第7章 寿险保费的计算原理
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10
p[60] a70 得:
＝ P 2 122.1(元)
(2)所交保费在70岁时的值为2 122.1×＝33 201.3元，假设在70岁之后 s10 又活了年，计算出使不等式5000 >33 201.3 成立的最小整数为＝10,因此， at 80岁以后投保人的年金支付就超过了保费支付的值，公司获利的可能性为:1 － ＝0.41053
应缴保费预期现值=发生的费用预期现值+保险给付在60岁时的预期现值
求得 P＝33.87487 即月缴保费33.88元。
,
超常风险
含义: 寿险公司在同意承保某被保险人之前，应合理确认
被保险人的健康水平符合可承保的标准。如果一个人身体有 缺陷或从事危险性高的工作，就表明他比普通人有更大的死 亡风险，那么对这些人按标准生命表计收的保费，就不能足 以平衡支付给被保险人的死亡给付。
第七章
寿险保费的计算原理
内容介绍
价值方程 保费与净保费 费 用 超常风险 分红保险
价值方程
收入的预期现值＝支出的预期现值 对于设定的保险给付金额，我们可以找到一 个适当的投保人缴费标准，以支付此保险给 付金额所需的成本和费用；同样，如果设定 了缴纳的保费数额，我们就可以找到适当的 保险给付与其对应。
按照发生顺序可分为
• 初始费用，即在保单开始发生的费用，包括保单费用、保费比例费 用和保险金比例费组合。 • 续保费用，即继续维持保单的费用，包括发保费催单、更新记录等 等，及续保佣金的费用。续保费用一般被假定在未来的支付期间里 会上涨。续保费用也包括每份保单费用，保费百分比的费用和（很 少的）保险金百分比的费用。 • 理赔费用，应支付保险金时发生的费用。其大小或者和保险金额大 小有关，或者是每种类型的保单收取固定的金额。
处理方法
• 为既定的给付水平，征收更高的保费以弥补额外死亡风险带来的费 用。 • 被保险人在保单期内提前死亡，则削减保险金给付。 • 拒绝对超常风险承保。
超常风险模型
年龄递增法 :是在计算保费时将弱体被保险人的投
保年龄提高。比如，对一个40岁的弱体按50岁健康 人的水平收费。
增加死亡力 :指在分析、计算超常风险时将死亡力增加
20
p60
每年多次支付保费 –例3
考虑一份保险金额为20 000元的两全保险保单，被保险人现年40岁，保险期间 为20年，保险金在死亡之年年末支付，或在保单期满时支付；保费从现在起开 始每月初支付直至期满或被保险人死亡为止。已知设定年利率为4％，死亡率采 用英国A1967-1970选择生命表。计算每月应交纳的净保费。 解：设P为所求应缴月保费，则缴纳保费的预期现值为 12P
解：保费减费用后的预期现值为: P
给付的预期现值: 假定按平均水平，死亡发生在各年的中点
15 000[1.03 q v 35 解得 P＝445.48
1 2 1.06 ＋
.5 × 1.09 q35 v1
-0.05P a 35:30 35:30-0.55P=15.956P a
1
2
.5 1.12 q35 v 2×
净保险费/纯保费/风险保费
净保险费是指，在给定的假设死亡率与利率 的情况下，为了实现保单中预期的生命保险 或年金的给付需缴的金额。在这里不计公司 的营业等费用（净，这里指除去费用的净） 计算公式：
净保费收入的期望现值＝保险给付支出的期望现值
精算计算基础：死亡率 假设、未来可实现利率 假设
费 用
常见的费用类型
• • • 保单费用。它不依赖于保费或保险金额的多少，是固定的费用，例如： 保单出立单据、 每年更新信息的开支，及一些允许的一般办公费用。 保费比例费用，主要包括付给经纪人或出售保单中间人的佣金，习惯上按保费百分比 计算. 保险金比例费用，包括税收及在承保时发生的的费用──如体检费用。
解：(1)所求价值方程为 ：(a)
(b)
(2) (3) (a) P＝20.14 (a) S＝1 358 600
P
=
(b) S＝31 279
= S A1 x:n a x:n (b) P＝219.13 x:n Svn n p x P a
净保费价值方程应用举例 –例2
年金保单的净保费
一个60岁的人投保延期年金保险，从70岁起每年年末得到5 000元的给付， 60岁到70岁每年年初付一定金额的保费。已知：利率8％；死亡率采用英国 10 p60 60 :10 a(55)妇女选择表，其中 ＝6.965, ＝0.87333, a 20 p60＝ 0.58947, a70=7.3077。 (1)求净保费 (2)在不考虑费用的情况下，计算寿险公司因该保单而赚取利润的概率。 解：(1)由 Pa ＝ 5000 × 10 60 :10 v
i
′＝
i j 1 j
隐含费用
保险金的支出和保费收入都是随机变动的(保费数额不是任意的，而 支付的偶然性取决于被保险人生存与否，所以是随机的)，于是寿险公司 的实际收入减去支出在某一年可能是正的或负的。公司要保证在每一年 支出不能比收入大很多，以至部门资金短缺。为此，它必须建立额外的 基金来平衡在现金流量上的随机变动性。用最简单的话而言，公司会通 过向投保人收取稍多些的保费，比预期保险金和费用的现值多些，来建 立额外基金，这意味着公司不得不在保费方面合并一笔附加费用或形成 一笔额外的利润。
40＝ a :20
(1.02) 20
20
) ＋ P′ a (2 40
R40 R60 20M 60 D40
P′＝0.571
所以1 000元的年金所应收保费为571元
超复利分红
原理：保险公司分配红利时并不仅仅以保单约定的基本给付额为基础计算红利， 而是在过去红利的基础上按复利形式计算出更高的红利。 红利构成： • 在初始给付额的基础上按利率计算的红利 • 对过去的红利按复利计算的红利 例子：证明保限期限为年的两全保险的单位保险给付在超复利分红情况下的预期 现值为：
隐含费用的实现方式： 通常这种额外利润是不允许的，一般采用调整精算计算 基础中某些假设的差异来代替隐含费用。 • 较低的利率假定 • 死亡率、费用
毛保费价值方程
毛保费的预期现值＝支出的保险金的预期现值 ＋支出的费用的预期现值
即 收入的预期现值＝支出的预期现值
毛保费的价值方举例
一个18岁的男性投保了一份养老金保险，按保单约定，在他60岁后可于每月初 领取1 000元的保险金，为此，他将于18～60岁期间的每月初缴纳保费。已知保 单的初始费用为月保费的60％加10元，续保费用每月为保费的10％；采用中国 人寿保险经验生命表（1990－1993）（男），利率按7.5％计算。计算他应缴纳 的月保费。 设应缴月保费为P元。根据题意，保险给付在 60岁时的预期现值为 (12 ) 60 a 1000×12 (12 ) 18 a :42 应缴保费在18岁时的预期现值为 P×12 (12 ) 18 a :42 发生的费用在18岁时的预期现值为 10％P×12 +50％ P＋10 价值方程为：
通货膨胀对费用的影响
每份保单的续期费用不会总保持它们开始时的水平，一般认为会上升，因为 寿险部门的经营费用会受物价和工资膨胀的影响。佣金占保费率的百分比，不会 受通货膨胀的影响。而核算每份保单保费的费用成本，很显然，需要对未来通货 膨胀率作出准确的估计。如果我们假定一个固定的未来每年通货膨胀率为j,则有：
一个固定值。
其他方式 :包括用一个固定常数或变化的系数乘以标准生
命表的各年龄死亡率。
分红保险的概念
保单持有人与保险公司分享投资利润，这种保单称为含利润 保单或分红保单。 分红保单和不分红保单的主要区别 :于给定的保费分红保单 所承诺的保险给付是较低的。保险公司希望所收取的保险费 在保险期间内通过投资能积累成更多的金额，除了足以支付 较低的保险给付(基本保额)和一些费用外，还可以把公司的 期末红利分配给保单持有人。 红利的类型 • 单利 • 复利 • 超复利
12 40 a :20≈12P
D 11 40 :20 1 60 a 24 D40
≈12P［13.772－0.4583(1－0.40902)］ ≈162.01P A40 :20 而给付的预期现值为: 20 000 ＝9 405.80 得： P＝58.06（元）
利润
定义：保单终止时（死亡或保单到期）保费 的价值减去保险给付与费用支出后的余值， 包含保单终止时已产生的利息。 利润的计算
利润=净保费收入的现值 －保险给付支出的现值
净保费价值方程应用举例 –例1
普通寿险保单的净保费
(1)如果被保险人在保单开始时为x岁，实际利率假定为，保险金额为S， 在保单有效期内每年初支付保费额为P。求下面两种保险保单的净保 费价值方程： (a) n年期定期寿险 (b) n年期生存保险 (2)采用A1967-1970终极表，计算上面(a)与(b)中的P，已知S＝10 000, x=39，n＝25，i＝4% (3)采用A1967-1970选择表，计算上面(a)与(b)中的S，已知P＝1 000, x＝20，n＝20，i＝4%
保费
保险费即投保人买各种保险而向保险人（保险公司） 一次性支付或多次支付的费用，简称保费。 保费的支付一般有以下几种方式
• 在保单生效时一次付清保费(趸缴保费) • 规定每年支付一定金额，保单生效时第一次支付，以后 一直持续到被保险人死亡或达到约定的最大保费额度， 常常即为保单约定的缴费期限(每年支付保费保单)。 • 一年多次支付确定的保费，通常每月支付一次，在被保 险人死亡或达到约定最大限额时停缴(月保费)。
单利形式的期末红利
原理：一个以单利计算的红利只适用于保险金额。如果我们设定b为固定水平的单利形式 的红利，基本保险金额为S。那么一个保险合同期内死亡的第1,2,…年支付的保险金额分别 是:S+bs，S+2bS，S+3bS，……，这里假设第一次分到的红利加在保单第一年的初始。
例子：一家寿险公司为一个35岁的人承保年缴保费的分红终身寿险，死亡时给 付保险金15 000元，保费缴纳期限为30年。为了计算被保险人每年应交的保费， 公司假定在承保第一年的初始给予一个以3%计算的单利形式的期末红利。死亡 率假定按生命表A1967-1970终极表计算，利率为4%。初始费用为第一年保费的 60%，续保费用为以后各年(包括第一年)保费的5%。试计算被保险人每年应交 保费。
Ax:n
i ' 1－ ×（
a ）＋ b
a Ax:n i' b
其中
i '＝
1 i 1 b-1
3
5 …］ q35 v 3.＋
复利形式的期末红利
原理：到期支付的保险给付总额也包括那些红利再投资而获得的红利 一份40岁开始的延期年金，从60岁起每半年期末支付一次，红利自一开始就有， 按复利2%计入，直至60岁。计算基础为A1967-1970终极表和利率4%、费率3%。 若年金开始前死亡则返还保费(无利息)，计算每年1 000元年金应付的年保费。 解：红利在60岁即停止增加，即红利只影响年金，令P′为每年1元年金应收 的 保费。 0.97P′ 解得
p[60] a70 得:
＝ P 2 122.1(元)
(2)所交保费在70岁时的值为2 122.1×＝33 201.3元，假设在70岁之后 s10 又活了年，计算出使不等式5000 >33 201.3 成立的最小整数为＝10,因此， at 80岁以后投保人的年金支付就超过了保费支付的值，公司获利的可能性为:1 － ＝0.41053
应缴保费预期现值=发生的费用预期现值+保险给付在60岁时的预期现值
求得 P＝33.87487 即月缴保费33.88元。
,
超常风险
含义: 寿险公司在同意承保某被保险人之前，应合理确认
被保险人的健康水平符合可承保的标准。如果一个人身体有 缺陷或从事危险性高的工作，就表明他比普通人有更大的死 亡风险，那么对这些人按标准生命表计收的保费，就不能足 以平衡支付给被保险人的死亡给付。
第七章
寿险保费的计算原理
内容介绍
价值方程 保费与净保费 费 用 超常风险 分红保险
价值方程
收入的预期现值＝支出的预期现值 对于设定的保险给付金额，我们可以找到一 个适当的投保人缴费标准，以支付此保险给 付金额所需的成本和费用；同样，如果设定 了缴纳的保费数额，我们就可以找到适当的 保险给付与其对应。
按照发生顺序可分为
• 初始费用，即在保单开始发生的费用，包括保单费用、保费比例费 用和保险金比例费组合。 • 续保费用，即继续维持保单的费用，包括发保费催单、更新记录等 等，及续保佣金的费用。续保费用一般被假定在未来的支付期间里 会上涨。续保费用也包括每份保单费用，保费百分比的费用和（很 少的）保险金百分比的费用。 • 理赔费用，应支付保险金时发生的费用。其大小或者和保险金额大 小有关，或者是每种类型的保单收取固定的金额。
处理方法
• 为既定的给付水平，征收更高的保费以弥补额外死亡风险带来的费 用。 • 被保险人在保单期内提前死亡，则削减保险金给付。 • 拒绝对超常风险承保。
超常风险模型
年龄递增法 :是在计算保费时将弱体被保险人的投
保年龄提高。比如，对一个40岁的弱体按50岁健康 人的水平收费。
增加死亡力 :指在分析、计算超常风险时将死亡力增加
20
p60
每年多次支付保费 –例3
考虑一份保险金额为20 000元的两全保险保单，被保险人现年40岁，保险期间 为20年，保险金在死亡之年年末支付，或在保单期满时支付；保费从现在起开 始每月初支付直至期满或被保险人死亡为止。已知设定年利率为4％，死亡率采 用英国A1967-1970选择生命表。计算每月应交纳的净保费。 解：设P为所求应缴月保费，则缴纳保费的预期现值为 12P
解：保费减费用后的预期现值为: P
给付的预期现值: 假定按平均水平，死亡发生在各年的中点
15 000[1.03 q v 35 解得 P＝445.48
1 2 1.06 ＋
.5 × 1.09 q35 v1
-0.05P a 35:30 35:30-0.55P=15.956P a
1
2
.5 1.12 q35 v 2×
净保险费/纯保费/风险保费
净保险费是指，在给定的假设死亡率与利率 的情况下，为了实现保单中预期的生命保险 或年金的给付需缴的金额。在这里不计公司 的营业等费用（净，这里指除去费用的净） 计算公式：
净保费收入的期望现值＝保险给付支出的期望现值
精算计算基础：死亡率 假设、未来可实现利率 假设
费 用
常见的费用类型
• • • 保单费用。它不依赖于保费或保险金额的多少，是固定的费用，例如： 保单出立单据、 每年更新信息的开支，及一些允许的一般办公费用。 保费比例费用，主要包括付给经纪人或出售保单中间人的佣金，习惯上按保费百分比 计算. 保险金比例费用，包括税收及在承保时发生的的费用──如体检费用。
解：(1)所求价值方程为 ：(a)
(b)
(2) (3) (a) P＝20.14 (a) S＝1 358 600
P
=
(b) S＝31 279
= S A1 x:n a x:n (b) P＝219.13 x:n Svn n p x P a
净保费价值方程应用举例 –例2
年金保单的净保费
一个60岁的人投保延期年金保险，从70岁起每年年末得到5 000元的给付， 60岁到70岁每年年初付一定金额的保费。已知：利率8％；死亡率采用英国 10 p60 60 :10 a(55)妇女选择表，其中 ＝6.965, ＝0.87333, a 20 p60＝ 0.58947, a70=7.3077。 (1)求净保费 (2)在不考虑费用的情况下，计算寿险公司因该保单而赚取利润的概率。 解：(1)由 Pa ＝ 5000 × 10 60 :10 v
i
′＝
i j 1 j
隐含费用
保险金的支出和保费收入都是随机变动的(保费数额不是任意的，而 支付的偶然性取决于被保险人生存与否，所以是随机的)，于是寿险公司 的实际收入减去支出在某一年可能是正的或负的。公司要保证在每一年 支出不能比收入大很多，以至部门资金短缺。为此，它必须建立额外的 基金来平衡在现金流量上的随机变动性。用最简单的话而言，公司会通 过向投保人收取稍多些的保费，比预期保险金和费用的现值多些，来建 立额外基金，这意味着公司不得不在保费方面合并一笔附加费用或形成 一笔额外的利润。
40＝ a :20
(1.02) 20
20
) ＋ P′ a (2 40
R40 R60 20M 60 D40
P′＝0.571
所以1 000元的年金所应收保费为571元
超复利分红
原理：保险公司分配红利时并不仅仅以保单约定的基本给付额为基础计算红利， 而是在过去红利的基础上按复利形式计算出更高的红利。 红利构成： • 在初始给付额的基础上按利率计算的红利 • 对过去的红利按复利计算的红利 例子：证明保限期限为年的两全保险的单位保险给付在超复利分红情况下的预期 现值为：
隐含费用的实现方式： 通常这种额外利润是不允许的，一般采用调整精算计算 基础中某些假设的差异来代替隐含费用。 • 较低的利率假定 • 死亡率、费用
毛保费价值方程
毛保费的预期现值＝支出的保险金的预期现值 ＋支出的费用的预期现值
即 收入的预期现值＝支出的预期现值
毛保费的价值方举例
一个18岁的男性投保了一份养老金保险，按保单约定，在他60岁后可于每月初 领取1 000元的保险金，为此，他将于18～60岁期间的每月初缴纳保费。已知保 单的初始费用为月保费的60％加10元，续保费用每月为保费的10％；采用中国 人寿保险经验生命表（1990－1993）（男），利率按7.5％计算。计算他应缴纳 的月保费。 设应缴月保费为P元。根据题意，保险给付在 60岁时的预期现值为 (12 ) 60 a 1000×12 (12 ) 18 a :42 应缴保费在18岁时的预期现值为 P×12 (12 ) 18 a :42 发生的费用在18岁时的预期现值为 10％P×12 +50％ P＋10 价值方程为：
通货膨胀对费用的影响
每份保单的续期费用不会总保持它们开始时的水平，一般认为会上升，因为 寿险部门的经营费用会受物价和工资膨胀的影响。佣金占保费率的百分比，不会 受通货膨胀的影响。而核算每份保单保费的费用成本，很显然，需要对未来通货 膨胀率作出准确的估计。如果我们假定一个固定的未来每年通货膨胀率为j,则有：
一个固定值。
其他方式 :包括用一个固定常数或变化的系数乘以标准生
命表的各年龄死亡率。
分红保险的概念
保单持有人与保险公司分享投资利润，这种保单称为含利润 保单或分红保单。 分红保单和不分红保单的主要区别 :于给定的保费分红保单 所承诺的保险给付是较低的。保险公司希望所收取的保险费 在保险期间内通过投资能积累成更多的金额，除了足以支付 较低的保险给付(基本保额)和一些费用外，还可以把公司的 期末红利分配给保单持有人。 红利的类型 • 单利 • 复利 • 超复利
12 40 a :20≈12P
D 11 40 :20 1 60 a 24 D40
≈12P［13.772－0.4583(1－0.40902)］ ≈162.01P A40 :20 而给付的预期现值为: 20 000 ＝9 405.80 得： P＝58.06（元）
利润
定义：保单终止时（死亡或保单到期）保费 的价值减去保险给付与费用支出后的余值， 包含保单终止时已产生的利息。 利润的计算
利润=净保费收入的现值 －保险给付支出的现值
净保费价值方程应用举例 –例1
普通寿险保单的净保费
(1)如果被保险人在保单开始时为x岁，实际利率假定为，保险金额为S， 在保单有效期内每年初支付保费额为P。求下面两种保险保单的净保 费价值方程： (a) n年期定期寿险 (b) n年期生存保险 (2)采用A1967-1970终极表，计算上面(a)与(b)中的P，已知S＝10 000, x=39，n＝25，i＝4% (3)采用A1967-1970选择表，计算上面(a)与(b)中的S，已知P＝1 000, x＝20，n＝20，i＝4%
保费
保险费即投保人买各种保险而向保险人（保险公司） 一次性支付或多次支付的费用，简称保费。 保费的支付一般有以下几种方式
• 在保单生效时一次付清保费(趸缴保费) • 规定每年支付一定金额，保单生效时第一次支付，以后 一直持续到被保险人死亡或达到约定的最大保费额度， 常常即为保单约定的缴费期限(每年支付保费保单)。 • 一年多次支付确定的保费，通常每月支付一次，在被保 险人死亡或达到约定最大限额时停缴(月保费)。
单利形式的期末红利
原理：一个以单利计算的红利只适用于保险金额。如果我们设定b为固定水平的单利形式 的红利，基本保险金额为S。那么一个保险合同期内死亡的第1,2,…年支付的保险金额分别 是:S+bs，S+2bS，S+3bS，……，这里假设第一次分到的红利加在保单第一年的初始。
例子：一家寿险公司为一个35岁的人承保年缴保费的分红终身寿险，死亡时给 付保险金15 000元，保费缴纳期限为30年。为了计算被保险人每年应交的保费， 公司假定在承保第一年的初始给予一个以3%计算的单利形式的期末红利。死亡 率假定按生命表A1967-1970终极表计算，利率为4%。初始费用为第一年保费的 60%，续保费用为以后各年(包括第一年)保费的5%。试计算被保险人每年应交 保费。
Ax:n
i ' 1－ ×（
a ）＋ b
a Ax:n i' b
其中
i '＝
1 i 1 b-1
3
5 …］ q35 v 3.＋
复利形式的期末红利
原理：到期支付的保险给付总额也包括那些红利再投资而获得的红利 一份40岁开始的延期年金，从60岁起每半年期末支付一次，红利自一开始就有， 按复利2%计入，直至60岁。计算基础为A1967-1970终极表和利率4%、费率3%。 若年金开始前死亡则返还保费(无利息)，计算每年1 000元年金应付的年保费。 解：红利在60岁即停止增加，即红利只影响年金，令P′为每年1元年金应收 的 保费。 0.97P′ 解得