第05讲 应力张量
应力张量分量
应力张量分量引言应力张量分量是应力张量在一个特定的坐标系下的分量表示。
应力张量分量的理解对于材料科学和工程领域的应力分析具有重要意义。
在本文中，我们将了解应力张量的定义、表示方式、在不同坐标系下证明应力张量分量的变换规律以及一些应力分析方面的实际应用。
应力张量的定义应力张量是具有三个独立的分量的二阶张量，用于描述固体和液体中的应力状态。
应力可以理解为物体内部的力分布，因此应力张量可以表示为：σ = [σ11 σ12 σ13] [σ21 σ22σ23] [σ31σ32 σ33]其中，σ11、σ22 和σ33 表示沿着 x、y 和 z 轴的压力或拉力，σ12、σ13 和σ23 表示剪应力（或剪切应力）。
应力张量的表示方式为了确定应力张量的分量表示，我们需要选择一个参考坐标系。
在二维情况下，我们通常选择笛卡尔坐标系，其中坐标轴为 x 和 y。
在三维情况下，我们则使用三维笛卡尔坐标系，其中坐标轴为 x、y 和 z。
对于一个在一个给定坐标系下的应力张量，我们可以通过求解六个应力分量来表示它。
为了简化表示，通常使用下面的符号：σxx = σ11 σyy= σ22 σzz = σ33 σxy = σyx = σ12 σxz = σzx = σ13 σyz = σzy = σ23在这种表示方式下，σij 表示在 i 方向上对 j 方向的拉力或剪切力（也可以反过来表示）。
坐标系之间的转化当我们考虑不同的坐标系时，应力张量的表示会发生变化。
考虑两个不同的笛卡尔坐标系（原始坐标系和目标坐标系），它们的坐标轴可以写为以下矩阵的形式：[x'] [a11 a12 a13] [x] [y'] = [a21 a22 a23] [y] [z'] [a31 a32 a33] [z]其中，矩阵中的每个元素表示从目标坐标系中的一个坐标轴到原始坐标系中的相应坐标轴的投影。
为了推导出应力张量在不同坐标系下的表示，我们需要考虑以下事实：应力张量是下面这种形式的：σ = [ σxx σxy σxz] [ σxy σyyσyz] [ σxz σyz σzz]假设我们有一个 $n$ 维张量 $A$，其分量与坐标系之间的变换是 $A_{ij}^{'} = a_{ik} a_{jl} A_{kl}$。
应力张量的概念及其应用PPT课件
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
vd
1 6 E (1 2 )2 (2 3 )2 (3 1 )2
v v
16 E 2(123)2
vd vv v
重要应用实例
承受内压薄壁容器任意点的应力状态
重要应用实例
m t l
m
m(p D)
Ｄ
m
p
pp D 2
４
Ｄ
pDl
p
t t (2 l ) t
应力张量的概念及其应用
1。应力张量及其不变量 2。应变张量及其不变量 3。广义胡克定理
1。应力张量及其不变量
一、张量的概念
自然界的物质的性质和规律是一种客观存在， 不受描述它的方法的影响。
数学方法描述时，会引入坐标系。不同的坐 标系的选择，会使问题简单化或复杂化。
希望有某些数学量在描述物理现象时，尽量 摆脱具体坐标系的影响。
应力和应变是二阶张量
1。应力张量及其不变量
二、一点的应力状态表示
用二阶张量在x, y, z 坐标系表示
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
或写成：
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
1。应力张量及其不变量
仍选用直角坐标系，坐标轴写成 x1, x2, x3 采用张量下标记号法：
)
广义胡克定律，应变能密度
应变能密度
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
1、微元应变能(Strain Energy)
2
1dydz~1dx
dy
1 2dxdz~2dy
dz 3 dx
3dydx~3dz
广义胡克定律，应变能密度 应变能密度
第05讲-应力张量
主方向——主平面的法线方向（主应力方向）
主应力
1、主应力的求解
旋转坐标轴，使Q点的斜面ABC 正好是主平面(τ=0),则斜面上 全应力S就是正应力σ(σ=S)。
S在三轴上的投影
S x l S y m S n z
主应力简图
受力物体内一点的应力状态，可用作用在应 力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数 及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。 一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负 号，并不表明所作用应力的大小。
应力张量的分解
平均应力:
m ( x y z ) ( 1 2 3 )
x xy xz x xy xz ij yx y yz y yz zx zy z z
二阶对称 张量
主应力
1、主应力的概念
表示同一点Q的应力状态可以任选坐标轴，但其9 个分量相应改变，若选一特殊方向，使坐标面τ=0。 此平面一定存在，这是应力张量的特性。
应力椭球体
1、应力椭球体
S1 1l , S2 2m, S3 3n
l
1
S1
,m
2
S2
,n
3
S3
又 l 2 m2 n 2 1
2 1
2 S1
2 2
2 S2
2 3
2 S3
1 椭球面方程，其主半轴的长度分
别为σ1，σ2，σ3。——称应力椭球 面。它是任意斜面全应力矢量S端 点的轨迹。
应力张量的分解
J1 x ' y ' z ' ( x m ) ( y m ) ( z m ) 0
塑性力学课件 应力应变状态 考试必备
因此，已知一点的应力张量，求该点的主应 因此，已知一点的应力张量， 力和主方向的步骤为： 力和主方向的步骤为： （1）将各应力分量代入（2—11），求出应力 不变量。 （2）将应力不变量代入（2—10），解方程求 出三个主应力。 （3）以任一个主应力σj（j = 1，2，3） 1， 代入（ 三个方程只有两个独立， 代入 （ 2—7） ，三个方程只有两个独立， 利用其中 7 三个方程只有两个独立 的任意两个方程与（ 2—8 ） 联立可解出主应力 j 的任意两个方程与 （ 8 联立可 解出主应力σ 解出主应力 （j = 1，2，3）的方向余弦，从而确定σj 所在的 ， ， ）的方向余弦， 主平面的方位。 主平面的方位。
（2—18）
J1，J2，J3表示应力偏张量的第一、第二、第 应力偏张量的第一、 应力偏张量的第一 第二、 三不变量。 三不变量。
轴方向和主轴重合时有： 当x，y，z轴方向和主轴重合时有 ， ， 轴方向和主轴重合时有
J1 = 0 1 2 2 2 J 2 = [(σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ] 6 J 3 = s1s2 s3
I 3 = σ xσ yσ z + 2τ xyτ yzτ zx − σ τ − σ τ − σ τ
2 z yz 2 y zx
2 z xy
= 0。
主应力方程为： σ 3 − I1σ 2 − I 2σ − I 3 = 0。 主应力方程为： σ 3 − 2τ 2σ = 0。 即 分解因式得： 分解因式得： σ (σ + 2τ )(σ − 2τ ) = 0。 解得： 解得： σ 1 = 0, σ 2 = 2τ , σ 3 = − 2τ。
（2—22） 20） 21） 22） 将（2—20）、（2—21）、（2—22）代入（2— 20 21 22 代入（ 18） 18）得：
应力张量和应变张量的关系
应力张量和应变张量的关系在物理和工程的世界里，有两个小伙伴总是形影不离，那就是应力张量和应变张量。
就像老鼠和米饭，或者说是鱼和水，这俩家伙其实是相辅相成的，缺一不可。
今天咱们就来聊聊这两位的关系，顺便让这话题变得轻松有趣，让大家听了觉得“这还真有意思！”1. 应力张量——你能忍受多少压力？1.1 什么是应力张量？应力张量嘛，可以简单理解为“压力的图谱”。
想象一下，你在参加一场拔河比赛，另一边的人使劲拉，你的手臂就会感受到拉力。
这个拉力就是应力。
如果我们把这个感觉用一个数学对象来表示，那就是应力张量。
它可以告诉我们在一个物体内部，各个方向上受到了多大的压力。
1.2 应力的分类应力可不是单一的，它分成好几种，像是“拉应力”、“压应力”和“剪应力”。
拉应力就像你拉一根橡皮筋，越拉越长；压应力则像是在面团上用力按，面团就变扁了。
至于剪应力嘛，想象一下你在切水果，刀子刮过的地方就是受到剪应力的地方。
通过这些应力，我们就能感受到物体内部的变化和状态。
2. 应变张量——变形的小精灵2.1 应变张量的概念说到应变张量，它就像是应力张量的反应者，专门负责记录物体是如何变形的。
用个简单的比喻来说，假如应力是拉面师傅的力量，那么应变就是拉出来的面条。
面条在拉伸的过程中，变长了，变细了，这就是应变在作怪。
2.2 应变的种类应变同样有多种形式，比如“拉伸应变”、“压缩应变”和“剪切应变”。
拉伸应变就像你把橡皮筋拉得细细的，压缩应变就像把一个泡沫压扁，而剪切应变就像你用力划过一块巧克力，让它变得不平整。
这些变形的形式让我们对材料的性能有了更深的理解。
3. 应力与应变——亲密无间的关系3.1 他们是好朋友说到应力和应变的关系，其实就是一个因果关系。
就像是“打虎亲兄弟，上阵父子兵”，应力会导致应变的发生。
你想啊，当一个物体受到外力作用时，它肯定会有所反应，这个反应就是应变。
这就像你被朋友拉着走，脚步肯定要跟着他的节奏走，这样才能保持平衡。
应力状态与应力张量
⎡ Sx ⎢ Sij = σ ij -σ mδ ij = ⎢ S yx ⎢ ⎣ S zx
Sxy Sy S zy
Sxz ⎤ ⎡ Sx τ xy τ xz ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ S yz ⎥ = ⎢τ xz S y τ yz ⎥ Sz ⎥ ⎦ ⎢ ⎣τ zx τ zy S z ⎥ ⎦
三 应力空间
如果我们将 σ 1 、 σ 2 、 σ 3 取为三个相互垂直的直角坐标轴而构成一空间直角坐标系，则 该空间中任一点的三个坐标值就相应于物体某点应力状态的三个主应力的数值，也就是说。 该空间中的一点对应于物体某点的应力状态。 我们就把这个空间称为应力空间。 如图 2-6 所 示， P 点的坐标为 （σ 1 σ 2 σ 3 ） ， 这个应力状态可写为三个矢量 OP 1 (σ 1 ) , OP2 (σ 2 ) , OP 3 (σ 3 ) 的矢量和。
它的三个面分别与 x,y,z 三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线 N，其方向余弦为 l,m,n。分别以 dF 、 dFx 、 dFy 、 dFz 代表 abc 、obc 、oac、 oab 三角形面积。
dFx = ldF ⎫ ⎪ dFy = mdF ⎬ ⎪ dFz = ndF ⎭
（1.2）
在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面 abc 上有合应力 PN , 它可分解为正应力
设三个正应力的平均值为平均应力，用 σ m 表示
1 1 σ m = (σ x + σ y + σ z ) = (σ1 + σ 2 + σ 3 ) 3 3
于是 σ x = σ m + (σ x − σm )
σ y = σ m + (σ y − σm )
σ z = σ m + (σ z − σ m )
cauchy应力张量
cauchy应力张量
摘要：
1. Cauchy 应力张量的定义
2. Cauchy 应力张量的性质
3. Cauchy 应力张量的应用
正文：
Cauchy 应力张量是连续体力学中的一个重要概念，它是描述物质内部应力分布的张量。
Cauchy 应力张量的定义为：在一个特定的点上，作用在微小面积上的力除以这个面积的大小。
Cauchy 应力张量具有一些重要的性质，包括：1）它是一个对称张量，即应力张量的转置等于它本身；2）它是一个正定张量，即应力张量的任意主轴上的元素都是正的。
Cauchy 应力张量在连续体力学中有广泛的应用，包括：1）在固体力学中，它可以用来描述固体的应力分布，从而可以用来预测固体的形变和破裂；2）在流体力学中，它可以用来描述流体中的应力分布，从而可以用来预测流体的运动和压力分布。
6第04章应变分析(第05讲)
二. 应变状态的坐标变换
设一点的应变状态在 Oxyz 坐标系下的应变张量为εij ， 旋转后的坐标系为 Ox′y′z′ ，两坐标系间的方向余弦为lij ，则
εi ′j ′ = εij li ′i l j ′j
三. 主应变、主方向
设一点的应变状态为εij，过此点可作任意组三向正交线元，
=
∂w ∂x
l1
+
∂w ∂y
l2
+
∂w ∂z
l3
u' =
u+
∂u dx + ∂x
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂u ∂y
+
∂v ∂x
⎟⎟⎠⎞dy
+
1 2
⎜⎛ ⎝
∂u ∂z
+
∂w ∂x
⎟⎞dz ⎠
+
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂u ∂y
−
∂v ∂x
⎟⎟⎠⎞dy
+
1 2
⎜⎛ ⎝
∂u ∂z
−
∂w ∂x
⎟⎞dz ⎠
= u + ε xdx + ε xydy + ε xzdz-ωxydy + ωxzdz
x - ε0
1 2
γ
yx
1 2
γ
zx
1 2
γ xy
εy - ε0
1 2
γ zy
1 2
γ
xz
⎤ ⎥ ⎥
1 2
γ
yz
⎥ ⎥
⎥
εz−ε0⎥ Nhomakorabea⎥⎦• 球应变张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没 有形状畸变；
张量和应力张量解析
ijlil j
i, j x, y, z
– 例2
Tx x l yx m zx n Ty xy l y m zy n Tz xz l yz m z n
Tj ij li
i, j x, y, z
1.2 求和约定
• 求和约定：如果在算式的某一项中有某个角 标重复出现，就表示要对该角标自1～n的所 有元素求和。 • 例
Ax By Cz p – 空间中的平面方程为： – 采用角标符号
• A、B、C→a1、a2、a3 → ai(i=1，2，3) • x，y，z → xi(i=1，2，3)
– 上式可写成：
a1 x1 a2 x2 a3 x3 ai xi p
i 1
3
– 采用求和约定则可简记为：ai xi p i 1,2,3
• 求和约定-合并例
– 例1
x l 2 y m 2 z n 2 2 xy lm yz mn z 1.1 角标符号
• 1.2 求和约定
• 1.3 张量的基本概念
• 1.4 张量的某些基本性质
1.1 角标符号
• 带有下角标的符号称为角标符号，可用来表 示成组的符号或数组。 • 例：
– 直角坐标系的三根轴
• x、y、z→x1、x2、x3 → xi(i=1，2，3)；
– 空间直线的方向余弦
y a11 x11 a12 x12 a13 x13 a21 x21 a22 x22 a23 x23 a31 x31 a32 x32 a33 x33
y1 a1 x11 a2 x12 a3 x13 y2 a1 x21 a2 x22 a3 x23 y3 a1 x31 a2 x32 a3 x33
有限元法2011应力张量
V
V
[r ( σ f u&&) kjekjiei ]dV 0
V
0
kjekjieidV 0
V
V的任意性
kjekjiei ( 23 32 )e1 ( 31 13 )e2 (12 21)e3 0
即
ij ji
（13)
应力张量是对称的，九个应力分量中只有六个是独立的。这一结
2 2j n j
4 n
jnj
2n
j
(
2 j
2
j n )
式(c)为 即
n j
(nini 1) n j
2nj
nj
(
2 j
2
j
n
)
0
（对j不求和）
n1
(
2 1
21
n
)
0
n2
(
2 2
2
2
n
)
0
(d)
n3
(
2 3
2 3
n
)
0
n是单位矢量, 若ni全不为零
12 21n 0,
2 2
2
2
n
0,
2 3
2 n
12 (n12
n22
)
2 3
n32
[1(n12
n22 ) 3n32 ]2
12 (1
n32 )
n2 2
33
[1 (1
n32 )
3n32 ]2
(a)x3令ຫໍສະໝຸດ 2 n0得
n3 1 2
45 45
n3
由 nini 1
n12 n22 1 2
x2
n
1
3
2
张量和应力张量PPT课件
1.1 角标符号
• 带有下角标的符号称为角标符号，可用来表 示成组的符号或数组。
• 例：
– 直角坐标系的三根轴
• x、y、z→x1、x2、x3 → xi(i=1，2，3)；
– 空间直线的方向余弦
• l、m、n → lx、ly、lz → li(i=x，y，z)；
– 表示一点应力状态的九个应力分量
• σxx、σxy… → σij(i，j=x，y，z)；
a11b32
x13
a12b32 x23
a13b32
x33
y13
y33
1.3 张量的基本概念
• 只需一个实数就可以表示出来简单的物理量称为 标量。例如距离、时间、温度等。
• 需用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量称 为矢量。 例如位移、速度、力等。
• 对于复杂的物理量，例如应力状态、应变状态等， 需要用空间坐标系中的三个矢量(也即九个分量) 才能完整地表示出来，这就是张量。
• 张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义为： 由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所 组成的集合称为张量。
• 物理量P
– 在j=1空，间2，坐3标)；系xi (i=1，2，3)中存在九个分量Pij (i，
– 在新空间坐标系 xk(k=1’，2’，3’)中存在九个新 分量Pkr(k，r=1’，2’，3’)。
1.5 应力张量
• 外力确定后，受力物体内任意点的应力状态即已 确定。但表示该点应力状态的各个分量在不同坐 标系中将有不同的数值，因此在不同坐标系中该 点的应力分量之间应该存在一定的关系。
• 设受力物体内一点的应力状态为： – 在xi(i=x，y，z)坐标系中为σij(i，j=x，y，z)；
– 在xk (k=x’，y’，z’)坐标系中为σkr(k，r=x’，y’，
第五章-应力张量-应变张量与应力应变关系
x
y
将旧系下的矢量分量
向新系坐标
投影可得矢量
在新坐标系下的分量
进一步可表为
令 则式（5-12）可简记为
（5-12）
这就是矢量的坐标变换公式。此式在三维空间中 同样成立，这时取
（5-12）
2. 笛卡尔张量
上面证明了，同一矢量，当坐标旋转时，其分量 之间满足关系式（5-12）。下面我们将证明如果 分量间满足关系（5-12），则它们表示同一矢量。
为张量
的主值， 为张量 的主方向。
求应力张量主应力及其相应的主方向的方法就可 以用来求任意二阶张量的主值和主方向 。
§5-5 物体内无限邻近两点位置 的变化 转动张量
在§2-4中，我们曾指出，物体的位形应由三部分 组成：物体的整体刚体位移，单元的变形以及由 相邻单元变形引起的本单元的方位的变化。
为三阶张量，
为二阶张量，其外积为
缩并，为
用不变性的形式记为
（5）张量对坐标的导数
在笛卡尔直角坐标系中，张量对坐标的导数 仍然是张量，且为比原张量高一阶的张量。
由坐标变换关系：
（1）
设 为三阶张量，在转轴以后的新 坐标系下为
分别称为应力张量的第一、第二、 第三不变量。
主应力的几个重要性质：
（1）主应力为实数
（2）主方向的正交性
设与主应力
对应的主方向为
如果
则
这表明，三个主方向是相互正交的。
如果
则
表明
的方向同时与 和 方向垂直；
而
位移矢量、力矢量都是一阶张量。
在§5-1中，已知坐标旋转变换时，新、旧系下 应力分量之间的坐标转换公式为
应力与应力张量二
面力边界条件描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是静力学可能的平衡。
真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足
变形连续条件。
位移边界条件 边界位移已知——位移边界Su
uu vu ww
位移边界条件就是弹性体表面的变形协调
弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等
混合边界条件 弹性体边界
t zx
t zy
s
z
s 31
s 32
s 33
•应该注意—— •应力分量是标量 •箭头仅是说明方向
二、 平衡微分方程
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
微分平行六面体单元
平衡微分方程
s x
x
t yx
y
t zx
z
Fbx
0
t xy
x
s y
y
t zy
z
Fby
0
t z
x
t yz
y
s z
z
Fbz
0
切应力互等定理
s ij s ji
s ij ,i Fbj 0
三、 应力状态
如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 1.应力张量可以描述其它应力参数； 2. 坐标变换与应力张量关系； 3. 最大应力及其方位的确定。
•任意斜截面的应力
•转轴公式
s i` j` s ijnii`n jj`
•——应力分量满足张量变化规则
•应力张量为二阶对称张量
•转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量 可通过原坐标系的应力分量确定。
弹性力学之应力讲义
第1章 应 力1. 1 应力矢量物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。
对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。
如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。
考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。
设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为∆S ，作用在微面上的内力合力为∆F ，则该微面上的平均内力集度为∆F /∆S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为T (n ) =SFs ∆∆∆0lim→B∆SACPn ∆Fxyz图1.1 应力矢量定义在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z（1.1）式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。
8 τzyσzσyσxτxyτxz除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x 、T y 和T z 。
实际应用中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。
显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P 点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n 有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。
所有这些应力矢量构成该点的应力状态。
由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n 微面上的应力矢量为：T (-n )= -T (n )（1.2）1.2 应力张量人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P 点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。
在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。
应力张量
从一点应力状态分析，Cauchy应力张量描述的 是变形构形中点的应力状态，而Lagrange、 Kirchhoff则是描述初始构形中点的应力状态，不过 这个点是由变形构形中的点对应过来的，故是特定 的。 只有Cauchy应力张量真实反映了客观物理现象。 而Lagrange、Kirchhoff应力张量只是为了便于应用 的“近似计算”。
dT F dT
K
1
三种应力张量的区别和联系
Cauchy应力张量定义于Euler描述，应力是空间 坐标的函数，力矢作用在变形后的面元上，由此算 得的应力就是真实应力，但由于应用时边界条件常 用物质坐标给出，用空间坐标给出边界条件十分困 难，加之本构方程也常采用Lagrange描述，故用 Cauchy应力张量求解边值问题还须作进一步变换。谢谢！源自Kirchhoff应力张量
在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出 微元体建立平衡方程和与之相等效的虚功原理，如 果应变是用变形前的坐标表示的Green应变张量，则 需要定义与之对应的关于变形前位形的应力张量。
Kirchhoff规定：变形前面积元上的内力分量和 变形后面积元上的内力分量的变换与标变换一致。
求和约定和应力张量教程PPT课件
主要内容
Main Content
• 应力状态基本概念 • 斜面上任一点应力状态分析 • 求和约定和应力张量 • 主应力及主切应力 • 球应力及偏差应力
2021/5/2
1
第1页/共18页
10.3 求和约定和应力张量
• 10.3.1 求和约定
• 为了简化公式和书写的方便，我们常采用求和约定的方式来书 写公式。例如我们探讨一矩阵与向量的乘法：
z r
2021/5/2
16
第16页/共18页
课后作业 H• 习o题m集ePw3习o题r9k、11、13
2021/5/2
17
第17页/共18页
感谢观看！
2021/5/2
18
第18页/共18页
23 ?
ij
1 2
ui, j
u j,i
其中
ui, j
ui j
2021/5/2
“，”表示求导数
6
第6页/共18页
10.3.2 应力张量
2021/5/2
• 在斜面上的应力分析中，我们得到
Snx Sny
xl xyl
yxm ym
zzyxnn
S nz
xz
l
yzm
z
n
用矩阵表示为
Snx x yx zx l
11
第11页/共18页
• 张量在力学中是一个十分重要的概念。
数的大小 • 标量是一个仅由
表征的量，如温度、质量、能量等。
数的大小 方向 • 矢量是由
和
来表征的量，如力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。
数的大小、方向 方位 • 张量则是由
和
来表征的量，如应力张量、应变速度张量等。
应力与应力张量二
则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3
l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。 任何方向都是应力主方向。
•因此问题可证。
•1.若s1≠s2≠s3，应力主轴必然相互垂直；
•2.若s1＝s2≠s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1 和s2可以是垂直的，也可以不垂直；
•3. 若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
2、 几何方程 位移分量和应变分量之间的关系
x
u x
xy
v x
u y
y
v y
3. 若s1=s2=s3，特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方
向都是应力主轴。
•设s1，s2，s3 的方向分别为（l1，m1，n1）， （l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则
(s x s1)l1 t xym1 t xzn1 0 t xyl1 (s y s1)m1 t yzn1 0 t xzl1 t yzm1 (s z s1)n1 0
应力矢量与应力分量的关系
pi s ij n j
•公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位 微分面的应力矢量。
•当然可以确定正应力s n与切应力t n。
应力不仅随位置改变而 变化，而且随截面方位 改变而变化。
同一点由于截面的法线 方向不同，截面上的应 力也不同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
主应力
1、主应力的求解
旋转坐标轴，使Q点的斜面ABC
正好是主平面(τ=0),则斜面上 全应力S就是正应力σ(σ=S)。
S在三轴上的投影
SSyx
l m
S z n
以l,m,n为未知数的齐次线性 方程组。其解有二。
S S
x y
xl yxm zxn xyl ym zyn
1
2
3
又 l2 m2 n2 1
S1122
S22
2 2
S32
2 3
1
椭球面方程，其主半轴的长度分 别为σ1，σ2，σ3。——称应力椭球 面。它是任意斜面全应力矢量S端 点的轨迹。
应力椭球体
2、应力状态的分类
a）若σ1≠σ2≠σ3≠0——三向应力状态。 b）若σ1≠σ2≠0,σ3=0——二向应力状态。 c）若σ1≠0;σ2=σ3=0——单向应力状态。 d）若σ1≠σ2=σ3——圆柱应力状态（包括单向应力状态）。⊥ σ1 的方向均为主方向。 e）若σ1=σ2=σ3——球应力（静水应力）状态。τ≡0,各方向均 为主方向。
3阶张量
张量的概念
2、张量的概念
标量：一个数，当坐标变换时，(xi)= ’(xi’)，即不依赖 于坐标，则定义为标量——零阶张量。
矢量：三个数的集合，当坐标变换时，根据式ai’=Mi’iai,由 a1,a2,a3变为a1’,a2’,a3’，则此三个分量定义为矢量——一阶
张量。
张量：32个数的集合，当坐标变换时，根据式Ti’j’=Mi’i Mj’jTij,由Tij变为Ti’j’，则此九个分量定义为二阶张量——简
1 9 2 3 3 3 3 3
(xylx
)l ( y
yxm )m
zx zy
n n
0 0
xzl yzm ( z )n 0
-5l 2m 3n 0
2l-3m n 0
3l m-4n 0
以主方向为坐标轴的坐标系统：
1 0 0
ij
0
2
0
0 0 3
S1 1l, S2 2n, S3 3m S 2 (1l)2 ( 2n)2 ( 3m)2
xl 2 ym2 zn2 2( xylm yzmn zxnl) 1l 2 2m2 3n2
z
2
xy
yz
zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)]
0
J1 x y z
J2
( x
y
y
z
z x )
2 xy
2 yz
2 zx
J3
x
y
z
2
xy
yz
zx
(
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
)
3 J1 2 J2 J3 0
a) l=m=n=0, 不满足l2+m2+n2=1的条件，此平面不存在。
b) 齐次线性方程级有非零解的充要条件是：系数行列式Δ=0,即
x xy xz
yx y
yz
zx zy 0 z
3
( x
y
z )
2
[ x y
y z
主应力简图
受力物体内一点的应力状态，可用作用在应 力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数 及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。 一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负 号，并不表明所作用应力的大小。
应力张量的分解
平均应力:
m
1 (
3
x
y
z)
1 3
(1
2
3)
解得三个根即主应力σ1，σ2和σ3
应力状态 特征方程
(xylx
)l ( y
yxm )m
zx zy
n n
0 0
xzl yzm ( z )n 0
解得三个根即主方向l、m、n。
l2 m2 n2 1
主应力
4 2 3
J1 3
σm 为不变量,与坐标无关。三个正应力分量可写成：
x ( x m ) m x ' m y ( y m ) m y ' m
z ( z m ) m z ' m
应力张量的分解
ij yxx
称为张量。
张量的概念
3、张量的性质
（1）张量的分量一定可以组成某些函数f(Tij),这些函数的值
不随坐标而变。即 f (Tij ) f (Tkl)
（2）同阶张量各对应分量之和或差为另一同阶张量。
（3）二阶张量T，若TT=T，则称为对称张量，若TT=--T，
则称为反对称张量，非对称张量可以化为一个对称张量和
xz
yz
zx zy z • • z
二阶对称 张量
主应力
1、主应力的概念
表示同一点Q的应力状态可以任选坐标轴，但其9
个分量相应改变，若选一特殊方向，使坐标面τ=0。
此平面一定存在，这是应力张量的特性。
主平面——切应力为零的微分面 主应力——主平面上的正应力 主方向——主平面的法线方向（主应力方向）
xy y
xz yz
x yx
m
xy y m
xz yz
m
0
0
m
0
0
zx zy z zx
zy z m 0 0 m
ij 'ij m
S
z
xzl
yzm zn
(xyxl
)l ( y
yxm )m
zx zy
n n
0 0
xzl yzm ( z )n 0
主应力
( x )l yxm zxn 0 xyl ( y )m zyn 0 xzl yzm ( z )n 0
应力张量的分解
J1 x' y ' z ' ( x m) ( y m) ( z m) 0
J2
(
x '
y '
y '
z '
z
' x')
2 xy
2 yz
2 zx
1 6
[(
x
y
)2
(
y
z
)2
(
z
x
)2
6(
l2 m2 n2 1
3、应力不变量
主应力
3 J1 2 J2 J3 0
对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即 J1,J2,J3是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。所以J1,J2,J3分 别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。
主应力
4、主轴坐标系统
ij 2 6 1
3 1 5
J1 x y z 4 6 5 15
J2
(
x
y
y
z
z
x)
2 xy
2 yz
2 zx
(24 30 20) 4 1 9 60
( 9)( 2 6 6) 0 1 9 2 3 3 3 3 3
金属塑性成型原理
机电工程学院 王忠雷
第三章 金属塑性变形的力学基础
第一节 应力分析
第二讲 应力张量
张量的概念 主应力
应力椭球体 主应力简图 应力分解
张量的概念
1、物理量的表示
名称 标量 矢量
张量
性质
大小没方向 大小、方向
三个方向面都有矢量
分量
30 31
32
三个方向面都有张量
33
பைடு நூலகம்
0阶张量 1阶张量 2阶张量
1
1
1
一个反对称张量之和。 pij pij 2 ( p ji p ji ) 2 ( pij p ji ) 2 ( pij p ji )
（4）2阶对称张量存在三个主轴和三个主值；张量角标不 同的分量都为零时的坐标轴方向为主轴，三个角标相同的分 量为值。
张量的概念
4、应力张量
应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化 时按一定的规律变化，其变换关系符合张量之定义，因 此，表示点的应力状态的9个分量构成一个二阶张量，称 为应力张量。
一点的应力状态可以借用矩阵以张量σij表示：
ij yxx
xy y
xz yz
x
•
xy y
423 J3 2 6 1 120 6 6 20 4 54
315
3 15 2 60 54 0