2020年高考数学复习:椭圆问题中最值得关注的基本题型
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椭圆问题中最值得关注的基本题型
[题型分析·高考展望] 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位,并且占的分值也较多.分析历年的高考试题,在选择题、填空题、解答题中都涉及到椭圆的题,所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型,基本的解题方法也要有一定的了解.
常考题型精析
题型一 利用椭圆的几何性质解题
例1 如图,焦点在x 轴上的椭圆x 24+y 2b 2=1的离心率e =12
,F ,A 分别是椭圆的一个焦点和顶点,P 是椭圆上任意一点,求PF →·P A →的最大值和最小值.
点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本,利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题,利用a 、b 、c 之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.
变式训练1 (2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0,-2),椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32
,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率为233
,O 为坐标原点. (1)求E 的方程;
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.
题型二 直线与椭圆相交问题
例2 (2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32
,左,右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设椭圆E :x 24a 2+y 2
4b 2=1,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y =kx +m 交椭圆E 于A ,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .
(ⅰ)求|OQ ||OP |
的值; (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.
点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路:将直线方程与椭圆方程联立,转化为一元二次方程,由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题,也可考虑求“交点”,由“交点”在椭圆内(外),得出不等式,解不等式.
变式训练2 (2014·四川)已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设F 为椭圆C 的左焦点,T 为直线x =-3上任意一点,过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ,Q .
①证明OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点);
②当|TF ||PQ |
最小时,求点T 的坐标.
题型三 利用“点差法,设而不求思想”解题
例3 已知椭圆x 22
+y 2=1,求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.
点评 当涉及平行弦的中点轨迹,过定点的弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程时,用“点差法”来求解.
变式训练3 (2015·福州模拟)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4),离心率e =55
,直线l 交椭圆于M ,N 两点.
(1)若直线l 的方程为y =x -4,求弦|MN |的长.
(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ,求直线l 方程的一般式.
高考题型精练
1.(2015·课标全国Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12
,E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x 的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB |等于( )
A.3
B.6
C.9
D.12
2.(2014·大纲全国)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为33
,过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( )
A.x 23+y 22
=1 B.x 23+y 2=1 C.x 212+y 28
=1 D.x 212+y 24=1 3.(2014·福建)设P ,Q 分别为圆x 2+(y -6)2=2和椭圆x 210
+y 2=1上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是( ) A.5 2 B.46+ 2 C.7+ 2 D.6 2
4.若椭圆和双曲线具有相同的焦点F 1,F 2,离心率分别为e 1,e 2,P 是两曲线的一个公共点,
且满足PF 1⊥PF 2,则1e 21+1e 22
的值为( ) A.4
B.2
C.1
D.12
5.椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的两个焦点为F 1,F 2,M 为椭圆上一点,且MF 1→·MF 2→的最大值的取值范围是[c 2,2c 2],其中c 是椭圆的半焦距,则椭圆的离心率取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤33,22
B.⎣⎡⎦⎤13,12
C.⎣⎡⎭
⎫22,1 D.⎣⎡⎭⎫12,1 6.(2014·辽宁)已知椭圆C :x 29+y 2
4
=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=________.
7.(2014·江西)过点M (1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________.
8.(2014·安徽)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2
+y 2
b 2=1(0
9.(2014·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左,右焦点,顶点B 的坐标为(0,b ),连接BF 2并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接F 1C .