高考二项式定理题型归纳

六、二项式定理

一、指数函数运算

知识点：1 *)(N n a a a a a a

n n ∈⋅⋅= 个 )0(10≠=a a *),0(1N n a a a n

n

∈≠=-2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=⋅+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈⋅= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -② n b

a )(可看作n n

b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅=n n

b a 4、n m n

m

a a

= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞例题：

例1求值：43

32

13

2)81

16(,)41(,100,8---.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：

1） a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞43a a ⋅ 3）a a a

例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88

341n m 例4计算下列各式： );0()

1(32

2>a a

a a 435)12525)(2(÷-

例5化简：)()(4

14

12

12

1y x y x -÷-

例6 已知x+x -1

=3,求下列各式的值：.)2(,)1(2

32

32

12

1-

-

++x x x

x

二、二项式知识回顾

1. 二项式定理

0111

()n n n k n k k

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++

++

+,

以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k

k n

T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式）

0111

()(1)(1)n n n k k n k k

n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+

+-，1(1)k k n k k

k n T C a b -+=-

01(1)n k k

n n

n n n n x C C x C x C x +=++

+++ ① 01

11

(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++

++

+

1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②

① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01

2n n n

n n C C C +++=，即二项式系数和等于2n ；

偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即02

13

12n n

n n n C C C C -++=++

=

② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.

2. 二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m

n n C C -=. （2）二项式系数k

n C 增减性与最大值：

当12n k +<时，二项式系数是递增的；当1

2

n k +≥时，二项式系数是递减的.

当n 是偶数时，中间一项2n

n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n

C

-和12n n

C

+相等，且同时取得最大值.

三、考试类型 1、“n b a )(+展开式

例1．求4)13(x

x +的展开式；

解：原式=4

)1

3(

x

x +=24)13(x x +=])3()3()3()3([1

4

4

3

4

22

4

31

4

40

4

2C C

C

C

C

x x x x x ++++

=541

12848122++++x

x x x 【练习1】求4)13(x

x -的展开式

2.求展开式中的项 例2.已知在33()2n x x

-

的展开式中，第6项为常数项.

（1） 求n ； （2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.

3.二项展开式中的系数

已知*22)()n n N x

∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1. (1)求展开式中含32

x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.

4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数

72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；

5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 （04改编）3)21

(-+x

x 的展开式中，常数项是 ；

6、求中间项

例6求（103

)1

x

x -

的展开式的中间项；

解：,)1

()(310101r

r

r

r x

x T C -=-+ ∴展开式的中间项为

53

5510

)1()(x

x C

- 即：6

5252x

-。

当n 为奇数时，n

b a )(+的展开式的中间项是

2

12

121-+-n n n n

b

a C 和

2

12121+-+n n n n

b

a C

；

当n 为偶数时，n

b a )(+的展开式的中间项是

2

2

2n n n n

b a C

。