结构力学：自由度及几何分析
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结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
结构力学 2几何组成分析
II
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系 三刚片三铰相连,三铰不共线, 为无多余约束的几何不变体系. 为无多余约束的几何不变体系.
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
一个虚铰在无穷远
一个虚铰在无穷远： 一个虚铰在无穷远：若组成此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则几何可变. 线不平行则几何不变；否则几何可变
例1: 对图示体系作几何组成分析
I II
III
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体 三刚片三铰相连,三铰不共线, 系为无多余约束的几何不变体系. 系为无多余约束的几何不变体系.
例2: 对图示体系作几何组成分析Байду номын сангаас
I
II
III
主从结构， 主从结构，顺序安装
例3: 对图示体系作几何组成分析
I III
FAy 如何求支 座反力? 座反力 静定结构
FB 无多余 联系几何 不变。 不变。
例1:如何通过减约束变成静定？ 1:如何通过减约束变成静定 如何通过减约束变成静定？
或
或
还有其他可能吗？ 还有其他可能吗？
结论与讨论
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 正确区分静定、超静定，正确判定超静定结 构的多余约束数十分重要。 超静定结构可通过合理地减少多余约束使其 变成静定结构。 变成静定结构。 分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 体、去支座分析内部可变性等，使体系得到最 大限度简化后，再应用三角形规则分析。 大限度简化后，再应用三角形规则分析。
彼此等长 →常变
彼此不等长 →瞬变
结构力学-体系的几何组成分析
2 / 40
第二章 体系的几何组成分析
第一节 体系几何组成的定义和分析目的
1、体系几何组成的定义
在忽略变形的前提下，在某种外力作用下，若体系不 能保证其形状或位置不变，则该体系称为几何可变体系。
FP
FP
3 / 40
第二章 体系的几何组成分析 第一节 体系几何组成的定义和分析目的
1、体系几何组成的定义
第二节 自由度和约束的概念
体系自由度数 S 等于零是体系几何不变的充分条件 复杂体系的必要约束往往不易直观判定。 W > 0 表明体系存在自由度，肯定是几何可变体系。 W = 0 表明体系的约束数正好等于部件总自由度数，是
体系不变的必要条件，而非必要条件，如无多余 约束，体系是静定结构。 W < 0 表明体系的约束数多于部件总自由度数，必有多余 约束，如为几何不变体系，则体系是超静定结构。
a、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能 承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
b、了解结构各部分之间的组成关系，有助于改善和 提高结构的性能。
c、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适 当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的求解途 径。
7 / 40
第二章 体系的几何组成分析
第二节 自由度和约束的概念
单约束 仅连接两个刚片的约束.
单铰
1个单铰 = 2个约束 = 2个的单链杆。
虚铰——在运动中虚铰的位置不定，这 是虚铰和实铰的区别。通常我们研究的 是指定位置处的瞬时运动，因此，虚铰 和实铰所起的作用是相同的都是相对转 动中心。
10 / 40
第二章 体系的几何组成分析 第二节 自由度和约束的概念
1、体系的自由度 2、约束 所谓约束即能限制体系运动的装置。
第二章 体系的几何组成分析
第一节 体系几何组成的定义和分析目的
1、体系几何组成的定义
在忽略变形的前提下，在某种外力作用下，若体系不 能保证其形状或位置不变，则该体系称为几何可变体系。
FP
FP
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第二章 体系的几何组成分析 第一节 体系几何组成的定义和分析目的
1、体系几何组成的定义
第二节 自由度和约束的概念
体系自由度数 S 等于零是体系几何不变的充分条件 复杂体系的必要约束往往不易直观判定。 W > 0 表明体系存在自由度，肯定是几何可变体系。 W = 0 表明体系的约束数正好等于部件总自由度数，是
体系不变的必要条件，而非必要条件，如无多余 约束，体系是静定结构。 W < 0 表明体系的约束数多于部件总自由度数，必有多余 约束，如为几何不变体系，则体系是超静定结构。
a、研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能 承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。
b、了解结构各部分之间的组成关系，有助于改善和 提高结构的性能。
c、在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适 当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的求解途 径。
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第二章 体系的几何组成分析
第二节 自由度和约束的概念
单约束 仅连接两个刚片的约束.
单铰
1个单铰 = 2个约束 = 2个的单链杆。
虚铰——在运动中虚铰的位置不定，这 是虚铰和实铰的区别。通常我们研究的 是指定位置处的瞬时运动，因此，虚铰 和实铰所起的作用是相同的都是相对转 动中心。
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第二章 体系的几何组成分析 第二节 自由度和约束的概念
1、体系的自由度 2、约束 所谓约束即能限制体系运动的装置。
02结构力学1-几何组成分析
§2-1 基本概念 W = 3m-(3g+2h+b) 四. 计算自由度
例3：计算图示体系的计算自由度 2 1 解法一
9根杆,9个刚片
有几个单铰？
3 3
3根单链杆
2 1
W=3 ×9-(2×12+3)=0
§2-1 基本概念
四. 计算自由度 例3：计算图示体系的计算自由度 铰结链杆体系：完全由两端 铰结的杆件所组成的体系
y 两个刚片一共6个自由 度 加两个单链杆之后：整 个体系有4个自由度 减少2个自由度
x
1单铰=2个单链杆
y
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置 实铰 x
两个单链杆
y
y
虚铰 x
x
§2-1 基本概念
三. 约束（联系）
既不平行又不相交于一点 的三个单链杆=一个固定支 座
三个单链杆=一个固定支座？
§2-2 静定结构的组成规则
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点。
二刚片规则： 二刚片规则： 两个刚片用三根 两个刚片用一 不全平行也不交 个铰和一根不通 于同一点的链杆 过此铰的链杆相 相联，组成无多 联，组成无多余 余联系的几何不 联系的几何不变 变体系。
体系。
§2-2 静定结构的组成规则
x
1单铰=2个约束
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置 y
复铰
三个刚片一共9个自由 度 加铰之后：整个体系有 5个自由度 减少4个自由度 x
复铰 等于多少个 单铰？
1连接N个刚片的复铰 =N-1个单铰
§2-1 基本概念
三. 约束（联系） 约束：减少自由度的装置
结构力学之平面体系的几何组成分析
二、二刚片规则： 两个刚片用既不全平行也不全交于一点的 三根链杆相联，所组成的体系是几何不变 体系，且无多余约束。
O
ΙΙ
ΙΙΙ
推论： 两个刚片由一个铰和一根轴线不通过该铰的 链杆相联，所组成的体系是几何不变体系， 且无多余约束。
ΙΙ
C
A
B
例三、
C
A
分析图示体系的几何构造：
D
解法一： 1、找刚片：
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
（二）二元体规则：
增加或去掉二元体不改变原体系的几何
组成性质。
C
A
B
例五、 分析图示体系的几何构造：
解：
A
D
E
基本铰结三角形ABC符合 三刚片规则，是无多余约
B
束的几何不变体系；依次
C
F
G
在其上增加二元体A-D-C、
C-E-D、C-F-E、E-G-F后， 体系仍为几何不变体，且 无多余约束。
一、几何构造特性：
（一）无多余联系的几何不变体系称为静定 结构。
静定结构几何组成的特点是：
任意取消一个约束，体系就变成了
几何可变体系。
（二）有多余联系的几何不变体系称为超静 定结构。
特点： 某些约束撤除以后，剩余体系仍
为几何不变体系。
二、静力特性：
（一）静定结构： 在荷载作用下，可以依据
结构力学 第二章 几何组成分析(典型例题)
［例题2-1-1］计算图示体系的自由度。
，可变体系.（a) (b）解:(a）几何不变体系，无多余约束（b ）几何可变体系［例题2-1—2］计算图示体系的自由度。
桁架几何不变体系，有多余约束. 解：几何不变体系，有两个多余约束［例题2-1-3］计算图示体系的自由度。
桁架自由体。
解:几何不变体系，无多余约束［例题2-1—4］计算图示体系的自由度。
，几何可变体系。
解：几何可变体系[例题2-1—5]计算图示体系的自由度。
刚架自由体。
解：几何不变体系，有6个多余约束［例题2-2—1]对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则.几何不变体系，且无多余约束［例题2-2-2］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系,且无多余约束［例题2-2-3]对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2-2—4]对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何不变体系，有一个多余约束［例题2—2—5］对图示体系进行几何组成分析.二元体规则.几何不变体系，且无多余约束［例题2-2—6］对图示体系进行几何组成分析.两刚片规则,三刚片规则.几何不变体系，且无多余约束[例题2-2-7］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束[例题2-2-8］对图示体系进行几何组成分析.三刚片规则.几何不变体系,且无多余约束［例题2-3-1］对图示体系进行几何组成分析.两刚片规则。
几何瞬变体系［例题2—3—2］对图示体系进行几何组成分析。
两刚片规则。
几何瞬变体系［例题2-3-3］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何瞬变体系［例题2—3-4］对图示体系进行几何组成分析。
三刚片规则。
几何不变体系，且无多余约束［例题2-3-5］对图示体系进行几何组成分析.三刚片规则.几何不变体系，且无多余约束［例题2-3—6］对图示体系进行几何组成分析。
二元体规则，三刚片规则.几何瞬变体系[例题2-3-7］对图示体系进行几何组成分析。
05结构力学第二章
例8:对图示体系作几何组成分析
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
规律2 规律
II I
III
2. 两个刚片之间的组成方式 规律1 规律 两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连, 且 两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连 三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何 三铰不在一直线上 则组成无多余约束的几何 体系。 或 两个刚片之间用三根链杆相 不变 体系 且三根链杆不交于一点,则组成无多余约束 连,且三根链杆不交于一点 则组成无多余约束 且三根链杆不交于一点 的几何不变体系。 的几何不变体系。
例4: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为瞬变体系. 该体系为瞬变体系. 方法3: 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的 刚片看成链杆. 刚片看成链杆.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
二元体( 二元体(片)规则 二元体: 二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连 接一个新结点的装置。 接一个新结点的装置。
在一个体系上加减二元体不影响原体系的几何组成
结构力学前半部分重点复习
M F Q F N — 单位力作用下结构产生的弯矩
剪力、轴力
(1)梁和刚架，轴向变形和剪切变形的影响甚小，主要
考虑弯曲变形的影响，位移公式： MMP dx EI (2)桁架，只考虑轴向变形的影响，且每根杆件的内力 及截面都沿杆长不变，故位移公式： F N FNP F N FNP l dx EA EA
结点法和截面法联合运用： 有的杆件用结点法求，有的杆件用截
面法求。
判断零杆：桁架中的某些杆件可能是零杆，计算前 应先进行零杆的判断，这样可以简化计算。零杆判 断的方法：
FN1
不共线的两杆结点，当无 ▲ 两杆节点：
荷载作用时，则两杆内力为FN1=FN2=0。 由三杆构成的结点，有两杆 ▲ 三杆节点：
平面体系的几何组成分析
1. 基本概念： 几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、自由度、 约束 2. 几何不变体系的组成规律 3.灵活运用组成规律分析体系的几何不变性
几何不变体系：不考虑材料的应变，在任意荷
载作用下，几何形状和位置保持不变的体系。 几何可变体系： 不考虑材料的应变，在微小荷 载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体 系。
规律 2
三刚片的组成规则：
将链杆看 成刚片
规律 3
三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相联， 则组成的体系是几何不变体系且无多余约束。
两根链杆组成 的虚铰替换铰
二元体规则：
二元体的概念：由两根不共线的链杆联结一 个新结点的装置称为二元体。
二元体
去掉二元体 增加二元体
规律 4
在一个体系上，增加或去掉二元体，体系的 几何组成不变。
FP3
f
B
xk
L1 L
结构力学 (几何组成分析)
机动分析示例 方法：首先算计算自由度W，若W＞0,体系为几 何可变，若W≤0 , 须进行几何组成分析。但通常可略 去W的计算。
ⅠⅢⅡ
解：地基视为——刚片Ⅰ。AB梁与地基按“两 刚片规则”相联，构成了一个扩大的刚片Ⅱ。刚片Ⅱ 与梁BC按 “两刚片规则”相联，又构成一个更扩 大的刚片ⅢC。D梁与大纲片Ⅲ又是按“两刚片规则”相 联。则此体系为几何不变，且无多余约束。 返 回
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
A
0 0'
P
M0 0
N3Pr0 B
N1
N2
N3
N3
P
r
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
1. 一个点与一个刚片之间的组成方式 一个点与一个刚片之间用两根链杆相连,且三铰不 在一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 1 4 0
三、混合体系的自由度
W (3 m 2 j) (2 h b )
四、自由度与几何体系构造特点
W0 体系几何可变；
m2 j 2
W0 无多余约束时，体系几何不变；h 1 b 8
W0 体系有多余约束。W ( 3 2 2 2 ) ( 2 1 8 ) 0
分析实例 4
A
B
C
D
E
F
1,3
A
A
2,3
2,3
B 1,2 C
D
E
F
结构力学笔记
结构力学一、结构的几何构造分析1、凡是自由度大于0的体系都是几何可变体系。
2、刚片规则一：一个刚片与一点，用不共线的两根连杆相连接，则组成几何不变无多余约束的体系。
3、刚片规则二：两个刚片用一个铰和一根连杆相连接且三铰不共线，则几何不变且无多余连接。
4、三钢片规则三：三刚片用三个铰，不在同一直线上，则几何不变且无多余连接。
5、平面自由度的计算：k j n m w ---=233注意复铰和复刚片的计算。
二、静定结构的受力分析1、受力正负号的规定：轴力拉为正，压为负；剪力：相邻点顺时针为正，逆时针为负；弯矩：下部受拉为正，上部受拉为负。
2、关于积分关系：qx dx dN -=；qy dx dQ -=；Q dx dM =;qy dxMd -=22 关于曲杆的积分关系：qs R Q ds dN -=；qr R N ds dQ --=；Q dsdM=; 3、三铰拱的合理轴线：（拱无弯矩状态的轴线称为合理轴线）。
)(42x l x lfy -=填土作用下为一悬链线；均匀水压力的合理轴线为圆弧曲线。
三、静定结构的影响线1、影响线定义：单位移动荷载作用下内力（或支座反力）变化规律的图形称为内力（或支座反力）影响线。
2、常用影响线：11影响线影响线11影响线影响线3、关于桁架的影响线，需要专门的看书解决。
4、如果移动荷载是单个集中荷载，则最不利位置，一定在影响线数据最大处。
若有多个集中荷载，则有一个集中荷载处在影响线距离最大处。
b r p a r 21+≤；br a r r 21≥+ 也可以通过tga*R 来计算，看是否变号。
四、结构位移计算1、支座位移计算公式：KkkcR ∑-+∆*12、广义力和广义荷载就是一对相反的力。
3、温度作用：h t h t h t 12210+=；12/t t t -=；⎰∑⎰∑+=∆Mds ht Nds t /0αα （其中：N 为单位荷载作用下的轴力；M 为单位荷载作用下的弯矩）。
结构力学几何组成分析
§2－4. 几何组成分析举例
依据：几何不变体系的组成法则。 一般方法： 首先进行简化，如去掉二元体，或将直接观察出的几何 不变部分当作扩大的刚片等；然后根据组成法则选定刚片 和约束（铰和链杆）并作出结论。
例1
例2
例3
§2－5. 几何组成与静定性的关系
根据仅用静力平衡条件是否能确定结构的全部反力和内力 这一特性，将结构划分为静定结构和超静定结构。 凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构，反之静 定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。
四杆不平行不变 平行且各自等长常变 平行不等长瞬变
2. 有两个无穷远铰:
3. 有三个无穷远铰:
二、两刚片法则
两刚片用不全交于一点也不全平行的三根链杆相联结，则 所组成的体系是几何不变的。 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联，构成几何不 变体系.
三、二元体法则
联结一个新结点的不共线两链杆装置称为二元体。 一个体系不因增加或减少二元体而改变其原有的几何组成 性质。
四、几点说明
按上述几何不变体系的组成法则所组成的体系，从保证其 几何不变性来说，它具备了最低限度的约束数目，即符合 上述法则组成的体系为几何不变无多余约束的体系。 如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数目少，则该 体系是几何可变的。 如果一个体系的约束数目比法则要求的约束数目多，则该 体系是几何不变有多余约束的体系。
第二章
体系的几何组成分析
§2－1. 几何组成分析的目的
一、基本概念
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的条件下， 若能保持其几何形状和位置不变者，称为几何不变体系。 否则，为几何可变体系。
几何可变体系不能作为结构，结构必须是几何不变体系。 几何组成分析：对体系几何组成的性质和规律进行的分 析。
结构力学——几何构造分析
如果将链杆视为一刚片， 则三规律等价
三角形规律的应用技巧
• • • • • 1. 刚片的广义化 2. 约束的等价性 3. 二元体增减的等效性 4. 内部大刚片定义的灵活性 5. 瞬变体系的多样性
1. 刚片的广义化
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点.
三刚片规则： 三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
图2-11 瞬变体系
规则3 二元体规则
在体系上用两个不共线杆件或刚片连接一个 新结点，这种产生新结点的装置称为二元体，图 2-12a符合定义为二元体，而图2-12b因为不符合上 述定义条件，因此不是二元体。
(a)
图2-12
(b)
二元体和非二元体
基于二元体的定义，在任意一体系上加二元体
或减二元体都不会改变体系的可变性。 利用加二元体规则，可在一个按上述规则构成
行吗？
瞬变体系
它可 变吗？
找虚铰 无多几何不变
F
D E
G
找刚片 无多几何不变
C
F
D
内部不 变性
E 找刚片
A B
5. 瞬变体系的多样性
瞬变体系
A C
P
B
不能平衡 C1 微小位移后，不能继续位移 瞬变体系(instantaneously unstable system) --原为几何可变，经微小位移后即转化为 几何不变的体系。
n=3
每个结点有 多少个 自由度呢？ n=2
每个单铰 能使体系减少 多少个自由度 呢？ s=2
每个单链杆 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=1
每个单刚结点 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=3
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
A
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
《结构力学》详细解析2015
二、刚片
平面内一个动点A，其位置要由两个坐标 x 和 y 来确定，所以一个点的 自由度等于2。
自由度： 描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。
y y
三、约束
A B
如果体系有了自由度，必须消除，消除的办法是增加约束。约束有三种：
C
链杆－１个约束
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和 非必要约束。 五、瞬变体系及常变体系
B
I
II
C
III A I II
B
III
C
利用组成规律可以两种方式组成一般的结构体系： （1）从基础出发组成
（2）从内部刚片出发组成
结论
1 、如果体系只通过三根既不全平行也不交于一点的支杆
与基础相联，则从内部刚片出发进行组装。可先在体系内 部选取一个或几个刚片；然后，依次利用组成规则将它们 形成一个或几个扩大的新刚片，再逐步扩大到整个内部体 系；最后，将扩大的整个内部几何不变体系与基础组装起 来，从而形成整个体系。
三个刚片之间的联结方式 规律4 三个刚片两两相连，且三个铰不在 同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没 有多余约束。
三个点之间的联结方式
规律1 不共线的三个点用三根链杆两两相连， 则所组成的铰结三角形体系是一个几何不变的 整体，并且没有多余约束。
例1
1,3 .
例2
.1,2
2,3 .
.
无多余约束的几何不变体系 例3
W 2 j b
j—结点数；
b—（单链杆+支座链杆)总数。
3. 混合公式 —— 将体系中刚片和结点为被约束对象，铰、刚结和链杆 为约束，则计算自由度公式为：
W (3m 2 j ) (3g 2h b)
结构力学自由度计算
一、自由度 1、定义：决定结构体系几何位置所需
的独立坐标数目。
2、刚片：体系几何形状和尺寸不会改变， 可视为刚体的物体。
3、点、刚片、结构的自由度： 1）、一个点在平面上有两个自由度 2）、一个刚片在平面上有三个自由度
A (x, y)
A (x, y)
二、约束
1、约束定义——凡能减少自由度的装置。
1) 一根链杆相当于一个约束，在体系的适当 位置增加一个链杆可使减少体系一个自由度。
y
y
x
y
o
o
x
x
２）、一个单铰相当于两个约束。在体系的适当 位置增加一个单铰可使体系减少两个自由度。
y
y
x
y
o
o
x
x
３）、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰， 相当于(n-1)×2个约
x
４）、刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三 个约束。在体系的适当位置增加一个固定端可使体 系减少３个自由度。
II
I
C 刚片2 E
A
B
D
刚片1
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
实饺：几何可变
O
刚片2
B
D
F
A
C
E
刚片1
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
3. 三刚片规则
三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不在 一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
瞬变体系——体系本来是几何可变，经过微小位 移后又成为几何不变的体系
E2
K
Q
P
O
1
1
1
N 1
1M 1L
把一端共铰而不共线的两根链杆装置（或两
根不共线链杆用铰连接成整体的装置）称为二 元体.
的独立坐标数目。
2、刚片：体系几何形状和尺寸不会改变， 可视为刚体的物体。
3、点、刚片、结构的自由度： 1）、一个点在平面上有两个自由度 2）、一个刚片在平面上有三个自由度
A (x, y)
A (x, y)
二、约束
1、约束定义——凡能减少自由度的装置。
1) 一根链杆相当于一个约束，在体系的适当 位置增加一个链杆可使减少体系一个自由度。
y
y
x
y
o
o
x
x
２）、一个单铰相当于两个约束。在体系的适当 位置增加一个单铰可使体系减少两个自由度。
y
y
x
y
o
o
x
x
３）、联结n个刚片的复铰相当于(n-1)个单铰， 相当于(n-1)×2个约
x
４）、刚性联结或固定端约束相当于三链杆，即三 个约束。在体系的适当位置增加一个固定端可使体 系减少３个自由度。
II
I
C 刚片2 E
A
B
D
刚片1
特殊情况： 1、三根链杆交于一点
实饺：几何可变
O
刚片2
B
D
F
A
C
E
刚片1
虚饺：几何瞬变
2、三根链杆相互平行
3. 三刚片规则
三个刚片之间用三个铰两两相连,且三个铰不在 一直线上,则组成无多余约束的几何不变体系。
瞬变体系——体系本来是几何可变，经过微小位 移后又成为几何不变的体系
E2
K
Q
P
O
1
1
1
N 1
1M 1L
把一端共铰而不共线的两根链杆装置（或两
根不共线链杆用铰连接成整体的装置）称为二 元体.
几何组成分析(结构力学)
动画演示
单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 3、虚铰（瞬铰）
动画演示
1
能形成虚铰 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 2 的是链杆 4 3 瞬铰 O ( 2，3 ) 单铰 A 定轴转动 绕瞬心转动！
3、一固定支座或一单刚结点(simple rigid joint，联结两个刚片的
（3） 两刚片之间用全交于一虚铰的三链杆相连（延长线交于 一点），几何瞬变。
（4） 两刚片之间用三根平行但不等长的链杆相连，瞬变体系。 （5） 两刚片之间用三根平行且等长的链杆相连，可变体系。 （6） 三刚片用位于同一直线上的三个单铰（实铰或虚铰）两 两相连，瞬变体系。 （内力、反力无穷大或不能确定）
多余约束的说明：
①不能减少体系自由度的约束 ②相对性 ③静定+超静定
④ 作用：
调整内力分布； 提高安全度
注：只有必要约束对 体系的自由度有影响， 而多余约束则对体系 的自由度没有影响。
【例】
去掉一个多余约束。
去掉一个多余约束。
去掉一个必要约束。
#多余约束的个数是一定的，位置是不一定。
四、虚铰（瞬铰）virtual hinge
三、约束（或联系）(constraint)
指阻止或限制体系运动的装置。凡减少一个自由度的装置，称为一 个联系(或约束)。s
y
B
y x
A
y
B
A
2
1
n=2
x
o
x
o
1、一活动铰支座或一链杆(connection link:两端铰接的杆件或刚片) ：S=1
动画演示 动画演示
2、单铰： 联结 两个 刚片的铰。 加单铰前体系有六个自由度。 加单铰后体系有四个自由度。
《结构力学》龙驭球第2章_结构的几何构造分析2
W = 2 j −b
j—结点数； 结点数； 结点数 b—简单链杆数。 简单链杆数。 简单链杆数 3. 混合公式 —— 将体系中刚片和结点为被约束对象，铰、刚结和链杆为 将体系中刚片和结点 被约束对象， 刚片和结点为 刚结和链杆为 约束，则计算自由度公式为： 约束，则计算自由度公式为：
W = (3m + 2 j ) − (3g + 2h + b)
C 2
III 3
W = 3×3−(2×3+3) = 9 −9 = 0
I A II
m=3 g = 0 h =3 b =3
例2-3.4：求图示体系的计算自由度。 ：求图示体系的计算自由度。 解：
m = 2 g =1 h = 1 b = 5 W = 3×2 −(3×1+ 2×1+5) = 6 −10 = −4
复铰：连接两个以上刚片的铰结点。 复铰：连接两个以上刚片的铰结点。 连接n个刚片的铰相当于 ） 连接 个刚片的铰相当于（n-1）个单铰 个刚片的铰相当
3 6－2×（1）= 4 － × ） 9－2×（2）= 5 － × ）
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。 个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。 个单链杆。 连接 n 个铰结点的复链杆相当于 个单链杆
二、平面体系的计算自由度 W 平面体系的计算自由度
1、平面刚片体系公式 —— 将体系中刚片为被约束对象，铰、刚结和链杆 、 将体系中刚片 被约束对象， 刚片为 约束。则计算自由度公式为： 为约束。则计算自由度公式为：
W = 3m − (3 g + 2h + b)
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结构力学：自由度及几何分析
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小结
自由度与约束
一根链杆，可以减少体系一个自由度，相当于一个 约束。
一个单铰，可减少体系两个自由度相当于两个约束 。
一个联结n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰，相当 于 2(n-1)个约束！
结构力学：自由度及几何分析
2.2.3 虚铰
2.2.3虚铰 有两个链杆连接两个刚片，两根链杆的作
加链杆前体系有3个自由度
加链杆后确定体系的位置，需要两 个独立的坐标，新体系有2个自由度 。一根链杆可以减少体系一个自由 度，相当于一个约束。
Ⅰ
15 6
3
4
1、2、3、4是链杆，折线型链杆 、曲线型链杆可用直线型链杆代替 。
5、6不是链杆。
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结构力学：自由度及几何分析
加单铰前体系有六个自由度
加单铰后确定体系的位置，需要四个 独立的坐标，新体系有四个自由度。
2.2.5稳定分析
结构力学：自由度及几何分析
E② D
F① ⑥
⑤
③ ⑧⑨
C
⑦
④
A
B
①
②
⑥
③
⑨
⑤
⑦
⑧
④
例a：j=6；b=9；r=3。 所以：W=2×6－9－3=0
例b：j=6；b=9；r=3。 所以：W=2×6－9－3=0
结构力学：自由度及几何分析
计算自由度与几何稳定性的关 系
(1)W>0，缺乏约束，几何可变； (2)W=0，具有几何不变的前提条件，可能
1.定义 W=各部件的自由度总和-全部约束数 2. W=3m－2n － r [例1] m——刚片数（不计基础）； n——单铰数（一个单铰、定向支座相当于两个约
束）； r——支座链杆数（固定铰支座相当于2个链杆，
固定端支座或刚性连接相当于三根链杆）
结构力学：自由度及几何分析
3.铰接法
m=1，a=1，n=0 ， r=4+3×2＝10 则：
1.在平面中，一个自由的点
2.在平面中，一个自由的刚片
结构力学：自由度及几何分析
y
A 0
A' Dy
Dx
x
y
A'
B' D
AB
Dy
Dx
0
x
自由度：
描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。
几何体系运动时，可以独立改变的坐标的数目。
1.在平面中，一个自由的点有两个自由度 ；2.在平面中，一个自由的刚片有三个自由度 。
用相当于一个单铰，在瞬时有同一旋转中 心。也叫瞬铰。 1. 由延长线组成的虚铰 2. 有链杆相交组成的虚铰 3. 无穷远虚铰
2.2.4自由度
结构力学：自由度及几何分析
O . . O’
A
B
C D
虚铰
联结两刚片的两根不共 线的
链杆相当于一个单铰即 瞬铰。
结构力学：自由度及几何分析
2.2.4体系的自由度计算
注意1、刚接在一起的各刚片作为一大刚片 。如带有a个无铰封闭框，约束数应加 3a 个 。
一个刚片 ，7+3个 约束。
2个刚片
2×3个 约束
结构力学：自由度及几何分析
2.2.4体系的自由度计算
3.铰接链杆体系: W=2J-b-r J——结点数（一个点有两个自由度）； b——链杆数； r——支座链杆数。
1 . 几 何 不 变 体 系 geometrically unchangeable system ：在任意荷载作用 下，能保持其几何形状和位置不变的体 系。
2 . 几 何 可 变 体 系 geometrically changeable system ：在外荷载作用下， 会发生几何形状改变和位置改变的体系。
几何不变； (3)W<0，有多余约束，可能几何不变。
结构力学：自由度及几何分析
多余约束 分清必要约束和非必要约束。
结构力学：自由度及几何分析
例1
刚片法：W=3×3－2×2－5=0 铰结点法：W=2×4－3－5=0 1）对半铰结点不能按铰结点对待； 2）通常每根杆都只能有两个铰接点； 3）悬臂端端点也算作铰结点。
结构力学：自由度及几何分析
几何可变体系
几何不变体系
结构力学：自由度及几何分析
二、几何组成分析的目的：
1.保证结构有可靠的几何组成，避免工程中 出现可变结构。
2.了解结构各部分的构造，改善和提高结构 的性能。
3.判别静定、超静定结构。 4.在结构计算时，可根据其几何组成情况，
选择适当的计算方法；分析其组成顺序， 寻找简便的解题途径
1
C
2
x y
单铰可减少体系两个 自由度相当于两个约束
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结构力学：自由度及几何分析
复铰（重铰） 联结三个或三个以上刚片的铰
A
C
先有刚片A,然后以单铰将 刚片B联于刚片A,
再以单铰将刚片C联刚片于A上。所以 联结三个刚片的复铰相当于两个单铰 ，减少体系四个自由度。
B
联结n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
结构力学：自由度及几何分析
三、刚片：在平面内可看成是刚体的物体， 即几何形状和尺寸不变。
1. 一根梁、一根链杆。 2. 三角形 3. 支承结构的地基
结构力学：自由度及几何分析
链杆 三角形 地基
结构力学：自由度及几何分析
2.2自由度和约束的概念
2.2.1自由度degree of freedom ：体 系运动时，用来确定为之所需的独 立坐标的数目。
WW==33mm－－22nn－－rr －3×a ==33××11－－1100 － 3×1 ＝＝－－710
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
=3×7－2×9－3 =0
结构力学：自由度及几何分析
注意2、复连接要换算成单连接。
连4刚片，n=3
连3刚片，n=2
连2刚片，n=1
结构力学：自由度及几何分析
结构力学：自由度及几何分析
[例2] 刚片法：W=3×3－2×2－6=－1 铰结点法：W=2×4－3－6=－1
结构力学
第二章 结构的几何组成分析
结构力学：自由度及几何分析
2.结构的几何组成分析 geometric construction analysis
2.1几何组成分析的目的 2.2自由度和约束 2.3几何组成规则 2.4瞬变体系 2.5几何组成分析
结构力学：自由度及几何分析
2.1几何组成的目的、几何不变 体系和几何可变体系
结构力学：自由度及几何分析
2.2自由度和约束的概念
2.2.2约束restraint （联系）：减少自由 度的装置。
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相 连，不论其形状和铰的位置如何。
2、单铰： 联结两个刚片的铰。 3、复铰（重铰）联结三个或三个以上刚
片的铰。
结构力学：自由度及几何分析
β α