2017年上海长宁区高三数学一模试卷
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2017届 长宁区一模
2016.12.21
一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）
1、设集合{}R x x x A ∈<-=,1|2|，集合Z B =，则_____=B A
2、函数()03sin >⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=ωπωx y 的最小正周期是π，则_____=ω 3、设i 是虚数单位，在复平面上，复数
2)2(3i -对应的点到原点的距离为_______ 4、若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点()1,4，则实数____=a
5、已知()n b a 3+展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则_____=n
6、甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，由甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有________种
7、若圆锥的侧面展开图是半径为cm 2，圆心角为︒270的扇形，则这个圆锥的体积为___3cm
8、若数列{}n a 的所有项都是正数，且*221,3...N n n n a a a n ∈+=+++，则_____
1...321lim 212=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++∞→n a a a n n n 9、如图，在ABC ∆中，︒=∠45B ，D 是BC 边上的一点，
3,7,5===DC AC AD ，则AB 的长为______
10、有以下命题：
（1）若函数)(x f 既是奇函数，又是偶函数，则)(x f 的值域为}0{；
（2）若函数)(x f 是偶函数，则)(|)(|x f x f =；
（3）若函数)(x f 在其定义域内不是单调函数，则)(x f 不存在反函数；
（4）若函数)(x f 存在反函数)(1x f -，且)(1x f -与)(x f 不完全相同，
则)(x f 与)(1x f -图像的公共点必在直线x y =上；
其中真命题的序号是_______（写出所有真命题的序号）
11、设向量)0,(),1,(),2,1(b OC a OB OA -=-=-=，其中O 为坐标原点，0,0>>b a ，若
C B A ,,
三点共线，则b
a 21+的最小值为_____ 12、如图，已知正三棱柱的底面边长为cm 2，高为cm 5，一质点
自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的
长为________cm
二、选择题（每小题5分，共20分）
13、“2 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14、若无穷等差数列}{n a 的首项01d ，}{n a 的前n 项和为n S ，则以下结论中一定正确的是 （ ） A. n S 单调递增 B. n S 单调递减 C. n S 有最小值 D. n S 有最大值 15、经出下列命题： （1）存在实数α，使23cos sin = +αα； （2）直线2π -=x 是函数x y sin =图像的一条对称轴； （3）R x x y ∈=),cos(cos 的值域是]1,1[cos ； （4）若βα,都是第一象限角，且βα>，则βαtan tan >； 其中正确命题的题号为 （ ） A. （1）（2） B. （2）（3） C. （3）（4） D. （1）（4） 16、如果以一切正实数y x ,，不等式 y x a x y 9sin cos 42-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A. ]3 4,(-∞ B. ),3[+∞ C. ]22,22[-； D. ]3,3[- 三、解答题（共76分） 17、（第1小题5分，第2小题7分，共12分） 如图，已知⊥AB 平面CD BC BCD ⊥,，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且 2==BC AB ； （1）求三棱锥BCD A -的体积； （2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）； 18、（第1小题6分，第2小题8分，共14分） 在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且72cos 22 sin 82=-+A C B ； （1）求角A 的大小； （2）若3,3=+=c b a ，求b 和c 的值； 19、（第1小题5分，第2小题11分，共16分） 某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域ODC 开挖成一个池塘；如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为)2,1(，曲线OD 是函数2ax y =图像上一部分，过边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数)0(>+=k b kx y 的图像，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区； （1）求证：8 2 k b -=； （2）设点P 的横坐标为t ； )(i 用t 表示N M ,两点坐标； )(ii 将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数)(t S S =，并求S 的最大值； 已知函数3329)(+⋅-=x x a x f ； （1）若]1,0[,1∈=x a ，求)(x f 的值域； （2）当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的最小值)(a h ； （3）是否存在实数n m ,，同时满足下列条件：)(i 3>>m n ；)(ii 当)(a h 的定义域为],[n m 时，其值域为],[22n m ，若存在，求出n m ,的值；若不存在，请说明理由；