典型方程和定解条件的推导1

2
x dx
3、忽略与近似

T cos T cos 0 T sin T sin ds g ds u
于是（1）式变为：
(1) (2)
tt
对于小振动：
0 ; 0
所以有：
T T
（2）式变为：
cos 1 ; cos 1
i v v v C C ( dx ) Gv G dx 0 x t t x x
2
v v (v dx) (Gdx)(v dx) t x x i i ( x, t ) dx ，整理后得到： x i ( x, t ) (Cdx)
u T ds(u g ) x
x t t
一般说来，
u g
t t
x
将 g 略去，得
x dx
u T ds u x
t t
于是左下角式变为：
考虑到角度很小， 近似地与 u 无关：
ds dx
u T( x
x dx
u ) dx u x
x
t t
3、忽略与近似
j
v
j dj
v dv
x
x dx
j dv Rdxj Ldx t dj Gdxv (Cdxv) t
v (R L ) j 0 x t 亦即 j (G C )v 0 t x
j j j LC 0 t t x
第一章
§
一些典型方程和定解条件的推导
不含初始条件 不含边界条件
1.1 基本方程（泛定方程）的建立 物理模型 （现象、过程）
数学形式表述 （偏微分方程并求解）
目的：掌握基本分析方法，培养归纳、综合、抽象、猜测、试探、演绎的科学素质。
步骤：（1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；
（2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律， 分析其与相邻部分间的作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化简整理，得到偏微分方程。
duC iC C dt
x
数学物理方程与特殊函数

Gdx v dx x
输出端
x dx
di u L dt
L
由基尔霍夫电压定律:
U R U L v (v
v dx ) x
Rdx i Ldx
i v dx t x
由基尔霍夫电流定律:
Rdx
+ - v ( x, t )
Ldx
i ( x, t )
P
＋ ● －
i + di
C L
i i di
1、建立坐标系
Cdx
●
Gdx C
– v dv
L
时刻 t 电路中的瞬时电流
选定微元
2、微元的电路方程
x
数学物理方程与特殊函数
x dx
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以R，L，C，G。于是
sin tg u tg 1 tg x
2 x
tg u sin tg 1 tg x
2
T sin T sin ds(u g) u u T T ds(u g ) x x
tt
x dx x t t
u M'
(1) (2)
tt
T’
ds
M
'

T
o N x
ds.g
N’ x+dx X
数学物理方程与特殊函数
3、忽略与近似
T cos T cos 0 T sin T sin ds g ds u
(1) (2)

tt
对于小振动：
u
0 ; 0
C
C
q Cu dq d (Cu) du i C dt dt dt q idt
电感元件：
di L uL L dt
dL uL dt L Li di uL L dt 1 i udt L
换路定理:
在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
数学物理方程与特殊函数
所以有：
T’
ds
M
M'
'
2
cos 1 ; cos 1
2
1 tg sec

T
o N x
ds.g
N’ x+dx
1 1 cos
2
x
tg u sin tg 1 tg x
2
tg u sin tg 1 tg x
二. 传输线方程(电报方程)的建立 与同学们商榷的几个问题：（P4-5） （1）设某时刻 t ，输入与输出端的对应关系是否合理? （2）电流
i 作为初始条件，在流经电感时是否要变化？
v i (i di ) Cdx Gdx v t
（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5. -1.5式）？ “另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即 P——电路的节点？
选定微元
2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T、T ’——微元两端所受张力

g
——细弦的线密度（单
4、整理化简
位长度内的质量
——重力加速度
u
T’
ds
M
M'
'
Fra Baidu bibliotek

T
o N x
ds.g
N’ x+dx X
数学物理方程与特殊函数
1、建立坐标系
选定微元
2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T cos T cos 0 T sin T sin ds g ds u
v i L Ri 0 x t
流入
v v i ( x, t ) (Cdx) (v dx) (Gdx)(v dx) t x x i i ( x, t ) dx 流出 x
电感上的电压：
i x, t
+ v x, t v v dx x Cdx t
输入端
v i dx i dx 右端: x dx v x x
i x, t
+ v x, t v v dx x Cdx t

i + i dx ＋ Lx L C – v － v dx C v x
t t
Tu u x t
2 2 2 2
令
T

a
2
，于是有：
a u u
2 xx
tt
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
物理状态描述: 对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff） 定律指出：同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未 高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能 被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。 现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体 , 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G 表示。
二. 传输线方程(电报方程)的建立 设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻 R、电感 L、电容 C 和 电导 G 是按单位长度计算其对应的物理量，并且在 x+dx 范围之内的所有元 件无论布局如何，均认为其长度为 dx. 设某时刻 t ，对应关系如下： 左端：x v x , t i x , t ；
(1.4)
i v C Gv 0 x t
(1.5)
联立上述两个方程（代入消元法），注意假定
v与i
都对 x , t 是二次
连续可微的，即可得到：
i i a 2 2 x t
2 2 2
a i xx i t t
2
a 2 2 x t
2 2 2
数学物理方程与特殊函数

i + i dx x ＋ L L C – v － v dx C v x
di u L dt
L
x
数学物理方程与特殊函数

Gdx v dx x
电容上的电流：
x dx
du i C dt
C
C
由基尔霍夫电压定律:
由基尔霍夫电流定律:
v i L Ri 0 x t
数学物理方程与特殊函数
一. 均匀弦的横振动方程的建立
平衡位置
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿 直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影 响，在铅直平面内作横向、微小振动。 任意截取一小段，并抽象性夸大。
弦的振动：虽然经典，但 数学物理方程与特殊函数 极具启发性。
1、建立坐标系 3、忽略与近似
2 2
2 2 2 2
亦即
v j Rj L x t j v Gv C x t
将 G C
作用于第一式, 作用于第二式,两结果相减,就消去了 v 而得 j 的方程 t t 2 2
RGj ( LG RC )
同理,消去
j
,得到 v 的方程
v v v RGv ( LG RC ) LC 0 t t x
D E B H J E
: 介质的介电常数 : 导磁率 : 导电率
Laplace operator :
2
J : 传导电流的面密度
: 电荷的体密度
2 2 2 2 2 2 x y z
Vector difference operator
C L

－
–
i dx Lx
电感上的电压：
x
数学物理方程与特殊函数

v Gdx v dx x

C
v v dx x
di u L dt
L
电容上的电流：
x dx
du i C dt
c
c
由基尔霍夫电压定律:
由基尔霍夫电流定律:
v i L Ri 0 x t
x dx
u T x

一般说来，
u g
t t
x
将 g 略去。
x dx
u T ds(u g ) x
t t
3、忽略与近似
于是（1）式变为：
T T
（2）式变为：
T sin T sin ds(u g)
tt

u T x u T x
x dx
Hamilton operator :
i j k x y z
D 由 rotH J t J E 代入上式，得 将 D E E rotH E t
目标: 利用上述关系,分别解出 H 、E 。
a xx t t
2
1 其中 a LC
2
例3. 电磁场方程 基本电磁场量 场的物质方程 Maxwell方程 B rotE t D rotH J t divD
divB 0
电场强度 E 磁场强度 H 电感应强度 D 磁感应强度 B
Rdx
+
Ldx
i ( x, t )
P
＋ ● －
i + di
C L
i i di
L
时刻 t 电路中的瞬时电流
1、建立坐标系 选定微元
P——电路的节点
v( x.t )
Cdx
– Gdx C v dv
x
数学物理方程与特殊函数
●
2、微元的电路方程
x dx
电路准备知识
电容元件：
du i C dt
i v C Gv 0 t 穷小量得： x
i v v v C C dx Gv G dx 0 x t tx x
，略去高阶无
i x, t
v -x , t
+
v v dx x Cdx t
＋
+ i
u T( x
x dx
u ) dx u x
x
t t
上式实际上可以明确表示为：
u( x dx , t ) u( x , t ) T dx u x x
t t
u T dx dx u x x
这里表示：自变量由 x 增加 到 x+dx 时，函数的增量。 既然 dx 很小，这个这个增量 不妨用微分带代替。