高考数学教案和学案有答案学案

高考数学教案和学案有

答案学案

文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

学案11 函数与方程

导学目标： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．

自主梳理

1．函数零点的定义

(1)对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使y ＝f (x )的值为____的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点．

(2)方程f (x )＝0有实根?函数y ＝f (x )的图象与____有交点?函数y ＝f (x )有______．

2．函数零点的判定

如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且____________，那么函数y ＝f (x )在区间________上有零点．

2

对于区间[a ，b ]上连续不断的，且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．

自我检测

1．(2010·福建改编)f (x )＝⎩⎨

⎧

x 2

＋2x －3，x ≤0

－2＋ln x ， x >0

的零点为

______________．

2．(2010·山东省实验中学模拟)函数f (x )＝3ax ＋1－2a ，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围为________________________．

3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是________(填序号)．

4．若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，则下列说法正确的个数是________．

①函数f (x )在(1,2)或[2,3)内有零点； ②函数f (x )在(3,5)内无零点； ③函数f (x )在(2,5)内有零点；

④函数f (x )在(2,4)内不一定有零点．

5．(2009·山东)若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．

探究点一函数零点的判断

例1 判断函数y＝ln x＋2x－6的零点个数．

变式迁移 1 (1)(2011·南通调研)设f(x)＝x3＋bx＋c(b>0)，且

f(－1

2

)·f(

1

2

)<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内根的个数为________．(2)(2010·烟台一模)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝

f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．

探究点二用二分法求方程的近似解

例2 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值．(精确到0.1)

变式迁移 2 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考

为________．

探究点三利用函数的零点确定参数

例 3 已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．

变式迁移3 若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．

1．全面认识深刻理解函数零点：

(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；

(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；

(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．

2．求函数y＝f(x)的零点的方法：

(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；

(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；

(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：

(1)若连续不间断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点；

(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．

(满分：90分)

一、填空题(每小题6分，共48分)

1．(2010·天津改编)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点个数为________．

2．若f (x )＝⎩⎨

⎧

x 2

－x －1 ?x ≥2或x ≤－1?

1 ?－1

，则函数g (x )＝f (x )－

x 的零点为______________．

3．(2010·苏北四市模拟)若方程ln x －6＋2x ＝0的解为x 0，则不等式x ≤x 0的最大整数解为________．

4．若函数f (x )＝2ax 2

－x －1在(0,1)内恰有一个零点，则a 的取值范围是____________．

5．(2010·南通二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x

－1， ?x >0?

－x 2

－2x ， ?x ≤0?

，若函

数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．

6．(2010·泰州期末)已知函数f (x )＝log a (2＋ax )的图象和函数g (x )＝1log (2)a

a x +(a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝

b 对称(b 为常数)，则a

＋b ＝________.

7．(2010·深圳一模)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是______________．

8．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是下列四个函数中的________．(填上正确的序号)

①f (x )＝4x －1；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x －1；④f (x )＝ln(x －0.5)．

二、解答题(共42分)

9．(12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋1

4

.

证明：存在x 0∈(0，1

2

)，使f (x 0)＝x 0.

10．(14分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．

11．(16分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a

2

，3a >2c >2b ，

求证：