《2.3函数的单调性与最值》 学案

学习过程

一、复习预习

1、函数的概念

2、函数的三要素

3、函数的表示方法

二、知识讲解

考点1 函数的单调性

(1)单调函数的定义：

(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．

考点2 函数的最值

三、例题精析【例题1】

【题干】讨论函数f(x)＝ax

x2－1

(a>0)的单调性

【解析】由x 2－1≠0，得x ≠±1，即

定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)．

①当x ∈(－1,1)时，设－1

则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22

－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22

－1). ∵－1

∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.

又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，函数f (x )在(－1,1)上为减函数．

②设1

则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1

＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)

， ∵10，x 22－1>0，

x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0.

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数．又函数f(x)是奇函数，

∴f(x)在(－∞，－1)上是减函数.

【例题2】

【题干】求函数y＝x2＋x－6的单调区间

【解析】令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.

∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，

在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．

∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)

【例题3】

【题干】已知f(x)＝x

x－a

(x≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

【解析】]任设1

f(x1)－f(x2)＝

x1

x1－a

－

x2

x2－a

＝

a(x2－x1)

(x1－a)(x2－a)

.

∵a>0，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立．∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．

【例题4】

【题干】设函数f (x )＝x 2

－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围．

【解析】由题意知，x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫32，＋∞上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫32，＋∞上恒成立， 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，

所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，

解得m ≤－32或m ≥32.

即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫32，＋∞

四、课堂运用

【基础】

1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A ．y ＝ln(x ＋2)

B ．y ＝－x ＋1

C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x

D ．y ＝x ＋1x

2．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝

a

x＋1

在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()

A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1]

3．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ C ．(0，＋∞)

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12

【巩固】

4．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．

5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题： ①函数

f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数； ③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围

是a >1； ④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x 1＋x 22

其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．