第五章固体物理能带理论

5.1布洛赫波函数
由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 ( r ) 是 ˆ ˆ 的本征函数，那么 也一定是算符 (r ) T ( Rn ) 的本征函数。 H
ˆ (3) T

( R n ) e i k.R
n
ˆ 设T ( Rn )对应的本征值为 ( Rn )，则有 ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r )
根据平移特点
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T ( Rn ) T (n1a1 n2 a 2 n3 a 3 ) T (n1a1 )T (n2 a 2 )T (n3 a 3 )
n1 ˆ n2 ˆ n3 ˆ T ( a1 ) T ( a 2 ) T ( a 3 )
原胞区间内，通常取：
k 的值限制在一个倒格子
5.1布洛赫波函数
Ni Ni bi bi li , ( i 1,2,3) k i , ( i 1,2,3) 2 2 2 2 在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目
N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点的分布
叫 Bloch波函数，或ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱloch 波。它描述的电子叫 Bloch电子 这个结论称 Bloch 定理。Bloch 定理也可表述为：
k r Rn e


i k Rn


k r

它表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
e
i k Rn

，它不影响波函数的大小，所以电子出现在不同原胞的
是准连续的。一个波矢对应的体积为：
b1 b2 b3 Ω* ( 2π)3 ( 2π)3 ( ) N1 N 2 N 3 N NΩ VC
( 2 π)3 一个波矢代表点对应的体积为： VC
电子的波矢密度为：
Vc ( 2π)3
5.1布洛赫波函数
下面证明
(r ) (r ) k kK
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面 波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述
电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。
三、 k 的取值和范围
设晶体在 a1、a2、a3方向各有 N1、N 2、N 3个原胞，
由周期性边界条件
k ( r ) k ( r N 1 a1 ) k ( r ) k ( r N 2 a 2 ) k ( r ) k ( r N 3 a 3 )
对应点上几率是相同的，这是晶体周期性的反映。
5.1布洛赫波函数
V ( x) V ( x na)
k ( x) eikxuk ( x)
uk ( x) uk ( x na)
e
ikx
5.1布洛赫波函数
晶格的周期性势场
V (r ) V (r Rn )
uk(r) = uk(r +Rl)
h h
i(k K K ) r h n (r ) k a ( k K K )e n h Kn
i(k K l ) r a(k K l )e l
h
5.1布洛赫波函数
( Rn ) e
ik Rn
ik Rn (r Rn ) e (r ) ---布洛赫定理
再证明布洛赫波函数具有如下形式：
ik r k r e uk r uk r uk r Rn
晶体中多原子问题简 化为多电子问题
能带论的两个基本假设：
玻恩-奥本海默绝热近似：所有原子核都周期性地静止排列 在其格点位置上，因而忽略了电子与声子的碰撞。 平均场近似：忽略电子与电子间的相互作用，用平均场代
替电子与电子间的相互作用。
多电子问题简化为单 电子问题
能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能
这里，uk(r) = uk(r +Rl) 是以格矢 Rl 为周期的周期函数。
5.1布洛赫波函数
换句话说：Bloch 发现，不管周期势场的具体函数形式如何， 在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是
调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而
周期变化。
k r eikruk r
考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止 排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他
电子的平均势场和原子实的势场中运动。电子所感受到的
势场具有周期性，这样的模型称为周期场模型。
5.1布洛赫波函数
二. Bloch定理（1928年） 在周期场中，描述电子运动的Schrö dinger方程为
ˆ (r ) f (r )可以是V (r )， (r )，H
ˆ, H ˆ ] 0 (2) [T
V (r ) V (r Rn ),
2 ˆ H 2 V (r ) 2m
5.1布洛赫波函数
在直角坐标系中：
2 2 2 2 2 (r ) 2 2 2 (r Rn ) x y z 2 2 2 2 2 ( x n1a1 ) ( y n2a2 ) ( z n3a3 )2



5.1布洛赫波函数
可得到
n1 n2 n3 ˆ T ( Rn ) (r ) ( Rn ) (r ) (a1 ) (a 2 ) (a 3 ) (r ) n1 n2 n3 即 ( Rn ) (a1 ) (a 2 ) (a 3 ) (a1 )、 (a2 )、 (a3 ) ?
ˆ 具有晶格周期性。 晶体中单电子哈密顿量 H
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T ( Rn ) H (r ) (r ) H (r Rn ) (r Rn ) H (r )T ( Rn ) (r )
ˆ, H ˆ ] 0 [T
平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
(a1 ) e
i
l1 b1a1 N1
(a3 ) e
i
l3 b3 a 3 N3
ˆ ( R ) 的本征值取下列形式 这样 T n
l l l i ( 1 b1 2 b 2 3 b 3 )R n ( Rn ) e N1 N 2 N3
令
l 3 b3 l 1 b1 l 2 b2 k N1 N2 N3
5.1布洛赫波函数
k (r N1a1 ) k (r )
i k r N 1 a 1 k (r N 1a1 ) e uk (r )
e
i k N 1 a 1 i k r
e
uk (r )
ik N j a j
k (r )
可以看出平面波
义。当波矢增加一个倒格矢 K ，平面波 e i ( k K h )r也满足上式。 h
e
ik r能满足上式。因此矢量
k 具有波矢的意
5.1布洛赫波函数
因此电子的波函数一般应是这些平面波的线性叠加
i ( k K k ( r ) a( k K h )e h )r e ik r a( k K h )e iK h r
5.1布洛赫波函数
根据上式可得到
N1 ˆ T N 1a1 (r ) (a1 ) (r ) (r N 1a1 ) (r )
N1 (a1 ) 1
同理可得： (a 2) e
l i 2 b 2 a 2 N2
n
证明：根据布洛赫定理
k ( r ) e ik r uk ( r ) , uk ( r ) a( k K h )e iK h r
(r ) e
k
i k r
h iK i ( k K h )r h r a ( k K )e a ( k K )e h h
量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和禁带相间
组成的能带，这种理论称为能带论。
5.1布洛赫波函数
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键是解释 电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有离子之 间。……. 经过简明而直观的傅立叶分析，令我高兴地发 现，这种不同于自由电子平面波的波仅仅借助于一种周期 性调制就可以获得。 一.周期场模型 ——F Bloch
l 3 b3 l 1 b1 l 2 b2 k N1 N2 N3
j
lj Nj
e
1
1 b1 2 b2 3 b3
只能取一些分立的值。
5.1布洛赫波函数
当
' j j
' 整数时，相当于波矢 k 换成 k k K h ,
T ( Rn ) f ( r ) f ( r Rn ) 2 T ( Rn ) f ( r ) T ( Rn ) f ( r Rn ) f ( r 2 Rn )
l T ( Rn ) f ( r ) f ( r lRn )
2 2 [ r V(r )]k (r ) E (k )k (r ) 2m
其中，V(r) = V(r +Rl)为周期性势场
Rl=l1a1+l2a2+l3a3为晶格格矢
方程的解应具有下列形式：
k r eikruk r
确定了波动方程解的基本特点。
—— Bloch函数
k r eikr uk r — Bloch函数
的平面波。
在晶格周期性势场中运动电子的波函数是按晶格周期调幅
证明布洛赫定理
(1)引入平移算符 T ( Rn )
ˆ, H ˆ ] 0 (2)证明: [T
(3)
ˆ T
5.1布洛赫波函数
(1)平移对称算符 T ( Rn )
设晶体在 a1、a 2、a3方向各有 N 1、N 2、N 3个原胞 ,
由周期性边界条件
( r ) ( r N 1 a1 ) ( r ) ( r N 2 a 2 ) ( r ) ( r N 3 a 3 )
iK h r 设uk (r ) a(k K h )e
h
h
则上式化为
ik r k (r ) e uk (r )
h
(r R ) u (r ) uk n k
即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。
5.1布洛赫波函数
第五章 晶体中电子能带理论
教学目的：
掌握布洛赫波函数、近自由电子近似、平均速度、有效 质量、区分导体、半导体和绝缘体。
能带论的基本出发点:
固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围，而是可 以在整个固体中运动，称为共有化电子。 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任何力的 作用，电子在运动过程中受到晶格中原子势场的作用。
(r ) (r ) K h 是倒格矢。 可以证明 k k Kh
k
态和 k K h 态是同一电子态，而同一电子态对应同一
个能量， 故 E(k ) E(k K h ) 。 为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征
值 E ( k )一一对应起来，必须把波矢