柱面坐标和球面坐标计算定积分

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三重积分在柱面及球坐标系下的计算

= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考：思考：是否可考虑用切片法来求解？

例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.

柱面坐标系和球面坐标系求三重积分

z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习试用三种坐标系算分三别重计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算

定积分应用相关公式

.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。

：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dx x f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。

代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,,22211};,,{,1302),,(},,,{0)()()(1222222222222222222220000002220000000000=+-=-+=+=++⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-cz b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x ptz z nty y mtx x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d czb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A多元函数微分法及应用zy z x y x y x y x y x F F y zF F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y vdx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz zu dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂=⋅-∂∂-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：时，，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F vG uG v FuF v uG F J v u y x G v u y x F vu v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。

「9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分」

§9.５利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分对于某些三重积分，由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。

一、利用柱面坐标计算三重积分１、柱面坐标设M x y z (,,)为空间的一点,该点在xoy 面上的投影为P ,P 点的极坐标为r ,θ,则r z ,,θ三个数称作点M 的柱面坐标。

规定r z ,,θ的取值范围是0≤<+∞r ，02≤≤θπ，-∞<<+∞z柱面坐标系的三组坐标面分别为r =常数,即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数,即过z 轴的半平面;z =常数,即与xoy 面平行的平面。

点M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式x r y r z z ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪cos sin θθ (1) ２、三重积分f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面r=常数，θ=常数,z =常数,将Ω分割成许多小区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。

考察由r z ,,θ各取得微小增量dr d dz ,,θ所成的柱体,该柱体是底面积为rdrd θ,高为dz 的柱体,其体积为dv rdrd dz =θ这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到（１)式有f x y z dv f r r z rdrd dz (,,)(cos ,sin ,)ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=θθθ(２)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。

(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量z r ,,θ的三次积分,其积分限要由z r ,,θ在Ω中的变化情况来确定。

3、用柱面坐标r z ,,θ表示积分区域Ω的方法(1)、找出Ω在xoy 面上的投影区域D xy , 并用极坐标变量r ,θ表示之;(2)、在D xy 内任取一点(,)r θ, 过此点作平行于z 轴的直线穿过区域, 此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成r ,θ的函数)即为z 的变化范围。

圆柱坐标系积分公式

圆柱坐标系积分公式圆柱坐标系是空间中常见的一种坐标系，它由径向(r)、极角($\\theta$)和高度(z)三个参数组成。

在数学和物理学中，对于一些涉及到圆柱坐标系的问题，我们经常需要进行积分运算。

而圆柱坐标系积分公式就是用于在圆柱坐标系中计算各种函数的积分的重要工具。

一、积分的基本概念在数学中，积分是基于求和的概念发展而来的。

对于一个函数f(x)在区间[a,b]上的积分，可以理解为将这个区间等分成无穷个小区间，然后求出每个小区间上函数值与小区间长度的乘积再求和。

积分的符号表示为$\\int$，即$\\int_a^b f(x)\\,dx$。

在圆柱坐标系中的积分，将会用到径向(r)、极角($\\theta$)和高度(z)三个坐标参数。

二、坐标系转换公式在进行圆柱坐标系中的积分运算之前，首先需要了解圆柱坐标系与直角坐标系之间的转换公式。

以下是常用的坐标系转换公式：1.空间点(x,y,z)到圆柱坐标系$(r, \\theta, z)$的转换公式：$x = r\\cos\\theta$$y = r\\sin\\theta$z=z2.单位体积元dV在圆柱坐标系中的表示：$dV = r \\,dr \\,d\\theta \\,dz$三、积分公式的推导圆柱坐标系下的积分公式的推导过程是基于坐标系转换公式的。

对于一般的三重积分，其公式形式如下：$\\iiint f(x, y, z) \\,dV = \\int_a^b\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\int_c^df(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta, z) \\,r \\,dr \\,d\\theta \\,dz$这里$f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta, z)$表示函数f在圆柱坐标系下的表示形式。

四、常见的圆柱坐标系积分公式在实际的计算中，经常会遇到一些具体的函数形式，下面是一些常见的圆柱坐标系积分公式：1.线积分公式：$\\int_C f(x, y, z) \\,ds = \\int_{\\alpha}^{\\beta} f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta, z) \\sqrt{(r\\sin\\theta)^2 + (r\\cos\\theta)^2 +\\left(\\frac{dz}{d\\theta}\\right)^2} \\,d\\theta$2.曲面积分公式：$\\iint_S f(x, y, z) \\,dS = \\int_c^d\\int_{\\alpha}^{\\beta} f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta, z) \\sqrt{\\left(\\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(r, \\theta)}\\right)^2 + \\left(\\frac{\\partial(y, z)}{\\partial(r, \\theta)}\\right)^2 + \\left(\\frac{\\partial(z, x)}{\\partial(r,\\theta)}\\right)^2} \\,r \\,dr \\,d\\theta$3.体积分公式：$\\iiint_V f(x, y, z) \\,dV =\\int_c^d\\int_{\\alpha}^{\\beta}\\int_a^b f(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta, z) \\,r \\,dr \\,d\\theta \\,dz$其中，V表示一个空间区域。

D10_4三重积分计算(柱面坐标与球面坐标)

2 2
R
2
y z )d xd yd z

0 4 sin d
4

2
0
d

R
0
4 d
x
o
y
1 R 5 (2 2 ) 5
dV 2 sin d d d
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例 10. 设由锥面
所围成 , 计算提示 :
和球面
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2. 柱面坐标系下体积元素
用三组基本坐标面
z
r d
常数 z 常数
分割立体，体积元素（小长方体）
z
dr
r
x
dz
d V r d r d d z
则，三重积分可表为

o
d d r
r
y
f x, y, z dV f r cos , r sin , z rdrd dz
M ( x, y , z )
o x
机动目录
y
r
P ( x , y ,0 )
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注：（1）直角坐标与柱面坐标关系
x r cos y r sin zz
（ 2 ）基本坐标面
z
z
M ( x, y , z )
圆柱面
常数
z 常数
半平面
平面
o y ( x, y,0) x r
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3. 柱面坐标下三次积分（投影法）
投影到xoy面
z1 r , z z2 r , ： r1 r r2

2.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

规定: 规定: 0 ≤ r < +∞ ,
0 ≤ θ ≤ 2 π,
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平面.
z
θ 为常数
z 为常数
M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐标的关系为 x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
o
θ
r
P (r ,θ )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
Answer : (a ) r = 5 x 2 + y 2 = 55
(b) (c )
Question: In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, dV=dxdydz,
D1 2
8
2π
0
45 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 3 2
4 8
I 2 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
D2 2
2
2π
0
25 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I = π π = 336π . 3 6
球面坐标与直角坐标的关系为
x = ρ sin cosθ, y = ρ sin sin θ, z = ρ cos.
A
x
ρ M ( x , y, z )

3.5 利用柱面坐标和球面坐标的计算三重积分

三重积分的计算关键在于选取适当的坐标系, 确定单积分的积分上下限. 通常是球形域或球与圆锥面围成时用球坐标, 是圆柱形或投影域为圆时用柱坐标.
ex6.设f ( u)具有连续的导数, 且f (0) 0, 求 1 lim 4 t 0 t
x2 y2 z2 t 2
f (
r2 则 {( r , , z ) | z 4 r 2 , 0 r 3,0 2 } 3 z I zrdrddz z 4 r2

0 d 0 dr r 2
3
2
3
4 r 2
r zdz
13 . 4
r2 z 3 x

y
2
x
02 d 0

2 cos
8 2 a2 8 3 2 r dr 0 zdz 02 cos d a . 9 2 3
a
二. 在球面坐标下计算三重积分
1. 球面坐标及坐标面
设 M ( x , y, z ) 为空间内一点，则点M 可用三个有次序的数，，来确定，其中为原点 O 与点 M 间的距离，为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角，为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到有向线 OP 的角，这里 P 为段点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数，，
x sin cos y sin sin z cos
z

x

M ( x, y, z )
z
o
A

y

y
x
P
3. 球面坐标下的三次积分
球面坐标系中的体积元素为
d
z
d
sin

高等数学公式(定积分微积分三角函数导函数)

高等数学公式基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x =-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且（14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰ （17）2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰ （18）sinxarc C a=+（19）ln(x C =++（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。

3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=， 21cos 2sin 2xx -=。

注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。

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考研数学公式完整版高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a xxln 1)(logln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x ax dx Cshx chxdx C chx shxdx Caadx aC x ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx xdxC tgx xdx x dxxx)ln(ln csc csc sec seccscsinsec cos 22222222Cax xa dxCx a x a ax a dx C a x a x a a x dx C ax arctg a x a dxC ctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdxC x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Ca x ax a x dx x a Ca x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n nnn arcsin22ln 22)ln(221cos sin22222222222222222222220ππ三角函数的有理式积分： 222212211cos 12sin udu dx x tg u uu x uu x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin2cos2sin sin 2cos 2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xx arthx x x archx x x arshx ee e e chxshx thx ee chx ee shx xxx x xxxx-+=-+±=++=+-==+=-=----11ln 21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim==+=∞→→e xx x xx x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctgtg·正弦定理：R CcBb Aa 2sin sin sin ===·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k nn uvvuk k n n n v un n v nuv uvuCuv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

三重积分的几种计算方法

*
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三次积分，其中为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos

高等数学利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 9-5

y 2 2z 解由 x0
绕 oz 轴旋转得，
2 2
旋转面方程为 x y 2z ,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x 2 y 2 16, 0 2 0 4 1 : , 2 2 z8
D2 : x 2 y 2 4,
解1 采用球面坐标

(a 0) 所围的立体.
za r
2 2 2
a , cos
x y z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x 2 y 2 )dxdydz

d d

其值为_______.
3、若空间区域为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围,则其体积可表为三重积分 _______________; 或二重积分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 、若由不等式 x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2 所确定,将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 ,
如图，三坐标面分别为
r 为常数
0 2 .
球面；
为常数
为常数
圆锥面；
半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P，点 P 在 x 轴上的投影为 A，
则 OA x , AP y, PM z .
§3.3 利用柱面坐标计算三重积分

§7.3[2]利用柱面坐标和球坐标计算三重积分

o
x
y
V = ∫∫∫ dv = ∫∫∫ r 2 sindrddθ
= ∫0 dθ ∫0 d ∫0
4
2π
π
2a 2
r sindr
x = r sin cosθ , y = r sin sinθ , z = r cos.
4 = π ( 2 1)a3. 3
dv = r 2 sindrddθ
�
: x2 + y2 + z2 ≤ 1.
o
y
x
0 ≤ θ ≤ 2π , : 0 ≤ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 1.
z
∫∫∫
z2dv =
r 2 cos2 r 2 sin dr d dθ ∫∫∫
o
y
= ∫0 dθ ∫
= ∫0 dθ ∫
2π
2π
x 1 4 2 d 0 r cos sin dr 0 5 1 r π 2 cos sin d 0 5 0
一,利用柱面坐标计算三重积分
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
0 ≤ r < +∞,
z
0 ≤ θ ≤ 2π ,
∞ < z < +∞.
M( x, y, z)
y
o r θ
x
P(r,θ )
如图, 如图,三坐标面分别为
z
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平面.
x
z
θ 为常数
z 为常数
z
x
r
为常数
θ 为常数
o
θ
y
球面坐标与直角坐标的关系为
z
x = r sin cosθ , y = r sin sinθ , z = r cos.

3.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

z dxdydz z r dr d dz

0 d 0 dr r 2 r z dz
0 d 0
2 2
2
2
4
z r 2 2 dr r
2 4
2 2 1 0 d 0 (16r r 5 )dr 2
2 2 1 1 0 8r r 6 d 2 6 0 2
0 2 , : 0 , 4 0 R.
],
z
R
即
o
x
y

( x 2 y 2 z 2 ) dv
2 2 sin dd d

x sin cos , y sin sin , z cos .
0 0 0

1
d
0
2

0
cos sin d dv 2 sin ddd 5 0
5 2
1
x sin cos , y sin sin , z cos .
2 1 0 d 0 cos2 sin d 5 2 1 0 d 0 cos2 d (cos ) 5
2 r r dr d dz.
2 2 ( x y ) dv
0 d 0 dr
2 H 3
2
H
H 3 r r
dz
0 d 0 r z
H

x r cos , y r sin , z z. dv r dr d dz ,
规定：
z
0 , 0 ,
0 2 .

利用柱面坐标与球面坐标计算三重积分

f ( r cos , r sin , z )rdrddz.

rdrd
Dr
z2 ( r , ) z1 ( r , )
f ( r cos , r sin , z )dz .
通常化为先对 z、再对 r、后对θ 的三次积分.
先将Ω在xOy面上的投影域用极坐标不等式表示
设M(x, y, z)为空间内一点,记向量OM来自长为r , OM与z轴z

r
M ( x, y, z )
z
正方向间的夹角为 , 再将OM
A x
x
O

y

y
P
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的夹角为 , 称 ( r , , ) 为点M的球面坐标. 规定 0 r , 0 , 0 2 .
=常数: 半平面P
0

y
x
直角坐标与柱面坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z.
在柱面坐标下 1. 若被积函数形如
x y r . 因此
2 2 2
f (x y ) ;
2 2
2. 积分区域Ω是由柱面、锥面、旋转抛物面、平面或球面所围成.
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面r+d r
半平面及+d ；圆锥面及+d
rsind
半径为r及r+dr的球面；
r
圆锥面+d
1
1
2 1dr 2 0 1 r
1
1 r
Dxy
0
1
y

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一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
三个有次序的数r，，来确定，其中r 为原点 O 与点 M 间的距离，为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角，为从正 z 轴来看自 x 轴按
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，，就叫做点 M 的球面坐标．
规定： 0 r , 0 , 0 2.
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中是锥面
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r
r 2dz
25 6
,
原式I 45 25 336 . 36
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
x2 y2 z2，与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面；平面．
• M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐标的关系为
or
• P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系中的体积元素为
dv rdrddz,
z
rd
dr
r
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
dxdydz
0.
例 6 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物
面 z x2 y2和球面x2 y2 z2 2所围成的空间闭区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz 是关于y 的奇函数,
0
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
V
2
d
4 d
2a r 2 sin dr
0
0
0
2
4
sin
(
2a )3 d
4 (
2 1)a3 .
0
3
3
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区xoy平面对称，且被积函数 f ( x, y, z)是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于z的偶函数，则三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.
0
4 5 10
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围成的立体体积.
解由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
由三重积分的性质知 V dxdydz,
例５利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {( x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
例２计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中
是曲线 y2 2z ，x 0 绕oz 轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2,z 8 所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数为常数
球面；圆锥面；半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r
• M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
o
则 OA x, AP y, PM z.
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
2
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
例1 计算I zdxdydz，其中是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x r cos
解
由
y
r
sin
,
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.