第六节：用正交变换化二次型为标准型
6.3 用正交变换化二次型为标准型
2 B 0 0
0
0 1 1 . 1 1
8
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 例 设方阵 A 为正交阵，且 | A| 1，试证 A + I 不可逆。 六 证 A I A A AT A ( I AT ) 章 二 次 型
A ( I T AT ) A ( I A)T A ( A I )T ,
则 P 为正交阵，且
T X1 P 1 A P P T A P T A ( X 1 P1 ) P 1
14
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 证明 (1) 设 l 是 A 的特征值, 则存在 X 0 使得 A X l X , 六 (a) X T AX l X T X , 章 其中 X 是 X 的共轭。 二 对上式两端取共轭转置，并利用 A T A 得 次 型 (b) X T AX l X T X , 从而有 l X T X l X T X , 即得
从而 X C Y 为正交变换。 12
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 三、正交变换 六 T 章 目标 求正交矩阵 P，即 P P I , 使得 二 次 型
f (X )
X PY
2 2 2 Y T ( P T AP )Y d1 y1 d 2 y2 d n yn ,
d1 d2 . 或 P T A P P 1 A P Λ dn
P178 定理 6.6
l1 l2 . C T AC C 1 AC ln
17
§6.3 用正交变换化二次型为标准形 第 证明 (数学归纳法) 对于 1 阶实对称矩阵，性质显然成立。 六 假设性质对于 n 1 阶成立， 需证对于 n 阶也成立 。 章 (1) 设 A 的某特征值 l 1对应的单位特征向量为 X1 , 二 将 X1 扩充为 Rn 中的标准正交向量组 X 1 , 2 , 3 , , n , 次 型 记为 令 P ( X1 2 3 n ) ( X1 P1 ) ,
用正交变换化二次型为标准型
VS
通过正交变换将二次型化为标准型，以便更好地研究二次型的性质和应用。
意义
将二次型化为标准型有助于揭示二次型的内在结构，同时可以简化二次型的计算和分类过程。此外，标准型的求解对于解决实际问题也具有重要意义。
目的
目的和意义
二次型的定义及性质
THANKS
谢谢您的观看
通过一系列的线性变换，将矩阵A转换为一个对角矩阵D=[2, 0; 0, 3]，其中2和3是原二次型矩阵A的特征值，而[1; 1]和[1; -1]是对应的特征向量。
根据对角化矩阵D和原二次型矩阵A的关系，计算出原二次型矩阵A的系数为[2√2, 0; 0, 3√2]。
具体实例
结论与展望
05
研究结论
分析了正交变换在二次型标准型转化中的应用，并证明了其优越性。
2023-10-26
《用正交变换化二次型为标准型》
引言二次型的定义及性质正交变换用正交变换化二次型为标准型的方法结论与展望
contents
目录
引言
01
1
背景介绍
2
3
二次型是代数学中的重要研究对象，它具有广泛的应用背景，如物理学、工程学、经济学等。
二次型的标准型在研究二次型的性质、分类以及应用中具有非常重要的作用。
正交变换的性质
正交变换会保持向量的内积不变，即如果两个向量在变换前后的内积不同，则该变换不是正交变换。
正交变换会保持矩阵的行列式不变，即如果一个矩阵在经过正交变换后其行列式发生了改变，则该变换不是正交变换。
保持向量长度不变
保持向量内积不变
保持矩阵的行列式不变
用正交变换化二次型为标准型的方法
02-用正交变换化二次型为标准形
§5 二次型及其标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋅⋅⋅+a nn x n2+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+⋅⋅⋅+2a n -1,n x n -1x n令a ij =a ji ,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n nn n n n n n n x x x a a a a a aa a a x x x x x x f ), , ,(), , ,(212122221112112121. 实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应的关系.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n nn n n n n n n x x x a a a a a aa a a x x x x x x f ), , ,(), , ,(212122221112112121. 因此,二次型可记作f =x T Ax ,其中A 是一个实对称矩阵.实对称矩阵A 叫做二次型f 的矩阵,f 也叫做实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵的秩就叫做二次型f 的秩.对于二次型，寻找可逆的线性变换11111221221122221122,,.n n n n nn m nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩简记为x = C y ，于是f =x T Ax =(C y )T A (C y )=y T (C T AC )y使二次型只含平方项，即标准形f = k 1y 12+ k 2y 22+ … + k n y n 2说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.二次型f =x T Ax 在可逆线性变换x =Cy 下,有合同矩阵:若存在可逆矩阵C ,使B =C T AC ,=y T (C T AC )y .=(Cy )T A (Cy ) f =x T Ax 则称矩阵A 与B 合同.显然，☐B T = (C T AC )T = C T A T (C T )T = C T AC = B 即若A 为对称阵，则B 也为对称阵．☐R (B ) = R (A ) ．由此可知,经可逆变换x=Cy后,二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵C T AC,且二次型的秩不变.若二次型f 经过可逆变换x = C y 变为标准形，即222()()()TT TT f x Ax Cy A Cy y C AC y ===1122112212(,,,)n nn n n k y k y k y k y k y y y y k y =+++⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭问题：对于对称阵A，寻找可逆矩阵C，使C T AC为对角阵（把对称阵合同对角化）．定理：设A 为n 阶对称阵，则必有正交阵P，使得P−1AP= P T AP= Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.定理：任给二次型f (x)=x T Ax（其中A = A T），总存在正交变换x= P y，使f化为标准形f(P y) = λ1y12+ λ2y22+ … + λn y n2其中λ, λ2, … , λn是f的矩阵A的特征值．1推论：任给二次型f (x )=x T Ax （其中A = A T ），总存在可逆变换x = C z ，使f (C z )为规范形．证明：f (P y ) = λ1y 12+ λ2y 22+ … + λn y n 2若R (A ) = r ，不妨设λ1,λ2,…, λr 不等于零，λr +1= … = λn =0.12,,|k i r k ⎛⎫⎪≤⎪=⎪ 其中令则K 可逆，变换y = Kz 把f (P y )化为f (PKz ) = (PKz )T A (PKz ) = z T K T P T APKz = z T K T ΛKz其中|=, 1,.i i n K k i r k λ⎨ ⎪> ⎪⎩⎝⎭1212,,,,0,,0||||||Trr K K diag λλλλλλ⎛⎫Λ=⎪⎝⎭将二次型化为标准形的问题，可以转化为将二次型的对称矩阵的对角化问题.。
用正交变换化二次型为标准型
1
1
1
1 2 2 λ +1
0 λ 1 2 = (1 λ) 0 2 λ 1 0 0 0
1
2
1
1
= (1 λ) 0 λ 1 2 0 2 λ 1
= (1 λ) (λ + 2λ 3)
2 2 2
Hale Waihona Puke = (1 λ) (λ + 3)(λ 1) = 0
得A的特征值为
3) 由（A λE）x = 0, 求A 的特征向量. 当λ1 = 3时，解方程（A + 3 E）x = 0. 由
k2 .k3 , k4不 时 零 同 为 .
1 0 1 1 0 1 ξ2 = , ξ3 = , ξ4 = . 0 1 1 0 1 1
单 化 位 1 2 1 P = 2 0, 2 0 0 2 0 P = 3 1, 2 1 1 1 1 P = . 4 2 1 1
三 、用正交变换化二次型为标准型
经过上面的讨论，总结用正交变换化二次型为标准型 的一般步骤：
1.将 次 f = ∑∑aij xi xj： 成 阵 式 = x Ax 二 型 写 矩 形 f
T
n
n
2、由 A λ E = 0, 求出A的全部特征值： 3、由（ A λ E） x = 0，求出 A的特征向量；
3 1 1 3 A + 3E = 1 1 1 1 1 1 0 2 ~ 0 2 0 2 1 1 1 1 1 1 ~ 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 2 0 0 1 ~ 0 0 2 0 2 4 0 0 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 0 4 4 0 0 1 3
当λ2 = λ3 = λ4 = 1，解方程（A E）x = 0.由
线性代数-利用正交变换化实二次型为标准型
方法：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
即存在可逆矩阵 P , 使得 2
P 1 AP
4
A PP 1
2n
A 3E PP1 3PEP1 P( 3E)P1
P 3E P1 3E
23 43
(1) 1 3
(2n 3)
2n 3
例：设 n 阶方阵 A有 n 个互异的特征值， n 阶方阵 B 与A 有相同的特征值。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例：已知方阵 A 的特征值是 1 0,2 1,3 3,
1 1 1
相应的特征向量是
1
1 1
,2
0 1
,3
2 1
,
求矩阵 A. 书p113 习题4.2 第6题
解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。 因为 A有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP
A100 P100 P 1
1 1
5 1
2
0
0 100 1 2
2
3
1
5 1
1 1
5 (1)100
2
0
0 1 2
2100
3
1
5 1
1
3
2 5 2100 2 2101
5 5 2100
5 2101
3. 求行列式
例：设 A 是 n 阶方阵，2,4, ,2n 是A 的 n个特征值， 计算 A 3E .
1 1 1
0
其中
P
1 1
0 1
2 1
,
1
3
,
求得
线性代数 用正交变换法换二次型为标准型.ppt
X1 CY1, X2 CY2时， X1, X2 Y1,Y2
③线性变换X=CY把Rn中的标准正交基变成标准正交基.
证明（循环证明过程）：
(1) (2) : 因为X=CY为正交变换，故矩阵C为正交矩阵
当 1 时， I A X 0 的基础解系 2 0,1,1T
当 1 时， I A X 0 的基础解系 3 0,1,1T
1,2 ,3 两两相互正交，单位化得
1 1,0,0T
2
1 0,1,1T
2
3
1 0,1,1T
2
令正交矩阵C
1
C 0
0 1
0 1
0
则正交变换为X=CY
2 2
1 2
1 2
故结论成立. 定理：对n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵C，使
1
CT
AC
C 1 AC
2
成立.
n
证明：（利用数学归纳法+标准正交向量组的性质）
详见课本179-180证明过程。
注：实对称阵一定有n个标准正交的特征向量。
上述定理的等价描述：
定理（主轴定理）：实二次型 f X T AX 必可由正交
0 2 λ-1 2 0 0 0 λ+1
11
1
1 2 0 1 2
0 2 1
(1 )2 (2 2 3) (1 )2 ( 3)( 1) 0
得A的特征值 1 3,2,3,4 1
3）当 3 时，特征向量为 1 1,1,1,1T
对其单位化
1
1 2
1, 1, 1,1T
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤(精)课件
二次型在物理学中有广泛应用 ，如描述物体运动轨迹、弹性 形变等。
在经济学中，二次型可以用来 描述成本、收益等函数关系， 帮助企业制定最优策略。
在化学和生物学中，二次型也 被用来描述分子结构和生物模 型等。
如何进一步优化正交变换的方法
寻找更高效的算法
01
针对大规模数据集，需要寻找更高效的算法来加速正交变换过
VS
计算出矩阵$A$的特征值 $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n$和对应的特征向量$q_1, q_2, ldots, q_n$。
构造正交矩阵
根据特征向量构造正交矩阵$Q = [q_1, q_2, ldots, q_n]$，满足$QQ^T = I$。
正交矩阵的列向量是特征向量，且各列向量之间相互 正交。
02
正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵。
03 正交矩阵的各列向量是单位向量，且两两正交。
正交矩阵的判定
01
实对称矩阵是正交矩阵的充分必要条件。
02
若存在一个正交矩阵P，使得$A=P^TAP$，则A是 实对称矩阵。
03
若A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵P，使得 $A=P^TAP$。
用正交变换化二次
03
实例分析
04
实例一：具体的二次型和正交矩阵
具体展示
选取具体的二次型，例如 $f = x_1^2 + 2x_2^2 3x_3^2 + 4x_1x_2 4x_1x_3 + 4x_2x_3$。
构造相应的正交矩阵，例如 $Q = begin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} & 0 frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$。
化二次型为标准型的方法总结
化二次型为标准型的方法总结
线性代数考研中的两道大题是线性方程组，二次型和相似轮流来的。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。
用正交变换化二次型为标准型的解题步骤为：
（1）把二次型表示成矩阵形式；
（2）求矩阵A的特征值及对应的特征向量；
（3）对重根对应的特征向量作施密特正交化；
（4）全体特征向量单位化；
（5）将正交单位特征向量合并成正交矩阵；
（6）令x=Qy。
正交变换和配方法正交变换：求出A的所有特征值和特征向量将特征向量单位正交化由这些特征向量组成的矩阵Q就可以将A对角化，二次型就化为标准型了配方法：就按照完全平方公式配方。
但结果不一定能正交（保持图形不变）。
二次型化成标准型的方法是正交变换和配方法正交变换，二次型（quadratic form）是指n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多
项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。
在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
将二次型化为标准型有利于我们了解二次型的简单形式、二次型的各种参数如正负惯性指数、得到二次型的规范形、对称矩阵合同的简单形等等。
另外，化标准形也是解析几何化简二次曲线和二次曲面的需要。
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中一个重要的概念，涉及到矩阵的变换和对称矩阵的特征分解。
在实际问题中，我们经常需要将二次型化为标准形来进行进一步的分析和求解。
本文将比较几种常见的方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握化二次型为标准形的过程。
一、使用正交变换一种常见的方法是利用正交变换将二次型化为标准形。
正交变换是指线性变换保持向量的长度和直角的性质，可以用正交矩阵来表示。
对于一个n阶实对称矩阵A，可以找到一个n阶正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵。
这个对角矩阵的对角线上的元素就是二次型的所有特征值，而P的列向量就是A的所有特征向量。
通过正交变换，可以将二次型A(x)化为标准形：A(x) = x^T Ax = (Px)^T (Px)这个过程是通过矩阵P的特征分解来实现的，可以利用各种线性代数工具和软件来进行计算和求解。
这种方法的优点是可以准确地求得二次型的特征值和特征向量，较为直观和简单，但是需要进行矩阵的特征分解和计算，对于大规模的问题可能比较耗时和复杂。
二、使用配方法另一种常见的方法是使用配方法将二次型化为标准形。
配方法是通过添加和减去一些适当的常数项，将二次型化为平方的和的形式。
具体来说，对于一个n元二次型：A(x) = a_11x_1^2 + a_22x_2^2 + ... + a_nnx_n^2 + 2a_12x_1x_2 + ... + 2a_n-1n x_n-1x_n可以通过一系列的配方法将它化为标准形：A(x) = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + ... + k_ny_n^2其中y_i = x_i + b_i，k_i和b_i是适当的常数。
这个过程可以通过利用二次型的配方法来实现，通过选取适当的参数k_i和b_i，将二次型化为标准形。
这种方法的优点是较为直接和可控，可以使用一些简单的代数技巧和变换来进行求解，适用于规模较小的问题。
但是在具体的应用中需要一定的经验和技巧，需要根据具体的二次型来选择合适的配方法。
6-1.4(用正交变换化二次型为标准形)
2 2
2 4
4 2
1 2 2
| I A | 2 2 4 ( 2)2( 7)
2 4 2
特征值：1= 2（二重特征值），2 = -7.
求1= 2 的特征向量：
1 2 2 1 2 2
1I
A
2 2
故正交变换为
1
x x x
1 2 3
6 1
6 2
6
1 1
2 1 2
0
3 1Leabharlann 3 1y1 y2 y3
,
3
化二次型为
f
4
y
2 2
9
y
2 3
.
p1
1 2
,
p2
10 ,
p3
11 .
将其单位化得
1 6
q1
1 2
6 , 6
1 2 q2 1 2 , 0
1 3
q3 1 3 . 1 3
3
0
5 35
2 3
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T
则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 -7 y32
练习 用正交变换，将二次型
f ( x1, x2, x3) 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3
正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法化二次型为标准型技巧正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法是一种有效的数学方法，它可以将一般形式的二次型变换为标准型。
通常，将一般形式的二次型变换为标准型，有助于求解二次型问题。
怎样将一般形式的二次型变换为标准型呢？将正交变换法化二次型为标准型的
技巧可以概括为两个步骤：第一步是要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型；第二步是要把这一标准型变换过程中的参数化为正交变换的取值。
具体而言，要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型，首先要取f(x, y) = ax + by + c为原来型式中参数系数，把x', y'取为标准型形式中系数，把r, a, b取为原来型式中系数，把A, B, C取为标准型形式中的系数，这样原来的不
规则二次型就被转变成标准型。
然后，我们可以把此标准型变换之后的参数量化为正交变换系数，即：A = ax + by + c, B = ay - bx + c, C = -(ax - by + c), D = -axy + bx^2 + cx。
通
过将原来的不规则二次型参数转换成正交变换参数，就可以把任意二次型变换为标准型。
经过上述两步，正交变换法可以有效地将一般形式的二次型变换为标准型形式，其精准性和有效性在求解二次型问题上非常有用。
用正交变换化二次型为标准形
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
此时，容易看出 f 2 表示椭球面。
五、小结
1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．
6.2 正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理
二、正（负）定二次型的概念
三、正（负）定二次型 的判别 四、小节、思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的， 但标准形中所含有的项数是确定的， 项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
通过正交变换 x Py , 化成标准形，并问 f 2表示 什么曲面？
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 17 2 2 2 A I 2 14 4 18 9
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
说明
只有实对称矩阵，才能 考虑其正定性.
例1
2
试问k 取何值时,
2 2 2 2 2
f x1 4 x1 x2 2 x2 4 x1 x3 2 x3 8 x2 x3 k ( x1 x2 x3 )
为正定二次型. 解 二次型 q x1 4 x1 x2 2 x2 4 x1 x3 2 x3 8 x2 x3 1 2 2 A 2 2 4 4 2 2 令 A I 0，可求出三个特征值为 2， 2， 7，
用正交变换化下列二次型为标准型
用正交变换化下列二次型为标准型正交变换是线性代数中的一个重要概念，它可以将一个二次型转化为标准型，从而简化问题的求解。
在本文中，我们将讨论如何利用正交变换将下列二次型化为标准型。
给定二次型。
\[f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_1x_2 4x_1x_3 6x_2x_3\]我们首先需要构造二次型的矩阵表示。
根据二次型的定义，我们可以得到该二次型对应的矩阵为。
\[A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & -3 \\ -2 & -3 & 4 \end{bmatrix}\]我们的目标是通过正交变换将矩阵A对角化，即找到一个正交矩阵P，使得\[P^TAP = \Lambda\]其中Λ是一个对角矩阵。
我们首先需要求解矩阵A的特征值和特征向量。
通过求解矩阵A的特征方程\(\det(A \lambda I) = 0\)，我们可以得到特征值为\(\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 5\)。
接下来，我们求解每个特征值对应的特征向量。
对于特征值\(\lambda_1 = 1\)，我们需要求解方程组\((A \lambda_1 I)x = 0\)，其中I是单位矩阵。
解得特征向量为\[v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]对于特征值\(\lambda_2 = 3\)，我们求解方程组\((A \lambda_2 I)x = 0\)，解得特征向量为\[v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]对于特征值\(\lambda_3 = 5\)，我们求解方程组\((A \lambda_3 I)x = 0\)，解得特征向量为\[v_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]现在我们可以构造正交矩阵P，其列向量为单位化的特征向量。
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寻求可逆矩阵C使得： CT AC
为对角阵。这个问题称为把对 称阵A合同对角化
由上节定理5。8知，任给对
称阵A总有正交阵P，使 f
n
aij xi x j ( aij
i , j 1
a ji )
P-1AP=PTAP=
。把此结论应用于二次型，即有
定理5.9 任给二次型 f (x) xT Ax(AT A)
（2）.寻找正交矩阵P，
1
P1
AP
P'
AP
n
；
（3）.则正交变换 x Py
。
使 f 1 y12 2 y22 n yn2
例5.5.1 求一个正交变换x Py
把二次型 f 2x1x2 2x1x3 2x2 x3
化为标准形。 解： 二次型的矩阵为
0 1 1 A 1 0 1
1 1 0
这与例5.4.1所给矩阵相同。按例 5.4.1的结果，有正交阵
1 3
1 2
1
6
P
1 3
1 2
1
6
使
1 3
0
2 6
2 0 0
PT
AP
0
1 0
0 0 1
，
于是有正交变换
x1 x2 x3
1 3 1 3 1
3
1 2
1 2
0
1 6 1 6 2
y1 y2 y3
6
，
把二次型f化成标准形
f 2 y12 y22 y32
如果要把二次型化成规范形只需令：
y1
y2
1 2 z2
z1
y3
z3
则得f的规范形为：
f z12 z22 z32
例5.5.2 用正交变换将二次型
f ( x1, x2 , x3 ) 2x1x2 2x2 x3 2x1x3 化为标准形．若设 f (x1, x2 , x3 ) 1 ，问该曲面为何种类型的曲面.
解： 二次型的矩阵为
0 1 1
A
1
0
1
1 1 0
1 1 A I 1 1 ( 1)2( 2)
1 1
得A的特征值为： 1,2 1, 3 2 当 1 2 1 求解 ( A I )x 0 ，得两个线性无关的特征向量为
x1 (1, 0,1)T , x2 (1, 2,1)T
用正交变换化二次型为标准型
2.把二次型化标准型的根据与步骤：
要使二次型经可逆线性变换变成 标准形，这就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y32 kn yn2
k1
( y1, y2 ,
,
yn
)
k2
y1
y2
kn
yn
也就是要使 CT AC 成为对角阵。
因此，上述等价的问题就是：对于对称阵A
x Cy 正交变换为
x1
1 2
y1
1 6
y2
1 3
y3 ,
C
(1,2 ,3 )
x2
2 6
y2
1 3
y3 ,
1
1
1
x3
2 y1
6 y2
3 y3.
化f为标准形 f y12 y22 2 y32
显然，由解析几何知道，这是 一个单叶双曲面方程。
注:如果要画出上述曲面的几何 图形，则要求出相应的坐标旋 转变换，请参考有关空间解析 几何关于坐标轴旋转的有关结 论。
总有正交变换x Py 使之化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2
其中 1, 2, , n 是f的矩阵A的特征值
推论 任给n元二次型 f (x) xT Ax( AT A)
总有正交变换 x Cz 使 f (Cz为) 规范形。
用正交变换化二次型为标准形的步骤为：
（1）.写出f对应的实对称矩阵A
因为它们已正交，故只需单位化为
1
1 2
(1, 0,1)T
,2
1 (1, 2,1)T 6
。
当 3 2 求解 (A 2I )x 0
得一个解 x3 (1, 1,1)T 单位化得
3
1 (1, 1,1)T 3
所求正交矩阵
1
2
C
(1 , 2
,3)
0
1
2
1 1
6
3
2 1
6
3
1 1
6 3