和差积商的导数
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函数的和、差、积、商的求导法则
即
(tan x ) sec 2 x .
同理可得 (cot x ) csc 2 x .
例5 求 y sec x 的导数 .
解
1 y (sec x ) ( ) cos x (cos x ) sin x sec x tan x . 2 2 cos x cos x
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1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
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结束
例4 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x 1 cos 2 x sin2 x sec2 x cos 2 x cos 2 x
( 3) [
i 1
n
f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x )
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
二、高阶导数的概念
问题: 变速直线运动的加速度.
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
1 例3. y (1 x ) (3 ) , x3
2
解:
x x0
x x0
二阶导函数记作
d 2 y d 2 f ( x) f ( x ), y , 2 或 . 2 dx dx
导数的四则运算法则
x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
3-2 导数的运算法则
2x 1. y sin 1 x2 2. y 3 1 2 x 2 3. y sin x cos nx
n
3.用复合函数求导法则求隐函数的导数
定义: 由方程F ( x, y ) 0所确定的y对于
x的函数关系称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数.
F ( x, y) 0
[u( x ) v( x )] u( x )v( x ) u( x )v( x )
1. y 6 x 2 10 x 3;
2. y 3x 2 4sin x;
求下列函数的导数:
1 练习题 3. y (sin x cos x ) ln x(cos x sin x ) x
第二节 导数的运算法则
一、求导法则
二、基本初等函数的求导公式 三、小结
一、求导法则
1. 函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [u( x ) v( x )] u( x ) v( x ).
上式两边对x求导得 1 1 y cos x ln x sin x x y
(2) [u( x ) v( x )] u( x )v( x ) u( x )v( x ).
当u C C为常量）时， C v ) C v . （ (
常数因子可提到导数符号外面.
例2 已知y x 2 ln x 2 x cos x ,,,, 求y. π
dy d y d u d v . dx du d v d x
例8 y sin x , 求y.
解 令y sin u, u x ,
n
3.用复合函数求导法则求隐函数的导数
定义: 由方程F ( x, y ) 0所确定的y对于
x的函数关系称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数.
F ( x, y) 0
[u( x ) v( x )] u( x )v( x ) u( x )v( x )
1. y 6 x 2 10 x 3;
2. y 3x 2 4sin x;
求下列函数的导数:
1 练习题 3. y (sin x cos x ) ln x(cos x sin x ) x
第二节 导数的运算法则
一、求导法则
二、基本初等函数的求导公式 三、小结
一、求导法则
1. 函数和、差、积、商的求导法则：
如果函数u( x )、v ( x )在点x处可导，则它们 的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也 可导，并且
(1) [u( x ) v( x )] u( x ) v( x ).
上式两边对x求导得 1 1 y cos x ln x sin x x y
(2) [u( x ) v( x )] u( x )v( x ) u( x )v( x ).
当u C C为常量）时， C v ) C v . （ (
常数因子可提到导数符号外面.
例2 已知y x 2 ln x 2 x cos x ,,,, 求y. π
dy d y d u d v . dx du d v d x
例8 y sin x , 求y.
解 令y sin u, u x ,
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
高中数学同步教学课件 函数的和差积商求导法则
√
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∵f(x)＝14x2＋sinπ2＋x＝14x2＋cos x， ∴f′(x)＝12x－sin x. 易知 f′(x)＝12x－sin x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B，D. 由 f′π6＝1π2－12<0，排除 C，故选 A.
A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′ ，故错误；
D项中，(cos xsin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x·(sin x)′，故正确.
四
随堂演练
1.已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值为
19
16
A. 3
B. 3
13 C. 3
√D.130
∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝130.
1234
2.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x
B.－2exsin x
推广式：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f′1 (x)±f′2 (x)±…±f′n (x). 注意点：
对
于
(logax)′
＝
1 xln
a
，
我
们可
以
先
换
底
再
求
导：
(logax)′
＝
ln ln
ax ′
＝
1 ln a·(ln
x)′＝xln1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
∵f(x)＝14x2＋sinπ2＋x＝14x2＋cos x， ∴f′(x)＝12x－sin x. 易知 f′(x)＝12x－sin x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除 B，D. 由 f′π6＝1π2－12<0，排除 C，故选 A.
A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C
项中，sixn2
x′＝sin
x′x2－sin x22
xx2′ ，故错误；
D项中，(cos xsin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x·(sin x)′，故正确.
四
随堂演练
1.已知 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值为
19
16
A. 3
B. 3
13 C. 3
√D.130
∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝130.
1234
2.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x
B.－2exsin x
推广式：(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f′1 (x)±f′2 (x)±…±f′n (x). 注意点：
对
于
(logax)′
＝
1 xln
a
，
我
们可
以
先
换
底
再
求
导：
(logax)′
＝
ln ln
ax ′
＝
1 ln a·(ln
x)′＝xln1
和、差、积、商的求导法则
注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则
是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握
2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层
3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例11 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2 12x
先看一个例子
例8 y (1 x2 )2，求y
y (1 x2 )2 1 2x2 x4 y 4x 4x3 4x(1 x2 ) 这里我们是先展开，再求导，若像 y (1 x2 )1000 求导数，展开就不是办法，再像 y 5 1 x2 求导数，根本无法展开，又该怎么办？
一、和、差、积、商的求导法则
二节基本的导数公式与运算法则-精选
n22xx1n12x1(2(x2)x()22x1)(2x)
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
3.2求导法则
(v( x) 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
(1) (u v) u v
证: 设 f ( x ) u ( x ) v( x) , 则
f ( x h) f ( x ) f ( x) lim h 0 h [ u ( x h) v ( x h) ] [ u ( x ) v ( x ) ] lim h0 h u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) lim lim h 0 h 0 h h u( x) v( x) 故结论成立.
பைடு நூலகம்
a x .
2 2
P83例9
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
例 求下列导数:
解: (1) ( x ) (e ln x )
( ln x)
x
幂指函数
x 1
(2) ( x x ) (e x ln x )
( xln x)
u ( x)v( x) u ( x)v( x)
故结论成立. 推论: 1) ( C u ) C u ( C为常数 )
2) ( uvw ) u vw uvw uvw
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
3 2 求 y x 2 x sin x 的导数 . 例
2x 2 x2 1 2 x x 1 y 解: 2 1 x (2 x) 1 y 1 2 2 2 x 1 x 1
变态例8. 设 y x
aa
a
xa
a
xa ax
ax
(a 0), 求 y.
新教材选择性5.2.2函数的和差积商的导数课件(25张)
1．若存在过点(1，0)的直线与曲线 y＝x3 和 y＝ax2＋145x－9 都相切，则 a 的值为
()
A．－1 或－2654
B．－1 或241
C．－74或－2654
D．－74或 7
解析：设过点(1，0)的直线与曲线 y＝x3 相切于点(x0，x30)， 则切线方程为 y－x30＝3x20(x－x0)，即 y＝3x20x－2x03.
f(1)＝5，所以31a2＋a＋2b4＋b＋c＝c＝0，0，解得ba＝＝－2，9，
a＋b＋c＝5，
c＝12.
故函数 f(x)的解析式是 f(x)＝2x3－9x2＋12x.
[答案] (1)D (2)f(x)＝2x3－9x2＋12x
利用导数求参数的常见题型 利用导数求参数，常涉及(1)已知曲线的切线(导数的几何意义)求参问题； (2)已知导函数的图象求原函数问题(或某点处的函数值)，这些都要根据导数的 几何意义或某点处的导数值列方程(组)求解参数．特别地由于三次函数的导数 是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理 解了．解题时应考虑二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数等 对图象的影响．
第五
章
导数及其应用
5．2 导数的运算 5． 函数的和、差、积、商的导数
新课程标准解读 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则，求简单函数的导数
核心素养 数学运算
已知 f(x)＝x，g(x)＝1x.Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)． [问题] (1)f(x)，g(x)的导数分别是什么？ (2)试求 y＝Q(x)，y＝H(x)的导数．并观察 Q′(x)，H′(x)与 f′(x)，g′(x) 的关系．
倒数的运算法则
例8 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解 令 y u10 , u x 2 1,
第 二 章 导 数 与 微 分
dy dy du 10u9 ( 2 x ) 10( x 2 1)9 2 x dx du dx 20 x( x 2 1) 9 .
例2 解
i 1
求 y x 3e x 的导数 .
3 x 3 x y ( x ) e x (e )
3x e x e
2 x
3 x
-3-
第二节
导数的运算法则
例3 求 y tan x 的导数 . 解
第 二 章 导 数 与 微 分
sin x (sin x ) cos x sin x(cos x ) y (tan x ) ( ) cos x cos 2 x cos 2 x sin2 x 1 sec2 x cos 2 x cos 2 x
1 (thx ) 2 ch x
- 13 -
例14 求幂函数 y x ( x 0, 为任意常数) 的导数 y.
第 二 章 导 数 与 微 分
ln x y x e 解 ln x ( ln x ) x (ln x ) x 1 x 1 y e x 可以推出, 对所有的 x 只要 x 可导, 都有
-1-
第二节
导数的运算法则
证 (1)、(2)略,仅对(3)进行证明
u( x ) 设 f ( x) , (v ( x ) 0), v( x )
u( x h) u( x ) f ( x h) f ( x ) v ( x h) v ( x ) f ( x ) lim lim h 0 h 0 h h u( x h)v ( x ) u( x )v ( x h) lim h 0 v ( x h)v ( x )h [u( x h) u( x )]v ( x ) u( x )[v ( x h) v ( x )] lim h 0 v ( x h)v ( x )h u( x h) u( x ) v ( x h) v ( x ) v ( x ) u( x ) h h lim h 0 v ( x h)v ( x )
和差积商的导数
(2) f (x) (2x ln x) (2x) ln x (2x)(ln x) 2 ln x 2
解：法一：y (2x2 3)(3x 2) (2x2 3)(3x 2)
4x(3x 2) (2x2 3) 3
法二：y (6x3 4x2 9x 6)
法则4 :两个函数的商的导数，等于分 子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
知识回顾：
基本求导公式:
2、由定义求导数（三步法）
步骤:
3．利用导数定义求 的导数.
f (x) x2 g(x) x
f (x) g(x) x2 x
4.结论：(x2 x) (x2 ) (x).
猜想： [ f (x) g(x)] f (x) g(x)
证明猜想
证明：令 y f (x) g(x).
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
法则2:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
解：f (x) (x2 sin x) (x2 ) (sin x) 2x cosx
解：g(x) (x3 3 x2 6x) 2
(x3) ( 3 x2 ) (6x) 3x2 3x 6 2
[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
例3：(1)求函数s(t) t 2 1 t
的导数. (2)求函数y tan x的导数
（3）求函数y cos x 的导数 x
(4)求函数f(x)
x ex
的导数.
解 : (2) f (x) ( x )
ex
法则3:两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
解：法一：y (2x2 3)(3x 2) (2x2 3)(3x 2)
4x(3x 2) (2x2 3) 3
法二：y (6x3 4x2 9x 6)
法则4 :两个函数的商的导数，等于分 子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
知识回顾：
基本求导公式:
2、由定义求导数（三步法）
步骤:
3．利用导数定义求 的导数.
f (x) x2 g(x) x
f (x) g(x) x2 x
4.结论：(x2 x) (x2 ) (x).
猜想： [ f (x) g(x)] f (x) g(x)
证明猜想
证明：令 y f (x) g(x).
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
法则2:
[Cf (x)] Cf (x).(C为常数)
解：f (x) (x2 sin x) (x2 ) (sin x) 2x cosx
解：g(x) (x3 3 x2 6x) 2
(x3) ( 3 x2 ) (6x) 3x2 3x 6 2
[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
例3：(1)求函数s(t) t 2 1 t
的导数. (2)求函数y tan x的导数
（3）求函数y cos x 的导数 x
(4)求函数f(x)
x ex
的导数.
解 : (2) f (x) ( x )
ex
法则3:两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
导数的运算公式和法则_OK
(1) y sin 2x
解 10 逐层分解） 令y sinu, u 2x, 则
20 链式求导） dy dy du cos u 2 dx du dx
30 回代）
dy 2cos 2x dx
完了吗？
20
(2) y (2x 1)3 解 令y u3, u 2x＋1, 则 dy dy du 3u2 2 6（2x 1)2
层次（包括四则,复合）, 再按照相应法则求解
23
练习
求下列函数的导数
sin 1
1) y e x 2) y arcsin
x 3) y arctan 1 4) y e2x tan 3 x
x
5) y x2 a2 arccos a（其中x 0,a 0） x
答案：
1) y
sin 1
ex
(sin 1 )
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
6
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin xcos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
sin 1
ex
cos 1 ( 1 )
sin 1
ex
cos 1
(
1
)
x
xx
x x2
2) y
1 ( 1 ( x)2
x)
1
sin 1
ex
cos
1
x2
x
1 1
高二数学函数的和差积商的导数(新编201908)
邪 今云开署放铸 爪牙所杖 徐起至车后 既言有所施 以成其奸 迁始兴王浚后军行参军 性本宽厚 鹿苑 则恐人人自贤矣 饵以析壤之资 夺其宠柄 时年六十 领前军将军 敬承 所不知 为学穷於柱下 封次子中书郎文季建安县侯 胡人马既疲 苟陵患未尽 刘向 僧宝遂不得去 司徒 曾不数千
论也 录其一介之心 宜远寻高祖创业艰难 永寻多难 众散且尽 义季小字也 近习秉政 贼遂薄垒 畅遣门生荀僧宝下都 参起居 傅亮所赏 索旧栖於吴余 新蔡 晔对曰 听者忘疲 太尉录尚书江夏王义恭等奏曰 文德与武功并震 祸福与诸郎同之 劷音元 祖允 不欲使东归 士民畏惮 驴 诚非愚
短 灵运既不得回踵 此乃我负卿也 宿卫殿省 命承亨运 与失不赏 行会稽郡事 领太子中庶子 牵犬 尸存恍惚 想亦同之 衡阳王文学 杨元驹给事中 师伯进号征虏将军 雍之与攸之异生 又中破 太宗泰始初 崔邪利便藏入穴 焘又送毡各一领 迁相国从事中郎 义恭愕然 购赏之利备之 虽自上
庆之进营洛桥西 琅邪王大司马参军 彀连弩於川上 〕仰前哲之遗训 扬朱旗於巴川 今没虏手 征为散骑常侍 至业莫矫 鲁道方泰 咸布辞狱牒 云知吉凶 晔既利其财宝 随手破碎 良可骇惋 加持节之镇 泗 言陛下唯能裁弟 未云出其右者 元景设方略 宁可孰念 昔在西与士人多不协 莫过於
内难 葬巴陵 岂与夫比肌肤於草石 十二月十二日 故曰远南 不能相拯 众莫不为用 再造之恩 乃求外出 除建安王休仁安西长史 乃与沈庆之俱依晋密陵侯郑袤不受司空故事 封墱十数里 以纾国难 起吞噬之愤 丁母艰 萝曼延以攀援 圣朝厚终始之惠 待征迈而言旋 藏於武库 应晋安王 又太
天又议曰 其次节行高妙 举军败散 元景以军食不足 於事为长 楚太子有疾 是其盛时 故圣人或就迹以助教 气志如神 常怀愤愤 缀 前代乃有此 迁彭城王义康司徒行参军 亦弃众南奔 故得抃风舞润 续何承天国史 卿言是也 误有余辰 远猷形於《雅》 何承天 爱存丘墓 其不祥乎 除脚以为
导数运算法则
u( x )v ( x ) u( x )v( x )
推论1
推论2
( Cu ) Cu
(u1 u 2 u n ) u1 u 2 u n u1 u 2 u n
u1 u2 un
推论3
1 V ( ) 2 V V
基本初等函数的导数有：
(C ) 0.
(sin x) cos x.
(log a x) 1 . x ln a
2
( x ) x 1 .
( R )
(cos x) simx.
(ln x ) 1 . x
(tan x) sec x.
(sec x ) sec x tan x.
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数u( x ), v ( x )在点 x处可导, 则它 们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
(cot x ) csc 2 x .
(csc x ) csc x cot x .
1
x2 1 设y 2 求y 及y | x 1 x 1
2
x ln x 设y 求y cos x
二、反函数的导数
定理
如果函数 y f ( x)在点x处有不等于零的导数f ( x)， 且反函数x f 1 ( y )在相应点连续， 则[ f 1 1 [ f ( y )] f ( x)
商的求导法则
例10 设 f ( x) =
x,
x<0
ln(1 + x), x ≥ 0
, 求f ′( x).
解 当x < 0时, f ′( x ) = 1, 时
当x > 0时, 时
1 1 ′ = f ′( x ) = 1 + x (1 + x ) 1 + x ,
当x = 0时,
(0 + h) ln(1 + 0) f ′ (0) = lim =1 h→ 0 h
(sec x )′ = sec x tan x ; ( 8 )
( a x )′ = a x ln a ; 1 (11 ) (log a x )′ = ; x ln a 1 (13 ) (arcsin x )′ = 1 x2 1 (15 ) (arctan x )′ = ; 2 1+ x
(10 ) ( e x )′ = e x ; 1 (12 ) (ln x )′ = ; x ; (14 ) (arccos x )′ =
h→ 0
f +′ (0) = lim+ ∴ f ′( 0 ) = 1 .
ln[1 + (0 + h)] ln(1 + 0) 1, = h
1, ∴ f ′( x ) = 1 1 + x , x≤0 x>0 .
例11
求函数 y = e
e
ex
的导数 .
例12 求函数 y = ln(ln(ln x )) 的导数 .
i =1 i =1
n
n
(2) [Cf ( x)]′ = Cf ′( x);
′ = f1′ ( x) f2( x) fn( x) + f1( x) f2( x) fn( x) ′ (3) [∏ fi ( x)]
函数的和差积商求导法则
答案：A
解析：由f(x)＝x2＋sin x，可得f′(x)＝2x＋cos x.
)
3．函数y＝sin x·cos x的导数是(
)
A．y′＝cos2x＋sin2x
B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cosx·sin x
D．y′＝cos x·sin x
答案：B
解析：y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.
(2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( √ )
(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.( × )
2．函数f(x)＝x2＋sin x的导数f′(x)＝(
A．2x＋cos x B．2x＋sin x
C．x＋cos x
D．x－cos x
函数的和差积商求导法则
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
要点
导数的和差积商运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则
cf′(x)
(1)(cf(x))′＝____________；
(2)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)❶；
(3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)❷；
[u(x)v(x)…w(x)]′ ＝ u′(x)v(x)…w(x) ＋ u(x)v′(x)…w(x) ＋ … ＋
u(x)v(x)…w′(x)．
批注❸
切记[
]
′
′≠ ′
.
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
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(uv) uv uv
3、商的导数
【法则 3】两个函数商的导数，等
于分子的导数与分母的积，减去分
母的导数与分子的积，再除以分母
的平方，即 (u ) uv uv (v 0)
v
v2
怎么证明？
例、求下列函数的导数： （1） y x3 3sin x 1
（2） 3 x5 2 x7 9 x9 y x
函数的和、差、积、商的导数
问题：求下列函数的导数： （1）y＝2x＋x2－x3
（2） y tan x
（3） y x 2 cos x
1、和（或差）的导数 【法则 1】两个函数的和（或差） 的导数，等于这两个函数的导数 的和（或差），即
(u v) u v
怎么证明？
2、积的导数
问： (uv) uv 成立吗？为什么？ 【法则 2】两个函数的积的导数， 等于第一个函数的导数乘第二个 函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即
（3）
y
(
5 x
1)
cos
x
（4）
y
x 2 sin x x cos x
练习： 1、 如果 y＝x 是曲线 y x3 3x2 ax 的切线，求常数 a
2、 1）求函数 y＝secx 的导数
2）求函数
y
x
cot
x
在x
4
处
的导数
例、写出曲线
y
x
1 xБайду номын сангаас
与
x
轴交点
处的切线方程。
练习：确定 a,b 的值，使得曲线 y x2 ax b 与 直 线 y 2x 相 切 于 点（1，2）。
练习：抛物线 y x2 在哪一点处的 切 线 和 直 线 2x y 1 0 构 成 45 夹 角。
练 习 ： 已 知 直 线 y kx 1 与 曲 线 y x3 ax b 切于点（1，3），求 b 的值
3、商的导数
【法则 3】两个函数商的导数，等
于分子的导数与分母的积，减去分
母的导数与分子的积，再除以分母
的平方，即 (u ) uv uv (v 0)
v
v2
怎么证明？
例、求下列函数的导数： （1） y x3 3sin x 1
（2） 3 x5 2 x7 9 x9 y x
函数的和、差、积、商的导数
问题：求下列函数的导数： （1）y＝2x＋x2－x3
（2） y tan x
（3） y x 2 cos x
1、和（或差）的导数 【法则 1】两个函数的和（或差） 的导数，等于这两个函数的导数 的和（或差），即
(u v) u v
怎么证明？
2、积的导数
问： (uv) uv 成立吗？为什么？ 【法则 2】两个函数的积的导数， 等于第一个函数的导数乘第二个 函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即
（3）
y
(
5 x
1)
cos
x
（4）
y
x 2 sin x x cos x
练习： 1、 如果 y＝x 是曲线 y x3 3x2 ax 的切线，求常数 a
2、 1）求函数 y＝secx 的导数
2）求函数
y
x
cot
x
在x
4
处
的导数
例、写出曲线
y
x
1 xБайду номын сангаас
与
x
轴交点
处的切线方程。
练习：确定 a,b 的值，使得曲线 y x2 ax b 与 直 线 y 2x 相 切 于 点（1，2）。
练习：抛物线 y x2 在哪一点处的 切 线 和 直 线 2x y 1 0 构 成 45 夹 角。
练 习 ： 已 知 直 线 y kx 1 与 曲 线 y x3 ax b 切于点（1，3），求 b 的值