初一奥数题——有理数运算技巧简便计算

有理数的运算技巧

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有理数的运算是初中代数运算中的基础运算，它有一定规律和技巧。只要认真分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和针对性地运用一定的方法和技巧，不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。

下面介绍几种运算技巧。

一. 巧用运算律

例1. （第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一培训题）

求和

()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++++++++++++++++++++ 分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。

解：原式=+++++++++++1213231424341602603605960

()()() =

++3+++=++++=⨯+⨯=1222242592

12

1235912159592

885 ()() 二. 巧用倒序法

例2. 计算12003220033200340052003

++++ 解：设A =++++12003220033200340052003

，把等式右边倒序排列，得 A =++++40052003400420032200312003

将两式相加，得

2120034005200322003400420034005200312003

A =++++++()()() 即224005A =⨯，所以A =4005

所以原式＝4005

三. 巧用拆项法

例3. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题） 计算11121123112341123100

+++++++++++++++= ________ 分析：直接计算难上加难。应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为14950，15050，而14950150992991002992100=⨯=⨯=- 同理，1505021002101

=- 那么本题就不难解决了。

解：原式=++++++1262122

2029900210100

=-+-+-++-+-211212131314199110011001101

() =-=211101200101

() 说明：形如1n n a ()

+的分数，可以拆成111a n n a ()-+的形式。 四. 巧用反序相加减的方法

例4. （第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题） 计算121323142434155354515025048504950

2+++++++++++++++=()()()() _____ 分析：把括号中的各项倒序排列后，再与原式相加，把分数相加变为整数相加，运算变得简单易行。

解：设S =+++1++++++++++++121323424341525354515025048504950

()()()() 又S =+++++++++1+++++1223133424144535255495048501

50

()()()() 两式相加得2123449S =+++++

又249484721S =+++++

上面两式相加得450492450S =⨯=

故S ＝612.5

五. 巧用缩放法

例5. 求1110111112119

++++ 的整数部分。 分析：直接进行计算较繁，若想到利用缩、放的方法，可快速估算出值的范围。缩放法是“求整数部分”以及相关题型的常用方法。

解：原式>+++=1

110110110110

个 原式<+++=1

1191191191910

个.

即1<原式<1.9，所以所求整数部分是1。

六. 巧用整体换元法

例6. （广西2005年初一数学竞赛决赛题） 计算()()()()12131200511213120041121312005121312004

+++++++-+++++++ 分析：本题目从结构上看相当繁琐，因此要选择恰当的方法进行计算。不妨巧用整体换元法，那么本题就不难解决了，计算就简便了。

解：令1

121312004++++= a 则原式=-+-+-()()()a a a a 11200512005

1 =-+

--++=a a a a a a 2212005120051200512005

七. 巧用倒数法

例7. 计算1361411271813614112718136136

÷+--++--÷()()

分析：因为

13614112718136÷+--()与()14112718136136

+--÷互为倒数，而()14112718136136+--÷比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。 解：因为()14112718136136

+--÷ =+--⨯()14112718136

36 =+--=-931413

所以原式=--=-133313

八. 巧用添项法

例8. 计算11192199319994199995

++++ 分析：观察算式的特征，发现将算式添上9，8，7，6，5的和，利用加法结合律可以使运算简便快捷。

解：原式=+++++++++-++++()()()()()()119192819937199946199995598765 =++++-=-=2020020002000020000035

22222035

222185

九. 巧用配对的方法

例9. （第六届“华罗庚杯”数学竞赛复赛试题）

1234567899100⨯⨯⨯⨯⨯ 与110

相比较，哪个更大？为什么？ 解：设A =⨯⨯⨯⨯⨯⨯

12345678979899100

构造对偶式 B =⨯⨯⨯⨯⨯⨯2345678999100100101

那么A B ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1223344

5991001001011101