最新版：圆的基本性质复习

3.同圆或等圆中：圆心角、弧、弦三者关系定理
在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 ，两条弧 、 两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各 组量都分别相等． 知“一”得“二”，用来
D O
证明：
∵ ∠COD =∠AOB 等角 ∴
︵ =︵ AB CD
AB=CD
等弧 等弦
C A
B
4.圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半．
F
G
C B2
●
A
B1
D
例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆
心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。5
B “垂线段OC”看做直径：
构造Rt△，运用 “勾股 定理及垂径定理”解题。
C半弦长4 A
弦心距3 半径
O
【例 2】
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修
人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径。如图所 示是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水 管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度
AB为直径
∠C= 900
3.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 E
F
A
●
O
∵AB=CD ∴∠E=∠F ∵∠E=∠F ∴AB=CD
C
B D 圆周角相等
弧相等
6.圆内接四边形性质定理
圆内接四边形对角和互为补角（1800）； 一个外角等于它的内对角。 C D
内对角
●
外角 E
O
A
B
∵四边形ABCD内接于圆O ∴∠A+∠C=∠B+∠D=1800
为4 cm，求这个圆形截面的半径．
●
O
设圆心为O, 作OD⊥AB于D,交 ⊙O于C，连接OA.
x 8
X 4
D
构造赵州桥模型: 作垂直，连半径，方程思想解题
建模思想，解决管道水位问题
C
★圆中常作 辅助线之1
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：如图，设弦 AB 表示水面，O 为圆心， 过 O 画 OD⊥AB 于 C，交⊙O 于 D， 连接 OA，根据垂径定理，有 AC＝BC. 设 OA＝OD＝r，[2 分] 在 Rt△AOC 中，AC2＋OC2＝OA2， ∴82＋(r－4)2＝r2，[4 分] 解得，r＝10.[6 分] 答：这个圆形截面的半径是 10 cm.
D
3.求圆中角X的度数
C
120°
O A
.
B
C A
70° x
O X
.
B ∠P
500
4.如图，圆心角∠AOB=1000，
O
1000
则∠ACB=___。 1300
A
1300
B
C
5.(2011· 乐山)如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，若
∠BOC＝40°，则∠ABD＝( A．40° C．70° 答案 C B．60° D．80° )
巩固运用： 1.如图，点A,B,C,D在同一个圆上， 四边形ABCD的对角线把4个内角分成的8个 角，这些角中哪些是相等的角？ D 相似三角形有几对？
A 1
8 7
O
2 3
B
4
5
6
C
2.（2011· 重庆)如图，已知AB为⊙O的直径， ∠CAB＝30°，则∠D＝_________.
30° 答案 60°
探究提高 连接OM、ON，则OM⊥AB，ON⊥CD，OM、 ON分别是弦AB、CD的弦心距，“有弦常作弦心距”， 这是一个常用的方法．
知能迁移3
(1)(2011· 上海)如图，AB、AC都是圆O的弦，
OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，
那么BC＝_________.
答案 6
解析 ∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴AM＝BM，AN＝CN， ∴MN 是△ABC 的中位线， 1 ∴MN＝ BC， 2 即 BC＝2MN＝2×3＝6.
D E O A B C
(2)若CD=OC,求sinB的值.
课时训练
1.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AmB上, 则∠C= 30° 。
课时训练
2.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 3 ，那么 这条弦所对的圆周角为 ( D ) A.60° B.120° C.45° D.60°或120°
第26课
圆的基本性质
一.圆的基本概念: 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 直径(圆中最长的弦) 2.有关概念: (1)弦： 优弧、劣弧、等弧 (2)弧：
●
(3)弦心距
O
(4)圆心角：顶点在 圆心 ，
角的两边与圆相交的角叫圆心角．
M
A 圆心角
(5)圆周角：顶点在 圆上 ，
角的两边与圆相交的角叫圆周角．
中考变式1： 半径为5厘米，则OC长度的最大值为
值为 。 3
如图，点P是弦AB上的一个动点，AB=8厘米，
5 ，最小
3≤OC≤5
B
C 4 ● 3圆柱形油槽内，装入一
部分油，油面宽8cm，求油的深度.
【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没 有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆 的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有 两种不同的情况，如图(1)和(2) 图(1)中: OC = OB 2 BC 2 52 42 =3(cm) ∴CD=2(cm) 图(2)中:OC=3(cm) ∴CD=OC+OD=8(cm)
●
B
(6)等弧：在 同圆或等圆 中，
能够完全 重合 的弧．
●
P
圆周角 N
O
O
二. 圆的基本性质
1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2.垂径定理:
3. 如 图 ， 四 边 形 ABCD 内 接 于 ⊙ O ， 若 它 的 一 个 外 角 ∠DCE=70°，则∠BOD=( D ) A．35° C．110° B.70° D.140°
4.已知:如图,在◇ABCD中以A为圆心,AB为 半径,画圆交AD,BC于F,G,延长AB交⊙A于E, 求证: EF=FG
3、如图，A、B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD、EF于点M、N，且AM=BN。 求证：CD=EF 证：连结OA、OB，设分别与CD、EF交于点F、G ∵A为CD中点，B为EF中点 ∴OA⊥CD，OB⊥EF ∴ ∠AFC=∠BGE=90°① 又由OA=OB，
⌒ ⌒
∴∠OAB=∠OBA ②
且AM=BN ∴△AFM≌△BGN ∴AF=BG ∴OF=OG ∴DC=EF ③
● 2
C
∵AB=AB ∴∠C1=∠C2 ∵AB=AB 1 ∴∠C1=∠C2 = 2∠AOB
530 C1 ● A
●
●
●
O
●
1060
B
5.圆周角定理重要推论：
(1).半圆（或直径）所对的圆周角是直角; (2).90°的圆周角所对的弦是直径．
C2 C1 C3
★圆中常作辅助线之2：
B
A
O
·
P
已知直径，常需连 结两点的弦，构成直径 所对的圆周角。
垂直于弦的直径平分这条弦,并且 平分弦所对的两条弧.
C
．
A P D
∵CD是直径, （过圆心） （垂直弦） CD⊥AB （平分弦） ∴AP=BP, AD = BD （平分劣弧） B AC = BC （平分优弧）
︵ ︵
︵ ︵
（已知二者，可得其余三者）
（弦不是直径）
平分弦的直径垂直于这条弦,并且 弦 平分弦所对的两条弧.
3
C
75或15°
当两弦在圆心的异侧时， 当两弦在圆心的同侧时, ∠BAC=∠1+∠2． ∠BAC=∠1－∠2.
完
题型三
【例 3】
圆的轴对称性
如图，已知 AB、CD 是⊙O 的弦，M、N 分别
是 AB、CD 的中点，且∠AMN＝∠CNM. 求证： AB ＝ CD .
解
证明：连接 OM、ON，
∵M、N 分别是 AB、CD 的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD. ∴∠AMO＝∠CNO＝90° . ∵∠AMN＝∠CNM， ∴∠OMN＝∠ONM， ∴OM＝ON. 又 OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AB＝CD， AB ＝ CD .
剖析
上述解法看上去好像思考周全，考虑了两种情况，其实又
错了，因为BC>AB>AC，BC是不等边△ABC的最大边，所以 ∠A＝60°不正确，产生错误的根源是图画得不准确，忽视了 圆心的位置，实际上本题的圆心应在△ABC的外部．
正解
1 1 ∵OD＝ r＝ OC，OD⊥BC. 2 2
∴∠OCD＝30° ，∠DOC＝60° . 同理，∠BOD＝60° . ∴∠BOC＝120° . ∴ BAC 度数为 120° BmC 度数为 240° ， ， ∴∠A＝120° .
5．(2011· 衢州)一个圆形人工湖如图所示，弦 AB 是湖上的一座桥， 已知桥 AB 长 100m，测得圆周角∠ACB＝45° ，则这个人工湖的 直径 AD 为( B ) A．50 2 m C．150 2 m B．100 2 m D．200 2 m
100
7.在半径为2的⊙O中,弦AB,AC的长为 2, 3 ,则 ∠BAC=_________. B B C 1 2 1 2 2 ● D A ● A D 2
(2)如图，在⊙O 中，已知 AC＝BD， 求证：(1)OC＝OD； (2) AE ＝ BF .
解 ①连接 OA、OB. ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B. ∵AC＝BD， ∴△OAC≌△OBD， ∴OC＝OD. ②∵△OAC≌△OBD， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴ AE ＝ BF .
例1:如图,AC是⊙O的直径,弦BD 交AC于点E. (1)△ADE～△BCE吗？说明理由;
E
A
F
D
B
G
C
易错警示
17．忽忘外心在形外
试题
△ABC 内接于半径为 r 的⊙O，且 BC>AB>AC， 1 OD⊥BC 于 D，若 OD＝ r，求∠A 的度数． 2
学生答案展示
当圆心在△ABC 内时，如图，连接 OB、OC.
1 1 ∵OD＝ r＝ OC，OD⊥BC， 2 2 ∴∠OCD＝30° ，∴∠DOC＝60° . 同理，∠BOD＝60° . ∴∠BOC＝120° . ∴∠A＝60° . 当圆心 O 在△ABC 外时， 如图，同上，可求得∠BOC＝120° ， ∴∠A＝∠BOC＝120 ° . 综上，∠A 的度数为 60° 120° 或 .