2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(重庆卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试

重庆文科数学

数学试题卷(文史类)共4页.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项:

1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号.

3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.

5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2015重庆,文1)已知集合A={1,2,3},B={1,3},则A∩B=()

A.{2}

B.{1,2}

C.{1,3}

D.{1,2,3}

答案:C

解析:因为A={1,2,3},B={1,3},所以A∩B={1,3}.

2.(2015重庆,文2)“x=1”是“x2-2x+1=0”的()

A.充要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析:当x=1时,x2-2x+1=12-2×1+1=0;当x2-2x+1=0时,有(x-1)2=0,即x=1,故“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.

3.(2015重庆,文3)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是()

A.[-3,1]

B.(-3,1)

C.(-∞,-3]∪[1,+∞)

D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

答案:D

解析:要使函数有意义,应满足x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,故函数的定义域是(-∞,-3)∪(1,+∞).

4.(2015重庆,文4)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下:

则这组数据的中位数是()

A.19

B.20

C.21.5

D.23

答案:B

解析:由茎叶图知,这组数据的中位数是=20.

5.(2015重庆,文5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.+2π

B.

C. D.

答案:B

解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其中左边是半个圆锥,底面半径为1,高为1,所以其体积

V1=π·12·1·;右边是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以其体积V2=π·12·2=2π,故该几何体的体积为

V=V1+V2=+2π=.

6.(2015重庆,文6)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=()

A. B. C. D.

答案:A

解析:tan β=tan[(α+β)-α]=--

.

7.(2015重庆,文7)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()

A. B. C. D.

答案:C

解析:因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,即2|a|2+a·b=0.设a与b的夹角为θ,则有2|a|2+|a||b|cos θ=0.又|b|=4|a|,所以2|a|2+4|a|2cos θ=0,则cos θ=-,从而θ=.

8.(2015重庆,文8)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为()

A. B. C. D.

答案:D

解析:由程序框图可知,输出的s=,所以输出结果为.

9.(2015重庆,文9)设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()

A.±

B.±

C.±1

D.±

答案:C

解析:依题意知A1(-a,0),A2(a,0),F(c,0),不妨设点B在点F的上方,点C在点F的下方,

则B,C-,

因为A1B⊥A2C,所以·=-1.

而

-

--

--

--

,所以·-=-1,即

-

=-1,所以b4=a2b2,从而b2=a2,即

b=a,所以=1,故双曲线的渐近线的斜率为±1.

10.(2015重庆,文10)若不等式组

-

-

-

表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为()

A.-3

B.1

C.

D.3

答案:B

解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.

由-

-

解得则A(2,0).

由

-

-

解得

-

则B(1-m,1+m).

同理C-,M(-2m,0).

因为S△ABC=S△ABM-S△ACM=·(2+2m)·-,由已知得,解得m=1(m=-3<-1舍去).

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.

11.(2015重庆,文11)复数(1+2i)i的实部为.

答案:-2

解析:因为(1+2i)i=i+2i2=-2+i,所以其实部等于-2.

12.(2015重庆,文12)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为.

答案:x+2y-5=0

解析:设坐标原点为O,依题意,切线l与OP垂直,而k OP=2,所以k l=-,于是切线l的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.

13.(2015重庆,文13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则

c=.

答案:4

解析:由于3sin A=2sin B,根据正弦定理可得3a=2b,

又a=2,所以b=3.

于是由余弦定理可得c=---=4.

14.(2015重庆,文14)设a,b>0,a+b=5,则的最大值为.

答案:3

解析:因为a,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是,而()2=x+y+2x+y+(x+y)=18,所以3.此时x=y,即a+1=b+3,结合a+b=5可得

a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,的最大值为3.

15.(2015重庆,文15)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率

为.

答案:

解析:当方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1和x2时,应有--

-

-

解得

或

所以

.

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分13分,(1)小问7分,(2)小问6分)

(2015重庆,文16)已知等差数列{a n}满足a3=2,前3项和S3=.

(1)求{a n}的通项公式;

(2)设等比数列{b n}满足b1=a1,b4=a15,求{b n}的前n项和T n.

解:(1)设{a n}的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+d=,

化简得a1+2d=2,a1+d=,

解得a1=1,d=,

故通项公式a n=1+-,即a n=.

(2)由(1)得b1=1,b4=a15==8.

设{b n}的公比为q,则q3==8,从而q=2,

故{b n}的前n项和T n=-

-

-

-

=2n-1.

17.(本小题满分13分,(1)小问10分,(2)小问3分)

(2015重庆,文17)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表: