最新恒定磁场的基本方程
1恒定磁场方程
标量磁位φm
在没有传导电流的区域中, H =0
在这种无传导电流的区域中, 可写为 H m
上式φm称为磁场的标量位, 简称标量磁位或磁标位, 式中负号是 为了与静电场相对应而人为地引入的。
真空中, 可得
B (0H) 0(m) 0
2m 0
积分形式
•磁通连续性定律
•安培环路定律
sB dS 0 H dl I
C
B dl 0 I
C
求磁场思路小结
毕奥-萨伐定律——直接积分求解
线电流
B
0I
dl aR
4 C R2
面电流 体电流
B
0
J S aR dS
4 S R2
库仑规范 A 0（为了计算简便）
A 矢量磁位
B
0 4
C
Idl R2
aR
0I 4
( 1 ) dl CR
aB
0I dl 0Idl A
4 C R
C 4 R
Idl
R
dl 1 dl ( 1 ) dl
R2
真空中磁导率 ：
0 4 10 7 (H / m)
F12 I 2dl2 B
C2
B
0
I1dl1 aR
4 C1 R 2
磁通密度 磁感应强度
☆ 磁通密度和“毕奥-沙伐”定
理
dB
0 4
I源dl源 R源2 场
aR
恒定磁场
三、恒定磁场电流或运动电荷在空间产生磁场。
不随时间变化的磁场称恒定磁场。
它是恒定电流周围空间中存在的一种特殊形态的物质。
磁场的基本特征是对置于其中的电流有力的作用。
永久磁铁的磁场也是恒定磁场。
1、磁通密度与毕奥－萨伐尔定律磁通密度是表示磁场的基本物理量之一，又称磁感应强度，符号为B。
电流元受到的安培力B l d I f d ⨯''=毕奥——萨伐尔定律⎰⨯=l r r l Id B 2004 πμ对于粗导线，可将导线划分为许多体积元dV 。
⎰⎰⎰⨯=Vr r dV J B 2004πμ2、磁通连续性定理磁场可以用磁力线描述。
若认为磁场是由电流产生的，按照毕奥－萨伐尔定律，磁力线都是闭合曲线。
磁场中的高斯定理 0d =⋅⎰⎰S S B式中，S 为任一闭合面，即穿出任一闭合面的磁通代数和为零。
应用高斯散度定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅∇=⋅V S dV B S B d＝⎰⎰⎰⋅∇VdV B 由于V 是任意的，故 0＝B⋅∇式中⋅∇为散度算符。
这是磁场的基本性质之一，称为无散性。
磁场是无源场。
3、磁场中的媒质磁场对其中的磁媒质产生磁化作用，即在磁场的作用下磁媒质中出现分子电流。
总的磁场由自由电流与分子电流共同产生。
永磁铁本身有自发的磁化，因而不需要外界自由电流也能产生磁场。
磁媒质的磁化程度用磁化强度M来表征，它是单位体积内的磁偶极矩。
磁偶极矩：环形电流所围面积与该电流的乘机为磁偶极矩，其方向与电流环绕方向符合右螺旋关系。
nIS P m =磁场强度 MB H -=0μ 或)(0M H B +=μ 本构方程 由mH M χ =可得 H B μ＝，该式称为磁媒质的成分方程或本构方程。
磁媒质的分类：r m μμχμμ00)1(=+=，顺磁质 1>r μ，抗磁质 1<r μ，铁磁质 1>>r μ。
4、安培环路定律 磁场强度H沿闭合回路的积分，等于穿过该回路所限定的面上的自由电流。
回路的方向与电流的正向按右螺旋规则选定。
恒定磁场基本方程的微分形式为
恒定磁场基本方程的微分形式引言恒定磁场是指磁场中磁感应强度、磁场强度、磁场偏转角等参数在时间和空间上均保持不变的情况。
恒定磁场具有许多重要应用，例如电动机、发电机、磁共振成像等。
为了深入了解恒定磁场的基本方程，需要进行微分形式的推导和讨论。
恒定磁场基本方程在恒定磁场中，我们可以根据安培定律推导出磁场的基本方程。
安培定律表明，在闭合回路中，电流周围的磁场的环绕方向是闭合回路上的电流方向，其磁感应强度大小与电流大小成正比。
根据安培定律，我们可以得到恒定磁场的基本方程的微分形式：1. 电流元在磁场中受到的磁场力表达式为：dF =I (dl ×B )，其中dF 表示电流元受力的微元，I 表示电流，dl 表示电流元的微元长度，B 表示磁感应强度。
2. 根据叉乘的性质，可以得到上式的分量形式：{dF x =I(B z dy −B y dz)dF y =I (B x dz −B z dx )dF z =I(B y dx −B x dy)3. 利用矢量分析中的散度和旋度概念，可以进一步将上述方程转化为微分形式：{ ∂B x ∂x +∂B y ∂y +∂B z ∂z =0∂B x ∂t =0∂B y ∂t =0∂B z ∂t =0上述方程描述了恒定磁场的基本特性，其中第一个方程表示磁场的无源性，即磁感应强度的散度为零；后三个方程表示磁场随时间不变，即磁感应强度对时间的偏导数为零。
恒定磁场中的应用和意义恒定磁场具有许多重要的应用和意义，下面将从以下几个方面进行讨论：1. 电动机和发电机在电动机和发电机中，恒定磁场被用于产生磁场，从而实现电动机的旋转和发电机的电能转换。
利用恒定磁场的基本方程，可以对电动机和发电机的性能进行分析和优化。
2. 磁共振成像磁共振成像（MRI）是一种利用恒定磁场和变化磁场的共同作用原理进行医学影像诊断的技术。
MRI利用恒定磁场对人体组织中的原子核进行定向，然后通过应用变化磁场使原子核进入共振状态，进而通过检测共振信号获得影像信息。
3.3恒定磁场的基本方程
r
I I
得 H e
I I , B e 0 2r 2r
Chap.3 恒定电流的电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
【例2】判断矢量函数 B Ay ex Ax ey 是否可能是某区域的磁感应 强度，如果是，求相应的电流分布。
【解】： 由于
Bx By Bz B 0 x y z
c
R (dl dl ) 4π c ' R3
d
0 I
c
4电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
（1）积分回路C不与电流回路相交链
0
C
c
B dl 0
I
A
B
C
（2）积分回路C与电流回路相交链
4 π
c
B dl 0 I
一、 磁通连续性原理
设 B 是由直流回路C产生的磁 B dS 感应强度，S 为一闭合曲面，则 S 0 磁感应强度 B 穿过S 的磁通量为
S
B 就是磁通量的面密
度，又称为磁通密度
4
c
Idl R dS 3 R
( A B) C A (B C)
B 0
2. 安培环路定律
c
B dl 0 I
B 0 J
3. 恒定磁场的基本方程
B dS 0
S
B 0
H dl I
l
H J
Chap.3 恒定电流的电场和磁场— §3.3 恒定磁场的基本方程
作业：P85 3-11、3-12
由
B d S BdV 0
恒定磁场的基本方程及分界面上的衔接条件
电工基础教研室 由佳欣
恒定磁场的基本方程
微分形式：
H
JC
B 0
恒定磁场是有旋场，电流密度是磁场 的涡旋源
恒定磁场是无源场，磁感应线是无头无尾 的闭合曲线，没有磁荷的存在
积分形式：
l
H
dl
I
S B dS 0
恒定磁场的环路线积分等于与积分路径 相交链的所有自由电流代数和
磁通连续性定理，由任一闭合面穿出的 净磁通等于零
物性方程： B H
各向同性、线性介质的构成方程。
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线S I
场量切向分量的衔接关系
n12
H dl l
l2 H2 dl
l1 H1 dl
H dl
取一闭合柱面，上下面分别位于介质1、2 中，且平行于界面，令 d 趋于0
ld
l
H2 t2l H1 t2l
媒质2
d
t2
t1
分界面
(H1 H2 ) t2l
媒质1
取一闭合曲线，上下边分别位于介质1、2中且平行于 界面，令高度 d 趋于0
分界面上的衔接条件
1. 磁场强度的切向分量
由场量闭合曲线的积分方程
场量切向分量的衔接关系
n12
S JCdS K t1l K (t2 n12 )l t2 (n12 K )l
由场量闭合曲面的积分方程
场量法相分量的衔接关系
S B dS 0
n12
左面=
S2 B2 dS
S1 B1 dS
B dS
S3
S2
B2 n12S B1 n12S (B2n B1n )S 右面 0
工程电磁场——恒定磁场——第2讲
式（1）代入式（2）
Az y
dy
Az x
dx
dAZ
0
AZ const
第三章
4、由微分方程求 A
恒定磁场
例3.4.4 一半径为 a 的带电长直圆柱体，J=Jez，试 求导体内外的磁矢位 A 与 磁感应强度 B。
解: 采用圆柱坐标系，A A ez 且 A f ()
2 A1
2 Ax Jx ; 2 Ay J y ; 2 Az Jz
令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为:
Ax 4π
J xdV ; V R
Ay 4π
J ydV ; V R
Az 4π
J zdV V R
矢量合成后，得
JdV
Adl 0 ,
l
有 A1t A2t (1)
与
E dl 0 ,
l
E1t E2t
对比，
图 磁矢位 A 的衔接条件
第三章
b) 围绕 P点作一扁圆柱，则
恒定磁场
S A dS V AdV 0
当 L 0 时， A1nS A2nS 0, A1n A2n (2)
0a 2 J 2
e
a a
第三章
3.5.3 磁矢位与电位的比较
位 函 数 电位
比较内容
(有源或无源）
引入位函数依据 E 0
位与场的关系 微分方程
位与源的关系
E
Q
p E dl
2
dV
V 4πr
恒定磁场
磁矢位A
F1x x
F1y y
00 0
4.6 恒定磁场基本方程应用举例
第 4 章恒定磁场4.2 真空中恒定磁场的基本方程应用举例半径为 a 的无限长直导体圆柱均匀通过电流 I ，计算导体内外的B 。
解： ⑴ 电流分布具有轴对称性，选柱坐标⑵ 分析磁场的分布 zaI⑶ 沿磁感应线取B 的线积分沿ϕ 方向 ∑⎰==∙I B c02d μπρl B ρ ≤ a 时222aIJ I ρπρ==∑2022022aI a I B πρμρπρμϕ==∴ρ ≥ a 时πρμϕ20IB =II =∑例1两相交圆柱，半径同为a ,轴线相距 c ，通过强度相等方向相反的电流 I ，因而相交部分J = 0。
证明相交区域是匀强磁场。
证： ⑴ 两圆柱单独存在时，均具有轴对称性，选两套柱坐标 ⑵ 计算相交区域任取一场点P 的磁感应 22101d a Icρμ=∙⎰l B 201221101221a I a I z πμρπρμϕρa a B ⨯==22202d aIcρμ=∙⎰l B2022222022)(22aI a I z πμρπρμϕρa a B ⨯-=-=202020*******)(a Ica I a I yz z πμπμπμa c a ρρa B B B =⨯=-⨯=+=例2 O 1 O 2 Pρ1 ρ2 ⊗ ⊙ I Iz x无限大平面上均匀分布面电流J s ，求距此平面 r 处的磁感应B 。
解： ⑴ 电流分布具有平面对称性，选直角坐标。
设J s = a z J s⑵ x >0，磁场方向沿 +y 轴；x <0，磁场方向沿 –y 轴⑶ 在xOy 上选取图示矩形回路lJ l B cs 02d μ==∙⎰l B 2s0J B μ=例 0, 20>x J y sa μ0, 20<-x J y sa μ=B z xy J zz xy J zl。
恒定磁场的基本方程
21:08:49
8
5.2 真空中磁场的基本方程
四、空间磁场的求解
1、利用安培环路定律求解
当电流呈轴对称分布时，可利用安培环路定律求解
空间磁场分布。 l B dl 0I
若存在一闭合路径C，使得在其上 B dl 整段或分段
为定值，则可以用安培环路定律求解。
例 求电流面密度为 JS ez JS0的无限大电流薄板产生的B 。
R
RR
已知： J (r) 0
B 0 ( J (r))dV '
4 V '
R
对上式两边分别取旋度，得
B 0 ( J (r))dV '
4 v'
R
21:02:30
4
5.2 真空中磁场的基本方程
B 0 ( J (r))dV '
4 v'
R
A ( A) 2 A
V AdV S A dS
B（r）= 0J（r） 恒定磁场的旋度反映了恒定磁场漩涡源（电流） 的分布情况 空间任意点磁场的旋度只与当地的电流密度有关 恒定电流是恒定磁场的旋涡源，电流激发旋涡状 的恒定磁场，并决定旋涡源的强度和旋涡方向
磁场旋度与磁场是不同的物理量，它们的取值没
有必然联系。没有电流分布的地方，磁场旋度为零，
R
利用矢量恒等式： (A B) B A A B
[J (r)( 1 ) ( 1 ) J (r) J (r) ( 1 )
RR
R
已知： ( 1 ) 0
R
和
J (r) 0
B 0 磁场散度定理微分形式
由高斯散度定理，有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
SB d S V BdV 0 磁通连续性定律（积分形式）
恒定磁场3-3_7515_341_20100408101407.
作业 3-3-3
解： B2 = μ2H2
= 3μ0 (10ex + 20ey ) = μ0 (30ex + 60ey )
∵ H1t = H2t ∴ H1x = H1t = H2t =10
∵ B1n =B2n
∴ B1y = B2n = B1n =60μ0
H 1y
=
B1 y
μ1
=
60μ0 5μ0
= 12
H1 = H1xex + H1yey =10ex +12ey (A/m)
3.3 恒定磁场的基本方程
分界面上的衔接条件
3.3.1磁通连续性原理
磁通
Φm = ∫ B ⋅ dSS Nhomakorabea实验表明磁感应线是闭合的，这样对于任意闭合面
∫ B ⋅ dS = 0
S
由散度定理 ∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ BdV = 0
S
V
∇⋅B = 0
恒定磁场是无散场
3.3.2 恒定磁场的基本方程
恒定磁场的基本方程表示为
图3.3.3铁磁媒质与空气分界面上磁场的折射
它表明只要铁磁物质侧的B不
与分界面平行，那么在空气侧的B
可认为近似与分界面垂直。
例 3.3.3 设y = 0 平面是两种媒质的分界面。
μ1 = 5μ0; μ2 = 3μ0 ,分界面上无面电流
且H 2 = 10ex + 20ey (A/m)试求 B1，B2与 H2 的分布。
P点作一小扁圆柱，
令Δl →0
则根据
∫ s B ⋅ dS = 0
图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件
3-4 磁介质中恒定磁场的基本方程
式中
m
M
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
2 标量磁位的多值性
定义磁场中任意两点A、B之 间的磁压为
U mAB
B A
H d l mA mB
令B点为零磁位（ mB 0 ），则A点的磁位 mA 会因 积分路径的不同而数值不同. 要消除 mA 的有多值性，应规定所选的积分路径不 能与电流回路相交链。当然，标量磁位 mA 的有多值性 并不影响磁场强度 H的计算 .
标量磁位(单位：安培)
在均匀介质中
B 0
m 0
2
标量磁位的拉普拉斯方程
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
在均匀介质中
B 0
m 0
2
标量磁位的拉普拉斯方程
在非均匀介质中,引入磁荷的概念后，磁标位满足泊 松方程，即
m m
J m d S)
S
传导电流
分布电流
(
B
J m d S
S
M d S
S
M dl
B M
C
C
0
M )dl
I
磁场强度 H
0
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
库仑规范
A 0 2 A 0 J
A 0
2
无源区域
3–4 介质中恒定磁场的基本方程 第三章恒定电流的电场和磁场
四
标量磁位
1 标量磁位的定义
在自由电流等于零的区域内 J 0 H m H 0 H J
4.6 恒定磁场的基本方程
B1 = B1φ eφ =
ρ eφ 2
例4.6.3 一环形磁芯由 µ1 , µ 2 两种磁性材料构 在磁芯轴心线上只有一无限长直载流导线， 成，在磁芯轴心线上只有一无限长直载流导线， 磁芯内的B， ， 求：1）磁芯内的 ，H，Φ ； 2） 分界面上的 ，H是否突变？ ） 分界面上的B， 是否突变 是否突变？ 选用柱坐标， 解：1）选用柱坐标，并应用安培环路定律
∂A2 ∂ρ
=−
C3
ρ
B1φ = −
∂ A1 ∂ρ
=
µ0 I
2πa
2
ρ
B2φ = −
∂ A2 ∂ρ
=−
C3
ρ
根据导体表面
H1t = H 2t → H1φ
ρ =a
= H 2φ
ρ =a
应有
I C3 =− 2π a µ0 a
µ0 I
2πa
→ C3 = −
µ0I
2π
µ0I B2 = B2φ eφ = eφ 2π ρ
s2
s1
∫
∫
b
a
µ1I h dρ + 2πρ
∫
c
b
µ2I h dρ 2πρ
=
µ1I h
b µ I h c I h b c ln + 2 ln = µ 1 ln + µ 2 ln 2π a 2π b 2π a b
2） 分界面上B，H均只有切向分量，分界面上无自由面电流， ， 均只有切向分量，分界面上无自由面电流， 故
4.6
恒定磁场的基本方程
• 分界面上的衔接条件
4.6.1 恒定磁场的基本方程
积分形式 磁通连续原理 微分形式 物理意义 恒定磁场没有通量源； 1、恒定磁场没有通量源； 线是无头无尾的矢量线。 2、 B线是无头无尾的矢量线。 线是无头无尾的矢量线
恒定磁场的基本方程
3
r
)dV
B 0 4
s
K(
r)( r r r3
r
)
dS
例1 试求无限长直载流导线产生的磁感应强度。
解 采用圆柱坐标系，取电流Idl
Z' dl
R
O
θ P dB
ρ
dl = dzez eR sinez + cose
dl eR dz cose R2 2 z2
反之，
tan2
0 1
tan1
1
r
tan1
0
2 0
它表明只要铁磁物质侧的B不与分界面平行，那么
在空气侧的B 可认为近似与分界面垂直。
实际上，如果铁磁物质侧的B与分界面平行，由
H2t
ห้องสมุดไป่ตู้
H1t ， B2
B2t
0H1t
0
B1t
1
B1
r
0 。既然B2＝0，
也就无所谓垂直或平行了。因此不管什么情况，
总可以认为：铁磁物质表面，空气侧的B 近似与分 界面垂直。
在分析磁场时，上述规律对于确定边界条件十 分有用。
直观感觉： 实验结果：
dB
Idl R?
dB
k
Idl eR R2
大小：
Idl k R2
方向：
I (r')
. R(r - r') dB P (r)
r'
dl eR
r
.
O(0, 0, 0)
磁感应强度 B
B 0 4
I 'dl eR l R2
第5章 恒定磁场
M=
N∆Vm = Nm ∆V
5.4.2 磁化电流 磁化电流
磁化介质的场
全部磁介质在r处产生的磁矢位 磁矢位为 磁矢位
µ 0 M (r ' ) × R A= ∫V R 3 dV ' 4π µ0 1 = ∫VM × ∇' R dV ' 4π
可以将上式改写为
A=
µ0 4π
µ ∇'×M M dV '− 0 ∫ ∇' × dV ' ∫V R R 4π V
第五章 恒定电流的电场和磁场
5.1 恒定磁场的基本方程 恒定磁场的基本方程 5.2 矢量磁位 5.3 磁偶极子 5.4 磁介质中的场方程 磁介质中的场方程 5.5 恒定磁场的边界条件 恒定磁场的边界条件 5.6 标量磁位 标量磁位 5.7 互感和自感 5.8 磁场能量 磁场能量 5.9 磁场力
返回
5.1 恒定磁场的基本方程
5.1.1 磁通连续性原理
∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ BdV = 0
S V
由于上式中积分区域V是任意的， 所以对空间的各点，有
∇⋅B = 0
上式是磁通连续性原理 磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度B 磁通连续性原理 是一个无源 无源(指散度源)场。 无源
r>a时，
∇ 2 A2 =
1 ∂ ∂A2 r =0 r ∂r ∂r
µ 0 Ir 2 A1 = − + C11nr + C2 2 4πa
A2 = C31nr + C4
∂Az B = eφ ∂r
可以求出导线内、外的磁场 磁场分别为 磁场
µ 0 Ir B1 = eφ 2πa 2
C3 B2 = −eφ r
恒定磁场基本方程的微分形式
恒定磁场基本方程的微分形式
恒定磁场基本方程的微分形式是指表达磁场变化率的一种方程形式，其中包括了磁场的旋度和磁场随时间变化的导数。
在电磁学领域中，磁场是一种非常重要的物理量，它与电场一起构成了电磁场，是电磁学理论的基础之一。
恒定磁场指的是磁场在时间上不发生改变的情况，因此可以将磁场看做是一个恒定的场。
对于恒定磁场，其基本方程可以表示为：
∇×B = μ0J
其中，B是磁场，J是电流密度，μ0是真空中的磁导率，∇×表示旋度运算符。
这个方程表达了磁场的旋度与电流密度之间的关系，可以通过旋度运算符来求解。
旋度运算符是一个矢量运算符，用于计算一个矢量场的旋度。
它将一个矢量场的偏导数进行了组合，并给出了一个新的矢量场。
在这个方程中，磁场的旋度表示了磁场的变化率，而电流密度则表示了磁场的来源。
这个方程告诉我们，如果我们知道了磁场的变化率和电流密度，就可以求解出磁场的分布情况。
如果我们考虑磁场随时间的变化，那么可以将上述方程进行扩展，得到恒定磁场基本方程的微分形式：
∇×E = -∂B/∂t
其中，E是电场，B是磁场，∂/∂t表示对时间的偏导数。
这个方程表示了电场的旋度与磁场随时间变化的导数之间的关系。
它告诉我们，如果我们知道了磁场随时间的变化率和电场的旋度，就可以求解出电场的分布情况。
恒定磁场基本方程的微分形式是电磁学中非常重要的一个方程形式。
它将磁场的变化率和电流密度联系起来，以及将电场的旋度和磁场随时间的变化联系起来，为电磁学理论的研究提供了重要的基础。
恒定磁场基本方程
2-2-5稳恒磁场基本方程因磁场也是矢量场，在第一章中，我们知道，矢量场的基本性质可由它的散度和旋度方程描述。
下面我们导出磁场的基本方程。
对于电流密度分布为J 在空间P (r )点产生的磁通密度为：3(()d 4V V Rμπ'')⨯='⎰J r RB r (2-2-20)用戴尔算符∇点乘上式两边，注意到积分是对源坐标变量，而戴尔算符是对场变量运算。
因此，我们有：0333d d d 444V V V V V V RRRμμμπππ''''⨯'⨯∇=∇'=∇'='∇⨯'⎰⎰⎰J R J RR B J又因为31()0RR∇⨯=∇⨯-∇≡R因此，()0∇=B r(2-2-21a)上式称为磁场中的高斯定理微分形式。
上式表明磁场的散度总是为零，即磁场不存在散度源。
磁场是一无散场。
磁通密度B 通过一有向面积s 的通量称为磁通，记为ψ。
则d sψ=⎰B s磁通的单位为韦伯(Wb)。
正因为此定义，B 称为磁通密度。
由散度定理，式(2-2-21a)的积分形式为：d 0s=⎰ B s (2-2-21b)上式称为磁场中的高斯定理积分形式。
上式说明，稳恒磁场通过任一封闭面的总磁通总是零，即磁场是一管量场。
或说，磁场线总是闭合的，没有起点和终点。
此称为磁通连续性原理。
取式(2-2-20)的旋度得：3(()d 4V V Rμπ'')⨯∇⨯=∇⨯'⎰J r RB r注意积分和算符∇的运算是对不同的变量，上式右边：3322(d d 441()d 4()d 4[()]d 41[()]d 4V V V V V V V V RRV R V RV R RV RRμμππμπμπμπμπ''''''')⨯'⨯∇⨯'=∇⨯'=∇⨯-'⨯∇''=∇⨯∇⨯'''=∇∇-∇'1=∇'∇-'∇'⎰⎰⎰⎰⎰⎰J r R J R J J J J J J因为R = r – r '及11RR∇=-∇'、214()Rπδ∇=-R ，我们得：300(d ()d d 4441()d d ()44V V V V V V V V RRV V R Rμμμπδπππμμμππ'''''')⨯1∇⨯'=∇-'∇''+'4(-')''=∇-∇''+∇∇'''+⎰⎰⎰⎰⎰ J r R J J r r J J J r上式右边第一项可转为封闭面积分，因电流是局限在s '包围的体积V '内，此面积分为零。
恒定磁场公式
恒定磁场公式恒定磁场是物理学中的一个重要概念，在我们的学习过程中，涉及到一系列的公式。
先来说说磁感应强度 B 这个家伙，它的定义式是 B = F / (IL) 。
这里面的 F 是磁场对电流元 IL 的作用力。
咱就说，有一次我在实验室里做实验，要测量一个小磁针在磁场中的受力情况。
那小磁针就像个倔强的小家伙，在磁场中左摇右摆，好不容易才稳定下来。
我紧紧盯着测力计上的读数，心里那个紧张啊，就怕出一点差错。
这就像我们在解题的时候，每一个数据都得小心翼翼地对待，不然得出的结果可就差之千里啦。
还有磁通量Φ，公式是Φ = BS 。
这个 S 指的是垂直于磁场方向的面积。
我记得有一次上课，老师拿了个巨大的线圈，然后用一块强磁铁在旁边晃悠，给我们演示磁通量的变化。
那磁铁一靠近，同学们的眼睛都瞪得老大，看着指针疯狂摆动，就好像在看一场精彩的魔术表演。
安培力的公式是F = BILsinθ ，这里的θ 是电流方向与磁场方向的夹角。
有一回我在做一道关于安培力的题目，怎么都算不对，急得我抓耳挠腮。
后来才发现，原来是我把角度给算错了，真是细节决定成败啊！洛伦兹力的公式是F = qvBsinθ ，这在研究带电粒子在磁场中的运动时可太重要了。
我曾经在科普视频里看到过关于粒子加速器的介绍，那些带电粒子在强大的恒定磁场中飞速旋转，遵循着这些公式所描述的规律，感觉真是神奇极了。
在学习恒定磁场公式的过程中，我深深地感受到，这些公式不仅仅是一堆枯燥的符号和数字，它们背后是神奇的物理世界。
就像我们通过一扇小小的窗户，窥探到了宇宙的奥秘一角。
有时候，我会想，要是没有这些公式，我们对于磁场的理解可能就像在黑暗中摸索，毫无头绪。
而有了它们，我们就像是有了指南针，能够在磁场的知识海洋中找到方向。
不过，学习这些公式可不能死记硬背，得理解它们的含义和适用条件。
不然，一遇到稍微复杂点的题目，就会像迷路的小羊羔，不知所措。
总之，恒定磁场的公式虽然有点复杂，但只要我们用心去学，多做练习，多观察生活中的相关现象，就一定能掌握它们，走进那个充满魅力的磁场世界！。
第三章 恒定磁场3-7节
在矢量场中，要确定一个矢量，必须同时知道它的散 度和旋度。因此现在必须要规定的散度。为了简便，令： ∇ ⋅ A = 0 此式称为库仑规范。 则： 2 A = − µJ 上式为磁矢位满足矢量形式的泊松方程。它相 ∇ 当于三个标量形式的泊松方程。即：
∇ 2 Ax = − µJ x
∇ 2 Ay = − µJ y
∇ 2 Az = − µJ z
三、方程的解 上面三个方程的形式和静电场电位的泊松方程完全一样，因而解的形 式也应该一样，即 µ J x dV ' Ax = ∫ 4π V ' R
µ J y dV Ay = ∫ 4π V R
'
'
µ Az = 4π
J z dV ' ∫' R V
将上面三式合并，即得：
µ JdV ' A= ∫ 4π V R
二、互感 在线性介质中，由回路１的电流 I 1所产生而与回路２相交 链的磁链 ψ 21 和电流 I 1 成正比，即 ψ 21 = M 21 I1 ψ M 21 = 21 称为回路１对回路２的互感。
I1
同理 I 2 称为回路２对回路１的互感。 三、聂以曼公式 考虑两个由细导线构成的回路，设导线及周围媒质的磁导 率为 µ 0 。令回路１中通有电流 I 1 ，则回路１中电流 I 1 在 l 2处 产生的磁矢位为： µ 0 I 1 dl1 A1 = 4π ∫ R l1
B2 t
µ2
=K
H 如果分界面上无面传导面电流， 1t − H 2t = 0则说明 磁场强度的切向分量连续。 2．利用 ∫ B ⋅ ds = 0
− B1n ∆s + B2 n ∆s = 0
⇒ B1n = B2 n
.4 磁矢位
恒定磁场资料
4 V
r
4 V r
由于J是源点坐标 (x’,y’,z’)的函数， 而算符是对场 点坐标(x,y,z)求导
J=0
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第四章恒定磁场
12
因此，
B ( 0 J dV )
4 V r
根据定义可知
A 0 J dV
4 V r
磁感应强度B是唯一的，但的存在使得矢量磁位A
不是唯一的。
由B0，引入一个矢量A，满足B=A
A称为磁场B的矢量磁位，单位：韦伯/米（ Wb/m ）
由毕-萨定律可导出A的电流积分公式 ：
将
er 1
r2
r
(J) 1J J 1
rr
r
代入毕-萨定律
B 0 J er dV 0 J ( 1)dV
4 V r 2
4 V
r
0 ( J )dV 0 J dV
矢量场不仅要规定它的旋度，还必须规定它的散度。
由于A=Ax/x+Ay/y+Az/z，
而B=A与Ax/x、Ay/y、Az/z无关,
因此，A可以任意规定。每种规定称为一种规范。
在恒定磁场中,为了方便规定A=0，称为库仑规范 。
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第四章恒定磁场
13
4.3.2矢量磁位的边值问题
B=0
B=A
C1 r
不定积分求解，得
H
C2 r
由于r=0处H，故 C1=0
r=R处H1t=H2t ,即
J0R C2 2R
因此，导体内
H1
J0r 2
e
得
C2
J0R2 2
故导体外H 2
J0R2 2r
e
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恒定磁场基本方程
arr sin )d
坐标变换
17
av (avz cos avr sin)
(ar x
sin
avy
cos)
[ar z
cos
r (ax
cos
avy
sin
)
sin
]
r
B
0 Ia 4 R2
2
0
r a
(ar z
cos
ar r
sin )d
avz
0 4
Ia R2
g2
gsin
avz
0 Ia2
2R3
avz
直接求解. B
dB
0
Idl
a
(I
a
Sd
)
4
R az R cos ar R sin
C
I源dl源 R源2 场
aR
闭合 环路C
z
P(0,0,z)
R
a
R R 源点到场点＝ z 2 a2
y
单位矢量aR ?
x
Idl
aavvBrr电磁场4av与xa0v电RIcx磁aos2波isn02 aravavyy(scarionz scos
联想：
r
• D ——静电场散度方程的微分形式
静电场是有源场
电磁场与电磁波
14
6. 恒定磁场散度方程的积分形式
v Q•B 0
vv
v
ÑS B • dS V ( • B)dV 0
vv
B • dS -----磁通量 S
磁场中通过任何闭合曲面的磁通量恒等于0
v
•B 0 vv
磁通连续性原理、
ÑS B • dS 0 磁场中的高斯定理
第 5 章 恒定磁场分析
v B H=
µ0
( µ 0 = 4π ×10 H / m)
−7
二、真空中恒定磁场的散度 在恒定磁场中， 在恒定磁场中，磁感应强度矢量穿过任意闭合面 的磁通量为0 的磁通量为0，即：
∫
S
v v B dS = 0
磁通连续性定律（积分形式） 磁通连续性定律（积分形式）
∫
C
v v 2π H dl = I ⇒ ∫ H ϕ rdϕ = I
⇒ H ϕ ⋅ 2π r = I
0
r>a时 当r>a时
2π r 当r<a时 r<a时 2 I' 1 πr Ir Hϕ = = ⋅ 2I= 2 2π r 2π r π a 2π a
Hϕ =
I
例题二 外半径分别为a 的无限长中空导体圆柱， 内、外半径分别为a、b的无限长中空导体圆柱， v 导体内沿轴向有恒定的均匀传导电流， 导体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为 J v 导体磁导率为 µ 。求空间各点的磁感应强度 B 分析： 分析：电流均匀分布在导体截面 z 呈轴对称分布。 上，呈轴对称分布。 解：根据安培环路定律 r<a区域 区域： 在r<a区域：
四、利用安培环路定律求解空间磁场分布 1、建立方程直接求解 v v 分布，则可建立方程： 若已知空间电流 J ( r ) 分布，则可建立方程：
v v v v ∇× H = J ⇒ ∇×∇× H = ∇× J v v v ⇒ 2 ∇ × ∇ × H = ∇(∇ H ) − ∇ H
v v v 2 ⇒ ∇(∇ H ) − ∇ H = ∇ × J v v 2 ⇒ ∇ H = −∇ × J