2.特征量---集中量数与差异量数
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 例8、 某小学四年级248名学生的平均身高 为143.52厘米,标准差为6.48厘米;平均体重 为30.28千克,标准差为4.56千克.试比较身 高和体重两变量的差异程度. • 例9、 已知某校一年级学生的平均身高为 124.20厘米,标准差为3.26厘米;六年级学生 的平均身高为148.54厘米,标准差为3.82厘 米.试比较两个年级身高的差异程度.
原始分与标准分
• 1、Z分数 Z分数是平均分为0，标准差为 1的标准分。标准分是以标准差为单位的 • 计算公式
X X Z S X为原始分; X为平均分; S为标准差
• 在正态分布下，Z分数的范围为±３之间， 包含了99％的个体. • 2、T分数 T=10Z+50 （一般T在20-80之间）
标准分数计算举例
标准分数的应用
例7、 某市甲、乙两考生在中考中的各科成绩及该市各
科成绩的平均分与标准差如下表，求甲乙考生的标准总 分，并比较其成绩的优劣。
表3-13 标准总分计算表
科目
平均分 标准差 原始分X
标准分数Z 甲 0.167 1.071 0.313 0.200 1.751 乙 -1.250 0.714 1.875 -0.100 1.239
1、全距
• 全距 是一组数据中最大值与最小值的 差数，也叫两极差。
• 计算公式
R=Max(X)－Ｍin(X)
式中R为全距, Max(X)、Ｍin(X)分别 为数据中的最大值和最小值。
2、四分位差(对原始数据)
• 四分位数将一组数据按大小顺序排列后，分成次数相 等的四部分，位于个分界点的数据称为四分位数。 • 四分位差是第三四分位数与第一四分位数之差的一半。 Q3 Q1 • 计算公式 QD 2 例1 20名学生英语测试成绩为 52、79、73、60、45、44、89、87、65、81、68、 79、67、80、65、64、72、66、48、83. 求:测验成绩的四分差.
3、方差与标准差
• 方差 ：是各数据和其平均数离差平方和的平 均数 • 标准差：是方差的算术平均数。 • 标准差的计算公式：
S
(X X )
N
2
3、方差与标准差
例2、甲乙两组各12名小学生体育课的跳远测验 成绩如下表,分别计算其标准差.
表3-6 甲乙两组小学生跳远成绩统计表 •
组别 甲组 乙组
一班 二班 三班 四班 五班
45 48 52 54 55
94.2 93.5 92.7 95.2 91.6
3、中位数
中位数：是一组按大小顺序排列的数据中 位置居中的数值，又叫中数。 例3、 一组数据为18，4，5，7，8，12， 10. 计算其中位数. 例4、 一组数据为4，5，7，8，10，12， 18，19. 计算其中位数.
• 例3、有10名学生的考试成绩如下表, 求各个成绩的标准分数.
表3-11 标准分数计算表
•
•
成绩X
96 95 89 87 86 82 76 74 70 65
表
离差 X X
14 13 7 5 4 0 -6 -8 -12 -17
标准分数Z
1.41 1.31 0.70 0.50 0.40 0 -0.60 -0.80 -1.21 -1.71
---1.025 1.030 1.026 1.018 1.029
• 例8、 1995-1999年某小学的教学设备数见表 3-6，求年平均增长率。若按此比率增加， 2001年该小学的教学设备数是多少？
表3-6 1995-1999年某小学教学设备数统计表
年份
1995
1996
Βιβλιοθήκη Baidu
1997 1998
1999
教学设备
算术平均数：是各观测值得总和除以 观测值的个数所得的商。
计算公式为
X X N
例1、已知一组数据值分别为80，90，75， 68，57. 求算术平均数.
2、加权算术平均数
加权平均数： X w
WX W W为每一数值X所对应的权重
例2、某年级五个班的语文考试成绩如下，求该年级语文 平均成绩。 表3-2 某年级语文平均成绩统计表 班 级 人 数 平均成绩
跳远成绩(X) 1.90 1.95 2.15 1.98 2.10 1.82 2.08 2.02 2.30 1.60 1.70 2.01 2.04 2.05 1.90 2.40
平均 成绩
2.0 0 2.0 0
标准差计算举例（统计计算器）
• On 2ndF STAT 数据1 DATA 数据2 DATA …… X 平均数 2ndF σ 标准差 ×＝ 方差
•
小 结
• 若集中量数是算术平均数，则差异量数用标 准差，即两组数据同质且平均水平差异不大 （平均数相同或相差很小），用标准差衡量数 据的离散程度； • 若不同质或平均数差异较大，用相对标准差 （变异系数）比较离散程度； • 若集中量数是中位数，则差异量数用四分差。 由于算术平均数是比较理想的集中量数（能较 好反映一组数据的一般水平），标准差是较理 想的差异量数。一般用算术平均数和标准差描 述一组数据的特征。
语文 数学 英语 综合 合计
123 130 115 128
12 14 16 10
甲 125 145 120 130 520
乙 108 140 145 127 520
4、差异系数（相对标准差）
• 差异系数是不带任何测量单位的相对差异量。 差异系数用标准差和平均数的比例来表示。 • 计算公式 S
CV X 100%
对极值敏感，如果数 据中存在较多极值， 可能会产生误导
中位数 如果需要知道数据分布 的中点，优先使用 平均分 最经常使用，最容易计 算、容易理解的趋中测 度
加权平 需要了解若干容量不同 权重的使用最为重要， 均分 的子群体的总平均分 尤其是子群体容量明 显不同时
5、几何平均数
几何平均数的计算公式 为： M G n X 1 X 2 X n , 式中X 1 , X 2， , X ,为n个观测值，为按比例递 增 / 减数据
4、众数
众数：是一组数据中出现次数最多的数 值。
例5 一组数据为18，4，5，5，7，8，12， 10. 计算其众数。
例6 一组数据为18，4，5，5，7，7，8， 12，10. 计算其众数。
常用集中量数概括
测度 众数 特点 使用时应注意的问题
用于描述分类变量或称 不准确，信息量有限， 名变量的集中程度 易产生误导 对存在的极端分数不 敏感
10 40
标准分数的应用
• 例5、 某市中考，数学平均成绩为75分，标 准差为12分。某学生数学得78分，问他的成 绩在全市考生中地位如何？
• 例6、 某班期末考试中，某生语文成绩为85 分，数学成绩为80分，该班语文成绩的平均 分为84分，标准差为8分；数学成绩的平均分 为72分，标准差为10分。问该生考试成绩哪 科更好一些？
二、差异量数
集中量数反映了一组数据的集中趋势,代表 其一般水平;差异量数反映一组数据的离中(离 散)趋势,代表数据的差异程度和波动性.差异量 数包括方差、标准差、四分位差、全距.
1、标准差的含义及求法（原始数据、次数分布） 2、标准差的应用（标准分数、变异系数） 3、四分差简单应用(原始数据、次数分布表).
56
78
93
110
125
小 结
• 算术平均数、中位数、众数、几何平均 数是统计中常用的集中量数。反映一组数据 的集中趋势，具有代表性。最常用的集中量 数是算术平均数，它具有如下特点：反应灵 敏、确定严密、简明易解、计算简便。适用 条件：数据准确可靠，同质，需每个数据加 入计算。因此，其值易受极端数据的影响， 当出现极端数据或模糊数据时，不可使用， 改用中位数或众数作为集中量数。几何平均 数多用于计算平均增长速度和平均增长率。
一、集中量数
集中量数即反映数据集中趋势的量。一般考查算 术平均数、中位数、几何平均数、众数、调和平均数。 我们主要研究： 1、算术平均数的求法（原始数据、次数分布 加权算术平均数）； 2、中位数的求法（原始数据、次数分布表）； 表、
3、几何平均数（应用其求平均发展速度和平均 增长率）。
1、算术平均数
标准分数计算举例
• 例4、 已知A、B两个年级英语考试成绩如下 表。甲生是A年级的学生，成绩70分。乙生是 B年级的学生，成绩也是70分。求甲、乙两人 成绩的标准分数。 •
• 表3-12 A、B两年级英语考试成绩统计表 年 级 平均分 标准差 最高分 最 低 分
A B
80 60
14 12
100 70
式中，CV为差异系数， S是标准差， X是平均数
• ＣＶ值一般在５％～３5％之间．大于３5％可怀 疑平均数是否失去意义;如果小于5%可怀疑平均数 和标准差是否计算有误. • CV＜9%,表示基本无分化; • CV ＞20%,表示分化严重; • 9% ＜CV ＜ 20%,表示有分化迹象,应引起重视.
差异系数（相对标准差）的应用
几何平均数应用举例
• 例7、 我国普通中学1994-1999年教职工人 数如表3-5，求年平均增长率. • 表3-5 我国普通中学教职工人数统计表
•
年 份 1994 1995 1996 1997 1998 1999
教职工人数(万人) 逐年发展速度
419.07 429.48 442.44 454.09 462.13 475.36
原始分与标准分
• 1、Z分数 Z分数是平均分为0，标准差为 1的标准分。标准分是以标准差为单位的 • 计算公式
X X Z S X为原始分; X为平均分; S为标准差
• 在正态分布下，Z分数的范围为±３之间， 包含了99％的个体. • 2、T分数 T=10Z+50 （一般T在20-80之间）
标准分数计算举例
标准分数的应用
例7、 某市甲、乙两考生在中考中的各科成绩及该市各
科成绩的平均分与标准差如下表，求甲乙考生的标准总 分，并比较其成绩的优劣。
表3-13 标准总分计算表
科目
平均分 标准差 原始分X
标准分数Z 甲 0.167 1.071 0.313 0.200 1.751 乙 -1.250 0.714 1.875 -0.100 1.239
1、全距
• 全距 是一组数据中最大值与最小值的 差数，也叫两极差。
• 计算公式
R=Max(X)－Ｍin(X)
式中R为全距, Max(X)、Ｍin(X)分别 为数据中的最大值和最小值。
2、四分位差(对原始数据)
• 四分位数将一组数据按大小顺序排列后，分成次数相 等的四部分，位于个分界点的数据称为四分位数。 • 四分位差是第三四分位数与第一四分位数之差的一半。 Q3 Q1 • 计算公式 QD 2 例1 20名学生英语测试成绩为 52、79、73、60、45、44、89、87、65、81、68、 79、67、80、65、64、72、66、48、83. 求:测验成绩的四分差.
3、方差与标准差
• 方差 ：是各数据和其平均数离差平方和的平 均数 • 标准差：是方差的算术平均数。 • 标准差的计算公式：
S
(X X )
N
2
3、方差与标准差
例2、甲乙两组各12名小学生体育课的跳远测验 成绩如下表,分别计算其标准差.
表3-6 甲乙两组小学生跳远成绩统计表 •
组别 甲组 乙组
一班 二班 三班 四班 五班
45 48 52 54 55
94.2 93.5 92.7 95.2 91.6
3、中位数
中位数：是一组按大小顺序排列的数据中 位置居中的数值，又叫中数。 例3、 一组数据为18，4，5，7，8，12， 10. 计算其中位数. 例4、 一组数据为4，5，7，8，10，12， 18，19. 计算其中位数.
• 例3、有10名学生的考试成绩如下表, 求各个成绩的标准分数.
表3-11 标准分数计算表
•
•
成绩X
96 95 89 87 86 82 76 74 70 65
表
离差 X X
14 13 7 5 4 0 -6 -8 -12 -17
标准分数Z
1.41 1.31 0.70 0.50 0.40 0 -0.60 -0.80 -1.21 -1.71
---1.025 1.030 1.026 1.018 1.029
• 例8、 1995-1999年某小学的教学设备数见表 3-6，求年平均增长率。若按此比率增加， 2001年该小学的教学设备数是多少？
表3-6 1995-1999年某小学教学设备数统计表
年份
1995
1996
Βιβλιοθήκη Baidu
1997 1998
1999
教学设备
算术平均数：是各观测值得总和除以 观测值的个数所得的商。
计算公式为
X X N
例1、已知一组数据值分别为80，90，75， 68，57. 求算术平均数.
2、加权算术平均数
加权平均数： X w
WX W W为每一数值X所对应的权重
例2、某年级五个班的语文考试成绩如下，求该年级语文 平均成绩。 表3-2 某年级语文平均成绩统计表 班 级 人 数 平均成绩
跳远成绩(X) 1.90 1.95 2.15 1.98 2.10 1.82 2.08 2.02 2.30 1.60 1.70 2.01 2.04 2.05 1.90 2.40
平均 成绩
2.0 0 2.0 0
标准差计算举例（统计计算器）
• On 2ndF STAT 数据1 DATA 数据2 DATA …… X 平均数 2ndF σ 标准差 ×＝ 方差
•
小 结
• 若集中量数是算术平均数，则差异量数用标 准差，即两组数据同质且平均水平差异不大 （平均数相同或相差很小），用标准差衡量数 据的离散程度； • 若不同质或平均数差异较大，用相对标准差 （变异系数）比较离散程度； • 若集中量数是中位数，则差异量数用四分差。 由于算术平均数是比较理想的集中量数（能较 好反映一组数据的一般水平），标准差是较理 想的差异量数。一般用算术平均数和标准差描 述一组数据的特征。
语文 数学 英语 综合 合计
123 130 115 128
12 14 16 10
甲 125 145 120 130 520
乙 108 140 145 127 520
4、差异系数（相对标准差）
• 差异系数是不带任何测量单位的相对差异量。 差异系数用标准差和平均数的比例来表示。 • 计算公式 S
CV X 100%
对极值敏感，如果数 据中存在较多极值， 可能会产生误导
中位数 如果需要知道数据分布 的中点，优先使用 平均分 最经常使用，最容易计 算、容易理解的趋中测 度
加权平 需要了解若干容量不同 权重的使用最为重要， 均分 的子群体的总平均分 尤其是子群体容量明 显不同时
5、几何平均数
几何平均数的计算公式 为： M G n X 1 X 2 X n , 式中X 1 , X 2， , X ,为n个观测值，为按比例递 增 / 减数据
4、众数
众数：是一组数据中出现次数最多的数 值。
例5 一组数据为18，4，5，5，7，8，12， 10. 计算其众数。
例6 一组数据为18，4，5，5，7，7，8， 12，10. 计算其众数。
常用集中量数概括
测度 众数 特点 使用时应注意的问题
用于描述分类变量或称 不准确，信息量有限， 名变量的集中程度 易产生误导 对存在的极端分数不 敏感
10 40
标准分数的应用
• 例5、 某市中考，数学平均成绩为75分，标 准差为12分。某学生数学得78分，问他的成 绩在全市考生中地位如何？
• 例6、 某班期末考试中，某生语文成绩为85 分，数学成绩为80分，该班语文成绩的平均 分为84分，标准差为8分；数学成绩的平均分 为72分，标准差为10分。问该生考试成绩哪 科更好一些？
二、差异量数
集中量数反映了一组数据的集中趋势,代表 其一般水平;差异量数反映一组数据的离中(离 散)趋势,代表数据的差异程度和波动性.差异量 数包括方差、标准差、四分位差、全距.
1、标准差的含义及求法（原始数据、次数分布） 2、标准差的应用（标准分数、变异系数） 3、四分差简单应用(原始数据、次数分布表).
56
78
93
110
125
小 结
• 算术平均数、中位数、众数、几何平均 数是统计中常用的集中量数。反映一组数据 的集中趋势，具有代表性。最常用的集中量 数是算术平均数，它具有如下特点：反应灵 敏、确定严密、简明易解、计算简便。适用 条件：数据准确可靠，同质，需每个数据加 入计算。因此，其值易受极端数据的影响， 当出现极端数据或模糊数据时，不可使用， 改用中位数或众数作为集中量数。几何平均 数多用于计算平均增长速度和平均增长率。
一、集中量数
集中量数即反映数据集中趋势的量。一般考查算 术平均数、中位数、几何平均数、众数、调和平均数。 我们主要研究： 1、算术平均数的求法（原始数据、次数分布 加权算术平均数）； 2、中位数的求法（原始数据、次数分布表）； 表、
3、几何平均数（应用其求平均发展速度和平均 增长率）。
1、算术平均数
标准分数计算举例
• 例4、 已知A、B两个年级英语考试成绩如下 表。甲生是A年级的学生，成绩70分。乙生是 B年级的学生，成绩也是70分。求甲、乙两人 成绩的标准分数。 •
• 表3-12 A、B两年级英语考试成绩统计表 年 级 平均分 标准差 最高分 最 低 分
A B
80 60
14 12
100 70
式中，CV为差异系数， S是标准差， X是平均数
• ＣＶ值一般在５％～３5％之间．大于３5％可怀 疑平均数是否失去意义;如果小于5%可怀疑平均数 和标准差是否计算有误. • CV＜9%,表示基本无分化; • CV ＞20%,表示分化严重; • 9% ＜CV ＜ 20%,表示有分化迹象,应引起重视.
差异系数（相对标准差）的应用
几何平均数应用举例
• 例7、 我国普通中学1994-1999年教职工人 数如表3-5，求年平均增长率. • 表3-5 我国普通中学教职工人数统计表
•
年 份 1994 1995 1996 1997 1998 1999
教职工人数(万人) 逐年发展速度
419.07 429.48 442.44 454.09 462.13 475.36