高等数学-课后习题答案第十二章
高等数学(同济大学第五版)第十二章
习题12−11. 试说出下列各微分方程的阶数:(1)x (y ′)2−2yy ′+x =0;解 一阶.(2)x 2y ′−xy ′+y =0;解 一阶.(3)xy ′′′+2y ′+x 2y =0;解 三阶.(4)(7x −6y )dx +(x +y )dy =0;解 一阶.(5)022=++C Q dt dQ R dtQ d L ; 解 二阶.(6)θρθρ2sin =+d d . 解 一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy ′=2y , y =5x 2;解 y ′=10x .因为xy ′=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解.(2)y ′+y =0, y =3sin x −4cos x ;解 y ′=3cos x +4sin x .因为y ′+y =3cos x +4sin x +3sin x −4cos x =7sin x −cos x ≠0,所以y =3sin x −4cos x 不是所给微分方程的解.(3)y ′′−2y ′+y =0, y =x 2e x ;解 y ′=2xe x +x 2e x , y ′′=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x .因为y ′′−2y ′+y =2e x +4xe x +x 2e x −2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解.(4)y ′′−(λ1+λ2)y ′+λ1λ2y =0, .x x e C e C y 2121λλ+= 解 , .x x e C e C y 212211λλλλ+=′x x e C e C y 21222211λλλλ+=′′因为y y y 2121)(λλλλ+′+−′′)())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++−+= =0,所以是所给微分方程的解.x x e C e C y 2121λλ+= 3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x −2y )y ′=2x −y , x 2−xy +y 2=C ;解 将x 2−xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x −y −xy ′+2y y ′=0,即 (x −2y )y ′=2x −y ,所以由x 2−xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0, y =ln(xy ).解 将y =ln(xy )的两边对x 求导得y y x y ′+=′11, 即xxy y y −=′. 再次求导得 )(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y ′+′−′−⋅−=−+−′−=−−′+−−′=′′. 注意到由y y x y ′+=′11可得1−′=′y x y yx , 所以 )2(1])1([12y y y y x xxy y y y y y x x xy y ′+′−′−⋅−=′+′−′−′−⋅−=′′, 从而 (xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0,即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x 2−y 2=C , y |x =0=5;解 由y |x =0=0得02−52=C , C =−25, 故x 2−y 2=−25.(2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y ′|x =0=1;解 y ′=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x .由y |x =0=0, y ′|x =0=1得, ⎩⎨⎧=+=10121C C C 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .(3)y =C 1sin(x −C 2), y |x =π=1, y ′|x =π=0.解 y ′=C 1cos(x −C 2).由y |x =π=1, y ′|x =π=0得, 即, ⎩⎨⎧=−=−0)cos(1)sin(2121C C C C ππ⎩⎨⎧=−=0cos 1sin 2121C C C C 解之得C 1=1, 22π=C , 故2sin(π−=x y , 即y =−cos x . 5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;解 设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ′, 由条件y ′=x 2, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分.解 设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y ′−1, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(−x , 0), 从而有y x x y ′−=+−10, 即yy ′+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解2T P k dT dP =, 其中k 为比例系数.习题12−111. 试用幂级数求下列各微分方程的解:(1)y ′−xy −x =1;解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞=+=10n n n x a a y ,111011=−−−∑∑∞=+∞=−x x a x a x na n n n n n n 即 . 0])2[()12()1(112021=−++−−+−+∞=+∑n n n n x a a n x a a a 可见 a 1−1=0, 2a 2−a 0−1=0, (n +2)a n +2−a n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),于是 , 11=a 2102a a +=, !!313=a , !!4104a a +=, ⋅ ⋅ ⋅ , !)!12(112−=−k a k , !)!2(102k a a k +=, ⋅ ⋅ ⋅. 所以 ]!)!2(1!)!12(1[120120∑∞=−++−+=k k k x k a x k a y ∑∑∞=∞=−++−+=12011202(!1)1(!)!12(1k k k k x k a xk a ∑∞=−−+++−=11220!)!12(1)1(12k k x x k e a , 即原方程的通解为∑∞=−−+−=1122!)!12(112k k x x k Ce y .(2)y ′′+xy ′+y =0;解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y ,0)1(01122=++−∑∑∑∞=∞=−∞=−n n n n n n n n n x a xna x x a n n即 , 0])1()1)(2[(21220=++++++∑∞=+n n n n x a n a n n a a 于是 0221a a −=,1331a a −=, ⋅ ⋅ ⋅,1112!)!12()1(a k a k k −−=−−,02!)!2()1(a k a k k −=, ⋅ ⋅ ⋅. 所以 ]!)!12()1(!)!2()1([12112010+∞=+−+−++=∑k k k k k x k a x k a x a a y ∑∑∞=−−∞=−−+−=11211020!)!12()1()2(!!1k k k k k x k a x k a ∑∞=−−−−−+=1121120!)!12()1(2k k k x x k a e a , 即原方程的通解为∑∞=−−−−−+=1121221!)!12()1(2k k k x x k C e C y . (3)xy ′′−(x +m )y ′+my =0(m 为自然数);解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y , 0)()1(01122=++−−∑∑∑∞=∞=−∞=−n n n n n n n n n x a m xna m x x a n n x 即 . 0])())(1[()(1110=−−−++−∑∞=+n n n n x a m n a m n n a a m 可见 (a 0−a 1)m =0, (n −m )[(n +1)a n +1−a n ]=0 (n ≠m ),于是 a 0=a 1,)2( )2()1(1+≥+⋅⋅⋅−=+m n m n n a a m n ,)( !11m n a n a n ≤=. 所以 ∑∑∞+=+++=+⋅⋅⋅−+++=2111100)2()1(!m n n m m m m n n x m n n a x a x n a a y∑∑∞+=+++=+++=211100!)!1(!m n n m n m mn n n x a m x a n x a ∑∑∞+=+=++=1100!)!1(!m n n m m n n n x a m n x a )!()!1(!0100∑∑=+=−++=m n n x m m n n n x e a m n x a∑=+++−++=m n n m x m n x a m a e a m 0101!])!1([)!1(, 即原方程的通解为∑=+=m n n x n x C e C y 021!(其中C 1, C 2为任意常数). (4)(1−x )y ′=x 2−y ;解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y ,∑∑∞=∞=−−=−0211)1(n n n n n n x a x x na x 即 . 0])1[()13(231223201=+−++−−+++∑∞=+n n n n n x a na a n x a a x a a a 可见 a 1+a 0=0, 2a 2=0, 3a 3−a 2−1=0, (n +1)a n +1−(n −1)a n =0(n ≥3),于是 a 1=−a 0, a 2=0, 313=a , )1(221−=−=−n n a n n a n n (n ≥4). 因此原方程的通解为∑∞=−++−=43)1(231)1(n n x n n x x C y (C =a 0为任意常数). . (5)(x +1)y ′=x 2−2x +y .解 设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y, ∑∑∞=∞=−+−=+02112)1(n n n n n n x a x x x na x 即 . 0])1()1[()13()1(231232210=++−+−+++++−∑∞=+n n n n x a n a n x a a x a a a 于是 a 1=a 0, a 2=−1,323=a ,)4()1(4)1( 231≥−−=−−=−−n n n a n n a n n n. 因此原方程的通解为 ∑∞=−−−++−+=4332)1(4)1(32)1(n n n x n n x x x C y (C =a 0为任意常数). 2. 试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的解:(1)y ′=y 2+x 3, 21|0==x y ; 解 根据初始条件, 可设方程的解为∑∞=+=121n n n x a y , 代入方程得 32111)21(x x a x na n n n n n n ++=∑∑∞=∞=−, 即 ⋅⋅⋅+++++++=+∑∑∞=∞=− )2(2414312232122113211x a a a x a a x a x a x x na a n n n n n n . 比较两边同次幂的系数得411=a , 2a 2=a 1, 3a 3=a 2+a 12, 4a 4=a 3+2a 1a 2+1, ⋅ ⋅ ⋅, 于是 411=a , 812=a , 1613=a , 3294=a , ⋅ ⋅ ⋅. 因此所求特解为329161814121432⋅⋅⋅+++++=x x x x y . (2)(1−x )y ′+y =1+x , y |x =0=0;解 根据初始条件, 可设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==1n n n x a y,x x a x na x n n n n n n +=+−∑∑∞=∞=−1)1(111即 . x x a n a n a n n n n +=−+−+∑∞=+1])1()1[(111比较系数得 , 11=a 212=a , )3( )1(121≥−=−=−n n n a n n a n n . 因此所求特解为∑∑∞=∞=−+=−++=232)1(1)1(121n n n n x n n x x n n x x y . 因为∑∞=−2)1(1n n x n n 的和函数为(1−x )ln(1−x )+x , 所以特解还可以写成 y =2x +(1−x )ln(1−x )+x .(3)0cos 22=+t x dt x d , x |t =0=a , 0|0==t dt dx . 解 根据初始条件, 可设方程的解为. ∑∞=+=2n n n t a a x 将, ∑∞=+=2n nn t a a x ∑∞=−−=2222)1(n n n t a n n dt x d 和∑∞=−=02)!2()1(cos n n n t n t 代 入方程得0)!2()1()()1(02222=−++−∑∑∑∞=∞=∞=−n n n n n n n n n t n t a a t a n n .将级数展开、整理合并同次项, 并比较系数得, a a =001=a , !22a a −=, , 03=a !424a a =, , 05=a !696a a −=, , 07=a !8558a a =, ⋅ ⋅ ⋅. 故所求特解为 !855!69!42!211(8642⋅⋅⋅++−+−=t t t t a x .习题12−21. 求下列微分方程的通解:(1)xy ′−y ln y =0;解 分离变量得dx xdy y y 1ln 1=, 两边积分得∫∫=dx x dy y y 1ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x −5y ′=0;解 分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx ,两边积分得, ∫∫+=dx x x dy )53(52即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C =为任意常数.(3)2211y y x −=′−;解 分离变量得2211x dx y dy −=−, 两边积分得∫∫−=−2211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C ,故通解为y =sin(arcsin x +C ).(4)y ′−xy ′=a (y 2+y ′);解 方程变形为(1−x −a )y ′=ay 2, 分离变量得dx x a a dy y −−=112, 两边积分得∫∫−−=dx xa a dy y 112, 即 1)1ln(1C x a a y−−−−=−, 故通解为)1ln(1x a a C y −−+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0; 解 分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22−=, 两边积分得∫∫−=dx xx y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=−ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C .(6)y x dxdy +=10; 解 分离变量得10−y dy =10x dx ,两边积分得∫∫=−dx dy x y 1010, 即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=−−, 或 10−y =10x +C ,故通解为y =−lg(C −10x ).(7)(e x +y −e x )dx +(e x +y +e y )dy =0;解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1−e y )dx , 分离变量得dx e e dy e e xx y y +=−11, 两边积分得∫∫+=−dx e e dy e e xx y y 11, 即 −ln(e y )=ln(e x +1)−ln C ,故通解为(e x +1)(e y −1)=C .(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0;解 分离变量得dx xx dy y y sin cos sin cos −=, 两边积分得∫∫−=dx x x dy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=−ln(sin x )+ln C ,故通解为sin x sin y =C .(9)0)1(32=++x dxdy y ; 解 分离变量得(y +1)2dy =−x 3dx ,两边积分得∫∫−=+dx x dy y 32)1(, 即 14341)1(31C x y +−=+, 故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1).(10)ydx +(x 2−4x )dy =0.解 分离变量得dx xx dy y 411(4−+=, 两边积分得∫∫−+=dx x x dy y )411(4, 即 ln y 4=ln x −ln(4−x )+ln C ,故通解为y 4(4−x )=Cx .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y ′=e 2x −y , y |x =0=0;解 分离变量得e y dy =e 2x dx ,两边积分得, ∫∫=dx e dy e x y 2即 C e e x y +=221,或 )21ln(2C e y x +=.由y |x =0=0得0)21ln(=+C , 21=C , 所以特解2121ln(2+=x e y .(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π==x y ; 解 分离变量得tan y dy =tan x dx ,两边积分得∫∫=xdx ydy tan tan ,即 −ln(cos y )=−ln(cos x )−ln C , 或 cos y =C cos x . 由4|0π==x y 得C C ==0cos 4cos π, 21=C , 所以特解为x y cos cos 2=.(3)y ′sin x =y ln y , e y x ==2π;解 分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=, 两边积分得∫∫=dx x dy y y sin 1ln 1,即 C xy ln 2ln(tan )ln(ln +=, 或2tan x C e y =. 由e y x ==π2得4tan πC e e =, C =1,所以特解为2tan x e y =.(4)cos ydx +(1+e −x )sin ydy =0, 4|0π==x y ; 解 分离变量得dx e e dy y y x x +=−1cos sin , 两边积分得∫∫+=−dx e e dy y y xx 1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |,或 cos y =C (e x +1).由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C , 42=C , 所以特解为)1(42cos +=x e y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1.解 分离变量得dx xdy y 21−=, 两边积分得∫∫−=dx x dy y 21, 即 ln y =−2ln x +ln C ,或 y =Cx −2.由y |x =2=1得C ⋅2−2=1, C =4, 所以特解为24x y =.3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60°, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解 设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有x dtdV )9802(5.062.0×××=, 即dt x dV )9802(5.062.0×××=. 又因为330tan x x r =°=,故 dx x dx r V 223ππ−=−=, 从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π−=×××, 即 x dt 2398025.062.03×××=π,因此 C x t +×××−=2598025.062.032π. 又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053××××=πC ,故水从小孔流出的规律为 645.90305.0)10(98025.062.0532252525+−=−××××=x x t π. 令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?解 已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=. 又由牛顿定律, F =ma , 即v t dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=. 由初始条件有C +×=2210105021, C =250. 因此 500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+×=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解 由题设知,R dt dR λ−=, 即dt RdR λ−=, 两边积分得ln R =−λt +C 1,从而 .)( 1C t e C Ce R ==−λ 因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e −λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021−=e R R , 从而16002ln =λ. 因此 t t e R e R R 000433.0010002ln 0−−==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解 设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为 xy x y −=−−2002, 故曲线满足微分方程:x y dx dy −=, 即dx x dy y 11−=, 从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2×3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解 建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dt dx v −==, 故dx =ky (h −y )dt .又由已知, y =at , 代入上式得dx =kat (h −at )dt ,积分得C t ka kaht x +−=3223121.由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x −=. 因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=−=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x −=.习题12−31. 求下列齐次方程的通解:(1)022=−−−′x y y y x ;解 原方程变为1)(2−−=x y x y dx dy . 令xy u =, 则原方程化为 12−+=+u u dx du x u , 即dx x du u 1112=−, 两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=−+, 即Cx u u =−+12, 将xy u =代入上式得原方程的通解Cx x y x y =−+1)(2, 即222Cx x y y =−+. (2)xy y dx dy xln =; 解 原方程变为xy x y dx dy ln =. 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=−, 两边积分得ln(ln u −1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1.(3)(x 2+y 2)dx −xydy =0;解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx −x 2u (udx +xdu )=0, 即dx x udu 1=,两边积分得u 2=ln x 2+C , 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ).(4)(x 3+y 3)dx −3xy 2dy =0;解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx −3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=−, 两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=−−, 即2312x C u −=, 将xy u =代入上式得原方程的通解 x 3−2y 3=Cx .(5)0ch 3)ch 3sh2(=−+dy xy x dx x y y x y x ; 解 原方程变为xy x y dx dy +=th 32. 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx x du u u 2sh ch 3=, 两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将xy u =代入上式得原方程的通解 22sh Cx xy =. (6)0)1(2)21(=−++dy yx e dx e y x y x . 解 原方程变为y xy xe e y x dy dx 21)1(2+−=.令yx u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+−=+, 即u u ee u dy du y 212++−=, 分离变量得dy y du e u e uu 1221−=++, 两边积分得ln(u +2e u )=−ln y +ln C , 即y (u +2e u )=C , 将yx u =代入上式得原方程的通解 C e yx y y x =+)2(, 即C ye x y x =+2. 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:(1)(y 2−3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1;解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2u 2−3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,即 dx x du u u u 1332=−−, 或dx x du u u u 1)11113(=−+++− 两边积分得−3ln |u |+ln|u +1|+ln|u −1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2−1=Cxu 3, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2−x 2=Cy 3.由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2−x 2=y 3.(2)xy y x y +=′, y |x =1=2; 解 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1, 即dx xudu 1=, 两边积分得C x u +=ln 212,将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ).由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).(3)(x 2+2xy −y 2)dx +(y 2+2xy −x 2)dy =0, y |x =1=1.解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u −x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u −x 2)(udx +xdu )=0,即dx x du u u u u u 1112232−=+++−+, 或 dx x du u u u 1)1211(2=+−+, 两边积分得ln|u +1|−ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将xy u =代入上式得原方程的通解 x +y =C (x 2+y 2).由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O , 对于A O 上任一点P (x , y ), 曲线弧P O 与直线段所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程. 解 设曲线弧A O 的方程为y =y (x ). 由题意得 20)(21)(x x xy dx x y x =−∫,两边求导得 x x y x x y x y 2)(21)(21)(=′−−, 即 4−=′x y y . 令xy u =, 则有 4−=+u dx du x u , 即dx xdu u 41−=, 两边积分得u =−4ln x +C . 将xy u =代入上式得方程的通解 y =−4x ln x +Cx .由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =−4x ln x +x .习题12−41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy −=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+⋅=+∫⋅∫=−−−−−∫∫. (2)xy ′+y =x 2+3x +2;解 原方程变为x x y x y 231++=+′.])23([11C dx e x x e y x x +∫⋅++∫=∫−])23(1])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=∫∫x Cx x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3)y ′+y cos x =e −sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +∫⋅∫=∫−−)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=−−−∫.(4)y ′+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫−)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=∫−∫+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx x x x x=cos x (−2cos x +C )=C cos x −2cos 2x .(5)(x 2−1)y ′+2xy −cos x =0;解 原方程变形为1cos 1222−=−+′x xy x xy .)1cos(1221222C dx e x x e y x xdx x x +∫⋅−∫=∫−−−)(sin 11])1(1cos [112222C x x C dx x x xx +−=+−⋅−−=∫.(6)23=+ρθρd d ; 解 )2(33C d e e d d +∫⋅∫=∫−θρθθ )2(33C d e e +=∫−θθθ θθθ33332)32(−−+=+=Ce C e e . (7)x xy dxdy 42=+; 解 )4(22C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫− )4(22C dx e x e x x +⋅=∫− .2222)2(x x x Ce C e e −−+=+= (8)y ln ydx +(x −ln y )dy =0;解 原方程变形为y x y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1ln 1C dy e ye x y y dy y y +∫⋅∫=∫− )ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=∫ yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)3)2(2)2(−+=−x y dxdy x ; 解 原方程变形为2)2(221−=−−x y x dx dy . ])2(2[21221C dx e x e y dx x dx x +∫⋅−∫=∫−−− ∫+−⋅−−=]21)2(2)[2(2C dx x x x =(x −2)[(x −2)2+C ]=(x −2)3+C (x −2).(10)02)6(2=+−y dxdy x y .解 原方程变形为y x y dy dx 213−=−. ])21([33C dy e y e x y dy y +∫⋅−∫=∫− )121(33C dy y y y +⋅−=∫ 32321)21(Cy y C y y +=+=. 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dxdy sec tan =−, y |x =0=0; 解 )sec (tan tan C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫− )(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=∫. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)xx x y dx dy sin =+, y |x =π=1; 解 )sin (11C dx e x x e y dx x x +∫∫=∫− )cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +−=+⋅=∫. 由y |x =π=1, 得C =π−1, 故所求特解为)cos 1(1x x y −−=π. (3)x e x y dx dy cos 5cot =+, 4|−==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +∫⋅∫=∫− )5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +−=+⋅=∫. 由4|2−==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +−=x e x y . (4)83=+y dxdy , y |x =0=2;解 )8(33C dx e e y dx dx +∫⋅∫=∫− x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(−−−+=+=+=∫. 由y |x =0=2, 得32−=C , 故所求特解为)4(323x e y −−=. (5)13232=−+y x x dx dy , y |x =1=0. 解 )1(223232C dx e e y dx x x dx x x +∫⋅∫=∫−−− )21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=−−∫. 由y |x =1=0, 得e C 21−=, 故所求特解为)1(211132−−=x e x y . 3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y . 解 由题意知y ′=2x +y , 并且y |x =0=0.由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dx dx +=+∫∫=∫∫−− =e x (−2xe −x −2e −x +C )=Ce x −2x −2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x −x −1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解 由牛顿定律F =ma , 得v k t k dt dv m21−=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(222211C dt e t m k e C dt e t m k e v t m k t m k dt m km k +⋅=+∫⋅∫=∫∫−− )(22222121C e k m k te k k e t m kt m k t m k +−=−.由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k m k C =. 因此 )(22122121222k m k e k m k te k k e v t m k t m k m k +−=− 即 )1(22121t m k e k m k t k k v −−−=. 5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.解 由回路电压定律知01025sin 20=−−i dt di t , 即t i dt di 5sin 105=+. 由通解公式得t dt dt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(−−+−=+∫⋅∫=∫. 因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π−+=+−=−−t e e t t i t t (A).6. 设曲在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).dy x x xf dx x yf L ])(2[)(2−+∫ 解 因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以])(2)]([2x x xf xx yf y −∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf ′(x )−2x , 或 1)(21)(=+′x f xx f . 因此 x C x C dx x x C dx e e x f dx x dx x +=+=+∫⋅∫=∫∫−32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故xx x f 3132)(+=. 7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy −=+;解 原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 11−=+, 即x x y dx y d cos sin )(11−=−−−. ])cos sin ([1C dx e x x e y dx dx +∫⋅−∫=−−∫x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [−=+−=∫−, 原方程的通解为x Ce y x sin 1−=. (2)23xy xy dxdy =−; 解 原方程可变形为x y x dxdy y =−1312, 即x xy dx y d −=+−−113)(. ])([331C dx e x e y xdx xdx +∫⋅−∫=∫−−)(222323C dx xe e x x +−=∫− 31)31(222232323−=+−=−−x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223−=−x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy −=+; 解 原方程可变形为)21(31131134x y dx dy y −=+, 即12)(33−=−−−x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dx dx +∫⋅−∫=−−∫x x x Ce x C dx e x e +−−=+−=∫−12])12([, 原方程的通解为1213−−=x Ce y x .(4)5xy y dxdy =−; 解 原方程可变形为x ydx dy y =−4511, 即x y dx y d 44)(44−=+−−. ])4([444C dx e x e y dx dx +∫⋅−∫=∫−− )4(44C dx xe e x +−=∫− x Ce x 441−++−=, 原方程的通解为x Ce x y 44411−++−=.(5)xdy −[y +xy 3(1+ln x )]dx =0.解 原方程可变形为 )ln 1(11123x yx dx dy y +=⋅−⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +−=+−−. ])ln 1(2[222C dx e x e y x dx x +∫⋅+−∫=∫−− ])ln 1(2122C dx x x x ++−=∫ x x x x C 94ln 322−−=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122−−=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解.解 原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy −=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x −=−,即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=−, 积分得 C x du v f v g v v g +=−∫ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然 后求出通解:(1)2)(y x dxdy +=; 解 令u =x +y , 则原方程化为21u dx du =−, 即21u du dx +=. 两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =−x +tan(x −C ).(2)11+−=yx dx dy ; 解 令u =x −y , 则原方程化为 111+=−udx du , 即dx =−udu . 两边积分得 1221C u x +−=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +−−=, 即(x −y )2=−2x +C (C =2C 1).(3)xy ′+y =y (ln x +ln y );解 令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+−, 即du uu dx x ln 11=. 两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx .将u =xy 代入上式得原方程的通解xy =e Cx , 即Cx e xy 1=. (4)y ′=y 2+2(sin x −1)y +sin 2x −2sin x −cos x +1;解 原方程变形为y ′=(y +sin x −1)2−cos x .令u =y +sin x −1, 则原方程化为x u x dx du cos cos 2−=−, 即dx du u =21. 两边积分得 C x u +=−1. 将u =y +sin x −1代入上式得原方程的通解 C x x y +=−+−1sin 1, 即C x x y +−−=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 . 解 原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++−=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++−=−, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得 u uu C x ln 121ln 21+−−=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy xy y x C x ln 121ln 221+−−=+, 即 2x 2y 2ln y −2xy −1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12−51. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解:(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0;解 这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为x Q xy yP ∂∂==∂∂12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y y x dx x y x =++∫∫02202)46(3即 C y y x x =++3223343. (2)(a 2−2xy −y 2)dx −(x +y )2dy =0;解 这里P =a 2−2xy −y 2, Q =−(x +y )2. 因为xQ y x y P ∂∂=−−=∂∂22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y x dx a y x =+−∫∫0202)(即 a 2x −x 2y −xy 2=C .(3)e y dx +(xe y −2y )dy =0;解 这里P =e y , Q =xe y −2y . 因为x Q e yP y ∂∂==∂∂, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y xe dx e y y x =−+∫∫000)2(即 xe y −y 2=C .(4)(x cos y +cos x )y ′−y sin x +sin y =0;解 原方程变形为(x cos y +cos x )dy −(y sin x +sin y )dx =0. 这里P =−(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为xQ x y y P ∂∂=−=∂∂sin cos ,所以此方程是全微分方程, 其通解为, C dy x y x dx yx =++∫∫00)cos cos (0即 x sin y +y cos x =C .解(5)(x 2−y )dx −xdy =0;解 这里P =x 2−y , Q =−x . 因为x Q yP ∂∂=−=∂∂1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为, C xdy dx x y x =−∫∫002即 C xy x =−331. (6)y (x −2y )dx −x 2dy =0;解 这里P =y (x −2y ), Q =−x 2. 因为y x yP 4−=∂∂, x x Q 2−=∂∂, 所以此方程不是全微分方程.(7)(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0;解 这里P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ. 因为xQ e y P ∂∂==∂∂θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C d e d =+∫∫θθρθρρ02022即 ρ(e 2θ+1)=C .(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0.解 这里P =x 2+y 2, Q =xy . 因为y yP 2=∂∂, y x Q =∂∂, 所以此方程不是全微分方程.2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解:(1)(x +y )(dx −dy )=dx +dy ;解 方程两边同时乘以y x +1得 y x dy dx dy dx ++=−, 即d (x −y )=d ln(x +y ), 所以yx +1为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x −y =ln(x +y )+C .(2)ydx −xdy +y 2xdx =0;解 方程两边同时乘以21y 得 02=+−xdx y xdy ydx , 即02()(2=+x d y x d , 所以21y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+22. (3)y 2(x −3y )dx +(1−3y 2x )dy =0;解 原方程变形为xy 2dx −3y 3dx +dy −3x 2dy =0, 两边同时乘以21y 并整理得 0)33(2=+−+xdy ydx ydy xdx , 即0)(3)1()2(2=−−xy d y d x d , 所以21y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy yx =−−3122. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx ;解 方程两边同时乘以221y x +得 022=−++dx yx ydy xdx , 即0)]ln(21[22=−+dx y x d , 所以221y x +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x .(5)(x −y 2)dx +2xydy =0;解 原方程变形为xdx −y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以21x 得 0222=−+x dx y xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以21x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+2ln , 即x ln x +y 2=Cx . (6)2ydx −3xy 2dx −xdy =0.解 方程两边同时乘以x 得2xydx −x 2dy −3x 2y 2dx =0, 即yd (x 2)−x 2dy −3x 2y 2dx =0, 再除以y 2得03)(2222=−−dx x ydy x x yd , 即0)(32=−x y x d 所以2y x 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032=−x yx . 3. 验证)]()([1xy g xy f xy −是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程的通解:解 方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy −得 0])()()]()([1=+−dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy , 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P −=, )]()([)(xy g xy f y xy g Q −=. 因为x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f y P ∂∂=−′−′=∂∂2)]()([)()()()(, 所以)]()([1xy g xy f xy −是原方程的一个积分因子. (1)y (x 2y 2+2)dx +x (2−2x 2y 2)dy =0;解 这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2−2x 2y 2 , 所以 31)]()([1y x xy g xy f xy =− 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=−++dy y x y x dx y x x , 其通解为C dy y x y x dx x x y x =−++∫∫122123232, 即C y x y x =−+−)11ln (ln 31222, 或2212y x e Cy x =.(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy −x 3y 3)dy =0.解 这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y −x 3 y 3 , 所以 441)]()([1yx xy g xy f xy =− 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以1y x 得全微分方程 02112433334=−+++dy y x y x xy dx yx xy ,其通解为C dy y x y x xy dx x x y x =−+++∫∫14333142112, 即 C y y x y x =++||ln 3113322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程:(1)xy ′+2y =4ln x ;解 原方程变为x x y x y ln 42=+′, 其积分因子为 22)(x e x x =∫=μ, 在方程x xy x y ln 42=+′的两边乘以x 2得 x 2y ′+2xy =4x ln x , 即(x 2y )′=4x ln x ,两边积分得, C x x x xdx x y x +−==∫222ln 2ln 4原方程的通解为21ln 2x C x y +−=. (2)y ′−tan x ⋅y =x . 解 积分因子为,x e x xdx cos )(tan =∫=−μ在方程的两边乘以cos x 得cos x ⋅y ′−sin x ⋅y =x cos x , 即(cos x ⋅y )′=x cos x , 两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅∫cos sin cos cos , 方程的通解为xC x x y cos 1tan ++=.习题12−61. 求下列各微分方程的通解:(1)y ′′=x +sin x ;解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +−=+=′∫, 21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++−=+−=∫, 原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++−=. (2)y ′′′=xe x ;解 , 12C e xe dx xe y x x x +−==′′∫, 21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++−=+−=′∫, 3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++−=++−=∫原方程的通解为.32213C x C x C e xe y x x +++−= (3)211x y +=′′; 解 12arctan 11C x dx x y +=+=′∫ x C dx x x x x dx C x y 1211arctan )(arctan ++−=+=∫∫ 212)1ln(21arctan C x C x x x +++−=, 原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++−=.(4)y ′′=1+y ′2;解 令p =y ′, 则原方程化为p ′=1+p 2, 即dx dp p =+211, 两边积分得arctan p =x +C 1, 即y ′=p =tan(x +C 1),, 211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++−=+=∫原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++−=.(5)y ′′=y ′+x ;解 令p =y ′, 则原方程化为p ′−p =x ,由一阶线性非齐次方程的通解公式得, 1)()(111−−=+=+∫⋅∫=∫∫−−x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dx dx 即 y ′=C 1e x −x −1,于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +−−=−−=∫, 原方程的通解为22121C x x e C y x +−−=.(6)xy ′′+y ′=0;解 令p =y ′, 则原方程化为 x p ′+p =0, 即01=+′p xp , 由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p x x 1ln 111==∫=−−, 即 xC y 1=′, 于是 211ln C x C dx xC y +==∫, 原方程的通解为y =C 1ln x +C 2 .(7)yy ′′+′=y ′2;解 令p =y ′, 则dy dp p dx dy dy dp y =⋅=′′, 原方程化为 21p dy dp yp =+, 即dy y dp p p 112=−, 两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=−, 即. 22121y C p ±− 当|y ′|=|p |>1时, 方程变为2211y C y +±=′, 即dx dy y C ±=+21)(11, 两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=. 当|y ′|=|p |<1时, 方程变为 2211y C y −±=′, 即dx dy y C ±=−21)(11, 两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=.(8)y 3y ′′−1=0;解 令p =y ′, 则dy dp py =′′, 原方程化为 013=−dy dp py , 即pdp =y −3dy , 两边积分得122212121C y p +−=−, 即p 2=−y −2+C 1, 故 21−−±=′y C y , 即dx dy y C ±=−−211, 两边积分得)(12121C x C y C +±=−,即原方程的通解为C 1y 2=(C 1x +C 2)2 .(9)yy 1=′′; 解 令p =y ′, 则dy dp py =′′, 原方程化为 y dy dp p 1=, 即dy ypdp 1=, 两边积分得122221C y p +=, 即1244C y p +=, 故 12C y y +±=′, 即dx dy C y ±=+11, 两边积分得原方程的通211231]2)(32[C C y C C y x ++−+±=.(10)y ′′=y ′3+y ′. 解 令p =y ′, 则dydp py =′′, 原方程化为 p p dy dp p +=3, 即0)]1([2=+−p dy dp p . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解. 由0)1(2=+−p dydp 得 arctan p =y −C 1, 即y ′=p =tan(y −C 1),从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x −=−=+∫, 故原方程的通解为.12arcsin C e y C x +=+ 2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y 3 y ′′+1=0, y |x =1=1, y ′|x =1=0;解 令p =y ′, 则dy dp p y =′′, 原方程化为013=+dy dp p y , 即dy ypdp 31−=, 两边积分得1221C y p +=, 即y y C y 211+±=′. 由y |x =1=1, y ′|x =1=0得C 1=−1, 从而yy y 21−±=′, 分离变量得dx dy yy =−±21, 两边积分得221C x y +=−±, 即22)(1C x y +−±=.由y |x =1=1得C 2=−1, 2)1(1−−=x y , 从而原方程的通解为22x x y −=.(2)y ′′−ay ′2=0, y |x =0=0, y ′|x =0=−1;解 令p =y ′, 则原方程化为02=−ap dx dp , 即adx dp p=21, 两边积分得 11C ax p +=−, 即11C ax y +−=′. 由y ′|x =0=−1得C 1=1, 11+−=′ax y , 两边积分得 2)1ln(1C ax a y ++−=.由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为)1ln(1+−=ax a y .(3)y ′′′=e ax , y |x =1=y ′|x =1=y ′′|x =1=0;解 11C e adx e y ax ax +==′′∫.。
高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_
高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_第十二章微分方程内容概要§12.1微分方程的基本概念内容概要课后习题全解1.指出下列微分方程的阶数:知识点:微分方程阶的定义★(1)某(y)24yy3某y0;解:出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1,∴方程的阶数为1。
注:通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。
例:(错解)方程的阶数为2。
((y))★(2)2某y2y某2y0;解:出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2,∴方程的阶数为2。
★(3)某y5y2某y0;解:出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3,∴方程的阶数为3。
★(4)(7某6y)d某(某y)dy0。
(n)思路:先化成形如F(某,y,y,,y解:化简得)0的形式,可根据题意选某或y作为因变量。
dy6y7某,出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1,∴方程的阶数为1。
d某某y2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:知识点:微分方程的解的定义思路:将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。
★(1)某y2y,y5某2;2解:将y10某,y5某代入原方程得左边所以某10某25某22y右边,y5某2是所给微分方程的解。
y2y0,yC1co某C2in某;解:yC1in某C2co某,将y2C1co某2C2in某,yC1co某C2in某,代入原方程得:左边所以★(3)y2y2C1co某2C2in某2(C1co某C2in某)右边,yC1co某C2in某是所给微分方程的解。
y22yy20,yC1某C2某2;某某2解:将yC1某C2某,yC12C2某,y2C2,代入原方程得:2C14C2某2(C1某C2某2)22y左边=yy22C20右边2某某某某所以yC1某C2某2是所给微分方程的解。
y(12)y12y0yC1e1某C2e2某;1某解:将yC1eC2e2某,yC11e1某C22e2某,yC112e1某C222e2某,代入原方程得:左边y(12)y12y22C11e1某C22e2某(12)(C11e1某C22e2某)12(C1e1某C2e2某) 0所以右边,yC1e1某C2e2某是所给微分方程的解。
高等数学大一教材答案
高等数学大一教材答案1. 第一章:函数与极限1.1 函数的概念及性质1.2 极限的概念1.3 极限的运算法则2. 第二章:导数与微分2.1 导数的定义2.2 导数的几何意义2.3 微分的概念及运算法则3. 第三章:微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理3.2 最值问题3.3 凹凸性与拐点4. 第四章:不定积分4.1 不定积分的概念4.2 基本积分表与积分法4.3 特殊曲线的面积5. 第五章:定积分5.1 定积分的定义5.2 区间上的连续函数的积分5.3 定积分的性质与计算方法6. 第六章:定积分的应用6.1 近似计算积分6.2 弧长与曲线面积的计算6.3 牛顿—莱布尼茨公式7. 第七章:多元函数的极限与连续7.1 二元函数的连续与偏导数7.2 多元函数的极限与连续7.3 多重积分8. 第八章:多元函数的微分法与隐函数的求导法8.1 多元函数的全微分8.2 隐函数的求导法8.3 多元函数的泰勒公式9. 第九章:向量代数与空间解析几何9.1 向量的概念与运算9.2 空间中的曲线与曲面9.3 平面与直线的方程10. 第十章:多元函数的导数与微分10.1 偏导数的概念10.2 高阶偏导数和混合偏导数10.3 多元函数的隐函数及其导数11. 第十一章:多元函数的极值与条件极值11.1 多元函数的极值11.2 多元函数的条件极值11.3 二重积分的计算12. 第十二章:曲线积分与曲面积分12.1 曲线积分12.2 曲面积分与高斯积分定理12.3 斯托克斯定理文章结束。
高等数学同济第七版第十二章课后习题答案
…I I
半径为 I,收敛区间为(-1 J).
(4)lim %" = lim —= 0 ,故收敛半在为+8,收敛区间是(-8 , ♦ 8 ). …14 | …2 (门♦ I)
第十二童无穷级数
221
由此可知.对任意给定的正数£ .取正整数 A m 岫十,当〃 >投时,对一切正整数 p, 都有 S--
力 < £ ,按柯西收敛原理.该级数收敛•
(4)本题与(2)类同.因 4 =丁\ + (
故对 3/1 ♦ 1 \3n +2 3n + 3) 3〃 ♦ I An
% = + .不论/!取什么正整数.取 p = 〃时.就有 1〃.,・h1 =%八+U..2 ।…+
219
解(D 此级数为公比 g =-5 的等比级数.因|°| < 1 ,故该级数收敛.
(2)此级数的部分和
即该级数发散.
lim sA = + oc , 冬■一
(3)此级数的一股项% =*,有 要条 忖% = lim(y), = 1 ,不满足级数收敛的必
件,故该级数发散. (4)此级数为公比 4 二方的等比级数,因|q| > 1 ,故该级数发散. (5)此级数的一般项% =3.二注意到与£ 上分别是公比”;
•
・a
散,故各项乘;志的级数 Ej 也发放,由比较审敛法知原级数 s 二二■? 发散.
1 解法二 因=1,而 y 1 发故.故由极限形式的比较审敛法知原 … I 2 1n
级数发散 (2) u = Lt: >二而 f L 发散.由比较审敛法知原级数 ・
1 > n2 n n2 n Sf”
222
一• 《高等数学》(第七版)下册习咫全解
高等数学第十二章第四讲 一阶线性微分方程
第十二章
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
新未知函数 u( x ) 原未知函数 y( x ),
作变换
y u( x )e
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u ( x )e
P ( x ) dx u( x )[ P ( x )]e ,
即
其通解为
再积分
1 2 y ln(1 x ) c1 arctan x c2 2
即为原二阶方程的通解
x c1 y 2 1 x
x c1 z 1 x2
例6. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系.
也是经常可以考虑的
第十二章
三、小结
y 1.齐次方程 y f ( ) x
令 y xu;
P ( x ) dx
2.线性非齐次方程 令 y u( x )e
;
思考题
cos y 求微分方程y 的通解. cos y sin 2 y x sin y
第十二章 思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y , dy cos y dx tan y x sin 2 y , dy
1
第十二章
五、1、( x y ) 2 2 x C ; 1 2、 y 1 sin x ; xC 3、2 xy sin( 2 xy) 4 x C . 2(1 e x ) , 0 x 1 六、 y y( x ) . x 2(e 1)e , x 1
高等数学(经济类)课后习题及答案第十二章 微分方程答案
习题12—1(A )1. 指出下列各微分方程的阶数:(1)y y x 3='; (2)0d 2d )(3=--y x x x y ; (3)y y x y x '='+''+2)2(; (4)22()yy y y ''''''=-;(5)(5)(3)242cos y yy y x ''+-+=; (6)232d d 2d d P P tt t t+=; (7)0222)4(=+'-''+'''-y y y y y;答案:(1)一阶;(2)一阶;(3)二阶;(4)三阶;(5)五阶;(6)二阶;(7)四阶. 2. 验证下列各函数是否为所给微分方程的解. 如果是解,请指出是通解,还是特解?(1)函数3y x =,微分方程y y x 3=';(2)函数sin 3y C x =,微分方程90y y ''+=;(3)由C x y xy =++22确定的函数)(x y y =,微分方程(1)()0y dx x y dy +++=; (4)函数xy λe =(其中λ是给定的实数),微分方程0=+'''y y .解:(1)因为23y x '=,左式233=xy x x y '==⋅=右式,所以函数3y x =是微分方程y y x 3='解.又因为函数3y x =不包含任意常数,所以是特解.(2)因为9sin39y C x y ''=-=-,即90y y ''+=,所以函数sin 3y C x =是微分方程90y y ''+=解,但是由于sin 3y C x =中只有一个任意常数,又因为微分方程是二阶的,所以sin 3y C x =既不是微分方程90y y ''+=的通解,也不是特解,只是解.(3)等式C x y xy =++22两边同时对x 求导,有d d 10d d y y y x y x x+++=,整理得(1)()0y dx x y dy +++=,所以由C x y xy =++22确定的函数)(x y y =是(1)()0y dx x y dy +++=的解,又C x y xy =++22中含有一个任意常数,而(1)()0y dx x y dy +++=是一阶微分方程,所以Cx y xy =++22是(1)()0y dx x y dy +++=通解.(4)因为x y λe =,则有3e xy λλ'''=,所以33ee (1)e xx x y y λλλλλ'''+=+=+.当1λ=-时,3(1)e 0x y y λλ'''+=+=,则x y λe =是微分方程0=+'''y y 的解,并且是特解;当1λ≠-时,3(1)e0xy y λλ'''+=+≠,则x y λe =不是微分方程0=+'''y y 的解.3. 若函数e xy α=是微分方程0y y ''''-=的解,求的α值.解:由e x y α=得,e x y αα'=,3e xy αα'''=,将它们代入微分方程0y y ''''-=,得32e e (1)=0x x x y y e ααααααα''''-=-=-,所以1α=-,0或1.4.验证下列所给的各函数是微分方程的通解,并求满足初始条件的特解.(1)函数21y Cx =+,微分方程22xy y '=-,初始条件(1)2y =; (2)函数22x y C +=,微分方程0yy x '+=,初始条件1)1(=y ;(3)函数12()xy C C x e =+,微分方程20y y y '''-+=,初始条件(0)0y =,(0)1y '=.解:(1)因为2y Cx '=,所以222(1)222xy x Cx Cx y '=⋅=+-=-.又2Cx y =中含有一个任意常数,22xy y '=-是一阶微分方程,所以函数21y Cx =+是微分方程22xy y '=-的通解.由(1)2y =,可得1C =,所以微分方程22xy y '=-满足初始条件(1)2y =的特解是2+1y x =.(2)对隐函数22x y C +=的两边求关于x 的导数,得220x yy '+=,即0yy x '+=.又22x y C +=中含有一个任意常数,0yy x '+=是一阶微分方程,所以隐函数22x y C +=是微分方程0yy x '+=的通解.由1)1(=y ,可得2C =,所以微分方程0yy x '+=满足初始条件1)1(=y 的特解是222x y +=.(3)因为212()e x y C C C x '=++,212(2)e xy C C C x ''=++,所以2y y y '''-+21221212(2222)e 0x C C C x C C C x C C x =++---++=.又因为函数12()x y C C x e =+中含有两个独立的任意常数,而20y y y '''-+=是二阶微分方程,所以12()xy C C x e =+是微分方程20y y y '''-+=的通解.由初始条件(0)0y =,(0)1y '=,有12101C C C =⎧⎨+=⎩,,得01=C ,12=C ,所以微分方程20y y y '''-+=满足初始条件(0)0y =,(0)1y '=的特解是e xy x =.习题12—1(B )1.给定微分方程21y x '=+, (1)求过点(1,3)的积分曲线方程;(2)求出与直线13+=x y 相切的积分曲线方程.解:易验证2y x x C =++是微分方程21y x '=+的通解.(1)由曲线2y x x C =++过点(1,3),有311C =++,得1C =,所求积分曲线为21y x x =++.(2)若曲线2y x x C =++与直线13+=x y 相切,则有213x +=(斜率相等),得1x =. 当1=x 时,4=y ,所以切点为(1,4),将其代入2y x x C =++,有411C =++,得2C =,所求曲线为22y x x =++.2.将积分方程2()()sin cos xf t dt xf x x x x π=--⎰(其中)(x f 是连续函数)转化为微分方程,给出初始条件,并求函数)(x f . 解:将2()()sin cos xf t dt xf x x x x π=--⎰两边同时对x 求导,有()()()sin cos sin f x f x xf x x x x x '=+--+, 即()cos f x x '=,这就是所求的微分方程,容易得到其通解为()cos sin f x xdx x C ==+⎰.将2x π=代入到原方程2()()sin cos x f t dt xf x x x x π=--⎰中,有0()12f π=-,得初始条件为()12f π=,所以有11C =+,得0C =,所求函数为()sin f x x =.习题12—2(A )1. 求下列可分离变量的微分方程的通解:(1)32yy x '=; (2)e yy x -'=;(3)y '=; (4)2(3)0ydx x x dy +-=.解:(1)分离变量32d 4d y y x x =,两边积分32d 4d y y x x =⎰⎰,整理得通解为24y x C =+.(2)分离变量e d d yy x x =,两边积分e d d y y x x =⎰⎰,整理得通解为21e 2y x C =+,或写作2ln()2x y C =+.(3)分离变量d y y =,两边积分d y y =⎰,整理得通解为1ln y C =,进而原方程通解为:y Ce =(4)分离变量有2d d 3y x y x x =--,整理得d 111()d 33y x y x x=---,两边积分d 111()d 33y x y x x ==---⎰⎰,整理得通解为11ln (ln 3ln )d 3y x x x C =---+,进而原方程通解为:3(3)x y Cx -=.2. 求下列齐次方程的通解:(1)2xy x y '=+; (2)(2)x y y y '-=;(3)22()d d 0x y x xy y -+=; (4)d (1ln)d 0yx y y x x-+=. 解:(1)将方程改写为2y y x '=+,令u xy=,则x u x u x y y d d d d +==',于是原方程化为d 2d u u xu x +=+,即2d d x u x =,积分得2ln ln u x C =+,即2ln yCx x=,所以原方程通解为2ln y x Cx =.(2)将方程改写为2d d -=y x y x ,令v yx =则y vy v y x d d d d +=,于是原方程化为2d d -=+v y v yv ,即y y v d 2d -=,积分得C y v ln ln 2+-=,即2ln yCy x =,所以原方程通解为2lny Cy x =.(3)将方程改写为d d y y x x x y =-,令u xy=,则x u x u x y d d d d +=,于是原方程化为d 1d u u x u x u +=-,即d d xu u x=-,积分得2ln 22u C x =-+,即222ln y C x x =-,所以原方程通解为2y 2x =2(ln )C x -.(4)将方程改写为(1ln )dy y y dx x x =+,令y u x =,则xu x u x y y d d d d +==',于是原方程化为(1ln )du u xu u dx +=+,即ln du dxu u x=,积分得1ln ln ln u x C =+,即ln u Cx =(其中1)C C e =±,所以原方程通解为lnyCx x=,或写作e Cx y x =. 3. 求下列一阶线性微分方程的通解:(1)2y xy x '-=; (2)d 2e d x yy x+=; (3)sin cos e x y y x -'+=; (4)2(2cos )d (+1)d 0xy x x x y -+=.解:(1)法一:相应齐次方程为0y xy '-=,即d d y x x y =,积分得211ln 2y x C =+,即22e x y C =(其中1)C C e =±.令22()ex y u x =,代入原方程,有222222ee e2x x x u xu xu x '+-=,即222ex u x -'=,得2222()2ed 2e x x u x x x C --==-+⎰,所以原方程通解为222222(2e )e e 2x x x y C C -=-+=-.法二:()P x x =-、()2Q x x =,方程通解为 ()d ()d [()e d ]e P x xP x x y Q x x C -⎰⎰=+⎰d d (2e d )e x x x xx x C -⎰⎰=+⎰2222(2ed )e x x x x C -=+⎰2222(2e)e x x C -=-+22e 2x C =-.(2)()1P x =、()2e xQ x =,方程通解为 ()d ()d d d [()e d ]e (2e e d )e P x xP x x x xx y Q x x C x C --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰22(2e d )e (e )e e e x x x x x x x C C C ---=+=+=+⎰.(3)()cos P x x =、sin ()exQ x -=,方程通解为()d ()d cos d cos d sin [()e d ]e (e e d )e P x xP x x x x x x x y Q x x C x C ---⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰sin sin (d )e ()e x x x C x C --=+=+⎰.(4)方程化为222cos 11x x y y x x '+=++,则有22()1x P x x =+、2cos ()1xQ x x =+,方程通解为 2222d d ()d ()d 112cos [()e d ]e (e d )e 1xxxx P x xP x xx x x y Q x x C x C x --++⎰⎰⎰⎰=+=++⎰⎰221sin (cos d )+1+1x Cx x C x x +=+=⎰. 4.求下微分方程满足所给初始条件的特解: (1)d 1d 2y x x y -=,(3)1y =; (2)sec y xy x y x '+=,2)1(π=y ; (3)2e xy y x '-=,(0)2y =; (4)ln ln xy x y x '+=,(e)1y =.解:(1)这是可分离变量方程,分离变量为2d (1)d y y x x =-,积分得22(1)2x y C -=-+,即方程通解为22(1)2x y C -+=.由(3)1y =,有3C =,方程特解为22(1)32x y -+=. (2)这是齐次方程secy y y x x '+=,令u xy=,则x u xu x y d d d d +=,于是原方程化为d sec d u u xu u x ++=,即d cos d xu u x=-,积分得1sin ln u x C =-+,即方程的通解为sin eyxx C =(其中1)C C e =±.由2)1(π=y ,可得1C e=,所以方程特解为sin 1e yx x -=.(3)这是一阶线性方程,2()1()e xP x Q x x =-=、,因此,方程通解为d d 2(e e d )e (e d )e [(1)e )]e x xx x x x x y x x C x x C x C -⎰⎰=+=+=-+⎰⎰. 由(0)2y =,有21C =-+,得3=C ,方程特解为xx x y 2e )1(2e 3-+=.(4)原方程可化为11ln y y x x x '+=,这是一阶线性方程,1()ln P x x x =、1()Q x x=,方程通解为11d d 2ln ln 1111[e d ]e (ln )ln 2ln 2ln x x x x x xC y x C x C x x x x-⎰⎰=+=+=+⎰.由(e)1y =,有1121C =+,得12C =,所以方程特解为11(ln )2ln y x x =+.习题12—2(B )1.求下列伯努利微分方程的通解: (1)yx xy y =-'; (2)2xy y y =-'. 解:(1)1-=n ,令21y y z n==-(21=-n ),则原方程化为x n xz n x z )1()1(d d -=--,即x xz xz22d d =-,该方程通解为 222222d 2d (2e d )e (2e d )e (e )e e 1x x x xx x x x x z x x C x x C C C ---⎰⎰=+=+=-=-⎰⎰.所以,原方程通解为1e 22-=x C y . (2)2=n ,令yyz n11==-(11-=-n ), 则原方程化为x n z n x z )1()1(d d -=--,即x z xz-=+d d ,该方程通解为 1e e )e e (e )d e (e )d e (d d +-=+-=-=⎰+⎰-=----⎰⎰x C x C x x C C x x z x x x x x x xx .所以,原方程通解为1e 1+-=-x C yx . 2.用适当的变量代换求下列微分方程的通解: (1)22x y x y +=+'; (2)1+-='y x y ;(3))ln (ln y x y y y x +=+'; (4)xy x y y xy 22tan 2+='.解:(1)令u x y =+2,则x u x x y d d 2d d =+,于是u x u=d d ,分离变量有x uu d d =,积分得C x u +=2,原方程通解为C x x y +=+22. (2)令1x y u -+=,则x u x y d d d d 1=-,于是u x u =-d d 1,即u xu-=1d d ,分离变量得x u u u u d )1(d -=-,或x u u d d )111(2-=-+,积分得x C u u -=-+)1ln (2,所以原方程通解为x C y x y x -=+--++-)11ln 1(2.(3)令u xy =,则x u x y xy d d d d =+,于是u x u x u ln d d =,分离变量得xxu u u d ln d =,积分得Cx u ln ln ln =,即Cx u e =,所以原方程通解为Cxxy e 1=.(4)u x y =2,即xu y =2,则x u x u y y d d 2+=',原方程化为u x xu xu x xu tan d d 2+=+,分离变量有xxu u d d cot =,该方程通解为Cx u ln sin ln =,即Cx u =sin ,所以原方程通解为Cx xy =2sin .3.求微分方程(0(0)ydx x dy y -=>的通解.解:将方程改写为222)(1d d yxy x y y x x y x ++=++=这是以)(y x x =为未知函数的齐次方程,为此令yv x =,则y v y v y x d d d d +=,于是方程化为21d d v yvy +=,分离变量有yyv v d 1d 2=+,积分得C y v v ln ln )1ln(2+=++,即Cy v v =++21,进而原方程通解为Cx Cy 211+=. 4.求微分方程2d d yx yx y +=的通解. 解:方程改写为y y x y x +=d d ,即y yxy x =-d d ,这是一阶线性微分方程,通解为 2d d )d ()d e(ey Cy y C y y y C x yy yy+=+=⎰+⎰=⎰⎰-.5.设函数)(x f 连续,且不恒为零,若⎰⎰+=120d )(2d )()(t t tf t t f x f x ,求函数)(x f .解:方程两边同时对x 求导,有)()(x f x f =',分离变量有x ffd d =,得通解为x C x fe )(=.记a t t tf =⎰12d )(,则a t t f x f x2d )()(0+=⎰,令0=x ,得初始条件a f 2)0(=.用0=x 代入到x C x f e )(=之中,有a C 2=,所以x a x f e 2)(=.由)e 21e (2)d e e(2d e 4d )(102221021221022102t t t t a t t a t t at t tf a -=-===⎰⎰⎰)1e ()e 21e (22210222+=-=a a t , 得1e 12+=a ,所以1e e 2)(2+=x x f .6.设连续函数)(x f 满足1)(d )()(12-=+⎰x f t tt f t f x ,求函数)(x f . 解:方程1)(d )()(12-=+⎰x f t t t f t f x 两边同时对x 求导,有)()()(2x f xx f x f '=+,令)(x f y =,则方程可以改写为y x y y x +=2d d ,即y yxy x =-d d ,这是一阶线性微分方程,通解为 )()d ()d e(ed d y C y y C y y y C x yy yy+=+=⎰+⎰=⎰⎰-.用1=x 代入到方程1)(d )()(12-=+⎰x f t tt f t f x 之中,得初始条件1)1(=f ,于是11+=C ,故0=C ,于是2y x =,即所以函数为x x f =)((注:根据初始条件1)1(=f ,所以不能取x x f -=)().习题12—3(A )1. 求下列各微分方程的通解:(1)2+1y x ''=; (2)2cos e x y x '''=+; (3)20y xy '''-=; (4)2e xy y '''-=;(5)201y y y'''+=-. 解:(1)2311(1)3y x dx x x C '=+=++⎰, 342112111()d 3122y x x C x x x C x C =++=+++⎰.(2)2211(cos e )d sin e 22x xy x x x C ''=+=++⎰, 2211211(sin e 2)d cos e 224x x y x C x x C x C '=++=-+++⎰, 2121(cos e 2)d 4x y x C x C x =-+++⎰221231sin e 8x x C x C x C =-++++. (3)方程不显含y ,令)(x p y =',则p y '='',于是d 20d pxp x-=,分离变量为d 2d p x x p =,积分得2ln p x C =+,即213p C x =(其中13)C C e =±,于是原方程降阶为213y C x '=,原方程通解为23121d 3C x C x x C y +==⎰.(4)方程不显含y ,令)(x p y =',则p y '='',于是2e xp p '-=,这是一阶线性微分方程,其通解为d d 2111(e e d )e (e d )e (e )e x x x x x x xp x C x C C -⎰⎰=+=+=+⎰⎰,于是原方程降阶为21e e x x y C '=+,所以原方程的通解为221121(e e )d e e 2x x xx y C x C C =+=++⎰. (5)方程不显含x ,令()y q y '=,则y qq '''=,于是2d 0d 1q q q y y +=-,即d 0d 1q q y y+=-,这是可分离变量的方程,先分离变量d d 1q y q y=--,再两边积分,并整理可得1(1)q C y =-.所以1d (1)d yC y x=-,解得12e 1C x y C =+,这就是原方程的通解. 2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解: (1)311y x '''=+,(1)1y =,(1)1y '=,1(1)2y ''=;(2)2y y x '''-=,(0)1y =,(0)0y '=; (3)2eyy ''=,(0)0y =,(0)1y '=.解:(1)13211(1)d 2y x x C x x ''=+=-++⎰,由1(1)2y ''=,得10C =,所以212y x x''=-+; 222111()d 222y x x x C x x '=-+=++⎰,由(1)1y '=,得02=C ,所以21122y x x '=+; 2331111()d ln 2226y x x x x C x =+=++⎰,由1)1(=y ,得356C =,所以方程满足初始条件的特解为3115ln 266y x x =++. (2)方程不显含y ,令)(x p y =',则p y '='',原方程化为2p p x '-=,此方程通解为d d 1111(2e d )e (2e d )e (2e 2e )e e 22x xx x x x x x p x x C x x C C x C x ----⎰⎰=+=+=--=--⎰⎰,即1e 22xy C x '=--,由(0)0y '=,得12C =,从而2(e 1)x y x '=--,此方程通解为222(e 1)d 2e 2x x y x x x x C =--=--+⎰,由(0)1y =,得21C =-,所以方程满足初始条件的特解为22e 21x y x x =---.(3)方程不显含x ,令()y q y '=,则y qq '''=,于是2e y qq '=,分离变量有2d e d yq q y =,积分得221e yp C =+,即y '=由1)0(='y ,可知道0>'y ,所以y '=再由(0)0y =,(0)1y '=,得01=C ,所以e y y '=.分离变量有e d d yy x -=,积分得2e y x C --=+,由0)0(=y ,得21C =-,于是e 1y x --=-,化简为ln (1)y x =--,这就是方程满足初始条件的特解.习题12—3(B )1. 求下列各微分方程的通解: (1)()e n ax b yx =+(a ,b 为常数); (2)0ln=''-''xy y y x ;(3)2)(y y '=''. 解:(1)由于1e d e axax x a =⎰,11d 1t t x x x t +=+⎰,故原方程的通解为 1121211e [()(1)(1)]axb n n n n n n y b n b n b x C x C x C x C a-+---=+++-++++++.(2)方程不显含y ,令)(x p y =',则p y '='',于是x p p p x ln=',即xpx p p ln =',这是齐次方程,令u x p =,则x u x u x p p d d d d +==',原方程化为u u xux u ln d d =+,分离变量有x x u u u d )1(ln d =-,积分得x C u 1ln )1ln(ln =-,即11e +==x C u xp ,原方程降阶为11e +='x C x y ,原方程通解为⎰⎰+++-==x x C x x y x C x C x C )d e e (1d e 11111112111)1(e 11C C x C x C +-=+. (3)方程既不显含y ,也不显含x .(方法1)令)(x p y =',则p y '='',则2p p =',分离变量有x ppd d 2=,积分得11C x p -=-,即xC p -=11,原方程降阶为x C y -='11,所以原方程的通解为)ln(d 121x C C x C xy --=-=⎰.(方法2)令()y q y '=,则y qq '''=,于是2d d q qq y =,分离变量有2d d q q q y=,积分得2ln q y C =-,即原方程降阶为2e d d C y xy-=,分离变量为x y y C d d e 2=-,积分得12e C x y C -=--,化简为)ln(12x C C y --=,这就是原方程的通解.2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解: (1)2)(1y y '+='',(0)1y =,(0)0y '=;(2)3()y y y ''''=+,(0)0y =,(0)1y '=;(3))(22y y y y '-'='',(0)1y =,(0)2y '=.解:(1)按不显含y 的方程求解,(注:本题按不显含x 方程求解困难).令)(x p y =',则p y '='',于是21p p +=',分离变量有x ppd 1d 2=+,积分得1arctan C x p +=,即1arctan C x y +=',由(0)0y '=,得01=C ,于是x y tan =',积分得2tan d ln cos y x x C x ==-⎰,由(0)1y =,得12=C ,所以方程满足初始条件的特解为1ln cos y x =-.(2)令()y q y '=,则y qq '''=,得3d d qqq q y=+,因为0q =不满足初始条件(0)1y '=,所以0q ≠,分离变量有2d d 1qy q =+,积分得1arctan q y C =-,即1tan ()y q y C '==-. 由初始条件(0)0y =,(0)1y '=,有11tan (0C =+),得14C π=,故tan ()4y y π'=-. 分离变量d d tan ()4y x y π=-,积分并整理得2sin ()e 4xy C π-=.再由初始条件(0)0y =,得22C =-arcsin 24x y =+π. (3)这是不含x 的二阶可降阶微分方程,令()y q y '=,则y qq '''=,则方程化为22()yqq q q '=-.因为0q =不满足初始条件2)0(='y ,所以0q ≠,分离变量有d d 21q yq y=-,积分得21ln(1)ln q C y -=,解得211y q C y '==+.由初始条件(0)1y =,(0)2y '=,有121+=C ,得11=C ,故12+='y y ,分离变量有x y y d 1d 2=+,积分得1arctan C x y +=,再由初始条件1)0(=y ,得42π=C ,所以原方程满足初始条件的特解为4arctan π+=x y ,即xxx y tan 1tan 1)4tan(-+=+=π.习题12—4(A )1.指出下列各对函数在其定义区间内的线性相关性:(1)3x 与2x ; (2)e x 与e xx ; (3)e x-与2ex-; (4)x e 与5e x;(5)sin x 与x 2sin ; (6)x x cos sin 与x 2sin ; (7)e sec x x 与e tan xx ; (8)x ln 与ln x μ(0μ>).解:(1)因为233x xx =不恒为常数,所以3x 与2x 在区间)(∞+-∞,内线性无关. (2)因为e ex x x x =不恒为常数,所以e x与e x x 在区间)(∞+-∞,内线性无关. (3)因为2e e e x xx ---=不恒为常数,所以e x -与2e x -在区间)(∞+-∞,内线性无关. (4)因为5e 5ex x =恒为常数,所以xe 与5e x 在区间)(∞+-∞,内线性相关. (5)因为sin 22cos sin xx x=不恒为常数,所以sin x 与x 2sin 在区间)(∞+-∞,内线性无关. (6)因为sin 22sin cos xx x=恒为常数,所以x x cos sin 与x 2sin 在区间)(∞+-∞,内线性相关.(7)因为e tan sin e sec x x xx x=不恒为常数,所以e sec x x 与e tan x x 在区间)(∞+-∞,内线性无关.(8)因为ln 0ln x xμμ=>恒为常数,所以x ln 与ln x μ在区间)0(∞+,内线性相关. 2.验证函数21e x y =,22e xy x =是微分方程440y y y '''-+=的两个线性无关的解,并写出该方程的通解.解:因为21e xy =,所以22112e =4e x xy y '''=,,因此 222111444e 8e 4e 0xx x y y y '''-+=-+=,所以21e xy =是440y y y '''-+=的解;同理,22e xy x =是440y y y '''-+=的解.又因为2221e exx y x x y ==不恒为常数,所以函数21e x y =,22e x y x =是微分方程440y y y '''-+=的两个线性无关的解.因此二阶线性齐次微分方程440y y y '''-+=通解为2112212()e x y C y C y C C x =+=+.3.通过观察给出微分方程0y y ''+=的两个线性无关的特解,并写出该方程的通解. 解:0y y ''+=是二阶线性齐次微分方程,改写为y y ''=-,二阶导数与自身呈相反数的函数有1sin y x =,2cos y x =,它们是0y y ''+=的两个解,又21cos cot sin y x x y x==不恒为常数,于是1sin y x =,2cos y x =线性无关,所以方程0y y ''+=的通解为12sin cos y C x C x =+.4.写出下列各二阶常系数线性齐次微分方程的通解:(1)320y y y '''-+=; (2)10250y y y '''-+=;(3)2100y y y '''-+=; (4)02d d 22=-x tx.解:(1)特征方程为2320r r -+=,即(1)(2)0r r --=,特征根为11=r 、22r =(不相等实根),所以方程320y y y '''-+=的通解是212e e x x y C C =+.(2)特征方程为210250r r -+=,即2(5)0r -=,特征根为125r r ==(两个相等实根),所以方程10250y y y '''-+=的通解是512()e xy C C x =+.(3)特征方程为22100r r -+=,由二次代数方程求根公式,得特征根为21322b y i a -===±(一对共轭复根),所以方程2100y y y '''-+=的通解是12(cos3sin 3)e xy C x C x =+. (4)特征方程为022=-r ,特征根为21=r 、22-=r (不同实根),所以方程02d d 22=-x tx的通解是ttC C x 2221e e -+=(注意t 是自变量,x 是因变量).5.求下列各微分方程满足初始条件的特解:(1)22d d 340d d y yy t t+-=,(0)2y =,(0)3y '=-; (2)20y y y '''-+=,(0)1y =,(0)2y '=; (3)450y y y '''-+=,(0)1y =,(0)0y '=.解:(1)特征方程为2340r r +-=,即(1)(4)0r r -+=,特征根为11=r 、24r =-,所以方程22d d 340d d y yy t t +-=的通解是412e e t t y C C -=+,且412e 4e t t dy C C dt-=-. 由初始条件(0)2y =,(0)3y '=-,有1212243C C C C +=⎧⎨-=-⎩,,得1211C C =⎧⎨=⎩,,所以方程满足初始条件(0)2y =,(0)3y '=-的特解是4e e t ty -=+.(2)特征方程为2210r r -+=,即2(1)0r -=,特征根为121r r ==,所以方程20y y y '''-+=的通解是12()e x y C C x =+,且212()e x y C C C x '=++.由初始条件(0)1y =,(0)2y '=,有12112C C C =⎧⎨+=⎩,,得1211C C =⎧⎨=⎩,,所以方程满足初始条件(0)1y =,(0)1y '=-的特解是(1)e x y x =+.(3)特征方程为2450r r -+=,由二次代数方程求根公式,得特征根为2r i ==±,所以方程450y y y '''-+=的通解是212(cos sin )e x y C x C x =+,且21221[(2)cos (2)sin ]e xy C C x C C x '=++-.由初始条件(0)1y =,(0)0y '=,有112120C C C =⎧⎨+=⎩,,得1212C C =⎧⎨=-⎩,,所以方程满足初始条件(0)1y =,(0)0y '=的特解是2(cos 2sin )e xy x x =-. 6.求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程的通解:(1)x y y +=+''1; (2)xy y y -=+'+''e 22; (3)223y y y x x '''+-=+-; (4)xx y y e 4=-''.解:(1)相应齐次方程为0=+''y y ,特征方程012=+r ,特征根为i r i r -==21、,相应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=.这里x x f +=1)(,01==λ、n 不是特征根,因此设b ax y +=*,将其代入到原方程之中,有x b ax +=+1,比较系数得11==b a 、,于是原方程的一个特解为x y +=1*.原方程的通解为x x C x C y Y y +++=+=1sin cos 21*.(2)相应齐次方程为02=+'+''y y y ,特征方程0122=++r r ,即0)1(2=+r ,特征根为121-==r r ,相应齐次方程通解为xx C C Y -+=e )(21.这里xx f -=e 2)(,10-==λ、n 是二重特征根,因此设x x ax a x y --=⋅=e e 22*,将其代入到原方程之中,化简有22=a ,得1=a ,于是原方程的一个特解为xx y -=e 2*,原方程的通解为212()exx y C C x x e --=++.(3)相应齐次方程为02=-'+''y y y ,特征方程0122=-+r r ,即0)1)(12(=+-r r ,特征根为2/1121=-=r r 、,相应齐次方程通解为2/21e e x x C C Y +=-.这里2()3f x x x =+-,02==λ、n 不是特征根,因此设c bx ax y ++=2*,代入到原方程之中,有224(2)()3a ax b ax bx c x x ++-++=+-,比较系数有12143a a b a b c -=-⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩,,,得112a b c ===、、,于是原方程的一个特解为*22y x x =++.所以,原方程的通解为*/2212e e 2x x y Y y C C x x -=+=++++.(4)相应齐次方程为0=-''y y ,特征方程012=-r ,特征根为1121-==r r 、,相应齐次方程通解为xx C C Y -+=e e 21.这里xx x f e 4)(=,x x P n 4)(=,11==λ、n 是单重特征根,因此设x x bx ax b ax x y e )(e )(2*+=+=,将其代入到原方程之中,化简有x b ax a 4)2(22=++,比较系数得11-==b a 、,于是原方程的一个特解为x x x y e )(2*-=,所以原方程的通解为*y Y y +=x x x x x C C e )(e e 221-++=-.7.求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解: (1)261y y x '''-=-,(0)1y =,(0)3y '=;(2)xy y e 54=+'',(0)0y =,(0)1y '=;解:(1)相应齐次方程为20y y '''-=,特征方程220r r -=,特征根为10r =、22r =,相应齐次方程通解为212e xY C C =+.这里()61f x x =-,1n =、0λ=是单重特征根,因此设*2()y x ax b ax bx =+=+,代入到原方程之中,有42261ax a b x -+-=-,得32a =-,1b =-,于是原方程的一个特解为*232y x x =--. 所以,原方程的通解为*22123e 2x y Y y C C x x =+=+--. 222e 31x y C x '=--,由初始条件(0)1y =,(0)3y '=,有1221213C C C +=⎧⎨-=⎩,,得11C =-、22C =,所以方程261y y x '''-=-满足初始条件(0)1y =,(0)3y '=的特解为2232e 12x y x x =---.(2)相应齐次方程为04=+''y y ,特征方程042=+r ,特征根为i r i r 2221-==、,相应齐次方程通解为x C x C Y 2sin 2cos 21+=.这里x x f e 5)(=,10==λ、n 不是特征根,因此设xa y e *=,代入到原方程之中,有x x x a a e 5e 4e =+,得1=a 于是原方程的一个特解为xy e *=.所以,原方程的通解为xx C x C y Y y e 2sin 2cos 21*++=+=.122sin 22cos 2e x y C x C x '=-++,由初始条件(0)0y =,(0)1y '=,有1210211C C +=⎧⎨+=⎩,,得11C =-、20C =,所以方程xy y e 54=+''满足初始条件(0)0y =,(0)1y '=的特解为e cos x y x =-.8. 求常系数线性非齐次微分方程2e xy +y =x+'''的通解.解:相应齐次方程为0='+''y y ,特征方程02=+r r ,特征根为1021-==r r 、,相应齐次方程通解为x12Y C C e -=+.这里x x x f e 2)(+=,将其分为)()()(21x f x f x f +=,x x f 2)(1=、xx f e )(2=.对x y y 2='+'',这里01==λ、n 是单重特征根,因此设bx ax b ax x y +=+=2*1)(, 代入到x y y 2='+''之中,有x b ax a 2)2(2=++,比较系数得21-==b a 、,于是方程x y y 2='+''的一个特解为x x y 22*1-=;对xy y e ='+'',不难观察得一个特解2/e *2xy =.于是,原方程的一个特解为2/e 22*2*1*xx x y y y +-=+=.所以,原方程的通解为*y Y y +=2/e 2e221x xx x C C +-++=-..习题12—4(B )1.若)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=是二阶线性非齐次微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的两个解,证明)()(12x x y ϕϕ-=是相应线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解. 证:因为)()(12x x y ϕϕ-=,所以212121()()[()()]()[()()]()[()()]y P x y Q x y x x P x x x Q x x x φφφφφφ'''++''''''=-+-+-)]()()()()([)]()()()()([111222x x Q x x P x x x Q x x P x ϕϕϕϕϕϕ+'+''-+'+''= ()()0f x f x =-=.所以)()(12x x y ϕϕ-=是相应线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解.2.已知函数x x x x y 21e e )(+=,x x x x y -+=e e )(2,xx x x x y -++=e e e )(23都是微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的解,写出该方程的通解.解:)()()(x f y x Q y x P y =+'+''是二阶非齐次线性微分方程,由函数xx x x y 21e e )(+=,x x x x y -+=e e )(2,x x x x x y -++=e e e )(23都是它的解,根据上题,则x x y y y y 22313e e =-=--、是相应齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个解,而它们之比不恒等于常数,于是它们是线性无关的解,所以0)()(=+'+''y x Q y x P y 的通解为212x xY C e C e -=+,根据二阶非齐次线性微分方程解的结构,得方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的通解是 22112C e e x x x x y Y y C e e x -=+=+++.3.若二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是2/21e ,e x x y y ==,写出该微分微分方程及其通解.解:由二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是2/21e ,e x x y y ==,则该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根是21121==r r 、,于是特征方程是0)21)(1(=--r r ,即01322=+-r r ,所以微分方程为032=+'-''y y y ,通解为2/21e C e x x C y +=.4.若二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解xx y 21e -=,写出该微分微分方程及其通解.解:由二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解xx y 21e -=,则该二阶常系数线性齐次微分方程有一个特征根2-=r ,并且是二重根,于是特征方程是0)2(2=+r ,即0442=++r r , 所以微分方程为044=+'+''y y y ,通解为xx C y 221)e C (-+=.5.求下列各常系数线性非齐次微分方程的通解:(1)x x y y cos 4=+''; (2)xy y -=''+''e .解: (1)相应齐次方程为0=+''y y ,特征方程为012=+r ,特征根为i r i r -==21、,应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=.这里x x x f cos 4)(=,最高多项式次数1=n ,i i =+βα是单重特征根,为此设*22[()cos +()sin ]=()cos +()sin y x ax b x cx d x ax bx x cx dx x =++++,代入到原方程之中,有x x x c b ax x d a cx cos 4sin )224(cos )224(=+--+++,比较系数有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=+=,,,,022*******b c a d a c 得,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====,,,,0110d c b a 于是原方程的一个特解为x x x x y sin cos 2*+=. 所以,原方程的通解是x x x x x C x C y sin cos sin cos 221+++=.(2) 相应齐次方程为0=''+'''y y ,特征方程为023=+r r ,特征根为、021==r r ,13-=r 应齐次方程通解为x C x C C Y -++=e 321.对原方程xy y -=''+''e ,这里10-==λ,n 是单重特征根,为此设xax y -=e *,代入到原方程之中,有x x x x a x a ---=-+-e e )2(e)3(,即x x a --=e e ,得1=a ,于是原方程x y y -=''+''e 的一个特解为x x y -=e *.所以,原方程的通解是*y Y y +=xx x C x C C --+++=e e 321.6.求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解: (1)x y y sin =+'',(0)1y =,(0)0y '=;(2)x y y xcos e 5='-'',(0)0y =,(0)2y '=.解:(1)相应齐次方程为0=+''y y ,特征方程为012=+r ,特征根为i r i r -==21、,应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=.对原方程x y y sin =+'',这里多项式最高次数i i n =+=βα,0是单重特征根,为此设x bx x ax y sin cos *+=,代入到原方程之中,有x x b x a sin cos 2sin 2=+-,比较系数有0212==-b a 、,得021=-=b a 、,于是原方程的一个特解为x x y cos 2*-=.所以,原方程的通解是x xx C x C y Y y cos 2sin cos 21*-+=+=. x xx C x C y sin 2cos )21(sin 21+-+-=',由初始条件(0)1y =,(0)0y '=,得21121==C C 、,所以方程满足初始条件的特解为x x x y sin 21cos )21(+-=. (2)相应齐次方程为0='-''y y ,特征方程为02=-r r ,特征根为1021==r r 、,应齐次方程通解为xC C Y e 21+=.对原方程x y y xcos e 5='-'',这里多项式最高次数i i n +=+=10βα,不是特征根,为此设*(cos sin )x y e a x b x =+,代入到原方程之中,有]sin )2(cos )2[(e x b a x a b x--+-x x cos e 5=,比较系数有⎩⎨⎧=--=-,,0252b a a b 得⎩⎨⎧=-=,,21b a 于是原方程的一个特解为)cos sin 2(e *x x y x -=,原方程的通解是)cos sin 2(e e 21*x x C C y Y y x x -++=+=.)cos sin 3(e e 2x x C y xx++=',由初始条件(0)0y =,(0)2y '=,有⎩⎨⎧=+=-+,,2101221C C C 得1021==C C 、,所以原方程满足初始条件的特解是x x x y e )cos sin 21(-+=.7.若连续函数()y f x =满足0()e ()()d xxf x t x f t t =+-⎰,求()y f x =的表达式.解:0()e ()d ()d xx xf x tf t t x f t t =+-⎰⎰,0()e ()d xxf x f t t '=-⎰,()e ()x f x f x ''=-,于是函数()y f x =满足微分方程e x f f ''+=,初始条件是(0)(0)1f f '==.e xf f ''+=是二阶常系数线性非齐次微分方程,相应齐次方程是0f f ''+=,特征方程为012=+r ,特征根为i r i r -==21、,应齐次方程通解为12cos sin Y C x C x =+.对原方程e xf f ''+=,这里10==λ,n 不是特征根,为此设*e xf a =,代入到原方程之中,得21=a ,于是原方程的一个特解为*1e 2x f =. 所以,原方程的通解是*121()cos sin e 2xf x Y f C x C x =+=++. 因为121()sin cos e 2xf x C x C x '=-++,由初始条件(0)(0)1f f '==,有12112112C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,,得2121==C C ,所以所求函数是1()(cos sin e )2xf x x x =++.8. 证明:若()f x 满足方程()(1)f x f x '=-,则必满足方程()()0f x f x ''+=,并求方程()(1)f x f x '=-的解.解:先证()f x 必满足方程()()0f x f x ''+=.由于()(1)f x f x '=-,则求导可得()(1)(1)[1(1)]()f x f x f x f x '''=--=---=-, 故证明了()f x 必满足方程()()0f x f x ''+=. 下面求解方程()(1)f x f x '=-.由于方程()()0f x f x ''+=的通解为12()cos sin f x C x C x =+,且()(1)f x f x '=-, 所以1212sin cos cos(1)sin (1)C x C x C x C x -+=-+-,令0x =可得212cos1sin1C C C =+,则112cos1(1sin1)1sin1cos1C C C +==-,从而方程()(1)f x f x '=-的解为11sin1()(cos sin )cos1f x C x x +=+.习题12—5(A )1. 设在冷库中存储的某种新鲜水果500吨,放置一段时间之后开始腐烂,腐烂率是未腐烂数量的0.001倍,设腐烂的数量为y 吨,则显然它是时间t 的函数,求此函数的表达式. 解:由题意知0.001(500)dyy dt=⨯-, 分离变量得,0.001500dydt y=-,两边积分,并整理得0.001500e t y C -=-(C 为任意常数),再结合(0)0y =,容易求出500C =,所以水果腐烂数量与时间的函数关系式为0.001500(1e )t y -=-.2. 已知某商品的需求量Q (单位:kg )对价格P (单位:元)的弹性为ln 2EQP EP=-,且当0P =时,需求量600Q =Kg. (1)求该商品对价格的需求函数()Q P ;(2)求当价格1P =元时,市场对该商品的需求量; (3)当+P →∞时,需求量是否趋于稳定? 解:(1)由已知条件知,ln 2EQ P dQP EP Q dP=⋅=-, 分离变量得ln 2dQdP Q=-, 所以有()2P Q P C -=(C 为任意常数).再由(0)600Q =得,600C =,所以()6002P Q P -=⨯.(2)由(1)可知,当1P =元时,1(1)6002300Q -=⨯=(kg ).(3)由()6002PQ P -=⨯可知,当+P →∞时,0Q →,即随着商品价格的无限增大,。
高等数学科学出版社下册课后答案第十二章 微分方程 习题简答
习题 12.11. (1) 是一阶线性微分方程; (2) 是一阶非线性微分方程; (3) 是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. (1) 是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证略,所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4.(1) 2y x y '=+,00x y==(2)xy y '-=以及初值条件23x y ==。
习 题 12-21.( 1) C x y =+-1010; (2); C x y +=a r c s i n a r c s i n (3) C e e y x =-+)1)(1(; (4) C x y +-=sin 1C x a a y+--=)1ln(1;2.(1) 2)(arctan 21x y =; (2)0)cos 2(cos =-y x ; (3) )4(412--=x y ; (4) y e xcos 221=+;(5) 0322=+-y y x ; (6) )2(ln 222+=x x y ; 3. (物体冷却的数学模型))20(--=T k dtdT. 4. ).310107(265.45335h h gt +-⨯=π5. 6分钟后,车间内2CO 的百分比降低到%.056.0习题12-31. (1) x C x y sin e )(-+=;(2) x x C y 2cos 2cos -=;(3) 1sin esin -+=-t C s t; (4) 2e 2x C y -+=; (5) )2()2(3-+-=x C x y ;(6))||(ln 12C y yx +=2. (1) 412e e 22++-=x y xx; (2) 11332e 2--=x x x y ; (3) x x y sec =; (4) )cos 1(1x xy --π=; (5) 1e5sin cos =+xx y ; (6).ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 3.⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 4. ,62320⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=T t t m F x .0T t ≤≤5 ..224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y 6. yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(l n 2x a C .1= 习题12-41. (1) Cxy x =-331; (2) x sin y +y cos x =C ; (3) xe y -y 2=C ;(4) .132C yx y =+- (5)不是全微分方程;(6) 不是全微分方程.2. (1) y x +1, x -y =ln(x +y )+C ; (2) 21y , C x y x =+22.(3) 21y , Cxy y x =--3122; (4) 221y x +为, x 2+y 2=Ce 2x ; (5) 21x , x ln x +y 2=Cx ; (6) 2y x , 032=-x y x .3. (1)2212yx e Cy x =; (2) C y y x y x =++||ln 3113322.4. (1)21ln 2x C x y +-=; (2) x C x x y cos 1tan ++=. 习 题12-51、(1)21c x c e y x ++=(2)21212x y x x c e c =--++(3)12ln y C x C =+ (4)12arcsin()xy c e c =+(5).3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(6)221121()c y c x c -=+ 2、(1).4521cos 412-++=x x e y x (2) .133++=x x y (3)x y 11+= (4)11y x=-(5) ).4tan(π+=x y3、 .212+=x y 4、2)1()(-=x x f5 、.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-a xa x e e a a x ach y 这曲线叫做悬链线.习题12-61. (1) 线性相关(2) 线性无关(3) 线性无关(4) 线性无关2. 略.3. (1) y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221,其中.101C C += (2) ;22x x xe e y y y -=-'-''(3) .342x x x xe e e y ++=- 4. .33221x C x C y ++=习题12-71.(1) y =C 1e -x+C 2e-2x;(2)=C 1e 0x +C 2e-2/3x=C 1+C 2e-2/3x ;(3) y =C 1cos2x +C 2sin2x .(4)x =(C 1+C 2t) e 5t/2;(5) .321x x e C e C y +=-(6).)(221x e x C C y -+=(7)).2sin 2cos (21x C x C e y x +=-(8))3sin 3cos (212x C x C e y x +=.(9) y =C 1cosx +C 2sinx +C 3e x +C 4e -x;(10)).2sin 2cos (4321x C x C e x C C y x +++=(11)w ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x C x C ex 2sin 2cos 212βββ.2sin 2cos 432⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-x C x C ex βββ(12) .sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (13) x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++(14) y =C 1+C 2x +(C 3+C 4x)e x. 2. ϕ(x)=1/2(cosx +sinx +e x).3. ,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y .2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=4.略.习题12-81. (1) ;30*x e b y =(2) ;)(210*x e b x b x y -+=(3) .)(21202*x e b x b x b x y -++=(4) *(c o s 2s i n 2).xy x e a xb x =+2.(1).31*+-=x y (2)*y **21y y +=.3)221(22++-=x e x x x 3. (1) .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=(2) y .21s i n c o s 21x e x x C x C +++=(3) y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-(4) .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+=(5).2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=4. y =-1/16 sin2x +1/8 x(1+sin2x) 5..32cos cos 3sin )(++-=x x x x y 6. .221x x x xe e C e C y ++=7.y .1)(ln ln 321xx x C C -++=8. y .2123321x x C x C C -++= 9. .)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=本章复习题A1.(1)二;(2);(3)ln(ln )xy x x e=+;(4)''2'50y y y -+=;(5)2()x Ax B x e -+. 2. (1) A (2) (A)(3)(C )(4) (B )(5)(C ) 3. (1));(12x x e Ce xy +=(2)3221Cy y x += (3)C x xy +=2;(4)x Ce x y tan 1tan -+-=(5)13423++=x Cx y (6)22)1(1-=-x C y (7)31)1(tan x e C y -=- (8)221ln xCx y +-=(9)C x e x x +=+2)1(;(10)C xy x =-4. (1)322142224181C x C x C x e y x +++-=; (2)2212C x C e xe y x x ++-= (3)21|)cos(|ln C C x y ++-= (4))sin cos (e 212x C x C y x+=x x x2cos e 412-5. (1))1(ln 222+=x x y (2))2sin 22(cos x x e y x +=- (3)x x x y 2sin 31sin 31cos +--= (4)2135672--+=-x e e y x x . 6. 2231()()4f x x x=- 7. 可知当敌舰行245个单位距离时,将被鱼雷击中。
高职高等数学教材中册答案
高职高等数学教材中册答案第一章:函数与极限1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义1.2 函数的性质1.3 常用函数的特点2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义与性质2.2 极限存在的判定方法2.3 极限的运算法则第二章:导数与微分1. 导数的概念与性质1.1 导数的定义1.2 导数的性质1.3 函数的可导性与连续性2. 微分的概念与性质2.1 微分的定义2.2 微分的性质2.3 函数的不同iability第三章:微分中值定理与导数的应用1. 微分中值定理1.1 罗尔定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 导数的应用2.1 函数的单调性与极值2.2 函数的图形与曲线的凹凸性2.3 曲线的渐近线与拐点第四章:不定积分1. 原函数与不定积分1.1 原函数的概念1.2 不定积分的定义1.3 基本积分表2. 常用方法与换元积分法2.1 替换变量与换元积分法2.2 分部积分法2.3 有理函数的积分第五章:定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的性质1.3 定积分的运算法则2. 定积分的应用2.1 几何意义与面积计算2.2 曲线长度与曲线旋转体的体积2.3 牛顿—莱布尼兹公式第六章:常微分方程1. 微分方程的基本概念1.1 微分方程的定义与基本解1.2 微分方程的阶与线性方程1.3 高阶线性常微分方程2. 常微分方程的解法与应用2.1 可分离变量方程2.2 齐次方程与一阶线性齐次方程2.3 Bernoulli方程第七章:多元函数微分学1. 多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义1.2 多元函数的极限与连续性1.3 多元函数的偏导数与全微分2. 多元函数的极值与条件极值2.1 多元函数的极值判定法2.2 多元函数的条件极值第八章:多元函数微积分1. 偏导数与全微分1.1 偏导数的定义与求法1.2 偏导数的运算法则1.3 多元复合函数的求导2. 隐函数与参数方程的偏导数2.1 隐函数的求导法则2.2 参数方程与弧微分2.3 高阶偏导数与混合偏导数第九章:重积分1. 二重积分的概念与性质1.1 二重积分的定义1.2 二重积分的性质1.3 二重积分的计算方法2. 三重积分的概念与性质2.1 三重积分的定义2.2 三重积分的性质2.3 三重积分的计算方法第十章:曲线积分与曲面积分1. 曲线积分的概念与性质1.1 曲线积分的定义1.2 曲线积分的计算方法1.3 曲线积分的应用2. 曲面积分的概念与性质2.1 曲面积分的定义2.2 曲面积分的计算方法2.3 曲面积分的应用第十一章:无穷级数1. 数项级数的概念与性质1.1 数项级数的定义与收敛性1.2 数项级数的性质与判别法1.3 正项级数的收敛性与数值计算2. 幂级数的概念与性质2.1 幂级数的定义与收敛半径2.2 幂级数的性质与收敛域2.3 幂级数的求和与函数展开第十二章:级数与函数项级数1. 函数项级数的概念与性质1.1 函数项级数的定义与收敛性1.2 函数项级数的性质与判别法1.3 函数项级数的一致收敛性2. 一致收敛级数的性质与运算2.1 一致收敛级数的性质2.2 一致收敛级数的逐项运算2.3 一致收敛级数的函数项运算以上为高职高等数学教材中册的答案。
高等数学课件--第十二章 微分方程12-4 一阶线性微分方程
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ,得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
华东理工大学高等数学答案第12章
x2
2
1
dy
0
1
0
dy
x
2 y y
f ( x, y ) dx ;
1
0
dy 2 f x, y dx .
1 1 x 2
2 x
答: (C )
2 2 **(5)设函数 f x, y 在 x y 1 上连续,使 f x, y dxdy 4 dx 0 0
2
又 ∵ 当 r 0 时, , 0,0 ,且 f x, y 在 0,0 连续. ∴ lim
1 r 0 r 2
x 2 y 2 r 2
f x, y d f 0,0 .
第 12 章 (之 2) (总第 68 次)
教学内容 : § 12.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1.解下列各题: ** (1) 设 f ( x , y ) 是连续函数, 则
3
2
2
2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy .
3
(A) 1; 答: (B) .
(B)
3 ; 2
3
(C)
3 ; 4
(D)
1 . 2
73
**2.解下列问题: (1) 利用二重积分性质,比较二重积分的大小: 中,D 为任一有界闭区间. 解:令 u x 2 y 2 ,且 f u e 1 u ,则有 f ' u e u 1 .
1
x
ex
2
2 x
d x 2 2x e x
2
2 x 2 1
**(2)
1
2 2 dx x 1 x y dy . 1
高等数学-课后习题答案第十二章
习题十二1.写出下列级数的一般项:(1)1111357++++;(2)2242468x x ++++⋅⋅⋅⋅;(3)35793579a a a a -+-+;解:(1)121n U n =-;(2)()2!!2nn xU n =;(3)()211121n n n a U n ++=-+;2.求下列级数的和:(1)()()()1111n x n x n x n ∞=+-+++∑;(2)1n ∞=∑;(3)23111555+++;解:(1)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211n Sx x x x x x xx x n xn x n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-= ⎪++++⎝⎭因此()1lim 21n n S x x →∞=+,故级数的和为()121x x + (2)因为n U =-从而(11n S n =-+-+-++-+=-=+-所以lim 1n nS →∞=1(3)因为21115551115511511145n nn n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦从而1lim 4n n S →∞=,即级数的和为14.3.判定下列级数的敛散性:(1)1n ∞=∑;(2) ()()11111661111165451nn +++++⋅⋅⋅-+;(3)()23133222213333nn n --+-++-;(4)155n +++;解:(1)(11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞,故级数发散.(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=,故原级数收敛,其和为15. (3)此级数为23q =-的等比级数,且|q |<1,故级数收敛. (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠,故级数发散.4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1) ()111n n n +∞=-∑;(2) 1cos 2nn nx∞=∑;(3)1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑. 解:(1)当P 为偶数时,()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n pn n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时,()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而,对于任何自然数P ,都有12111n n n p U U U n n ++++++<<+,∀ε>0,取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,则当n >N 时,对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立,由柯西审敛原理知,级数()111n n n +∞=-∑收敛.(2)对于任意自然数P ,都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n pn n n p n p n p n U U U xn p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是, ∀ε>0(0<ε<1),∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当n >N 时,对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛. (3)取P =n ,则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>从而取0112ε=,则对任意的n ∈N ,都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>,由柯西审敛原理知,原级数发散.5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.(1)()()111465735n n ++++⋅⋅++;(2)22212131112131n n +++++++++++(3)1πsin 3n n ∞=∑;(4)1n ∞=;(5)()1101nn a a ∞=>+∑;(6)()1121nn ∞=-∑.解:(1)∵()()21135n U nn n =<++而211n n∞=∑收敛,由比较审敛法知1nn U∞=∑收敛.(2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++而11n n ∞=∑发散,由比较审敛法知,原级数发散.(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n →∞→∞=⋅=而1π3nn ∞=∑收敛,故1πsin 3n n ∞=∑也收敛. (4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛,故1n ∞=收敛.(5)当a >1时,111n n n U a a =<+,而11n n a ∞=∑收敛,故111n n a ∞=+∑也收敛.当a =1时,11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠,级数发散.当0<a <1时,1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+,级数发散.综上所述,当a >1时,原级数收敛,当0<a ≤1时,原级数发散.(6)由021lim ln 2x x x →-=知121limln 211nx n →∞-=<而11n n ∞=∑发散,由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散.6.用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1)213nn n ∞=∑;(2)1!31nn n ∞=+∑; (3)232333331222322nnn +++++⋅⋅⋅⋅;(1) 12!n nn n n ∞=⋅∑解:(1)23n nn U =,()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<,由比值审敛法知,级数收敛.(2)()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散.(3)()()11132lim lim 2313lim 21312n n n n nn n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=>所以原级数发散.(4)()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n n n n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛.7.用根值判别法判别下列级数的敛散性:(1)1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; (2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑;(3)21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑;(4)1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑,其中a n →a (n →∞),a n ,b ,a 均为正数.解:(1)55lim1313n n n n →∞==>+,故原级数发散.(2)()1lim01ln 1n n n →∞==<+,故原级数收敛.(3)121lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭,故原级数收敛.(4) lim n n n b b a a →∞==,当b <a 时,b a <1,原级数收敛;当b >a 时,b a >1,原级数发散;当b =a 时,b a=1,无法判定其敛散性.8.判定下列级数是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)1-+; (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑;(3) 234111*********5353⋅-⋅+⋅-⋅+;(4)()21121!n n n n ∞-=-∑; (5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑;(6) ()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑.解:(1)()11n n U -=-,级数1nnU ∞=∑>,0n =,由莱布尼茨判别法级数收敛,又11121n n n U n∞∞===∑∑是P <1的P 级数,所以1nn U∞=∑发散,故原级数条件收敛.(2)()()111ln 1n n U n -=-+,()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数,且()()11ln ln 12n n >++,()1limln 1n n →∞=+,由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于()11ln 11n U n n =≥++所以,1nn U∞=∑发散,所以原级数条件收敛.(3)()11153n n nU -=-⋅民,显然1111115353n nn n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑,而113nn ∞=∑是收敛的等比级数,故1nn U∞=∑收敛,所以原级数绝对收敛.(4)因为2112lim lim 1n n n n n U U n ++→∞→∞==+∞+.故可得1n nU U +>,得lim 0n n U →∞≠,∴lim 0n n U →∞≠,原级数发散.(5)当α>1时,由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛.当0<α≤1时,交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件:()111n n αα>+;1lim0n n α→∞=,由莱布尼茨判别法知级数收敛,但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散,所以原级数条件收敛.当α≤0时,lim 0n n U →∞≠,所以原级数发散.(6)由于11111123n n n ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭而11n n ∞=∑发散,由此较审敛法知级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散.记1111123n U n n ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭,则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +>又01111lim lim 12311d n n n n U n n x n x →∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰知lim 0nn U →∞=,由莱布尼茨判别法,原级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛,而且是条件收敛.9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.(1)()1!1nn x n ∞=-∑,x ∈[-3,3];(2)21n n x n ∞=∑,x ∈[0,1];(3) 1sin 3nn nx∞=∑,x ∈(-∞,+∞);(4) 1!nxn e n -∞=∑,|x |<5;(5)1n ∞=,x ∈(-∞,+∞)解:(1)∵()()3!!11nnx n n ≤--,x ∈[-3,3],而由比值审敛法可知()13!1nn n ∞=-∑收敛,所以原级数在 [-3,3]上一致收敛.(2)∵221nx nn ≤,x ∈[0,1],而211n n ∞=∑收敛,所以原级数在[0,1]上一致收敛.(3)∵1sin 33n nnx ≤,x ∈(-∞,+∞),而113nn ∞=∑是收敛的等比级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.(4)因为5!!n nx ee n n -≤,x ∈(-5,5),由比值审敛法可知51!n n e n ∞=∑收敛,故原级数在(-5,5)上一致收敛.(5)531n≤,x ∈(-∞,+∞),而5131n n∞=∑是收敛的P -级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.10.若在区间Ⅰ上,对任何自然数n .都有|U n (x )|≤V n (x ),则当()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛时,级数()1nn Ux ∞=∑在这区间Ⅰ上也一致收敛.证:由()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛知, ∀ε>0,∃N (ε)>0,使得当n >N 时,∀x ∈Ⅰ有 |V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε,于是,∀ε>0,∃N (ε)>0,使得当n >N 时,∀x ∈Ⅰ有|U n +1(x )+U n +2(x )+…+U n +p (x )|≤V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x ) ≤|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε,因此,级数()1nn Ux ∞=∑在区间Ⅰ上处处收敛,由x 的任意性和与x 的无关性,可知()1nn Ux ∞=∑在Ⅰ上一致收敛.11.求下列幂级数的收敛半径及收敛域:(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…;(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑;(3)21121n n x n -∞=-∑; (4)()2112n n x n n ∞=-⋅∑;解:(1)因为11lim lim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===,所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1),而当x =±1时,级数变为()11nn n∞=-∑,由lim(1)0n x nn →-≠知级数1(1)nn n∞=-∑发散,所以级数的收敛域为(-1,1).(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1eR ρ==,收敛区间为(-e,e).当x =e 时,级数变为1e n n n n n ∞=∑;应用洛必达法则求得()10e e1lim 2x x x x →-+=-,故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知,级数发散;易知x =-e 时,级数也发散,故收敛域为(-e,e).(3)级数缺少偶次幂项.根据比值审敛法求收敛半径.211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+=所以当x 2<1即|x |<1时,级数收敛,x 2>1即|x |>1时,级数发散,故收敛半径R =1.当x =1时,级数变为1121n n ∞=-∑,当x =-1时,级数变为1121n n ∞=--∑,由1121lim 012n n n →∞-=>知,1121n n ∞=-∑发散,从而1121n n ∞=--∑也发散,故原级数的收敛域为(-1,1).(4)令t =x -1,则级数变为212nn t n n ∞=⋅∑,因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1.收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时,级数3112n n∞=∑收敛,当t =-1时,级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛.所以,原级数收敛域为 0≤x ≤2,即[0,2]12.利用幂级数的性质,求下列级数的和函数:(1)21n n nx∞+=∑;(2) 22021n n x n +∞=+∑; 解:(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞+=知,当|x |=<1时,原级数收敛,而当|x |=1时,21n n nx∞+=∑的通项不趋于0,从而发散,故级数的收敛域为(-1,1).记()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1),记()111n n S nx x ∞-==∑则()1011xn n x S x x x ∞===-∑⎰于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-,所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x ++→∞+=⋅+知,原级数当|x |<1时收敛,而当|x |=1时,原级数发散,故原级数的收敛域为(-1,1),记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑,易知级数2121n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1),记()211021n n x S x n +∞==+∑,则()212011n n S x x x ∞='==-∑,故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰即()()1111ln 021x S S x x +-=-,()100S =,所以()()()11ln 121x xS xS x x x x +==<-13.将下列函数展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间:(1)f (x )=ln(2+x ); (2)f (x )=cos 2x ;(3)f (x )=(1+x )ln(1+x );(4)()2f x =;(5)()23xf x x =+; (6)()()1e e 2x xf x -=-;(7)f (x )=e x cos x ; (8)()()212f x x =-.解:(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑,(-1<x ≤1) 故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑,(-2≤x ≤2) 因此()()()110ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑,(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑,(-∞<x <+∞) 得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑,(-∞<x <+∞)(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑,(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()11200111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n nn n x n ∞=-=+-∑(-1≤x ≤1)故()()()()221!!2111!!2nn n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x xn ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n xf x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑,x ∈(-∞,+∞) 得()01e!n n xn x n ∞-=⋅-=∑,x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()000211e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑(7)因为ecos xx 为()()1e cos sin xxi ex i x +=+的实部,而()()[]()10002011!1!ππcos sin !44ππ2cos sin !44n xi n nn n nn n n n n ex i n x i n x i n x n n i n ∞+=∞=∞=∞==+=+⎤⎫=+⎪⎥⎭⎦⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑取上式的实部.得20π2cos4cos !nx nn n e x x n ∞==⋅∑(-∞<x <+∞)(8)由于()1211n n nx x ∞-==-∑ |x |<1而()211412f x x =⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以()111001422n n n n n n x x f n x --∞∞+==⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑∑ (|x |<2)14.将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数. 解:21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑ 所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n n n n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15.将函数()f x =(x -1)的幂级数.解:因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nn n nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑16.利用函数的幂级数展开式,求下列各数的近似值: (1)ln3(误差不超过0.0001); (2)cos20(误差不超过0.0001)解:(1)35211ln 213521n x x x x x xn -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭,x ∈(-1,1) 令131x x +=-,可得()11,12x =∈-,故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯. 因而取n =6则35111111ln 32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯;48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈17.利用被积函数的幂级数展开式,求定积分0.50arctan d xx x ⎰(误差不超过0.001)的近似值.解:由于()3521arctan 13521n n x x x x x n +=-+-++-+,(-1≤x ≤1)故()2420.50.5000.5357357arctan d d 113521925491111111292252492nx x x x x xx n x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰而3110.013992⋅≈,5110.0013252⋅≈,7110.0002492⋅≈.因此0.5350arctan 11111d 0.487292252x x x ≈-⋅+⋅≈⎰18.判别下列级数的敛散性:(1)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; (2)21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑;(3)()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.解:(1)∵122111n nnnn nnn n n n n n n +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而()22211221lim lim 10111nnn n n n n n n --++→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎛⎫==≠+⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦故级数2211nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散,由比较审敛法知原级数发散.(2)∵2cos 3022n nnx n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭<≤由比值审敛法知级数12nn n ∞=∑收敛,由比较审敛法知,原级数21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.(3)∵()()ln ln 220313nn n n n ++<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭由()()()()11ln 33lim lim 3ln 21ln 3lim3ln 2113nn n n n nn U n U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅++=+=<知级数()1ln 23nn n ∞=+∑收敛,由比较审敛法知,原级数()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛.19.若2lim n n n U →∞存在,证明:级数1nn U∞=∑收敛.证:∵2lim nn n U →∞存在,∴∃M >0,使|n 2U n |≤M ,即n 2|U n |≤M ,|U n |≤2M n而21n Mn ∞=∑收敛,故1n n U ∞=∑绝对收敛.20.证明,若21nn U ∞=∑收敛,则1nn U n∞=∑绝对收敛.证:∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21n n U ∞=∑收敛,211n n ∞=∑收敛,知22111122nn U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛,故1n n U n ∞=∑收敛,因而1nn U n∞=∑绝对收敛.21.若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛,则函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛.证:U n (x )=a n cos nx +b n sin nx ,∀x ∈R 有()cos sin cos sin n n n n n n nU a nx b nx a nx b nx a b x =+≤+≤+由于1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛,故级数()1nnn ab ∞=+∑收敛.由魏尔斯特拉斯判别法知,函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛.22.计算下列级数的收敛半径及收敛域:(1) 111nnn x n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑;(2)()1πsin12n n n x ∞=+∑;(3)()2112nnn x n ∞=-⋅∑解:(1)111limlim 11lim lim lim 22e e n n nn nn nnn n n a a n n n ρ+→∞+→∞→∞→∞→∞-==⋅⎝⎭⎛⎫+++⎛⎫=⋅⋅ ⎪++⎝⎭=⋅=∴1R ρ==,又当x =时,级数变为()111311333n nnn n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎛++=±± ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑,因为3lim 033nn n n →∞⎛⎫+=≠ ⎪+⎝⎭所以当3x =±,级数发散,故原级数的收敛半径3R =,收敛域(-3,3).(2)111ππsin122lim limlim ππ2sin 22n n n n n n nnn aa ρ+++→∞→∞→∞====故12R ρ==,又∵πsinπ2limsin 2lim ππ0π22n n n n n n →∞→∞⋅==≠.所以当(x +1)=±2时,级数()1πsin 12n n n x ∞=+∑发散,从而原级数的收敛域为-2<x +1<2,即-3<x <1,即(-3,1)(3)()212121lim lim 221n n n n n n a n a n ρ++→∞→∞⋅===⋅+ ∴2R =,收敛区间-2<x -1<2,即-1<x <3.当x =-1时,级数变为()2111nn n ∞=-∑,其绝对收敛,当x =3时,级数变为211n n∞=∑,收敛.因此原级数的收敛域为[-1,3].23.将函数()0arctan d xtF tx t =⎰展开成x 的幂级数.解:由于()210arctan 121n n n t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰(|x |≤1)24.判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:(1)()113n n n x ∞=-+∑,x ∈[-3,+∞);(2)1n n n x∞=∑,x ∈(2,+∞);(3)()()222211n nx x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑,x ∈(-∞,+∞);解:(1)考虑n ≥2时,当x ≥-3时,有()1111133333nn n n nx x --=<<+-+ 而1113n n ∞-=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数()113nn n x ∞=-+∑在[-3,+∞)上一致收敛.(2)当x >2时,有2n nn nx =<由1112lim 122n n nn n +→∞+=<知级数12n n n ∞=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数1nn nx∞=∑在(2,+∞)上一致收敛.(3)∀x ∈R 有()()()22224322111nn n x n n n x n n n ≤<=⎡⎤+⋅+++⎣⎦而311n n ∞=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数()()222211n n x x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑在(-∞,+∞)上一致收敛.25.求下列级数的和函数:(1)()211121nn n x n ∞-=--∑;(2)21021n n x n +∞=+∑;(3)()11!1n n nxn ∞-=-∑;(4)()11nn x n n ∞=+∑.解:(1)可求得原级数的收敛半径R =1,且当|x |=1时,级数()111121n n n ∞-=--∑是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1]记()()()()22111111112121n n n n n n x x S x xS x x n n -∞∞--=====----∑∑则S 1(0)=0,()()122121111n n n S x x x ∞--='==-+∑所以()()11201d arctan 01xS S x xx x -==+⎰即S 1(x )=arctan x ,所以S (x )=x arctan x ,x ∈[-1,1].(2)可求得原级数的收敛半径R =1,且当|x |=1时,原级数发散.记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x ∞='==-∑ ()200111d d ln 121x x x S x x x x x +'==--⎰⎰,即()()11ln 021x S S x x +-=-,S (0)=0所以()11ln21xS x x +=-,(|x |<1)(3)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n nan +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞).记()()11!1n n nS xx n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xxn n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰,所以()()()e 1e x x S x x x '==+,(-∞<x <+∞)(4)由()()()112lim 111n n n n n →∞++=+知收敛半径R =1,当x =1时,级数变为()111n n n ∞=+∑,由()2111n n n <+知级数收敛,当x =-1时,级数变为()()111n n n n ∞=-+∑是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1].记()()11nn x S x n n ∞==+∑则S (0)=0,()()111n n x xS x n n +∞==+∑, ()[]1111n n x xS x x ∞-=''==-∑ (x ≠1) 所以()[]()d ln 1xxS x x x ''=--⎰即()[]()ln 1xS x x '=--()[]()()()00d ln 1d 1ln 1xxxS x x x x x x x'=--=--+⎰⎰即()()()1ln 1xSx x x x =--+当x ≠0时,()()111ln 1S x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,又当x =1时,可求得S (1)=1(∵()1lim lim 111n n S x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭)综上所述()()[)()0,01,1111ln 1,1,00,1x S x x x x x =⎧⎪==⎪⎨⎛⎫⎪+--∈- ⎪⎪⎝⎭⎩26.设f (x )是周期为2π的周期函数,它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值?解:所给函数满足狄利克雷定理的条件,x =-π是它的间断点,在x =-π处,f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+27.写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数.解:f (x )满足狄利克雷定理的条件,根据狄利克雷定理,在连续点处级数收敛于f (x ),在间断点x =0,x =±π处,分别收敛于()()00122f f -++=-,()()2πππ122f f -++-=,()()2πππ122f f -+-+--=,综上所述和函数.()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩28.写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数,其中f (x )在[-π,π)上的表达式为:(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x ;(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .解:(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件,x =n π,n ∈z 是其间断点,在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==,在x ≠n π,有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n xn ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,从而f (x )cos nx 为偶函数,f (x )sin nx 为奇函数,于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰,2π20-π12πd π3a x x ==⎰, ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…)所以,f (x )的傅里叶级数展开式为:()()221π41cos 3nn f x nxn ∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π(n ∈z )处间断,在间断点处,级数收敛于0,当x ≠(2n +1)π时,由f (x )为奇函数,有a n =0,(n =0,1,2,…)()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nxn n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时,处处连续,故其傅里叶级数收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,有b n =0(n =1,2,…),()()π0π12π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x n x x n x n x n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为:()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑x ∈[-π,π]29.将下列函数f (x )展开为傅里叶级数:(1)()()πππ42xf x x =--<<(2)()()sin 02πf x x x =≤≤解:(1)()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx xnx n n --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx xn -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n ∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续,因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()π022ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1nn x n x x n n n n =+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰所以()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑(0≤x ≤2π)30.设f (x )=x +1(0≤x ≤π),试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解:将f (x )作奇延拓,则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx xn ==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n ∞=--+=∑(0<x <π)若将f (x )作偶延拓,则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑(0≤x ≤π)31.将f (x )=2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.解:f (x )在(-∞,+∞)内连续,其傅里叶级数处处收敛,由f (x )是偶函数,故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑,x ∈[-1,1]取x =0得,()2211π821n n ∞==-∑,故()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑所以211π6n n ∞==∑ 32.将函数f (x )=x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解:将f (x )作偶延拓,作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰故()()()22121π81cos π221n n xf x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)33.设()()011,0,2cos π1222,1,2n n x x a f x s x a n xx x ∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪-<<⎪⎩∑,-∞<x <+∞,其中()102cos πd n a f x n x x=⎰,求52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解:先对f (x )作偶延拓到[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到s (x ),延拓后f (x )在52x =-处间断,所以515511122222221131224s f f f f +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭34.设函数f (x )=x 2(0≤x <1),而()1sin πn n s x b n x∞==∑,-∞<x <+∞,其中()102sin πd n b f x n x x=⎰(n =1,2,3,…),求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解:先对f (x )作奇延拓到,[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞),并将f (x )展开成正弦级数得到s (x ),延拓后f (x )在12x =-处连续,故.211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数,它们在一个周期内的表达式分别为:(1)f (x )=1-x 21122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭; (2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩ 解:(1) f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x ),由于f (x )为偶函数,有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰,()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n xn +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰,()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn x a f x xn x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n x b f x xn x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1),k =0,±1,±2,…处间断,故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑(x ≠3(2k +1),k =0,±1,±2,…)36.把宽为τ,高为h ,周期为T 的矩形波(如图所示)展开成傅里叶级数的复数形式.解:根据图形写出函数关系式()0,22,220,22T t u t h t T t ττττ⎧-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩()()22022111d d d 2Tl T l h c u t t u t t h t l T T Tτττ---====⎰⎰⎰()()π2π222π2π22222π2211ed ed 212πe d e d 2ππsin e 2ππn T n i t li t lTT n ln n i t i t T T n i t T c u t t u t tl Th T n h t i t T T n i T h h n n i n T τττττττ----------==-⎛⎫⎛⎫==⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰故该矩形波的傅里叶级数的复数形式为()2π1πsin eπn i t Tn n h h n u t T n Tττ∞-=-∞≠=+∑(-∞<t <+∞,且3,22t ττ≠±±,…)37.设f (x )是周期为2的周期函数,它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x ,试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式. 解:函数f (x )在x ≠2k +1,k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x l n l x n i n n cf x x xl n i n in in ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in xn in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1,k =0,±1,±2,…)38.求矩形脉冲函数(),00,A t T f t ≤≤⎧=⎨⎩其他的傅氏变换 解:()()()01e ed ed i x Ti xi xA F f t A t t i ωωωωω-+∞---∞-===⎰⎰39.求下列函数的傅里叶积分:(1)()e ,00,0t t f t t -⎧≥=⎨<⎩。
高等数学课后习题及参考答案(第十二章)
高等数学课后习题及参考答案(第十二章)习题12-11. 试说出下列各微分方程的阶数:(1)x (y ')2-2yy '+x =0;解 一阶.(2)x 2y '-xy '+y =0;解 一阶.(3)xy '''+2y '+x 2y =0;解 三阶.(4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0;解 一阶.(5)022=++C Q dt dQ R dtQ d L ; 解 二阶.(6)θρθρ2sin =+d d . 解 一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy '=2y , y =5x 2;解 y '=10x .因为xy '=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解.(2)y '+y =0, y =3sin x -4cos x ;解 y '=3cos x +4sin x .因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0,所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解.(3)y ''-2y '+y =0, y =x 2e x ;解 y '=2xe x +x 2e x , y ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x .因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解.(4)y ''-(λ1+λ2)y '+λ1λ2y =0, x x e C e C y 2121λλ+=.解 x x e C e C y 212211λλλλ+=', x x e C e C y 21222211λλλλ+=''.因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'')())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+= =0,所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解.3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x -2y )y '=2x -y , x 2-xy +y 2=C ;解 将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x -y -xy '+2y y '=0,即 (x -2y )y '=2x -y ,所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0, y =ln(xy ).解 将y =ln(xy )的两边对x 求导得y yx y '+='11, 即x xy y y -='. 再次求导得)(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-⋅-=-+-'-=--'+--'=''. 注意到由y y x y '+='11可得1-'='y x y yx , 所以 )2(1])1([12y y y y x xxy y y y y y x x xy y '+'-'-⋅-='+'-'-'-⋅-='', 从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0,即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x 2-y 2=C , y |x =0=5;解 由y |x =0=0得02-52=C , C =-25, 故x 2-y 2=-25.(2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y '|x =0=1;解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x .由y |x =0=0, y '|x =0=1得⎩⎨⎧=+=10121C C C , 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .(3)y =C 1sin(x -C 2), y |x =π=1, y '|x =π=0.解 y '=C 1cos(x -C 2).由y |x =π=1, y '|x =π=0得⎩⎨⎧=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ, 即⎩⎨⎧=-=0cos 1sin 2121C C C C , 解之得C 1=1, 22π=C , 故)2sin(π-=x y , 即y =-cos x . 5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;解 设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ', 由条件y '=x 2, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分. 解 设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y '-1, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(-x , 0), 从而有y x x y '-=+-10, 即yy '+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解 2TP k dT dP =, 其中k 为比例系数. 习题12-21. 求下列微分方程的通解:(1)xy '-y ln y =0;解 分离变量得dx xdy y y 1ln 1=, 两边积分得⎰⎰=dx xdy y y 1ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x -5y '=0;解 分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx ,两边积分得⎰⎰+=dx x x dy )53(52,即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C C =为任意常数.(3)2211y y x -='-;解 分离变量得2211x dx y dy -=-, 两边积分得⎰⎰-=-2211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C ,故通解为y =sin(arcsin x +C ).(4)y '-xy '=a (y 2+y ');解 方程变形为(1-x -a )y '=ay 2,分离变量得dx x a a dy y--=112, 两边积分得⎰⎰--=dx x a a dy y112, 即 1)1ln(1C x a a y----=-, 故通解为)1ln(1x a a C y --+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0;解 分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22-=, 两边积分得⎰⎰-=dx xx y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C ,故通解为tan x tan y =C .(6)y x dxdy +=10; 解 分离变量得10-y dy =10x dx ,两边积分得⎰⎰=-dx dy x y 1010,即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=--, 或 10-y =10x +C ,故通解为y =-lg(C -10x ).(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0;解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx ,分离变量得dx e e dy e e xx y y +=-11, 两边积分得⎰⎰+=-dx eedy e ex x y y 11, 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C ,故通解为(e x +1)(e y -1)=C .(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0;解 分离变量得dx xx dy y y sin cos sin cos -=, 两边积分得⎰⎰-=dx xx dy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C ,故通解为sin x sin y =C .(9)0)1(32=++x dxdy y ; 解 分离变量得(y +1)2dy =-x 3dx ,两边积分得⎰⎰-=+dx x dy y 32)1(,即 14341)1(31C x y +-=+, 故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1).(10)ydx +(x 2-4x )dy =0.解 分离变量得dx xx dy y )411(4-+=, 两边积分得⎰⎰-+=dx xx dy y )411(4, 即 ln y 4=ln x -ln(4-x )+ln C ,故通解为y 4(4-x )=Cx .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y '=e 2x -y , y |x =0=0;解 分离变量得e y dy =e 2x dx ,两边积分得⎰⎰=dx e dy e x y 2,即 C e e x y +=221, 或 )21ln(2C e y x +=. 由y |x =0=0得0)21ln(=+C , 21=C , 所以特解)2121ln(2+=x e y . (2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π==x y ; 解 分离变量得tan y dy =tan x dx ,两边积分得⎰⎰=xdx ydy tan tan ,即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C ,或 cos y =C cos x .由4|0π==x y 得C C ==0cos 4cos π, 21=C , 所以特解为x y cos cos 2=.(3)y 'sin x =y ln y , e y x ==2π;解 分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=, 两边积分得⎰⎰=dx xdy y y sin 1ln 1, 即 C x y ln )2ln(tan )ln(ln +=,或2tan x C e y =. 由e y x ==2π得4tan πC ee =, C =1, 所以特解为2tan x e y =.(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0, 4|0π==x y ; 解 分离变量得dx e e dy y y xx +=-1cos sin , 两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy y y xx 1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |,或 cos y =C (e x +1).由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C , 42=C , 所以特解为)1(42cos +=x e y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1.解 分离变量得dx xdy y 21-=, 两边积分得⎰⎰-=dx xdy y 21, 即 ln y =-2ln x +ln C ,或 y =Cx -2.由y |x =2=1得C ⋅2-2=1, C =4, 所以特解为24xy =.3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60︒, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解 设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有x dtdV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=, 即dt x dV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=. 又因为330tan x x r =︒=, 故 dx x dx r V 223ππ-=-=, 从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π-=⨯⨯⨯, 即 dx x dt 2398025.062.03⨯⨯⨯=π,因此 C x t +⨯⨯⨯-=2598025.062.032π. 又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053⨯⨯⨯⨯=πC ,故水从小孔流出的规律为 645.90305.0)10(98025.062.0532252525+-=-⨯⨯⨯⨯=x x t π. 令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?解 已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=. 又由牛顿定律, F =ma , 即vt dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=.由初始条件有C +⨯=⨯2210105021, C =250. 因此 500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+⨯=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解 由题设知,R dt dR λ-=, 即dt RdR λ-=, 两边积分得ln R =-λt +C 1,从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ.因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而16002ln =λ. 因此 t t e R e R R 000433.0010002ln 0--==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解 设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为xy x y -=--2002, 故曲线满足微分方程: xy dx dy -=, 即dx x dy y 11-=, 从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2⨯3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解 建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dt dx v -==, 故dx =ky (h -y )dt .又由已知, y =at , 代入上式得dx =kat (h -at )dt ,积分得C t ka kaht x +-=3223121. 由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x -=. 因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x -=.习题12-31. 求下列齐次方程的通解:(1)022=---'x y y y x ;解 原方程变为1)(2--=x y x y dx dy . 令xy u =, 则原方程化为 12-+=+u u dx du x u , 即dx x du u 1112=-, 两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+, 即Cx u u =-+12, 将xy u =代入上式得原方程的通解Cx x y x y =-+1)(2, 即222Cx x y y =-+. (2)xy y dx dy xln =; 解 原方程变为x y x y dx dy ln =.令xy u =, 则原方程化为 u u dxdu x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=-, 两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1.(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0;解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0, 即dx xudu 1=, 两边积分得u 2=ln x 2+C , 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ).(4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0;解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=-, 两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=--, 即2312xC u -=, 将xy u =代入上式得原方程的通解 x 3-2y 3=Cx .(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x y x ; 解 原方程变为x y x y dx dy +=th 32.令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx xdu u u 2sh ch 3=, 两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将xy u =代入上式得原方程的通解 22sh Cx x y =. (6)0)1(2)21(=-++dy yx e dx e y xy x . 解 原方程变为yx yxe e y x dy dx 21)1(2+-=. 令yx u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+-=+, 即uu e e u dy du y 212++-=, 分离变量得dy y du e u e uu 1221-=++, 两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C , 即y (u +2e u )=C , 将yx u =代入上式得原方程的通解 C e yx y y x =+)2(, 即C ye x y x=+2. 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:(1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1;解 这是齐次方程. 令x y u =, 即y =xu , 则原方程化为(x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,即 dx x du u u u 1332=--, 或dx x du u u u 1)11113(=-+++- 两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2-1=Cxu 3, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2-x 2=Cy 3.由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2-x 2=y 3.(2)xy y x y +=', y |x =1=2; 解 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1, 即dx xudu 1=, 两边积分得C x u +=ln 212, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ).由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0, y |x =1=1.解 这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0,即 dx x du u u u u u 1112232-=+++-+, 或 dx xdu u u u 1)1211(2=+-+, 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将xy u =代入上式得原方程的通解 x +y =C (x 2+y 2).由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O, 对于A O 上任一点P (x , y ), 曲线弧P O 与直线段OP 所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程.解 设曲线弧A O的方程为y =y (x ). 由题意得 20)(21)(x x xy dx x y x=-⎰, 两边求导得x x y x x y x y 2)(21)(21)(='--, 即 4-='xy y . 令xy u =, 则有 4-=+u dx du x u , 即dx xdu u 41-=, 两边积分得u =-4ln x +C . 将xy u =代入上式得方程的通解 y =-4x ln x +Cx .由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =-4x ln x +x .习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dx dy -=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰. (2)xy '+y =x 2+3x +2;解 原方程变为xx y x y 231++=+'.])23([11C dx e x x e y dx x dx x +⎰⋅++⎰=⎰- ])23([1])23([12C dx x x xC xdx x x x +++=+++=⎰⎰ xC x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223. (3)y '+y cos x =e -sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰.(4)y '+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰-⎰+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx xx x x =cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x .(5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0;解 原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y . )1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x +⎰⋅-⎰=⎰--- )(sin 11])1(1cos[112222C x x C dx x x x x +-=+-⋅--=⎰. (6)23=+ρθρd d ; 解 )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ)2(33C d e e +=⎰-θθθθθθ33332)32(--+=+=Ce C e e .(7)x xy dx dy 42=+; 解 )4(22C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)4(22C dx e x e x x +⋅=⎰-2222)2(x x x Ce C e e --+=+=.(8)y ln ydx +(x -ln y )dy =0;解 原方程变形为yx y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1ln 1C dy e y e x dy y y dy y y +⎰⋅⎰=⎰- )ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=⎰ yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)3)2(2)2(-+=-x y dxdy x ; 解 原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy . ])2(2[21221C dx e x e y dx x dx x +⎰⋅-⎰=⎰--- ⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x =(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2).(10)02)6(2=+-y dxdy x y . 解 原方程变形为y x y dy dx 213-=-. ])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C dy yy y +⋅-=⎰32321)21(Cy y C y y +=+=. 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dxdy sec tan =-, y |x =0=0; 解 )sec (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰-)(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)xx x y dx dy sin =+, y |x =π=1; 解 )sin (11C dx e x x e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰- )cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰. 由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x xy --=π. (3)x e x y dx dy cos 5cot =+, 4|2-==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +⎰⋅⎰=⎰- )5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e x y . (4)83=+y dxdy , y |x =0=2; 解 )8(33C dx e e y dx dx +⎰⋅⎰=⎰-x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰. 由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=.(5)13232=-+y xx dx dy , y |x =1=0. 解 )1(32323232C dx e e y dx x x dx x x +⎰⋅⎰=⎰--- )21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=--⎰. 由y |x =1=0, 得eC 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y . 3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y .解 由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0.由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dx dx +=+⎰⎰=⎰⎰--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解 由牛顿定律F =ma , 得v k t k dtdv m 21-=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(222211C dt e t m k e C dt e t m k ev t m k t m k dt m k dt m k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰-- )(22222121C e k m k te k k e t m kt m k t m k +-=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k m k C =. 因此)(22122121222k m k e k m k te k k e v t m k t m k t m k +-=- 即 )1(222121t m k e k m k t k k v ---=. 5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系. 解 由回路电压定律知01025sin 20=--i dt di t , 即t i dtdi 5sin 105=+. 由通解公式得t dt dt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰.因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6. 设曲dy x x xf dx x yf L])(2[)(2-+⎰在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).解 因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x ,或 1)(21)(=+'x f xx f . 因此 x C x C dx x x C dx e e x f dx x dx x +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故x x x f 3132)(+=. 7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy -=+; 解 原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---. ])cos sin ([1C dx e x x e y dx dx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-, 原方程的通解为x Ce yx sin 1-=. (2)23xy xy dxdy =-; 解 原方程可变形为x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰- 31)31(222232323-=+-=--x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223-=-x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy -=+; 解 原方程可变形为 )21(31131134x y dx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dx dx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([, 原方程的通解为1213--=x Ce yx .(4)5xy y dxdy =-; 解 原方程可变形为 x ydx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dx dx +⎰⋅-⎰=⎰--)4(44C dx xe e x +-=⎰-x Ce x 441-++-=, 原方程的通解为x Ce x y44411-++-=.(5)xdy -[y +xy 3(1+ln x )]dx =0.解 原方程可变形为)ln 1(11123x yx dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--. ])ln 1(2[222C dx e x e y dx x dx x +⎰⋅+-⎰=⎰-- ])ln 1(2[122C dx x x x++-=⎰ x x x x C 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解.解 原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x -=-,即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得 C x du v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然后求出通解:(1)2)(y x dxdy +=; 解 令u =x +y , 则原方程化为21u dx du =-, 即21ududx +=. 两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ).(2)11+-=yx dx dy ; 解 令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu . 两边积分得1221C u x +-=. 将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1). (3)xy '+y =y (ln x +ln y );解 令u =xy , 则原方程化为u x u x u x udx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=. 两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx .将u =xy 代入上式得原方程的通解xy =e Cx , 即Cx e x y 1=.(4)y '=y 2+2(sin x -1)y +sin 2x -2sin x -cos x +1;解 原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x .令u =y +sin x -1, 则原方程化为x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u=21. 两边积分得C x u+=-1. 将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即Cx x y +--=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 .解 原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x udx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得u uu C x ln 121ln 21+--=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xyy x C x ln 121ln 221+--=+, 即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12-51. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解:(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0;解 这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为xQ xy y P ∂∂==∂∂12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y y x dx x y x =++⎰⎰02202)46(3, 即 C y y x x =++3223343. (2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0;解 这里P =a 2-2xy -y 2, Q =-(x +y )2. 因为xQ y x y P ∂∂=--=∂∂22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y x dx a y x =+-⎰⎰0202)(, 即 a 2x -x 2y -xy 2=C .(3)e y dx +(xe y -2y )dy =0;解 这里P =e y , Q =xe y -2y . 因为xQ e y P y ∂∂==∂∂, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy y xe dx e y y x =-+⎰⎰000)2(, 即 xe y -y 2=C .(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0;解 原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0.这里P =-(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为xQ x y y P ∂∂=-=∂∂sin cos , 所以此方程是全微分方程, 其通解为C dy x y x dx y x =++⎰⎰00)cos cos (0, 即 x sin y +y cos x =C .解(5)(x 2-y )dx -xdy =0;解 这里P =x 2-y , Q =-x . 因为xQ y P ∂∂=-=∂∂1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C xdy dx x y x =-⎰⎰002, 即 C xy x =-331. (6)y (x -2y )dx -x 2dy =0;解 这里P =y (x -2y ), Q =-x 2. 因为y x y P 4-=∂∂, x xQ 2-=∂∂, 所以此方程不是全微分方程.(7)(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0;解 这里P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ. 因为xQ e y P ∂∂==∂∂θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为C d e d =+⎰⎰θθρθρρ02022,即 ρ(e 2θ+1)=C .(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0.解 这里P =x 2+y 2, Q =xy . 因为y y P 2=∂∂, y xQ =∂∂, 所以此方程不是全微分方程.2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解:(1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy ;解 方程两边同时乘以yx +1得 yx dy dx dy dx ++=-, 即d (x -y )=d ln(x +y ), 所以yx +1为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x -y =ln(x +y )+C .(2)ydx -xdy +y 2xdx =0;解 方程两边同时乘以21y得 02=+-xdx y xdy ydx , 即0)2()(2=+x d y x d , 所以21y为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+22. (3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0;解 原方程变形为xy 2dx -3y 3dx +dy -3x 2dy =0, 两边同时乘以21y并整理得 0)33(2=+-+xdy ydx y dy xdx , 即0)(3)1()2(2=--xy d y d x d , 所以21y为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy yx =--3122. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx ;解 方程两边同时乘以221y x +得022=-++dx y x ydy xdx , 即0)]ln(21[22=-+dx y x d , 所以221y x +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x .(5)(x -y 2)dx +2xydy =0;解 原方程变形为xdx -y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以21x得 0222=-+x dx y xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以21x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy x =+2ln , 即x ln x +y 2=Cx . (6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0.解 方程两边同时乘以x 得2xydx -x 2dy -3x 2y 2dx =0, 即yd (x 2)-x 2dy -3x 2y 2dx =0,再除以y 2得03)(2222=--dx x ydy x x yd , 即0)(32=-x y x d 所以2yx为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032=-x yx . 3. 验证)]()([1xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程的通解: 解 方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy -得0])()([)]()([1=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy , 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -=, )]()([)(xy g xy f y xy g Q -=. 因为x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f yP ∂∂=-'-'=∂∂2)]()([)()()()(, 所以)]()([1xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子. (1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0;解 这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2-2x 2y 2 , 所以3331)]()([1y x xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=-++dy y x y x dx y x x , 其通解为C dy y x y x dx x x y x =-++⎰⎰132221323232, 即 C yx y x =-+-)11ln (ln 31222, 或2212y x e Cy x =.(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3)dy =0.解 这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以441)]()([1yx xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以441yx 得全微分方程 02112433334=-+++dy y x y x xy dx y x xy ,其通解为C dy y x y x xy dx x x y x =-+++⎰⎰14333142112, 即 C y y x y x =++||ln 3113322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程:(1)xy '+2y =4ln x ;解 原方程变为x xy x y ln 42=+', 其积分因子为 22)(x e x dx x =⎰=μ, 在方程x xy x y ln 42=+'的两边乘以x 2得 x 2y '+2xy =4x ln x , 即(x 2y )'=4x ln x , 两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰222ln 2ln 4, 原方程的通解为21ln 2x C x y +-=. (2)y '-tan x ⋅y =x .解 积分因子为x e x xdx cos )(tan =⎰=-μ,在方程的两边乘以cos x 得cos x ⋅y '-sin x ⋅y =x cos x , 即(cos x ⋅y )'=x cos x , 两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅⎰cos sin cos cos , 方程的通解为xC x x y cos 1tan ++=.习题12-61. 求下列各微分方程的通解:(1)y ''=x +sin x ;解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +-=+='⎰, 21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++-=+-=⎰, 原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++-=. (2)y '''=xe x ;解 12C e xe dx xe y x x x +-==''⎰,21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='⎰,3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=⎰,原方程的通解为32213C x C x C e xe y x x +++-=.(3)211xy +=''; 解 12arctan 11C x dx xy +=+='⎰ x C dx xxx x dx C x y 1211arctan )(arctan ++-=+=⎰⎰ 212)1ln(21arctan C x C x x x +++-=, 原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++-=.(4)y ''=1+y '2;解 令p =y ', 则原方程化为p '=1+p 2, 即dx dp p=+211, 两边积分得arctan p =x +C 1, 即y '=p =tan(x +C 1),211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰,原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++-=.(5)y ''=y '+x ;解 令p =y ', 则原方程化为p '-p =x ,由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dx dx ,即 y '=C 1e x -x -1,于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰, 原方程的通解为22121C x x e C y x +--=. (6)xy ''+y '=0;解 令p =y ', 则原方程化为x p '+p =0, 即01=+'p xp , 由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p x dx x 1ln 111==⎰=--, 即 xC y 1=', 于是 211ln C x C dx xC y +==⎰, 原方程的通解为y =C 1ln x +C 2 .(7)yy ''+'=y '2;解 令p =y ', 则dy dp p dx dy dy dp y =⋅='', 原方程化为 21p dy dp yp =+, 即dy y dp p p 112=-, 两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=-, 即22121y C p ±-. 当|y '|=|p |>1时, 方程变为2211y C y +±=', 即dx dy y C ±=+21)(11, 两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=. 当|y '|=|p |<1时, 方程变为2211y C y -±=', 即dx dy y C ±=-21)(11, 两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=.(8)y 3y ''-1=0;解 令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 013=-dydp p y , 即pdp =y -3dy , 两边积分得122212121C y p +-=-, 即p 2=-y -2+C 1, 故 21--±='y C y , 即dx dy y C ±=--211, 两边积分得)(12121C x C y C +±=-,即原方程的通解为C 1y 2=(C 1x +C 2)2 .(9)yy 1=''; 解 令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y dy dp p 1=, 即dy ypdp 1=, 两边积分得122221C y p +=, 即1244C y p +=, 故 12C y y +±=', 即dx dy C y ±=+11, 两边积分得原方程的通211231]2)(32[C C y C C y x ++-+±=. (10)y ''=y '3+y '.解 令p =y ', 则dydp py ='', 原方程化为 p p dy dp p +=3, 即0)]1([2=+-p dydp p . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解.由0)1(2=+-p dydp 得 arctan p =y -C 1, 即y '=p =tan(y -C 1),从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰, 故原方程的通解为 12arcsin C e y C x +=+.2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y 3 y ''+1=0, y |x =1=1, y '|x =1=0;解 令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为013=+dy dp py , 即dy y pdp 31-=, 两边积分得1221C y p +=, 即y y C y 211+±='. 由y |x =1=1, y '|x =1=0得C 1=-1, 从而yy y 21-±=', 分离变量得dx dy yy =-±21, 两边积分得221C x y +=-±, 即22)(1C x y +-±=.由y |x =1=1得C 2=-1, 2)1(1--=x y , 从而原方程的通解为22x x y -=.(2)y ''-ay '2=0, y |x =0=0, y '|x =0=-1;解 令p =y ', 则原方程化为02=-ap dx dp , 即adx dp p=21, 两边积分得11C ax p+=-, 即11C ax y +-='. 由y '|x =0=-1得C 1=1, 11+-='ax y , 两边积分得 2)1ln(1C ax ay ++-=. 由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为)1ln(1+-=ax ay . (3)y '''=e ax , y |x =1=y '|x =1=y ''|x =1=0;解 11C e adx e y ax ax +==''⎰. 由y ''|x =1=0得a e aC 11-=. 2211)11(C x e a e a dx e a e a y a ax a ax +-=-='⎰. 由y '|x =1=0得a a e ae a C 2211-=. dx e ae a x e a e a y a a a ax )1111(22⎰-+-= 322311211C x e a x e a x e a e a a a a ax +-+-=. 由y |x =1=0得a a a a e ae a e a e a C 32312111-+-=, 故所求特解为 322232)22()1(2a a a e a x a e a x e a e y a a a ax ----+-=. (4)y ''=e 2y , y |x =0=y '|x =0=0;解 令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 y e dydp p 2=, 即pdp =e 2y dy , 积分得p 2=e 2y +C 1, 即12C e y y +±='.由y |x =0=y '|x =0=0得C 1=-1, 故12-±='y e y , 从而dx dy e y ±=-112,积分得-arcsin e -y =±x +C 2.由y |x =0=0得22π-=C , 故 x x e y cos )2sin(=-=-π , 从而所求特解为y =-lncos x .(5)y y 3='', y |x =0=1, y '|x =0=2;解 令p =y ', 则dy dp py ='', 原方程化为 y dydp p 3=, 即dy y pdp 3=, 两边积分得12322221C y p +=, 即1232C y y +±='. 由y |x =0=1, y '|x =0=2得C 1=0,432y y =', 从而dx dy y 243=-, 两边积分得24124C x y +=, 即42)4121(C x y +=. 由y |x =0=1得C 2=4, 故原方程的特解为4)121(+=x y . (6)y ''+y '2=1, y |x =0=0, y '|x =0=0.解 令p =y ', 则dydp p y ='', 原方程化为 12=+p dydp p , 即2222=+p dy dp , 于是 1)2(211222+=+⎰⋅⎰=--⎰y dy dy e C C dy e e p ,即 121+±='-y e C y .由y |x =0=0, y '|x =0=0得C 1=-1, y e y 21--±='.故dx dy ey ±=--211, 两边积分得 22)1ln(C x e e y y +±=-+.由y |x =0=0得C 2=0, x e e y y ±=-+)1ln(2,从而得原方程的特解y =lnch x .3. 试求y ''=x 的经过点M (0, 1)且在此点与直线121+=x y 相切的积分曲线. 解 1221C x y +=', 21361C x C x y ++=. 由题意得y |x =0=1, 21|0='=x y . 由21|0='=x y 得211=C , 再由y |x =0=1得C 2=1, 因此所求曲线为 121613++=x x y . 4. 设有一质量为m 的物体, 在空中由静止开始下落, 如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数, v 为物体运动的速度), 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系.解 以t =0对应的物体位置为原点, 垂直向下的直线为s 正轴, 建立坐标系. 由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==-===0| |0022t t v s v c mg dt dv m . 将方程分离变量得dt v c mg mdv =-22, 两边积分得1||ln C kt mgcv mg cv +=-+(其中m g c k 2=) 由v |t =0=0得C 1=0, kt mg cv mg cv =-+||ln , 即kt e mgcv mg cv =-+. 因为mg >c 2v 2, 故kt e cv mg mg cv )(-=+, 即)1()1(kt kt e mg e cv -=+,或 ktkt e e c mg dt ds +-⋅-=11, 分离变量并积分得211ln C e e ck mg s ktkt +++-=-. 由s |t =0=0得C 2=0, 故所求函数关系为ktkt e e ck mg s ++-=-11ln , 即)(ch ln 2t m g c c m s =.习题12-71. 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的?(1)x , x 2;解 因为x xx =2不恒为常数, 所以x , x 2是线性无关的. (2)x , 2x ;解 因为22=xx , 所以x , 2x 是线性相关的. (3)e 2x , 3e 2x ;解 因为332=x x ee , 所以e 2x , 3e 2x 是线性相关的. (4)e -x ; e x ;解 因为x x x e ee 2=-不恒为常数, 所以e -x ; e x 是线性无关的. (5)cos2x , sin2x ;解 因为x xx 2tan 2cos 2sin =不恒为常数, 所以cos2x , sin2x 是线性无关的. (6) 2x e , 22x xe ;解 因为x e xe x x 2222=不恒为常数, 所以2x e , 22x xe 是线性无关的.。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十二章
第十二章 数项级数证明题1. 证明下列级数的收敛性,并求其和:(1); ++-+++1)4)(5n (5n 111.1616.1111.61(2) ;+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+n n 22312131213121(3);∑++2)1)(n n(n 1(4) ;∑++-+)n 1n 22n ((5).∑-n 212n 2. 证明:若级数发散,则也发散(c ≠0).∑nu∑nCu3. 证明:若数列{a n }收敛于a,则级数.a -a )a (a11n n=+∑+4. 证明: 若数列{b n }有,则+∞=∞→n n b lim (1)级数发散;)b (bn 1n ∑-+(2)当b n ≠0时,级数∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n b1b 1n 15. 证明级数收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数∑nuN,对一切n>N 总有|u N +u n+1+…+u n |<ε6. 设为正项级数,且存在正数N 0,对一切n>N 0,有∑∑nnv、u n1n n 1n v v u u ++≤7. 设正项级数收敛,证明级数也收敛;试问反之是∑na∑2na否成立?8. 设a n ≥0,且数列{na n }有界,证明级数收敛.∑2n a 9. 设正项级数收敛,证明级数也收敛.∑nu∑+1n n u u 10. 证明下列极限:(1) ;0)(n!n lim 2nn =∞→(2) .1)0(a a )(2n!limn!n >=∞→11. 设{a n }为递减正项数列,证明:级数与同时∑∞=1n na∑∞=0m 2m ma 2收敛或同时发散.12. 设a n >0, b n >0, C n =b nb n+1,证明:1n na a +(1)若存在某自然数N 0及常数K,当n>N 0时,有C n ≥k>0,则级数收敛;∑∞=1n na(2)若n>N 0时有C n ≤0,且,则级数∑=∞→+∞=n1k kn b 1lim发散.∑∞=1n na13. 设级数收敛,证明级数也收敛.∑2na∑>0)(an a nn14. 设a n >0,证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数同时∑na收敛或同时发散.15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性:(1) ;∑>+-0)(x ,x 1x n 1)(nnn(2);∑>∈0)(α(0,2π0,x ,n sinnxα(3) .∑-nncos 1)(2n16. 设a n >0,a n >a n+1(n=1,2,…)且a n =0,证明级数∞→n lim ∑+++--na a a 1)(n211n 是收敛的.17. 设,证明:若条件收敛,则2u |u |g ,2u |u |p nn n n n n -=+=∑n u 级数与都是发散的.∑np∑nq二、计算题1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)a+r+ar 2+…+ar n +…(a ≠0)的敛散性.2.设级数与都发散,试问一定发散∑nu∑nv)v (un n∑+吗?又若u n 与v n (n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论?3.求下列级数的和:(1);∑+-+n)1)(a n (a 1(2);∑++-+1)n(n 12n 1)(1n (3).∑++++1]1)1)[(n (n 12n 224. 应用柯西准则判别下列级数的敛散性:(1) ; (2) ;∑n n2sin2∑+12n n (-1)221-n (3) ; (4) .∑n (-1)n∑+2nn 15. 应用比较原则判别下列级数的敛散性.(1) ; (2) ;∑+22a n 1∑nn3πsin 2(3);∑+2n11(4);∑∞=2n n(lnn)1(5);∑⎪⎭⎫⎝⎛-n 1cos 1(6);∑nnn1(7);∑>⎪⎭⎫⎝⎛-+0)(a ,2n 1a n 1a (8).∑∞=2n lnn(lnn)16. 用积分判别法讨论下列级数的敛散性:(1); (2) ;∑+1n 12∑+1n n 2(3);∑∞=3n )nlnnln(lnn 1(4).∑∞=3n qp (lnlnn)n(lnn)17. 判别下列级数的敛散性:(1) ;∑n n nn!3(2);∑++2n 2n n2(3);∑∞=2n lnn 1(4) ;∑≥-1)(a 1),a (n(5)∑+⋅-⋅12n 12n 421)(2n 31 ;(6).∑>++0)(x ,n)(x 1)(x n!8. 求下列极限(其中P>1):(1) ;⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→p p p n (2n)12)(n 11)(n 1lim (2) .⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→2n 2n 1n n p 1p 1p 1lim 9. 下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的:(1) ;∑n!sinnx(2) ;∑+-1n n 1)(n (3);∑+-n1p n n1)((4);∑-n2sin1)(n (5) ;∑+-)n 1n1)((n (6) ;∑++-1n 1)(n l 1)(n n (7) ;∑++-nn )13n 1002n (1)((8);∑nn x(n!(9);∑∞=<<1n )2x (0lnn sinnxπ(10).∑-nn 11)(10. 写出下列级数的乘积:(1);()()∑∑----1n 1n 1n nx 1)(nx (2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!1)(n!1三、考研复习题1. 证明:若正项级数收敛,且数列{u n }单调,则.∑nu0u lim n n =∞→2. 若级数与都收敛,且成立不等式∑na∑nCa n ≤b n ≤C n (n=1,2,…)证明级数也收敛.若级数,都发散,试问∑nb∑na ∑nC一定发散吗?∑nb3. 若,且级数收敛,证明级数也收0k b a limnnn ≠=∞→∑n b ∑n a 敛.若上述条件中只知道收敛,能推得收敛吗?∑nb∑na4. (1) 设为正项级数,且<1,能否断定级数收∑n u n1n u u +∑n u 敛?(2) 对于级数有||≥1,能否断定级数不绝∑n u n1n u u +∑n u 对收敛,但可能条件收敛.(3) 设为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使∑nu得0C n 1u limε1nn >=+∞→5. 证明: 若级数收敛,绝对收敛,则级数∑na∑-+)b (bn 1n 也收敛.nnba ∑6. 证明级数是发散的.∑+bn a 17. 讨论级数,(p>0)∑∞=2n pn(lnn)1的敛散性.8. 设a n >0,证明级数∑+++)a (1)a )(1a (1a n21n是收敛的.9. 证明:若级数与收敛,则级数和∑2na∑2nb∑nnba 也收敛,且∑+2n n)b (a()∑∑∑⋅≤+2n2n 2n n b a b a()()()()212n212n212n nb a b a∑∑∑+≤+10. 证明:(1)设为正项级数,若∑na0,a a u u lim 1n n 1n n n >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→则正项级数收敛,∑n u (2)若级数发散,且∑n a 1,0a a u u lim 1n n 1n n n <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→则正项级数发散.∑n u。
高等数学第12章课后习题答案(科学出版社).
习题 12.11. 判断下列方程是几阶微分方程:;)1(2y x dxdy +=;042)2(2=+-⎪⎭⎫⎝⎛x dx dy dx dy x;052)3(322=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d x 2334(4)2()1xy x y x y x '''++=+.解 (1)是一阶线性微分方程; (2)是一阶非线性微分方程; (3)是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)2xy y '=,25y x =; (2)0y y ''+=,3sin 4cos y x x =-; (3)20y y y '''-+=,2e x y x =; (4)2()0xy x y yy ''''++=,y x =. 解 (1)是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dxdy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解,只要将函数代入方程,看是否恒等,再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy代入方程左边得 x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中,得C +=402π .42π-=C 从而所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.(1) 一曲线通过原点,并且它在(,)x y 处的切线斜率等于2x y +; (2) 一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分.解:由题意,2y x y '=+,00x y==解:设该曲线的方程为()y f x =,(,)x y 为其上任意一点,该点处的切线斜率为y ',过该点的切线方程为()Y y y X x '-=-。
高等数学同济六版第12章12-6
2
即
p y' C1 (1 x 2 ) (C1 e c ).
x 0
由条件 y '
3, 得
C1 3,
所以
y' 3(1 x 2 ). y x 3 3 x C2 .
C2 1,
两端积分,得
又由条件y x0 1, 得
于是所求的特解为
y x 3 3 x 1.
dy C1 y , dx
原方程通解为 y C2e
C1 x
.
例 3 求方程 xy ( 5 ) y ( 4 ) 0 的通解.
解
设 y ( 4 ) P ( x ),
y
(5)
P ( x )
代入原方程
xP P 0, (P 0)
解线性方程, 得 P C1 x 即 y ( 4 ) C1 x , 1 C1 x 2 C 2 , , 两端积分,得 y 2 C1 5 C 2 3 C 3 2 y x x x C4 x C5 , 120 6 2
练习题答案
C1 x C2 x C3 ; 一、1、 y xe 3e 2 2、 y ln cos( x C 1 ) C 2 ; 3、 y arcsin( C 2 e x ) C1 ; 1 4、 y 1 . C1 x C 2 x 1 2 二、1、 y 2 x x ; 2、 y ln( ax 1) ; a 1 4 3、 y ( x 1) . 2 1 3 1 三、 y x x 1 . 6 2
例 2 求方程 yy y 2 0 的通解. 解 设 y p( y ),
dP 则 y p , dy
dP dP 2 P 0, 即 P ( y 代入原方程得 y P P ) 0, dy dy dP 由 y P 0, 可得 P C1 y , dy
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
习题十二1.写出下列级数的一般项:(1)1111357++++L ;(2)2242468x x ++++⋅⋅⋅⋅L ;(3)35793579a a a a -+-+L ;解:(1)121n U n =-;(2)()2!!2nn xU n =;(3)()211121n n n a U n ++=-+;2.求下列级数的和:(1)()()()1111n x n x n x n ∞=+-+++∑;(2)1n ∞=∑;(3)23111555+++L;解:(1)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-= ⎪++++⎝⎭L因此()1lim 21n n S x x →∞=+,故级数的和为()121x x + (2)因为n U =-从而11n S =-+-+-++-=-=+-L所以lim 1n n S →∞=1(3)因为21115551115511511145n nn n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦L从而1lim 4n n S →∞=,即级数的和为14.3.判定下列级数的敛散性:(1)1n ∞=∑;(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+L L ;(3) ()23133222213333n n n--+-++-L L ;(4)15+++L L ;解:(1)1n S =+++=L从而lim n n S →∞=+∞,故级数发散.(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭L从而1lim 5n n S →∞=,故原级数收敛,其和为15. (3)此级数为23q =-的等比级数,且|q |<1,故级数收敛. (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠,故级数发散.4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1)()111n n n +∞=-∑; (2)1cos 2n n nx∞=∑; (3)1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑. 解:(1)当P 为偶数时,()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n p n n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+L L L L当P 为奇数时,()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+L L L L因而,对于任何自然数P ,都有12111n n n p U U U n n ++++++<<+L ,∀ε>0,取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,则当n >N 时,对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<L 成立,由柯西审敛原理知,级数()111n n n +∞=-∑收敛.(2)对于任意自然数P ,都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n p n n n p n p n p n U U U x n p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<L L L于是, ∀ε>0(0<ε<1),∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当n >N 时,对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<L 成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛.(3)取P =n ,则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>L L L从而取0112ε=,则对任意的n ∈N ,都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>L ,由柯西审敛原理知,原级数发散.5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.(1)()()111465735n n ++++⋅⋅++L L;(2)22212131112131n n +++++++++++L L(3)1πsin 3nn ∞=∑;(4)1n ∞=;(5)()1101nn a a ∞=>+∑;(6)()1121nn ∞=-∑.解:(1)∵()()21135n U nn n =<++而211n n∞=∑收敛,由比较审敛法知1nn U∞=∑收敛.(2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++而11n n ∞=∑发散,由比较审敛法知,原级数发散.(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n →∞→∞=⋅=而1π3nn ∞=∑收敛,故1πsin 3n n ∞=∑也收敛. (4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛,故1n ∞=收敛.(5)当a >1时,111n n n U a a =<+,而11n n a ∞=∑收敛,故111n n a ∞=+∑也收敛.当a =1时,11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠,级数发散.当0<a <1时,1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+,级数发散.综上所述,当a >1时,原级数收敛,当0<a ≤1时,原级数发散.(6)由021lim ln 2x x x →-=知121limln 211nx n →∞-=<而11n n ∞=∑发散,由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散.6.用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1)213n n n ∞=∑; (2)1!31nn n ∞=+∑;(3)232333331222322nnn +++++⋅⋅⋅⋅L L ;(1)12!n n n n n ∞=⋅∑ 解:(1)23n nn U =,()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<,由比值审敛法知,级数收敛.(2)()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散.(3)()()11132lim lim 2313lim 21312n n n n nn n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=>所以原级数发散.(4)()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n n n n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛.7.用根值判别法判别下列级数的敛散性:(1)1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑; (2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑;(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑;(4)1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑,其中a n →a (n →∞),a n ,b ,a 均为正数.解:(1)55lim1313n n n n →∞==>+,故原级数发散.(2)()1lim01ln 1n n n →∞==<+,故原级数收敛.(3)121lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭,故原级数收敛.(4)lim n n n b b a a →∞==,当b <a 时,b a <1,原级数收敛;当b >a 时,ba >1,原级数发散;当b =a 时,ba=1,无法判定其敛散性.8.判定下列级数是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1)1-+L ; (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑; (3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+L;(4)()21121!nn n n ∞-=-∑; (5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑;(6)()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑L .解:(1)()11n n U -=-,级数1nn U ∞=∑>,0n =,由莱布尼茨判别法级数收敛,又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数,所以1nn U∞=∑发散,故原级数条件收敛.(2)()()111ln 1n n U n -=-+,()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数,且()()11ln ln 12n n >++,()1limln 1n n →∞=+,由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于()11ln 11n U n n =≥++所以,1nn U∞=∑发散,所以原级数条件收敛.(3)()11153n n n U -=-⋅民,显然1111115353n nn n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑,而113nn ∞=∑是收敛的等比级数,故1nn U∞=∑收敛,所以原级数绝对收敛.(4)因为2112lim lim 1n n n n n U U n ++→∞→∞==+∞+.故可得1n nU U +>,得lim 0n n U →∞≠,∴lim 0n n U →∞≠,原级数发散.(5)当α>1时,由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛.当0<α≤1时,交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件:()111n n αα>+;1lim0n n α→∞=,由莱布尼茨判别法知级数收敛,但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散,所以原级数条件收敛.当α≤0时,lim 0n n U →∞≠,所以原级数发散.(6)由于11111123n n n ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭L 而11n n ∞=∑发散,由此较审敛法知级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑L 发散.记1111123n U n n ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭L ,则 ()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>L L L即1n n U U +>又01111lim lim 12311d n n n n U n n x n x →∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰L由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰知lim 0n n U →∞=,由莱布尼茨判别法,原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑L 收敛,而且是条件收敛.9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性.(1)()1!1nn x n ∞=-∑,x ∈[-3,3]; (2)21n n x n∞=∑,x ∈[0,1];(3)1sin 3n n nx ∞=∑,x ∈(-∞,+∞); (4)1!nxn e n -∞=∑,|x |<5;(5)1n ∞=x ∈(-∞,+∞)解:(1)∵()()3!!11nnx n n ≤--,x ∈[-3,3],而由比值审敛法可知()13!1nn n ∞=-∑收敛,所以原级数在 [-3,3]上一致收敛.(2)∵221nx nn ≤,x ∈[0,1],而211n n∞=∑收敛,所以原级数在[0,1]上一致收敛.(3)∵1sin 33n n nx ≤,x ∈(-∞,+∞),而113nn ∞=∑是收敛的等比级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.(4)因为5!!nnx ee n n -≤,x ∈(-5,5),由比值审敛法可知51!n n e n ∞=∑收敛,故原级数在(-5,5)上一致收敛.(5)531n≤,x ∈(-∞,+∞),而5131n n∞=∑是收敛的P -级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛.10.若在区间Ⅰ上,对任何自然数n .都有|U n (x )|≤V n (x ),则当()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛时,级数()1nn Ux ∞=∑在这区间Ⅰ上也一致收敛.证:由()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛知, ∀ε>0,∃N (ε)>0,使得当n >N 时,∀x ∈Ⅰ有 |V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε,于是,∀ε>0,∃N (ε)>0,使得当n >N 时,∀x ∈Ⅰ有|U n +1(x )+U n +2(x )+…+U n +p (x )|≤V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x ) ≤|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε,因此,级数()1nn Ux ∞=∑在区间Ⅰ上处处收敛,由x 的任意性和与x 的无关性,可知()1nn Ux ∞=∑在Ⅰ上一致收敛.11.求下列幂级数的收敛半径及收敛域:(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…;(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑;(3)21121n n x n -∞=-∑; (4)()2112n n x n n ∞=-⋅∑;解:(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===,所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1),而当x =±1时,级数变为()11nn n∞=-∑,由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)nn n∞=-∑发散,所以级数的收敛域为(-1,1).(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1eR ρ==,收敛区间为(-e,e).当x =e 时,级数变为1e n nn n n ∞=∑;应用洛必达法则求得()10e e1lim 2x x x x →-+=-,故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-<⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知,级数发散;易知x =-e 时,级数也发散,故收敛域为(-e,e).(3)级数缺少偶次幂项.根据比值审敛法求收敛半径.211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+=所以当x 2<1即|x |<1时,级数收敛,x 2>1即|x |>1时,级数发散,故收敛半径R =1.当x =1时,级数变为1121n n ∞=-∑,当x =-1时,级数变为1121n n ∞=--∑,由1121lim 012n n n →∞-=>知,1121n n ∞=-∑发散,从而1121n n ∞=--∑也发散,故原级数的收敛域为(-1,1).(4)令t =x -1,则级数变为212nn t n n ∞=⋅∑,因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++所以收敛半径为R =1.收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时,级数3112n n ∞=∑收敛,当t =-1时,级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛.所以,原级数收敛域为 0≤x ≤2,即[0,2]12.利用幂级数的性质,求下列级数的和函数:(1)21n n nx∞+=∑; (2)22021n n x n +∞=+∑;解:(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞+=知,当|x |=<1时,原级数收敛,而当|x |=1时,21n n nx∞+=∑的通项不趋于0,从而发散,故级数的收敛域为(-1,1).记()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1),记()111n n S nx x ∞-==∑则()1011xn n x S x x x ∞===-∑⎰于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-,所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x ++→∞+=⋅+知,原级数当|x |<1时收敛,而当|x |=1时,原级数发散,故原级数的收敛域为(-1,1),记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑,易知级数2121n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1),记()211021n n x S x n +∞==+∑,则()212011n n S x x x ∞='==-∑,故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰即()()1111ln 021xS S x x +-=-,()100S =,所以()()()11ln 121x xS xS x x x x +==<-13.将下列函数展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间:(1)f (x )=ln(2+x ); (2)f (x )=cos 2x ;(3)f (x )=(1+x )ln(1+x );(4)()2f x =;(5)()23xf x x =+; (6)()()1e e 2x xf x -=-;(7)f (x )=e x cos x ; (8)()()212f x x =-.解:(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑,(-1<x ≤1) 故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑,(-2≤x ≤2) 因此()()()110ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑,(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn xx n ∞==-∑,(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n nnn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑,(-∞<x <+∞)(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑,(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()11200111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n nn n x n ∞=-=+-∑(-1≤x ≤1)故()()()()221!!2111!!2nn n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x xn ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑,x ∈(-∞,+∞) 得()01e!n n xn x n ∞-=⋅-=∑,x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑(7)因为e cos x x 为()()1e cos sin x x i e x i x +=+的实部,而()()[]()10002011!1!ππcos sin !44ππ2cos sin !44n xi n nn n nn n n n n ex i n x i n x i n x n n i n ∞+=∞=∞=∞==+=+⎤⎫=+⎪⎥⎭⎦⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑取上式的实部.得20π2cos4cos !nx nn n e x x n ∞==⋅∑(-∞<x <+∞)(8)由于()1211n n nx x ∞-==-∑ |x |<1而()211412f x x =⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以()111001422n n n n n n x x f n x --∞∞+==⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑∑ (|x |<2)14.将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数. 解:21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑ 所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n n n n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15.将函数()f x =(x -1)的幂级数.解:因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<L L L所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!n f x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---L L L(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnn nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑L L L 16.利用函数的幂级数展开式,求下列各数的近似值:(1)ln3(误差不超过0.0001); (2)cos20(误差不超过0.0001)解:(1)35211ln 213521n x x x x x xn -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭L L ,x ∈(-1,1) 令131x x +=-,可得()11,12x =∈-,故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-L L又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+L L L故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯.因而取n =6则35111111ln 32 1.098623252112⎛⎫=≈++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭L(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-L L∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯;48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈17.利用被积函数的幂级数展开式,求定积分0.5arctan d x x x ⎰(误差不超过0.001)的近似值.解:由于()3521arctan 13521n n x x x x x n +=-+-++-+L L ,(-1≤x ≤1)故()2420.50.5000.5357357arctan d d 113521925491111111292252492nx x x x x xx n x x xx ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰L L L L而3110.013992⋅≈,5110.0013252⋅≈,7110.0002492⋅≈.因此0.5350arctan 11111d 0.487292252x x x ≈-⋅+⋅≈⎰18.判别下列级数的敛散性:(1)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; (2)21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑;(3)()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.解:(1)∵122111n nnnn n nn n n n n n n +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而()22211221lim lim 10111nnn n n n n n n --++→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎛⎫==≠+⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦故级数2211nn nn∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑发散,由比较审敛法知原级数发散.(2)∵2cos 3022n nnx n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭<≤由比值审敛法知级数12nn n ∞=∑收敛,由比较审敛法知,原级数21cos 32nn nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.(3)∵()()ln ln 220313nn n n n ++<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭由()()()()11ln 33lim lim 3ln 21ln 3lim3ln 2113nn n n n nn U n U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅++=+=<知级数()1ln 23nn n ∞=+∑收敛,由比较审敛法知,原级数()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛.19.若2lim n n n U →∞存在,证明:级数1nn U∞=∑收敛.证:∵2lim nn n U →∞存在,∴∃M >0,使|n 2U n |≤M ,即n 2|U n |≤M ,|U n |≤2M n而21n Mn ∞=∑收敛,故1n n U ∞=∑绝对收敛.20.证明,若21nn U ∞=∑收敛,则1nn U n∞=∑绝对收敛.证:∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21nn U ∞=∑收敛,211n n ∞=∑收敛,知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛,故1n n U n ∞=∑收敛,因而1nn U n∞=∑绝对收敛.21.若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛,则函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛.证:U n (x )=a n cos nx +b n sin nx ,∀x ∈R 有()cos sin cos sin n n n n n n nU a nx b nx a nx b nx a b x =+≤+≤+由于1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛,故级数()1nnn ab ∞=+∑收敛.由魏尔斯特拉斯判别法知,函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛.22.计算下列级数的收敛半径及收敛域:(1)111nn n x n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑;(2)()1πsin12n n n x ∞=+∑;(3)()2112nn n x n ∞=-⋅∑解:(1)111limlim 11lim lim lim 22e e n n nn nn nnn n n a a n n n ρ+→∞+→∞→∞→∞→∞-==⋅+++⎛⎫=⋅⋅ ⎪++⎝⎭=⋅=∴13R ρ==,又当x =时,级数变为()111311333n nnn n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎛++=±± ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑,因为3lim 033nn n n →∞⎛⎫+=≠ ⎪+⎝⎭所以当3x =±,级数发散,故原级数的收敛半径3R =,收敛域(-3,3).(2)111ππsin122limlim lim ππ2sin 22n n n n n n nnn a a ρ+++→∞→∞→∞====故12R ρ==,又∵πsinπ2limsin 2lim ππ0π22n n n n n n →∞→∞⋅==≠. 所以当(x +1)=±2时,级数()1πsin 12n n n x ∞=+∑发散,从而原级数的收敛域为-2<x +1<2,即-3<x <1,即(-3,1)(3)()212121lim lim 221n n n n n na n a n ρ++→∞→∞⋅===⋅+ ∴2R =,收敛区间-2<x -1<2,即-1<x <3.当x =-1时,级数变为()2111nn n ∞=-∑,其绝对收敛,当x =3时,级数变为211n n∞=∑,收敛.因此原级数的收敛域为[-1,3].23.将函数()0arctan d xtF t x t =⎰展开成x 的幂级数.解:由于()210arctan 121n nn t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰(|x |≤1)24.判别下列级数在指定区间上的一致收敛性:(1)()113n n n x ∞=-+∑,x ∈[-3,+∞);(2)1n n n x∞=∑,x ∈(2,+∞);(3)()()222211n nx x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑,x ∈(-∞,+∞);解:(1)考虑n ≥2时,当x ≥-3时,有()1111133333nn n n nx x --=<<+-+ 而1113n n ∞-=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数()113n n n x ∞=-+∑在[-3,+∞)上一致收敛.(2)当x >2时,有2n nn nx =<由1112lim 122n n n n n +→∞+=<知级数12n n n ∞=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数1n n n x ∞=∑在(2,+∞)上一致收敛.(3)∀x ∈R 有()()()22224322111n n n x n n n x n n n ≤<=⎡⎤+⋅+++⎣⎦而311n n ∞=∑收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数()()222211n n x x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑在(-∞,+∞)上一致收敛.25.求下列级数的和函数:(1)()211121n n n x n ∞-=--∑; (2)21021n n x n +∞=+∑; (3)()11!1n n nxn ∞-=-∑;(4)()11nn x n n ∞=+∑.解:(1)可求得原级数的收敛半径R =1,且当|x |=1时,级数()111121n n n ∞-=--∑是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1]记()()()()22111111112121n n n n n n x x S x xS x x n n -∞∞--=====----∑∑则S 1(0)=0,()()122121111n n n S x x x ∞--='==-+∑所以()()11201d arctan 01xS S x xx x -==+⎰即S 1(x )=arctan x ,所以S (x )=x arctan x ,x ∈[-1,1].(2)可求得原级数的收敛半径R =1,且当|x |=1时,原级数发散.记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x ∞='==-∑ ()200111d d ln 121x x x S x x x x x +'==--⎰⎰,即()()11ln 021x S S x x +-=-,S (0)=0所以()11ln21xS x x +=-,(|x |<1)(3)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n nan +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞).记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xxn n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰,所以()()()e 1e x x S x x x '==+,(-∞<x <+∞)(4)由()()()112lim 111n n n n n →∞++=+知收敛半径R =1,当x =1时,级数变为()111n n n ∞=+∑,由()2111n n n <+知级数收敛,当x =-1时,级数变为()()111n n n n ∞=-+∑是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1].记()()11nn x S x n n ∞==+∑则S (0)=0,()()111n n x xS x n n +∞==+∑, ()[]1111n n x xS x x ∞-=''==-∑ (x ≠1) 所以()[]()0d ln 1xxS x x x ''=--⎰即()[]()ln 1xS x x '=--()[]()()()00d ln 1d 1ln 1xxxS x x x x x x x '=--=--+⎰⎰即()()()1ln 1xSx x x x =--+当x ≠0时,()()111ln 1S x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭,又当x =1时,可求得S (1)=1 (∵()1lim lim 111n n S x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭)综上所述()()[)()0,01,1111ln 1,1,00,1x S x x x x x =⎧⎪==⎪⎨⎛⎫⎪+--∈- ⎪⎪⎝⎭⎩U26.设f (x )是周期为2π的周期函数,它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值?解:所给函数满足狄利克雷定理的条件,x =-π是它的间断点,在x =-π处,f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+27.写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数.解:f (x )满足狄利克雷定理的条件,根据狄利克雷定理,在连续点处级数收敛于f (x ),在间断点x =0,x =±π处,分别收敛于()()00122f f -++=-,()()2πππ122f f -++-=,()()2πππ122f f -+-+--=,综上所述和函数.()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩28.写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数,其中f (x )在[-π,π)上的表达式为:(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x ;(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .解:(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件,x =n π,n ∈z 是其间断点,在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==,在x ≠n π,有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰L L于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n xn ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,从而f (x )cos nx 为偶函数,f (x )sin nx 为奇函数,于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰,2π20-π12πd π3a x x ==⎰, ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…)所以,f (x )的傅里叶级数展开式为:()()221π41cos 3nn f x nxn ∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断,在间断点处,级数收敛于0,当x ≠(2n +1)π时,由f (x )为奇函数,有a n =0,(n =0,1,2,…)()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰L所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nxn n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时,处处连续,故其傅里叶级数收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,有b n =0(n =1,2,…),()()π0π12π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x n x x n x n x n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰L所以f (x )的傅里叶级数展开式为:()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑x ∈[-π,π]29.将下列函数f (x )展开为傅里叶级数:(1)()()πππ42xf x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤解:(1)()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx xnx n n --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰L ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n ∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续, 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x ),注意到f (x )为偶函数,有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x xx x --====⎰⎰⎰()()()()()π022ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1nn x n x x n n n n =+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰L L所以()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑(0≤x ≤2π)30.设f (x )=x +1(0≤x ≤π),试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解:将f (x )作奇延拓,则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n ==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n ∞=--+=∑(0<x <π)若将f (x )作偶延拓,则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰L L ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑(0≤x ≤π)31.将f (x )=2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.解:f (x )在(-∞,+∞)内连续,其傅里叶级数处处收敛,由f (x )是偶函数,故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰L L所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑,x ∈[-1,1]取x =0得,()2211π821n n ∞==-∑,故()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑所以211π6n n ∞==∑ 32.将函数f (x )=x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解:将f (x )作偶延拓,作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰L L故()()()22121π81cosπ221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)33.设()()011,0,2cos π1222,1,2n n x x a f x s x a n xx x ∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪-<<⎪⎩∑,-∞<x <+∞,其中()102cos πd n a f x n x x=⎰,求52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解:先对f (x )作偶延拓到[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x ),延拓后f (x )在52x =-处间断,所以515511122222221131224s f f ff +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭34.设函数f (x )=x 2(0≤x <1),而()1sin πn n s x b n x∞==∑,-∞<x <+∞,其中()12sin πd n b f x n x x=⎰(n =1,2,3,…),求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解:先对f (x )作奇延拓到,[-1,1],再以2为周期延拓到(-∞,+∞),并将f (x )展开成正弦级数得到s (x ),延拓后f (x )在12x =-处连续,故.211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数,它们在一个周期内的表达式分别为:(1)f (x )=1-x 21122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭; (2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩ 解:(1) f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x ),由于f (x )为偶函数,有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰,()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰L所以()()12211111cos 2π12πn n f x n xn +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰,()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn x a f x xn x n x x x xn n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰L ()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n x b f x xn x n x x x xn n --+==++=-=⎰⎰⎰L而函数f (x )在x =3(2k +1),k =0,±1,±2,…处间断,故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑(x ≠3(2k +1),k =0,±1,±2,…)36.把宽为τ,高为h ,周期为T 的矩形波(如图所示)展开成傅里叶级数的复数形式.解:根据图形写出函数关系式()0,22,220,22T t u t h t T t ττττ⎧-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩()()22022111d d d 2Tl T l h c u t t u t t h t l T T Tτττ---====⎰⎰⎰()()π2π222π2π22222π2211e d ed 212πe d e d 2ππsin e 2ππn T n i t li t lTT n l n n i t i t T T n i t T c u t t u t tlTh T n h t i t T T n i T h h n n i n T τττττττ----------==-⎛⎫⎛⎫==⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰故该矩形波的傅里叶级数的复数形式为()2π1πsin eπn i t Tn n h h n u t T n Tττ∞-=-∞≠=+∑(-∞<t <+∞,且3,22t ττ≠±±,…)37.设f (x )是周期为2的周期函数,它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x ,试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式. 解:函数f (x )在x ≠2k +1,k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x ln l x n i n n c f x x xl n i n in in ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in xn in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1,k =0,±1,±2,…)38.求矩形脉冲函数(),00,A t T f t ≤≤⎧=⎨⎩其他的傅氏变换 解:()()()01e ed ed i x Ti xi xA F f t A t t i ωωωωω-+∞---∞-===⎰⎰39.求下列函数的傅里叶积分:(1)()e ,00,0t t f t t -⎧≥=⎨<⎩。