2020年高考数学复习：椭圆问题中最值得关注的基本题型
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值．【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．（2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率e =且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点(22,1).（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．（2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围.5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率； (Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 .6. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值.7．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆短轴的一个顶点，并且12PF F ∆是面积为1的等腰直角三角形. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1:1l x my =+与椭圆E 相交于,M N 两点，过M 作与y 轴垂直的直线2l ，已知点3(,0)2H ,问直线NH 与2l 的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.8．（2020·江西高三）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点1)2-.（1）求椭圆C 的方程.（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使当12k k λ=时，AOB ∆的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.9．（2020·甘肃省岷县第一中学期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.10．（2020·江苏高三期末）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ 的周长； （2）求1PF M 面积的最大值.11．（2020·河南高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于M ，N 两点.（1）证明：当229a b +取得最小值时，椭圆C . （2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.12．（2020·四川高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.13．（2020·内蒙古高三）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.14．（2020·河北高三期末）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0)，四条直线x a =±，y b =±所围成的区域面积为（1）求C 的方程；（2）设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，设弦AB 的中点为M ，且1||||2OM AB =（O 为原点），求直线l 的方程.15．（2020·山东高三期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2Q ⎛ ⎝⎭满足：122QF QF a +=.已知直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点2F ，且222AF F B =，求直线l 的方程；（3）若直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t （0t >），且AB 中点的横坐标等于23，证明：符合题意的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标.16．（2020·安徽高三）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点(1,1)M 离心率为2.（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值.17．（2020·福建省福州第一中学高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为y x =截圆O ：222x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2，椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为A .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点()00,B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC分别交x 轴于点M ，N .试判断OM ON ⋅是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.18．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭是椭圆上的点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.19．（2020·甘肃高三期末）设椭圆2222:1y x C a b +=(0)a b >>的离心率是2，直线1x =被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当MAB △的面积最大时，求直线l 的方程.20．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，F 为椭圆C 的右焦点，2D ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，C 的离心率2e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究||||PF MN 是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.21．（2020·青海高三期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，（1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论22．（2020·四川高三期末）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足直线AP 与BP 的斜率之积为34-.记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)若M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.23．（2020·山西高三期末）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，M 是椭圆C 上一点，当112MF F F ⊥时，有213MF MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点，试问在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由.专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，PF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,2P c ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭，b =则有222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OM =AB12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，详见解析.【解析】（1）抛物线2y =的焦点为，则c =椭圆C 的离心率c e a ==2222,1a b a c ==-=. 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）方法一：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，易知0t ≠，设直线l 的方程为(1)y k x t =-+， 代入椭圆方程并化简得22222(14)(88)48440k x kt k x k kt t ++-+-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212288214kt k x x k -+=-=+，解得14k t =-. 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-.令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有221114x y +=，222214x y +=，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y +-++-=.由线段AB 的中点为(1,)M t ，则12122,2x x y y t +=+=， 故直线l 的斜率121214y y k x x t-==--.因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-. 令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值． 【答案】（1）2212x y +=；（2）19.【解析】（1）根据条件有22222{13124a b a b=+=，解得222,1a b ==，所以椭圆22:12x C y +=． （2）根据12AM AB =，12CN CD =可知，,M N 分别为,AB DE 的中点， 且直线,AB DE 斜率均存在且不为0，现设点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1x my =+，不妨设0m >， 联立椭圆C 有()222210m y my ++-=， 根据韦达定理得：12222m y y m +=-+，()12122422x x m y y m +=++=+， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，MF =，同理可得12NF m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 所以MNF ∆面积2112142MNFm m S MF NF m m ∆+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，现令12t m m =+≥， 那么21124294MNF t S t t t∆==≤++，所以当2t =，1m =时，MNF ∆的面积取得最大值19． 【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）169【解析】（1）依题意画出下图可设2(,)b P c a-，(,0)A a ，(0,)B b ，则有：22221122OPAB POB b b k k ac a S bc b c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，Ⅰ椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）Ⅰ当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===； Ⅰ当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程2212x y +=，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=， Ⅰ12222k y y k +=+，12212y y k -=+， ⅠMN==)2212k k +=+，同理)22221111122k k ST k k⎫+⎪+⎝⎭==++， Ⅰ12S MN ST =()()()22228112221k k k +=++()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+，当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立， 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =．方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，由条件知直线MN 的斜率为12121y y x x -=-，直线OP 的斜率为121212y y x x +=-+，而22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+--===---+，即222a b =， 又左焦点为()1,0F -，所以22222221c a b b b b =-=-==，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线CD 的方程为1x my =-，记C ，D 过标为()11,x y ，()22,x y ，则1121212S AF y y y y =⋅-=-，2121212S BF y y y y =⋅-=-， 所以2112S S y y -=-.联立方程，22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，12y y -==，令21tm =+，则1t ≥，且()()()2222818882122122m tt mt t+==≤=+++++，当且仅当1t =时等号成立， 所以2112S S y y -=-21S S -.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b ab +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y+=；（2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时，MN =OMDN的面积为122=同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k∴+=++=+，12MN x x =-==，点O 到直线MN的距离d =，由OM OC OD +=，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k =+=+， 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为1222OMDN OMNS S MN d ∆==⨯⨯=()222121k k +====+故四边形OMDN . 【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【答案】（Ⅰ）2241x y +=;（Ⅰ）（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）12S S 的最大值为94，此时点P的坐标为1,)24【解析】（Ⅰ=，解得2a b =． 因为抛物线的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,2a b ==，所以椭圆的方程为2241x y +=．（Ⅰ）（1）设2,(0)2m m P m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =可得y x '=，所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为2()2m y m x m -=-，即22my mx =-． 设()()()112200,,,,,A x y B x y D x y ，联立方程组2222m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理可得()223441410m x m x m +-+-=，故由其判别式>0∆可得0m <<3122441m x x m +=+， 故312022241x x m x m +==+,代入22m y mx =-可得()202241m y m =-+， 因为0014y x m =-，所以直线OD 的方程为14y x m=-． 联立14y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得点的纵坐标为14y =-，即点M 在定直线14y =-上． （2）由（1）知直线l 的方程为22m y mx =-，令0x =得22m y =-，所以20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2322212,,,0,,2241241m m m P m F D m m ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2111||124S GF m m m ==+，()()22202211||2841m m S PM m x m +=⋅-=+， 所以()()()221222241121m m S S m ++=+，令221t m =+，则1222(21)(1)112S t t S t t t -+==-++， 因此当112t =，即2t =时，12S S 最大，其最大值为94，此时2m =满足>0∆，所以点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，因此12S S 的最大值为94，此时点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率2e =，且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）解：因为圆221x y +=过椭圆C 的上、下顶点，所以1b =.又离心率2e ==，所以21314a -=，则24a =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：椭圆221:1164x y C +=，当直线l 的斜率不存在时，这时直线l 的方程为2x =±，联立2221164x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩，得y =||MN =则12||2OMN S MN ∆=⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418410k x kmx m +++-=，由0∆=，可得2241m k =+. 联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418440k x kmx m +++-=.设()11,,M x y ()22,N x y ，所以1228,41km x x k +=-+()21224441m x x k -=+，则||MN ==.因为原点到直线l的距离d ==1||2OMNS MN d =⋅=. 综上所述，OMN ∆的面积为定值方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.【答案】（1）22182x y +=；（2）是，0. 【解析】（1）因为圆222x y +=过椭圆C的上，下顶点，所以b =又离心率2e =3a c =，于是有222b a a bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=； （2）由于直线l 的斜率为12，可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆C ：2248x y +=， 可得222240x tx t ++-=.由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t ∆=-->， 整理解得22t -<<设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点的对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-.若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则21211122AE AQ y y k k x x ---+=++-+()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-， 又Ⅰ1112y x t =+，2212y x t =+. 于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++--()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()12124x x t x x =-+--()()224240t t t =-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【答案】（1）2215y x +=；（2）[)8,+∞. 【解析】（1）由题意可知，设抛物线方程为：22x py =点在抛物线C 上，所以抛物线C 的方程为28x y =，所以椭圆的上焦点为(0,2)，所以椭圆的标准方程为2215y x +=；（2）设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在A 点处的切线的斜率114x k =，在B 点处的切线的斜率224x k =，又1212116x xk k ⋅==-，所以 22212188ABx x k x x -=-218x x +=,4m =212x x m +=，而12|||AB x =-===所以g()m =20m ≥，所以()8g m ≥.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．【答案】（1）22241x y +=（2）证明见解析【解析】由椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍得22a e =，即2a c =………..Ⅰ 设1122(,),(,)A x y B x y联立22221x y a b+=和4430x y -+=整理得222222239()0216a b x a x a a b +++-=； 所以2122232ax x a b +=-+， 依题意得：22232=1aa b--+，即222a b =……..Ⅰ· 由ⅠⅠ得依题意得：2211,24a b ==，所以椭圆C 的方程为22241x y +=.（2）设3344(,),(,)M x y N x y ，由223||||4OM ON +=得2222334434x y x y +++= 因为3344(,),(,)M x y N x y 在椭圆C 上，所以22332244241,241,x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩223412x x +=， 22223422342222343411(12)(12)44OM ON x x y y K K x x x x -⋅-⋅===222234342234112()4)1164x x x x x x -++=（ （2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2) (0,1)．【解析】(1)由已知得222222{2a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==ⅠC 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则Ⅰ22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y Ⅰ212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，Ⅰ2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得：214k =⇒12k =±.又由Ⅰ0>得：202m << 显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）设原点O 到直线l 的距离为d ,则1212OMNSMN d x ==-12== 故由m 得取值范围可得ⅠOMN 面积的取值范围为(0,1)【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，M 的坐标为62,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，最大值为．【解析】（Ⅰ）因为e =2223c a =，于是223a b .设椭圆C 上任一点，椭圆方程为，，=Ⅰ当，即时，（此时舍去；Ⅰ当即时，综上椭圆C 的方程为．（Ⅰ）圆心到直线l 的距离为221d m n=+，弦长，所以OAB ∆的面积为点,当时，由得综上所述，椭圆上存在四个点2⎫⎪⎪⎝⎭、⎛⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.【解析】（1）根据题意4a =8，∴a =2. 把y =x 代入椭圆方程x 24+y 2b 2=1得，x 2=4b 24+b 2， 因为直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427， 所以2√4b 24+b 2+4b 24+b 2=4√427，解得b 2=3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0)，由k 1k 2=−34，得3x 1x 2+4y 1y 2=0，当AB 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=−y 2，3x 12−4y 12=0，又3x 12+4y 12=12， ∴x 12=2，这时|OP |=√2.当AB 的斜率存在时，设直线AB:y =kx +m ，由得{3x 2+4y 2=12y =kx +m ：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 由Δ>0得m 2<4k 2+3Ⅰx 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，结合3x 1x 2+4y 1y 2=0得2m 2=4k 2+3≥3Ⅰ 由ⅠⅠ知m ≠0且m 2≥32，x 0=x 1+x 22=−2k m ，y 0=kx 0+m =32m ，∴|OP|2=x 02+y 02=4k 2m 2+94m 2=2m 2−3m 2+94m 2=2−34m 2≥32∴√2>|OP |≥√62综上|OP |的取值范围为[√62,√2]. 3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．【解析】（1）2212x y += （2）PM 的斜率不存在时， MN 的垂直平分线与x 轴重合，没有截距，故PM 的斜率存在. 设PM 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程 得： ()2212860k x kx +++=PM 与椭圆有两个不同的交点()()22841260k k ∴∆=-+⨯>，即232k >，即2k >或2k <-设()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点()0,0Q x y 则120002242,221212x x k x y kx k k +==-=+=++ MN ∴的垂直平分线的方程为222141212k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭∴在x 轴上的截距为222242121212k k kk k k -=-+++ 设()2212xf x x =-+，则()()()22222112x f x x-+'=， 232x ∴>时， ()0f x '>恒成立x ∴>()0;f x x <<<时()0f x <<MN ∴的垂直平分线在x 轴上的截距的范围是⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围. 【解析】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为(−√3,0)，所以点M 到两焦点的距离之和为√(2√3)2+(12)2+12=4.所以a =2.又因为c =√3，所以b =1，则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k OA +k OB =0，不符合题意. 故设l 直线的方程为y =kx +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0.所以{x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1, 而k OA +k OB =y 1x 1+y 2x 2=(kx 1+m )x 2+(kx 2+m )x 1x 1x 2=2k +m (x 1+x 2)x 1x 2=2k +−8km 24(m 2−1)=−2km 2−1，由k OA +k OB =−12，可得m 2=4k +1.所以k ≥−14，又因为16(4k 2−m 2+1)>0，所以4k 2−4k >0.综上，k ∈[−14,0)∪(1,+∞).5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率；(Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 . 【解析】（Ⅰ）因为a 2=4,b 2=2，所以a =2,b =√2,c =√2 所以离心率e =c a=√22（Ⅰ）设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)若k =12，则直线l 的方程为y =12x +1由{x 24+y 22=1y =12x +1 ，得3x 2+4x −4=0 解得 x 1=−2,x 2=23设A(0,1)，则 S ΔPBQ =12|AB|(|x 1|+|x 2|)=12×3×(23+2)=4（Ⅰ）法一： 设点C(x 3,y 3)，因为P(x 1,y 1)，B(0,−2)，所以{x 3=x 12y 3=−2+y 12又点P(x 1,y 1)，C(x 3,y 3)都在椭圆上，所以{x 124+y 122=1(x 12)24+(−2+y 12)22=1解得{x 1=√142y 1=−12 或{x 1=−√142y 1=−12 所以 k =−3√1414或k =3√1414法二：设C(x 3,y 3)显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y =k 1x −2 由{x 24+y 22=1y =k 1x −2， 得 (2k 12+1)x 2−8k 1x +4=0所以{Δ=16(2k 12−1)>0x 1+x 3=8k12k 12+1x 1x 3=42k 12+1又x 3=12x 1 解得{x 1=−√142k 1=−3√1414 或 {x 1=√142k 1=3√1414所以{x 1=−√142y 1=−12或 {x 1=√142y 1=−12所以k =3√1414或k =−3√14146. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值. 【解析】（I ）由2a =4，Ⅰa =2，e =√32，Ⅰc =√3，b =1所以椭圆方程为x 24+y 2=1（II ）设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2)，把y =kx +m 代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0 x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，∠AOB =90°，OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=0， x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=04k 2+4=5m 2，Δ=16(4k 2+1−m 2)>0 Ⅰ4k 2+1−m 2=4k 2+1−4k 2+45>0 Ⅰ16k 2+1>0，则|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−4k 2+454k 2+1=45√5⋅√16k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1。
2020年高考数学(理)之高频考点解密19 椭圆(解析版)
解密19 椭圆考点1 椭圆的定义与标准方程调研1 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆，则有0,0,m n m n >>≠，所以“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B ．调研2 过椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的上顶点与右顶点的直线方程为240+-=x y ，则椭圆C 的标准方程为A ．221164+=x yB ．221204+=x yC ．221248+=x yD ．221328+=x y【答案】A【解析】直线方程为240+-=x y ，令x =0，则y =2，得到椭圆的上顶点坐标为（0，2），即b =2， 令y =0，则x =4，得到椭圆的右顶点坐标为（4，0），即a =4，从而得到椭圆方程为221164+=x y ，故选A ． 调研3 椭圆x 24+y 2t=1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为________________．【答案】(3，4)∪(4，254) 【解析】当t >4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a =√t ，b =2，c =√t −4，由题意可得a −c =√t −√t −4>1，解得4<t <254；当0<t <4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a =2，b =√t ，c =√4−t ，由题意可得a −c =2−√t −4>1，解得3<t <4；综上可知，实数t 的取值范围是(3，4)∪(4，254)．☆技巧点拨☆求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法，根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法，这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：①做判断，根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）；②设方程，根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>；③找关系，根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）；④得椭圆方程，解方程组，将解代入所设方程即可． 【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且．考点2 椭圆的简单几何性质调研1 椭圆x 2a +y 2b =1(a >0，b >0)的长轴两端点为(−4，0)，(4，0)，离心率为12，则短轴长为 A ．8 B ．4 C ．4√3 D ．2√3【答案】C【解析】由椭圆的性质得a =4，e =ca =12，则c =2， 又b 2=a 2−c 2=16−4=12，即b =2√3， 所以短轴长为2b =4√3．故选C ． 调研2 已知椭圆C ：x 236+y 227=1的右焦点为F ，点P(1，3)，若点Q 是椭圆C 上的动点，则ΔPQF 周长的最大值为 A ．2√13 B ．17 C ．30 D ．17+√13【答案】D【解析】设椭圆C 的左焦点为F ′，则△PQF 的周长l =|QF |+|QP |+|PF |=2a −|QF ′|+|QP |+|PF |≤2a +|PF ′|+|PF |=12+5+√13=17+√13，当点Q 为PF ′的延长线与椭圆C 的交点时取等号，故选D ．调研3 若椭圆2214x y m+=上一点到两焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为A ．3 B ．3或7C ．7D ．37或59【答案】A【解析】由题意得，230a m =->，即3m >，若24a =，即2a =，则34m -=，74m =>，不合题意，因此2a m =，即a =3m =-，解得9m =，即3a =，c ==离心率为e =．故选A ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题．在解决此类问题时，要充分利用椭圆的定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长2a ），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在x 轴或是y 轴）进行讨论，从而解决问题．调研4 已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为A ．(01)B ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,1)【答案】D【解析】由正弦定理可得：122112sin sin MF MF MF F MF F =∠∠，结合题意可得12MF MF ca=，所以1212MF MF MF MF caa c+==+，根据椭圆的定义可得122MF MF a +=，所以12acMFa c=+，222a MF a c=+，易知21MF MF >.因为M 为椭圆上一点，所以2a c MF a c -<<+，即22a a c a c a c-<<++，整理得2220c ac a +->，所以2210e e +->11e <<. 故选D ．☆技巧点拨☆1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧：（1）注意椭圆几何性质中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系；（2）利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆离心率问题的一般思路：求椭圆离心率或其范围时，一般是根据题意设出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2，消去b 即可求得离心率或离心率的范围．考点3 直线与椭圆的位置关系调研1 已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C 的标准方程为A ．22=1128x y + B ．22=1124x y + C ．22=132x y + D ．22=13x y + 【答案】C【解析】由△AF 1B 的周长为，可知1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==，解得a =(M N ，设点00(,)A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，=23-，即22002(3)3y x =--①．又2200213x y b +=，所以22200(1)3x y b =-②，由①②解得22b =，所以椭圆C的标准方程为22132x y +=．故选C ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义可得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积可得出关系式，考查了斜率的坐标表示以及点在椭圆方程上的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点．数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题．调研2 过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b相交于A ，B 两点，若=u u u v u u u v AP PB ，则该椭圆的离心率为 A ．12 B．2 CD【答案】C【解析】设()()1122，，，A x y B x y ，=Q u u u v u u u vAP PB ，∴P 是线段AB 的中点，则1232+=x x ，1212+=y y ，过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线方程为()13-=--y x ，即4=-+y x ，联立直线与椭圆方程22221(0)+=>>x y a b a b 得222241⎧⎪⎪-+⎨=⎩+=y x x y a b ，整理得()22222228160+-+-=a b x a x a a b ， 212228∴+=+a x x a b ，()212122288+=-++=+b y y x x a b， 代入1232+=x x 得223，=a b则椭圆的离心率3=====c e a ．故选C ．调研3 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点N(0，2)作两条直线，分别交椭圆C 于A ，B 两点（异于N 点）．当直线NA ，NB 的斜率之和为定值t(t ≠0)时，直线AB 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意知ca =√22，2b =4，a 2−c 2=b 2，解得a =2√2，b =2，c =2， 所以椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由k NA +k KB =t ，得kx 1+m−2x 1+kx 2+m−2x 2=t ，整理得2kx 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)=tx 1x 2 (∗)，联立{y =kx +m x 2+2y 2=8，消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， 由题意知二次方程有两个不等实根，∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，代入(∗)得2k(2m 2−8)1+2k 2−4km(m−2)1+2k 2=t(2m 2−8)1+2k 2，整理得(m −2)(4k −tm −2t)=0． ∵m ≠2，∴m =4k t−2，∴y =kx +4k t−2，即y +2=k(x +4t )．所以直线AB 过定点(−4t ，−2)．当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，A(x 0，y 1)，B(x 0，y 2)，其中y 2=−y 1． ∴y 1+y 2=0， 由k NA +k NB =t ，得y 1−2x 0+y 2−2x 0=y 1+y 2−4x 0=−4x 0=t ，∴x 0=−4t．∴当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 也过定点(−4t ，−2)． 综上所述，直线AB 恒过定点(−4t ，−2)．调研4 已知椭圆C ： 2222x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ． （1）求椭圆C 的长轴长与离心率；（2）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点M ，直线1A Q 与2A P 交于点N ．求证：直线MN 垂直于x 轴．【思路分析】（1）由椭圆C 的方程可化为2212x y +=，可得1,1a b c ===，则长轴长为2a =，离心率2c e a ==；（2）设直线1A P 的方程为1(y k x =，2A Q 的方程为2(y k x =， 联立可得2121)M k k x k k +=-，同理可得4343)N k k x k k +=-，可证明1412k k =-且2312k k =-，从而可得N M x x =，进而可得结果．【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2212x y +=，所以1,1a b c ===．所以长轴长为2a =，离心率c e a == （2）显然直线1A P 、2A Q 、1A Q 、2A P 都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线1A P的方程为1(y k x =，2A Q的方程为2(y k x =，联立可得)2121M k k x k k +=-．同理可得)4343N k k x k k +=-．下面证明141.2k k =-设()00,P x y ，则220022x y +=．所以22001422001222y y k k x y ====---．同理231.2k k =-所以1221211211(22)112)2N M k k k k x x k k k k --++===----，所以直线MN 垂直于x 轴． 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．☆技巧点拨☆1．直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置． 2．直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件，寻找满足条件的关于a ，b ，c 的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．（2）关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．特别对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解． 3．具体解题步骤：对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理．（1）设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式．（2）联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系．（3）一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|．1．（湖北省2019届高三1月联考）已知椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距为 A ．2√2 B ．2√6 C ．4√2 D ．4√6【答案】C【解析】由题可得e =c a =√33，则a =√3c ，所以c 2=a 2−b 2=3c 2−16，所以c 2=8，因此椭圆C 的焦距为2c =4√2．故选C ．2．（湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学）“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026->->-⎨⎩≠⎪-⎧⎪m m m m，解得26m <<且4m ≠， 所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．3．（云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为A B ．2-CD 1【答案】A【解析】设()10PF m m =>，则22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-，因为11QF =，故(4m a =-.因为222212124PF PF F F c +==，所以()()2224244a a a c ⎡⎤-+--=⎣⎦，整理得到2436c a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭c a ==故选A ．4．（黑龙江省双鸭山市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，12π2∠=F AF ，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为A ．13B ．3C ．58D ．4【答案】D【解析】设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ． 如图所示，由题意可得：Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，∴122|||1|||||3==AF OM AF OF ． 则m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化为：m 2223b =，n 2＝9m 2＝6b 2．∴223b +6b 2＝4c 2，∴()2253a c -=c 2，化为：c a =． 故选D ．5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，直线l 过左焦点且倾斜角为π3，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为 AB．5CD【答案】D【解析】由题意知，椭圆的左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c ， 设直线l的方程为：)y x c =+0y -+=， 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a ，∴圆心到直线l的距离d ==，2c ∴==，整理得：2247c a =，∴椭圆的离心率为c a ==故选D.6．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为A ．9(0,]5B ．C ．(0,]3D ．1(,32【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则||||=OA OB ， 又||||'=OF OF ，∴四边形AFBF '为平行四边形，||||'∴=AF BF ，又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =，点P 到直线l 距离：3655b d -=≥，解得：2b ≥2=≥，0c ∴<≤，0,3c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦. 故选C .7．（山东省淄博市实验中学2019-2020学年高三上学期第一次学习检测数学试题）已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122+e e 的最小值为 AB ．3C ．6D【答案】C 【解析】如图，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 由题意可知：1222F F F P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=Q ，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c c e c a ca ++=+=Q ， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++，22222a cc a +≥=Q ，当且仅当2222a c c a =时等号等立，2122∴+e e 的最小值为6， 故选C ．8．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学）已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是 A ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122F F c =,1PF t =， 由题意可得122,2+=-=t c a t c a ，122,2t a c t a c ∴=-=+，1222a c a c ∴-=+，即12a a c -=， 12111e e ∴-=，即2121e e e =+， 2222122222211111e e e e e e e e e ∴-=-==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可知2101e <<， 令21(0,1)x e =∈，2(0,2)y x x ∴=+∈， 所以2112e e ->，故选D ． 9．（福建省南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学）已知点M，0)，椭圆22+14x y =与直线y ＝k (x交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________. 【答案】8【解析】直线(=+y k x 过定点N （）， 由题设知M 、N 是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN +AM =2a =4，BM +BN =2a =4．则△ABM 的周长为AB +BM +AM =（AN +BN ）+BM +AM =（AN +AM ）+（BN +BM ）=8， 故答案为8．10．（广东省雷州市2019届高三上学期期末考试）已知A 、B 分别为椭圆x 29+y 2b 2=1（0<b <3）的左、右顶点，P 、Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，若点A 到直线y =√1−mnx 的距离为1，则该椭圆的离心率为________________．【答案】√24【解析】设P(x 0，y 0)，则Q(x 0，−y 0)，m =y 0x 0+3，n =−y0x 0−3，∴mn =−y 02x 02−9， 又P(x 0，y 0)在椭圆x 29+y 2b =1上，∴y 02=−b 29(x 02−9)，∴mn =b 29，点A 到y =√1−mnx的距离为1===d ，解得b 2=638，c =2√2e =c3=√24． 11．（河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考）某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e >√32的概率是________________．【答案】13 【解析】由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e >√32，可得当a >b 时，e =c a =√a 2−b 2a >√32，即得a 2>4b 2；当a <b 时，e =c b =√b 2−a 2b >√32，即得b 2>4a 2．同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6×6=36种情况，满足上述关系的有：(3，1)，(1，3)，(4，1)，(1，4)，(5，1)，(1，5)，(5，2)，(2，5)，（6，1），(1，6)，（6，2），(2，6)，共12种情况， 所以所求概率为1236=13．12．（四川省绵阳市2019届高三第二次诊断性考试）已知点P 是椭圆C ：x 29+y 2=1上的一个动点，点Q是圆E ：x 2+(y −4)2=3上的一个动点，则｜PQ ｜的最大值是________________． 【答案】4√3【解析】由圆E ：x 2+（y ﹣4）2＝3可得圆心为E （0，4），又点Q 在圆E 上，∴|PQ |≤|EP |+|EQ |＝|EP |+√3（当且仅当直线PQ 过点E 时取等号）． 设P （x 1，y 1）是椭圆C 上的任意一点，则x 129+y 12=1，即x 12=9−9y 12，∴|EP |2=x 12+(y 1−4)2=9−9y 12+(y 1−4)2=−8(y 1+12)2+27．∵y 1∈[−1，1]，∴当y 1＝﹣12时，|EP |2取得最大值27，即|PQ |≤3√3+√3=4√3， ∴|PQ |的最大值为4√3．13．（四川省眉山市2019-2020学年高三第二次诊断性考试数学）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【解析】（1）由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为：22142+=x y .（2）设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++ 而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞ 14．（河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==， 从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =． 由215x x =5(32)k =+， 两边平方，整理得2182580k k ++=， 解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去； 当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．15．（湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高三上学期第六次月考数学）如图，已知椭圆P:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴A 1A 2，长为4，过椭圆的右焦点F 作斜率为k （k ≠0）的直线交椭圆于B 、C 两点，直线BA 1，BA 2的斜率之积为−34.（1）求椭圆P 的方程；（2）已知直线l:x =4，直线A 1B ，A 1C 分别与l 相交于M 、N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC ⊥EF .【解析】（1）设B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 因点B 在椭圆上，所以x 12a2+y 12b 2=1，故y 12=b 2a 2(a 2−x 12). 又A 1(−a,0)，A 2(a,0)， 所以k BA 1⋅k BA 2=y 1x1+a⋅y 1x 1−a =−b 2a2，即b 2a 2=34， 又a =2，所以b =√3， 故椭圆P 的方程为x 24+y 23=1.（2）设直线BC 的方程为：y =k (x −1)，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 联立方程组{x 24+y 23=1y =k (x −1)，消去y 并整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3.直线A 1B 的方程为y =y1x 1+2(x +2)，令x =4得y M =6y 1x1+2，同理，y N =6y 2x2+2；所以y E =12(y M +y N )=3(y 1x1+2+y 2x 2+2)=6kx 1x 2+3k (x 1+x 2)−12kx 1x 2+2(x 1+x 2)+4， 代入化简得y E =−3k ，即点E (4,−3k )， 又F (1,0)， 所以k EF k BC =−3k3⋅k =−1，所以BC ⊥EF .16．（江西省红色七校2019-2020学年高三第一次联考数学）已知点()2,1M 在椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-u u u r u u u r．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()1,0E ，过点()2,1M 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】（1）由已知可得()()2,12,13a a -----=-g ，解得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b+=，解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）设()11N x y ,，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为()21y k x =-+， 代入椭圆方程，消去y 得()()()2222418244410k x k kx kk ++-+--=，则有()2124441241k k x k --=+，即()212244141k k x k --=+，21244141k k y k --+=+， 且判别式()216210=+>k ∆，即12k ≠-， 又点E 总在以MN 为直径的圆内，所以必有0EM EN u u u u v u u u v⋅<，即有()()11111,1,110x y x y -=+-<g ，将1x ，1y 代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得16k >-， 所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．17．（四川省成都市第七中学2019-2020学年高三上学期一诊模拟数学）已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0),F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0). （1）求椭圆C 的方程;（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，设点N(3,2)，直线AN,BN 的斜率分别为k 1,k 2，问k 1+k 2是否为定值?并证明你的结论.【解析】（1）依题意，c =√2，a 2−b 2=2.∵点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴b =|OM |=1，∴a =√3. ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1，y =±√63.设1,3⎛ ⎝⎭A，1,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B，则122233222++=+=k k 为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1=-y k x .将()1=-y k x 代入2213+=x y 整理化简，得()2222316330+-+-=k x k x k . 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631+=+k x x k ，21223331-=+k x x k .又()111=-y k x ，()221=-y k x ， 所以1212122233--+=+--y y k k x x ()()()()()()122112232333--+--=--y x y x x x ()()()()()1221121221321393⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++k x x k x x x x x x ()()()121212121212224693⎡⎤-++-++⎣⎦=-++x x k x x x x x x x x22222222226336122246313131633933131⎡⎤--⨯+⨯-⨯+⎢⎥+++⎣⎦=--⨯+++k k k k k k k k k k k ()()2212212621+==+k k . 综上得k 1+k 2为常数2.1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 2．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．3．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP得2tan PAF ∠=所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 4．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3B ．3C ．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223(),a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.6．（2017新课标全国Ⅱ理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【答案】（1） 222x y +=；（2）证明见解析．【思路分析】（1）设出点P 的坐标，利用=NP u u u ru u u r得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=；（2）利用1OP PQ ⋅=u u u r u u u r可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r，据此即可得出结论．【解析】（1）设()()00,,,P x y M x y ，设()0,0N x ，()()00,,0,NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r．由=NP u u u r u u u r得00,2x x y y ==，因为()00,M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知()1,0F -．设()()3,,,Q t P m n -，则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，()(),,3,OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r．由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=，所以OQ PF ⋅=u u u ru u u r0，即⊥OQ PF u u u r u u u r． 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．7．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）y x =或y =-（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-，所以AM 的方程为2y x =-2y x =． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．8．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【思路分析】（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点．另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此22211,131,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=． （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）．则121k k +=-=-，得2t =，不符合题设．从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=． 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-． 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．9．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，公差为28或28-． 【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r ．于是1||22x FA ===-u u u r ，同理2||22x FB =-u u u r ，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ，故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r ①． 将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||d =。
2020高考数学热点难点微专题椭圆中的定点定值问题考点考向考题点拨(68张)
因此ab1122＝ ＋143， b2＝1，
解得ab22＝ ＝41， .
故 C 的方程为x42＋y2＝1.
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
(2) 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2. 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x＝t，由题设知 t≠0，且|t|＜2， 可得 A，B 的坐标分别为t， 42－t2，t，－ 42－t2， 则 k1＋k2＝ 4－2tt2－2－ 4－2tt2＋2＝－1，得 t＝2，不符合题设． 从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)．将 y＝kx＋m 代入x42＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋ 4m2－4＝0.
＝1. (2) 以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点．
y＝kx－1，
由x42＋y2＝1
得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝1＋8k42k2，x1x2＝41k＋2－4k42. 又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点，所以点 M(2,0)． 由题意可知直线 AM 的方程为 y＝x1y－1 2(x－2)，故点 P0，－x12－y12. 直线 BM 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)，故点 Q0，－x22－y22. 若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 N(x0,0)，则等价于P
热点难点微专题六 椭圆中的定点、定值问题
由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－48k2k＋m1， x1x2＝44mk22＋－14. 而 k1＋k2＝y1x－1 1＋y2x－2 1＝kx1＋xm1 －1＋kx2＋xm2 －1＝2kx1x2＋mx1－x21x1＋x2. 由题设 k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0， 即(2k＋1)·44mk22＋－14＋(m－1)·－4k28＋km1＝0，解得 k＝－m＋2 1.
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三压轴解答题第二关椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第(1) 问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第( 2)问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等•这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.【考点方向标】方向一中点问题典例 1 . (2020 •山东高三期末)已知椭圆2 _- 1a \ 2的右焦点为F , P是椭圆C上一点, 2PF x轴, PF(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线I与椭圆C交于A、B两点, 线段AB的中点为M , O为坐标原点，且OM2，求AOB 面积的最大值•【举一反三】(2020•河南南阳中学高三月考) 已知椭圆2 _b21(a b 0)的一个焦点与抛物线y243x的焦点重合，且椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线I交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为M (1,t)，直线m是线段AB的垂直平分线，求证: 直线m过定点，并求出该定点的坐标.方向二垂直问题（2）如图，过椭圆 C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线uuuv 1 uuv uuuv 1 uuvAM —AB ，DN —DE ，求 MNF 面积的最大值.2 2【举一反三】2 2（2020 吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C :务占1（ a b 0）的左焦点为F , P 是C 上一a b1点，且PF 与x 轴垂直，A , B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且 AB POP ，且 POB 的面积是-，其2中0是坐标原点• （1） 求椭圆C 的方程•（2） 若过点F 的直线h , 12互相垂直，且分别与椭圆 C 交于点M , N , S , T 四点，求四边形 MSNT 的 面积S 的最小值•方向三面积问题线与椭圆相交于 M , N 两点，点P 为线段MN 的中点，点0为坐标原点•当直线MN 的斜率为1时，直线1 0P 的斜率为2（1）求椭圆C 的标准方程；典例2. （2020 •安徽期末）已知椭圆2x ~2 a2721(b 0）的离心率e 2，且过点（丄2,上3） •2 2 2AB, DE 交椭圆分别于A, B,D, E ，且满足典例3. （2020 •安徽高三月考）已知椭圆 2 2E:十 1 a b 0的左焦点为Fa b1,0，经过点F 的直（1）求椭圆C 的方程;(ii )直线I 与y 轴交于点G ,记△ PFG 的面积为S 1,△ PDM 的面积为S ，求S1S 2的最大值及取得最大2 2(2020 •重庆高三月考)已知椭圆C :^- -y - 1 (aa b0)的离心率e—，且圆x 22y 1经过椭圆C(2)若点A 为椭圆的左顶点，点 B 为椭圆的右顶点，过 F 的动直线交该椭圆于 C , D 两点，记 ACD 的2 2r —C ：a b2 ia b 0的离心率e二，且椭圆过点习(1) 求椭圆C 的标准方程；(2)设直线|与C 交于 M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM 1 ON COD ，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由【举一反三】面积为S i ,BCD 的面积为S 2，求S 2 S i 的最大值.典例4. (2020河南高三月考)已知椭圆 (2020 •全国高三专题练习)平面直角坐标系2 2xOy 中，椭圆C :与笃 a b1 a > b >0 的离心率是-11，抛物2 线E : x 2 2y 的焦点F 是C 的一个顶点. (I)求椭圆C 的方程；(I)设P 是E 上的动点，且位于第一象限,E 在点P 处的切线|与C 交与不同的两点 A , B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点 M .(i )求证：点M 在定直线上 值时点P 的坐标.的上、下顶点 (1)求椭圆C 的方程;值(O 为坐标原点)方向四范围与定值问题过椭圆C 的上，下顶点 (1)求椭圆C 的方程.1(2)若直线|的斜率为1，且直线I 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为 E ,点A 2,1是椭2圆C 上一点，判断直线 AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.2典例6. (2020全国高三专题练习)已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆 岂 x 2 1的上焦点重合,a 2且过点(2「2,1). (1)求椭圆的标准方程;1(2)若抛物线上不同两点 A , B 作抛物线的切线，两切线的斜率k 1,若记AB 的中点的横坐标为 m ,k 2AB 的弦长g(m)，并求g(m)的取值范围【举一反三】2 2(2020全国高三专题练习(理))已知椭圆C :笃占 1 a b 0的长轴长是离心率的两倍，直线l :a 2b 214x 4y 30 交C 于A , B 两点，且AB 的中点横坐标为 一.2(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线I 与椭圆C 相切，且与椭圆C 14a 24b 21相交于M , N 两点，证明: VOMN 的面积为定典例5. (2020 内蒙古高三期末)已知椭圆C :b21a b 0的离心率e于，且圆x2 y2平方之积是定值.为互2(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设不过原点O 的直线I 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列, 求I OMN 面积的取值范围•【压轴选编】2 21. (2020全国高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C : A 占 1 ( a b 0)的离心a b率e . 2且椭圆C 上的点到点Q 0,2的距离的最大值为 3. (I)求椭圆C 的方程；(I)在椭圆C 上，是否存在点 M m,n ，使得直线I : mx ny 1与圆O : x 2 y 2 1相交于不同的两 点A 、B ，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的 OAB 的面积；若不存在，请说明 理由.?? ??2.【福建省龙岩市 2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆 +歹=1(??> ??> 0)的左、右焦 点分别为??,??,过点？?的直线与椭圆？交于？?,??两点，？?？???的周长为8,直线？?= ?被椭圆？截得的线段长*4用为〒(1 )求椭圆?的方程;(2)设？???是椭圆上两动点，线段???的中点为?????????的斜率分别为？？,？？(？?为坐标原点)，且4???? = -3 , 求|???的取值范围(2)若M , N 是椭圆C 上的点,O 为坐标原点，且满足 2OM2ON-，求证：OM , ON 斜率的4(2020 •四川石室中学高三月考(文)2 2)已知椭圆C:%厶 1(aa 2b 2b 0)的长轴长是短轴长的两倍，焦距2(1) 求椭圆方程；(2) 过点P 0,2的直线与椭圆交于 M 、N 两个不同的点，求线段 MN 的垂直平分线在 x 轴截距的范围.?? ??4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点??(^3,0)是椭圆？?钩+羽=1(??> ??> 0)的一1个焦点，点？？( V 3,2)在椭圆？上. (1) 求椭圆？?勺方程；1(2) 若直线？与椭圆？交于不同的？？？?两点，且?????+ ?????= - - ( ?为坐标原点)，求直线？斜率的取值范围椭圆？?交于不同的两点???? (I )求椭圆？?的离心率；(i )当？?= 2时，求？????的面积；(I )设直线???与椭圆？?的另一个交点为？？当？为???中点时，求？的值?? ?? ,36.【宁夏六盘山高级中学 2019届高三上学期期末考试】 已知椭圆???2 + ?? = 1(??> 0,??> 0)的离心率为三,长轴长为4，直线？?= ??????与椭圆？交于？??两点且/????为直角，？为坐标原点. (I)求椭圆？？勺方程； (I)求？??长度的最大值.7. ( 2020河南鹤壁高中高三月考)2 2已知椭圆E:笃占1(a b 0)的左右焦点分别为F 1,F 2 , P 是椭圆a b短轴的一个顶点，并且 PF 1F 2是面积为1的等腰直角三角形.(1) 求椭圆E 的方程；3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆2 2 xy 2,2ab1(a b 0)的离心率e 2，且经过点25.【北京市海淀区 2019届高三上学期期末考试】已知点?? ????(0,-2)和椭圆？？二 + y = 1.直线？???= ???? 1 与3(2)设直线11 : x my 1与椭圆E相交于M,N两点，过M作与y轴垂直的直线12，已知点H(—,0)，问2(2)求VPF 1M 面积的最大值直线NH 与12的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由2x8. ( 2020江西高三)已知椭圆 C : -Tab 21(a b 0)过点( .3, 1)，且它的焦距是短轴长的 (1)求椭圆C 的方程.(2)若A , B 是椭圆C 上的两个动点 A , B 两点不关于x 轴对称)，O 为坐标原点，OA , OB 的斜率分别为k i , k 2，问是否存在非零常数 ，使当kk时，AOB 的面积S 为定值？若存在，求的值;若不存在，请说明理由x 29.(2020甘肃省岷县第一中学期末) 已知椭圆C :二a0(0,0) , OAB 的面积为1. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：| AN | |BM |为 定值•古(a b 0)的离心率为于，A(a,0),B(0,b),2 210. (2020江苏高三期末)已知椭圆 C :务每 1(a b 0)的左右焦点分别为F i,F2，焦距为4,且椭 a b5圆过点(2,—)，过点F 2且不平行于坐标轴的直线I 交椭圆与P,Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线3PR 交x 轴于点M •(1 )求VPFQ 的周长;直的射线与椭圆 C 分别交于M ，N 两点. (2)若椭圆C 的焦距为2,是否存在定圆与直线 MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明 理由.椭圆上异于A, B 的任意-一点，直线TA,TB 的斜率之积为 (1)求椭圆C 的方程；2 2 _14. (2020河北高三期末)设椭圆 C:% % 1 (a b 0)的一个焦点为 C'2,0)，四条直线x a , a by b 所围成的区域面积为(1 )求C 的方程；_ _ 1(2)设过D(0,3)的直线l 与C 交于不同的两点 代B ,设弦AB 的中点为M ，且|OM I ? I AB I ( O 为原11. (2020河南高三期末)已知椭圆x y a 2 b 23b 0过点1,-，过坐标原点O 作两条互相垂(1)证明：当a 2 9b 2取得最小值时，椭圆C 的离心率为2x12. (2020四川高三月考)已知椭圆 C:-rab 0的短轴顶点分别为 AB ,且短轴长为2,T 为2⑵设O 为坐标原点，圆O : x3的切线I 与椭圆 4C 相交于P,Q 两点，求△ POQ 面积的最大值.13. (2020内蒙古高三)已知椭圆b 0的离心率为丄6,以原点O 为圆心，椭圆C 的3长半轴长为半径的圆与直线 2x J2y0相切.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知点A , B 为动直线y0与椭圆C 的两个交点，问：在 x 轴上是否存在定点 E ,使得 Euu 2 E A A B 为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由点分别为A .(1)求椭圆E 的标准方程;1 )为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB , AC点),求直线I 的方程•15. (2020山东高三期末)已知椭圆1 ( a b 0)的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为F i 、满足:2a •已知直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;ujur (2)若直线I 过点F 2，且AF 2 unn2F 2B ，求直线I 的方程;(3)若直线I 与曲线y In x 相切于点T t,l nt (t 0)，且AB 中点的横坐标等于2―，证明：符合题意3的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标1(a b 0)过点M (1,1)离心率为求菱形ABCD 面积的最小值•17. (2020福建省福州第一中学高三开学考试)已知2 2O 为坐标原点，椭圆E :卑占 1 a a bb 0的焦距为2.3，直线y x 截圆O : x 2y 22a 与椭圆E 所得的弦长之比为-10，椭圆E 与y 轴正半轴的交2(2)设点 B x 0,y 0 ( y ° 0 且 y °QF i2 2(2)如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆 ，分别交x 轴于点M , N •试判断OM ON 是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由23 1b21（a b 0）过点P1,2，且离心率为2（1）求椭圆C 的方程;3（2）已知点Q 1, 2是椭圆上的点，A，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A,B 运动时，满足APQBPQ ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由 •弦长为2 2 •（1） 求椭圆C 的方程；（2） 已知点M （1,「2），斜率为 2的直线I 与椭圆C 交于不同的两点 A , B ，当△ MAB 的面积最大时,求直线I 的方程•2 2C : X y 与 1(a b 0) , F 为椭圆C 的右焦点， a b（1） 求椭圆C 的标准方程；| PF |（2） 斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于M , N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究是| MN |18. （2020江西高三期末）已知椭圆19. （2020甘肃高三期末）设椭圆0）的离心率是—2，直线x21被椭圆C 截得的D 1,丄6为椭圆220. （2020江西高三期末）已知椭圆否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由离为2，(1 )试求椭圆M 的方程；1 3 (2)若斜率为一的直线|与椭圆M 交于C 、D 两点，点P(1, —)为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为K ，22直线PD 的斜率为k 2，试问：k 1 k 2是否为定值？请证明你的结论22. (2020四川高三期末)在平面直角坐标系中，已知点A( 2,0) , B(2,0)，动点P(x,y)满足直线AP 与BP 的斜率之积为3.记点P 的轨迹为曲线C .4(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；1⑵若M , N 是曲线C 上的动点，且直线 MN 过点D 0,，问在y 轴上是否存在定点 Q ，使得MQO NQO ?若存在，请求出定点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由2 22,0 ,F 2 2,0是椭圆 C ：a b1a b椭圆C 上一点，当MF 1 F 1F 2时，有MF 2 3MF 1 . (1)求椭圆C 的标准方程;使得 ATF 2 BTF 2恒成立？若存在，求出定点 T 的坐标，若不存在，请说明理由专题三压轴解答题21. (2020青海高三期末)已知椭圆a 2b 21(a b 0)的离心率为短轴的一个端点到右焦点的距23. (2020山西高三期末)已知 F 10的两个焦点,(2 )设过椭圆右焦点 F 2的动直线I 与椭圆交于A,B 两点，试问在x 铀上是否存在与 F 2不重合的定点T ,第二关椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、 导数相交汇，每个题一般设置了两个问， 第（1） 问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（ 2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等•这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知 识的密切联系.【考点方向标】 方向一中点问题面积的最大值【答案】 2(1)x82y1；(2)22.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为 2c c 0，由题知，点P c,2，b 2，则有c 2豆22 2c, ~1a3「 22 2 2，又 a b c 2 c , 42a 8 , c 26 ,2a22 2因此，椭圆C 的标准方程为 —1 ；8 2（2）当AB x 轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ,典例1. （2020 •山东高三期末）已知椭圆1 a .2的右焦点为F , P 是椭圆C 上一点,PF x 轴, PF(1) 求椭圆 C 的标准方程;(2) 若直线 I 与椭圆C 交于A 、 B 两点, 线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点，且OM J 2，求AOBOM 屉可得AB 逅，此时S AOB OM AB 灵;AB不垂直x轴时, 设直线AB 的方程为kx t，与椭圆交于 A x i,y i ,B X2, y2 ,x2 2y2kx 1，得 1 4k2 28ktx 4t 0.X i X28kt2，1 4k2x1x24t28，从而1 4k24 kt4k2'1t4k2已知OM .2，可得t22 1 4k2 21 16k2Q AB k2 2 4x1x2k28kt4k24t284k216 8k2t2 2224k2设O到直线AB的距离为d，则d2t2 1 k2S2AOB 16 8k2t221 4k2 2t2k2.将t22 1 4k216k2 16k2当且仅当P22—代入化简得S2AOB P，则S2AOB3时取等号,综上：AOB的面积最大,【举一反三】192k24k2 116k2 22 2192k 4k 12 21 16k12 p 1 P4-2P4.此时AOB的面积最大,最大值为2.(2020 •河南南阳中学高三月考) 已知椭圆2XC： Ta最大值为2.2& 1(a b 0)的一个焦点与抛物线 4.3x的焦点重合，且椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线|交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为M (1,t)，直线m是线段AB的垂直平分线，求证:直线m 过定点，并求出该定点的坐标.3综上所述，直线 m 过定点 ,0 .4方法二：显然点 M(1,t)在椭圆C 内部，故—3 t2当直线l 的斜率存在且不为0时，设A(X 1,yJ ， B(X 2,y 2)，2 2则有 M y 121，x2 y 21，44两式相减得―一空 (y 1 y 2)( y 1 y 2) 0.42【答案】(1)1 y 241 ；( 2)直线m 过定点3,0，详见解析•4【解析】(1)抛物线y4、,3X 的焦点为c.3,0)，则ca%2 ,3.椭圆C 的离心率eCa3，则 a 2,b 2a 22c 21.故椭圆C 的标准方程为 2x 2彳xr y1.(2)方法一：显然点 M (1,t)在椭圆C 内部，故■J 2 t 3，且直线 2I 的斜率不为0.当直线I 的斜率存在且不为 0时，易知t 0，设直线I 的方程为y k(x 1) t ，代入椭圆方程并化简得(12 2 2 2 24k 2 )x 2 (8 kt 8k 2)x 4k 28 kt 4t 20.设 Ag%)，B(X 2,y 2)，2nt[8kt 8k则 x 1 x 21 4k 22，解得k丄4t因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线 m: y t4t(x 1)，即 y t(4x 3).3令4x 3 0，此时x ,y40,于是直线m 过定点当直线I 的斜率不存在时，易知t 0，此时直线m:3，故直线m过定点訐.3，且直线l 的斜率不为0 .2由线段AB 的中点为M(1,t)，则x , x 22,y y 2 2t ,因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线 m: y t3 ,y 0，于是直线m 过定点43，故直线m 过定点 ,0 .4综上所述，直线 m 过定点 ,0 .4方向二垂直问题【答案】(1)且直线AB, DE 斜率均存在且不为0,现设点A x-], y 1 , B x 2, y 2 ,故直线l 的斜率k 生丄x 1 x 24t 4t(x 1)，即 y t(4x 3).令4x 30 ,此时x当直线l 的斜率不存在时, 易知 t 0，此时直线m : y2書1(abb 0)的离心率e 辽，且过点2f)-(2)如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线 AB, DE 交椭圆分别于 代B,D, E ,且满足uuuv 1 uuv AM -AB ,2uuu v DN1 uuu/ -DE , 2MNF 面积的最大值.【解析】(1) 根据条件有uuuu 1 uuu (2)根据 AM AB ,2a 21 2a 2uur CN 2b 2 32 4b，解得a 211 uuuCD 可知, 2 22x 2,b1，所以椭圆C ：—M ,N 分别为AB,DE 的中点, y 2 1 •典例2. (2020 安徽期末)已知椭圆(1)求椭圆C 的方程;直线AB 的方程为x my 1，不妨设m 0 ,联立椭圆C 有m 2 2 2my 1 0,根据韦达定理得：y 1 y 22m齐，为x 2 m…2 m m 2 2,m 2 2MF竺m 一1，同理可得NF2所以 MNF 面积SMNF!|MF 2NF1 m -m, 1 ' m - m一，现令2那么 SMNF t 4F4t 1 ~~2 t 所以当t 2, m1时, MNF 的面积取得最大值 【举一反三】 (2020 •吉林东北师大附中高三月考)已知椭圆 C : 2 x _2 a点，且PF 与x 轴垂直, A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且中0是坐标原点• (1)求椭圆C 的方程. (2)若过点F 的直线l 1, 12互相垂直，且分别与椭圆 C 交于点M面积S 的最小值. 2 I 答案】(1) f y2 1; (2)垃 9 b 2【解析】(1)依题意画出下图可设 P( c, —) , A(a,0) , B(0,b),a211 m 22AB POP 的左焦点为F ，P 是C 上一一1，且 POB 的面积是丄，其2T 四点，求四边形MSNT 的k ABb 2 ac则有: SPOBb 2c 2 1bc22abaa 、2，解得 b 1c 1 2 i 椭圆c 的标准方程为x 2 y 2 1； (2) i 当 11 x , J//X 时, S MSNT 2g2ag2^ 2b2 2； i 当11 ,I 2斜率存在时，设l i : x ky I 2: x 1y 1，分别联立椭圆方程 k y 2 1,联立 x 2 x2ky 1 得k 21 2 y 2 2ky i y 1y 2 2k 2，y 』21 ~2~ k2 21 MN ■■ k2 1 \ y 1 2y 24 y 1 y 22k k 2 24 k 2 22 2 k 2 k 2同理ST 2-2 丄 1 ___ k 2 丄 7 2.2 1 k 1 2k 2i S 1MNgST 2 28 k 21 2 1 2g k 2 2 2k 2 1 224 k 21 k2 2 2k 2 1212 2k 2 2k1)224 k 22 2 24(k 1) 9 k 2 1 2当且仅当k 2 2 2k 2 1 即 k 21 即 k 1时等号成立,故四边形MSNT 的面积S 的最小值S min16 912方向三面积问题2典例3. (2020 •安徽高三月考)已知椭圆 E ：仔aa b 0的左焦点为F 1,0，经过点F 的直线与椭圆相交于 M , N 两点，点p 为线段MN 的中点, 点0为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线1OP 的斜率为2(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点A 为椭圆的左顶点，点 B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于 C ，D 两点，记 ACD 的面积为3 , BCD 的面积为S 2，求S 23的最大值.2 所以椭圆E 的标准方程为—22【答案】(1)- 2y 21 (2)2【解析】(1 )设M x,y i , NX 2,y 2，则点PX , X 2 2宁，由条件知直线MN 的斜率为y i y 2 , 1,XX直线OP 的斜率为y , y 2X X 22X而a2 22X Lb 2y b 2，两式作差得，2 Xi2a2 X22 y 2b 2b 2所以二a 2X L 2 Xi2 y2 2 X2y 1 y 2 X-i X 2 又左焦点为1,0， 所以c 2y 1 y 2 X i-，即22b 2,b 2 2 22b b b 2(2)设直线CD 的方程为xmy 1 ，记C ， D 过标为 X 1,y 1 ， X 2,y 2 ，则 S , L |AF2y 1 y 2 y 1 y 2，y 1 y 2y i y 2，所以S 2 Sy 1 y 2.2 2【答案】（1） — — 1 ； （ 2）是定值，其定值为•' 6 •42ca22c c 0，由题意可得2 a2 a22 1 -2 1 ,解得 a 24，b 2 2，b b 2c 22 2因此，椭圆C 的标准方程为— 1 ；42（2）当直线|的斜率不存在时，直线 MN 的方程为x 1或x 1.联立方程,x 2 2y 22，消去x ，得 m 2 所以 y iy 2y iy 28 m 2 12所以 S 2 S 1典例 (1) (2) my2m m 2 28t t 1 2y 1 y 2y”24y i y 22 y 22my 1 0,1 m2 2 8 m 2122、、2，即 S4. （2020河南高三月考）已知椭圆求椭圆C 的标准方程;设直线I 与C 交于M 、N 两点,，令t2，当且仅当t2x c r a点D 在椭圆 C 上, 形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值; 1，则t i ，且1时等号成立,b 0的离心率O 是坐标原点，若 如果不是， 请说明理由e 2，且椭圆过点2,12uuu vOMONV ODV ，判定四边【解析】（1）设椭圆C 的焦距为12x 1x 1若直线I的方程为x1，联立x2y2，可得V6，一—1y4 22此时，MN晶，四边形OMDN的面积为丄苗2恵，2同理，当直线I 的方程为x 1时，可求得四边形 OMDN 的面积也为,6 ;当直线 I 的斜率存在时，设直线I 方程是y kx m , 代人到 2k 2 x 2 4kmx 2m 2 4 X i X 24 km 2， 1 2k x 1x 2 2m 2 4 1 2k 2 ' 2 8 4k 2 2y i y 2 k x i x 2 加半, 1 k 2 MN .i k 2 X i X 2 、i k 2 、 x i2x 24x 1x 22、〔2 一 4k 2 2 m 21 2k 2'点O 到直线MN 的距离d .1 k 2 ' 丄 uuun umr由 OM 0C OD ，得 XD X i X 2 4 km2k 2 1 y D y i y 22 ?2k Q 点D 在椭圆 C 上，所以有 4 km 1 2k 2 4 2m 1 2k 2，整理得2k 2c 22m ,由题意知，四边形 OMDN 为平行四边形, 平行四边形OMDN的面积为 S OMDN 2S OMN 2丄|MN2d 、i k 22.2 4k 2 2 m 2i 2k 2,i k 22 2 2 8k 4 2m 2 2k 2 1 8k 2 4 2k 21i 2k 2 2k 2 i 2k 2 1 -2 6 . 2k 1故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为 【举一反三】 （2020 •全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :£ i a > b >。
椭圆27种常考经典题型及方法
椭圆27种常考经典题型及方法
很多学生都说，青颜整理的63套高中数学解题方法很实用，特别针对了解答题类。
很多学生很期待，青颜能出一套关于高中数学选择填空破题方面的方法。
今天开始，我们就开始更新一系列高中数学选择填空破题微方法大全，而椭圆是常见常考的一个考点！下面是
椭圆27种常考经典题型及方法！
今天我们研究椭圆的定义(第一定义)，“平面内与两个定点的距离之和等于定长的动点轨迹” (定长大于两定点之间的距离)是椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2020年高考数学椭圆二轮复习专项微专题核心考点突破答案解析与点睛(37页)
2020年高考数学椭圆二轮复习专项微专题核心考点突破答案解析与方法点睛考点分析1专题综述椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运用椭圆知识观察、分析和解决问题的能力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助.典型例题2考点剖析2.1椭圆方程及其几何性质求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问.这要求学生能熟练地使用常用的方法:直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不同的结果表述，前者是方程，后者是图形.例1设圆的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明为定值，并写出点E的轨迹方程.思路探究:妙用几何性质，因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以，故.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而，所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，，由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为:.方法点睛:求椭圆方程的常用方法，(1)直接法，直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)=0；(2)待定系数法，已知所求曲线的类型，求曲线方程一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法，先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法，动点P(x，y)依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示，再代入已知曲线得出要求的轨迹方程.例2已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A．B．C．D．思路探求:以线段为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a，圆的方程为，直线bx-ay+2ab=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即a2=，从而，椭圆的离心率，故选A.方法点睛:椭圆的几何性质是高考命题不可或缺的考点，将椭圆的几何性质与其他知识，如切线、斜率等融合、交汇，常常命制出玲珑别致，又不失新颖的客观题，而且时常作为客观题的压轴题.一般求离心率e的方法有:(1)整理出椭圆的标准方程后可直接求出a，c，再利用离心率公式来求解；(2)在焦点三角形中利用椭圆第一定义得求解；(3)根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造a，c 的等式(特别是齐二次式)，进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e2.2直线与椭圆的位置关系在函数与方程思想的统领下，直线与椭圆的位置关系重点考查以下内容:其一，直线与椭圆的位置关系；其二，直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线的方程；其三，直线与椭圆相交，被直线截得的弦长等问题.直线与椭圆的位置关系常用的判断方法有:代数法和坐标变换法.直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线方程常用求法有:韦达定理法、点差法、直线参数方程法和对称设点法；直线与椭圆相交，求直线被截得的弦长常用求解方法有:韦达定理法、过焦点弦长公式(利用椭圆第二定义)以及利用过椭圆上一点的切线方程等方法.例3过椭圆内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程.思路探求1:直线和椭圆相交求中点弦所在的直线方程.将直线方程代入椭圆方程，整理后利用韦达定理，求出直线的斜率.解法1:设所求直线的方程为y－1=k(x－2)，将其代入椭圆方程并整理得.又设直线与椭圆的交点为，则是方程的两个根，于是.又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为x+2y－4=0.思路探求2:利用点差法，根据椭圆弦中点的性质求出直线的斜率，再用点斜式得出直线方程.解法2:设，则，①－②得，，，即，故所求直线方程为x+2y－4=0.方法点睛:AB(不过原点)是椭圆的不平行于对称轴的弦，为AB的中点，则，即.思路探求3:将直线的参数方程代入椭圆方程整理后利用韦达定理，根据中点所对应参数的几何意义，求出直线的斜率.解法3:设所求直线的参数方程为，代入椭圆方程并整理得.又设直线与椭圆的交点为A，B，则方程的两个根是A，B对应的参数，M为AB的中点，所以t 1+t2=0，，解得，即为直线的斜率，故所求直线方程为x+2y－4=0方法点睛:设所求直线的参数方程为(t为参数)代人椭圆方程并整理得t的一元二次方程，该方程的两个根是A，B对应的参数，M为AB的中点，由，求得直线斜率.思路探求4:利用中心点坐标设弦端点的坐标，代入椭圆方程相减后直接得出直线方程.解法4:整理椭圆方程为，设A(x，y)，B(4－x，2－y)，则有③－④得x+2y－4=0，即是中点弦所在的直线方程.此种方法较为简便.方法点睛:整理椭圆方程为(m>0，n>0，m≠n).设A(x，y)，，，⑤－⑥得就是中点弦所在的直线方程.思路探求5:将弦的两个端点坐标设为对称形式，可以快速得出中点弦所在直线的斜率，解题时若能充分利用这些结论，则可以轻松、准确地解决“中点弦”的有关问题.解法5:整理椭圆方程为.由题意可设A(2+m，1+n)，B(2－m，1－n)，则有，以上两式相减得4m+8n=0所以，.故AB的直线方程为y－1=－(x－2)，整理得x+2y－4=0.方法点睛:点M是线段AB的中点，设，，有两个非常简单有趣的结论:，.例4设椭圆，求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a，k表示).思路探求:椭圆被直线截得的弦长，即直线与椭圆相交的两个交点的距离.直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x得到关于x或y的一元二次方程，利用两点间距离公式得到弦长公式(直线斜率k存在).进一步应结合韦达定理解决问题.解:设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP，由得，故.因此.方法点睛:直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，即得到弦长公式，.2.3与椭圆相关的综合问题在数形结合思想统领下椭圆的综合问题主要考查以下内容:斜率和离心率范围、定点问题、定值问题和最值问题等.定点、定值一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的问题以及与椭圆有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.椭圆中最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或椭圆中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.椭圆的探索性问题主要体现在以下方面:(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，涉及这类命题的求解主要是研究直线与椭圆的位置关系问题.例5已知椭圆的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1 (I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设P在椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证:为定值.思路探求:本题要证明的当点P在椭圆C上运动变化时|AN|•|BM|为定值，显然，引起运动变化的根源是点P.因此，将点设为参数，将用表示，再利用点P在椭圆上进行减元、消参，进而证明定值与参数的变化无关.解:(I)椭圆的方程为.(Ⅱ)由(I)知，A(2，0)，B(0，1)，设，则.当x≠0时，直线P A的方程为.令x=0，得.从而.直线PB的方程为.令y=0，得.从而.所以.当时，，所以.综上，为定值.当然，由于本题是证明|AN|•|BM|为定值，也可以先通过特殊位置，例如点P为椭圆左顶点时获得定值4，然后进行推理运算，目标更为明确.方法点睛:定值问题的解题步骤如下第一步，引入参数.一般情况下，这些参数包括点的坐标、直线的斜率、截距、夹角等；第二步，根据题意建立包含参数的等量或不等量关系；第三步，通过推理、计算探索出定值.这是定值问题的关键步骤，对运算能力、思维能力、几何直观能力要求较高； 第四步，下结论. 3复习对策与建议(1)立足基础，把控规律，回归教材.从宏观上把握椭圆问题的解题要点，注重通性通法、一题多解和多题化归，优化解题过程，淡化特殊技巧，掌握常用的一些解题策略.(2)发掘几何性质，简化代数运算.高度重视对椭圆的定义与几何性质、解析法的理解与运用，既可提高解题效率，又可以提升学生的信心.重视运算能力与运算速度的提高，特别是字母式的变形运算，在平时的训练中要注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，注重整体代换等运算技能的培养.重视椭圆与函数、导数、方程、不等式等知识的交汇训练.(3)注重数学思想和能力的训练，不断积累解匙经验.重视数形结合、转化化归、分类整合以及函数与方程思想的训练；培养学生善于透过问题背景扣住问题本质的能力；培养学生善于合理简化和量化，建数学模型的能力，培养学生能用精确和简洁的数学语言表达数学问题的能力.积累多方位、多角度探寻解决问题的经验. 最新模拟题1．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P是它们的一个公共点,且122F PF π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则221211e e +=( )A ．2B ．3C ．4D ．3【答案】A 【解析】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,则根据椭圆及双曲线的定义:1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a , 则112=+PF a a ,212=-PF a a , 设122F F c =, 因为122F PF π∠=,所以2221212PF PF F F +=,即()()()22212122a a a a c ++-=,化简可得222122a a c +=,因为1ae c=,所以2212112e e +=,故选:A2．已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为第二象限内椭圆上的一点，且1230F PF ∠=︒，直线2PF 交y 轴于点M ，若1223F F =，则该椭圆的离心率为（ ） A 3B ．312C 51- D ．104【答案】B 【解析】 如图，由1223F F =，得23OF =， 在2Rt MOF ∆中，可得23tan 3MF O ∠=，即2130PF F ∠=︒， 又1230F PF ∠=︒，∴1122PF F F c ==，由22sin120sin 30PF c=︒︒，得223PF c =. 则212322PF PF c c a +=+=，即31231c e a ===+. 故选：B.3．点P 在椭圆221:143x y C +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆222:68210C x y x y ++-+=上，则PQ PF -的最小值为（ ）A ．424B ．442-C ．625-D ．256【答案】D 【解析】设椭圆的左焦点为1F 则||||||(||)||||11PQ PF PQ 2a PF PQ PF 4-=--=+-故要求||||PQ PF -的最小值， 即求||||1PQ PF +的最小值，圆2C 的半径r 为2 所以||||1PQ PF +的最小值等于()2221C F 21342252-=-++-=-，||||1PQ PF +的最小值为256，故选D ．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆的面积为232-，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为， ，A ．[1,2]B ．2,3]C ．[2,4]D ．[1,4]【答案】D 【解析】由得椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为22,1b b ==，()11232F AB S a c b ∆-=-=，解得23,2,3a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即23,23x ⎡∈⎣，()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D.5．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线l ：33x =-E 交于两点A 和B ，和y 轴交于点P .若2FP PA =u u u r u u u r，则椭圆E 的离心率e =（ ） A ．23 B ．232- C ．423- D 31【答案】D 【解析】根据直线可知()3,0F ，所以3c =又()0,1P 及2FP PA =u u u r u u u r，得3322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 代入椭圆方程有2239144a b+=，将223b a =-代入， 解得2633a +=或226333a c -=<=（舍去）， 则)2242331633e ==-=+，故选：D6．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点23P ⎝⎭，椭圆E 的离心率为22，则椭圆E 的焦距为（ ） A ．1 B ．2C 2D ．22【答案】B 【解析】因为椭圆E 的离心率为22，所以22c a =， 因为椭圆过点23P ⎝⎭，所以2213124a b +=， 又222a b c =+，解得：1c =， 所以焦距为22c =.故选：B.7．已知椭圆C 的中心为原点O ，(5,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为， ，A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=【答案】B 【解析】由题意可得c=25F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF ′=∠FPO ，∠OF ′P=∠OPF ′， 所以∠PFF ′+∠OF ′P=∠FPO+∠OPF ′， 由∠PFF ′+∠OF ′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF ′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．8．椭圆()222210x y C a b a b+=>>：与抛物线2:4E y x =相交于点M ，N ，过点()1,0P -的直线与抛物线E相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为 A 3B ．22C ．23D 3 【答案】B 【解析】设过点()1,0P -的直线方程为1x my =-，联立方程组221,4404x my y my y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，因为直线与抛物线相切，所以2161601m m ∆-=⇒=±， 所以切线方程分别为1x y =-或1x y =--.此时1x =，2y =或1x =，2y =-，即切点()1,2M 或()1,2N -.又椭圆的右顶点(),0A a ，因为四边形PMAN 为平行四边形，所以PM AN k k =，即得()()02203111a a ---=⇒=---.又交点()1,2在椭圆上， 所以22149192b b +=⇒=， 所以2229322c a b c =-=⇒=所以离心率为322232c c a ===.故选B.9．设椭圆E :2222x y a b+=1(a >b >0)的一个焦点为F (c ,0)(c >0),点A (﹣c ,c )为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得|P A |+|PF |=9c ,则椭圆E 的离心率取值范围为( ) A ．[12,1) B ．[13,12] C ．[12,23] D ．[15,14] 【答案】D 【解析】 如图：设椭圆的另一个焦点为1(,0)F c -， 因为11||||||PF PA AF ≤+，所以112||||||||||910a PF PF PA AF PF c c c =+≤++=+= 由11||||||PF PA AF ≥-，所以112||||||||||98a PF PF PA AF PF c c c =+≥-+=-=，所以8210c a c ≤≤，即45c a c ≤≤， 所以1154e ≤≤. 因为点A 在椭圆内，所以2b c a<，所以22ac a c <-，所以210e e +-<，解得51e -<因为51124>， 所以1154e ≤≤. 故选：D10．已知椭圆E ：22x a＋22y b ＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3,0），过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．223627x y +＝1 C ．222718x y +＝1D ．22189x y +＝1【答案】D 【解析】因为直线AB 过点F （3,0）和点（1，－1），所以直线AB 的方程为y ＝12（x －3），代入椭圆方程22x a＋22y b ＝1消去y ，得224a b ⎛⎫+⎪⎝⎭x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0， 所以AB 的中点的横坐标为2223224a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝2，椭圆方程为221189x y +=．故选：D ．11．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M N 、两点，则||||||FM FN FA +的值为（ ）A 22a b- B 22a b+C 222a b- D 222a b+【答案】A 【解析】椭圆：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），圆C ：（x ﹣R+c ）2+y 2＝R 2，联立解得e 2x 2+2（c ﹣R ）x +a 2﹣2RC ＝0， 设 M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则有x 1+x 2222R ce-=， 因为|MF |222221111()2x c y e x cx a =++=++=a +ex 1， 同理|NF |＝a +ex 2，所以|MF |+|NF |＝e （ x 1+x 2）+2a 2Re=，∴ 22||||1=||e FM FN FA a b+-故选：A.12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点和左焦点分别为A 和F ,||3AF =,直线y kx =交椭圆于,P Q 两点(P 在第一象限),若线段AQ 的中点在直线PF 上,则该椭圆的方程为( ) A ．22195x y +=B ．2211615x y +=C ．22418118x y +=D ．2218145x y +=【答案】C【解析】根据画出椭圆()222210x y a b a b+=>>图像,如图:设点()P m n ,,则(,)Q m n --,AQ 的中点为M , 根据中点坐标公式可得:,22a m n M ---⎛⎫⎪⎝⎭ Q 有题意可知(,0)A a -,又Q ,,A Q M 三点共线,可得:PF PM k k =∴ 可得:220nn n a mm c m +-=+++ 解得:133m c m a=++ ,故3c a =——① Q ||3AF =,可得:3a c -= ——②由①②可得:92a =,32c = 根据椭圆性质:222a b c =+,可得218b =∴ 该椭圆的方程为: 22418118x y +=.故选:C.13．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．26⎫⎪⎪⎝⎭B ．155⎛ ⎝⎭C ．12,52⎛ ⎝⎭D ．2622⎝⎭【答案】D 【解析】 ∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ； ∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e 22∵sin ∠F 1PQ 513=，∴cos ∠F 1PQ 1213=； 设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝n ，而|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|+|PF 2|＝m +n ＝2a ， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 4c 22212213m n mn =+-⋅． ∴4c 2＝（m +n ）2﹣2mn ﹣2mn •1213； 即4c 2＝4a 25013-mn ；∴mn ()222625a c =-； 由基本不等式得：mn 2()2m n +≤=a 2， 当且仅当m ＝n 时取等号；由题意知：QF 1⊥QP ，∴m ≠n ，∴mn 2()2m n +=＜a 2， ∴()222625a c -＜a 2∴a 2＜26c 2； 故2126e ＞，∴e 26综上可得：2626e 22． 故选：D ．14．已知点P 为椭圆221916x y +=上的任意一点，点12,F F 分别为该椭圆的上下焦点，设1221,PF F PF F αβ=∠=∠，则sin sin αβ+的最大值为（ ）A ．377B ．477C ．98D ．32【答案】D 【解析】设|1PF |＝m ，|2 PF |＝n ，|12F F |＝2c ，A ，B 为短轴两个端点， 由正弦定理可得()2m n csin sin sin βααβ==+， 即有()2m n csin sin sin αβαβ+=++，由椭圆定义可得e ()2724sin c a sin sin αβαβ+===+, ∴()sin sin 7sin αβαβ+=+． 在三角形21F PF 中，由m+n=2a,cos222222221242444122224m n c m n mn c b b F PF m n mn mn mn+-+--∠===-≥+⨯（）（）-1=22412b a-，当且仅当m=n 时，即P 为短轴端点时，cos 21F PF ∠最小，21F PF ∠最大， ∴()21sin sin F AF αβ+≤∠=378,∴373sin sin 27αβ+≤=，故选：D ．15．已知1F ，2F 为椭圆2214xy +=的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q 是12F PF ∆内切圆的圆心，过1F 作1F M PQ ⊥于M ，O 为坐标原点，则||OM 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．(2C ．(3D ．(0,23【答案】C 【解析】延长2PF ，1F M 交于N 点，连接OM ， 因为点Q 是12F PF ∆内切圆的圆心， 所以PQ 平分12F PF ∠.因为1F M PQ ⊥，所以1PN PF =⇒M 为1F N 的中点. 又因为O 为12F F 的中点， 所以2211()22OM F N PN PF ==- 121211()322PF PF F F c =-<==所以OM 的取值范围是：3). 故选：C16．设1F ，2F 是曲线22221(0,0)x ym n m n+=>>的两个焦点，曲线上一点与1F ，2F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则n =________． 【答案】4或5 【解析】由题知曲线22221(0,0)x y m n m n+=>>表示的是椭圆，且曲线上一点与1F ，2F 构成的三角形的周长是16， 所以22168a c a c +=⇒+=， 因为曲线上的点到1F 的最小距离为2， 所以2a c -=，有82a c a c +=⎧⇒⎨-=⎩5a =，3c =， 因为2224a b c b =+⇒=， 由于不能确定椭圆焦点所在轴， 所以4n =或5n =. 故答案为：4或5.17．在ABC V 中,30,2,3ABC A AB S ∠=︒=V 若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e =__________.【答案】312【解析】因为30,2,3ABC A AB S ∠=︒==V 所以1sin 32AB AC A ⋅⋅=3AC = 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-33423212=+-⨯=， 所以1BC =，因为以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，所以231a AC BC =+=，22c AB ==，所以椭圆的离心率为31231c e a ===+. 故答案为：312. 18．设椭圆221259x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF V 的内切圆的面积为4π.设A ，B 的两点坐标分别为()11,,A x y ()22,B x y ，则12y y -值为________. 【答案】5 【解析】因为椭圆221259x y +=中，2594=-=c ，所以焦点为()14,0F -，()14,0F ， 设2ABF V 的内切圆的半径为r ， 所以24S r ππ==，得2r =，根据椭圆的定义()()221212420AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==， 所以()222112022022ABF S AB AF BF r =++⋅=⨯⨯=V ， 又因为21212ABF AF F BF F S S S =+V V V1122121212111222y F F y F F y y F F =⋅+⋅=-⋅ 124y y =-所以12420y y -=，即125y y -=. 故答案为：5.19．已知点M 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆22195x y+=的左焦点，P 是椭圆上的动点，则1||PF PM +的取值范围是_______． 【答案】[62,62]+.【解析】1226PF PF a +==Q那么126PF PF =-，则()12266PF PM PF PM PM PF +=-+-=+根据三角形三边关系可知，当点P 位于1P 时，2PM PF -的差最小， 此时2F 与M 点连线交椭圆于1P ， 易得22MF -=-1PF PM +也得到最小值，其值为62．当点P 位于2P 时，2PM PF -的差最大， 此时2F 与M 点连线交椭圆于2P ，易得22MF ，此时1PF PM +也得到最大值，其值为62 则所求范围是[62,62]-+． 故答案为：[62,62]+．20．点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12F F 、是椭圆的两个焦点，且12PF F ∆的内切圆半径为1，当P 在第一象限内时，P 点的纵坐标为________． 【答案】83【解析】根据椭圆的定义可知1212106PF PF F F +==，， 令内切圆圆心为O则()121212121212PF F POF POF OF F S S S S PF r PF r F F r ∆∆∆∆=++=++ ()12121182PF PF F F =++⋅= 又∵12121|3|2PF F P P S F F y y ∆⋅==． 所以38p y =，83p y =． 故答案为：8321．设点(),0M m 在椭圆2211612x y +=的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当MP 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，则实数m 的取值范围是______．【答案】14m ≤≤．【解析】设(),P x y 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为2211612x y +=，故44x -≤≤． ()()()222222211214123164x MP x m y x m x m m ⎛⎫=-+=-+-=-+- ⎪⎝⎭ ∵当MP 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当4x =时，2MP 取得最小值，而[]4,4x ∈-， 故有44m ≥，解得m 1≥．又点M 在椭圆的长轴上，所以44m -≤≤．故实数m 的取值范围是[]1,4．故答案为：14m ≤≤．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，直线l ：3y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为：______. 31【解析】如图所示，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，由椭圆的对称性及AF BF ⊥，可知1AF BF 为矩形，∴||||||OA OF OF c ===. 由直线3y x =得60AOF ∠=︒，∴||AF c =，且130AF F ∠=︒，13AF c =.椭圆的定义可得，1||32AF AF c c a +==，∴3131c e a ==+. 3123．离心率为12的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>恰好过抛物线216y x =的焦点F ，A 为椭圆的上顶点，P 为直线AF 上一动点，点A 关于直线OF 的对称点为Q ，则||PQ 的最小值为____________. 【答案】8217【解析】抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ，∴4a =， 又12c a =，2c =，22224223b a c =--= 椭圆标准方程为2211612x y +=．即(0,23)A ， 直线AF 的方程为1423x +=32430x y +-=， 点A 关于直线OF 的对称点为Q ，Q 点坐标为(0,23)-，Q 到直线AF 的距离为222(23)43821(3)2d ⨯--==+， ∴PQ 的最小值是8217． 821 24．椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1,F 2,F ,32a b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若12PF PF ⊥，则M的离心率为________. 【答案】6515【解析】 22221x y a b+=Q ()1,0F c ∴-，()2,0F c,32a b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，12PF PF ⊥， 所以22133b ba a c c ⨯=-+-， 则22220,49a c a c -+-=即221345a c = 2221345c e a ∴==， 所以65e = 6525．已知O 为坐标原点，F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线在第一象限与椭圆C 交与点P ，且POF ∆为正三角形，则椭圆C 的离心率为________. 31【解析】因为F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，所以()0F c ，， 又点F 的直线在第一象限与椭圆C 交与点P ，且POF ∆为正三角形，边长为OF c =，所以32c P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，代入22221x y a b +=可得： 22223144c c a b+=，又222a b c =+，所以4224480a a c c -+=，所以42840e e -+=， 解得2423e =±01e <<，所以2423e =-31e =. 3126．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C 交于,A B 两点，290AF B ∠=o ，且2209F AB S ∆=． （1）求C 的方程；（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．【答案】（1）22154x y +=（2）45 【解析】（1）由题意不妨设52,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，52,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭， 则252,33a b F A c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，252,33a b F B c ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ．∵290AF B ∠=o ，∴2222254099b F A F B c a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =． 又21252202339F AB a b S ∆=⨯⋅=，∴25a b ⋅= ∴5a =2b =，故C 的方程为22154x y +=． （2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则00OP y k x =．∵0OP MN k k +=，∴00MN y k x =-，设直线MN 的方程为()000y y x m m x =-+≠， 联立0022,1,54y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m +-+-=． ∵P 在C 上，∴22004520x y +=，∴上式可化为()2220004240x mx y x x m -+-=． ∴00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()220001212042225m y y mx y y x x m x -+=-++==， ()2200001212121220000y y y my y y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2222220000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， ∴()()()2222220001*********00255m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 22200025m x mx y -= ()()()2222000102012012024m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴1020102045PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--． 27．已知圆C :()22116x y -+=和定点()1,0F -,M 是圆C 上任意一点,线段MF 的垂直平分线交MC于点N ,设动点N 的轨迹为E .(1)求E 的方程;(2)过点()1,0作直线l 与曲线E 相交于P ,Q 两点(P ,Q 不在x 轴上),试问:在x 轴上是否存在定点T ,总有OTP OTQ ∠=∠?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在,定点()4,0T【解析】（1）由题,圆心C 为()1,0,半径4r =, 由垂直平分线的性质可知MN FN =,所以4FN CN MN CN MC r +=+===,所以由椭圆定义可知轨迹E 是以C 、F 为焦点的椭圆,所以24a =,即2a =,因为1c =,所以2223b a c =-=,所以轨迹方程为:22143x y += （2）存在,设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时,由椭圆的对称性,x 轴上的点均符合题意；当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()()22224384120k x k x k +-+-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y , 则2122843k x x k +=+,212241243k x x k -=+, 因为OTP OTQ ∠=∠,则0TP TQ k k +=, 所以12120y y x t x t+=--,即()1221120x y x y t y y +-+=, 所以()()12122120kx x t k x x tk -+++=, 则()2222412821204343k k k t k tk k k -⋅-+⋅+=++, 所以()24043t k k -=+,即()40t k -=, 所以当4t =时,无论k 为何值,都满足题意,所以存在定点()4,0T ,总有OTP OTQ ∠=∠28．已知椭圆2222:1x y W a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u r u u u u r ，且1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r . （1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △. 【答案】（1）2214x y +=；（22. 【解析】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =u u u u r u u u u r ，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∵Q 在W 上， 将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b +=，得2234c a =. 又∵1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意；当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意.∴可设直线2l 的方程为(()30y k x k =+≠, 联立(223,1,4y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()222241831240k x k x k +++-=， 则21228341k x x k -+=+，212212441k x x k -=+.()()2221212241||1441k MN k x x x x k +=++-=+.由221,1,4y x k x y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2244x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩或2244x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩∴()222161||4k CD k +=+. 又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||2CD =∵2F 到直线CD 的距离2311d k ==+， ∴2112222F CD S =⨯⨯=△. 29．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2，焦距为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线y kx =与椭圆C 交于点E ，F ，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，直线FM 交椭圆C 于另一点N ，证明：EF EN ⊥．【答案】（1）2212x y +=（2）见解析 【解析】（1）由题2c a =，22c =，∴2a = 1e =，1b =， 故椭圆方程为2212x y +=； （2）设00(,)E x y ，()00,F x y --，00(),M x ，则000:()2FM y l y x x x =- 与椭圆方程联立得()222222200000002240x y x x y x x y x +-+-=，由2000220022N F N x y x x x x x y +=-=+得230002200322N x y x x x y +=+，()0000000000022N N EN N N N y x x y y y y y x k x x x x x x x ---===---- 00230000022003222y y x y x x x x y =-+-+ 2200000222220000000222224y y y x y x x x x y x y +=-=⋅+-+ 2220000000000022222y x y x x x x y x y y +-=-==-， ∴00001EN EF x y k k y x ⋅=-⋅=-，即EF EN ⊥. 30．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率22e =，且椭圆过点2,1). （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r ，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2)见解析 【解析】（1）因为椭圆C 的离心率22e =222a b -=，即222a b =. 因为点)2,1在椭圆C 上，所以22211a b +=. 由22222211a b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩. 所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 6. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y kx m =+， 联立方程组22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124240k x kmx m +++-=， ()228420k m ∆=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k-=+， ()121222212m y y k x x m k +=++=+. 22222421k m MN k +-=+ 点O 到直线MN 的距离是21md k =+由OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v ，得2412D km x k -=+，2212D m y k=+. 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=.由题意，四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为2222222421121OMDN m k m S MN d k k k +-==+++222242m k m +-=. 由22122k m +=，得6OMDN S ∆=OMDN 6.31．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率为22，以椭圆的上焦点F 为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线40x y +-=截得的弦长为22（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线1l ，2l ，且分别交椭圆于M ，N 两点（M ，N 不是椭圆的顶点），探究直线MN 是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.【答案】(1) 22184y x += (2) MN 恒过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，见解析【解析】（1）∵22e =，∴22b c a ==， 设圆F 的方程为()222x y c c +-=，圆心为()0,c ，半径为c ，设d 为圆心到直线40x y +-=的距离， 则42c d -， ∵222222d r ⎛+= ⎝⎭，∴()22422c c -+=，即28200c c +-=，()()2100c c -+=，∵0c >，∴2c =. 所以椭圆的方程为22184y x +=. （2）设1l 的方程为2x ty =-，2l 的方程为12x y t=--， 联立222802y x x ty ⎧+-=⎨=-⎩，可得()222280y ty +--=， 整理()222180t y ty +-=，设()11,Mx y ， ∵M 不是椭圆的顶点， ∴12821t y t =+， 代入2x ty =-，得2124221t x t -=+， 222428,2121t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 联立 2228012y x x y t ⎧+-=⎪⎨=--⎪⎩，设()22,N x y ，∴222882121t t y t t --==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 带入12x y t =--，得2222214242=2121t t x t t ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 222428,22t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ①若MN 斜率存在，()()()()()()2222222222228882821212=42424224221212MN t t t t t t t t k t t t t t t t t --+++++=---+--+-++ 34224243=881t t t t t +=--， MN l ：22228342=212t t t y x t t t ⎛⎫---- ⎪+-+⎝⎭ 22222334281122t t t t y x t t t t -=-⋅---++ ()()()()22222342813112t t t t t y x t t t -+-=---+ ()()3222324112t t t y x t t t +=---+ 223211t t y x t t =--- 23213t y x t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭恒过2,03⎛⎫⎪⎝⎭. ②若MN 斜率不存在，1l 的方程为2x y =-，2l 的方程为2x y =--，28,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时MN l ：23x =，亦过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上，直线MN 恒过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 32．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为(c,0)F ，左顶点为A ，右顶点B 在直线:2l x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．【答案】（Ⅰ）22x y 143+=；（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 【解析】（Ⅰ）依题可知B （a ，0），a=2，因为c 1e a 2==，所以c=1，b 3=故椭圆C 的方程为22x y 143+=． （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：设点P （x 0，y 0），则()22000x y 1y 043+=≠ ①当x 0=1时，点P 的坐标为（1，±32），直线PF 的方程为x=1， D 的坐标为（2，±2）． 此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+-=与直线PF 相切．②当0x ≠1时直线AP 的方程为()00y y x 2x 2=++， 点D 的坐标为004y D 2x 2⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，BD 中点E 的坐标为002y 2x 2⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，故002y BE x 2=+ 直线PF 的斜率为0PF 0y k x 1=-，故直线PF 的方程为()00y y x 1x 1=--，即00x 1x y 10y ---=， 所以点E 到直线PF 的距离000000000222000000000x 12y 21y x 24x 4x y y 2y d BE x 2x 2x 2x 1x 2y 2(x 1)1()3(x 1)y 4--⨯-+--====+++-+-+-+-,故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．33．在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=-， （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()2,0F -作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程． 【答案】(1) 22142x y +=（0y ≠）(2) 14207x y -=或14207x y += 【解析】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22y k x =-， 又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=， 由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x 轴重合，设直线:2MN x my = 联立方程组222142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()2222220m y my +--=， 易知>0∆，且122222m y y m +=+，122202y y m -=<+ 由2MAB NAB S S =V V ，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得227m =，即14m =， 所以直线MN 的方程为14207x y -=或14207x y ++=． 34．已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，三角形ABM 的两条边AM ，BM 所在直线的斜率之积是34-。
2020届高考数学二轮复习专题《椭圆中两直线斜率之积为定值的问题》
专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标． 本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R .图34-1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆T的方程为x22＋y2＝1.设A，B，M是椭圆T上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cosθOA→＋sinθOB→.(1)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(2)求OA2＋OB2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x29＋y25＝1的左、右顶点为A，B，设过点T(9，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点D (1,0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．图34－3(1)求椭圆C 的方程；(2)若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；(3)已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k (k ≠0)，k ′，求证：k ·k ′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k (x －m )(m ∈R )与椭圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的左顶点为A ，记直线AP 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2. ①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．(1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21，所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k 2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。
2020高考数学复习专题61 椭圆的几何性质(解析版)
因为 x0 , y0 0 ，所以 x0 2, y0 1 ．
因此，点 P 的坐标为 ( 2,1) ．
②因为三角形 OAB 的面积为 2 6 ，所以 1 ABOP 2 6 ，从而 AB 4 2 ．
7
2
7
7
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，
由（*）得
x1,2
24 x0
＋c＝0)． 可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．
3．设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2](k 为直线 斜率)或 （1＋k12）[（y1＋y2）2－4y1y2](k 为直线斜率)．
∴e＝ 6. 3
4.以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．
【解析】当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有 b＝c，此时可求得离心率 e＝c＝ a
c ＝ c ＝ 2；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为 m，故有 2c＝m,2a＝(1 b2＋c2 2c 2
所以椭圆的标准方程为
x2 4
2
2
2
3.若椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的
垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是____.
【解析】 由题意知，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F，即点 F 到点 P 与到点 A 的距离
因为圆 O 的直径为 F1F2 ，所以其方程为 x2 y2 3 ．
高三数学椭圆常考题型
高三数学椭圆常考题型一、椭圆的基本性质椭圆是一种常见的二次曲线，具有以下基本性质：1. 椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。
2. 椭圆的焦点距离为：c = sqrt(a^2 - b^2)。
3. 椭圆的离心率e = c/a，离心率的取值范围是[0,1]。
4. 椭圆的准线方程为：x = ±a^2/c。
二、常考题型及解析1. 椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4。
(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若AB是过椭圆C中心的弦，M是AB的中点，且|AB| = 4√5，求线段AB 的长。
【解析】(1) 根据题意，设椭圆C的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。
由离心率的定义，我们有e = c/a = 1/2。
再根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为4，所以2a = 4，即a = 2。
由离心率的定义和已知条件，我们可以得到b = sqrt(a^2 - c^2) = sqrt(4 - 1) = sqrt3。
所以椭圆C的标准方程为：x^2/4 + y^2/3 = 1。
(2) 设AB的方程为y = kx + t。
代入椭圆方程得到二次方程(3 + 4k^2)x^2 +8ktx + 4t^2 - 12 = 0。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1 + x2 = -8kt/(3 + 4k^2)，x1x2 = (4t^2 - 12)/(3 + 4k^2)。
由弦长公式得|AB| = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = sqrt((1 + k^2)(x1 - x2)^2) = sqrt((1 + k^2)[(x1 + x2)^2 - 4x1x2])。
将已知条件代入得到k 和t 的关系，进一步求出线段AB的长为8sqrt(3-k^2)。
椭圆中6种常考基础题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第19讲椭圆中6种常考基础题型【考点分析】考点一：椭圆的通径过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a．考点二：椭圆中有关三角形的周长问题图一图二如图一所示：21F PF ∆的周长为c a 22+如图一所示：ABC ∆的周长为a 4考点三：椭圆上一点的有关最值①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c +，距离的最小值为a c -．考点四：椭圆的离心率椭圆的离心率()10<<=e a c e ，222222221ab a b a ac e -=-==考点五：椭圆焦点三角形的面积为2tan2S b θ=⋅（θ为焦距对应的张角）考点六：中点弦问题（点差法）中点弦问题：若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且AB k 与OM k 斜率存在时，则22ab K k OM AB -=⋅；（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k OMAB -=⋅若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，22ab K k PB P A -=⋅（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k PBP A -=⋅【题型目录】题型一：椭圆的定义有关题型题型二：椭圆的标准方程题型三：椭圆的离心率题型四：椭圆中焦点三角形面积题型五：椭圆中中点弦问题题型六：椭圆中的最值问题【典型例题】题型一：椭圆的定义有关题型【例1】已知△ABC 的周长为10，且顶点()2,0B -，()2,0C ，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．221(0)95x y y +=≠B ．221(0)59x y y +=≠C ．221(0)64x y y +=≠D ．221(0)46x y y +=≠【答案】A【解析】∵△ABC 的周长为10，顶点()2,0B -，()2,0C ，∴=4BC ，+=10464AB AC -=>，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵3,2a c ==，∴2945b =-=，又因为,,A B C 三点构成三角形，∴椭圆的方程是()221095x y y +=≠.故选：A ．【例2】如果点(),M x y =M 的轨迹是（）．A ．不存在B ．椭圆C ．线段D ．双曲线【答案】B=(),M x y 到点(0,3),(0,3)-的距离之和为3(3)6--=<M 的轨迹是椭圆，故选：B【例3】设1F ，2F 分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且1223PF PF += ，则12F PF ∠=（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】D【解析】因32221==+PO PF PF ，所以213OF OF PO ===，所以︒=∠9021PF F 【例4】1F 、2F 是椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，1||6PF =，过1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，则||OM 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】如图，直线1F M 与直线2PF 相交于点N ，由于PM 是12F PF ∠的平分线，且PM ⊥1F N ，所以三角形1F PN 是等腰三角形，所以1PF PN =，点M 为1F N 中点，因为O 为12F F 的中点，所以OM 是三角形12F F N 的中位线，所以212OM F N =，其中212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-，因61=PF ，所以62=N F ，所以3=OM ，所以选C【例5】已知椭圆22:12516x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=（）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C【解析】设MN 的中点为G ，椭圆的左右焦点分别为21,F F ，则G 为MN 的中点，1F 为MA 的中点，所以12GF AN =，同理22GF BN =，所以()204221==+=+a GF GF BN AN【例6】方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（）A ．0k >B ．12k <<C ．1k >D ．01k <<【答案】B【解析】方程x 2＋ky 2＝2可变形为：22122x y k+=，表示焦点在x 轴上的椭圆，则有：202k<<，解得k 1>.易知当12k <<时，k 1>，当k 1>时未必有12k <<，所以12k <<是k 1>的充分但不必要条件.故选B.【例7】点1F ，2F 为椭圆C ：22143x y+=的两个焦点，点P 为椭圆C 内部的动点，则12PF F △周长的取值范围为（）A ．()2,6B ．[)4,6C ．()4,6D ．[)4,8【答案】C【解析】由椭圆C ：22143x y +=，得：2,1a c ==，当点P 在椭圆上时，12PF F △周长最大，为226a c +=，当点P 在x 轴上时，去最小值，为44c =，又因点P 为椭圆C 内部的动点，所以12PF F △周长的取值范围为()4,6.故选：C.【例8】椭圆22193x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，如果1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的（）A ．7倍B ．6倍C ．5倍D ．4倍【答案】C【解析】由题意知：212F F PF ⊥，所以13322===a b PF ，因6221==+a PF PF ，所以51=PF ，所以521=PF PF【题型专练】1.已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）【答案】B【解析】∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC ＝8，AB +AC ＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵a ＝6，c ＝4∴b 2＝20，∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠故选B ．2.焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长为（）A ．20B ．28C ．D ．【答案】D【解析】由题意知252=b ，因为222c b a +=，所以16252+=a ，解得41=a ，所以2ABF ∆的周长为4144=a ，故选：D3.（2021新高考1卷）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C【解析】因2121262MF MF a MF MF ⋅≥==+，所以921≤⋅MF MF 4.已知椭圆22192x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆上，若1||4MF =，则12F MF ∠=（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程求得12F F =1226MF MF a +==，求得1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，再由余弦定理列出方程，求得121cos 2F MF ∠=-，即可求解．【详解】解：由题意，椭圆方程22192x y +=，可得3,a b c ===所以焦点12(F F ，又由椭圆的定义，可得1226MF MF a +==，因为1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠,所以2221242242cos F MF =+-⨯⨯∠，解得121cos 2F MF ∠=-，又由12(0,180)F MF ∠∈，所以12120F MF ∠= .故选:C ．5.设1F ，2F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A ．513B ．45C ．27D ．49【答案】C 【解析】【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出243PF =，再由椭圆的定义得出1PF ，再求21PF PF 的值.【详解】由椭圆的定义可知，1226PF PF a +==，由中位线定理可知，212PF F F ⊥，将x =22194x y+=中，解得43y =±，即243PF =，1414633PF =-=，故214323147PF PF =⨯=故选：C6.已知曲线22:1C mx ny +=A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【答案】AD【解析】由题意得：11122=+ny m x ，所以当0>>n m ，则nm 110<<，所以表示焦点在y 轴上的椭圆，所以A 对，B 错，当0>=n m 时，曲线C 为ny x 122=+，所以表示圆，半径为n 1，当0,0>=n m 时，曲线C 为ny 12=，所以n y 1±=，所以表示两条直线，故选：AD7.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）AB．CD．【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.8.在平面直角坐标系xOy 中，若△ABC 的顶点(0,2)A -和(0,2)C ，顶点B 在椭圆181222=+xy 上，则sin sin sin A C B +的值是（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】【分析】由题设易知,A C 为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有||||2AB CB a +=，||2AC c =，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.【详解】由题设知：,A C 为椭圆的两个焦点，而B 在椭圆上，所以||||2AB CB a +==||24AC c ==，由正弦定理边角关系知：|||||sin sin sin |A A CB CB A BC +=+故选：A9.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．10.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上且在x 轴的下方，若线段2PF 的中点在以原点O 为圆心，2OF 为半径的圆上，则直线2PF 的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.11．已知A 为椭圆2212516x y +=上一点，F 为椭圆一焦点，AF 的中点为P ，O 为坐标原点，若2OP =则AF =（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】不妨设椭圆2212516x y +=左焦点为F ，右焦点为E ，因为AE 的中点为P ，EF 的中点为O ，所以24AE OP ==，又由210AE AF a +==，可得1046AF =-=.故选：B .12.已知椭圆C ：22194x y +=的左右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且118AF BF +=，则AB =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】由椭圆22:194x y C +=知：a =3，由椭圆的定义得：121226,26AF AF a BF BF a +==+==，所以11412AF BF AB a ++==，又因为118AF BF +=，所以AB 4=，故选：A题型二：椭圆的标准方程【例1】已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>右焦点为)，其上下顶点分别为1C ，2C ，点()1,0A ，12AC AC ⊥，则该椭圆的标准方程为（）A ．22134x y +=B ．22143x y +=C ．2213y x +=D ．2213x y +=【例2】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，椭圆C 的一顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，12AF F △焦距为2，过1F ，且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于D ，E 两点，则ADE ∆的周长是（）A ．B ．8C ．D ．16【例3】如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =，且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2214525x y +=C ．2213010x y +=D ．2213616x y +=故选：D【例4】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为53，面积为12π，则椭圆C 的方程为（）A ．221188x y +=B ．22198y x +=C ．221188y x +=D ．22184y x +=【例5】过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【例6】已知12,F F 分别是椭圆221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点，A ，B 分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点2F 的直线交椭圆于C ，D 两点，1FCD 的周长为8，且直线AC ，BC 的斜率之积为14-，则椭圆的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．2214x y +=D ．22143x y +=【例7】已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||AF F B =，15||4||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【题型专练】1．已知1F 、2F 是椭圆C ：22221x ya b+=()0a b >>的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，B 在x 轴上，20AB AF ⋅= 且122AF AB AF =+.若坐标原点O 到直线AB 的距离为3，则椭圆C 的方程为（）A ．2214x y +=B ．22143x y +=C ．221169x y +=D ．2211612x y +=1612故选：D2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 为该椭圆上一点，且满足12π3F PF ∠=，若12F PF △的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（）A ．221129x y +=B ．2211612x y +=C ．2212418x y +=D ．2213224x y +=3．已知椭圆的两个焦点为1(F ，2F ，M 是椭圆上一点，若12MF MF ⊥，128MF MF ⋅=，则该椭圆的方程是（）A ．22172x y +=B ．22127x y +=C ．22194x y +=D ．22149x y +=4．已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，3AB =，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2213y x +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22132x y +=方法二：由题意，设椭圆C 的标准方程为所以a ＝2或12a =-（舍去），所以2a 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．故选：C.5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为)，右顶点为A ，O 为坐标原点，过OA 的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若四边形OMAN 是正方形，则C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22153x y +=C ．22175x y +=D．22197x y +=6．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -=与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22142x y +=C ．22153x y +=D ．22163x y +=7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，P 是C 上一点，213PF PF =，123F PF π∠=，C 的面积为12π，则C 的标准方程为（）A ．221364x y +=B ．22112x y +=C ．221169x y +=D ．22143x y +=8．已知椭圆C ：22=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C的标准方程为（）A ．22=134y x +B ．22=134x y +C ．22=13x y +D ．22=132x y +9．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线交于C 与A ，B ，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22198x y +=1F 题型三：椭圆的离心率【例1】已知1F ，2F 为椭圆22221x ya b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A ，B ，若1ABF 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A1B 1C ．12D 又1290F AF ∠=，∴21,3AF c AF c ==，∴32c c a +=，可得2331c a ==+故选：B ．【例2】已知椭圆C ：()21024b b+=<<的左焦点为1F ，直线()0y kx k =≠与C 交于点M ，N .若1120MF N ︒∠=，1183MF NF ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．22C D 因为O 为12,MN F F 的中点，所以四边形所以12MF NF =，12NF MF =，由椭圆的定义可得：又因为1183MF NF ⋅=，所以1MF 【例3】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>上存在两点,M N 关于直线3310--=x y 对称，且线段MN 中点的纵坐标为53，则椭圆C 的离心率是（）A B C ．23D【例4】已知椭圆C ：221a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若222,AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）AB ．34C ．35D【例5】设B 是椭圆()22:10C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎝⎦【例6】12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上异于顶点的一点，I 是12PF F △的内切圆圆心，若12PF F △的面积等于12IF F △的面积的3倍，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．2D ．2a b如图，设()()()12,,,0,,0,P m n F c F c ∴-三角形由椭圆的定义可得22l a c=+122222PF F S cn cnr l a c a c∴===++ ，又2121113,2322P I F F F F cn S S c n a =∴⨯⨯=⨯⨯ 故选：B【例7】用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②③C ．①②D ．①③【答案】C【分析】根据切线长定理可以证明椭圆上任意一点到12,F F 的距离之和为定值，即12,F F 是焦点再运用勾股定理证明短轴长，最后构造三角形，运用三角函数表示离心率即可.【详解】如图：在椭圆上任意一点P 作平行于12O O 的直线，与球1O 交于F 点，与球2O 交于E 点，则PE ，2PF 是过点P 作球2O 的两条公切线，2PE PF =，同理1PF PF =，是椭圆的焦点；①正确；【例8】国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于34-，则椭圆的离心率为（）A ．34B ．58C ．12D ．4【题型专练】1．直线:l y =与椭圆2222:1x y C a b+=交于,P Q 两点，F 是椭圆C 的右焦点，且0PF QF ⋅= ，则椭圆的离心率为（）A ．4-B ．3C 1D ．2【详解】的左焦点为F '，由对称性可知：四边形PF QF '为平行四边形，PF QF '∴=2PF PF QF a '=+=；2．设12,F F 分别是椭圆221x ya b+=的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使12120F AF ∠=︒且123AF AF =，则椭圆的离心率为（）AB C D3.设椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M ，N 在C 上（M 位于第-象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若1222||,F F MN MF ==，则C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．377122a +故选：B4．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P ，则球在地面上的投影为以球与地面切点F 为一个焦点的椭圆，已知是12A A 椭圆的长轴，1PA 垂直于地面且与球相切，16PA =，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．23C ．13D ．2【答案】A【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面12PA A ，再结合三角形内切圆性质求出12A A 长即可作答.【详解】依题意，平面12PA A 截球O 得球面大圆，如图，12Rt PA A 是球O 大圆的外切三角形，其中112,PA A A 切圆O 于点E ，F ，=5．如图圆柱12O O 的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱12O O 内部，现用一垂直于轴截面ABB A ''的平面α去截圆柱12O O ，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（）A ．3B ．3C D ．3半径为1，12O O 平面α与底面夹角余弦值为圆柱的底面半径为1,∴又 椭圆所在平面与圆柱底面所成角余弦值为以G 为原点建立上图所示平面直角坐标系，12,332FH a EF a ∴===，则椭圆标准方程为2222c a b =-=，故离心率故选：A.6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为坐标平面上一点，且满足120PF PF ⋅=的点P 均在椭圆C 的内部，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．2⎛ ⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知点A ，P ，Q 为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上不重合的三点，且点P ，Q 关于原点对称，若12AP AQ k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（）A ．2B C D8．已知椭圆22:1(0)x yC a ba b+=>>的一个焦点为F，椭圆C上存在点P，使得PF OP⊥，则椭圆C的离心率取值范围是（）A．2⎛⎝⎦B．,12⎫⎪⎪⎣⎭C．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B题型四：椭圆中焦点三角形面积【例1】已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，12π3F PF ∠=，若12F PF △的面积为C 的短袖长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.【题型专练】1.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（）A．4B．4±C．4D．4±【答案】B 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S ︒=⨯= 设P 点的纵坐标为h则12421F F h h ⋅⋅=±⇒=.故选：B2．已知()()1200F c F c -，，，是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若120PF PF ⋅=，且122=△PF F S c ，则E 的离心率为（）ABC ．2D 3．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅ 12，则12F PF △的面积为（）A．B．CD ．9题型五：椭圆中中点弦问题【例1】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴为4，直线230x y +-=与椭圆C 相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M ，则椭圆C 的方程为（）A ．221168x y +=B ．22142x y +=C ．2211612x y +=D ．22143x y +=【例2】平行四边形ABCD 内接于椭圆221x y a b +=()0a b >>，椭圆的离心率为2，直线AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（）A ．1-4B ．1-2C ．2D ．-1设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，【例3】椭圆2294144x y +=内有一点(2,3)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程为（）A ．23120x y +-=B ．32120x y +-=C ．941440x y +-=D ．491440x y +-=【例4】已知椭圆E ：143+=上有三点A ，B ，C ，线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，O为坐标原点，直线OD ，OE ，OF 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，3k ，且123k k k ++=直线AB ，BC ，AC 的斜率都存在，分别记为AB k ，BC k ，AC k ，则111AB BC ACk k k ++=（）AB ．C ．-D ．1-【例5】离心率为2的椭圆()222210x y a b a b +=>>与直线y kx =的两个交点分别为A ，B ，P 是椭圆不同于A 、B 、P 的一点，且PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，若120αβ+=︒，则()cos αβ-=（）A ．16-B ．13-C ．13D ．16【例6】（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【例7】（2022·全国甲（理）T10）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A.32B.22C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C的离心率2c e a ===.故选：A.【例8】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为__________．【答案】63【解析】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，因为||BF AF'=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=时，离心率的最大值为63，故答案为63．【题型专练】1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．23C．3D ．32.椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【详解】由题意，椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，设00(,)P x y ，则()2200344y x =-，又由1220002200034PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⨯=-+--，可得1234PA PA k k -=，因为[]12,1PA k ∈--，即23421PA k --≤≤-，可得23384PA k ≤≤，所以直线2PA 斜率的取值范围33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B3．已知椭圆22:184x y C +=，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，则OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积（）A ．1-B ．1C ．12D ．12-【答案】D，进而联立方程求解中点4．点A ，B 在椭圆2212x y +=上，点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2OA OB OM +=，则直线AB 的方程是（）A ．12y x =-B ．522y x =-+C ．32y x =-+D ．322y x =-5．已知椭圆143x y +=上有三个点A ､B ､C ，AB ，BC ，AC 的中点分别为D ､E ､F ，AB ，BC ，AC 的斜率都存在且不为0，若34OD OE OF k k k ++=-(O 为坐标原点)，则111AB BC ACk k k ++=（）A ．1B ．-1C ．34-D ．34【答案】A的斜率转化为6．直线:20l x y-=经过椭圆22+1(0)x y a ba b=>>的左焦点F，且与椭圆交于,A B两点，若M为线段AB中点，||||MF OM=，则椭圆的标准方程为（）A．22+163x y=B．22+185x y=C．2214x y+=D．22+1129x y=7．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（）A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-8．已知过点()1,1M 的直线l 与椭圆22184x y +=交于,A B 两点，且满足,AM BM =则直线l 的方程为（）A ．30x y -+=B ．230x y +-=C ．2230x y -+=D ．230x y +-=题型六：椭圆中的最值问题【例1】已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上则下列结论正确的是（）A ．12PF PF ⋅有最大值无最小值B ．12PF PF ⋅无最大值有最小值C ．12PF PF ⋅既有最大值也有最小值D ．12PF PF ⋅既无最大值也无最小值【例2】若点O 和点F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（）A ．()a a c +B ．()b a c +C ．()a a c -D ．()b ac -【例3】已知点P 是椭圆4x +2y =1上的动点（点P 不在坐标轴上），12F F 、为椭圆的左，右焦点，O 为坐标原点；若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M 丄MP ，则丨OM 丨的取值范围为（）A ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D ．2）【答案】A=因为1F M MP ⊥，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，所以，PN 因为O 为12F F 的中点，所以，212OM F N =设点00(,)P x y ，由已知可得2a =，1b =，c 则022x -<<且00x ≠，且有220114y x =-，()2221000032331PF x y x x =++=+++-【例4】已知点P 在椭圆193x y +=上运动，点Q 在圆22(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为（）A ．2B ．2C ．24-D ．4【答案】D【分析】先求出点P 到圆心(1,0)A 的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。
该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。
长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。
当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。
微专题02 椭圆-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦
解析几何微专题02 椭圆——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线和椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点，离心率问题是每年高考考查的重点，多在选择题和填空题中出现，主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力，分值为5分，属于中档题目； 在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象，考察面较广，往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合，在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合思想和转化与化归思想的应用。
考点一 椭圆定义及其标准方程 【必备知识】1、椭圆的定义(1) 定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹. (2) 焦点:两个定点21,F F . (3) 焦距:两焦点间的距离21F F .(4) 几何表示:a MF MF 221=+(常数)且212F F a >. 注：椭圆定义要注意三个关键词（1）平面内:椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. （2）和:定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.（3）两点间的距离:常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.（4）当21212F F a MF MF <=+时,P 的轨迹不存在；当21212F F a MF MF ==+时,P 的轨迹为以21,F F为端点的线段. 2.椭圆的标准方程 焦点在x 轴上的标准方程：)0(12222>>=+b a by ax ，焦点坐标(-c,0),(c,0)焦点在y 轴上的标准方程：)0(12222>>=+b a b x a y ，焦点坐标(0,-c),(0,c)其中：a,b,c 的关系：222c b a +=【典型例题】【例1】设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ,上顶点为B.已知椭圆的离心率为35,点A 的坐标为(b ,0),且|FB |·|AB |=26，求椭圆的方程. 【解析】设椭圆的焦距为2c ,由已知得9522=a c ，又由222cb a +=,可得b a 32=. 由已知可得,|FB |=a ,|AB |=b 2,由|FB |·|AB |=26,可得ab =6,从而a =3,b =2.所以,椭圆的方程为14922=+y x .【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.1、定义法求椭圆的标准方程的步骤(1)先根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两定点间的距离.(2)若符合,则动点的轨迹为椭圆,且两定点间的距离为焦距2c,距离之和是常数2a.从而可以确定椭圆的方程.2、待定系数法求椭圆标准方程的步骤基本思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上,还是两个坐标轴上都有可能. (2)设方程.①依据上述判断设方程为)0(12222>>=+b a b y a x 或)0(12222>>=+b a b x a y ;②在不能确定焦点位置的情况下也可设)0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+且. (3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c 或m,n 的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b,c 或m,n 代入所设方程即为所求.【类比训练】设P 是椭圆17542522=+y x 上一点,21,F F 是椭圆的焦点,若02160=∠PF F ,求21PF F ∆的面积.【解析】由椭圆方程知,475,2522==b a ，所以4252=c ,所以25=c ,2c=5.在21PF F ∆中,021*********cos 2PF PF PF PF F F ⋅-+=，即21222125PF PF PF PF ⋅-+=.① 由椭圆的定义得2110PF PF +=,即2122212100PF PF PF PF ⋅++=.② ②-①,得75321=⋅PF PF ,所以2521=⋅PF PF , 所以432560sin 2102121=⋅⋅=∆PF PF S PF F . 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、整体代换思想，核心素养是数学运算.椭圆上的点),(00y x P 与两焦点21,F F 构成的21F PF ∆称作焦点三角形，设θ=∠21PF F ，则 ①a PF PF 221=+ 21F PF ∆的周长=c a 22+ 面积公式 θsin 212121PF PF S F PF =∆②余弦定理 θcos 242122212⋅⋅-+=PF PF PF PF c③当P为短轴端点时，θ最大考点二椭圆的几何性质【必备知识】22y xx y22【例2】已知点P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆 +=1(a>b>0)上一点,若PF 1⊥PF 2,tan ∠PF 2F 1=2,则椭圆的离心率e 等于( ) A.B.C.D.【解析】因为点P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆 +=1(a>b>0)上一点,PF 1⊥PF 2,tan ∠PF 2F 1=2,所以=2,设|PF 2|=x,则|PF 1|=2x,由椭圆定义知x+2x=2a, 所以x= ,所以|PF 2|= ,则|PF 1|=, 由勾股定理知|PF 2|2+|PF 1|2=|F 1F 2|2, 所以解得c=a ,所以e= =,选A. 【答案】A【方法归纳 提炼素养】——数学思想是数形结合、消元、整体代换思想，核心素养是数学运算.求椭圆的离心率（范围）的方法1、直接法:若已知a,c 可直接利用ac e =求解.若已知a,b 或b,c 可借助于222c b a +=求出c 或a,再代入公式ac e =求解.2、方程法:若a,c 的值不可求,则可根据条件建立a,b,c 的关系式,借助于222c b a +=,转化为关于a,c 的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂,得到关于e 的方程或不等式,即可求得e 的值或范围.【类比训练】已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C 以A,B 为焦点且经过点P,则椭圆C 的离心率的最大值为( ) A.B.C.D.【解析】设点A(-1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为A′(m,n),则- ,- , 得 - , ,所以A′(-3,2).连接A′B,则 PA + PB = PA′ + PB ≥ A′B =52,所以522≥a .所以椭圆C 的离心率的最大值为 = =.故选A.【答案】A考点三 直线与椭圆的位置关系 【必备知识】1、直线与椭圆位置关系的判断 方法：代数法思路：联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax bkx y 消去y （或x ）得到一个一元二次方程，则：2、直线被椭圆截得的弦长公式：设直线与椭圆交于),(),,(2211y x B y x A 两点，则221221)()(y y x x AB ---=21221222124)(1))(1(x x x x k x x k AB -+⋅+=-+=21221222124)(11))(11(y y y y ky y k-+⋅+=-+=（k 为直线斜率，0≠k ）提醒:如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.【例3】已知椭圆C: +=1(a>b>0)的右焦点为( ,0),且经过点(-1,-),点M 是y 轴上的一点,过点M 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点. (1)求椭圆C 的方程;(2)若=2,且直线l 与圆O:x 2+y 2=相切于点N,求|MN|的长.【答案】(1)由题意知, - ,(- )-,即(a 2-4)(4a 2-3)=0, 因为a 2=3+b 2>3,解得a 2=4,b 2=1, 故椭圆C 的方程为+y 2=1.(2)显然直线l 的斜率存在,设M(0,m),直线l:y=kx+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 直线l 与圆O:x 2+y 2=相切, 所以= ,即m 2=(k 2+1), ①由,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,,由韦达定理,得x1+x2=-,x1x2=(-),由=2,有x1=-2x2,解得x1=-,x2=,=(-),化简得-=m2-1, ②所以-()把②代入①可得48k4+16k2-7=0,解得k2=,m2=,在Rt△OMN中,可得|MN|=-=.故|MN|的长为.【方法归纳提炼素养】——数学思想是数形结合、整体代换、方程思想，核心素养是数学运算.直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式:当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.(2)弦长公式:当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.【例4】直线x+4y+m=0交椭圆+y2=1于A,B,若AB中点的横坐标为1,则m等于() A.-2 B.-1 C.1 D.2【解析】由题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1两式相减,-=-·,-结合直线的斜率为-,AB中点横坐标为1,所以AB中点纵坐标为,将点(1,)代入直线x+4y+m=0得m=-2.故选A. 【答案】A【方法归纳 提炼素养】——整体代换的数学思想，核心素养是数学运算.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.(3)共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为),(00y x P ,设其一交点为),(y x A A,则另一交点为)2,2(00y y x x B --,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+1)2()2(12202202222b y y a x x by a x 两式作差即得所求直线方程.【类比训练】过点M(1,1)作斜率为-的直线l 与椭圆C: +=1(a>b>0)相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为 .【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,k AB = --=-,+=1，① +=1, ②①-②整理,得 --=- · ,即 = , 所以离心率e= -= - = . 【答案】做高考真题 提能力素养【选择题组】1、（2019全国I 卷 理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【答案】B2、（2019北京卷 理4）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为12，则（ ）（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b 2（C ）a=2b（D ）3a=4b【答案】B3、(2018·全国卷II 高考理科·T12)已知F 1,F 2是椭圆C: +=1(a>b>0)的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C 的离心率为( )A.B.C.D.【答案】选D.由题意直线AP 的方程为y=(x+a),△PF 1F 2为等腰三角形, ∠F 1F 2P=120°,所以PF 2=2c,∠PF 2x=60°,故P(2c, c),代入y=(x+a)得,(2c+a)= c ,解得e= =. 4、(2017·浙江高考·T2)椭圆22194x y +=的离心率是 ( )A.3 B.3 C.23D.59【答案】选B.由椭圆方程22194x y +=可知,所以e=3.5、(2017·全国丙卷·理科·T10)已知椭圆C: 22x a+22y b =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C 的离心率为 ( )A.B. D.13【答案】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离=a ,整理得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2)⇒2a 2=3c 2,即22c a =23,e=c a 【非选择题组】1、（2019全国III 卷 理15）设12F F ，为椭圆C:22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】2、(2018·浙江高考T17)已知点P(0,1),椭圆+y 2=m(m>1)上两点A,B 满足=2,则当m= 时,点B 横坐标的绝对值最大.【答案】由题意得=2,设B(x 0,y 0),则A(-2x 0,3-2y 0),即满足方程组,(-)( - ) ,消元得4-(3-2y 0)2=3m ,解得y 0=,代入原式得+=m ,化简得 =-( - ),所以当m=5时点B 横坐标的绝对值最大. 答案:53、（2019全国II 卷 理21）已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G.（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠， 所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k =+， 所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t=k+1k，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 4、（2019天津卷 理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为5. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率. 【答案】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，依题意，24,c b a == 又222a b c =+，可得a =2,b =1c =.所以，椭圆的方程为22154x y +=. （Ⅱ）解：由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-.在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-.由题意得()0,1N -， 所以直线MN 的斜率为2k-.由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB 或.。
高考椭圆最常考的题型(140分推荐)
高考椭圆最常考的题型（140分推荐）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知椭圆：x 24+y 2b2=1(0<b <2) ，左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点，若|BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为5，则b 的值是( )A. 1B. √2C. 32D. √32. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线x =√2与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则椭圆的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 24+y 22=1C.x 28+y 24=1D.x 26+y 23=13. 已知直线y =kx(k ≠0)与椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >1)交于P ，Q 两点，点F ，A 分别是椭圆C 的右焦点和右顶点，若|FP|+|FQ|+|FA|=52a ，则a =( )A. 4B. 2C. 43D. 2√334. 已知直线2x +y −4=0经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，F 1是椭圆的左焦点，且|AB |=|AF 1|，则椭圆的方程为( )A. x 240+y 236=1B. x 220+y 216=1C. x 210+y 26=1D.x 25+y 2=15. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. 136. 已知椭圆方程为x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2)，那么k =( )A. 59B. 97C. 1D. 537. 已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦距为4，则C 的离心率( )A. 13B. 12C. √22D. 2√238. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则椭圆C 的方程为( )A. x 23+y 2=1B. x 23+y 22=1 C. x 212+y28=1 D. x 212+y24=1二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）9.已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为12，则C的方程可以为．10.椭圆E：x2a2+y23=1的右焦点为F2，直线y=x+m与椭圆E交于A，B两点．若△F2AB周长的最大值是8，则m的值等于________．三、解答题（本大题共20小题，共240.0分）11.设椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33，短轴一个端点到右焦点的距离为√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求|AB|．13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1,√32)在椭圆C上，且△PF1F2的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线x=my+1对称，求m的取值范围．14.已知点P(3,4)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2√3．(Ⅰ)求椭圆Ｃ的标准方程；(Ⅱ)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线过定点(13,0)，求k的取值范围．16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和直线l:xa−yb=1，椭圆的离心率e=√63，坐标原点到直线l的距离为√32．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．17.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过两点(0,1)，(√3,12)．(I)求椭圆E的方程；(II)若直线l:x−y−1=0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB 的面积S．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，M(√3,−12)是椭圆C上的一点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(−4,0)作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，A点关于x轴的对称点为D，问直线BD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴的一个端点到右焦点的距离为3√2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆相交于不同两点A、B，求|AB|．20.已知椭圆C1的方程为x24+y23=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为√32．(1)求椭圆C2的方程；(2)如上图，M，N分别为直线l与椭圆C1，C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON 的面积为△POM的面积的2倍，若直线l的方程为y=kx(k>0)，求k的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点，且AB=√7，右准线l的方程为x=4．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P，交l于点Q.若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．23.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y=kx+2与椭圆C交于A，B两点且∠AOB为直角，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)求AB的长度．24.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−3)2+y2=1，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当AN=127AM时，求直线l的方程．26.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上.(1)若F1F2=2√2，点P的坐标为(√3,√2)，求椭圆E的方程；(2)若点P横坐标为a2，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．28.如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M( √2, 1 )(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的一个顶点为B( 0,−b )，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积29.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点(1,32)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C 于D，E两点(其中D在x轴上方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若ΔAEF与ΔBDF的面积比为1:7，求直线l的方程．30.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且椭圆E经过点P(−√3,12)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A,B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化，三角形AF2B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出三角形AF2B的周长，欲使|BF2|+|AF2|的最大，只须|AB|最小，利用椭圆的性质即可得出答案．【解析】解：由椭圆的方程可知：长半轴长为a=2，由椭圆的定义可知：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，所以|AB|=8−(|AF2|+|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a=3，可求得b2=3，即b=√3．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和离心率，属于简单题．结合已知条件建立关系式求得a2=6,b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，所以ca =√22①又因为直线x=√2与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，所以A(√2,√2)代入x2a2+y2b2=1得2a2+2b2=1②又因为a2=b2+c2③联立①②③解得a2=6,b2=3，所以椭圆的方程为x26+y23=1．故选D．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的概念与标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，属于基础题．取椭圆的左焦点F′，由三角形全等知|PF|=|QF′|，由椭圆的概念及集合性质知|FP|+ |FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,|FA|=a−c,b=1，代入条件及利用a，b，c的关系式求得a．【解答】解：取椭圆的左焦点F′，因为直线过原点，∴|OP|=|OQ|,|OF|=|OF′|，由椭圆的对称性，∴|PF|=|QF′|，∴|FP|+|FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,∵|FP|+|FQ|+|FA|=52a,|FA|=a−c，所以2a+a−c=52a，即a=2c，∵a2=b2+c2=1+14a2，a=2√33．故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质，属于基础题．由直线2x+y−4=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2，可求得c=2，由椭圆定义可求得即a=√5，故a2=5，b2=1，椭圆方程可解．【解答】解：直线2x +y −4=0与x 轴和y 轴的交点分别为F 2(2,0)，B(0,4)， 所以c =2，又2a =|AF 1|+|AF 2|=|AB|+|AF 2|=|BF 2|=2√5， 所以a =√5，从而b 2=5−4=1， 所以椭圆方程x 25+y 2=1．故选D ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆的几何性质，涉及向量的线性关系，属基础题．根据向量关系得出|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，根据平行线截线段成比例定理得出|AO||AF|的值，得到a ，c 的关系，求得离心率． 【解答】 解：如图所示：∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴|PA||AB|=23， 又∵PO//BF ， ∴|AO||AF|=|PA||AB|=23， 即aa+c =23， ∴e =ca =12． 故选C ．6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值，属于基础题． 把椭圆x 2+ky 2=5的方程化为标准形式，得到c 2的值等于4，解方程求出k ． 【解答】解：椭圆x 2+ky 2=5，即x 25+y 25k=1，∵焦点坐标为(0,2)，c 2=4， ∴5k −5=4，∴k =59， 故选：A ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．根据题意求出c =2，a =2√2，由e =ca 即可求出结果． 【解答】 解：∵椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦点在x 轴上，且焦距为4，∴a 2>4，c =2， ∴a 2−4=4， ∴a =2√2， ∴e =ca =2√2=√22． 故选C ．8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 利用△AF 1B 的周长为4√3，求出a =√3，根据离心率为√33，可得c =1，求出b ，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF 1B 的周长为4√3，∵△AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a +2a =4a ， ∴4a =4√3， ∴a =√3， ∵离心率为√33，∴ca =√33，c =1，∴b =√a 2−c 2=√2， 即椭圆C 的方程为x 23+y 22=1．故选B ．9.【答案】x 24+y 23=1(答案不唯一)【解析】 【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a ，b 和c 之间的关系，属于基础题． 利用离心率为12，可得b =√32a ，即可求解．【解答】解：设椭圆的标准方程为 x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵离心率为12， ∴e =ca =√a 2−b 2a=12， ∴b =√32a ， 令a =2，则b =√3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1(答案不唯一)．10.【答案】1【解析】 【分析】本题考查的知识要点：椭圆的定义和方程的应用，属于基础题型．首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出相应的值，最后求出结果． 【解答】 解：椭圆E ：x 2a 2+y 23=1的右焦点为F 2，N 为左焦点，直线y =x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，则△F 2AB 周长l =AB +BF 2+AF 2=AB +2a −NB +2a −NA =4a +(AB −NA −NB)， 由于NA +NB ≥AB ，所以当N 、A 、B 三点共线时，△F 2AB 的周长l =4a =8， 所以a =2， 所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，直线y =x +m 经过左焦点，所以m =1． 故答案为1．11.【答案】解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2=1，则b =4，∵e =ca =35，∴a 2−b 2a 2=925，即1−16a 2=925，∴a =5，∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1． (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线与C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 将直线方程y =45(x −3)代入C 的方程，得x 225+(x−3)225=1，即x 2−3x −8=0，故x 1+x 2=3．设线段AB 的中点坐标为(x′,y′)，则x′=x 1+x 22=32，y′=y 1+y 22=25(x 1+x 2−6)=−65，即所求中点坐标为(32,−65).【解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，以及直线与椭圆的综合应用，属于中档题目． (1)将(0,4)代入椭圆方程求出b ，再由椭圆的离心率求出a ，得到椭圆方程； (2)写出直线方程联立椭圆方程，利用中点坐标公式结合韦达定理得出．12.【答案】解：(Ⅰ)由题意：e =c a =√33，即a =√3c ，短轴一个端点到右焦点的距离为√3， 即b 2+c 2=(√3)2=3， 而a 2=b 2+c 2， 所以a 2=3，b 2=2， 所以椭圆的方程：x 23+y 22=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)，左焦点(−1,0)，直线l 的方程：y =x +1， 设A(x,y)，B(x′,y′)，联立直线l 与椭圆的方程，消去y 整理得：5x 2+6x −3=0， 所以x +x′=−65，xx′=−35，∴|AB|=√1+k 2√(x +x′)2−4xx′ =√1+1×√(−65)2−4×(−35)=8√35．【解析】本题考查直线与椭圆的交点弦长，属于基础题．(Ⅰ)由题意得离心率及长半轴长及a ，b ，c 之间的关系，求出椭圆的方程；(Ⅱ)由题意写出直线l 的方程与椭圆联立写出两根之和及之积，再由弦长公式求出弦长．13.【答案】解：(1)由题意可得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2解得a =2，b =1，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0). 因为直线x =my +1过定点(1,0)，所以(x 1−1)2+y 12=(x 2−1)2+y 22.因为A ，B 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，所以(x 1−1)2+1−x 124=(x 2−1)2+1−x 224，整理得x 12−x 224=(x 1−x 2)(x 1+x 2−2)，所以x 1+x 2=83，所以x 0=43.因为点M 在直线x =my +1上，所以x 0=my 0+1，则y 0=13m .由{x 24+y 2=1,x =43,得y =±√53， 则−√53<13m <0或0<13m <√53，解得m <−√55或m >√55.故m 的取值范围为(−∞,−√55)⋃(√55,+∞)．【解析】本题考查椭圆的性质和标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由题意得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2，解出a ，b ，进而求出答案．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，由条件求出x 1+x 2=83，x 0=43，进而由条件求出y =±√53，进而求出答案．14.【答案】解：(1) 令F 1(−c,0)，F 2(c,0)，∵PF 1⊥PF 2，∴k PF 1·k PF 2=−1，即43+c ·43−c =−1，解得c =5，∴椭圆的方程为x 2a 2+y 2a 2−25=1．∵点P(3,4)在椭圆上，∴9a 2+16a 2−25=1，解得a 2=45，或a 2=5， 又a >c ，∴a 2=5舍去， 故所求椭圆方程为x 245+y 220=1．(2)P 点纵坐标的值即为F 1F 2边上的高，∴△PF1F2=12|F1F2|×4=12×10×4=20．【解析】本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．(1)设出焦点的坐标，利用垂直关系求出c值，椭圆的方程化为x2a2+y2a2−25=1，把点P的坐标代入，可解得a2的值，从而得到所求椭圆方程．(2)P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，由S△PF1F2=12|F1F2|×4求得△PF1F2的面积．15.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知：{2b=2√3ca=12a2=b2+c2，得{a=2b=√3c=1,故椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(Ⅱ)设直线l：y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将y=kx+m代入椭圆方程，消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，所以，即m2<4k2+3…………①由根与系数关系得x1+x2=−8km3+4k2，则y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，所以线段AB的中点P的坐标为(−4km3+4k2,3m3+4k2)．又线段AB的垂直平分线l′的方程为y=−1k (x−13)，由点P在直线l′上，得3m3+4k2=−1k(−4km3+4k2−13)，即4k2+3km+3=0，所以m=−13k(4k2+3)…………②由①②得(4k2+3)29k2<4k2+3，∵4k2+3>0,∴4k2+3<9k2所以k2>35，即k<−√155或k>√155，所以实数k的取值范围是．【解析】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，属于中档题．(Ⅰ)由离心率得到a ，c ，b 的关系，再代入椭圆的标准方程中即可求解．(Ⅱ)设出A ，B 的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m 2<4k 2+3，再结合根与系数关系得到AB 中点P 的坐标为(−4km3+4k 2,3m3+4k 2).求出AB 的垂直平分线l′方程，由P 在l′上，得到4k 2+3km +3=0.结合m 2<4k 2+3求得k 的取值范围．16.【答案】解：(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca=√63ab√a 2+b 2=√32，又a 2=b 2+c 2,解得：a 2=3，b =1， ∴椭圆的方程为x 23+y 2=1;(Ⅱ)假设存在这样的k ，使以CD 为直径的圆过定点E ， 联立直线与椭圆方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， ∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0，∴k >1或设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 则{x 1+x 2=−12k1+3k 2x 1·x 2=91+3k2，② 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2),要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，故EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0，∴(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0，③ 将②代入③整理得k =76>1， 经验证使得①成立，综上可知，存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ．【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，注意合理地进行等价转化，属于中档题．(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca =√63√a 2+b 2=√32，由此能求出椭圆的方程;(Ⅱ)假设存在这样的值，联立方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解即可．17.【答案】解：(1)由题意得{b 2=13a2+14b2=1，解得{a =2b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1x =y +1， 消去x 得5y 2+2y −3=0． 所以y 1,2=−1或35，直线l 与x 轴的交点为(1,0)，记为点P ，S =12|OP||y 1−y 2|=45．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，三角形面积的应用，属于简单题．(1)根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的计算，求出椭圆E 的方程;(2)根据已知及直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算，求出△AOB 的面积S ．18.【答案】解：(1)∵c a =√32，a 2=b 2+c 2，∴a 2=4b 2，∴x 24b 2+y 2b 2=1，将M (√3,−12)代入椭圆C ，∴b 2=1， ∴椭圆C 方程为：x 24+y 2=1．(2)显然AB 斜率存在，设AB 为：y =k(x +4)，{x 24+y 2=1,y =k(x +4)⇒(1+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−4=0,Δ=16−192k 2>0，∴k 2<112． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 1,−y 1)， ∴x 1+x 2=−32k 21+4k2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2，∵BD ：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，∴y =0时x =x 1+x 2y 1−x 1y 1y 1+y 2=2kx 1x 2+4k(x 1+x 2)k(x 1+x 2)+8k=2k(64k 2−41+4k 2)+4k(−32k 21+4k 2)k(−32k 21+4k 2)+8k =128k 3−8k−128k 3−32k 3+8k+32k 3=−1，∴直线BD 过定点(−1,0)．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)根据点在椭圆上得3a 2+14b 2=1，与离心率联立方程组解得a 2=2，b 2=1，即得太严方程；(2)设直线l 的方程为y =k(x +4)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=−32k 21+4k 2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2求出BD 的方程，令y =0，解得横坐标，结合韦达定理化简可得横坐标为定值，即可证明直线BD 过定点．19.【答案】解：(1)根据题意，椭圆C 的短轴一个端点到右焦点的距离为3√2，则有a =3√2， 又由椭圆C 的离心率为√22，则有e =ca =√22，则有c=3，则b2=a2−c2=18−9=9，则椭圆的标准方程为：x218+y29=1;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)．由(1)可得：椭圆的标准方程为：x218+y29=1，直线l的方程为：y=x−1，联立{x218+y29=1y=x−1，消去y得3x2−4x−16=0，则有x1+x2=43,x1x2=−163，|AB|=√1+12√(x1+x2)2−4x1x2=√2√169+643=4√263．【解析】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，属基础题．(1)根据题意，由椭圆的几何性质可得e=ca =√22且a=3√2，解可得c的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；(2)联立直线与椭圆的方程，可得方程3x2−4x−16=0，结合根与系数的关系由弦长公式计算可得答案．20.【答案】解：(1)椭圆C1的方程为x24+y23=1的长轴长为4，设椭圆C2的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，由题意可得b=2，e=ca =√32，a2−c2=4，解得a=4，b=2，c=2√3，可得椭圆C2的方程为y216+x24=1；(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，△PON面积为△POM面积的2倍，可得|ON|=2|OM|，即有|x2|=2|x1|，联立{y =kx 3x 2+4y 2=12，消去y 可得x =±√123+4k2，即|x 1|=√123+4k 2，同样求得|x 2|=√164+k 2， 由√164+k 2=2√123+4k 2，解得k =±3， 由k >0，得k =3．【解析】本题考查椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系，考查联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题． (1)由题意设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程即可得到所求方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意可得|x 2|=2|x 1|，联立直线y =kx 和椭圆方程，求得交点的横坐标，解方程即可得到所求值．21.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)．由题意得{a 2c=4,a 2=b 2+c 2,√a 2+b 2=√7,解得a 2=4，b 2=3． 所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y 23=1,消y 得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0． 又直线PQ 过点A(2,0)，则方程必有一根为2，则x P =8k 2−64k 2+3． 代入直线y =k(x −2)，得点P (8k 2−64k 2+3,−12k4k 2+3)．联立{y =k(x −2),x =4,所以Q(4,2k)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k 4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，解得k 2=3，所以k =±√3．所以直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x0−2)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以4x 0+2y 02x0−2=0 ①，又x 024+y 023=1 ②，联立①②，解得x 0=65或x 0=2(舍)，所以P (65,−4√35)或P (65,4√35)． 所以直线PQ 的斜率为±√3，从而直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题． (1)由题意列出关于a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y23=1,求出P (8k 2−64k 2+3,−12k 4k 2+3)，Q(4,2k).利用OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，求出k 即可求解；方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x−2).又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出x 0=65，得到P (65,−4√35)或P (65,4√35).所以直线PQ 的斜率为±√3，即可求解．22.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3， 得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意： 当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2， 将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(1,32)，(−1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．23.【答案】解：(1)由题意2a =4，∴a =2，∴ca =√32，∴c =√3，b 2=a 2−c 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 把y =kx +2代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=(16k)2−4×12×(4k 2+1)=64(k 2−3)>0，即k 2>3， ∴x 1+x 2=−16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，∵∠AOB 为直角，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， ∴x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=0， 即(k 2+1)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=0， ∴12(k 2+1)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，∴−4k 2+16=0，∴k 2=4，∴x 1+x 2=−16k1+4k 2=±3217，x 1x 2=121+4k 2=1217，∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√(3217)2−4817=4√6517， 故|AB|的长度4√6517．【解析】本题考查了椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，属于中档题．(1)根据离心率和长轴长，可得a ，b ，然后即可写出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆，利用韦达定理以及∠AOB =90°，求出k.再用弦长公式求出弦长|AB|．24.【答案】解：(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.得{e =c a =12,a 2c −c =3解得{a =2,c =1所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为OAQB 为平行四边形，所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则Q(x 1+x 2,y 1+y 2)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时O 、A 、B 三点共线，不符合题意： 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2，将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意， 所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．25.【答案】解：(1)记椭圆E 的焦距为2c(c >0).因为右顶点A (a , 0)在圆C 上，右准线x =a 2c与圆C ：(x −3)2+y 2=1相切．所以{(a −3)2+02=1 , | a 2c−3 |=1 ,解得{a =4 ,c =8,(舍去) { a =2 ,c =1 ．于是b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆方程为：x 24+y 23=1．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y =k (x −2)． 由方程组 {y =k (x −2) , x 24+y 23=1消去y 得，(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0．所以x N ⋅2=16k 2−124k 2+3，解得x N =8k 2−64k 2+3. 由方程组{ y =k (x −2) ,(x −3)2+y 2=1 ,消去y 得(k 2+1)x 2−(4k 2+6)x +4k 2+8=0 , 所以x M ⋅2=4k 2+8k 2+1，解得x M =2k 2+4k 2+1．因为AN =127AM ，所以2−x N =127(x M −2)．即124k 2+3=127⋅21+k 2，解得 k =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，当直线l 与x 轴重合时，不符题意． 设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)．由方程组{x =ty +2 , x 24+y 23=1消去x 得，(3t 2+4)y 2+12ty =0，所以y N =−12t3t 2+4 ， 由方程组 {x =ty +2 ,(x −3)2+y 2=1消去x 得(t 2+1)y 2−2ty =0， 所以y M =2tt 2+1， 因为AN =127AM ，所以y N =−127y M ，即−12t3t 2+4=−127⋅2t t 2+1，解得 t =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系及判定，直线的一般式方程，考查学生的计算能力和推理能力，属于较难题． (1)记椭圆E 的焦距为2c ，根据题意可知{ (a −3)2+02=1 ,| a 2c −3 |=1 ,从而即可得a ，c 的值，进而求得椭圆E 的方程．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且直线l 的方程为：y =k (x −2)，从而联立直线和椭圆方程消去y 后可得x N =8k 2−64k 2+3，同理联立直线和圆可得x M =2k 2+4k 2+1，再根据AN =127AM 即可求得k 的值，从而求得直线l 的方程．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)，联立直线和椭圆方程消去x 可得y N =−12t3t 2+4，再联立直线和圆可得y M =2tt 2+1，从而据AN =127AM 即可求得t 的值，从而求得直线l 的方程．26.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3， 得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意： 当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2， 将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．27.【答案】解：(1)设椭圆E 焦距为2c ，则2c =|F 1F 2|=2√2，所以c 2=a 2−b 2=2， ① 又点(√3,√2)在椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1上，所以3a 2+2b 2=1，②联立①②解得{a 2=6b 2=4或{a 2=1b 2=−1(舍去)，所以椭圆E 的方程为x 26+y 24=1；(2)设椭圆E 焦距为2c ，则F 1(−c,0)，F 2(c,0)，将x =a2代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y 2=3b24，不妨设点P 在x 轴上方， 故点P 坐标为(a2,√3b2)， 又点M 为PF 1中点，故点M 坐标为(a−2c 4,√3b4)， 所以F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a−6c 4,√3b 4)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,√3b2)，由，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即a−6c 4⋅a2+√3b4⋅√3b 2=0，化简得a 2−6ac +3b 2=0，将b 2=a 2−c 2代入得3c 2+6ac −4a 2=0， 即3(ca )2+6⋅ca −4=0， 所以3e 2+6⋅e −4=0， 解得e =−1±√213，因为e ∈(0,1)，所以椭圆E 的离心率为e =√213−1．【解析】本题考查向量的数量积、椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系，为基础题．(1)把点(√3,√2)代入椭圆方程，求出a ，b ，即可求出结果； (2)将x =a2代入x 2a2+y 2b 2=1，得出点P 坐标为(a 2,√3b2)，得出点M 的坐标和相应向量的坐标，利用数量积，即可求出结果．28.【答案】解：(1)因为l ⊥x 轴，所以F 2(√2,0)，由题意可得{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，解得{a 2=4b 2=2,∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线BF 2的方程为y =x −√2． 由{y =x −√2x 24+y 22=1得点N 的纵坐标为√23．又| F 1F 2 |=2√2， ∴S △F 1BN =12×(√2+√23)×2√2=83．【解析】本题考查求椭圆的方程，三角形的面积，是直线与椭圆位置关系，属于基础题(1)由题意可得F 2(√2,0)，进而得到{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，求解即可得到椭圆C 的方程；(2)根据题意可得直线BF 2的方程为y =x −√2.联立直线方程和椭圆方程即可得到N 的纵坐标为√23.再根据| F 1F 2 |=2√2和三角形的面积公式即可得解．29.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距长为c ，∴{ c a =121a 2+94b 2=1, 又∵a 2=b 2+c 2，∴{a =2b =√3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，，联立{x =ky −13x 2+4y 2=12⇒3(ky −1)2+4y 2=12 ∴(3k 2+4)y 2−6ky −9=0 ∴{y 1+y 2=6k3k 2+4 ①y 1y 2=−93k 2+4 ②y 2=−37y 1 ③,由①③得{y 1=21k2(3k 2+4)y 2=−9k 2(3k 2+4)代入 ②21⋅9⋅k 24(3k 2+4)2=93k 2+4⇒k =±43综合图象知k =43∴l 的方程为3x −4y +3=0【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的面积问题，是中档题．(1)由离心率为12和(1,32)在椭圆上，再结合a 2=b 2+c 2，可得a 、b ，从而得出椭圆方程；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，由ΔAEF 与ΔBDF 的面积比为1:7，可得y 2y 1=−37，直线DE与椭圆联立，计算可得k的值，即可得出直线l的方程．30.【答案】解：(1)因为椭圆焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且过点P(−√3,12)，所以2a=PF1+PF2=12+√494=4，所以a=2，从而b=√a2−c2=√4−3=1，故椭圆的方程为x24+y2=1；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，因为A(−2,0)，且A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，解得n=2y0x0+2，所以BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，同理得AC=x0+2y0+2y0+1，因此，S ABCD=12AC⋅BD=12⋅x0+2y0+2x0+2⋅x0+2y0+2y0+1=(x0+2y0+2)2 2(x0+2)(y0+1)=x02+4y02+4x0y0+4x0+8y0+42(x0y0+x0+2y0+2)，因为点M(x0,y0)在椭圆上，所以x024+y02=1，即x02+4y02=4，代入上式得：S ABCD=4x0y0+4x0+8y0+82(x0y0+x0+2y0+2)=2，∴四边形ABCD的面积为2．【解析】本题考查的是椭圆的标准方程和计划意义，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由2a=PF1+PF2=12+√494=4得到a，再由焦点坐标可得到c，利用b=√a2−c2，即可得到b，从而得到椭圆E的标准方程；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，从而得到BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，AC=x0+2y0+2y0+1，由S ABCD=12AC⋅BD，即可得到四边形ABCD的面积．。
高中数学椭圆常见题型总结
P
的轨迹方程。
8、已知动圆 C过点 A( 2,0) ，且与圆 C2 : ( x 2)2 y2 64 相内切，则动圆圆心的轨迹方
程为
；
9、已知椭圆的焦点在 y 轴上，焦距等于 4，并且经过点 P(2, 2 6) ，则椭圆方程为
；
10、已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点
标准方程为
；
A( 3 , 5) ， B( 3, 5) ，则该椭圆的 22
(C ) 16(2 3)
(D ) 16(2- 3)
x2 3、 P 是椭圆
25
y2 1 上的一点， F1 和 F2 为左右焦点，若
9
F1PF2 60 。
（1）求 F1PF2 的面积；（ 2）求点 P 的坐标。
焦半径问题
x2
１椭圆
12
y2 3
1的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 y
轴上，那么 PF1 是的 PF2 的
倍；
椭圆的中点弦问题
例 1、已知椭圆 ax 2 by2 1(a b 0) 与直线 x y 1 0 相交于 A 、 B 两点， C 是 AB
的中点，若 AB 2 2 ， OC 的斜率为 2 ，求椭圆方程。 2
高中数学
1、直线 l 交椭圆 x2 y 2 1于 A、 B 两点， AB 中点的坐标是 (2,1) ，则直线 l 的方程为 16 12
1 k2 x1 x2
1 k 2 (x1 x2) 2 4x1x2
3 、椭圆的中点弦：
x2 y2 设 A(x1, y1), B( x2 , y2 ) 是椭圆 a2 b2 1(a b 0) 上不同两点，
M ( x0, y0 ) 是线段 AB 的中点，可运用 点差法 可得直线 AB 斜率，且 kAB
高考椭圆经典题型与高频考点归纳解析
解题篇经典题突破方法LLL L LL高二数学2020年12月L工L丿LLJ !"#$%&'()高*"+归■四川省巴中中学平面解析几何是高中数学的重点和难点！是每年高考的必考内容之一，一般出现2到3道选择题、填空题及一道解答题，分值在22分到27分之间。
选择题、填空题以直线与直线、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质为主，分值在10分到15分！难度中等居多，有时也出现难度较大的题目°解答题一般以椭圆或抛物线为载体，以直线与圆锥曲线的位置关系为主线，结合函数、方程、不等式、平面向量、导数等主体知识，探究轨迹方程、曲线性质、位置关系、定点（或定值、定线）、最值（或范围）以及存在性，每年必考一道解答题，分值12分，在次压轴题甚至压轴题的位置，综合性强、难度大，具有举足轻重的地位，素有“得解几者得天下”的说法"其中，椭圆的多层面考查一直是高考试卷中平面解析几何内容的“重头戏）题型最丰富，出镜率最高，最能体现基础性、综合性、应用性、创新性的高考数学学科“四翼”核心素养考查要求°下面就最新高考试卷中椭圆的经典题型与高频考点进行归纳解析"一、经典基础题一椭圆的定义、标准方程及其几何性质问题对椭圆的定义、标准方程及其几何性质等基础理论知识的考查，通常出现在选择题、填空题中间偏后的位置，难度以中档居多°有时也出现在小题靠前的位置或大题的第一问，属于简单的必得分题°高频考点一椭圆的定义对椭圆定义的考查方式通常有：（1）利用定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆'2）利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长和离心率等；（3）利用定义求折线段的和（或差）的最值°!!已知两圆C1:（$—4）2+y2= 169C2：（$+4&+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆肖斌（特级教师）心M的轨迹方程为（&2222y y_■6448B48+642222C二—！L=1d三+二=1486464十48解析：设圆M的半径为厂，则\MC1\+ \MC2\=（13—r）+（3+t）=16>8= I C1C2\,故M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆"设椭圆的标准方程为+T2=1（a>bb>0）,贝2a=16,2c=8°于是a=8,c=4,b2=a2—c2=48°故所求的轨迹方程为右+4-=1,选D°反思升华：平面内与两个定点=],=2的距离的和等于常数（大于\=1=2\）的点的轨迹叫作椭圆"集合P={M\\M=1\+\M=2 =2a+,\=1=2\=2：其中a>0,c>0,且a,c 为常数：（1）若a>c,则集合P为椭圆；（2）若a =c则集合P为线段;（3）若a'c则集合P 为空集°!"（2020年四川省巴中中学月考试题）已知椭圆C：2+y2=1的右焦点为=上顶点为A,点P是该椭圆上的动点，当△PA=的周长最大时,A PA=的面积为解析：设椭圆C的左焦点为=1，则\P=\+\P=1\=2a°于是△#'=的周长为\A=\+\P=\+\AP\=a+(2a—\P=1\)+ \AP\=3a+\AP\—\P=1\$3a+\A=1\= 3a+a=4a,当且仅当A,=1,P三点共线时取等号°解得P，所以S”s△'==1+s△#==1=2\==1\\1a—y#\= 143Jn"""解题篇经典题突破方法丁今虫"""""高二数学2020年12月反思升华：处理圆锥曲线中折线段的最值问题，一般是先通过圆锥曲线的定义和圆锥曲线的对称性将折线中的和或差变为直线段，然后利用“两点之间线段最短）“垂线段最短三角形中任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”等平几性质找到取得最值的临界条件，并求出最值"!#已知=1、=2是椭圆c:—$+y&b =1（&>b>0）的两个焦点,P为椭圆C上的一点，且/=1P=2=60。
江苏高考数学高考必会题型专题7解析几何第30练椭圆问题中最值得关注的几类大体题型
第30练 椭圆问题中最值得关注的几类大体题型题型一 利用椭圆的几何性质解题例1 如图，核心在x 轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e ＝12，F ，A 别离是椭圆的一个核心和极点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·PA →的最大值和最小值．破题切入点 此题要紧考查椭圆的几何性质及其应用，解题的关键是表示出PF →·PA →，依照椭圆的性质确信变量的取值范围．解 设P 点坐标为(x0，y0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b2＝a2－c2＝3.所求椭圆方程为x24＋y23＝1.∴－2≤x0≤2，－3≤y0≤ 3.又F(－1,0)，A(2,0)，PF →＝(－1－x0，－y0)， PA →＝(2－x0，－y0)， ∴PF →·PA →＝x20－x0－2＋y20 ＝14x20－x0＋1＝14(x0－2)2. 当x0＝2时，PF →·PA →取得最小值0， 当x0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4. 题型二 直线与椭圆相交问题例2 已知直线l 过椭圆8x2＋9y2＝72的一个核心，斜率为2，l 与椭圆相交于M 、N 两点，求弦|MN|的长．破题切入点 依照条件写出直线l 的方程与椭圆方程联立，用弦长公式求出．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，8x2＋9y2＝72，得11x2－18x －9＝0.由根与系数的关系，得xM ＋xN ＝1811，xM·xN＝－911.由弦长公式|MN|＝1＋k2|xM －xN|＝5·18112＋4×911＝ 3 600112＝6011. 题型三 点差法解题，设而不求思想例3 已知椭圆x22＋y2＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．破题切入点 设出弦的两头点，利用点差法求解． 解 设弦的两头点别离为M(x1，y1)，N(x2，y2)， MN 的中点为R(x ，y)，那么x21＋2y21＝2，x22＋2y22＝2， 两式相减并整理可得，y1－y2x1－x2＝－x1＋x22y1＋y2＝－x2y ，① 将y1－y2x1－x2＝2代入式①， 得所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0(－2<x<2)．总结提高 (1)关于线段长的最值问题一样有两个方式：一是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是成立函数关系求最值或用不等式来求最值．(2)直线和椭圆相交问题：①经常使用分析一元二次方程解的情形，仅有“Δ”还不够，还要用数形结合思想．②弦的中点、弦长等，利用根与系数关系式，注意验证“Δ”．(3)当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解．1．“2<m<6”是“方程x2m －2＋y26－m ＝1表示椭圆”的________条件．答案 必要不充分 解析 假设x2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，那么有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m>0，m －2≠6－m ，因此2<m<6且m≠4，故“2<m<6”是“方程x2m －2＋y26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．2．已知圆(x ＋2)2＋y2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，点N(2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，那么动点P 的轨迹是________． 答案 椭圆解析 点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故PA ＝PN.又AM 是圆的半径， 因此PM ＋PN ＝PM ＋PA ＝AM ＝6>MN ，由椭圆概念知，P 的轨迹是椭圆．3．已知椭圆中心在原点，核心F1，F2在x 轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，那么椭圆方程为________． 答案x28＋y26＝1 解析 设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由点(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又PF1，F1F2，PF2成等差数列， 那么PF1＋PF2＝2F1F2， 即2a ＝2·2c，c a ＝12.又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6.4．(2021·大纲全国改编)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右核心为F 一、F2，离心率为33，过F2的直线l 交C 于A 、B 两点．假设△AF1B 的周长为43，那么C 的方程为________． 答案x23＋y22＝1 解析 由e ＝33，得c a ＝33.① 又△AF1B 的周长为43，由椭圆概念，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，因此b2＝a2－c2＝2， 故C 的方程为x23＋y22＝1.5．(2021·福建改编)设P ，Q 别离为圆x2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，那么P ，Q两点间的最大距离是________． 答案 62解析 如下图，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x2＋(y －6)2＝r2(r>0)，与椭圆方程x210＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y ＋r2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0， 解得r2＝50， 即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝6 2.6.如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共核心，A ，B 别离是C1，C2在第二、四象限的公共点．假设四边形AF1BF2为矩形，那么C2的离心率是________． 答案62解析 设AF1＝m ，AF2＝n ， 那么有m ＋n ＝4，m2＋n2＝12， 因此12＋2mn ＝16，因此mn ＝2，而(m －n)2＝(2a)2＝(m ＋n)2－4mn ＝16－8＝8，因此双曲线的a ＝2，c ＝3，那么有e ＝32＝62. 7．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右极点别离是A 、B ，左、右核心别离是F 一、F2.假设AF1，F1F2，F1B 成等比数列，那么此椭圆的离心率为________． 答案55解析 由椭圆的性质可知：AF1＝a －c ，F1F2＝2c ，F1B ＝a ＋c ， 又AF1，F1F2，F1B 成等比数列， 故(a －c)(a ＋c)＝(2c)2， 可得c a ＝55.8．(2021·辽宁)已知椭圆C ：x29＋y24＝1，点M 与C 的核心不重合．假设M 关于C 的核心的对称点别离为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，那么AN ＋BN ＝________. 答案 12解析 椭圆x29＋y24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，那么DF1＋DF2＝2a ＝6.∵D ，F1，F2别离为MN ，AM ，BM 的中点， ∴BN ＝2DF2， AN ＝2DF1，∴AN ＋BN ＝2(DF1＋DF2)＝12.9．(2021·江西)过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，假设M 是线段AB 的中点，那么椭圆C 的离心率为________． 答案22解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，∴x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，∴y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2. ∵y1－y2x1－x2＝－12， x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴－b2a2＝－12，∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴c a ＝22.10．(2021·安徽)设F1，F2别离是椭圆E ：x2＋y2b2＝1(0<b<1)的左，右核心，过点F1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．假设AF1＝3F1B ，AF2⊥x 轴，那么椭圆E 的方程为________． 答案 x2＋32y2＝1解析 设点B 的坐标为(x0，y0)． ∵x2＋y2b2＝1，∴F1(－1－b2，0)，F2(1－b2，0)． ∵AF2⊥x 轴，∴A(1－b2，b2)． ∵AF1＝3F1B ，∴AF1→＝3F1B →，∴(－21－b2，－b2)＝3(x0＋1－b2，y0)． ∴x0＝－531－b2，y0＝－b23.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b2，－b23.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－531－b2，－b23代入x2＋y2b2＝1，得b2＝23.∴椭圆E 的方程为x2＋32y2＝1.11．(2021·课标全国Ⅱ)设F1，F2别离是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右核心，M 是C 上一点且MF2与x 轴垂直，直线MF1与C 的另一个交点为N. (1)假设直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)假设直线MN 在y 轴上的截距为2，且MN ＝5F1N ，求a ，b. 解 (1)依照c ＝a2－b2及题设知M(c ，b2a )，b2a 2c ＝34，2b2＝3ac. 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac ， 解得c a ＝12，ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F1F2的中点，MF2∥y 轴， 因此直线MF1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点， 故b2a ＝4，即b2＝4a.① 由MN ＝5F1N ，得DF1＝2F1N. 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，那么⎩⎪⎨⎪⎧2－c －x1＝c ，－2y1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－32c ，y1＝－1.代入C 的方程，得9c24a2＋1b2＝1.②将①及c ＝a2－b2代入②得9a2－4a 4a2＋14a＝1.解得a ＝7，b2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.12．(2021·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F1，F2别离是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右核心，极点B 的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F1C.(1)假设点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF2＝2，求椭圆的方程； (2)假设F1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解 设椭圆的焦距为2c ，那么F1(－c,0)，F2(c,0)． (1)因为B(0，b)，因此BF2＝b2＋c2＝a. 又BF2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， 因此169a2＋19b2＝1，解得b2＝1.故所求椭圆的方程为x22＋y2＝1.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB 上， 因此直线AB 的方程为x c ＋yb ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b ＝1，x2a2＋y2b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝2a2ca2＋c2，y1＝b c2－a2a2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x2＝0，y2＝b.因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2a2c a2＋c2，b c2－a2a2＋c2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性， 可得点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2a2c a2＋c2，b a2－c2a2＋c2. 因为直线F1C 的斜率为ba2－c2a2＋c2－02a2c a2＋c2－－c ＝b a2－c23a2c ＋c3，直线AB 的斜率为－bc ，且F1C ⊥AB ，因此b a2－c23a2c ＋c3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.1 5，因此e＝55.故e2＝。
2020新课标高考艺术生数学复习：椭圆含解析
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.
∴|PF1||PF2|＝2b2.
∵S△PF1F2＝ |PF1||PF2|
＝ ×2b2＝b2＝9，∴b＝3.
答案：3
1．求椭圆的标准方程有以下五种方法：
信息提取
信息解读
直观想象、数学运算
设F1，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点M在y轴上，且∠PF1F2＝30°
OM为△PF1F2的中位线，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°，且∠PF1F2＝30°，所以用|PF2|将a和c表示出来
直观想象：数形结合，用|PF2|将a和c表示出来．
由勾股定理得|F1F2|＝
＝ |PF2|，
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|⇒a＝ ，2c＝|F1F2|＝ |PF2|⇒c＝ ，
则e＝ ＝ · ＝ .故选A.]
[子题1]本例条件变为“若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝ ，sin(α＋β)＝ ”，则椭圆的离心率为________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入 ＋ ＝1，得x＝± ，又x＞0，所以x＝ ，
∴P点坐标为 或 .
答案： 或
考点一 椭圆的定义及标ຫໍສະໝຸດ 方程(自主练透)[题组集训]
1．(20xx·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
椭圆常考题型汇总及练习
椭圆常考题型汇总及练习 第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()012222>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,12222≤≤by a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ace =，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。
6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），ab 22.7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：c F F a PF PF 2,22121==+.（二）运用的知识点及公式1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a+=-=。
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椭圆问题中最值得关注的基本题型[题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.常考题型精析题型一 利用椭圆的几何性质解题例1 如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·P A →的最大值和最小值.点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a 、b 、c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.变式训练1 (2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.题型二 直线与椭圆相交问题例2 (2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左，右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式.变式训练2 (2014·四川)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标.题型三 利用“点差法，设而不求思想”解题例3 已知椭圆x 22＋y 2＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.点评 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解.变式训练3 (2015·福州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点.(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦|MN |的长.(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |等于( )A.3B.6C.9D.122.(2014·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 3.(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( ) A.5 2 B.46＋ 2 C.7＋ 2 D.6 24.若椭圆和双曲线具有相同的焦点F 1，F 2，离心率分别为e 1，e 2，P 是两曲线的一个公共点，且满足PF 1⊥PF 2，则1e 21＋1e 22的值为( ) A.4B.2C.1D.125.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且MF 1→·MF 2→的最大值的取值范围是[c 2,2c 2]，其中c 是椭圆的半焦距，则椭圆的离心率取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤33，22B.⎣⎡⎦⎤13，12C.⎣⎡⎭⎫22，1 D.⎣⎡⎭⎫12，1 6.(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.7.(2014·江西)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________.8.(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________.9.(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且|BF 2|＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.10.(2015·重庆)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.11.(2015·陕西)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程.12.(2015·安徽)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为5 10.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.答案精析第30练 椭圆问题中最值得关注的基本题型常考题型精析例1 解 设P 点坐标为(x 0，y 0).由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·P A →取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.变式训练1 解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 例2 解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2， 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2， 可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0).因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，① 则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0＜t ≤1， 因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.变式训练2 (1)解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明 由(1)可得F 的坐标是(－2,0)， 设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0， 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为(－6m 2＋3，2mm 2＋3).所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . ②解 由①可得|TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(m 2＋1)[(4mm 2＋3)2－4·－2m 2＋3]＝24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·(m 2＋1＋4m 2＋1＋4)≥ 124×(4＋4)＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值.所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1).例3 解 设弦的两端点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， MN 的中点为R (x ，y )，则x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，两式相减并整理可得， y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x2y ，①将y 1－y 2x 1－x 2＝2代入式①，得所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0(－2<x <2).变式训练3 解 (1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立， 消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2)如图，椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2， 即得Q 的坐标为(3，－2). 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1， 以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0. 高考题型精练1.B [因为e ＝c a ＝12，y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以c ＝2，a ＝4，故椭圆方程为x 216＋y 212＝1，将x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3，所以|AB |＝6.] 2.A [由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3， 代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2， 故C 的方程为x 23＋y 22＝1.]3.D [如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0， 解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D.]4.B [由题意设焦距为2c ，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨令P 在双曲线的右支上.由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2m ，① 由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，② 又PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2＝90°，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③ ①式的平方加上②式的平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 2＋2m 2，④由③④得a 2＋m 2＝2c 2，即a 2c 2＋m 2c2＝2，∴1e 21＋1e 22＝2.] 5.A [设M (x 0，y 0)，则MF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2→＝(c －x 0，－y 0)，∴MF 1→·MF 2→＝x 20－c 2＋y 2＝x 20－c 2＋b 2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 20－c 2＋b 2＝c 2a2x 20－c 2＋b 2.∵x 0∈[－a ，a ]，∴当x 0＝±a 时，MF 1→·MF 2→有最大值b 2，∴c 2≤b 2≤2c 2，∴c 2≤a 2－c 2≤2c 2，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴13≤c 2a 2≤12，∴e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，故选A.] 6.12解析 椭圆x 29＋y 24＝1中，a ＝3.如图，设MN 的中点为D ，则|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6.∵D ，F 1，F 2分别为MN ，AM ，BM 的中点， ∴|BN |＝2|DF 2|， |AN |＝2|DF 1|，∴|AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|)＝12. 7.22解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.8.x 2＋32y 2＝1解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0).∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0).∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2).∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →， ∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0).∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.9.解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0). (1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a .又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎨⎧x 1＝2a 2ca 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3， 直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.10.解 (1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一 如图，设点P(x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a ca 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2. ＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得 e ＝ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 方法二 如图，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝(2－2)2＋(2－1)2 ＝9－62＝6－ 3.11.解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bcb 2＋c 2＝bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)方法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2， x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k2， 由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12， 从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2)， 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 方法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0，易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2，于是|AB |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 12.(1)解 由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255. (2)证明 由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，可得NM →＝⎝⎛⎭⎫a 6，5b 6， 又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2). 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .。