第六章联立方程组模型的估计(计量经济学-中国人民大学
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第六章 联立方程组模型的估计
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4
联立方程组模型及其简化式 联立方程的bias 间接最小二乘估计 两阶段最小二乘估计
§6.1 联立方程组及其简化式
Ct Yt ut
Yt Ct Zt
（1）
式中 Yt：收入，Ct：消费，Zt：非消费支出。
§6.1 联立方程组及其简化式
例１：
Q Q
a1 a2
b1P c1Y u1 b2P c2R u2
(1)
(2)
模型中（1）为农产品的需求函数，（2）为农产品的供给函数。
Q：农产品数量，P：价格，Y ：收入， R ：雨量， P、Q 为内生变量，Y 、 R 为外生变量。
§6.3 间接最小二乘法
解得简化式：
Q P
a1b2 b2
内生变量：由模型自身决定的变量，如上例中的 Ct、Yt
外生变量：由外部信息给出的变量，如上例中的 Zt 。
联立方程组中变量的分类
内生变量
变量
先决变量
滞后内生变量 外生变量
假设先决定变量和模型中误差项项是不相关的，内生变量与随机误差项是相关。
§6.1 联立方程组及其简化式
联立方程组模型涉及主要问题：
§6.2 联立方程的bias
ˆ CtYt Yt 2
Yt ut Yt Yt 2
utYt Yt 2
§6.2 联立方程的bias
最小二乘估计 ˆ 的无偏性不存在， 且 n 时， ˆ 的一致也不存在， 且可能给出 的过大的估计。
§6.3 间接最小二乘法 （ILS：indirect Least Squares）
由式(2)
Ct
1
1
Zt
ut
1
①
Yt
1
1
1
Zt
ut
1
②
对①式用 OLS 可得出 Cˆt a bZt
§6.3 间接最小二乘法
令
a
1
b
1
ˆ 、 ˆ 称为间接最小二乘估计量。
但是上面的方法并不是总是有唯一解的，要求所讨论的模型一定要恰好识别。
§6.3 间接最小二乘法
与例１中求得的解作对比，得到两个 bˆ2 ，①和②不一定相等，
这种情况称供给函数过度识别。 恰好识别（just-identified） 有解，且解唯一 过度识别（over-identified） 有解，但是解不唯一 不可识别（under-identified） 解不存在
§6.3 间接最小二乘法
结构模型可识别条件（次数条件order condition）：
识别的充要条件，必须讨论结构模型 中参数所形成矩阵的秩，实证分析时 不容易讨论。
§6.4 两阶段最小二乘法
（TSLS：Two Stage Least Squares）
Ct Yt ut
Yt Ct Zt
Ct Yt
10 20
11Zt 21Zt
v1t v2t
§6.4 两阶段最小二乘法
模型中（1）为需求函数，
（2）为供给函数。求得简化式：
Q P
a1b2 a2b1 b2 b1
a1 a2
c1b2 Y error b2 b1
c1 Y error
b2 b1 b2 b1
Qபைடு நூலகம் 1 2Y error
P
3
4Y
error
§6.3 间接最小二乘法
用
OLS，求出 ˆ 1
1
6
§6.3 间接最小二乘法
从方程求解得
bˆ1 ˆ3 ˆ6
c1 ˆ5 bˆ1 bˆ2
bˆ2 ˆ2 ˆ5
c2 ˆ6 bˆ1 bˆ2
aˆ1 ˆ1 bˆ1ˆ4
aˆ2 ˆ1 bˆ2ˆ4
§6.3 间接最小二乘法
例2：
Q Q
a1 a2
b1P c1Y b2P u2
u1
(1) (2)
估计问题 识别问题
§6.1 联立方程组及其简化式
模型(1)称为联立方程组模型的结构式(structural form)
由解(1)得到 :
C
1
1
Z
u
1
Y
1
Z
u
(2)
1 1 1
(2)称为简化式(reduced form)
§6.2 联立方程的bias
假设
C Y u
Y C Z
a1
a2b1 b1 a2
c1b2 Y b2 b1
c1 Y
c2b1 b2 b1
c2 R
R error error
b2 b1 b2 b1 b2 b1
§6.3 间接最小二乘法
简化式方程记为作
Q Q
1 4
2Y 5Y
3R 6R
v1 v2
对简化式用 OLS，可以求得参数估计：ˆ …ˆ
、ˆ2
、ˆ 3
、ˆ4
，
反解结构式参数，
aˆ2 ˆ1 bˆ2ˆ3 ，
bˆ2 ˆ2 ˆ4
即只得出供给函数的２个参数估计，此时称供给函
数是可识别的，需求函数是不可识别的。
§6.3 间接最小二乘法
例 3：
Q Q
a1 a2
b1P c1Y b2P u2
d1R
u1
简化式
Q P
a1b2 b2
由于E Ytut 0，不能直接对消费函数用最小二乘
估计，可用间接最小二乘估计，但要求所讨论 方程恰好识别。
第一阶段：求该模型的简化式，对简化式用OLS。
上例得到Yˆt ˆ20 ˆ21Zt
Yt Yˆt et
Yˆtet 0
§6.4 两阶段最小二乘法
a1
a2b1 b1 a2
c1b2 Y b2 b1
c1 Y
d1b2 b2 b1
d1 R
R error error
b2 b1 b2 b1 b2 b1
§6.3 间接最小二乘法
利用 OLS 求出表示简化式参数估计 ˆi （i=1…6），反解得到
① bˆ2 ˆ2 ˆ5 ② bˆ2 ˆ3 ˆ6 aˆ2 ˆ1 bˆ2ˆ4
需求函数恰好识别，供给函数中：
g 2 k 1 供给函数恰好识别
§6.3 间接最小二乘法
例 2 g 2 k 0 需求函数不可识别， 供给函数中： g 2 k 1 恰好识别
§6.3 间接最小二乘法
例 3 中：g=2 k=0 需求函数不可识别， 供给函数中：g=2 k=2 过度识别
§6.3 间接最小二乘法
1. if k g 1：所讨论的方程恰好识别 2.if k g 1：所讨论的方程过度识别 3. if k g 1：所讨论的方程不可识别 g: 结构模型中所有内生变量的个数. k: 所讨论方程中不包含的所有变量 (内生,滞后内生,外生)的个数. 注意:这是必要条件.
§6.3 间接最小二乘法
例１ g 2 k 1
§6.1 §6.2 §6.3 §6.4
联立方程组模型及其简化式 联立方程的bias 间接最小二乘估计 两阶段最小二乘估计
§6.1 联立方程组及其简化式
Ct Yt ut
Yt Ct Zt
（1）
式中 Yt：收入，Ct：消费，Zt：非消费支出。
§6.1 联立方程组及其简化式
例１：
Q Q
a1 a2
b1P c1Y u1 b2P c2R u2
(1)
(2)
模型中（1）为农产品的需求函数，（2）为农产品的供给函数。
Q：农产品数量，P：价格，Y ：收入， R ：雨量， P、Q 为内生变量，Y 、 R 为外生变量。
§6.3 间接最小二乘法
解得简化式：
Q P
a1b2 b2
内生变量：由模型自身决定的变量，如上例中的 Ct、Yt
外生变量：由外部信息给出的变量，如上例中的 Zt 。
联立方程组中变量的分类
内生变量
变量
先决变量
滞后内生变量 外生变量
假设先决定变量和模型中误差项项是不相关的，内生变量与随机误差项是相关。
§6.1 联立方程组及其简化式
联立方程组模型涉及主要问题：
§6.2 联立方程的bias
ˆ CtYt Yt 2
Yt ut Yt Yt 2
utYt Yt 2
§6.2 联立方程的bias
最小二乘估计 ˆ 的无偏性不存在， 且 n 时， ˆ 的一致也不存在， 且可能给出 的过大的估计。
§6.3 间接最小二乘法 （ILS：indirect Least Squares）
由式(2)
Ct
1
1
Zt
ut
1
①
Yt
1
1
1
Zt
ut
1
②
对①式用 OLS 可得出 Cˆt a bZt
§6.3 间接最小二乘法
令
a
1
b
1
ˆ 、 ˆ 称为间接最小二乘估计量。
但是上面的方法并不是总是有唯一解的，要求所讨论的模型一定要恰好识别。
§6.3 间接最小二乘法
与例１中求得的解作对比，得到两个 bˆ2 ，①和②不一定相等，
这种情况称供给函数过度识别。 恰好识别（just-identified） 有解，且解唯一 过度识别（over-identified） 有解，但是解不唯一 不可识别（under-identified） 解不存在
§6.3 间接最小二乘法
结构模型可识别条件（次数条件order condition）：
识别的充要条件，必须讨论结构模型 中参数所形成矩阵的秩，实证分析时 不容易讨论。
§6.4 两阶段最小二乘法
（TSLS：Two Stage Least Squares）
Ct Yt ut
Yt Ct Zt
Ct Yt
10 20
11Zt 21Zt
v1t v2t
§6.4 两阶段最小二乘法
模型中（1）为需求函数，
（2）为供给函数。求得简化式：
Q P
a1b2 a2b1 b2 b1
a1 a2
c1b2 Y error b2 b1
c1 Y error
b2 b1 b2 b1
Qபைடு நூலகம் 1 2Y error
P
3
4Y
error
§6.3 间接最小二乘法
用
OLS，求出 ˆ 1
1
6
§6.3 间接最小二乘法
从方程求解得
bˆ1 ˆ3 ˆ6
c1 ˆ5 bˆ1 bˆ2
bˆ2 ˆ2 ˆ5
c2 ˆ6 bˆ1 bˆ2
aˆ1 ˆ1 bˆ1ˆ4
aˆ2 ˆ1 bˆ2ˆ4
§6.3 间接最小二乘法
例2：
Q Q
a1 a2
b1P c1Y b2P u2
u1
(1) (2)
估计问题 识别问题
§6.1 联立方程组及其简化式
模型(1)称为联立方程组模型的结构式(structural form)
由解(1)得到 :
C
1
1
Z
u
1
Y
1
Z
u
(2)
1 1 1
(2)称为简化式(reduced form)
§6.2 联立方程的bias
假设
C Y u
Y C Z
a1
a2b1 b1 a2
c1b2 Y b2 b1
c1 Y
c2b1 b2 b1
c2 R
R error error
b2 b1 b2 b1 b2 b1
§6.3 间接最小二乘法
简化式方程记为作
Q Q
1 4
2Y 5Y
3R 6R
v1 v2
对简化式用 OLS，可以求得参数估计：ˆ …ˆ
、ˆ2
、ˆ 3
、ˆ4
，
反解结构式参数，
aˆ2 ˆ1 bˆ2ˆ3 ，
bˆ2 ˆ2 ˆ4
即只得出供给函数的２个参数估计，此时称供给函
数是可识别的，需求函数是不可识别的。
§6.3 间接最小二乘法
例 3：
Q Q
a1 a2
b1P c1Y b2P u2
d1R
u1
简化式
Q P
a1b2 b2
由于E Ytut 0，不能直接对消费函数用最小二乘
估计，可用间接最小二乘估计，但要求所讨论 方程恰好识别。
第一阶段：求该模型的简化式，对简化式用OLS。
上例得到Yˆt ˆ20 ˆ21Zt
Yt Yˆt et
Yˆtet 0
§6.4 两阶段最小二乘法
a1
a2b1 b1 a2
c1b2 Y b2 b1
c1 Y
d1b2 b2 b1
d1 R
R error error
b2 b1 b2 b1 b2 b1
§6.3 间接最小二乘法
利用 OLS 求出表示简化式参数估计 ˆi （i=1…6），反解得到
① bˆ2 ˆ2 ˆ5 ② bˆ2 ˆ3 ˆ6 aˆ2 ˆ1 bˆ2ˆ4
需求函数恰好识别，供给函数中：
g 2 k 1 供给函数恰好识别
§6.3 间接最小二乘法
例 2 g 2 k 0 需求函数不可识别， 供给函数中： g 2 k 1 恰好识别
§6.3 间接最小二乘法
例 3 中：g=2 k=0 需求函数不可识别， 供给函数中：g=2 k=2 过度识别
§6.3 间接最小二乘法
1. if k g 1：所讨论的方程恰好识别 2.if k g 1：所讨论的方程过度识别 3. if k g 1：所讨论的方程不可识别 g: 结构模型中所有内生变量的个数. k: 所讨论方程中不包含的所有变量 (内生,滞后内生,外生)的个数. 注意:这是必要条件.
§6.3 间接最小二乘法
例１ g 2 k 1