初一奥数题——有理数运算技巧简便计算

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有理数简便运算技巧

有理数简便运算技巧
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊有理数简便运算技巧，这可真是超级有趣又超级实用的东西呢！
比如说在计算 25+36 时，咱可以找“好朋友”呀，25 不是和 4 凑一起是 100 嘛，那把 36 拆分成 32 和 4，先算 25+4 等于 29，再加上 32 是不是就简单多啦！
咱在进行有理数运算时，就像是走在一条充满挑战的小路上。

有时候那些数字就像小怪兽，一个个张牙舞爪的。

但咱不怕呀，咱有妙招！就像孙悟空有金箍棒一样。

再来讲一个技巧，乘法分配律。

哎呀，这个真的是太好用啦！比如计算3×(20+5)，咱就可以把 3 分别乘进去，3×20 加上3×5，一下子就把复杂的计算变简单啦，就好像把一团乱麻给理顺了！你说神奇不神奇？要是遇到像45× 这样的，咱可以把看成，然后用乘法分配律，哇，难题瞬间迎刃而解！
还有呀，咱可以利用相反数来简化计算。

比如说在算一堆数相加时，看到互为相反数的，那就像看到好朋友一样开心呀，它们加起来就是 0 呢！这不就轻松多了嘛！
有理数的简便运算技巧真的是我们数学学习中的好帮手呀！学会了这些技巧，就像是有了一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。

大家一定要好好掌握这些技巧哦，绝对能让你的运算能力大大提升！相信我，没错的！。

有理数运算常用的技巧

有理数运算常用的技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。

如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。

例1、计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)变式：计算：()()()231324-+++-++-二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2、计算：19＋299＋3999＋49999．变式：计算：36.54228263.46+-+三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3、计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．变式：计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4、计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．变式1：32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-变式2：4726342+4726352-472633×472635-472634×472636五、巧拆项（裂项相消）把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．常见的裂项相消：①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k=-++ ③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④1111()(1)(1)211n n n n =--+-+ 例5、计算2005×20042003－1001×10021001．例6、111113355799101++++⨯⨯⨯⨯变式1：111111261220309900++++++变式2：10310011071741⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯变式3：计算：111111315131517293133+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯六、变量替换（换元法）通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例7、计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-)．例8、（第8届“希望杯”）计算：11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009--+-+++---+--+++变式1：计算（2＋20101......413121++++）×（20111......413121++++）－（2＋20111......413121++++）×（20101......413121++++）变式2：计算⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++20051312120061312112005131211200613121变式3：计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+39385271781712133937111712727717七、分组搭配（巧添括号）观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例9、计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．变式：计算：八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例10、计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．变式1：计算20034005200332003220031++++变式2：计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．九、添数配对（添项法）添数配对实质上也是一种凑整运算例11、计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．变式：计算512125611281641321161814121++++++++十、错位相减对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．例12、计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．例13、计算：23201012222S =+++++变式1：计算：20103221212121++++变式2：计算：201332313131311+++++十一、分解相约对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。

有理数的简便运算

有理数的简便运算有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数和零。

在数学中，有理数的运算是非常重要的，它们可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。

本文将介绍有理数的简便运算方法，帮助读者更好地理解和掌握有理数的运算规则。

一、有理数的加法运算有理数的加法运算是指将两个有理数相加得到一个新的有理数的过程。

要进行有理数的加法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将两个有理数的分母找到一个公共的倍数，使得它们的分母相同。

2. 将两个有理数的分子相加，得到新的分子。

3. 分子的符号与原有理数的符号保持一致。

例如，计算-3/4 + 1/2，可以按照以下步骤进行：1. 分母4和2的最小公倍数为4，将两个有理数的分母都改为4。

-3/4 + 1/2 = -3/4 + 2/42. 将两个有理数的分子相加，得到新的分子。

-3/4 + 2/4 = -1/43. 结果的符号与原有理数的符号保持一致，即为负数。

所以，-3/4 + 1/2 = -1/4。

二、有理数的减法运算有理数的减法运算是指将一个有理数减去另一个有理数得到一个新的有理数的过程。

要进行有理数的减法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将减法转换为加法，即将减数变为相反数。

2. 将两个有理数按照加法运算的方法相加。

例如，计算5/6 - 1/3，可以按照以下步骤进行：1. 将减数1/3变为相反数，即-1/3。

2. 将两个有理数按照加法运算的方法相加。

5/6 + (-1/3) = 5/6 - 1/33. 按照有理数的加法运算规则进行计算。

5/6 - 1/3 = (5*3 - 6*1) / 6 = 15/18 - 6/18 = 9/184. 将结果进行约分，得到最简形式。

9/18 = 1/2所以，5/6 - 1/3 = 1/2。

三、有理数的乘法运算有理数的乘法运算是指将两个有理数相乘得到一个新的有理数的过程。

要进行有理数的乘法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将两个有理数的分子相乘，得到新的分子。

【初一数学】初一奥数专题七有理数计算技巧(二)(共5页)

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有理数简便运算与技巧

有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。

进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采取运算技巧，不单能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖新颖。

现举例介绍有理数运算中的几个经常使用技巧。

一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。

例1 计算：()()()231324-+++-++-。

解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦()69=+-3=-。

二、凑整将和为整数的数结合计算。

例2 计算：36.54228263.46+-+。

解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+-12282=-40=。

三、对消将相加得零的数结合计算。

例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。

解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦009=++9=。

四、组合将分母相同或易于通分的数结合。

例4 计算：55115521012249186---+。

解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5171386=- 13524=-。

五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。

例5 计算：111125434236-+-+。

解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=。

例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。

解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。

六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。

例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+25=-。

初一奥数有理数的四则运算

模块一：知识巩固有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

a －b ＝a ＋(-b )有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。

1a b a b÷=⋅，(b ≠0)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；有理数的混合运算： 1．先乘除后加减2．同级运算，从左到右模块二：重点题与易错题【例1】6523157-+-+【例2】32624416 6.8 3.255++---【例3】()()(){}34|15|7-+-+-+---⎡⎤⎣⎦【例4】下列计算正确的是( )A ．111111339⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1281217⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭C ．()1717⎛⎫-⨯+=- ⎪⎝⎭D ．()1313⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭【例5】23155174148⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-÷-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例6】()()()511121124815601226232⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+⨯--÷-÷-+-⨯-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭【例7】()()()()329126448624416 6.8 3.225055-+÷---⨯-÷-+++---+【例8】()()()1112310.255 3.524244324⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+-⨯-+÷⨯÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭模块三：竞赛题与压轴题【例9】()25171412455824138612211⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⨯÷---⨯-÷-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【例10】123456789101112...2005200620072008--++--++--+++--+模块四：总结与拓展1．养成良好的计算习惯2．掌握各种计算技巧在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．计算：178－3＋2－77 A ．-180 B ．180 C ．-100 D ．1002．计算：2116450110054993737..-++--A ．-5B ．5C ．-100D ．03．计算：()()()()34|15|17-+-+-+-+- A ．-1 B ．1 C ．0 D ．24．下列计算不正确的是( )A ．()1515⎛⎫+÷-=- ⎪⎝⎭B ．()9292⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭ C ．1771750⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭D ． 117111339⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．计算：121231123534⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．12B ．12-C ．34D ．34-6．计算：()()222735187794311610137516⎛⎫⎡⎤-⨯-⨯⨯-+--÷÷ ⎪⎣⎦⎝⎭ A ．27 B ．-20 C ．7 D ．-77．计算：()21405207533..⎡⎤-+-÷+⨯⎢⎥⎣⎦A ．394B ．394-C ．10D ．10-8．计算：()15105139512103737372.⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦A ．-8B ．8C ．-8.5D ．8.59．计算：11111991223344599100100⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++÷-- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎣⎦A ．99B ．-99C ．1D ．-110．计算：2011999988977966955944933922911------------------ A ．2111 B ．1112 C ．1111 D ．2000。

有理数简便运算与技巧

有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门,又是难点,是中学数学中一切运算的基础;进行有理数的运算时,若能根据题目的特征,注意采用运算技巧,不但能化繁为简,而且会妙趣横生,新颖别致;现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧;一、归类将同类数如正数或负数归类计算;例1 计算：()()()231324-+++-++-;解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦3=-;二、凑整将和为整数的数结合计算;例2 计算：36.54228263.46+-+;解：原式()36.5463.462282=++-40=;三、对消将相加得零的数结合计算;例3 计算：()()()5464332+-++++-+-;解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9=;四、组合将分母相同或易于通分的数结合;例4 计算：55115521012249186---+; 解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式,或分解为它的因数相乘的形式;例5 计算：111125434236-+-+; 解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=; 例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯;解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=;六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化;例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-;七、变序运用运算律改变运算顺序;例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-;例9 计算：38871159158⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 解：原式8881559158⎛⎫=---⨯ ⎪⎝⎭3八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简;例10 计算：()()61112.50.125 1.250.6215284⎛⎫-⨯⨯-⨯÷⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭; 解：原式()()62.50.125 1.25521110.621284-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯; 九、逆用正难则反,逆用运算律改变次序;例11 计算：2283210.2555214⎛⎫⎛⎫÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 解：原式258715122144⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14=; 十、观察根据0、1、1-在运算中的特性,观察算式特征寻找运算结果为0、1或1-的部分优先计算;例12 计算：()()20091312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 解：33.75304-=,()200911-=-; ∴原式()011=+-=-;妙用字母解题在我们学习的过程中,常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题,令人望而生畏,无从着手．这时,如果我们仔细观察数据特点,探究数据规律,巧妙利用字母代替数字,将会收到化繁为简,化难为易的效果．例1 计算11111111111111232004232003232004232003⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 分析：本题显然不能用常规方法直接计算,观察式子的4个小部分,我们发现各部分的相同项很多,如果把相同部分用一个字母来代替,则可使运算大大简化．解：设1111232003a ++++=,111232003b +++=．则原式1120042004b a a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12004200420042004a b a b -=-==．评注：本题是分数计算题,若直接计算是很繁很难的,本题巧用整体思考,妙用字母代替数就简单多了,这充分说明了用字母表示数的作用．例2 计算17.4837174.8 1.98.7488⨯+⨯+⨯．分析：本题若直接进行计算也未尝不可,但通过观察发现：17.48,174.8,8.74之间有着特殊的关系,若设17.48a =,则174.810a =,8.742a =,这样,原式可化为含字母a 的代数式,我们只需合并同类项,然后将a 的取值代入进行求值即可,计算量明显减小．解：设17.48a =,则174.810a =,8.742a =,则原式可化为()371944371944100a a a a a ++=++=,将17.48a =代入,得原式1748=．评注：通过观察数字特点,运用字母代替数,使计算过程简化,收到了事半功倍的效果．。

初一有理巧算精品

有理数运算中的几个技巧有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)．解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)= (－0.5 + 2.75) + (341－721)= 2.25－441=－2 ．解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)=－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2．评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2 计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 = (20＋300＋4000＋50000)－4 = 54320－4 = 54316．在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案．三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]= 4125＋(－71)＋(－72)＋6127 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)]= 11＋(－73)= 1074．评析：在运算前，首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换一下各数的位置，达到简化运算、快速解题的目的．四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4 计算：17.48³37＋174.8³1.9＋8.74³88．解：17.48³37＋174.8³1.9＋8.74³88 =17.48³37＋(17.48³10)³1.9＋17.48³44=17.48³37＋17.48³19＋17.48³44 = 17.48³(37＋19＋44) = 1748．评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．五、巧拆项把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．例5 计算2005³20042003－1001³10021001．解：2005³20042003－100210011001= (2004＋1)³20042003－(1002－1)³10021001= (2003－1001)＋(20042003＋10021001)=100320042001．评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、变量替换通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+³(0.125＋323417512769+-)．解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则512769)323417(125.0323417-++⨯+³(0.125＋323417512769+-) =c ab a +³(b ＋ac ) =c ab a+³ac ab + = 1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．七、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69) = 0＋0＋0＋…＋0 = 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例8 计算 21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．①解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)， ② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770， ∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885．评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度．九、添数配对例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2³103＋2³104＋…＋2³109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45 = 2222222175．评析：添数配对实质上也是一种凑整运算．十、整体换元对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，①则①³(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ， ②① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171．评析：整体换元可以避开局部细节的麻烦，它利用前后项之间的倍数关系，使用的是错位相加法．有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。

有理数简便运算与技巧

有理数简便运算与技巧之杨若古兰创作有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础.进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，留意采取运算技巧，不单能化繁为简，而且会妙趣横生，新奇新奇.现举例介绍有理数运算中的几个经常使用技巧.一、归类将同类数（如负数或负数）归类计算.例1 计算：()()()231324-+++-++-.解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦3=-.二、凑整将和为整数的数结合计算.例2 计算：36.54228263.46+-+.解：原式()36.5463.462282=++-40=.三、对消将相加得零的数结合计算.例3 计算：()()()5464332+-++++-+-.解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9=.四、组合将分母不异或易于通分的数结合.例4 计算：55115521012249186---+. 解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524=-. 五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的方式，或分解为它的因数相乘的方式.例5 计算：111125434236-+-+. 解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=. 例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯.解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=.六、转化将小数与分数或乘法与除法彼此转化.例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-.七、变序应用运算律改变运算顺序.例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-.例9 计算：38871159158⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：原式8881559158⎛⎫=---⨯ ⎪⎝⎭ 13=-. 八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简.例10 计算：()()61112.50.125 1.250.6215284⎛⎫-⨯⨯-⨯÷⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭. 解：原式()()62.50.125 1.25521110.621284-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯. 九、逆用正难则反，逆用运算律改变次序.例11 计算：2283210.2555214⎛⎫⎛⎫÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：原式258715122144⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14=. 十、观察根据0、1、1-在运算中的特性，观察算式特征寻觅运算结果为0、1或1-的部分优先计算.例12 计算：()()20091312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解：3 3.75304-=，()200911-=-. ∴原式()011=+-=-.妙用字母解题在我们进修的过程中，常会碰到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而却步，无从着手．这时候，如果我们细心观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收到化繁为简，化难为易的后果．例1 计算11111111111111232004232003232004232003⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 分析：本题明显不克不及用惯例方法直接计算，观察式子的4个小部分，我们发现各部分的不异项很多，如果把不异部分用一个字母来代替，则可使运算大大简化．解：设1111232003a ++++=，111232003b +++=．则原式1120042004b a a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12004200420042004a b a b -=-==．评注：本题是分数计算题，若直接计算是很繁很难的，本题巧用全体思考，妙用字母代替数就简单多了，这充分说明了用字母暗示数的感化．例2 计算17.4837174.8 1.98.7488⨯+⨯+⨯．分析：本题若直接进行计算也何尝不成，但通过观察发现：17.48，174.8，8.74之间有着特殊的关系，若设17.48a =，则174.810a =，8.742a =，如许，原式可化为含字母a 的代数式，我们只需合并同类项，然后将a 的取值代入进行求值即可，计算量明显减小．解：设17.48a =，则174.810a =，8.742a =，则原式可化为()371944371944100a a a a a ++=++=，将17.48a =代入，得原式1748=．评注：通过观察数字特点，应用字母代替数，使计算过程简化，收到了事半功倍的后果．。

有理数简便运算技巧(十五法)之欧阳化创编

有理数简便运算技巧（十五法）有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。

进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。

现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。

一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。

例1 计算：()()() 231324-+++-++-。

解：原式()()()()312234 =+++-+-+-⎡⎤⎣⎦() 69 =+-3=-。

二、凑整将和为整数的数结合计算。

例2 计算：36.54228263.46+-+。

解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+-12282=-40=。

三、对消将相加得零的数结合计算。

例3计算：()()() 5464332+-++++-+-。

原式()()()4453263 =-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦009 =++ 9=。

四、组合将分母相同或易于通分的数结合。

例4 计算：。

解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-。

五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。

例5 计算：1111 25434236 -+-+。

原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。

例6：计算：例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。

11221212=+=七、变序运用运算律改变运算顺序。

例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭ 解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭。

。

13131=-⨯=-八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

有理数简便运算技巧(十五法)

有理数简便运算技巧（十五法）之马矢奏春创作有理数是代数的入门,又是难点,是中学数学中一切运算的根本.进行有理数的运算时,若能按照标题标特色,留心采取运算技巧,不单能化繁为简,并且会妙趣横生,新颖新颖.现举例介绍有理数运算中的几个经常运用技巧.一、归类将同类数（如正数或正数）归类计算. 例1 计算：()()()231324-+++-++-. 解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦()69=+-3=-.二、凑整将和为整数的数结合计算.例2 计算：36.54228263.46+-+. 解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+- 12282=- 40=.三、对消将相加得零的数结合计算. 例3计算：()()()5464332+-++++-+-. 原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦009=++ 9=.四、组合将分母相同或易于通分的数结合.例4 计算：. 解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-.五、分化将一个数分化成两个或几个数之和的形式,或分化为它的因数相乘的形式.例5 计算：111125434236-+-+. 原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+= 六、转化将小数与分数或乘法与除法互相转化. 例6：计算：例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-.11221212=+= 七、变序运用运算律修改运算次序.例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭. .13131=-⨯=-八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简. 解：原式8881559158⎛⎫=---⨯⎪⎝⎭ 8158158155898158⎛⎫=-⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭5313⎛⎫=--- ⎪⎝⎭13=-.九、逆用正难则反,逆用运算律修改次序. 例11 计算：2283210.2555214⎛⎫⎛⎫÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：原式258715122144⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2181134344=-⨯+⨯-1281433⎛⎫=⨯-+- ⎪⎝⎭14=.十、不雅察按照0、1、1-在运算中的特色,不雅察算式特色查找运算成果为0、1或1-的部分优先计算.例12 计算：()()20091312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解：33.75304-=,()200911-=-. ∴原式()011=+-=-. 十一、变量更换经由过程引入新变量转化命题机关,这样不单可以削减运算过程,还有利于查找接题思路,个中的新变量在解题过程中起到桥梁传染感动．例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-)．解：设a =323417+,b = 0.125,c =512769-,则512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋323417512769+-) =cab a+×(b ＋a c )=cab a+×a c ab += 1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂,但若仔细不雅察,全体式子可分为三个部分：323417+,0.125,512769-,是以,采取变量更换就大大削减了计算量．十二、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时,常按照所求式机关,采取倒序相加减的方法把问题简化．例8 计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．① 解：把①式括号内倒序后,得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601), ② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770,∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885．评析：显然,此类问题是不克不及“硬算”的,倒序相加可提高运算速度,降低复杂程度．十三、添数配对例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1,依次与各数配对相加,得： 11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 2222222220－45 = 2222222175．评析：添数配对本质上也是一种凑整运算．十四、整体换元对于较复杂的算式直接运算很艰难,若能抓住其特色,运用整体运算的思维,创造性地加以解决,就能收到事半功倍的效果．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x,①则①×(－21),得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x,②① －②,得1＋5121=23x,解得x =256171,故 1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171．十五、分组搭配不雅察所求算式特色,奥妙运用分组搭配处理,可以简化运算．例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69 = (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69) = 0＋0＋0＋…＋0 = 0．评析：这种分组运算的过程,本质上是奥妙地添括号或去括号问题．。