2.1.2求曲线的方程

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2.1.2
问题 3 求曲线方程要“建立适当的坐标系”， 这句话怎样 理解．
答案 坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程 也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的 繁杂程度．
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2.1.2
结论
建立坐标系的基本原则
(1)让尽量多的点落在坐标轴上． (2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴． 建立适当的坐标系是求曲线方程首要一步，应充分利用图 形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建 系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角， 可将两直角边作为坐标轴建系等．
由两点间的距离公式，点 M 适合的条件可表示为
如图所示，取直线 l 为 x 轴，过点 F 且
垂直于直线 l 的直线为 y 轴，建立坐标系
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2.1.2
①
x2＋ y－22－y＝2， 将①式移项后两边平方，得 x2＋(y－2)2＝(y＋2)2， 1 2 化简得 y＝8x . 因为曲线在 x 轴的上方，所以 y>0.
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2.1.2
例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距 离是 2.一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点到 F 的 距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求 这条曲线的方程．
解 xOy.
设点 M(x， y)是曲线上任意一点， 作 MB⊥x 轴， 垂足为 B， 那么点 M 属于集合 P＝{M ||MF|－|MB |＝2}．
答案 (1)能直接写出点的条件进而代入坐标写出方程的 求法，可称为直接法，常用的曲线方程求法还有：
上式两边平方并整理得 x＋2y－7＝0. ①
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2.1.2
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程． ①由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐 标都是方程①的解；
②设点 M1 的坐标(x1，y1)是方程①的解， 即 x1＋2y1－7＝0，x1＝7－2y1.
点 M1 到 A，B 的距离分别是 |M1A|＝ x1＋12＋y1＋12 ＝ 8－2y12＋y1＋12＝ 5y2 1－6y1＋13； |M1B|＝ x1－32＋y1－72
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2.1.2
探究点一
求曲线方程的一般步骤
问题 1 设 A、B 两点的坐标分别是(－1，－1)，(3,7)，如 何求线段 AB 的垂直平分线的方程？
解 如图所示，设点 M(x，y)是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点，也就是点 M 属于集合 P＝{M||MA|＝|MB|}． 由两点间的距离公式，点 M 适合的条 件可表示为 x＋12＋y＋12＝ x－32＋y－72.
∵|PA |2＝|PB |2＋|PC|2，
有 x2＋(y－ 3a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2， 化简得 x2＋(y＋ 3a)2＝(2a)2， 即所求的轨迹方程为 x2＋(y＋ 3a)2＝4a2 (y>0)．
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探究点二 求曲线方程的常用方法 问题 求曲线方程时，有时点的条件比较明显，也有些点 的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖 于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？
2 ＝ 4－2y12＋y1－72＝ 5y1 －6y1＋13.
所以|M1A|＝|M1B|，即点 M1 在线段 AB 的垂直平分线上． 由①②可知，方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程．
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问题 2
你能根据以上的求解过程归纳出求曲线方程的一
般步骤吗？
答 求曲线的方程，一般有下面几个步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任 意一点 M 的坐标；
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跟踪训练 1 在正三角形 ABC 内有一动点 P，已知 P 到三 顶点的距离分别为 |PA|、|PB|、 |PC|，且满足 |PA|2＝ |PB|2 ＋|PC|2，求 P 点的轨迹方程．
解
以 BC 的中点为原点，BC 所在的直
线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴，建 立直角坐标系(如图所示)，设点 P(x，y)， B(－a,0)，C(a,0)，A(0， 3a)．
(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0；
(4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤 (5) 可以省 略不写，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根 据情况省略步骤(2)，直接列出曲线方程．
虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲 1 2 线，所以曲线的方程应是 y＝ x (x≠0)． 8
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小结
①求曲线方程时，建立的坐标系不同，得到的方程
也不同． ②求曲线轨迹方程时，一定要注意检验方程的解与曲线上 点的坐标的对应关系，对于坐标适合方程但又不在曲线上 的点应注意剔除．
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2.1.2
求曲线的方程
1．了解求曲线方程的步骤． 2．会求简单曲线的方程．
通过建立直角坐标系得到曲线的方程，从曲线方程 研究曲线的性质和位置关系，进一步感受坐标法的作用 和数形结合思想.
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引言
上一节，我们已经建立了曲线的方程、方程的曲线的
概念．利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标 表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲 线上点的坐标(x，y)所满足的方程 f(x， y)＝0 表示曲线，通 过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质． 这就是我们反 复提到的坐标法．数学中，用坐标法研究几何图形的知识形 成的学科叫做解析几何．从前面的学习中可以看到，解析几 何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．