第05讲 应力张量

xy y

xz yz




x yx
m
xy y m
xz yz


m

0
0
m
0
0

zx zy z zx
zy z m 0 0 m
ij 'ij m
称为张量。
张量的概念
3、张量的性质
（1）张量的分量一定可以组成某些函数f(Tij),这些函数的值
不随坐标而变。即 f (Tij ) f (Tkl)
（2）同阶张量各对应分量之和或差为另一同阶张量。
（3）二阶张量T，若TT=T，则称为对称张量，若TT=--T，
则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和
l2 m2 n2 1
3、应力不变量
主应力
3 J1 2 J2 J3 0
对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即 J1,J2,J3是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。所以J1,J2,J3分 别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。
主应力
4、主轴坐标系统
主应力
1、主应力的求解
旋转坐标轴，使Q点的斜面ABC
正好是主平面(τ=0),则斜面上 全应力S就是正应力σ(σ=S)。
S在三轴上的投影
SSyx
l m
S z n
以l,m,n为未知数的齐次线性 方程组。其解有二。
S S
x y
xl yxm zxn xyl ym zyn
以主方向为坐标轴的坐标系统：
1 0 0
ij


0
2
0

0 0 3
S1 1l, S2 2n, S3 3m S 2 (1l)2 ( 2n)2 ( 3m)2
xl 2 ym2 zn2 2( xylm yzmn zxnl) 1l 2 2m2 3n2
2 S 2 2 S12 S22 S32 2

12l 2
22m2


2 3
n2

(1 l 2
2 m2
3 n2 )2
应力椭球体
1、应力椭球体
S1 1l, S2 2m, S3 3n
l S1 , m S2 , n S3
a) l=m=n=0, 不满足l2+m2+n2=1的条件，此平面不存在。
b) 齐次线性方程级有非零解的充要条件是：系数行列式Δ=0,即
x xy xz
yx y
yz
zx zy 0 z
3

( x

y
z )
2
[ x y

y z
1 9 2 3 3 3 3 3
(xylx

)l ( y
yxm )m


zx zy
n n

0 0
xzl yzm ( z )n 0
-5l 2m 3n 0

2l-3m n 0
3l m-4n 0
解得三个根即主应力σ1，σ2和σ3
应力状态 特征方程
(xylx

)l ( y
yxm )m


zx zy
n n

0 0
xzl yzm ( z )n 0
解得三个根即主方向l、m、n。
l2 m2 n2 1
主应力
4 2 3
3阶张量
张量的概念
2、张量的概念
标量：一个数，当坐标变换时，(xi)= ’(xi’)，即不依赖 于坐标，则定义为标量——零阶张量。
矢量：三个数的集合，当坐标变换时，根据式ai’=Mi’iai,由 a1,a2,a3变为a1’,a2’,a3’，则此三个分量定义为矢量——一阶
张量。
张量：32个数的集合，当坐标变换时，根据式Ti’j’=Mi’i Mj’jTij,由Tij变为Ti’j’，则此九个分量定义为二阶张量——简
应力张量的分解
J1 x' y ' z ' ( x m) ( y m) ( z m) 0
J2

(
x '
y '
y '
z '
z
' x')


2 xy

2 yz

2 zx

1 6
[(
x

y
)2

(
y

z
)2

(
z

x
)2

6(
xz

yz

zx zy z • • z
二阶对称 张量
主应力
1、主应力的概念
表示同一点Q的应力状态可以任选坐标轴，但其9
个分量相应改变，若选一特殊方向，使坐标面τ=0。
此平面一定存在，这是应力张量的特性。
主平面——切应力为零的微分面 主应力——主平面上的正应力 主方向——主平面的法线方向（主应力方向）
423 J3 2 6 1 120 6 6 20 4 54
315
3 15 2 60 54 0
主应力
4 2 3
ij 2 6 1
3 1 5
(4 9)l 2m 3n 0

2l

(6

9)m

n

0
3l m (5 9)n 0
2 xy

2 yz

2 zx
)]
x ' xy xz J3 yx y ' yz
zx zy z '
应力张量的分解
小结
1. 应力张量的理解 2. 主应力的求解 3. 主应力简图 4. 应力张量的分解
ij m 应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生
体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，
各方向都是主方向。
ij ' ——应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应
力分量、主切应力、最大正应力及主轴同原σij，二阶对称
张量，同样存在三个不变量J1' ,J2' ,J3'
z

2
xy
yz
zx

(
x
2 yz


y
2 zx


z
2 xy
)]

0
J1 x y z
J2

( x
y

y
z
z x )


2 xy

2 yz


2 zx
J3


x
y
z

2
xy
yz
zx

(
x
2 yz

y
2 zx

z
2 xy
)
3 J1 2 J2 J3 0
主应力简图
受力物体内一点的应力状态，可用作用在应 力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数 及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。 一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负 号，并不表明所作用应力的大小。
应力张量的分解
平均应力:

m

1 (
3
x

y

z)

1 3
(1

2
3)
1
1
1
一个反对称张量之和。 pij pij 2 ( p ji p ji ) 2 ( pij p ji ) 2 ( pij p ji )
（4）2阶对称张量存在三个主轴和三个主值；张量角标不 同的分量都为零时的坐标轴方向为主轴，三个角标相同的分 量为值。
张量的概念
4、应力张量

S
z
xzl

yzm zn
(xyxl

)l ( y
yxm )m


zx zy
n n

0 0
xzl yzm ( z )n 0
主应力
( x )l yxm zxn 0 xyl ( y )m zyn 0 xzl yzm ( z )n 0
ij 2 6 1
3 1 5
J1 x y z 4 6 5 15
J2

(
x
y

y
z

z
x)

2 xy

2 yz

2 zx
(24 30 20) 4 1 9 60
( 9)( 2 6 6) 0 1 9 2 3 3 3 3 3
1
2
3
又 l2 m2 n2 1
S1122

S22

2 2

S32

2 3
1
椭球面方程，其主半轴的长度分 别为σ1，σ2，σ3。——称应力椭球 面。它是任意斜面全应力矢量S端 点的轨迹。
应力椭球体
2、应力状态的分类
a）若σ1≠σ2≠σ3≠0——三向应力状态。 b）若σ1≠σ2≠0,σ3=0——二向应力状态。 c）若σ1≠0;σ2=σ3=0——单向应力状态。 d）若σ1≠σ2=σ3——圆柱应力状态（包括单向应力状态）。⊥ σ1 的方向均为主方向。 e）若σ1=σ2=σ3——球应力（静水应力）状态。τ≡0,各方向均 为主方向。
金属塑性成型原理
机电工程学院 王忠雷
第三章 金属塑性变形的力学基础
第一节 应力分析
第二讲 应力张量
张量的概念 主应力
应力椭球体 主应力简图 应力分解
张量的概念
1、物理量的表示
名称 标量 矢量
张量
性质
大小没方向 大小、方向
三个方向面都有矢量
分量
30 31
32
三个方向面都有张量
33
0阶张量 1阶张量 2阶张量

J1 3
σm 为不变量,与坐标无关。三个正应力分量可写成：
x ( x m ) m x ' m y ( y m ) m y ' m
z ( z m ) m z ' m
应力张量的分解
ij yxx
应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化 时按一定的规律变化，其变换关系符合张量之定义，因 此，表示点的应力状态的9个分量构成一个二阶张量，称 为应力张量。
一点的应力状态可以借用矩阵以张量σij表示：
ij yxx
xy y

xz yz


x

•
xy y
z x

(
2 xy

2 yz


2 zx
)]
[ x
y z

2 xy yz zx

( x
2 yz

2
y zx
z
2 xy
)]

0
主应力

3

(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x

y

z
)
2
[
x
y

y
z


z
x

(
2 xy

2 yz

2 zx
)]
[
x
y