压杆稳定的概念
第八章 压杆稳定
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
3 l lmin 1.2m 4
l
i
4 l 75 1 2 2 D d
a σs 304 240 2 57 b 1.12
用直线公式计算
π 2 Fcr A σcr (a b ) ( D d 2 ) 155.5 kN 4
可取 E=206GPa，p=200MPa，得
E 206 109 1 π π 100 6 σp 200 10
当 ＜1 时，即cr ≥p，但cr ≤s，此时压杆仍属于稳定性问题， 但不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.
Ⅲ. 常用的经验公式 直线公式 或
σcr a b s
问哪个杆先失稳?
F
F
F
B
1.6 a
a
A
1.3 a
C
d
F
F
F
B
1.6 a
a
A
1.3 a
C
d
解：
杆A 杆B
2
l 2a
1
l 1.3a
杆C
0.7
由柔度的计算公式：
l 0.7 1.6a 1.12a l 可知A杆先失稳.
i
例题 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求 （1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界压力. （已知： E = 200 GPa， p= 200 MPa ， s = 240 MPa ，用直 线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.）
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
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稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定的概念
二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1） 边界条件： 当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3） 若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。
如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比 （1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。
那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表 又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。
压杆稳定
例11-3 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端
铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。
解：
i I d 20 l 1 600 5cm; 1; 120; A 4 4 i 5
20 d 20 l 1l 600 1 600 5cm ;5cm ; 1 ; 1; 120 ; 120; 4 4 i i 5 5
y
120
z
200
z 200
y
120
（图a）
（图b）
解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力
120 200 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
3
y
120
z 200
木柱两端铰支，，则得：
Plj
2 EI y
l 2
3.142 10103 80106 123kN 2 1 8000
压杆稳定
压杆稳定的概念
压杆的稳定计算
细长压杆的临界力
小结
压杆的临界应力
第一节
压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其 稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。
4 d C
64
;
a
B
l
i
11000 142 .9 p 123; 大柔度杆； 7
A
2 E 2 200000 lj 2 96.7 MPa 2 142.9
N CB a
P B
压杆稳定
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
第七章 压杆稳定
例7-3 用Q235钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束 如图所示，其中(a)为正视图，(b)为俯视图。在A 、 B 两处用螺栓夹紧。已知l=2.3m，b=40mm，h=60mm， 材料的弹性模量E=205GPa，求此杆的临界力。
解：压杆在A、B两处的 连接不同于球铰约束。 在正视图x～y平面内失 稳时，A、B两处可以自 由转动，相当于铰链约 束；在俯视图x～z平面 内失稳时，A、B两处不 能自由转动，可简化为 固定端约束。 F A h h F A b b x y B F B
1 2
30 FAx2 D
30 5
平面桁架如图所示, 求桁 架的临界载荷力Pcr.
2P F2 2 F1 / 3 3
1 (1 2 / 3) 4 1 115.47 i 0.040
l
λ1>100，属于大柔度杆，用欧拉公式：
2E 2 200 109 Fcr 2 A 0.042 N 186.04kN (115.47)2 4
临界应力总图
表示临界应力随压杆柔度变化的情况.
σcr σs σp
cr s
A B
cr a1 b1 cr a b
C
2
E cr 2
2
D λ
λs λp
例题 如图所示的压杆，其直径均为d，材料都是Q235 钢，但两者的长度和约束都不相同。（1）分析哪一根 杆的临界力较大。（2）若d=160mm ，E=205GPa，计 算两杆的临界力。 d 4 解 （1）计算柔度 64 d F F i 2 d 4 4
回代得: y cos kx (1 cos kx)
x l 时 y cos kl 0 kl
压杆稳定
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆
中柔度杆
大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用 经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最 小杆长。
F
解： s
a s
b
304 235 61.6
1.12
由
l
i
s
得：
l
0.04
相同的压杆
P
细长压杆失效原因：杆突然 发生显著弯曲变形而失去承 载能力。
P
P
失稳(也叫屈曲）
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其原有直线平衡状态的能力；
2.压杆失稳：压杆丧失原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因：①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
即
as
b
记
s
a
s
b
则 s p
经验公式的适用范围
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问 题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
感谢下 载
cr a1 b12
a 、b 式中
查到。 1
也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中
1
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
材料力学-5
12．求图(a)所示结构的临界压力Fcr。已知各杆均为刚 性杆，弹簧1、2的抗拉(压)刚度均为k。
三、基本微分方程
（全国第一届，9）已知图（a）所示平面刚架，A端固定， B端为辊轴支座，C为刚结点，当C点受垂直力P作用时： （1）试求失稳时特征方程的形式及临界荷载值；（2）若 B端改为固定铰支座时（如图（b）所示），其失稳模式与 情况（a）有何不同？其临界荷载值可增加多少？
（2）稳定折减因数法Fra bibliotek N A
式中： 为稳定因数（折减因数）。 0 1
使用时也必须先计算柔度，查相
应的规范中的表格得到 ，但不用去
研究此时压杆属于哪一类。
六、压杆稳定性计算的三类问题
（1）稳定校核
（2）确定荷载
FN
A
FN A
（3）设计截面
A
FN
A
FN
A
由于临界应力的大小与压杆的柔度有关，而 截面尺寸未定时无法确定其柔度，就无法选定 计算临界应力的公式，也无法去查折减因数表。 因此，无论用哪种方法设计压杆截面，都要用 试凑法反复计算才能得到理想的截面。
（1）稳定安全因数法
Pcr A
（2）稳定折减因数法
A A
由于压杆失稳是一种整体性破坏 行为，故杆件的局部削弱如打孔等 对杆件的截面积影响不大，因此在 进行稳定性计算时仍按未削弱时的 截面尺寸计算。
当然，如果局部削弱较大，则应 对此局部进行强度校核。
七、提高压杆稳定性的措施
可以这样认为，提高压杆的稳定性，基 本上就是设法减小其弯曲变形。
七、超静定问题（装配）
9．两根相同截面(b×t) 的矩形截面细长杆1和2， 两端用铰相联，现将一 端固定在天花板上，另 一端欲悬挂一重量为P 的重物。设原杆l由钢 制成，弹性模量为E1， 杆长为L；杆2由铝制 成，弹性模量为E2，长 度比杆1长ΔL。试分析 ΔL对杆挂重物端的竖 向位移影响。设杆件处 于线弹性阶段。
第十五章 压杆稳定
课题一 压杆稳定的概念
如上图，在自由端沿杆轴线方向施较小压力时，压杆处于直线平 衡状态（图a），此时若施加一微小横向干扰力，使杆处于微弯状 态（图b），然后将干扰力去除，杆经过几次左右摆动后，仍能回 复到原来的直线平衡状态（图c），这说明压杆的直线平衡状态是 稳定的。
但当压力F增大到某一数值时，压杆在微小干扰力作用下，杆即变 弯。当去除干扰力，杆不再回复到原来的直线平衡状态，而是处 于微弯平衡状态，称此时压杆的直线平衡状态不稳定。
（1）计算螺杆的柔度： i
I A
d
4 0
/
64
d0
40 mm 10mm
d
2 0
/
4
4
4
l 2 375 75
i 10
（2）计算临界应力
cr s a2 275 0.00853 压杆稳定校核与提高压杆稳定性的措施
（3）校核螺杆的稳定性。
稳定许用应力为：
[
w
]
cr nw
227 4
MPa
56.8MPa
螺杆的工作应力为： F 70 103 MPa 55.7MPa
A 40 2 / 4
[ w ]
，所以螺杆是稳定的。
二、提高压杆稳定性的措施
提高压杆的稳定性，关键在于提高压杆的临界力或临界应力。
第十五章 压杆稳定 课题三 压杆稳定校核与提高压杆稳定性的措施
对于钢材 cr s a2 对于铸铁 cr b a2
式中是与材料有关的常数，单位为MPa，其值可从表中10-2查得。
第十五章 压杆稳定
课题二 临界力和临界应力
压杆的临界应力是其柔度λ的函数，其函数图象（下图）称为临界 应力总图。
第十五章 压杆稳定
《材料力学》第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度） 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
压杆的临界压力:Fcr （ 稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。
①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度） 公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。
第十一章 压杆稳定
§ 11—3 不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式
F
cr
1、两端铰支
F
A
cr
Fcr
EI
2
l2
l
B
2、一端固定另端自由 l 2 EI Fcr ( 2l ) 2
F
cr
A
B
l
F
A
cr
3、一端固定，一端 夹支（两端固定）
0.5l
A
4、一端固定 另端铰支
0 .7 l
l
Fcr
2 EI
Fcr,1 : Fcr,2 : Fcr,3 I min,1 : I min,2 : I min,3 1: 9.34:17.32
例11.2 两端球铰支的中心受压细长压杆，长1m，材料的弹性 模量E＝200GPa，考虑采用矩形、等边角钢∟45×6、环形三种 不同截面，如图11.5所示。试比较这三种截面压杆的稳定性。
2、若F 2k l ，即 F 2kl，则在干扰解除后，杆不仅不 能自动返回其初始位置，而且将继续偏转。说明在该荷载作 用下，杆在竖直位置的平衡是不稳定的。
一、弹性系统平衡的稳定性 1、若 F 2k l ，即 F 2kl ，则在干扰解除后，杆将自
动恢复至初始位置，说明在该荷载作用下，杆在竖直位置的 平衡是稳定的。 2、若F 2k l ，即 F 2kl，则在干扰解除后，杆不仅不 能自动返回其初始位置，而且将继续偏转。说明在该荷载作 用下，杆在竖直位置的平衡是不稳定的。 δ
F F
3、若F 2k l ，即 F 2kl， 则杆既可在竖直位置保持平衡， 也可在微小偏斜状态保持平衡， 说明在该荷载作用下，杆处于临 界平衡状态或称为随遇平衡状态。 弹性系统在某位置的平衡性质不但 与外荷载的大小有关，而且与系统 的自身构成特性有关。
工程力学2第九章压杆稳定的概念及三种平衡状态
临界载荷的概念
失稳与屈曲（Buckling)
补充知识： 求二阶常系数线性齐次方程通解
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
挠曲线近似微分方程
弯矩
令
则
通解
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件： 若 则 （与假设矛盾） 所以
如图（b）,截面的惯性矩为
两端固定时长度系数
柔度为
7m
12cm
20cm
y
z
§9.5 压杆的稳定校核
应用经验公式计算其临界应力,查表得
则
临界压力为
木柱的临界压力
临界应力
§9.6 提高压杆稳定性的措施
欧拉公式
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束）
增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 长度系数（无量纲） 相当长度（相当于两端铰支杆） 欧拉公式的普遍形式： 两端铰支 x y O
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
x
z
F
l1
F
例题1 由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，z = 1， 长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固 定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。
F
FR
x
方程组的非零解条件：
具有非零解
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材料力学第9章 压杆稳定
BC ≈ 0.7l
FACcr =
( 2 × 0.3l )
π 2 EI
2
=
( 0.6l )2π 2 源自I2, FBCcr =
( 0.7l )
π 2 EI
2
综合得： 综合得：
Fcr =
( 0.7l )
π 2 EI
（9.4） ）
三、欧拉公式的普遍表达式 π 2 EI 1、公式： 、公式： Fcr = 2 ( µl ) 2、常见约束压杆的长度系数： 、常见约束压杆的长度系数： •两端铰支： 两端铰支： µ=1 两端铰支 •一端固定，一端自由： 一端固定， µ=2 一端固定 一端自由： •两端固定： 两端固定： µ=0.5 两端固定 •一端固定，一端铰支： 一端固定， µ≈0.7 一端固定 一端铰支：
w = A sin kx + B cos kx
3、挠曲线讨确定临界压力计算公式： 、挠曲线讨确定临界压力计算公式： 由x=0时w=0得： A sin k ⋅ 0 + B cos k ⋅ 0 = 0 时 得
B=0
由x=l时w=0得：A sin k ⋅ l = 0 时 得
A≠0 sin kl = 0
π EI Fcr = = 2 ( µl )
2
π × (210 ×10 Pa ) ×
2 9
π
64
d4
(1×1.25m) 2
解得： 解得： d = 0.0246m = 24.6mm 取为： 取为：d=25mm。 。
4、校核计算： 、校核计算：
1×1250mm λ= = = 200 25mm i 4 π 2E π 2 × (210 ×109 Pa) λ1 = = = 97 6 σP 220 ×10 Pa
压杆稳定
EI
2
l2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式。
Fcr 与抗弯刚度（ EI ）成正比。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。
因此，对于各个方向约束相同的情形
I
应是截面最小的形心主惯性矩。
l 1、两端为铰支座的细长杆
2、线弹性，小变形
公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因 此公式只适用于弹性稳定问题。
p cr s
p cr
cr s
1
cr a b
a s b
（直线公式）
a b s
a s 令 2 b
材料的第二特征柔度
1 2
中粗杆
1 2
这类杆又称中柔度杆。
cr a b
(0.5l )2
长度系数
一端固定、一端自由 两端铰支
Fcr
2 EI
( 2. 0 l ) 2
2
Fcr
2 EI
( 1. 0 l ) 2
1
0.7
一端固定、一端铰支 两端固定
Fcr
Fcr
2 EI
( 0. 7 l ) 2
2 EI
( 0. 5 l )
2
i
i
I A
l
截面的惯性半径 工作柔度
又称为压杆的长细比。它全面反映了压杆长度、约束条件、 截面尺寸和形状对临界力的影响。
E cr 2
2
临界应力的欧拉公式
塑性材料在压缩时的应力应变曲线
σ
σp
O
σs σ σp
O
σs
细长杆
1
压杆稳定
压杆稳定一、压杆稳定的概念压杆的稳定性，是指受压杆件保持其原有平衡状态的能力。
压杆不能保持原有平衡状态的现象，称为丧失稳定，简称失稳。
压杆处于稳定平衡和不稳定平衡之间的临界状态时，其轴向压力称为临界力或临界荷载，用表示。
临界力是判别压杆是否会失稳的重要指标。
二、两端铰支细长压杆的临界力两端为铰支的细长压杆，如图所示。
取图示坐标系，并假设压杆在临界荷载作用下，在xy平面内处于微弯平衡状态。
两端铰支细长压杆的临界荷载为称为欧拉公式。
在两端支承各方向相同时，杆的弯曲必然发生在抗弯能力最小的平面内，所以，式(1)中的惯性矩I应为压杆横截面的最小惯性矩；对于杆端各方向支承情况不同时，应分别计算，然后取其最小者作为压杆的临界荷载。
三、各种支承情况下压杆临界力计算公式可以写成统一形式的欧拉公式式中：μ反映了杆端支承对临界力的影响，称为长度系数，μL称为相当长度。
一端自由，一端固定m＝2.0；两端固定 m＝0.5一端铰支，一端固定 m＝0.7；两端铰支m＝1.0四、压杆的临界应力（一）、临界应力与柔度将临界荷载除以压杆的横截面面积A，即可求得压杆的临界应力，即将截面对中性轴的惯性半径代入,--临界应力欧拉公式---柔度或长细比。
它是一个无量纲量。
λ值愈大，压杆就愈容易失稳。
（二）、欧拉公式的适用范围于是欧拉公式的适用范围可用柔度表示为是与压杆材料性质有关的量。
对于，钢制成的压杆，E=200GPa，，=100的压杆称为大柔度杆或细长杆，其临界力或临界应力可用欧拉公式来计算。
（三）、超出比例极限时压杆的临界应力1、经验公式式中：a、b是与材料的力学性能有关的两个常数，可以通过试验加以测定，使用时可从有关手册上查取。
2、临界应力总图&如果将临界应力与柔度之间的函数关系绘在～λ直角坐标系内，将得到临界应力随柔度变化的曲线图形，称为临界应力总图。
临界应力均随柔度λ的增大而呈逐渐衰减的变化规律。
也就是说压杆越细越长，就越容易失去稳定。
第9章压杆稳定
长度系数
=1 =2 =0.7 =0.5
两端固定
§9-4 欧拉公式的使用范围 经验公式
1、临界应力和柔度
1）临界应力： 压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
EI E Fcr cr l 2 2 ( l ) A ( ) A i
2
2
2）柔度：
l
i
柔度也称细长比与长度、截面性质、支撑条件有关
p 20010 100 6
2 9
20010
3)用柔度表示的临界压力
2 E A Fcr 2
3、中、小柔度杆的临界应力 1．s>cr>p时采用经验公式
直线经验公式： cr a b
对于Q235钢： s 1
cr s
a s s 2 b
x
F x
解：1)失稳形式判断： 若连杆在x—y平面内失稳，则连 F 杆两端可视为铰支：
z
580 700 580 l
z Lz
iz
z Lz
Iz / A
4
z F
1 700 6.5 10 / 720
73.7
y y
F
若连杆在x—z平面内失稳， 则连杆两端可视为固定端：
z
y
y Ly
工程实例
2、稳定平衡与不稳定平衡
稳定平衡是能够保持原有平衡状态的平衡。
3、压杆的失稳与原因
1）压杆的稳定性： 压杆维持其原有直线平衡状态的能力
2）压杆的失稳：压杆丧失其原有直线平衡状态，不能稳 定地工作。 3）压杆失稳的原因 1)杆轴线本身不直(有初曲率)； 2)加载偏心； 3)压杆的材质不均匀； 4)外界干扰力。
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压杆稳定的概念
压杆稳定的概念 三、临界压力：
本讲结束
满足强度要求的压杆不一定就是安全的!
压杆稳定的概念
• ••••••••••
上世纪初，美国桥梁学家库柏在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥。
1907年8月29日，发生失稳破坏，75位工人罹难，成为上世纪 十 大工程惨剧之一。
压杆稳定的概念
Iron Ring
(Engineers' Ring)
警惕之戒 工程 師的戒指
压杆稳定的概念
压杆稳定的概念
—■（理想）压杆
③外力作用 ①材料均质 ②轴线直线 线与轴线 重
合
压杆稳定的概念
实验：长为300mm的不锈钢直尺，横截面尺寸为20mm x 1mm ,
钢的许用应力为[b]=196MPa。现将钢尺竖直放置，用手施加
轴向压力，试求其承载能力。
7 < ]
A
F5 = A x[a] = 0.02 x 0.001x196 x106Pa = 3920N
压杆稳定的概念 , ■ 二、压杆稳定的概念
1.稳定：稳固安定；没有变动。
（《现代界干扰有抵抗能力，保持常态
压杆稳定的概念 , ■ ■
2.压杆稳定：压杆维持其原直线平衡状态的能力。
压杆稳定的概念 .........
3.压杆失稳（屈曲）：压杆丧失其原直线平衡状态, 不能