柱面坐标和球面坐标计算定积分
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一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定： 0 r , 0 , 0 2.
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r
r 2dz
25 6
,
原式I 45 25 336 . 36
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面； 平 面．
• M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为
or
• P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
dv rdrddz,
z
rd
dr
r
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
dxdydz
0.
例 6 计算 ( x y z)2dxdydz其中 是由抛物
面 z x2 y2和球面x2 y2 z2 2所围成的空 间闭区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz 是关于y 的奇函数,
0
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
V
2
d
4 d
2a r 2 sin dr
0
0
0
2
4
sin
(
2a )3 d
4 (
2 1)a3 .
0
3
3
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区xoy平面对称，且 被积函数 f ( x, y, z)是关于z的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于z的偶函数，则 三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
0
4 5 10
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
由三重积分的性质知 V dxdydz,
例５ 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {( x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
是曲线 y2 2z ，x 0 绕oz 轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2,z 8 所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r
• M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
o
则 OA x, AP y, PM z.
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
例1 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x r cos
解
由
y
r
sin
,
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定： 0 r , 0 , 0 2.
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r
r 2dz
25 6
,
原式I 45 25 336 . 36
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面； 平 面．
• M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为
or
• P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
dv rdrddz,
z
rd
dr
r
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
dxdydz
0.
例 6 计算 ( x y z)2dxdydz其中 是由抛物
面 z x2 y2和球面x2 y2 z2 2所围成的空 间闭区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz 是关于y 的奇函数,
0
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
V
2
d
4 d
2a r 2 sin dr
0
0
0
2
4
sin
(
2a )3 d
4 (
2 1)a3 .
0
3
3
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区xoy平面对称，且 被积函数 f ( x, y, z)是关于z的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于z的偶函数，则 三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
0
4 5 10
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
由三重积分的性质知 V dxdydz,
例５ 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {( x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
是曲线 y2 2z ，x 0 绕oz 轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2,z 8 所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r
• M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
o
则 OA x, AP y, PM z.
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
例1 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x r cos
解
由
y
r
sin
,
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.