2019-2020年高中数学 数学建模综合测试 新人教A版选修4
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-5模块综合测评 Word版含解析
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x<－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－23或x>2D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－23<x<2【解析】 因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23.【答案】 C2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )【解析】 根据柯西不等式的结构特征可知只有B 正确，故选B. 【答案】 B3．若实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则|tan x －tany |等于( )A ．tan x －tan yB ．tan y －tan xC ．tan x ＋tan yD.|tan y |－|tan x |【解析】 由|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，得tan y >0.故|tan x －tan y |＝tan y －tan x . 【答案】 B4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )【导学号：32750076】A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab2<1a2b D.b a <a b【解析】 对于C 中，1ab2－1a2b ＝a －b a2b2<0， ∴1ab2<1a2b. 【答案】 C5．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立 【答案】 C6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C.2D.16【解析】 由(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4.因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4. 【答案】 B7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D.4楼【解析】 设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n＝9n，即n ＝3时取等号，故选C. 【答案】 C8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k <3B ．k <－3C ．k ≤3 D.k ≤－3【解析】 ∵|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3. ∴不等式恒成立，应有k <－3. 【答案】 B9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时等号左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1 B.错误! C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋2k ＋1【解析】 当n ＝k 时，有f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )， 当n ＝k ＋1时，有f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， ∴f (k ＋1)＝f (k )·错误!. 【答案】 B10．对一切正数m ，不等式n <4m ＋2m 2恒成立，则常数n 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，6)C ．(0，＋∞)D.[6，＋∞)【解析】 要使不等式恒成立，只要n 小于4m ＋2m 2的最小值．∵4m ＋2m 2＝2m ＋2m ＋2m 2≥338＝6，∴n <6.【答案】 B11．若n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱含有对角面的个数为( ) A ．2f (n ) B ．f (n )＋(n －1) C ．f (n )＋nD.f (n )＋2【解析】 由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个，故选B.【答案】 B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x )MB ．g (x )∈MC．g(x)∉M D.不能确定【解析】∵g(x1)－g(x2)＝x21＋2x1－x2－2x2＝(x1－x2)(x1＋x2＋2)，∴|g(x1)－g(x2)|＝|x1－x2|·|x1＋x2＋2|≤|x1－x2|(|x1|＋|x2|＋2)≤6|x1－x2|，所以g(x)∈M.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)13．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________.【导学号：32750077】【解析】∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8，∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，要使|x－5|＋|x＋3|<a无解，只需a≤8.【答案】(－∞，8]14．若正数a，b满足ab＝a＋b＋8，则ab的最小值为________．【解析】∵ab＝a＋b＋8，且a＞0，b＞0，∴ab－8＝a＋b≥2ab，∴(ab)2－2ab－8≥0，∴ab≥4或ab≤－2(舍去)，∴ab≥16，即ab的最小值为16.【答案】1615．用数学归纳法证明an＋bn2≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2n(a，b是非负实数，n∈N＋)，假设n＝k时不等式ak＋bk2≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2k(*)成立，再推证n＝k＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________．【解析】要想办法出现ak＋1＋bk＋12，两边同乘以a＋b2，右边也出现了要求证的⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2k＋1.【答案】a＋b 216．设a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝ab＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________． 【解析】 由柯西不等式 P ＝ am·b m＋nc·dn≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 【答案】 P ≤Q三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 【证明】 因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]1a －b ＋1b －c ＝a －b b －c ＋b －c a －b ＋2≥2a －b b －c ·b －ca －b＋2＝4，当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时等号成立． 故1a －b ＋1b －c ≥4a －c成立． 18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f(x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．图1【解】 (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x≤－1，3x －2，－1＜x≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 19．(本小题满分12分)设m ，n ∈R ＋，m ＋n ＝p ，求证：1m＋1n≥4p，并指出等号成立的条件． 【证明】 根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎪⎫m·1m＋n·1n 2＝4， 于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p ，当m ＝n ＝p2时，等号成立．20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．【解】 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a ，b ，c . 由题意，可得abc ＝500，长方体水箱的表面积为S＝2bc＋2ac＋ab.由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥332bc·2ac·ab＝334×5002＝3×102＝300.当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，S＝2bc＋2ac＋ab＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．(1)(2)(3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．21．(本小题满分12分)设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f (2)＝4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．【解】(1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.∵f(n)>0(n∈N＋)，∴f(1)＝2，取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，初步归纳猜想f(n)＝2n.证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立；②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，即当n＝k＋1时，猜想也成立．由①②得，对一切n∈N＋，f(n)＝2n都成立．22．(本小题满分12分)设数列{a n}的首项a1∈(0,1)，a n＝3－an－12，n＝2,3,4，….【导学号：32750078】(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n ＝a n 3－2an ，求证：b n <b n ＋1，其中n 为正整数． 【解】 (1)由a n ＝3－an －12，得2a n ＝3－a n －1， 即1－an 1－an －1＝－12，所以数列{1－a n }是以1－a 1(a 1∈(0,1))为首项，以－12为公比的等比数列，所以1－a n ＝(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，因此a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)证明：由(1)可知0<a n <32，故b n >0.那么b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1(3－2a n ＋1)－a 2n (3－2a n ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－an 22⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×3－an 2－a 2n (3－2a n ) ＝9an4(a n －1)2.又由(1)知a n >0且a n ≠1， 故b 2n ＋1－b 2n >0，因此b n <b n ＋1，n 为正整数．。
2019-2020年高中数学 模块综合测试 新人教A版必修4
2019-2020年高中数学 模块综合测试 新人教A 版必修4一、选择题(每小题5分，共60分)1．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式正确的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝cos β解析：因为α，β的终边关于y 轴对称，所以β＝2k π＋π－α，k ∈Z ，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin α.答案：A2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53B ．－19C.19D.53解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.答案：B3．设θ是第二象限角，则点P (sin(cos θ)，cos(cos θ))在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：θ是第二象限角，－1<cos θ<0， 所以sin(cos θ)<0，cos(cos θ)>0，故选B. 答案：B4．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2解析：f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，它在(π4，π2)上是递减的，图象关于原点对称，最小正周期是π，最大值为1，故B 是正确的．答案：B5．已知▱ABCD 中，AD →＝(－3,7)，AB →＝(4,3)，对角线AC 、BD 交于点O ，则CO →的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫－12，－5 D.⎝⎛⎭⎫12，－5 解析：由AD →＋AB →＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)． ∵AD →＋AB →＝AC →.∴AC →＝(1,10)． ∴CO →＝－12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5.故应选C. 答案：C6．已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a －3b |等于( ) A.7 B.10 C.13D ．4解析：|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝1－3＋9＝7，则 |a －3b |＝7. 答案：A7．要得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，可以将函数y ＝3sin2x 的图象( ) A ．沿x 轴向左平移π8个单位B ．沿x 轴向右平移π8个单位C ．沿x 轴向左平移π4个单位D ．沿x 轴向右平移π4个单位解析：y ＝3sin2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2， 要得到y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象， 常将y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，向左平移π8得 y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－π2＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象， ∴选A. 答案：A8．已知向量a 的同向的单位向量为a 0＝(－32，12)，若向量a 的起点坐标为(1，－2)，模为43，则a 的终点坐标是( ) A ．(－5,23－2) B ．(1－23，4)C ．(－5,23－2)或(7，－2－23)D ．(1－23，4)或(1＋23，－6)解析：设a 的终点B 的坐标为(x ，y )，则a ＝(x －1，y ＋2)．又a ＝43a 0＝(－6,23)，∴B (－5,23－2)．答案：A9．在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，则此三角形为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B＋C )]＝1－cos(B ＋C )，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，∴B ＝C .答案：B10．已知sin(α－β)＝35，cos(α＋β)＝－35，且α－β∈(π2，π)，α＋β∈(π2，π)，则cos2β的值为( )A ．1B ．－1 C.2425D ．－45解析：由题意知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝45，所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝(－35)×(－45)＋45×35＝2425.答案：C11．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－13，则cos2α＝( )A.179B ．±179C ．－179D.173解析：(cos α＋sin α)2＝19，sin αcos α＝－49，故sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α＝－cos α＋sin α2－4sin αcos α＝－173，cos2α＝cos 2α－sin 2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝－13×(－173)＝179.答案：A 12．函数f (x )＝sin x ·cos x1＋sin x ＋cos x的最大值为( )A ．－3－1 B.2－12 C.－2－12D.3－12解析：设sin x ＋cos x ＝t ，则t ∈[－2，2]， sin x cos x ＝t 2－12，∴f (x )＝μ(t )＝t 2－121＋t ＝t －12(t ≠－1)，∴μ(t )max ＝2－12. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝a sin2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________. 解析：显然T ＝π，f (π＋3)＝f (3)． F (x )＝f (x )－1＝a sin2x ＋b tan x 为奇函数，则F (－3)＝f (－3)－1＝4，F (3)＝f (3)－1＝－4，f (3)＝－3. 答案：－314．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.答案：5415．已知点P (cos α，sin α)在直线y ＝2x 上，则cos2αsin α－cos α2＝________.解析：由点P(cosα，sinα)在直线y＝2x上可知，tanα＝2.则cos2αsin α－cos α2＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－tan 2αtan 2α＋1－2tan α ＝1－44＋1－4＝－3.答案：－316．给出下列四个命题：①函数y ＝tan x 的图象关于点(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数；③设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2；④函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为－1.其中正确的命题是________．解析：①由正切曲线，知点(k π，0)，(k π＋π2，0)是正切函数图象的对称中心，∴①对；②f (x )＝sin|x |不是周期函数，②错； ③∵θ∈(2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z ，∴θ2∈(k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z . 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，sin θ2<cos θ2.∴③错；④y ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋54，∴当sin x ＝－1时，y min ＝1－(－1)2＋(－1)＝－1. ∴④对． 答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知tan(π＋α)＝3， 求2cos π－α－3sin π＋α4cos －α＋sin 2π－α的值．解：∵tan(π＋α)＝3，∴tan α＝3. ∴2cos π－α－3sin π＋α4cos －α＋sin 2π－α＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2cos α＋3sin αcos α4cos α－sin αcos α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×34－3＝7.18．(12分)已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求： (1)a 与b 的夹角θ； (2)(a －2b )·b .解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.由于θ∈[0，π]，∴θ＝2π3即为所求．(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.19．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求这个函数的单调递增区间． 解：(1)由图象可知 A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T ＝π，ω＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)，将点(－π8，2)代入得－π4＋φ＝2k π＋π2，|φ|<π，∴φ＝34π. ∴函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．(2)由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2，得k π－5π8≤x ≤k π－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(2x ＋3π4)的单调递增区间为[k π－5π8，k π－π8](k ∈Z )． 20．(12分)已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，a ＝(sin B ＋cos B ，cos C )，b ＝(sin C ，sin B －cos B )．(1)若a ·b ＝0，求角A ； (2)若a ·b ＝－15，求tan2A .解：(1)由已知a ·b ＝0，得(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝0， 化简得sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝0，即sin A ＋cos A ＝0，tan A ＝－1，而A ∈(0，π)，∴A ＝34π.(2)a ·b ＝－15，即sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15，∴sin A ＋cos A ＝－15①平方得2sin A cos A ＝－2425，∵－2425<0，∴A ∈(π2，π)，sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75②联立①②得，sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34，∴tan2A ＝2×－341－916＝－247.21．(12分)已知向量a ＝(cos x ，－12)，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[0，π2]上的最大值和最小值．解：f (x )＝(cos x ，－12)·(3sin x ，cos2x )＝3cos x sin x －12cos2x＝32sin2x －12cos2x ＝cos π6sin2x －sin π6cos2x＝sin(2x －π6)．(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质知，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12，因此，f (x )在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.22．(12分)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin(53x －π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．.。
【2019-2020】高中数学模块综合评价检测含解析新人教A版选修4_4
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学模块综合评价检测含解析新人教A版选修4_4撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的直角坐标是(－1，)，则点M 的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C.D.(k ∈Z)解析：点M 的极径是2，点M 在第二象限，故点M 的极坐标是. 答案：C2．极坐标方程cos θ＝(ρ∈R)表示的曲线是( )A ．两条相交直线B ．两条射线C ．一条直线D ．一条射线解析：由cos θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线．答案：A3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝对称的曲线的方程是( )A ．ρsin θ＋1＝0B ．ρcos θ＋1＝0C ．ρsin θ＝2D ．ρcos θ＝2解析：因为M(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点是N ，从而所求曲线方程为ρcos ＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0.答案：A4．直线(t 为参数)和圆x2＋y2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A．(3，－3) B．(－，3)C．(，－3) D．(3，－)解析：将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，得＋＝16，所以t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，因此AB的中点M对应参数t＝＝4，所以x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，故AB中点M的坐标为(3，－)．答案：D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0或ρcos θ＝x＝1.答案：C6．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ的两个圆的圆心距是( )A．2 B. C．5 D.5解析：ρ＝2cos θ是圆心为(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心为，半径为2的圆，所以两圆的圆心距是.答案：D7．已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意易知圆的圆心M(1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x －4y －5＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝＝2.答案：B8．点M 关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 解析：点M 的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点关于直线y ＝x 的对称点为，再化为极坐标为.答案：A9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程(θ为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、射线和圆B ．圆、射线和双曲线C ．两直线和椭圆D ．圆和抛物线解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程(θ为参数)化为普通方程为－x2＝1，表示双曲线．答案：B10．已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为(θ为参数)，且它们总有公共点．则a 的取值范围是( )A.∪(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，4 解析：由已知得⎩⎨⎧at＝1＋cos θ，a2t－1＝2sin θ，则4(at －1)2＋(a2t －1)2＝4，即a2(a2＋4)t2－2a(a ＋4)t ＋1＝0，Δ＝4a2(a ＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2(2a ＋3)．直线l 与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，即a≥－.答案：C11．已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0，)，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线AF2的极坐标方程为( )A ．ρcos θ＋ρsin θ＝3B ．ρcos θ－ρsin θ＝3C.ρcos θ＋ρsin θ＝3D.ρcos θ－ρsin θ＝3解析：圆锥曲线为椭圆，c ＝1，故F2的坐标为(1，0)，直线AF2的直角坐标方程是x ＋＝1，即x ＋y ＝，化为极坐标方程就是ρcos θ＋ρsin θ＝.答案：C12．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：曲线C 的直角坐标方程为x2＋y2－6y ＝0，即x2＋(y －3)2＝9，直线的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝＝，所以直线l 与圆C 相交所得弦长为2＝2＝4.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________．解析：结合图形不难知道点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4 14．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________．解析：当φ＝时，代入渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3cos π4＋3·π4·sin π4，y＝3sin π4－3·π4·cos π4，x ＝＋，y ＝－，所以当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋32π8，322－32π8 15．若直线l 的极坐标方程为ρcos ＝3，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x2＋y2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax ＝＋1＝3＋1.答案：3＋116．在直角坐标系Oxy 中，椭圆C 的参数方程为(θ为参数，a>b>0)．在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ＝，若直线l 与x 轴、y 轴的交点分别是椭圆C 的右焦点、短轴端点，则a ＝________.解析：椭圆C 的普通方程为＋＝1(a>b>0)，直线l 的直角坐标方程为x －y －＝0，令x ＝0，则y ＝－1，令y ＝0，则x ＝，所以c ＝，b ＝1，所以a2＝3＋1＝4，所以a ＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为(t 为参数)，曲线C 的参数方程为(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为(t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y2＝2x.联立方程组⎩⎨⎧y＝2（x－1），y2＝2x，解得公共点的坐标为(2，2)，.18．(本小题满分12分)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ＝.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．解：(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， ⎩⎨⎧ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，代入得⊙O：x2＋y2－x －y ＝0，由l ：ρsin ＝，得：ρsin θ－ρcos θ＝，ρsin θ－ρcos θ＝1，又代入得：x －y ＋1＝0.(2)由解得⎩⎨⎧x＝0，y＝1，又得ρ＝1，tan θ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为.19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)当m ＝2时，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB|的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，得：ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.由得x＝y＋m，即x－y－m＝0，所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.(2)设圆心到直线l的距离为d，由(1)可知直线l：x－y－2＝0，曲线C：(x－1)2＋y2＝1，圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，则圆心到直线l的距离为d＝＝.所以|AB|＝2 ＝.因此|AB|的值为.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1.因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，所以直线l与圆C相交．21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．(1)求圆心的极坐标；(2)求△PAB面积的最大值．解：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为.(2)直线l的普通方程为2x－y－1＝0，圆心到直线l的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝，点P到直线AB距离的最大值为＋＝，故最大面积Smax＝××＝.22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.11 / 11 (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a ＝1.。
精品高中数学模块综合测评新人教A版选修4_5
D.{x|x<-3 或 x>2}
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解析令 f(x)=|x+3|+|x-2|=则 f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5 的解
集为⌀ .故原不等式的解集是⌀ . 答案 C 3.若 P=(x>0,y>0,z>0),则 P 与 3 的大小关系是 ( ) B.P<3 】2019 年高中数学模块综合测评新人教 A 版选修 4_5
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 a>b>c,则的值( A.大于 0 B.小于 0 C.小于或等于 0 D.大于或等于 0 解析因为 a>b>c,所以 a-c>b-c>0. 所以,所以>0,故选 A. 答案 A 2.不等式|x+3|+|x-2|<5 的解集是( A.{x|-3≤x<2} C.⌀ B.R ) )
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所以[(a6+a5)-(a1+a4)]2≤8,即(a6+a5)-(a1+a4)≤2. 答案 B 12.已知 x,y,z,a,b,c,k 均为正数,且 x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,a+b+c=k(x+y+z), 则 k=( A. C.3 B. D.9 )
答案 B 5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意 度升高,设住第 n 层楼,上、下楼造成的不满意度为 n;但高处空气清新, 嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住 第 n 层楼时,环境不满意程度为,则此人应选( A.1 楼 C.3 楼 B.2 楼 D.4 楼 )
2020版高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修4_4
模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.将正弦曲线y=sin x 作如下变换得到的曲线方程为A.y'=3siC.y'2.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=2 B.θ∈R )和ρcos θ=2 C.θ∈R )和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=1ρ=2cos θ的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1, 所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程为x=0和x=2. 将它们化为极坐标方程为θ∈R )和ρcos θ=2.故选B . 3.若a ,b ∈R ,a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值是( ) A.-为参数),则a+bα=3sin(α+φ),其中φ为锐角,tan φ故a+b 的最小值为-3. 4.若点M 的柱坐标为则 的直角坐标是A.(12co5.当t ∈R 时,参数方程--为参数 表示的图形是A.双曲线的一部分B.椭圆(去掉一个点)C.抛物线的一部分D.圆(去掉一个点)方法一)原参数方程可化为- ①②①÷②,得代入②,得≠-1).(方法二--令tanθ∈则-消去2θ,得≠-1).6.将点P的直角坐标(3化为极坐标可能是ACx=3∴ρ-tanθ--又点P在第一象限,∴θ7.已知曲线C与曲线ρ=关于极轴对称则曲线的方程为A.ρ=-10co--C.ρ=-10coρ=θ-5sinθ的直角坐标方程为x2+y2=它关于极轴对称的直角坐标方程为x2+y2=所以极坐标方程为ρ2=θ+5ρsinθ.易知曲线过极点,所以方程可简化为ρ=θ+5sinθ=10co-8.若曲线的参数方程为--为参数≠ 则它的普通方程是()A.(x-1)2(y-1)=1(x≠B.y--C.y-x=1≠∴t----9.曲线-为参数的焦点坐标是A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,2)(y-1)2=4(x+1),该曲线是将抛物线y2=4x向左、向上各平移一个单位长度得到的,所以焦点坐标为(0,1).10.已知曲线满足:①对称轴为坐标轴;②对称中心为(0,0);③渐近线互相垂直.则符合以上条件的曲线的参数方程为()A为参数B为参数C --为参数D为参数,将所给选项中的参数方程化为普通方程,然后进行判断即可.选项A对应的普通方程为x2-y2=1,符合题目条件.11.过点P(4,3),且斜率为的直线的参数方程为A为参数B为参数C为参数D为参数α满足tanα所以sinα故所求参数方程为为参数).12.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l的参数方程为-为参数若直线与轴的交点为是曲线上的动点则的最大值为AC的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ,又x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.将直线l的参数方程化为普通方程是y=令y=0,得x=2,即点M的坐标为(2,0).又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为C(0,1),半径r=1,则|MC|故|MN|≤|MC|+r二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.在极坐标系中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为.(ρ> ≤θ<2π)ρ=2sinθ,ρcosθ=-1,得2sinθcosθ=-1,即sin2θ=-1,2θ所以交点的极坐标为14.在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线与曲线为参数交于两点且以坐标原点为极点轴正半轴为极轴建立极坐标系则直线的极坐标方程是C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|AB|=2,则直线l过曲线C的圆心(2,1).所以直线方程为y-1=x-2,即x-y-1=0,故直线l的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1.(cos θ-sin θ)=115.直线-为参数上任一点到的距离为P(x0+t,y0则|PP0|2=t2+(故|PP0|=2|t|.|t|16.若直线-为参数与圆交于两点则线段的中点坐标为x=1代入x2+y2=16中,得t2-8t+12=0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=8.故线段AB的中点对应的参数为t0将t0=4代入直线的参数方程,可求得中点的坐标为(3,三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在极坐标系中,直线l的方程为ρsi求极点在直线上的射影的极坐标l的极坐标方程化为直角坐标方程,得x过极点且与l垂直的直线方程为y由-得射影的直角坐标为(1化为极坐标为故极点在直线l上的射影的极坐标为18.(12分)函数y=2x的图象经过伸缩变换得到函数y=4x-3+1的图象,求该伸缩变换.4x-3+1可化为y'-1=22x'-6,与y=2x比较可得--即故所求的伸缩变换为19.(12分)已知直线的参数方程为--为参数它与曲线交于两点(1)求|AB|的长;(2)求点P(-1,2)到线段AB中点C的距离.把直线的参数方程代入曲线的方程并化简,得7t2+6t-2=0.设点A,B对应的参数分别为t1,t2, 则t1+t2=·t2=所以,线段AB的长度|AB|-·|t1-t2|=-(2)根据中点坐标的性质可得线段AB的中点C对应的参数为所以由t的几何意义可得点P(-1,2)到线段AB中点C的距离为--=.20.(12分)已知椭圆C1:(φ为参数)及抛物线C2:y2=6-.当C1∩C2≠⌀时,求m的取值范围.C1的参数方程代入C2:y2=6-,整理,得3sin2φ=6-,∴1-cos2φ=2m+4cosφ-3,即(cosφ+2)2=8-2m.∵ ≤ φ+2)2≤9 ∴ ≤ -2m≤9.解之,得-≤m≤.∴当C1∩C2≠⌀时,m∈-.21.(12分)以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为.若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心、4为半径.(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;(2)试判断直线l和圆C的位置关系.直线l的参数方程为-(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ.(2)因为M对应的直角坐标为(0,4),直线l化为普通方程为x-y-5-=0,所以圆心M到直线l的距离d== 9>4.故直线与圆相离.22.(14分 ·全国Ⅱ高考,理23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=-=-.由|AB|= 得cos2α=,tanα=±.所以l的斜率为或-.。
【2019最新】高中数学模块综合测评新人教A版选修4_5
集为⌀ .故原不等式的解集是⌀ .
答案 C
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3.若 P=(x>0,y>0,z>0),则 P 与 3 的大小关系是
()
A.P≤3
B.P<3
C.P≥3
D.P>3
解析因为 1+x>0,1+y>0,1+z>0,
所以=3,即 P<3. 答案 B
4.不等式>a 的解集为 M,且 2∉M,则 a 的取值范围为( )
——教学资料参考参考范本——
【2019最新】高中数学模块综合测评新人教A版选修4_5
______年______月______日 ____________________部门
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(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1.若 a>b>c,则的值( )
A.大于 0 B.小于 0 C.小于或等于 0 D.大于或等于 0 解析因为 a>b>c,所以 a-c>b-c>0.
所以,所以>0,故选 A.
答案 A
2.不等式|x+3|+|x-2|<5 的解集是( )
A.{x|-3≤x<2}
B.R
C.⌀
D.{x|x<-3 或 x>2}
解析令 f(x)=|x+3|+|x-2|=则 f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5 的解
∵原不等式的解集为⌀ ,∴a2-2a-1<2,即 a2-2a-3<0,解得-1<a<3. 故选 C. 答案 C 7.已知 x+3y+5z=6,则 x2+y2+z2 的最小值为( )
高中数学综合检测新人教A版选修4-5【2019-2020学年度】
(4)当x>2时，原不等式为2x－1＋x－2<x＋3，
即2<x<3.
综合(1)，(2)，(3)，(4)可得原不等式的解集为{x|0<x<3}．
18．(12分)若a>2，b>3，求a＋b＋ 的最小值．
解析：因为a>2，b>3，所以a－2>0，b－3>0，所以a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋ ＋5≥3 ＋5＝3＋5＝8(当且仅当a＝3，b＝4时，等号成立)．
解析：原不等式可化为以下几种：
① ⇒x<－1；
② ⇒∅；
③ ⇒x>3.
故选B.
答案：B
7．对任意实数x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k恒成立，则k的取值范围是( )
A．k<3B．k<－3
C．k≤3D．k≤－3
解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
则f(x)min＝－3，∴k<－3.
答案：B
8．函数y＝ ＋ 的最大值为( )
解析：如图建立平面直角坐标系，则A(200,0)，B(0,220)，C(0,300)．直线l的方程为y＝(x－200)tanα，即y＝ .
设点P的坐标为(x，y)，则P (x>200)，由经过两点的直线的斜率公式，得
kPC＝ ＝ .
kPB＝ ＝ .
由直线PC到直线PB的夹角的公式得(由图可知kPC，kPB均小于0，即x<640)
即x2＋y2＋z2≥1.
当且仅当x＝y＝z＝ 时取等号，
∴长方体的对角线长l＝ 的最小值为1.
答案：1
16．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
2019-2020年高中数学 数学建模综合测试 新人教A版选修4
2019-2020年高中数学数学建模综合测试新人教A版选修4数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。
数学建模可以通过以下框图体现：数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
要求1. 在数学建模中，问题是关键。
数学建模的问题应是多样的，应来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面。
同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。
2. 通过数学建模，学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。
3. 每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。
4. 学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。
5. 学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验。
6. 高中阶段至少应为学生安排1次数学建模活动。
还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。
我们不对数学建模的课时和内容做具体安排。
学校和教师可根据各自的实际情况，统筹安排数学建模活动的内容和时间。
例如，可以结合统计、线性规划、数列等内容安排数学建模活动。
说明与建议1. 学校和学生可根据各自的实际情况，确定数学建模活动的次数和时间安排。
数学建模可以由教师根据教学内容以及学生的实际情况提出一些问题供学生选择；或者提供一些实际情景，引导学生提出问题；特别要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题、提出问题。
2019-2020学年度最新高中数学模块综合测评A新人教A版选修4_4
所以选 B. 答案 B 9.已知直线 l 的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin2θ -4cos θ =0(ρ ≥0,0≤θ <2π ),则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径
ρ =( A. C.2
) B.5 D.
5 / 13
Байду номын сангаас
16.在以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆
ρ =4sin θ 和直线 ρ sin θ =a 相交于 A,B 两点.若△AOB 是等边三角
形,则 a 的值为
.
解析由 ρ =4sin θ 得 ρ 2=4ρ sin θ ,所以 x2+y2=4y.
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所以圆的直角坐标方程为 x2+y2=4y,设圆心为点 C,则圆心为 C(0,2),半径 r=2.
θ ,ρ cos=2. (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标. (2)设点 P 为 C1 的圆心,点 Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ
的参数方程为(t∈R,t 为参数),求 a,b 的值. 解(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4,直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.
3.将曲线 x2+4y=0 作如下变换:则得到的曲线方程为( ) A.x'2=-y'
B.x'=-y'2
C.y'=-x'2
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D.y'2=-x'
解析由可得将其代入 x2+4y=0 得 x'2+y'=0,即 y'=-x'2.
2020版高中数学 模块综合检测(含解析)新人教A版选修4-4.docx
模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.将正弦曲线y=sin x 作如下变换:{x '=2x ,x '=3x ,得到的曲线方程为( )A.y'=3si n 12x′B .x′=13sin 2x′ C.y'=12sin 2x′D .x′=3sin 2x′2.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=2 B.θ=π2(x ∈R )和ρcos θ=2 C.θ=π2(x ∈R )和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=1ρ=2cos θ的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1, 所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程为x=0和x=2. 将它们化为极坐标方程为θ=π2(x ∈R )和ρcos θ=2.故选B .3.若a ,b ∈R ,a 2+2b 2=6,则a+b 的最小值是( ) A.-2√2B .−5√33C .−3D .−72{x =√6cos x ,x =√3sin x(x 为参数),则a+b =√6cos x +√3sin α=3sin(α+φ),其中φ为锐角,tan φ=√2. 故a+b 的最小值为-3.4.若点M 的柱坐标为(2,π6,7),则x 的直角坐标是( )A.(1,√3,7)B .(√3,1,7)C .(1,7,√3)D .(√3,7,1)2co s π6=√3,x =2sinπ6=1,x =7.5.当t ∈R 时,参数方程{x =-8x4+x 2,x =4-x 24+x 2(x 为参数)表示的图形是( )A .双曲线的一部分B .椭圆(去掉一个点)C .抛物线的一部分D .圆(去掉一个点)方法一)原参数方程可化为{x =-8x4+x 2,①x +1=84+x2,②①÷②,得xx +1=−x , 代入②,得x 24+x 2=1(x ≠-1).(方法二){x =(-2)×2(x2)1+(x2)2,x =1-(x 2)21+(x 2)2,令tan θ=x 2(x ≠x π+π2,x ∈Z ),则{x =-2sin2x ,x =cos2x ,消去2θ,得x 24+x 2=1(x ≠-1).6.将点P 的直角坐标(3+√3,3−√3)化为极坐标可能是( ) A .(2√6,π12)B .(√6,π12)C .(2√6,5π12)D .(√6,5π12)x=3+√3,x =3−√3,∴ρ=√x 2+x 2=√(3+√3)2+(3-√3)2=2√6, tan θ=x x=√3=1-√331+√33=tan (π4-π6)=tan π12.又点P 在第一象限,∴θ=π12. 7.已知曲线C 与曲线ρ=5√3cos x −5sin x 关于极轴对称,则曲线x 的方程为( ) A.ρ=-10co s (x -π6)B .x =10cos (x -π6)C.ρ=-10co s (x +π6)D .x =10cos (x +π6)ρ=5√3cos θ-5sin θ的直角坐标方程为x 2+y 2=5√3x −5x ,它关于极轴对称的直角坐标方程为x 2+y 2=5√3x +5x .所以极坐标方程为ρ2=5√3x cos θ+5ρsin θ.易知曲线过极点,所以方程可简化为ρ=5√3cos θ+5sin θ=10co s (x -π6).8.若曲线的参数方程为{x =1-1x ,x =1-x2(x 为参数,x ≠0),则它的普通方程是( ) A.(x-1)2(y-1)=1(x ≠1)B.y =x (x -2)(1-x )2C.y =1(1-x )2−1D .x =x1-x 2+1x=1−1x (x ≠1), ∴t =11-x ,x =1−x 2=1−1(1-x )2=x (x -2)(1-x )2.9.曲线{x =x 2-1,x =2x +1(x 为参数)的焦点坐标是( )A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,2)(y-1)2=4(x+1),该曲线是将抛物线y 2=4x 向左、向上各平移一个单位长度得到的,所以焦点坐标为(0,1).10.已知曲线满足:①对称轴为坐标轴;②对称中心为(0,0);③渐近线互相垂直.则符合以上条件的曲线的参数方程为( ) A .{x =sec x ,x =tan x (x 为参数)B .{x =2x 2,x =4x(x 为参数) C .{x =1-sec x ,x =1-tan x(x 为参数) D .{x =3cos x ,x =2sin x(x 为参数),将所给选项中的参数方程化为普通方程,然后进行判断即可.选项A 对应的普通方程为x 2-y 2=1,符合题目条件.11.过点P (4,3),且斜率为2的直线的参数方程为( )A .{x =4+13,x =3+√13(x 为参数)B .{x =3+13,x =4+√13(x 为参数)C .{x =4+13,x =3+√13(x 为参数)D .{x =3+13,x =4+√13(x 为参数)α满足tan α=23, 所以sin α=√13cos x =√13.故所求参数方程为{x =4√13,x =3√13(x 为参数).12.已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l 的参数方程为{x =-35x +2,x =45x(x 为参数).若直线x 与x 轴的交点为x ,x 是曲线x 上的动点,则|xx |的最大值为( ) A .√5+1B .√5C .√3+1D .√3C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsin θ, 又x 2+y 2=ρ2,y=ρsin θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0.将直线l 的参数方程化为普通方程是y=−43(x −2).令y=0,得x=2,即点M 的坐标为(2,0). 又曲线C 为圆,圆C 的圆心坐标为C (0,1),半径r=1,则|MC|=√5.故|MN|≤|MC|+r =√5+1.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 13.在极坐标系中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标为 .(ρ>0,0≤θ<2π)ρ=2sin θ,ρcos θ=-1,得2sin θcos θ=-1,即sin2θ=-1,2θ=3π2,x =3π4,x =√2,所以交点的极坐标为(√2,3π).14.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线x 与曲线x :{x =2+cos x ,x =1+sin x(x 为参数)交于x ,x 两点,且|xx |=2.以坐标原点x 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线x 的极坐标方程是 .C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.又|AB|=2,则直线l 过曲线C 的圆心(2,1).所以直线方程为y-1=x-2,即x-y-1=0,故直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ-sin θ)=1.(cos θ-sin θ)=1 15.直线{x =x 0+x ,x =x 0-√3x(x 为参数)上任一点x 到x 0(x 0,x 0)的距离为 .P (x 0+t ,y 0−√3x ),则|PP 0|2=t 2+(−√3x )2=4x 2,故|PP 0|=2|t|. |t| 16.若直线{x =1+12x ,x =-3√3+√32x (x 为参数)与圆x 2+x 2=16交于x ,x 两点,则线段xx 的中点坐标为 .x=1+12x ,x =−3√3+√32x 代入x 2+y 2=16中,得t 2-8t+12=0.设A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8.故线段AB 的中点对应的参数为t 0=12(x 1+x 2)=12×8=4.将t 0=4代入直线的参数方程,可求得中点的坐标为(3,−√3).−√3)三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)在极坐标系中,直线l 的方程为ρsi n (x +π6)=2,求极点在直线x 上的射影的极坐标.l 的极坐标方程化为直角坐标方程,得x +√3x −4=0,过极点且与l 垂直的直线方程为y =√3x .由{x +√3x -4=0,x =√3x ,得射影的直角坐标为(1,√3),化为极坐标为(2,π3).故极点在直线l 上的射影的极坐标为(2,π3).18.(12分)函数y=2x 的图象经过伸缩变换得到函数y=4x-3+1的图象,求该伸缩变换.4x-3+1可化为y'-1=22x'-6,与y=2x比较可得{x =2x '-6,x =x '-1,即{x '=x +62,x '=x +1.故所求的伸缩变换为{x '=x +62,x '=x +1.19.(12分)已知直线的参数方程为{x =-1+3x ,x =2-4x(x 为参数),它与曲线(x −2)2−x 2=1交于x ,x 两点. (1)求|AB|的长;(2)求点P (-1,2)到线段AB 中点C 的距离.把直线的参数方程代入曲线的方程并化简,得7t 2+6t-2=0.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2, 则t 1+t 2=−67,x 1·t 2=−27.所以,线段AB 的长度|AB|=√32+(-4)2·|t 1-t 2|=5√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=10√237. (2)根据中点坐标的性质可得线段AB 的中点C 对应的参数为x 1+x 22=−37,所以由t 的几何意义可得点P (-1,2)到线段AB 中点C 的距离为√32+(-4)2·|-37|=157. 20.(12分)已知椭圆C 1:{x =x +2cos x ,x =√3sin x(φ为参数)及抛物线C 2:y 2=6(x -32).当C 1∩C 2≠⌀时,求m 的取值范围.C 1的参数方程代入C 2:y 2=6(x -32),整理,得3sin 2φ=6(x +2cos x -32), ∴1-cos 2φ=2m+4cos φ-3,即(cos φ+2)2=8-2m.∵1≤(cos φ+2)2≤9,∴1≤8-2m ≤9.解之,得-12≤m ≤72.∴当C 1∩C 2≠⌀时,m ∈[-12,72].21.(12分)以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.已知点P 的直角坐标为(1,-5),点M 的极坐标为(4,π2).若直线l 过点P ,且倾斜角为π3,圆C 以M 为圆心、4为半径.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程; (2)试判断直线l 和圆C 的位置关系.直线l 的参数方程为{x =1+12x ,x =-5+√32x(t 为参数),圆C 的极坐标方程为ρ=8sin θ.(2)因为M (4,π2)对应的直角坐标为(0,4),直线l 化为普通方程为√3x-y-5-√3=0, 所以圆心M 到直线l 的距离d=√3|√3+1=|9+√3|2>4.故直线与圆相离.22.(14分)(2016·全国Ⅱ高考,理23)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x+6)2+y 2=25.(1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(2)直线l 的参数方程是{x =x cos x ,x =x sin x ,(t 为参数),l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=√10,求l 的斜率.由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√144cos 2x -44.由|AB|=√10得cos 2α=38,tan α=±√153. 所以l 的斜率为√153或-√153.。
2019-2020人教A版数学选修4-5模块综合测评
模块综合测评(教师用书独具)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23或x >2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <2C [因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23.] 2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )B [根据柯西不等式的结构特征可知只有B 正确，故选B.]3．若实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则|tan x －tan y |等于( )A ．tan x －tan yB ．tan y －tan xC ．tan x ＋tan yD ．|tan y |－|tan x |B [由|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，得tan y >0.故|tan x －tan y |＝tan y －tan x ．]4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a bC [对于C 中，1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，∴1ab 2<1a 2b .]5．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( )A ．假设n ＝k 时命题成立B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立 [答案] C6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2D ．16B [由(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4.因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4.] 7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n ，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D ．4楼 C [设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n ＝9n ，即n ＝3时取等号，故选C.]8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <－3 C ．k ≤3D ．k ≤－3B [∵|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3.∴不等式恒成立，应有k <－3. ]9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时等号左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1 B.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋2k ＋1B [当n ＝k 时，有f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )， 当n ＝k ＋1时，有f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， ∴f (k ＋1)＝f (k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1.]10．对一切正数m ，不等式n <4m ＋2m 2恒成立，则常数n 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，6) C ．(0，＋∞)D ．[6，＋∞)B [要使不等式恒成立，只要n 小于4m ＋2m 2的最小值．∵4m ＋2m 2＝2m ＋2m ＋2m 2≥338＝6，∴n <6.]11．若n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱含有对角面的个数为( ) A ．2f (n ) B ．f (n )＋(n －1) C ．f (n )＋nD ．f (n )＋2B [由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个，故选B.]12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )MD ．不能确定B [∵g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)，∴|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|(|x 1|＋|x 2|＋2)≤6|x 1－x 2|，所以g (x )∈M .故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)13．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] ∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8，∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8. [答案] (－∞，8]14．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋8，则ab 的最小值为________． [解析] ∵ab ＝a ＋b ＋8，且a ＞0，b ＞0， ∴ab －8＝a ＋b ≥2ab ， ∴(ab )2－2ab －8≥0， ∴ab ≥4或ab ≤－2(舍去)， ∴ab ≥16，即ab 的最小值为16. [答案] 1615．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)，假设n ＝k 时不等式a k ＋b k 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k(*)成立，再推证n ＝k ＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________．[解析] 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋12，两边同乘以a ＋b2，右边也出现了要求证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1.[答案]a ＋b 216．设a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn ，则P ，Q 的大小关系为________．[解析] 由柯西不等式 P ＝ am ·b m ＋ nc ·d n ≤am ＋nc ·b m ＋d n ＝Q ，∴P ≤Q . [答案] P ≤Q三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c. [证明] 因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b －c )]1a －b ＋1b －c ＝a －b b －c ＋b －c a －b ＋2≥2a －b b －c ·b －ca －b＋2＝4， 当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时等号成立． 故1a －b ＋1b －c ≥4a －c成立． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f(x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．[解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 19．(本小题满分12分)设m ，n ∈R ＋，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p ，并指出等号成立的条件．[证明] 根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎪⎫m ·1m ＋n ·1n 2＝4， 于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p ，当m ＝n ＝p2时，等号成立．20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．[解] 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a ，b ，c . 由题意，可得abc ＝500，长方体水箱的表面积为S＝2bc＋2ac＋ab.由均值不等式，知S＝2bc＋2ac＋ab≥332bc·2ac·ab＝334×5002＝3×102＝300.当且仅当2bc＝2ca＝ab，即a＝b＝10，c＝5时，S＝2bc＋2ac＋ab＝300为最小，这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．(1)(2)(3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．21．(本小题满分12分)设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．[解](1)由于对任意自然数n1和n2，总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)，取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.∵f(n)>0(n∈N＋)，∴f(1)＝2，取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，初步归纳猜想f(n)＝2n.证明：①当n＝1时，f(1)＝2成立；②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②得，对一切n ∈N ＋，f (n )＝2n 都成立．22．(本小题满分12分)设数列{a n }的首项a 1∈(0,1)，a n ＝3－a n －12，n ＝2,3,4，…. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 3－2a n ，求证：b n <b n ＋1，其中n 为正整数． [解] (1)由a n ＝3－a n －12，得2a n ＝3－a n －1， 即1－a n 1－a n －1＝－12， 所以数列{1－a n }是以1－a 1(a 1∈(0,1))为首项，以－12为公比的等比数列，所以1－a n ＝(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，因此a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)证明：由(1)可知0<a n <32，故b n >0.那么b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1(3－2a n ＋1)－a 2n (3－2a n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a n 22⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×3－a n 2－a 2n (3－2a n )＝9a n4(a n －1)2.又由(1)知a n >0且a n ≠1，故b 2n ＋1－b 2n >0，因此b n <b n ＋1，n 为正整数．。
2019_2020学年高中数学综合测试卷2新人教A版选修4_4 (1)
模块综合测试卷(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1答案 C解析 ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝x ＝1.2．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ，两个圆的圆心距离是( ) A ．2 B. 2 C ．5 D. 5答案 D解析 ρ＝2cos θ是圆心在(1，0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心在(2，π2)，半径为2的圆，所以两圆心的距离是 5.3．极坐标系中，过点P(1，π)且倾斜角为π4的直线方程为( )A ．ρ＝sin θ＋cos θB ．ρ＝sin θ－cos θC ．ρ＝1sin θ＋cos θD ．ρ＝1sin θ－cos θ答案 D解析 设M(ρ，θ)为直线上任意一点，θ≠π4在△OPM 中，ρsin π4＝1sin （θ－π4），∴ρ＝1sin θ－cos θ.4．方程ρ＝sin θ＋cos θ＋k 的曲线不经过极点，则k 的取值范围是( ) A ．k ≠0 B ．k ∈R C ．|k|> 2 D ．|k|≤ 2答案 C解析 当ρ＝0时，sin θ＋cos θ＝－k ，若此方程无解，由|sin θ＋cos θ|≤2，所以当|k|>2时，方程无解．5．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y≤1)答案 C解析 ∵x＝2＋sin 2θ，∴x ∈[2，3]，把sin 2θ＝y 代入x ＝2＋sin 2θ，得y ＝x －2，x ∈[2，3]，故选C.6．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋32t ，y ＝12t (t 为参数，且a>0)被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，方程为ρ＝2acos θ的曲线所截得的弦长为( ) A ．a B ．2a C.2a D.3a答案 D解析 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)过点A(2a ，0)，倾斜角α＝30°，方程ρ＝2acos θ表示圆心为C(a ，0)，半径r ＝a 的圆，如图， 在△ACB 中，CA ＝CB ＝a ，∠ACB ＝120°， 故|AB|＝3a.7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1答案 B解析 在极坐标系中，圆心坐标(1，0)，半径r ＝1.故左切线θ＝π2或3π2.右切线满足cosθ＝2ρ，∴ρcos θ＝2.即切线方程为θ＝π2和ρcos θ＝2.所以选B.8．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－tsin30°，y ＝－1＋tsin30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，则|BC|的值为( ) A ．27B.30C ．7 2 D.302答案 B解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－tsin30°，y ＝－1＋tsin30°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′(t ′为参数)． 代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0.∴|BC|＝|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2 ＝（32）2＋4×3＝30，故选B.9．已知曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( ) A ．ρ＝sin θ B ．ρ＝2sin θ C ．ρ＝2cos θ D ．ρ＝cos θ答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)，得普通方程(x －12)2＋y 2＝14.故圆心C(12，0)，半径r ＝12.所以极坐标方程为ρ＝cos θ.10．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝cos 2（π4－θ2）(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( ) A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点(－1，12)D ．抛物线的一部分，且过点(1，12)答案 D解析 由y ＝cos 2(π4－θ2)＝1＋cos （π2－θ）2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1. 由x ＝1＋sin θ，得x 2－1＝sin θ. ∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y. 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D.11．已知点P 在方程ρcos (θ－π4)＝2的曲线上，点Q 在方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－2－t(t 为参数)的曲线上，则|PQ|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 把ρcos (θ－π4)＝2化为直角坐标方程，得22x ＋22y ＝2，即x ＋y ＝2 2.把⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－2－t(t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝－ 2. 故两条直线平行，|PQ|min ＝d ＝322＝3.12．(2019·江西抚州金溪一中)在极坐标系中，圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为( ) A ．ρ＝22sin (θ＋π4)B ．ρ＝2sin (θ－π4)C ．ρ＝22cos (θ＋π4)D ．ρ＝2cos (θ－π4)答案 A解析 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则由题意得，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程为y ＝x.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以A(0，0)，B(2，2)，从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ，将其化为极坐标方程为ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)，即ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝22sin (θ＋π4)．故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．答案22解析 极点的直角坐标为O(0，0)，ρsin (θ＋π4)＝22⇒ρ(22sin θ＋22cos θ)＝22.∴ρsin θ＋ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离为 d ＝|0＋0－1|12＋12＝22， 即极点到直线ρsin (θ＋π4)＝22的距离为22.14．两直线ρsin (θ＋π4)＝2 012，ρsin (θ－π4)＝2 013的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交) 答案 垂直解析 将直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程为y ＋x ＝2 0122，y －x ＝2 0132，由k 1k 2＝－1，故两直线垂直．15．(2019·人大附中模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝1＋3t ，(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＋2sin θ＝0，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为________． 答案 (32，－12) 解析 由已知得，直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋1＋23，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，在圆C 上任取一点P(cos α，－1＋sin α)(α∈[0，2π))，则点P 到直线l 的距离为d ＝|3cos α＋sin α－2－23|1＋3＝|2sin （α＋π3）－2－23|2＝2＋23－2sin （α＋π3）2.∴当α＝π6时，d min ＝3，此时P(32，－12)．16．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，θ∈[0，π]，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2在极坐标系中的方程为ρ＝bsin θ－cos θ.若曲线C 1与C 2有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是________．答案 [1，2)解析 曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1(0≤y≤1)，表示单位圆的上半圆，曲线C 2的普通方程为y ＝x ＋b ，表示倾斜角为π4的平行线族，如图所示，若直线与上半圆相切，则|b|2＝1.∴b ＝2或b ＝－2(舍去)． 若直线y ＝x ＋b 过点(0，1)，则b ＝1. 结合图形知1≤b<2为所求．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)17．(10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝tsin α，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ. (1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ， 可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ， 化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化为普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0. 所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π)．18．(12分)过点P(1，－2)，倾斜角为45°的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝8交于两点A 、B ，求|PA|·|PB|.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝－2＋22t ，代入x 2＋2y 2＝8，∴32t 2－32t ＋1＝0.∴|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝23. 19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t ，(t 为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos (θ＋π4)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)若P(0，－1)，求|PA|＋|PB|；(2)若点M 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求△MAB 的面积的最大值．解析 (1)ρ＝22cos (θ＋π4)可化为ρ＝2cos θ－2sin θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.将直线l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13t ，y ＝－1＋223t ，(t 为参数)，代入(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，得t 2－23t －1＝0，设方程的解为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－1，因而|PA|＋|PB|＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2103.(2)将直线l 的参数方程化为普通方程为22x －y －1＝0，设M(1＋2cos θ，－1＋2sin θ)，由点到直线的距离公式，得M 到直线AB 的距离为 d ＝|22（1＋2cos θ）＋1－2sin θ－1|3＝|22＋4cos θ－2sin θ|3，最大值为523，由(1)知|AB|＝|PA|＋|PB|＝2103，因而△MAB 面积的最大值为12×523×2103＝1059. 20．(12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数)，曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)若射线θ＝π6(ρ>0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|.解析 (1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝7.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋y 2＝1，得到曲线C 2的极坐标方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1， 化简得ρ＝2cos θ.(2)依题意设A(ρ1，π6)，B (ρ2，π6)．曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－3＝0，将θ＝π6(ρ>0)代入曲线C 1的极坐标方程，得ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3.同理，将θ＝π6(ρ>0)代入曲线C 2的极坐标方程，得ρ2＝ 3.∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－ 3.21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos (θ＋π4)．(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M(x ，y)为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42，消去t 得y ＝x ＋42， 由ρ＝2cos (θ＋π4)得ρ＝2cos θ－2sin θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2得 (x －22)2＋(y ＋22)2＝1，即C 是以(22，－22)为圆心，1为半径的圆， 圆心(22，－22)到直线y ＝x ＋42的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5＞1，所以直线l 与曲线C 相离． (2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋cos θ，y ＝－22＋sin θ(θ为参数)， 则x ＋y ＝sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋π4)，又由θ∈R 可得－1≤sin (θ＋π4)≤1，则－2≤x ＋y≤2，所以x ＋y 的取值范围为[－2，2]．22．(12分)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解析 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)，(12，－32)． (2)C 1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0. 设A 点坐标为(x A ，y A )．则⎩⎪⎨⎪⎧x A ·sin α－y A ·cos α－sin α＝0，y A x A ·sin αcos α＝－1.解得A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故α变化时，P 点的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．∴P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.∴P 点轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．。
【2019-2020】高中数学模块综合测评新人教A版选修4_1
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学模块综合测评新人教A版选修4_1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如图,已知AB∥A'B',BC∥B'C',则下列比例式成立的是( )A.B.C.D.∴,故A不成立;,∴,故B成立;∵,∴AC∥A'C',∴,故C不成立;,故D不成立.2.已知△ABC的一边在平面α内,一顶点在平面α外,则△ABC在面α内的射影是( )A.三角形B.一直线C.三角形或一直线D.以上均不正确3.已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为,则平面β与圆柱母线的夹角是( )A.30°B.60°C.45°D.90°4.如图,在☉O中,弦AB与弦CD相交于点P,∠B=38°,∠APD=80°,则∠A 等于( )A.38°B.42°C.80°D.118°∴∠D=∠APD-∠B=80°-38°=42°,∴∠A=∠D=42°.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,D为垂足,若CD=6 cm,AC∶BC=1∶,则AD的长是( )A.6 cmB.3 cmC.18 cmD.3 cm6.已知三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形,则这个三角形是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过点C作圆的切线l,过点A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC=()A.15°B.30°C.45°D.60°解析: 连接OC,因为AB为圆O的直径,所以∠ACB=90°.因为BC=3,AB=6,所以△OBC为正三角形,所以∠B=60°,所以∠DCA=60°.因为AD⊥CD,所以∠ADC=90°,所以∠DAC=30°.答案:B8.导学号52574058如图,球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切,用一平面去截圆柱和球,得到的截面图有可能是( )A.①②④B.①②③C.②③④D.①②③④解析:图形是图①;当平面与AB垂直不过AB中点时,截得图形是两个同心圆,是图②;当平面经过轴AB时,截得的图形是图③;当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时,截得的图形是图④,故有可能的图形是①②③④.答案:D9.如图,PAB,PCD为☉O的两条割线.若PA=5,AB=7,CD=11,则AC∶BD等于( )A.1∶3B.5∶12C.5∶7D.5∶11又PA·PB=PC·PD,即,∠P=∠P,∴△PAC∽△PDB,故.10.如图,两个等圆☉A,☉B分别与直线l相切于点C,D,连接AB,与直线l 相交于点O,∠AOC=30°,连接AC,BD.若AB=4,则圆的半径为( ) A.2 B.1 C. D.11.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1,则长轴长的最小值为( )A. B.2 C. D.2当点P为短轴顶点时,|y|最大为b.所以Smax=bc.又bc=1,所以a2=b2+c2≥2bc=2,即2a≥2.12.如图,在△ABC中,,AD,BE交于F,则的值为( )A. B. C. D.过D作DG∥BE交AC于G.∵,∴,∴,于是DG=BE.又,∴EG=EC.而,∴EC=AE,因此,于是FE=DG=BE=BE,则,故.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若一个直角三角形在平面α上的平行射影是一个与原三角形全等的直角三角形,则该直角三角形所在平面与平面α的位置关系是.14.如图,☉O中的弦AB与直径CD相交于P,M为DC延长线上一点,MN为☉O的切线,N为切点.若AP=8,PB=6,PD=4,MC=6,则MN的长为.所以CP==12.又由切割线定理,得MN2=MC·MD=6×22,故MN=2.15.已知一平面与半径为4的圆柱面相截,截面的Dandelin双球的球心距离为12,则截线椭圆的离心率e= .解析:依题意,得Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长,即2a=12,所以a=6,又b=r=4,因此c==2,故椭圆的离心率e=.答案:16.如图,在正三角形ABC中,D,E分别在AC,AB上,且,AE=BE,DE=3,则BD= .解析:∵△ABC是正三角形,∴AB=BC=AC,∴.又,∴.∴.∵∠A=∠C=60°,∴△AED∽△CBD,且DE=3,则BD=6.答案:6三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)如图,已知DE∥BC,四边形DEFG是平行四边形.求证:AH∥DG.∵GF∥DE,∴GF∥BC,∴.∵GF=DE,∴,∴,∴AH∥DG.18.(本小题满分12分)如图,自圆O外一点P引圆的一条切线PA,切点为A,M为PA的中点,过点M引圆O的割线交该圆于B,C两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB的大小.又M为PA的中点,所以MP2=MB·MC.因为∠BMP=∠PMC,所以△BMP∽△PMC,于是∠MPB=∠MCP.在△MCP中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°,解得∠MPB=20°.19.(本小题满分12分)如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC 上,且AE=AF.证明:(1)B,D,H,E四点共圆;(2)CE平分∠DEF.所以∠HAC+∠HCA=60°.故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.因为∠EBD+∠EHD=180°,所以B,D,H,E四点共圆.(2)连接BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED=∠HBD=30°.又∠AHE=∠EBD=60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF=30°.所以CE平分∠DEF.20.(本小题满分12分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,底边BC上的高AD=10 cm,腰AC上的高BE=12 cm.(1)求证:;(2)求△ABC的周长.(1)证明:在△ADC和△BEC中,∵∠ADC=∠BEC=90°,∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC,∴.∵AD是等腰三角形ABC底边BC的高线,∴BC=2BD,又AB=AC,∴,故.(2)解:设BD=x cm,则AB=x cm,在Rt△ABD中,∠ADB=90°,由勾股定理得AB2=BD2+AD2,∴=x2+102,解得x=7.5.∴BC=2x=15 cm,AB=AC=x=12.5 cm,故△ABC的周长为40 cm.21.(本小题满分12分)如图,AC为☉O的直径,B为圆上一点,D为的中点,E为弦BC的中点.求证:(1)DE∥AB;(2)AC·BC=2AD·CD.(1)连接OE,因为D为的中点,E为弦BC的中点,所以O,E,D三点共线.因为E为BC的中点,且O为AC的中点,所以OE∥AB,故DE∥AB.(2)因为D为的中点,所以∠BAD=∠DAC,又∠BAD=∠DCB,因此∠DAC=∠DCB.又因为AC为☉O的直径,所以AD⊥DC.又易知DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD,于是,因此AD·CD=AC·CE,所以2AD·CD=AC·2CE,故AC·BC=2AD·CD.22.导学号52574059(本小题满分12分)如图,已知ABCD是矩形纸片,E是AB上一点,BE∶EA=5∶3,EC=15,把△BCE沿折痕EC翻折,若B点恰好落在AD边上,设这个点为F,(1)求AB,BC的长度各是多少;(2)若☉O内切于以F,E,B,C为顶点的四边形,求☉O的面积.解:(1)设BE=5x,EA=3x.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=8x,AD=BC,∠B=∠A=∠D=90°.∵△CBE≌△CFE,∴EF=5x,F C=BC,∠CFE=90°.∵∠AEF+∠EFC+∠DFC=180°,∴∠AFE+∠DFC=90°.又∠AEF+∠AFE=90°,∠AEF=∠DFC,∴sin∠AEF=sin∠DFC,即.∴,则FC=10x.∴CE==5x=15.∴x=3.∴AB=24,BC=30.(2)∵CE平分∠FCB和∠FEB,∴O在EC上.设☉O和BC切于M,和AB切于N,连接OM,ON,设☉O的半径为r,∴OM⊥BC,ON⊥AB.∴OM∥AB,ON∥BC.∴OM=BN=ON=BM=r.∴,即,解得r=10.∴☉O的面积为100π.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：学期综合测评 Word版含答案
学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分110分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，点P (ρ，－θ)关于极点对称的点的一个坐标是( ) A ．(－ρ，－θ) B ．(ρ，－θ) C ．(ρ，π－θ) D ．(ρ，π＋θ) 答案 C解析 关于极点对称即为反向延长，故其坐标(ρ，π－θ)．2．直线⎩⎨⎧x ＝sin θ＋t sin15°，y ＝cos θ－t sin75°(t 为参数，θ是常数)的倾斜角是( )A ．105°B ．75°C ．15°D ．165° 答案 A解析 参数方程⎩⎨⎧ x ＝sin θ＋t sin15°，y ＝cos θ－t sin75°⇒⎩⎨⎧x ＝sin θ＋t cos75°，y ＝cos θ－t sin75°，消去参数t 得，y －cos θ＝－tan75°(x －sin θ)， 即k ＝－tan75°＝tan(180°－75°)＝tan105°． 故直线的倾斜角是105°．3．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|P A |的最小值是( )A ．0B ． 2C ．2＋1D ．2－1 答案 D解析 A 的直角坐标为(－1，0)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y 即x 2＋(y －1)2＝1，|AC |＝2，则|P A |min ＝2－1．4．在同一坐标系中，将曲线y ＝2cos x 变为曲线y ＝cos2x 的伸缩变换是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y ＝12y ′ B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝12yC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′ D ．⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y答案 B解析 把y ＝2cos x 化为y 2＝cos x ，则令y2＝y ′，x ＝2x ′即可． 5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1 答案 C解析 ρ2cos θ－ρ＝0即ρ(ρcos θ－1)＝0，∴ρ＝0或ρcos θ－1＝0，即ρ＝x 2＋y 2＝0，x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1．6．已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝6，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)，若直线l 与圆C 相切，则r 的值为( ) A ．6 B ．12 C ．12 2 D ．36 答案 A解析 直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋12＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2，圆心到该直线的距离d ＝6，所以r ＝6．7．已知直线l 1的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2014，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2014＋t cos 3π4，y ＝2014＋t sin 3π4(t 为参数)，则l 1与l 2的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．重合 答案 A解析 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2014，得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2014，即ρsin θ－ρcos θ＝2014，所以y －x ＝2014，即y ＝x ＋2014． 把直线l 2的参数方程化为普通方程为 y －2014x ＋2014＝t sin 3π4t cos3π4＝－1，即y ＝－x ，所以kl 1·kl 2＝1×(－1)＝－1，所以l 1⊥l 2．8．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 满足的条件是( ) A ．k <－34 B ．k ≥－34 C ．k ∈R D ．k ∈R 且k ≠0 答案 A解析 由题意可知直线l 过定点(0，－2)， 曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1．由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时|k ＋2|k 2＋1＝1，得－k ＝34．若满足题意，只需－k >34．即k <－34即可． 9．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)与直线⎩⎨⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23 D ．－2 答案 D解析 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)的斜率为y ＋12x ＝－a2，直线⎩⎨⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s(s为参数)的斜率为y －1x －1＝－1，由两直线垂直得－a2×(－1)＝－1，得a ＝－2．10．过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ，N两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则1m ＋1n 的值为( )A ．23B ．43C ．83 D ．不能确定 答案 B解析 曲线C 为椭圆x 24＋y 23＝1，右焦点为F (1，0)，设l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t为参数)，代入椭圆方程得(3＋sin 2θ)t 2＋6cos θt －9＝0，t 1t 2＝－93＋sin 2θ，t 1＋t 2＝－6cos θ3＋sin 2θ， ∴1m ＋1n ＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝43．第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中横线上)11．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 的倾斜角为________．答案 2π3解析 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92，∴k OA ＝tan α＝y x ＝－3，且0≤α<π，因此α＝2π3．12．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________． 答案3解析 将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0，2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝3．13．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________．答案 [1，2]解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y 24＝1．令⎩⎨⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ．∵0≤sin 2φ≤1，∴1≤1＋3sin 2φ≤4，∴1≤|OP |≤2．14．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．答案 ρcos θ＋ρsin θ－2＝0(或ρ(cos θ＋sin θ)＝2)解析 曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝(2cos t )2＋(2sin t )2＝2(cos 2t ＋sin 2t )＝2，由圆的知识可知，圆心(0，0)与切点(1，1)的连线垂直于切线l ，从而l 的斜率为－1，由点斜式可得直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0．由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0．三、解答题(本大题共4小题，满分40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)设抛物线y 2＝4x 有内接三角形OAB ，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长．解 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，F 为△OAB 的垂心，所以AB ⊥x 轴且A ，B 关于x 轴对称．设A (4t 2，4t )(t >0)，则B (4t 2，－4t )． 所以k AF ＝4t 4t 2－1，k OB ＝－4t 4t 2＝－1t ． 因为AF ⊥OB ， 所以k AF ·k OB ＝4t 4t 2－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ＝－1， 所以t 2＝54． 由t >0得t ＝52． 所以A (5，25)．所以|AB |＝45，|OA |＝|OB |＝35．故这个三角形的周长为105．16．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 椭圆C 的普通方程为x 2＋y24＝1．将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167． 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝167．17．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4．(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3．故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3．注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一：将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ．于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3．解法二：由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，－3)或(1，3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤ 3)． 18．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ．(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0．联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32．(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π． 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3．当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4．。
高中数学 模块综合测试 新人教A版选修44
模块综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关坐标系的说法，错误的是( ) A ．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆 B ．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小 C ．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程 D ．同一条曲线可以有不同的参数方程解析： 直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．答案： C2．把函数y ＝12sin2x 的图象经过________变化，可以得到函数y ＝14sin x 的图象．( )A ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍B ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的12倍D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的12解析： 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y ＝12sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y ＝12sin x 的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到y ＝14sin x 的图象． 答案： D3．极坐标方程ρ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的图形是( )解析： ∵ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin θ·cos π4＋2cos θ·sin π4＝2(sin θ＋cos θ)， ∴ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1， ∴圆心⎝⎛⎭⎪⎫22，22. 结合题中四个图形，可知选C 项． 答案： C4．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ知x ＝2＋y (2≤x ≤3)所以y ＝x －2 (2≤x ≤3)． 答案： C5．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4(ρ∈R )关于( )A ．直线θ＝π3成轴对称B ．直线θ＝3π4成轴对称C ．点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3成中心对称D ．极点成中心对称解析： 将原方程变形为ρ＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π4，该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4为圆心，以2为半径的圆，所以曲线关于直线θ＝3π4成轴对称．答案： B6．经过点M (1,5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12t y ＝5－32tB ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12t y ＝5＋32tC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－12ty ＝5－32tD ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋12ty ＝5＋32t解析： 根据直线参数方程的定义，易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ·cos π3y ＝5＋t ·sin π3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝5＋32t .答案： D7．x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3x，后所得图形的焦距( ) A ．4 B ．213 C ．2 5D ．6解析： 变换后方程变为：x 24＋y 29＝1， 故c 2＝a 2－b 2＝9－4＝5，c ＝5，所以焦距为2 5. 答案： C8．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，则|BC |的值为( )A ．27B ．30C ．7 2D ．302解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′y ＝－1＋12t ＝－1＋22t (t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0， ∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2＝22＋4×3＝30，故选B.答案： B9．已知P 点的柱坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，点Q 的球面坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，π4，根据空间坐标系中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22，可知P 、Q 之间的距离为( )A. 3 B ． 2 C. 5D ．22解析： 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标(2，2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标⎝⎛⎭⎪⎫22，22，0，代入两点之间的距离公式即可得到距离为 2. 答案： B10．如果直线ρ＝1cos θ－2sin θ与直线l 关于极轴对称，则直线l 的极坐标方程是( )A ．ρ＝1cos θ＋2sin θB ．ρ＝12sin θ－con θC ．ρ＝12cos θ＋sin θD ．ρ＝12cos θ－sin θ解析： 由ρ＝1cos θ＋2sin θ知ρcos θ＋2ρsin θ＝1，∴x ＋2y ＝1.答案： A11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ＋θsin θ，y ＝θθcos θ(θ为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ－sin θ，y ＝－cos θ(θ为参数)解析： 圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φφ为参数答案： A12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′，且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )A. AB ︵B ．BC ︵C. CD ︵D. DA ︵解析： ∵x ≤x ′且y ≥y ′，∴点P (x ，y )在点P ′(x ′，y ′)的左上方． ∵Ω中不存在优于Q 的点，∴点Q 组成的集合是劣弧AD ︵，故选D.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上)13．对于任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________．解析： 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ可化为x 24＋y 216＝1把y ＝x ＋b 代入得5x 2＋2bx ＋b 2－16＝0 Δ＝4b 2－20(b 2－16)≥0解之得：－25≤b ≤2 5. 答案： [－25，25]14．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.解析： 直线：y ＝x ·tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12，∴α＝π6或56π.答案：π6或56π. 15．已知直线l的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.则圆的直角坐标方程为__________，直线l 和圆C 的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．解析： (1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2， 所以直线l 和⊙C 相交．答案： (x －1)2＋(y －1)2＝2；相交 16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解析： 直线和圆的方程分别是x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，所以圆心为(0,2)，其到直线的距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.答案： (0,2) 2 2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)(1)化ρ＝cos θ－2sin θ.为直角坐标形式并说明曲线的形状； (2)化曲线F 的直角坐标方程：x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0为极坐标方程． 解析： (1)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ ∴x 2＋y 2＝x －2y 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522 表示的是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1为圆心，半径为52的圆．(2)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0的极坐标方程为：ρ2－5ρ－5ρcos θ＝0.18．(12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π9，半径为1.Q 点在圆周上运动，O为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解析： (1)设M (ρ，θ)为圆C 上任意一点，如图，在△OCM 中，|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6， 根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3· cos ⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6，化简整理，得ρ2－6·ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程．(2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ1－π6＋8＝0①设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρcos(θ－π6)＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π6＋50＝0为P 点的轨迹方程．19．(12分)如图所示，已知点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的第一象限的点，A (a,0)和B (0，b )是椭圆的两个顶点，O 为原来，求四边形MAOB 的面积的最大值． 解析： 方法一：M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)，故可设M (a cos φ，b sin φ)， 其中0＜φ＜π2，因此，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB＝12OA ·y M ＋12OB ·x M ＝12ab (sin φ＋cos φ) ＝22ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4. 所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 面积的最大值为22ab .方法二：设M (x M ，y M )，x M ＞0，y M ＞0，则y M ＝b1－x 2Ma2，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB＝12OA ·y M ＋12OB ·x M ＝12ab 1－x 2Ma 2＋12bx M ＝12b (a 2－x 2M ＋x M ) ＝12b a 2－x 2M ＋2x M a 2－x 2M ＋x 2M ＝12b a 2＋2x M a 2－x 2M ≤12b a 2＋x 2M ＋a 2－x 2M ＝22ab . 20．(12分)如图，自双曲线x 2－y 2＝1上一动点Q 引直线l ：x＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 中点P 的轨迹方程．解析： 设点Q 的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)． ∵QN ⊥l ，∴可设直线QN 的方程为x －y ＝λ① 将点Q 的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ 所以线段QN 的方程为x －y ＝sec φ－tna φ② 又直线l 的方程为x ＋y ＝2.③由②③解得点N 的横坐标x N ＝2＋sec φ－tan φ2设线段QN 中点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x N ＋x Q 2＝2＋3sec φ－tan φ4，④4×④－②得 3x ＋y －2＝2sec φ.⑤ 4×④－3×②得x ＋3y －2＝2tan φ.⑥⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.21．(12分)已知直线l ：x －y ＋9＝0和椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝23cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)求椭圆C 的两焦点F 1，F 2的坐标；(2)求以F 1，F 2为焦点且与直线l 有公共点M 的椭圆中长轴最短的椭圆的方程． 解析： (1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为x 212＋y 23＝1，所以a 2＝12，b 2＝3，c 2＝a 2－b 2＝9. 所以c ＝3.故F 1(－3,0)，F 2(3,0)． (2)因为2a ＝|MF 1|＋|MF 2|，所以只需在直线l ：x －y ＋9＝0上找到点M 使得|MF 1|＋|MF 2|最小即可． 点F 1(－3,0)关于直线l 的对称点是F 1′(－9,6)， |MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1′|＋|MF 2|＝|F 1′F 2| ＝－9－2＋－2＝65，故a ＝3 5.又c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝36. 此时椭圆方程为x 245＋y 236＝1.22．(14分)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t (t 为参数)．当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？解析： 椭圆方程为y 24＋x 2＝1，化直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55t ′y ＝m ＋255t ′(t ′为参数)．代入椭圆方程得(m ＋255t ′)2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫55t ′2＝4⇔8t ′2＋45mt ′＋5m 2－20＝0当Δ＝80m 2－160m 2＋640＝640－80m 2>0， 即－22<m <2 2.方程有两不等实根t ′1，t ′2， 则弦长为|t ′1－t ′2|＝t ′1＋t ′22－4t ′1t ′2＝640－80m28依题意知＝640－80m 28＝6，解得m ＝±455.。
【高中教育】2020高中数学模块综合测评B新人教A版选修4
【20xx精选】最新高中数学模块综合测评B新人教A版选修4(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1。
已知点M的极坐标为,下列坐标中不能表示点M的是( )A。
B。
C。
D。
答案D2。
曲线(θ为参数)的对称中心( )A。
在直线y=2x上B。
在直线y=-2x上C。
在直线y=x-1上D。
在直线y=x+1上解析由已知得消去参数θ得(x+1)2+(y-2)2=1。
所以其对称中心为(-1,2)。
显然该点在直线y=-2x上。
故选B。
答案B3。
已知点P的极坐标为(1,π),则过点P且垂直于极轴所在直线的直线方程是( )A。
ρ=1B。
ρ=cos θC。
ρ=- D。
ρ=解析由点P的坐标可知,过点P且垂直于极轴所在直线的直线的直角坐标方程为x=-1,化成极坐标方程为ρcos θ=-1,故选C。
答案C4。
若a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是( )A。
-2 B。
-C。
-3 D。
-解析不妨设(α为参数),则a+b=cos α+sinα=3sin(α+φ),其中tanφ=。
所以a+b的最小值为-3。
5。
在极坐标系中,曲线ρ=2cos θ上的动点P与定点Q的最短距离等于( )A。
-1 B。
-1 C。
1 D。
解析将ρ=2cos θ化成直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,点Q的直角坐标为(0,1),则点P到点Q的最短距离为点Q与圆心(1,0)的距离减去半径,即-1。
答案A6。
以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为( )A。
B。
2 C。
D。
2解析由题意得直线l的普通方程为x-y-4=0,圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,半径r=2。
则圆心到直线的距离d=,故弦长为2=2。
答案D7。
若曲线的参数方程是(t是参数,t≠0),则它的普通方程是( )A。
2020年高中数学 模块综合评价 新人教A版选修4-5
模块综合评价(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ，b ，c ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥b －c B ．ac ≥bc C.c 2a －b＞0D ．(a －b )c 2≥0解析：因为a ＞b ，所以a －b ＞0.又因为c ∈R，所以c 2≥0.所以(a －b )c 2≥0. 答案：D2．不等式|3x －2|＞4的解集是( ) A ．{x |x ＞2}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－23或x ＞2 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23＜x ＜2 解析：因为|3x －2|＞4，所以3x －2＞4或3x －2＜－4，所以x ＞2或x ＜－23.答案：C3．函数y ＝x 2＋2x(x ＞0)的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：y ＝x 2＋2x ＝x 2＋1x ＋1x≥33x 2·1x ·1x＝3当且仅当x ＝1时成立．答案：C4．已知a ，b ∈R ，则使不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |一定成立的条件是( ) A ．a ＋b ＞0 B ．a ＋b ＜0 C ．ab ＞0D ．ab ＜0解析：ab ＞0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，ab ＜0时，|a ＋b |＜|a |＋|b |，故选D. 答案：D5．不等式|x －1|＋|x －2|≥3的解集是( ) A ．{x |x ≤1或x ≥2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |x ≤0或x ≥3}D ．{x |0≤x ≤3}解析：由x ≤1时，原不等式可化为－(x －1)－(x －2)≥3，得x ≤0.因此x ≤0. 当1＜x ＜2时，原不等式可化为(x －1)－(x －2)≥3，无解． 当x ≥2时，原不等式可化为(x －1)＋(x －2)≥3，得x ≥3. 因此x ≥3，综上所述，原不等式的解集是{x |x ≤0或x ≥3}． 答案：C6．设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．p ＝r ＜q C ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q解析：因为0＜a ＜b ，所以a ＋b2＞ab .又因为f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即p ＜q .而r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln(ab )＝ln ab ，所以r ＝p ，故p ＝r ＜q .选B. 答案：B7．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2D ．16解析：由(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1y≥(1＋1)2＝4.因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4.答案：B8．用数学归纳法证明当n ∈N ＋时，1＋2＋22＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时原式为( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3＋4D ．1＋2＋22＋23＋24解析：n ＝1时，原式为1＋2＋…＋25×1－1＝1＋2＋22＋23＋24.答案：D9．函数y ＝4－2x ＋x ＋2的最大值为( ) A ．4 B ．2 3 C ．6 D ．4 2解析：y ＝4－2x ＋x ＋2＝2·2－x ＋1·x ＋2≤ [（2）2＋12][（2－x ）＋（x ＋2）]＝23，当且仅当2（x ＋2）＝2－x 时取等号，即当x ＝－23时，y max ＝2 3.故选B.答案：B10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞1324(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )A ．增加了1项12（k ＋1）B ．增加了“12k ＋1＋12（k ＋1）”项，又减少了“1k ＋1”项C ．增加了2项12k ＋1＋12（k ＋1）D ．增加了12（k ＋1）项，减少了1k ＋1项解析：注意分母是连续的正整数，且末项可看做1n ＋n ，故n ＝k ＋1时，末项为1（k ＋1）＋（k ＋1）. 答案：B11．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k ＜3 B ．k ＜－3 C ．k ≤3D ．k ≤－3解析：因为|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3， 所以|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3. 所以不等式恒成立，应有k ＜－3. 答案：B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x ) MB ．g (x )∈MC ．g (x )MD ．不能确定解析：因为g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)，所以|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|·(|x 1|＋|x 2|＋2)≤6|x 1－x 2|， 所以g (x )∈M . 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．用数学归纳法证明：已知n 是正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，则当n ＞1时，f (2n)＞n ＋22.其第一步是____________________．解析：由数学归纳法的步骤易知．答案：当n ＝2时，f (22)＞2＋22成立 14．设x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是1，2，3，4，5的任一排列，则x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＋5x 5的最小值是________． 解析：由题意可知x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是1，2，3，4，5的反序排列时x 1＋2x 2＋3x 3＋4x 4＋5x 5取得最小值：1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35.答案：3515．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是________． 解析：|x －1|＋|x －3|表示数轴上的x 对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值等于2， 由题意|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1的解集为空集， 可得|x －1|＋|x －3|＞a 2－2a －1恒成立， 故2＞a 2－2a －1，解得－1＜a ＜3. 答案：(－1，3)16．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．答案：12三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.(1)解：由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，得1≤x ≤2， 所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3. (2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.18．(本小题满分12分)设f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝m ，求ab ＋bc 的最大值． 解：(1)当x ≤－1时，－4<f (x )＝3＋x ≤2； 当－1＜x ＜1时，f (x )＝－1－3x ＜2； 当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )， 当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立．此时，ab ＋bc 取得最大值1.19．(本小题满分12分)(1)求不等式|x －5|－|2x ＋3|≥1的解集； (2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤1.(1)解：当x ≤－32时，－x ＋5＋2x ＋3≥1，解得x ≥－7，所以－7≤x ≤－32；当－32＜x ＜5时，－x ＋5－2x －3≥1，解得x ≤13，所以－32＜x ≤13；当x ≥5时，x －5－(2x ＋3)≥1，解得x ≤－9，舍去． 综上，－7≤x ≤13.故原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－7≤x ≤13.(2)证明：要证 a ＋b ≤1，只需证a ＋b ＋2ab ≤1， 即证2ab ≤12，即证ab ≤14.而a ＋b ＝12≥2ab ，所以ab ≤14成立．所以原不等式成立．20．(本小题满分12分)设f (n )＞0(n ∈N ＋)，对任意自然数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)f (n 2)，且f (2)＝4.(1)求f (1)，f (3)的值；(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．解：(1)由于对任意自然数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)，取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2(1)＝4. 因为f (n )＞0(n ∈N ＋)， 所以f (1)＝2，取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23.(2)由f (1)＝21，f (2)＝4＝22，f (3)＝23，初步归纳猜想f (n )＝2n. 证明：①当n ＝1时，f (1)＝2成立； ②假设n ＝k 时，f (k )＝2k成立．f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②得，对一切n ∈N ＋，f (n )＝2n都成立．21．(本小题满分12分)若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值．(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)不存在，由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3. 由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)若f (x )的最小值为4，求实数a 的值；(2)当－1≤x ≤0时，不等式f (x )≤|x －3|恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|≥|(x ＋a )－(x －2)|＝|a ＋2|. 所以|a ＋2|＝4，即a ＋2＝±4. 所以a ＝2或－6.(2)原命题等价于f (x )≤|x －3|在[－1，0]上恒成立， 即|x ＋a |＋2－x ≤3－x 在[－1，0]上恒成立， 即|x ＋a |≤1在[－1，0]上恒成立， 即－1－x ≤a ≤1－x 在[－1，0]上恒成立， 即(－1－x )max ≤a ≤(1－x )min ，x ∈[]－1，0， 所以0≤a ≤1.。
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2019-2020年高中数学数学建模综合测试新人教A版选修4数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。
数学建模可以通过以下框图体现：
数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。
要求
1. 在数学建模中，问题是关键。
数学建模的问题应是多样的，应来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面。
同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。
2. 通过数学建模，学生将了解和经历上述框图所表示的解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。
3. 每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。
4. 学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。
5. 学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验。
6. 高中阶段至少应为学生安排1次数学建模活动。
还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来。
我们不对数学建模的课时和内容做具体安排。
学校和教师可根据各自的实际情况，统筹安排数学建模活动的内容和时间。
例如，可以结合统计、线性规划、数列等内容安排数学建模活动。
说明与建议
1. 学校和学生可根据各自的实际情况，确定数学建模活动的次数和时间安排。
数学建模可以由教师根据教学内容以及学生的实际情况提出一些问题供学生选择；或者提供一些实际
情景，引导学生提出问题；特别要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题、提出问题。
2. 数学建模可以采取课题组的学习模式，教师应引导和组织学生学会独立思考、分工合作、交流讨论、寻求帮助。
教师应成为学生的合作伙伴和参谋。
3. 数学建模活动中，应鼓励学生使用计算机、计算器等工具。
教师在必要时应给予适当的指导。
4. 教师应指导学生完成数学建模报告，报告中应包括问题提出的背景、问题解决方案的设计、问题解决的过程、合作过程、结果的评价以及参考文献等。
5. 评价学生在数学建模中的表现时，要重过程、重参与。
不要苛求数学建模过程的严密、结果的准确。
评价内容应关注以下几个方面：
——创新性。
问题的提出和解决的方案有新意。
——现实性。
问题来源于学生的现实。
——真实性。
确实是学生本人参与制作的，数据是真实的。
——合理性。
建模过程中使用的数学方法得当，求解过程合乎常理。
——有效性。
建模的结果有一定的实际意义。
以上几个方面不必追求全面，只要有一项做得比较好就应该予以肯定。
6. 对数学建模的评价可以采取答辩会、报告会、交流会等形式进行，通过师生之间、学生之间的提问交流给出定性的评价，应该特别鼓励学生工作中的“闪光点”。
7. 数学建模报告及评价可以记入学生成长记录，作为反映学生数学学习过程的资料和推荐依据。
对于学生中优秀的论文应该给予鼓励，可以采取表扬、评奖、推荐杂志发表、编辑出版、向高等学校推荐等多种形式。
8. 教材中应该提供一些适合学生水平的数学建模问题和背景材料供学生和教师参考；教材中可以提供一些由学生完成的数学建模的案例，以激发学生的兴趣。