？
谢达鸿：非常重要。
通法，举个例子，解析几何，通法里有很多种，比如刚才咱们说直线和圆锥曲线的关系，那里的通法就包括设直线，设点，还包括用第二定义，这些都是通法。
也许用设直线的方法，运算量非常大，但是用第二定义可能就非常简单，所以通法不是说一种类型题就一个通法，应该是比较全面的把握。
问：立体几何的设问会不会更加开放？
谢达鸿：从去年来讲是一个大的台阶，就是开放，而且近年来的高考题都是在设问的方式上有所动作，所以拿到题，刚才赵老师说了，要审题，把关系搞清楚。
比如去年的立体几何题，就是让你先猜想一下这个结论成立的充分。