浙江省浙东北联盟(ZDB)2019-2020高一下学期期中数学试题(wd无答案)
浙江省2020学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)
，为了获得函数
的图象，只需将
的图象
（
）
A.
向左平移
个单位长度
B.向右平移
个单位长度
C.向左平移
个单位长度
D.向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】
【剖析】
由题意联合函数的分析式可得函数图像的平移变换方法
.
【详解】注意到
，
故获得函数
的图象，只需将
的图象向右平移
个单位长度.
应选：D.
【点睛】此题主要考察三角函数的平移变换，属于基础题.
角用已知角配凑成β=（α+β）﹣α，是解题的重点，属于较难题．
17.若两个非零向量，知足，则向量与的夹角余弦值为_______.
- 8 -
【答案】
【分析】
【剖析】
由题意联合平行四边形的性质和向量的夹角公式整理计算可得两向量夹角的余弦值.
【详解】不如设，则，，
由平行四边形的性质有：，
即：.
据此可得：，
余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
-12-
sinα、cos（α+β）
值，再利用两角和差
正弦公式求
得β＝
[（α+β）﹣α]的值．
【详解】∵α、β
为锐角，cosα
，∴sinα
，
sin（α+β）
sinα，∴α+β为钝角，
【
，
∴cos（α+β）
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
?
?
．
故答案为.
2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在等比数列中，若，，则的值为（）A. B. ___________________________________ C.D.2. 在中，已知，则等于（）A． B. _________________________________ C.D.3. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则实数的值是（）A. _______________________B. ____________________________C.或____________________________ D. 或4. 在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（）A. ________________________B. ______________________C.______________________ D.5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A．____________________ B. ______________ C.___________ D.6. 若，则一定有（）A. _________________________________B.____________________________ C．______________________________ D.7. 直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（）A. ___________________________________B._________________________________ C. ______________________________ D.8. 已知是上的奇函数,数列满足,则数列的通项公式为（）A. ________________________B. ________________________C.________________________ D.二、填空题9. 已知直线，直线；若直线的倾斜角为，则______________ ，若，则______________ .10. 若规定，则______________ ，不等式的解集为______________ .11. 已知数列是等比数列，是其前项的和，若，，则___________ ，______________ .12. 在中，内角的对边分别为，已知， ,，则______________ ，边______________ .13. 若是等差数列的前项和，且，则______________ .14. 在中，内角的对边分别为，已知，则角______________ .15. 设数列满足：，则的前项的和为______________ .三、解答题16. 已知直线 .（Ⅰ ）证明：直线过定点；（Ⅱ ）若直线与直线平行，求的值并求此时两直线间的距离.17. 在中内角的对边分别为，已知．（Ⅰ ）求角的大小；（Ⅱ ）求的取值范围．18. 已知等差数列的前项和为，，，是递减的等比数列，且， .（Ⅰ ）求，；（Ⅱ ）求数列的前项和 .19. 已知不等式 .（Ⅰ ）若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ ）若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.20. 已知数列的前项和为，且，数列满足.（Ⅰ ）求数列、的通项公式；（Ⅱ ）数列满足，记，求使恒成立的实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
浙江省浙东北联盟(ZDB)2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
浙东北联盟（ZDB ）2020-2021学年第二学期期中考试高一数学试卷总分150分 考试时间120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，复数2)i 1(-等于 A.i 22+B.i 22-C.i 2D.i 2-2.如图，在ABC ∆中，4,25BC AB AC ===，若ABC ∆的水平放置直观图为'''A B C ∆ ，则'''A B C ∆的面积为A.2B.22C.32D.423.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长为 A.1 B.32C.2D.4 4.已知向量(4,2)a =，(0,5)b =，则向量b 在向量a 上的投影向量为 A.(2,1) B.(2,1)-- C.2010(,)99D ．(6,3) 5.已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若222sin sin sin 2sin sin 0A B C B C --+=，则角A 的大小为 A.4π B.3π C.2π D.34π 6.已知复数z 的共轭复数是z ，满足(13i)2z +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为第2题图A.3i 2-B.3i 2C.32-D.327.在平行四边形ABCD 中，点E 在线段DC 上，且2=DE EC ，BE 与AC 的交点为F ，则向量DF 等于 A.1233DC DA - B.2133DC DA + C.3255DC DA + D.2355DC DA -8.如图，在四边形ABCD 中，3,23BC CD DA ===，0CB CD ⋅=，6CD DA ⋅=，,E F 分别为边,BC CD 上的动点，且2EF =，则AE AF ⋅的最小值为A.4B.5C.24D.25第8题图二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9.在复平面内有一个平行四边形OABC ，点O 为坐标原点，点A 对应的复数为11i z =+，点B 对应的复数为212i z =+，点C 对应的复数为3z ，则下列结论正确的是 A.点C 位于第二象限 B.132z z z += C.13z z AC -= D.132z z z ⋅= 10.已知向量(1,1)a =-，(2,)b λ=，则下列叙述不正确．．．的是 A.若a 与b 的夹角为锐角，则2λ> B.若a 与b 共线，则2λ=C.若2λ=，则a 与b 垂直D.若2λ<，则a 与b 的夹角为钝角11.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若3a =，且sin sin()2sin 20A B C C +--=，则边c 的大小可能是A.1B.2C.3D.412.已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是 A.该多面体的体积为823B.该多面体的外接球的表面积为8πC.该多面体的内切球的体积为86π D.该多面体的表面积为8第12题图三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则这个圆柱的体积为 ． 14.复数43i +与2i -分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为 ． 15.在ABC ∆中，5AB =，12AC =，5cos 13ABC ∠=，12cos 13ACB ∠=，则BC 的值为 ．16.已知,a b 是两个平面向量，22b =，且对任意t R ∈，恒有b ta b a -≥-，则a b a -+的最大值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题10分）已知向量(2,2)a =，2b =，且(2)8a b b +⋅=．（1）设向量a 与b 的夹角为θ，求θ的值； （2）若()()a kb b a +⊥-，求实数k 的值．18.（本题12分）已知复数12i z c =+，复数21i z d =+，其中i 是虚数单位，,c d R ∈． （1）若2c =，1d =，求122z z -的值；（2）若2212z z =，求22c d +的值．19.（本题12分）如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，15,5,4AD AB AA ===，1DG BE ==，2CF =．（1）求平面四边形AEFG 的面积； （2）求几何体ABCDEFG 的体积．第19题图20.（本题12分）如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为ABC ∆），现修成草坪，图中MN 把草坪分成面积相等的两部分，点M 在AB 上，点N 在AC 上． （1）若75AM =米，求AN 长；（2）如果MN 是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN 最短，请确定点,M N 的位置，并求MN 的最小值．第20题图21.（本题12分）如图，在ABC ∆中，已知4,5==AC AB 且，16=⋅AC AB ，02=+DB DC ，EB AE =.（1）求AC AD ⋅；（2）设AD 与CE 交于点F ，求DFE ∠的余弦值大小.第21题图22.（本题12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知2sin cos sin A B C =，且边BC 上的中线长为4． （1）证明：A B =；（2）求ABC ∆面积的最大值．浙东北联盟（ZDB ）2020-2021学年第二学期期中考试高一数学答案一、选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.D7.C8.C9.BC 10.BD 11.ABD 12.AB二、填空题（每小题5分，共20分）13．2π 14．24i + 15．13 16．4 三、解答题（共70分）17.（本题10分）已知向量(2,2)a =，2b =，且(2)8a b b +⋅=． （1）设向量a 与b 的夹角为θ，求θ的值； （2）若()()a kb b a +⊥-，求实数k 的值． 解：（1）(2)8a b b +⋅=，228a b b ∴⋅+=，又2b =，2a b ∴⋅=，(2,2)a =，2a ∴=，1cos 2a b a bθ⋅∴==，[0,]θπ∈，3πθ∴=. .........5分 （2）()()a kb b a +⊥-，()()0a kb b a ∴+⋅-=，22(1)0a kb k a b ∴-++-⋅=，1k ∴=. .........10分18.（本题12分）已知复数12i z c =+，复数21i z d =+，其中i 是虚数单位，,c d R ∈． （1）若2c =，1d =，求122z z -的值；（2）若2212z z =，求22c d +的值． 解：（1）1222,1z i z i =+=+，12233z z i ∴-=+，12232z z ∴-=.........6分（2）2212z z =，22(4)4(1)2c ci d di ∴-+=-+224142c d c d⎧-=-∴⎨=⎩，225c d ∴+=. .........12分19.（本题12分）如图，在长方体1111-ABCD A B C D 中，15,5,4AD AB AA ===，1DG BE ==，2CF =．（1）求平面四边形AEFG 的面积； （2）求几何体ABCDEFG 的体积．第19题图解：（1）由已知得四边形AEFG 是菱形，边长为26， 52EG =,36AF =, 所以四边形AEFG 的面积11S=5236=15322AF EG ⋅=⨯⨯. .........6分（2）连接,AC AF ,则=+A CDGF A BCFE V V V --11=+33CDGF BCFE S AD S AB ⋅⋅四边形四边形 由已知得115(12)522CDGF BCFE S S ==⨯+⨯=四边形四边形,5AD AB ==,所以1115=52=2532V ⨯⨯⨯. .........12分20.（本题12分）如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地（记为ABC ∆），现修成草坪，图中MN 把草坪分成面积相等的两部分，点M 在AB 上，点N 在AC 上． （1）若75AM =米，求AN 长；（2）如果MN 是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN 最短，请确定点,M N 的位置，并求MN 的最小值．第20题图解：（1）12AMN ABC S S ∆∆=，5000AM AN ∴⋅=，75AM =，5000200753AN ∴==米 .........6分 （2）在AMN ∆中，由余弦定理得：2222MN AM AN AM AN COS MAN =+-⋅⋅∠，即22225000MN AM AN AM AN AM AN AM AN AM AN =+-⋅≥⋅-⋅=⋅=， 当且仅当502AM AN ==米时，MN 的最小值为502米. .........12分 21.（本题12分）如图，在ABC ∆中，已知4,5==AC AB 且，16=⋅AC AB ，02=+DB DC ，EB AE =.（1）求AC AD ⋅；（2）设AD 与CE 交于点F ，求DFE ∠的余弦值大小.解：（1）因为AC AB CB -=， 所以AC AC AC AB AC AC AB AC CB ⋅-⋅=⋅-=⋅)(01616=-所以⊥因为2=+，所以CB AC CD AC AD 31+=+=所以1631)31(22==⋅+=⋅+=⋅AC AC CB AC AC CB AC AC AD . .........5分（2）因为=，所以2121+=，而31+-=所以)31(2121(+-⋅+=⋅）213612122-=+-=所以8517131725213cos -=⋅-=⋅=∠AD CE DFE ． .........12分 22.（本题12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知2sin cos sin A B C =，且边BC 上的中线长为4． (1)证明：A B =；(2)求ABC ∆面积的最大值． 证明：（1） A B C ++=π，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B ∴=+=+, 2sin cos =sin cos cos sin A B A B A B ∴+,sin()=0A B ∴-,又(0,)A B ∈，π，所以A B =. .........5分 (2)由(1) 得A B =，所以2cos c a A =，及2216()2cos 22a ac c A =+-⋅，解得226418cos a A=+．所以ABC ∆的面积22164sin cos sin 2sin 9cos A AS ac A A A==+，由基本不等式得323S ≤，当且仅当sin 3cos A A =时，等号成立． 所以ABC ∆面积的最大值为323． .........12分 本题方法较多，其它方法同步给分。
浙江省宁波市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷D卷
浙江省宁波市2019-2020学年高一下学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高一下·和平期末) 若事件A与B是互为对立事件，且P(A)=0.4，则P(B)=（）A . 0B . 0.4C . 0.6D . 12. （2分） (2019高二下·宁德期末) 某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·乌兰察布期末) 若cosθ＜0，且tanθ= ，那么θ 是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角4. （2分）要从已编号（1～50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射的试验，用选取的豪迈间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（）A . 5，10，15，20，25B . 3，13，23，33，43C . 1，2，3，4，5D . 2，4，8，16，325. （2分） (2017高二下·淄川期中) 张家的3个鸡仔钻进了李家装有3个鸡仔的鸡笼里，现打开笼门，让鸡仔一个一个地走出来，若第一个走出来的是张家的鸡仔，那么第二个走出的也是张家的鸡仔的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一上·南开期末) 与α= +2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A . 345°B . 375°C . ﹣πD . π7. （2分）以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则的值分别为（）A . 5，2B . 5，5C . 8，5D . 8，88. （2分） (2017高二上·荆门期末) 已知等边△ABC的边长为2 ，动点P、M满足| |=1，，则| |2的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分）直线：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是（）．A . 相切B . 相离C . 直线过圆心D . 相交但直线不过圆心10. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)11. （1分） (2016高一下·姜堰期中) 圆（x﹣1）2+y2=9的半径为________．12. （1分）(2017·湖南模拟) 若a和b是计算机在区间（0，3）上产生的随机数，那么函数f（x）=lg（ax2+4x+4b）的值域为R的概率为________．13. （3分） (2017高一下·宿州期末) 为响应国家治理环境污染的号召，增强学生的环保意识，宿州市某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了l00学生的成绩进行统计，成绩频率分布直方图如图所示．估计这次测试中成绩的众数为________；平均数为________；中位数为________．（各组平均数取中值计算，保留整数）14. （1分）(2017·扬州模拟) 在区间（0，5）内任取一个实数m，则满足3＜m＜4的概率为________．三、解答题 (共4题；共30分)15. （15分）(2017·吕梁模拟) 某校某次N名学生的学科能力测评成绩（满分120分）的频率分布直方图如下，已知分数在100﹣110的学生数有21人（1）求总人数N和分数在110﹣115分的人数n．；（2）现准备从分数在110﹣115的n名学生（女生占）中选3位分配给A老师进行指导，设随机变量ξ表示选出的3位学生中女生的人数，求ξ的分布列与数学期望Eξ；（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导建议，对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析，该生7次考试成绩如表数学（x）888311792108100112物理（y）949110896104101106已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求出y关于x的线性回归方程 = x+ ．若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = ，．16. （5分）某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的学生人数为6．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩≥70”的概率．17. （5分）一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的左岸．只有一条小船和两个小孩，这条船只能承载两个小孩或一个士兵．试设计一个算法，将这队士兵渡到对岸，并将这个算法用程序框图表示．18. （5分） (2016高二上·唐山期中) 已知圆心在y轴上的圆C经过点A（1，2）和点B（0，3）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l在两坐标轴上的截距相等，且被圆C截得的弦长为，求l的方程．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共30分) 15-1、15-2、15-3、16-1、17-1、18-1、。
2019-2020浙江省浙东北联盟(ZDB)高一上学期期中考试数学试卷及答案
（3）函数 f x 在区间3, 1 上单调递减，
所以
f
x
max
f
3 4 ，
f
x
min
f
1
1 2
.
21、解：（1）因为 a
0
，所以
f
x
log 1
2
3x
1
，定义域为
1 3
,
,
记
t
3x
1 ，在
1 3
,
上单调递增,
f x log1 t 在 0，+ 上单调递减.
2
所以
f
x
log 1
2
3x
f
x1
f
x2
1 2
x12
2 x1 1
1 2
x22
2 x2 1
x1
x2
1 2
x1
x2
x1
2
1 x2
1
，
因为 x1 x2 0 ， x1 x2 4 ， x1 1 x2 1 1 ，
所以
1 2
x1
x2
2
x1 1 x2
1
0 ，所以
f
x1
f
x2 ，
即函数 f x 在区间 1, 上是增函数.
（2）若 C ，求 a 的取值范围．
19．化简或求值：
（Ⅰ）
a3 3 a
1 4 1
a0
；
a2 a 3
（Ⅱ）
2
83
1
64 2
1 2
3
16
3 4
81
；
（Ⅲ）
lg
8
lg125
log0.5
1 4
浙江省浙东北联盟(ZDB)四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)
浙东北联盟（ZDB ）四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷总分150分 考试时间120分钟选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知向量，则与向量反向的单位向量的坐标为（ ）A B. C. D. 2. 设l ，m ，n 是不同的直线，m ，n 在平面内，则“且”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知一个正方体外接球的体积为，则这个正方体的体积为（ ）A 3 B. C. D. 84.，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，点E ，F ，G ，H 分别是棱，，，的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为（ ）A. B.C. D. 6. 若两个非零向量与满足，则向量与夹角为（ ）A. B. C. D. .的.的()5,12a = a 512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭512,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭125,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭512,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭αl m ⊥l n ⊥l α⊥92π2783a b ⋅=- b a a -r 13a b - 13b r 1111ABCD A B C D -11B C 1C C 1B B AB π6π4π3π2a b 2a b a b b +=-= a b + a b - π6π32π35π67. 已知某圆台的上、下底面半径分别为、，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）A. B. C. D. 8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和都是正三角形，，，且B ，A ，D 三点共线，设点P 是内的任意一点，则的最小值为（ ）A 5 B. C.D. 二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（ ）A. B. C. D. 10. 在中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，，若有且仅有一个解，则的可能取值有（ ）A. 0B.C.D. 11. 如图，正方体的棱长为2，是线段的中点，是线段的中点，是线段上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）.1r 2r 213r r =13π920π926π926π323π23πABC V ADE V 4AB =2AE =ACE △PA PC PE ++{}12e e ，{}1212ee e e +-，{}1221e e e e -- ，{}21122364e e e e -- ，1212133e e e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ ，ABC V π4A =b =ABC Vc a -4-321111ABCD A B C D -E 11B C F 1CC P 1A DA.B. 可能是直角C. 三棱锥的体积为定值D. 的周长的最小值为非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 水平放置的斜二测直观图为，已知，，则的面积为______.13. 已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为______.14. 已知向量，，满足，，，，则的取值范围为______.四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知向量，，.（1）求满足的实数x ，y 的值；（2）若，求实数x 的值.16. 如图，在直三棱柱中，，、分别是BC 、的中点，.（1）证明：平面；1C P 1B PC ∠A PEF -PEF !ABC V A B C '''V 2A B B C ''''==60A B C '''∠=︒ABC V a b c 4a = 2b = ,3a b π= ()()20a c b c -⋅-= a c ⋅ (),1a x = ()2,3b =-r ()6,1c =- 2c a yb =+ ()4//a c b + 111ABC A B C -12AA AB AC ===M N 1CC 1AB MN ⊥MN ⊥1AB M（2）求点到平面的距离.17. 某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：米，米，.（1）求的值；（2）若点分别为边上的点，且米，米，又点在以C 为圆心，为半径的圆弧上（内部），准备将四边形区域种植郁金香.设，求四边形的面积关于的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）18. 如图在直角梯形中，，，点E 为CD 的中点，以A 为圆心AD 为半径作圆交AB 于点G ，点P 为劣弧DG （包含D ，G 两点）上的一点，AC 与劣弧、BE 分别交于点F ，H .（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量，求实数x ，y 的值；（3）若向量与的夹角为，求的最小值.19. 如图在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点E 为AD中点，1C 1AB M 100AB AD ==160BC =2120BAD BCD ∠∠==︒cos BDC ∠,E F ,BC CD 80CE =60CF =I CF FG BCD △CEIF ECI ∠θ=CEIF θABCD 2BC AD =2BC CD ==AF BE αBH xBD y AC =+ BP CP βcos βP ABCD -ABCD PA PD ⊥44AD AB ==2PA=PC =（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）点F 为对角线AC 上的点，且，垂足为G ，求FG 与平面ABCD 所成的最大角的正弦值.PAD ⊥ABCD B PC E --FG PB ⊥浙东北联盟（ZDB）四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ACD非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1），（2）【16题答案】【答案】（1）证明略；（2【17题答案】【答案】（1）（2），其中为锐角且，最大值为【18题答案】【答案】（1（2）， （3）0【19题答案】【答案】（1）证明略（2） []420，2x =1y =-2x =-35()S θϕ=+ϕtan ϕ=23x =415y =58（3。
浙江省浙东北联盟(ZDB)2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(含答案解析)
浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）1 设集合，，则（）A. {3}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {0,1,3}【答案解析】 A【分析】根据集合交集的定义，即可求出答案.【详解】因为，所以故选：A.2 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案解析】 D【分析】根据对数函数的真数大于0,即可解出其定义域.【详解】故选:D.3 下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案解析】 D【分析】根据初等函数的性质，分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同，对每个选项逐一判断即可.【详解】对于A，函数，所以两个函数的对应法则不相同，故A错误；对于B，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故B错误；对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故C错误；对于D，函数的定义域为，的定义域为，，两个函数的定义域和对应法则相同，故选D．4 已知，，，则（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】根据对数函数的单调性，可知道、，有指数函数的单调性知道，即可选出答案.【详解】因为为增函数，所以.因为增函数，所以.因为为增函数，所以.所以.故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数与对数函数的单调性比较大小，属于基础题.解此类题型一般都只需将所给数与0或1比较大小，即可得出结论.5 函数的图像为（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】根据函数的定义域为可排除B、D.再由单调性即可选出答案.【详解】当时，，故排除B、D.当时，，故A正确.故选：A.6 若函数的定义域为[－2,4]，则的定义域是（）A. [－1,1]B. [－5,13]C. [－5,1]D. [－1,13]【答案解析】 B【分析】根据函数中，即可得出，即可选出答案.【详解】因为函数的定义域为，即所以所以的定义域是故选:B.【点睛】本题考查隐函数的定义域，属于基础题.解本题的关键在于正确理解函数的定义域是的取值范围与同一个函数其括号里面的取值范围一样.7 函数的值域为（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】先求出，即可根据指数函数的性质求出的值域.【详解】令，则.，因为所以，所以故选:C.【点睛】本题考查简单复合函数的值域，属于基础题.解决本类问题的思路是先找到内层函数的取值范围，再由外层函数的单调性求出该函数的值域.8 设函数，若，则（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】根据，即可化简出，再代入,即可得出答案. 【详解】由题意知：.所以.故选:C.【点睛】本题考查函数对称点的函数值，属于基础题,解本类题只需将已知函数值代入，化简为所求函数值的形式，即可解出答案.9 已知，函数，若，则下列不等式不可能成立的是（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】由知函数为二次函数，且对称轴为,分别讨论开口方向，即可选出答案.【详解】因为.所以函数关于对称.即.选项中不等式不可能成立的，则只需找到与，都不能成立的选项.①若，则函数在上单调递减，在上单调递增. 又，故,A正确.因为，所以，又即，B正确.,即，D 错误.因为，故,C错误.②若，则函数在上单调递增，在上单调递减. 又，故,A错误.因为，所以，又即，B错误.又,即，D正确.因为，故,C错误.综上所述：不管还是，C都不可能成立.故选：C.【点睛】本题考查根据二次函数的对称性与单调性比较大小,属于中档题.解本题的关键在于找到二次函数的对称轴与开口方向.10 已知函数，，则方程的实根个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案解析】 C【分析】解,即解.再分与，分别找到函数与在区间、、上的单调性，则可找到方程的实数根的个数.【详解】1），,.①当时，.即在上有1个零点.②当时，，记，因为在上单调递增，在单调递增，所以在单调递增,又，，由零点存在定理知道在上有唯一零点.③当时，，记,,记，开口向下，且，即恒成立,即，即在上单调递减,又，即在上存在且有唯一零点.2），,.①当时，无解.即在上无零点.②当时，，记，因为在上单调递增，在单调递增，所以在单调递增,又，，由零点存在定理知道在上无零点.③当时，，记,,记，开口向下，且，即恒成立,即，即在上单调递减,又，即在上存在且有唯一零点.综上所述：方程的实根个数为4个.故选:C.【点睛】本题考查分段函数的零点个数,属于难题,解本题的关键在于将绝对值等式解开后，根据分段函数的性质，在各段上求出其零点个数，再加起来即为答案.11 用符号“”或“”填空：若，则4______ A，{2,6}______ A．【答案解析】 ;【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，即可写出答案.【详解】因为，所以，故答案为： ;12 已知幂函数的图像过点，则这个函数的解析式为___________，若，则a的值为___________．【答案解析】; 4【分析】设出幂函数，代入即可求出,即可求出解析式，再由，即可求出的值.【详解】设函数，则.所以.故答案为：(1). (2). 4.【点睛】本题考查幂函数，属于基础题.幂函数的考查方式相对于其他函数较为单一,只需掌握幂函数简单性质即可.13 已知全集，，，则集合为___________，集合B共有___________个子集．【答案解析】; 4【分析】根据集合的交集、补集定义，即可求出,则可求出其子集个数与.【详解】因为，，所以所以,集合的子集个数为个故答案为：; 4.14 设函数，则___________，不等式的解集是______．【答案解析】 1;【分析】先求出，即，即可得出答案. 要解不等式，只需按与分段解出后再求并集即可.【详解】因为，所以,即.①当时：.②当时：.综上所述：的解集为.故答案为： 1;.【点睛】本题考查分段函数的函数值,解分段函数的不等式,属于基础题.多重函数的求值，只需由内向外依次求出即可,涉及分段函数的等式或者不等式，只需分段解决即可.15 已知是定义在R上的增函数，那么a的取值范围是___________．【答案解析】【分析】根据分段函数在上单调递增，其在各段上单调递增，且界点左边的函数值小于等于右边的函数值，即可列出等式，解出即为答案.【详解】因为是定义在上的增函数.所以故答案为：.16 函数在区间内不单调，则k的取值范围是___________．【答案解析】【分析】根据函数在区间内不单调，可知道在区间内不单调，再由得单调性，即可列出不等式，解出即可.【详解】令，则，因为在区间内不单调，即在区间内不单调，又因为在单调递减,在上单调递增.所以解得故答案为：.【点睛】本题考查复合函数的单调性，绝对值函数的单调区间,属于基础题.解本类题型需正确理解题意，不单调即为既有单增区间也有单减区间.17 若已知函数，，用，表示，中的最小值，设函数，若有两个不同实根，则实数a的值为___________．【答案解析】或-1【分析】讨论函数的对称轴位置，而后再讨论其在的零点的个数，结合的图像，即可得出结论.【详解】函数的对称轴为，.1）若，即时：在上单调递增，即,在上单调递减，,只有一个根 .如图所示:2）若，即时： .①当时，，，,只有一个根 .如图所示:②当时，，，,有两个根、.如图所示:③当时，要使有两个一个根，则必使，解得.综上所述：或.故答案为：或-1.【点睛】本题考查根据函数的零点的个数，求参数的取值.属于难题.讨论过程比较抽象，可画出图像帮助我们分析.解本题还需正确理解取小函数的意义.18 已知集合，，．（1）求A∪B，；（2）若，求a的取值范围．【答案解析】（1），（2）试题分析：（1）集合的并集为两集合所有元素构成的集合，交集为两集合相同的元素构成的集合，A的补集为全集中除去集合A中的元素，剩余的元素构成的集合；（2）由可知两集合有相同的元素，从而得到集合边界值的大小关系，即关于的不等式，求解其范围试题解析：（1）（2）因为，，且所以的取值范围是考点：集合的交并补运算19 化简或求值：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【答案解析】（Ⅰ）1 （Ⅱ）（Ⅲ）2【分析】（Ⅰ）将根式化为指数形式,再利用指数的运算性质，化简得出答案.（Ⅱ）利用指数的运算性质化简，再求和即可得出答案.（Ⅲ）利用对数的运算性质化简，再求和即可得出答案.【详解】（Ⅰ）.（Ⅱ）原式.（Ⅲ）原式.【点睛】本题考查根式化指数式，指数、对数的运算，属于基础题.解本题需熟练掌握根式与指数式的互化，指数与对数的运算性质.20 已知函数．（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）试判断f(x)在区间(2,+∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（3）求函数f(x)在区间[－3,－1]上的最值．【答案解析】（1）非奇非偶函数.（2）增函数；证明见解析（3）见解析.【分析】（1）根据解析式，即可求出的定义域，其不关于原点对称,即可说明为非奇非偶函数.（2）利用单调性的定义：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.（3）由（2）知函数在区间上单调递减，即，，解出即可.【详解】解：（1）的定义域为,不关于原点对称所以函数为非奇非偶函数.（2）任取，且，则，因为，，，所以，所以，即函数在区间上是增函数.（3）函数在区间上单调递减，所以，.【点睛】本题考查函数的奇偶性，利用函数单调性的定义证明单调性,函数在定区间上的值域.属于基础题.其中函数奇偶性的判断：①定义域关于原点对称;②为偶函数，为奇函数.证明函数的单调性步骤为：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.21 已知函数．（1）当，求函数f(x)的单调区间；（2）对于，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案解析】（1）单调减区间，无单调增区间；（2）【分析】（1）先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性，即可的出的单调减区间为，无单调增区间.（2）问题等价于当时，恒成立且恒成立，先解在上恒成立，利用参变分离化简即可求出.根据，函数开口向下,在上要恒大于0,只需，解出再与取交集即可.【详解】解：（1）因为，所以，定义域为,记，在上单调递增, 在上单调递减.所以在上单调递减，所以的单调减区间为，无单调增区间.（2）原问题等价于当时，恒成立且恒成立，恒成立即，因为，.【点睛】本题考查复合函数的单调区间与不等式恒成立问题,属于中档题.解本题需要注意的是：对于，不等式恒成立的等价命题是当时，恒成立且恒成立.其中的这个条件是非常容易忽的.在研究函数的性质时需牢记一点：定义域优先.22 已知函数在区间[－1,2]上是单调函数．（1）求实数m的所有取值组成的集合A；（2）试写出f(x)在区间[－1,2]上的最大值；（3）设，令，若对任意，总有，求a的取值范围．【答案解析】（1）（2）（3）【分析】（1）因为为开口向上的二次函数，故其在对称轴左边单调递减，对称轴右边单调递增. 函数在区间上是单调函数，等价于区间在对称轴的左边或者右边.列出不等式解出即可.（2）讨论在上的单调性，分别求出其最大值,再写成分段函数的形式即可.（3）根据题意写出,对任意，总有等价于且，则分别讨论与的大小关系，找到其对应的与，代入即可解出答案.【详解】解：（1）对称轴.所以或.（2）①当，即时.函数上单调递增.所以.②当，即时.函数在上单调递减.所以.综上所述：.（3）.由题意得，，画出函数的图像：①当时，在单调递减.所以，.代入，解得，舍.②当时，在单调递减，在上单调递增.，.代入，解得，所以，③当时，在单调递减，在上单调递增.，.代入，化简得,解得或，所以.浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（含答案解析）④当时，在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，.代入，解得，所以，⑤当时，在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，.代入，解得，综上所述：.即 .【点睛】本题考查含参二次函数的单调性、在定区间上的最值，含绝对值的不等式恒成立问题.属于难题.解本题的关键在于能够正确画出函数的图像，根据图像确定参数的讨论标准.20。
2020-2021学年浙江省浙东北联盟(ZDB)高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年浙江省浙东北联盟（ZDB ）高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知i 为虚数单位，则(1−i)2的值等于( )A. 2−2iB. 2+2iC. −2iD. 2i2. 如图，在△ABC 中，BC =4，AB =AC =2√5，若△ABC 的水平放置直观图为△A′B′C′，则△A′B′C′的面积为( )A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√23. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面半径为1，则该圆锥的母线长为( )A. 1B. 32C. 2D. 44. 已知向量a ⃗ =(4,2)，b ⃗ =(0,5)，则向量b ⃗ 在向量a⃗ 上的投影向量为( ) A. (2,1) B. (−2,−1)C. (209,109)D. (6,3)5. 已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若sin 2A −sin 2B −sin 2C +√2sinBsinC =0，则角A 的大小为( )A. π4B. π3C. π2D. 3π46. 已知复数z 的共轭复数是z −，满足z(1+√3i)=2(i 为虚数单位)，则z −的虚部为( )A. −√32i B. √32i C. −√32D. √327. 在平行四边形ABCD 中，点E 在线段DC 上，且2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE 与AC 的交点为F ，则向量DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23DA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13DA ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 35DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25DA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 25DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −35DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 如图，在四边形ABCD 中，BC =3，CD =DA =2√3，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =6，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点，且EF =2，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 4B. 5C. 24D. 25二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在复平面内有一个平行四边形OABC ，点O 为坐标原点，点A 对应的复数为z 1=1+i ，点B 对应的复数为z 2=1+2i ，点C 对应的复数为z 3，则下列结论正确的是( )A. 点C 位于第二象限B. z 1+z 3=z 2C. |z 1−z 3|=|AC|D. z 1⋅z 3=z 210. 已知向量a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,λ)，则下列叙述不正确的是( )A. 若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则λ>2B. 若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则λ=2C. 若λ=2，则a ⃗ 与b ⃗ 垂直D. 若λ<2，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角11. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a =√3，且sinA +sin(B −C)−2sin2C =0，则边c 的大小可能是( )A. 1B. 2C. √3D. 412. 已知某多面体的平面展开图如图所示，每个面都是边长为2的正三角形，则下列结论正确的是( )A. 该多面体的体积为8√23B. 该多面体的外接球的表面积为8πC. 该多面体的内切球的体积为8√627πD. 该多面体的表面积为8三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则此圆柱的体积为______ ． 14. 复数4+3i 与2−i 分别表示向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则表示向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的复数为______． 15. 在△ABC 中，AB =5，AC =12，cos∠ABC =513，cos∠ACB =1213，则BC 的值为______． 16. 已知a ⃗ ,b ⃗ 是两个平面向量，|b ⃗ |=2√2，且对任意t ∈R ，恒有|b ⃗ −t a ⃗ |≥|b ⃗ −a ⃗ |，则|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ |的最大值是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗=(√2,√2)，|b⃗ |=2，且(2a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =8．(1)设向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，求θ的值；(2)若(a⃗+k b⃗ )⊥(b⃗ −a⃗ )，求实数k的值．18.已知复数z1=c+2i，复数z2=1+di，其中i是虚数单位，c，d∈R．(1)若c=2，d=1，求|2z1−z2|的值；(2)若z12=z22，求c2+d2的值．19.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=5，AB=5，AA1=4，DG=BE=1，CF=2．(1)求平面四边形AEFG的面积；(2)求几何体ABCDEFG的体积．20. 如图，在公园内有一块边长为100米的等边三角形空地(记为△ABC)，现修成草坪，图中MN 把草坪分成面积相等的两部分，点M 在AB 上，点N 在AC 上． (1)若AM =75米，求AN 长；(2)如果MN 是灌溉水管，为了节约成本，希望灌溉水管MN 最短，请确定点M ，N 的位置，并求MN 的最小值．21. 如图，在△ABC 中，已知AB =5，AC =4且，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =16，2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)设AD 与CE 交于点F ，求∠DFE 的余弦值大小．22. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知2sinAcosB =sinC ，且边BC 上的中线长为4． (1)证明：A =B ； (2)求△ABC 面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：化简可得(1−i)2=1−2i+i2=−2i故选：C．由完全平方公式展开化简可得．本题考查复数的代数形式的运算，属基础题．2.【答案】B【解析】解：在△ABC中，BC=4，AB=AC=2√5，所以底边BC上的高为AO=√(2√5)2−22=4，所以△ABC的面积为S△ABC=12×4×4=8，所以△ABC水平放置的直观图△A′B′C′的面积为S△A′B′C′=√24S△ABC=√24×8=2√2．故选：B．求出△ABC的面积，利用平面图形水平放置的直观图面积与原图形的面积比为√24，计算即可．本题考查了平面图形水平放置的直观图面积与原图形的面积计算问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：圆锥的侧面展开图是个半圆，且半圆的半径是母线长l，半圆的弧长是πl，由圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形弧长，且圆锥的底面半径是r=1，所以2πr=πl，所以该圆锥的母线长为l=2r=2．故选：C．根据圆锥的侧面展开图是半圆，半圆的半径圆锥的母线长，半圆的弧长是圆锥底面的周长，由此求出结果．本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算问题，解题的关键是圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，是基础题．4.【答案】A【解析】解：向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(0,5)，则向量b⃗ 在向量a⃗上的投影为|b⃗ |cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |=√16+4=√5；所以向量b⃗ 在向量a⃗上的投影向量为√5√16+4×(4,2)=(2,1)．故选：A．根据平面向量的投影定义，结合向量的数量积，转化求解的投影和投影向量．本题考查了平面向量的投影和投影向量计算问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：因为sin2A−sin2B−sin2C+√2sinBsinC=0，由正弦定理得，a2−b2−c2+√2bc=0，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =√22，因为A∈(0,π)，所以A=π4．故选：A．由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos A，进而可求A．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：z(1+√3i)=2(i为虚数单位)，∴(1−√3i)z(1+√3i)=2(1−√3i)，化为：4z=2(1−√3i)，∴z=12−√32i，z−=12+√32i，则z −的虚部为√32，故选：D ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：如图所示，因为2DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，所以EC AB =CF AF =23，所以CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以DF ⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=25DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +35DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：C ．由已知可得EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AB//CD ，则可得CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后利用三角形法则即可求解． 本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到平行线段成比例的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设EF 的中点为M ，连接CM ，∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即CE ⊥CF ，∴CM =1．可得M 的轨迹是以C 为圆心，以1为半径的一段圆弧， 连接AC ，AM ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+12=36， ∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6． AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14EF⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1=5， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥25−14×4=24，即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为24． 故选：C ．设EF 的中点为M ，连接CM ，可得CM =1，连接AC ，AM ，由已知求得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，再由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14EF⃗⃗⃗⃗⃗ 2及|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−1=5，即可求得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化、数形结合思想，考查灵活变形及运算求解能力，是中档题．9.【答案】BC【解析】解：如图，由题意，O(0,0)，A(1,1)，B(1,2)， ∵OABC 为平行四边形，则C(0,1)， ∴z 3=i ，点C 位于虚轴上，故A 错误； z 1+z 3=1+i +i =1+2i =z 2，故B 正确； |z 1−z 3|=|1+i −i|=1=|AC|，故C 正确； z 1z 3=(1+i)i =−1+i ≠z 2，故D 错误． 故选：BC ．由题意画出图形，求出C 的坐标，得到z 3，然后逐一分析四个选项得答案． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合思想，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：∵向量a ⃗ =(−1,1)，b ⃗ =(2,λ)，若a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为锐角，则a ⃗ ⋅b ⃗ >0，即−2+λ>0，求得λ>2，故A 正确；若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则2−1=λ1，则λ=−2，故B 错误；若λ=2，∵a⃗⋅b⃗ =−2+λ=0，故a⃗与b⃗ 垂直，故C正确；若λ<2，则a⃗⋅b⃗ =−2+λ<0，则a⃗与b⃗ 的夹角为钝角或平角180°，故D错误，故选：BD．由题意利用两个向量平行、垂直的性质，两个向量的夹角，得出结论．本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的夹角，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：因为sinA+sin(B−C)−2sin2C=0，所以sin(B+C)+sin(B−C)−2sin2C=0，整理得2sinBcosC=4sinCcosC，所以C=90°或sinB=2sinC，当C=90°时，a=√3，c>√3，B，D符合题意；当sinB=2sinC，即b=2c时，对应A：c=1，b=2，a=√3构成直角三角形，符合题意；对应C：a=c=√3，b=2√3构不成三角形，不符合题意．故选：ABD．由已知结合三角形诱导公式及和差角公式进行化简，然后结合选项及三角形两边之和大于第三边分别检验各选项即可判断．本题主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形大边对大角，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：如图所示，该多面体是每个面都是正三角形的正八面体，其中四棱锥P−ABCD和四棱锥Q−ABCD都是正四棱锥，所以四边形ABCD是正方体，且PO⊥平面ABCD，V八面体=2V P−ABCD=2⋅13⋅S ABCD⋅PO=2⋅13⋅2⋅2⋅√22−(√2)2=8√23，故A 正确；连接AB ，CD ，PQ ，三条直线相交于点O ， 因为OA =OB =OC =OD =OP =OQ =√2，所以O 为正八面体的外接球球心，且外接球的半径为√2， 故S 外接球=4π⋅(√2)2=8π.故B 正确；正八面体内切球的半径即点O 到平面ABP 的距离，设为r ， 则V O−ABP =V P−AOB ⇔13⋅√34⋅22⋅r =13⋅12⋅(√2)2⋅√2，解得r =√63，故V 内切球=43π⋅(√63)3=8√627，故C 正确；S 八面体=8S △ABP =8⋅√34⋅22=8√3，故D 错误．故选：ABC ．根据条件，可知该几何体是每个面都是正三角形的正八面体，然后依次判断各个选项即可．本题考查几何体体积，外接球和内切球问题，考查的核心素养为直观想象和数学运算，属于难题．13.【答案】2π【解析】解：∵圆柱的轴截面是面积为4的正方形， ∴圆柱的底面半径为1，高为2． ∴圆柱的体积V =π×12×2=2π． 故答案为：2π．根据轴截面为正方形可知圆柱的底面半径为2，高为4． 本题考查了圆柱的结构特征，体积计算，属于基础题．14.【答案】2+4i【解析】解：∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ =4+3i ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−i ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4+3i)−(2−i)=2+4i ， 即表示向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的复数为2+4i ． 故答案为：2+4i ．由已知直接利用向量的减法运算求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量的减法运算，是基础题．15.【答案】13【解析】解：由题意得，c =5，b =12，cosB =513，cosC =1213， 所以sinB =1213，sinC =513，所以sinA =sin(B +C)=sinBcosC +sinCcosB =1213×1213+513×513=1， 所以A =π2，a =√b 2+c 2=13． 故答案为：13．由已知结合和差角及同角基本关系可求A =90°，然后结合勾股定理可求． 本题主要考查了同角基本关系及和差角公式，属于基础题．16.【答案】4【解析】解：∵对任意t ∈R ，恒有|b ⃗ −t a ⃗ |≥|b ⃗ −a ⃗ |，∴向量b ⃗ 的终点到向量a ⃗ 所在直线的距离最短．∴a ⃗ ⊥(b ⃗ −a ⃗ ).设|a ⃗ |=x ，|b ⃗ −a ⃗ |=y ，则x 2+y 2=(2√2)2=8，∴|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ |=x +y =√(x +y)2=√x 2+y 2+2xy =√8+2xy ≤√8+x 2+y 2=4，当且仅当“x =y ”时“=”成立．∴最大值为4． 故答案为：4．由向量加法几何意义和基本不等式可解决此题．本题考查向量加法几何意义、基本不等式、数形结合思想，考查数学运算能力及直观想象能力．17.【答案】解：(1)∵设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，∵向量a ⃗ =(√2,√2)，|b⃗ |=2， 且(2a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =8=2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2×2×2cosθ+4，∴cosθ=12，∴θ=π3． (2)若(a ⃗ +k b ⃗ )⊥(b ⃗ −a ⃗ )，则(a ⃗ +k b ⃗ )(b ⃗ −a ⃗ )=(1−k)a ⃗ ⋅b ⃗ −a ⃗ 2+k b ⃗ 2=(1−k)×2×2×cosπ3−4+4k=0，∴k=1．【解析】(1)由题意利用两个向量的数量积的定义，求得θ的值．(2)由题意利用两个向量垂直的性质，求得k的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．18.【答案】解：(1)c=2，d=1时，2z1−z2=4+4i−(1+i)=3+3i，∴|2z1−z2|=√9+9=3√2．(2)∵z1=c+2i，复数z2=1+di，z12=z22，∴c2+4ci+4i2=1+2di+d2i2，即c2−4+4ci=1−d2+2di，∴{c2−4=1−d24c=2d，∴c2+d2=5．【解析】(1)c=2，d=1时，求出2z1−z2=3+3i，由此能求出|2z1−z2|.(2)由z12=z22，得c2−4+4ci=1−d2+2di，由此利用复数相等的定义能求出c2+d2．本题考查复数的运算，考查复数运算法则、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．19.【答案】解：(1)在平面CC1D1D中，过G作GM⊥C1C，由DG=1，CF=2，可得FM=1，在Rt△GMF中，求得GF=√52+12=√26，在Rt△ABE中，求得AE=√26，则AE//GF且AE=GF，∴四边形AGFE为平行四边形．又AG=√AD2+DG2=√52+12=√26，AF=√AC2+CF2=√(5√2)2+22=3√6，在△AGF中，可得cos∠AGF=2×√26×√26=−126，∴sin∠AGF =√1−(−126)2=15√326．∴平面四边形AEFG 的面积S =AG ⋅GF ⋅sin∠AGF =√26×√26×15√326=15√3；(2)几何体ABCDEFG 的体积V =V A−DCFG +V A−BCFE ==2×13×12×(1+2)×5×5=25．【解析】(1)证明四边形AEFG 为平行四边形，求出∠AGF 的余弦值，进一步得到正弦值，利用平行四边形面积公式求解；(2)把几何体ABCDEFG 的体积转化为两个全等的四棱锥的体积求解．本题考查长方体截面四边形面积的求法，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由AM =75，S △AMN =12S △ABC =12×12×10×10×sin60°=1250√3， 设AN =a ，则S △AMN =12×75×a ×sin60°=1250√3， ∴a =2003，即AN 的长为2003．(2)设MN =y ，AM =x ，在△AMN 中由余弦定理可得y 2=x 2+AN 2−2xANcos60°， 又S △AMN =12xANsin60°=1250√3，∴AN =5000x，∴y 2=x 2+(5000x )2−5000，∴y =√x 2+(5000x)2−5000≥√2×5000−5000=50√2，当且仅当x 2=(5000x)2，即x =50√2时取等号；即当M ，N 分别在AB ，AC 上距离A 点50√2米时MN 距离最小，最小值为50√2．【解析】(1)利用题中的条件三角形△AMN 的面积是三角形△ABC 面积的一半，即可解出；(2)设AM =x ，则利用三角形△AMN 的面积是三角形△ABC 面积的一半，可将AN 的长度用x 表示出，再利用余弦定理即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，解三角形，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16−16=0， 所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16． (2)因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+16CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−132， 所以cos∠DFE =CE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CE⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−13252⋅√17=−13√1785．【解析】(1)由向量的线性运算及向量的数量积运算即可求得可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)由向量的数量积运算及夹角公式即可求解∠DFE 的余弦值．本题主要考查向量的线性运算及平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】证明：(1)因为2sinAcosB =sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA ，所以sinAcosB −sinBcosA =0，即sin(A −B)=0， 所以A =B ；解(2)：由(1)a =b ，取BC 的中点D ，△ABD 中，由余弦定理得，c 2=AD 2+(a2)2−2AD ⋅a2cos∠ADB ， △ACD 中，由余弦定理得，b 2=AD 2+(a2)2−2AD ⋅(a2)cos∠ADC ， 因为∠ADB +∠ADC =π， 两式相加得，c 2+b 2=2AD 2+a 22，即a 2+2c 2=64，由0<c 2<32，a 2=64−2c 2>0， S △ABC =c2⋅√a 2−c 24=14√c 2(4a 2−c 2)=14√−9(c 2−1289)2+(1283)2≤14×1283=323，所以△ABC 面积的最大值323．【解析】(1)由已知结合和差角公式进行化简即可证明；(2)由已知结合余弦定理及诱导公式进行化简，然后结合三角形面积公式及二次函数的性质可求．本题主要考查了和差角公式，余弦定理，三角形面积公式及二次函数的性质在求解最值中的应用，属于中档题．。
2019-2020学年浙江省浙东北联盟(ZDB)高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年浙江省浙东北联盟（ZDB ）高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合M ＝{0, 3}，N ＝{1, 2, 3}，则M ∩N ＝（ ） A.{3} B.{0, 1, 2} C.{1, 2, 3} D.{0, 1, 2}【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】进行交集的运算即可． 【解答】∵ M ＝{0, 3}，N ＝{1, 2, 3}， ∴ M ∩N ＝{3}．2. 函数f(x)＝ln(2x −1)的定义域为（ ）A.(−∞, 0)B.(−∞, 12)C.(0, +∞)D.(12, +∞)【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据对数函数的真数大于0，列不等式求出解集即可． 【解答】函数f(x)＝ln(2x −1)中， 令2x −1>0，解得x >12； 所以函数f(x)的定义域为(12, +∞)．3. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A.y ＝x −1与y =√(x −1)2 B.y =√x −1与y =x−1C.y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2 D.y ＝lg x −2与y ＝lg x 100【答案】 D【考点】判断两个函数是否为同一函数 【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 【解答】A．函数y=√(x−1)2=|x−1|，两个函数的对应法则不相同．B．函数y=√x−1的定义域为{x|x≥1}，y=√x−1的定义域为{x|x>1}，两个函数的定义域不相同．C．函数y＝4lg x的定义域为{x|x>0}，y＝2lg x2的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同．D．函数y＝lg x−2的定义域为{x|x>0}，y＝lg x100的定义域为{x|x>0}，y＝lg x100=lgx−lg100＝lgx−2，两个函数的定义域和对应法则相同．4. 已知a＝log20.8，b＝log3π，c＝2−2，则（）A.c>b>aB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b 【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性分别与0，1比较即可得出．【解答】a＝log20.8<0，b＝log3π>1，c＝2−2∈(0, 1)．∴b>c>a．5. 函数f(x)＝log2(1−x)的图象为（）A.B.C.D.【答案】A【考点】对数函数的图象与性质 【解析】由题中函数知，当x ＝0时，y ＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案． 【解答】观察四个图的不同发现，A 、C 图中的图象过原点， 而当x ＝0时，y ＝0，故排除B 、D ；剩下A 和C ． 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除C ．6. 若函数y ＝f(3x +1)的定义域为[−2, 4]，则y ＝f(x)的定义域是（ ） A.[−1, 1] B.[−5, 13] C.[−5, 1] D.[−1, 13] 【答案】 B【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数y ＝f(3x +1)的定义域得出x 的取值范围，再求出3x +1的取值范围即得y ＝f(x)的定义域． 【解答】函数y ＝f(3x +1)的定义域为[−2, 4]， 令−2≤x ≤4，则−6≤3x ≤12， 所以−5≤3x +1≤13，所以函数y ＝f(x)的定义域是[−5, 13]．7. 函数y =5x+1x的值域为（ ）A.(0, 5)B.(0, +∞)C.(0, 5)∪(5, +∞)D.(5, +∞)【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 【解析】 容易得出x+1x≠1，从而得出y ≠5，并且y >0，这样即可得出原函数的值域．【解答】 ∵x+1x=1+1x ≠1， ∴ 5x+1x≠5，且5x+1x>0，∴ 函数y =5x+1x的值域为(0, 5)∪(5, +∞)．8. 设函数y =f(x)=2−22x +1，若f(x 0)=13，则f(−x 0)＝（ ） A.−13B.23C.53D.83C【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】推导出f(x 0)＝2−22x 0+1=13，解得2−x 0=5，由此能求出f(−x 0)的值． 【解答】∵ 函数y =f(x)=2−22x +1，f(x 0)=13，∴ f(x 0)＝2−22x 0+1=13，解得2x 0=15，∴ 2−x 0=5， ∴ f(−x 0)＝2−22−x 0+1=2−25+1=53．9. 已知a ，b ，c ∈R ，函数f(x)＝ax 2+bx +c ，若f(x)＝f(4−x)，则下列不等式不可能成立的是（ ）A.f(2)<f(2−a)<f(2−3a)B.f(2)<f(2−a)<f(2+3a)C.f(2−a)<f(2−2a)<f(2)D.f(2+2a)<f(2−a)<f(2) 【答案】 C【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】根据f(x)＝f(4−x)即可得出f(x)的对称轴为x ＝2，从而可讨论a >0和a <0，根据f(x)的单调性即可判断每个选项的不等式是否可能成立，从而找出正确选项． 【解答】根据f(x)＝f(4−x)得，f(x)的对称轴为x ＝2，①a >0时，f(x)在(−∞, 2]单调递减，在[2, +∞)上单调递增，且2>2−a >2−3a ，2<2+a <2+3a ，2>2−a >2−2a ，∴ f(2)<f(2−a)<f(2−3a)，f(2)<f(2+a)<f(2+3a)，f(2)<f(2−a)<f(2−2a)，且f(2−a)＝f(2+a)， ∴ f(2)<f(2−a)<f(2+3a)；②a <0时，f(x)在[2, +∞)上单调递减，且2−2a >2−a >2， ∴ f(2−2a)<f(2−a)<f(2)，且f(2+2a)＝f(2−2a)， ∴ f(2+2a)<f(2−a)<f(2)， ∴ 不可能成立的不等式是C ．10. 已知函数f(x)＝|log 2x|，g(x)={0,0<x ≤1|x −2|−1x ,x >1 ，则方程|f(x)−g(x)|＝1的实根个数为（ ） A.2个 B.3个C.4个D.5个【答案】 C函数的零点与方程根的关系【解析】首先去绝对值，得方程|f(x)−g(x)|＝1⇔f(x)＝g(x)±1，问题转化为研究函数y＝f(x)与函数y＝g(x)±1的图象交点个数问题．其次，分别在同一坐标系中画出函数y＝f(x)，y＝g(x)+1的图象及y＝f(x)，y＝g(x)−1的图象，观察分析交点个数即可．【解答】1<x≤2时，两图象有一个交点；x>2时，两图象有一个交点．分别画出y＝f(x)，y＝g(x)−1的图象．由图象（2）可知：x>7时，两图象有一个交点．2综上可知：方程|f(x)−g(x)|＝1实数根的个数为4．故选：C．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分用符号“∈“或“⊆“填空：若A＝{2, 4, 6}，则4∈A，{2, 6}⊆A．【答案】∈，⊆【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】由元素与集合的关系，子集的定义即可解得．【解答】因为集合A中有4这个元素，所以4∈A，因为2∈A，6∈A，所以{2, 6}⊆A．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(3, √3)，则这个函数的解析式为________，若f(a)＝2，则a 的值为________． 【答案】 y =√x ,4 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】用待定系数法求出幂函数的解析式，然后解方程f(a)＝2，求出a 的值． 【解答】设幂函数y ＝f(x)＝x α，∵ 幂函数y ＝f(x)的图象过点(3, √3)， ∴ f(3)＝3α=√3， ∴ α=12，∴ f(x)=x 12=√x ，(x ≥0)，由f(a)＝2，知√a =2 ∴ a ＝4，已知全集U ＝A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ＝{1, 2, 4}，A ∩B ＝{1}，则集合∁U B 为________，集合B 共有________个子集． 【答案】 {2, 4},4 【考点】 子集与真子集 补集及其运算 【解析】先由条件求出集合B ，由补集的概念求出集合∁U B ，再由集合子集的定义求出集合B 的所有子集，数出个数即可． 【解答】由全集U ＝A ∪B ＝{1, 2, 3, 4}，A ＝{1, 2, 4}，A ∩B ＝{1}， 得B ＝{1, 3}， ∴ ∁U B ＝{2, 4}，集合B ＝{1, 3}的子集有：⌀，{1}，{3}，{1, 3}，共4个．设函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0] ，则f （f(−1)）＝________，不等式f(x)≤3的解集是________． 【答案】 1,[−1, 27] 【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】推导出f(−1)＝(−1)2+2＝3，从而f （f(−1)）＝f(3)，由此能求出结果；当x ∈(−∞, 0]时，f(x)＝x 2+2≤3，当x ∈(0, +∞)时，f(x)＝log 3x ≤3，由此能求出不等式f(x)≤3的解集． 【解答】∵ 函数f(x)={log 3x,x ∈(0,+∞)x 2+2,x ∈(−∞,0]，∴ f(−1)＝(−1)2+2＝3， f （f(−1)）＝f(3)＝log 33＝1，当x ∈(−∞, 0]时，f(x)＝x 2+2≤3，解得−1≤x ≤0； 当x ∈(0, +∞)时，f(x)＝log 3x ≤3，解得0<x ≤27， 综上不等式f(x)≤3的解集是[−1, 27]．已知f(x)={(3−a)x −a,x <1a x −a,x ≥1 是定义在R 上的增函数，那么a 的取值范围是________． 【答案】[32, 3) 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】由一次函数、指数函数，及分段函数的单调性即可得到{3−a >0a >1(3−a)×1−a ≤a 1−a ，解该不等式组即可得出a 的取值范围． 【解答】根据已知条件得：{3−a >0a >1(3−a)×1−a ≤a 1−a ， 解得32≤a <3，∴ a 的取值范围是[32, 3)，函数y ＝2|x−1|在区间(k −1, k +1)内不单调，则k 的取值范围是________． 【答案】 (0, 2) 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】去绝对值号得出y =2|x−1|={2x−1x ≥121−x x <1，从而可判断该函数的单调性及单调区间，从而可得出{k −1<1k +1>1 ，解出k 的范围即可． 【解答】 y =2|x−1|={2x−1x ≥121−x x <1， ∴ y ＝2|x−1|在(−∞, 1)单调递减，在[1, +∞)上单调递增，且该函数在(k −1, k +1)内不单调，∴ {k −1<1k +1>1，解得0<k <2，∴k的取值范围是(0, 2)．若已知函数f(x)＝x2+ax+1，g(x)＝−lnx，用min{m, n}，表示m，n中的最小值，4设函数ℎ(x)＝min{f(x), g(x)}(x>0)，若ℎ(x)＝0有两个不同实根，则实数a的值为________−5或-1．4【答案】−5或−14【考点】函数的最值及其几何意义函数的零点与方程根的关系【解析】由于g(x)＝−lnx在(1, +∞)上恒小于0，所以ℎ(x)在(1, +∞)无解，数形结合可知，x＝0是ℎ(x)＝0的解，所以f(x)在(0, 1)上有一个解，分析可知，有两种情形，情形一，抛物线f(x)与x轴相切于(0, 1)中，情形二，f(x)有一个解x＝1，在(0, 1)内有一个解．【解答】情形二：△＝a2−1＝0时，a＝1时，f(x)有一个负的零点，不合题意，a＝−1时，f(x)有一个零点x=1，符合题意，2或−1．故答案为：−54三、解答题：5小题，共74分设集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}．（1）求A∪B，(∁R A)∩B；（2）若A∩C≠⌀，求a的取值范围．【答案】∵集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2<x<10}，∴A∪B＝{x|2<x<10}，∵∁R A＝{x|x<4或x≥8}∴(∁R A)∩B＝{x|8≤x<10或2<x<4}∵若A∩C≠⌀，A＝{x|4≤x<8}，C＝{x|x<a}．∴a的取值范围是a>4∴a∈(4, +∞)【考点】交、并、补集的混合运算交集及其运算【解析】本题考查集合的交、并、补运算，对于（1）求出A的补集是关键，对于（2）利用A∩C≠⌀确定参数a的取值范围【解答】∵集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|2<x<10}，∴A∪B＝{x|2<x<10}，∵∁R A＝{x|x<4或x≥8}∴ (∁R A)∩B ＝{x|8≤x <10或2<x <4}∵ 若A ∩C ≠⌀，A ＝{x|4≤x <8}，C ＝{x|x <a}． ∴ a 的取值范围是a >4 ∴ a ∈(4, +∞)化简或求值：(Ⅰ)√a 3⋅√a3(a 12)4a −13(a >0)；(Ⅱ)823+64−12+(12)−3+(1681)−34；(Ⅲ)lg8+lg125−log 0.514+log 23⋅log 32． 【答案】 （1）√a 3⋅√a3(a 12)4a −13=√a 3+13a 2⋅a −13=a 53a 53=1；（2）823+64−12+(12)−3+(1681)−34=(23)23+(82)−12+23+[(23)4]−34=22+8−1+8+(32)3＝4+18+8+278=312；(Ⅲ)lg8+lg125−log 0.514+log 23⋅log 32 =31g2+31g5−log 12(12)2+lg3lg2⋅lg2lg3 ＝3lg10−2+1＝2． 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】(Ⅰ)化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质求解； (Ⅱ)直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；(Ⅲ)利用对数的运算性质及对数的换底公式化简求值． 【解答】 （1）√a 3⋅√a3(a 12)4a −13=√a 3+13a 2⋅a −13=a 53a 53=1；（2）823+64−12+(12)−3+(1681)−34=(23)23+(82)−12+23+[(23)4]−34=22+8−1+8+(32)3＝4+18+8+278=312；(Ⅲ)lg8+lg125−log 0.514+log 23⋅log 32 =31g2+31g5−log 12(12)2+lg3lg2⋅lg2lg3 ＝3lg10−2+1＝2．已知函数f(x)=12x 2+2x−1．（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）试判断f(x)在区间(2, +∞)上的单调性，并用单调性定义证明；（3）求函数f(x)在区间[−3, −1]上的最值． 【答案】根据题意，f(x)=12x 2+2x−1，有x −1≠0，解可得x ≠1， 即函数的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称， 是非奇非偶函数； f(x)=12x 2+2x−1在区间(2, +∞)上是增函数；证明：设x 1>x 2>2，则f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x1−1)(x 2−1)]，又由x 1>x 2>2，则x 1−x 2>0，x 1+x 2>4，(x 1−1)(x 2−1)>1，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)>0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间(2, +∞)上是增函数； 根据题意，设−3≤x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x1−1)(x 2−1)]，又由−3≤x 1<x 2≤−1，则x 1−x 2<0，−6≤x 1+x 2≤−2，4≤(x 1−1)(x 2−1)≤16，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)<0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间[−3, −1]上是减函数； 故f(x)max ＝f(−3)＝4，f(x)min ＝f(−1)=−12． 【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）根据题意，求出函数的定义域为{x|x ≠1}，由函数奇偶性的定义分析可得结论； （2）根据题意，设x 1>x 2>2，由作差法分析可得结论；（3）根据题意，设−3≤x 1<x 2≤−1，由作差法分析可得f(x)在区间[−3, −1]上是减函数，据此分析可得答案． 【解答】根据题意，f(x)=12x 2+2x−1，有x −1≠0，解可得x ≠1， 即函数的定义域为{x|x ≠1}，不关于原点对称， 是非奇非偶函数； f(x)=12x 2+2x−1在区间(2, +∞)上是增函数；证明：设x 1>x 2>2，则f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x 1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)]，又由x 1>x 2>2，则x 1−x 2>0，x 1+x 2>4，(x 1−1)(x 2−1)>1，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)>0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间(2, +∞)上是增函数； 根据题意，设−3≤x 1<x 2≤−1，f(x 1)−f(x 2)＝(12x 12+2x1−1)−(12x 22+2x 2−1)＝(x 1−x 2)[12(x 1+x 2)−2(x1−1)(x 2−1)]，又由−3≤x 1<x 2≤−1，则x 1−x 2<0，−6≤x 1+x 2≤−2，4≤(x 1−1)(x 2−1)≤16，则有12(x 1+x 2)−2(x 1−1)(x 2−1)<0，则有f(x 1)−f(x 2)>0，故函数f(x)在区间[−3, −1]上是减函数； 故f(x)max ＝f(−3)＝4，f(x)min ＝f(−1)=−12．已知函数f(x)=log 12(ax 2+3x +a +1)．（1）当a ＝0，求函数f(x)的单调区间；（2）对于x ∈[1, 2]，不等式(12)f(x)−3x ≤0恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】当a ＝0时，由函数f(x)=log 12(3x +1)， 可得3x +1>0，故函数的定义域为(−13, +∞)．∵ 对于x ∈[1, 2]，不等式(12)f(x)−3x ≤0恒成立，即 ax 2+3x +a +1−3x ≤0⇔ax 2+a +1≤0， 即a ≤−1x 2+1，而(−1x 2+1)min =−12， 故a ≤−12，∵ a ≤−12<0，ax 2+3x +a +1>0⇔{a +3+a +1>04a +6+a +1>0，⇒a >−75⇒−75<a ≤−12． 【考点】函数恒成立问题 复合函数的单调性 【解析】（1）当a ＝0时，由函数f(x)=log 12(3x +1)，可得3x +1>0，由此求得函数的定义域．（2）由题意可得a ≤−1x 2+1，求出a ≤−12<0，ax 2+3x +a +1>0，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】当a ＝0时，由函数f(x)=log 12(3x +1)， 可得3x +1>0，故函数的定义域为(−13, +∞)．∵ 对于x ∈[1, 2]，不等式(12)f(x)−3x ≤0恒成立， 即 ax 2+3x +a +1−3x ≤0⇔ax 2+a +1≤0， 即a ≤−1x 2+1，而(−1x 2+1)min =−12， 故a ≤−12，∵ a ≤−12<0，ax 2+3x +a +1>0⇔{a +3+a +1>04a +6+a +1>0，⇒a >−75⇒−75<a ≤−12．已知函数f(x)＝x 2+2mx −6在区间[−1, 2]上是单调函数． （1）求实数m 的所有取值组成的集合A ；（2）试写出f(x)在区间[−1, 2]上的最大值g(m)；（3）设ℎ(x)=−12x 2+12x +2，令F(m)={g(m),m ∈Aℎ(m),m ∈∁R A，若对任意m 1，m 2∈[−72, a]，总有|F(m 1)−F(m 2)|≤a +3，求a 的取值范围． 【答案】∵ f(x)＝x 2+2mx −6在区间[−1, 2]上的两个端点处取得最大值和最小值， ∴ 函数在区间[−1, 2]上是单调函数，又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝−m ， 必有−m ≥2，或−m ≤−1，解得m ≥1或 m ≤−2，∴ 实数m 的所有取值组成的集合A ＝{m|m ≥1或 m ≤−2}； 当m ≥1时，−m ≤−1，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递增， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(2)＝4m −2；当m ≤−2 时，−m ≥2，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递减， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(−1)＝−5−2m ， 即有g(m)={4m −2,m ≥1−5−2m,m ≤−2；由题意得F(m)={4m −2,m ≥1−12m 2+12m +2,−2<m <1−2m −5,m ≤−2 ，对任意m 1，m 2∈[−72, a]，总有|F(m 1)−F(m 2)|≤a +3， 可得a ≥−3，F(m)max −F(m)min ≤a +3，(∗)， 作出函数F(m)的图象，①当−72<a ≤−2时，F(m)在[−72, a]递减，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(a)＝−2a −5，代入(∗)解得a ≤−4，不成立，舍去；②当−2<a ≤0时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥0，即有a ＝0；③当0<a ≤12时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(a)=−12a 2+12a +2，F(m)min ＝F(−2)＝−1， 代入(∗)解得a ≥0或a ≤−1，可得0<a ≤12；④当12<a ≤3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(12)=178，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥18，可得12<a ≤3332；⑤当a >3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(a)＝4a −2，F(m)min ＝F(−2)＝−1， 代入(∗)可得3332<a ≤43；综上可得0≤a ≤43，即a 的范围是[0, 43]．【考点】二次函数的性质 函数恒成立问题 二次函数的图象 【解析】（1）考虑对称轴，由二次函数的单调性可得m 的不等式，解不等式即可； （2）分类讨论结合单调性可得最大值g(m)；（3）由题意求得F(m)的解析式，由题意可得a ≥−3，F(m)max −F(m)min ≤a +3，(∗)，作出函数F(m)的图象，对a 讨论，结合图象，可得单调性，求得最值，解不等式，可得所求范围． 【解答】∵ f(x)＝x 2+2mx −6在区间[−1, 2]上的两个端点处取得最大值和最小值， ∴ 函数在区间[−1, 2]上是单调函数，又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x ＝−m ， 必有−m ≥2，或−m ≤−1，解得m ≥1或 m ≤−2，∴ 实数m 的所有取值组成的集合A ＝{m|m ≥1或 m ≤−2}； 当m ≥1时，−m ≤−1，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递增， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(2)＝4m −2；当m ≤−2 时，−m ≥2，函数f(x)在区间[−1, 2]上单调递减， ∴ 函数f(x)的最大值g(m)＝f(−1)＝−5−2m ， 即有g(m)={4m −2,m ≥1−5−2m,m ≤−2；由题意得F(m)={4m −2,m ≥1−12m 2+12m +2,−2<m <1−2m −5,m ≤−2 ，对任意m 1，m 2∈[−72, a]，总有|F(m 1)−F(m 2)|≤a +3， 可得a ≥−3，F(m)max −F(m)min ≤a +3，(∗)， 作出函数F(m)的图象，①当−72<a ≤−2时，F(m)在[−72, a]递减，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(a)＝−2a −5，代入(∗)解得a ≤−4，不成立，舍去；②当−2<a ≤0时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(−72)＝2，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥0，即有a ＝0；③当0<a ≤12时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, a]递增，可得F(m)max ＝F(a)=−12a 2+12a +2，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥0或a ≤−1，可得0<a ≤12；④当12<a ≤3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(12)=178，F(m)min ＝F(−2)＝−1，代入(∗)解得a ≥18，可得12<a ≤3332；⑤当a >3332时，F(m)在[−72, −2]递减，[−2, 12]递增，[12, 1]递减，[1, a]递增， 可得F(m)max ＝F(a)＝4a −2，F(m)min ＝F(−2)＝−1， 代入(∗)可得3332<a ≤43；综上可得0≤a ≤43，即a 的范围是[0, 43]．。
浙东北联盟(ZDB)四校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
浙东北联盟（ZDB ）2023-2024学年第二学期期中考试高一数学试卷（答案在最后）命题学校：总分150分考试时间120分钟选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知向量()5,12a =，则与向量a反向的单位向量的坐标为（）A.512,1313⎛⎫⎪⎝⎭ B.512,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭ D.512,1313⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】与向量a方向相反的单位向量为a a- 求解即可.【详解】因为()5,12a =，所以13a ==，与向量()5,12a =方向相反的单位向量为512,1313a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故选：B2.设l ，m ，n 是不同的直线，m ，n 在平面α内，则“l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】若l m ⊥且l n ⊥，当//m n 时，直线l 可以与平面α平行，此时//l α，不能推出l α⊥，若l α⊥，m ，n 是平面α内两条不同的直线，则l m ⊥，l n ⊥，所以“l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的必要不充分的条件.故选：B3.已知一个正方体的外接球的体积为92π，则这个正方体的体积为（）A.3B.278C.D.8【答案】C 【解析】【分析】根据正方体性质，223d a =,由外接球体积求出半径得出直径，最后得出边长，即可求出体积．【详解】根据正方体性质，球心在体对角线中点上，体对角线长为外接球直径d ，半径设为r ，边长为a ，则222223d a a a a =++=.根据题意39π4π23r =，解得32r =，则3d =，则293a =，则a =3V a ==故选：C.4.已知a = 3a b ⋅=- ，则向量b 在向量a 上的投影向量为（）A.a-rB.13aC.b- D.13br 【答案】A 【解析】【分析】利用投影向量公式可求向量b 在向量a上的投影向量.【详解】向量b 在向量a上的投影向量为a b a a a a⋅==-，故选：A.5.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别是棱11B C ，1C C ，1B B ，AB 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】C 【解析】【分析】分别取,CD BC 的中点,N Q ，连接,,,,,FN EQ QN EN GF HN ，由题意可知异面直线EF 与GH 所成的角（或其补角）即为EF 与FN 所成的角（或其补角），求出,,EF FN EN ，由余弦定理求解即可.【详解】分别取,CD BC 的中点,N Q ，连接,,,,,FN EQ QN EN GF HN ，由正方体的性质知：//,HN GF HN GF =，所以四边形GHNF 是平行四边形，所以//GH FN ，所以异面直线EF 与GH 所成的角（或其补角）即为EF 与FN 所成的角（或其补角），即为EFN ∠，设正方体的棱长为2，EF FN QN ===，EN ==所以22221cos242EF FN EN EFN EF FN +--∠====-⋅，所以异面直线EF 与GH 所成的角为π3.故选：C .6.若两个非零向量a 与b满足2a b a b b +=-= ，则向量a b + 与a b - 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】利用模长公式结合数量积公式求解即可．【详解】因为2a b a b b +=-=，两边平方，得到2222|2||2|0a b a b a a b b a a b b a b +=-⇒+⋅+=-⋅+⇒⋅= 2222|2|4||a b b a a b b b +=⇒+⋅+=，即22||3||a b = ，即||||a b = (1),又a b + ＝2b (2)，a b -=2||b (3)．并且()()22·||cos a b a b a b a b a b θ+-=-=+-，则22||||cos ||||a b a b a b θ-=+- ，将(1),(2),(3)代入，得到222||1cos 24||b b θ== ，(0,π)θ∈，则π3θ=．故选：B.7.已知某圆台的上、下底面半径分别为1r 、2r ，且213r r =，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（）A.13π9B.20π9C.26π9D.26π3【答案】C 【解析】【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解12,r r ，然后代入圆台体积公式求解即可.【详解】如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，则圆台内切球的球心O 一定在12O O 的中点处，设球O 与母线AB 切于M 点，所以OM AB ⊥，所以121OM OO OO ===，所以1AOO 与AOM 全等，所以1AM r =，同理2BM r =，所以1214AB r r r =+=，过A 作2AG BO ⊥，垂足为G ，则2112BG r r r =-=，122AG O O ==，所以222AG AB BG =-，所以()()22211144212r r r =-=，所以133r =，所以2r =所以该圆台的体积为()2212121211126πππ2313339V O O r r r r ⎛⎫=⋅++=⨯++= ⎪⎝⎭.故选：C8.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于23π时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为23π.如图，已知ABC 和ADE V 都是正三角形，4AB =，2AE =，且B ，A ，D 三点共线，设点P 是ACE △内的任意一点，则PA PC PE ++的最小值为（）A.5B.26C.33 D.27【答案】D 【解析】【分析】将PEC 绕点E 顺时针旋转60︒到QEF △，根据两点之间线段最短结合余弦定理可求PA PC PE ++的最小值，或者建立平面直角坐标系，根据费马点的性质结合圆的方程可求费马点的坐标，从而可求PA PC PE ++的最小值，也可以费马点的几何特征结合正弦定理可求,,PA PC PE 的值，从而可求PA PC PE ++的最小值.【详解】由题设有60EAC ∠=︒，而2,4AE AC ==，由余弦定理可得164423EC =+-⨯=所以222CE AE AC +=，故ACE △是直角三角形，且90AEC ∠=︒，60EAC ∠=︒.法一：几何法将PEC 绕点E 顺时针旋转60︒到QEF △，则,QF CP PE PQ ==，则PA PC PE PA QF PQ AF ++=++≥，当且仅当,,,A P Q F 四点共线时等号成立，此时180120APE QPE ∠=︒-∠=︒，180120CPE FQE PQE ∠=∠=︒-∠=︒，即P 为费马点时，PA PC PE ++取最小值，因为3EF EC ==9060150AEF ∠=︒+︒=︒，所以2537AF =+=.，故当且仅当P 为费马点时，PA PC PE ++取最小值且最小值为27.法二：解析法以点E 为原点建立平面直角坐标系，且()2,0A -，(0,23C ，由费马点的定义知点P 满足120APE CPE ∠==︒，故P 在以AE为弦且半径为11232r ==的劣弧上，设圆心为()()1,0M m m -<，而2413m +=，故3m =-，故31,3M ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故圆()224:133M x y ⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭，同理P 也在以CE为弦且半径为11222r ==的劣弧上，其方程为()(22:14N x y -+-=，由22224(1)3(1)(4x y x y ⎧⎛+++=⎪ ⎨⎝⎪-+-=⎩可得20y +=，再代入其中一式解得47x =-，7y =（0,0x y ==舍）所以取最小值时PE =，PA =PC =，故PA PC PE ++取最小值且最小值为法三：代数法设AEP θ∠=，则90PEC θ∠=︒-，由费马点的性质可得60PAE θ∠=︒-，30PCE θ∠=-︒（3060θ︒<<︒），由正弦定理可得()2sin 60sin120PE θ=︒-︒且()sin 30sin120PE θ=-︒︒，故()()sin 30sin 60θθ-︒=︒-，整理得到11cos sin 2222θθθθ-=-，解得2sin θθ=，即sin θθ==，此时()2sin 601sin12022PE θ⎛⎫︒-===︒而2sin sin120AP θ==︒2sin sin120PC θ==︒故PA PC PE ++的最小值为故选：D .【点睛】思路点睛：对于给定条件的几何问题，我们可以根据几何对象的性质结合正弦定理或余弦定理求解几何量，或者利用旋转构造最值线段.二、多项选择题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若{}12e e，是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（）A.{}1212e e e e +- ，B.{}1221e e e e --，C.{}21122364e e e e --，D.1212133e e e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.【详解】对于A ，若存在实数λ，使得()1212e e e e λ+=- ，则11λλ=⎧⎨=-⎩，无解，所以12e e + 与12e e - 不共线，可以作为平面的基底，故A 错误；对于B ，因为()1221e e e e -=-- ，则12e e - 与21e e -是共线向量，不能作为平面向量的基底，故B 正确；对于C ，因为()2112123642e e e e -=--u u r u r ur u u r ，则2123e e - 与1264e e - 是共线向量，不能作为平面向量的基底，故C 正确；对于D ，因为12121333e e e e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭u r u u r u r u u r ，则123e e - 与1213e e -ur u u r 是共线向量，不能作为平面向量的基底，故D 正确.故选：BCD.10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且π4A =，b =，若ABC 有且仅有一个解，则c a -的可能取值有（）A.0B.4-C.32D.【答案】ABC 【解析】【分析】根据三角形解的个数可得ππ0,42B ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，再根据正弦定理结合三角变换可求c a -的取值范围.【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B=，故sin 2a B A ==，因为ABC 有且仅有一个解，故a b ≥或sin 2a b A =⨯=，由a b ≥可得A B ≥，由2a =可得sin 1B =，结合B 为三角形内角可得π2B =，故ππ0,42B ⎛⎤⎧⎫∈⋃⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，由正弦定理得ππsin sin sin 44c a B B ⎡⎤⎛⎫-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦){}cos 12222tan 420sin 2B B B -⎡=+=-∈-⋃⎣，而2>，35424022--=<，故3422-<<，故选：ABC.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是线段11B C 的中点，F 是线段1CC 的中点，P 是线段1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P 的最小值为6B.1B PC ∠可能是直角C.三棱锥A PEF -的体积为定值D.PEF !的周长的最小值为252【答案】ACD 【解析】【分析】求出等边11C A D 的高，即可判断A ；在矩形11A B CD 中假设1B PC ∠为直角，推出矛盾，即可判断B ；证明1A D//平面AEF ，即可判断C ，四边形1A DFE 求出PE PF +的最小值，即可判断D.【详解】对于A ，因为11C A D 为边长为22的等边三角形，所以1C P 的最小值即该等边三角形的高，即()1min322cos302262C P === ，故A 正确；对于B ：在矩形11A B CD 中112A B CD ==，1122A D B C ==，若190B PC ∠=︒，即1B P PC ⊥，此时11B A P PDC ∽，所以111B A A PPD CD=，则22PDPD -=，则240PD -+=，因为(2Δ4480=--⨯=-<，所以方程无解，即1B PC ∠不可能是直角，故B 错误；对于C ：连接1B C ，则1//EF B C ，又11//B C A D ，所以1//EF A D ，EF ⊂平面AEF ，1A D ⊄平面AEF ，所以1A D//平面AEF ，又P 是线段1A D 上的一个动点所以点P 到平面AEF 的距离为定值，又AEF △的面积为定值，所以三棱锥A PEF -的体积为定值，故C 正确；对于D ：因为==EF ，如下图，在四边形1A DFE 中EF =1A D =，1A E DF ===，作点F 关于1A D 的对称点F '，连接F E '交1A D 于点P ，此时PE PF +取得最小值，最小值为线段EF '的长度，又(122DM =-=，所以322FM ==，所以2FF FM '==，所以EF =='所以PEF !的周长的最小值为D 正确.故选：ACD非选择题部分三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12.水平放置的ABC 斜二测直观图为A B C ''' ，已知2A B B C ''''==，60A B C '''∠=︒，则ABC 的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出直观图的面积，由原图面积与直观图面积的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，水平放置的ABC 斜二测直观图为A B C ''' ，则直观图的面积122sin 260A B C S S '︒'''==⨯⨯⨯= ，则ABC 的面积为S '==.故答案为：13.已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】求出圆柱侧面展开图的周长利用基本不等式可得答案.【详解】设圆柱的母线长为()0a a >，则圆柱的底面直径为1a，所以该圆柱侧面展开图的周长为12π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭a a当且仅当1π=a a即a =等号成立.故答案为：.14.已知向量a ，b ，c满足4a = ，2b = ，,3a b π= ，()()20a c b c -⋅-= ，则a c ⋅ 的取值范围为______.【答案】[]420，【解析】【分析】由题意可得：4a b ⋅=，设(),c x y = ，()4,0a = ，(b = ，由()()20a c b c -⋅-= 可得：()(2234x y -+-=，从而可得：4a c x ⋅=，进而可求出结果.【详解】由题意可得：14242a b ⋅=⨯⨯= ，设(),c x y = ，()4,0a = ，(b = ，()4,a c x y -=--，()22,b c x y -=- ，()()20a c b c -⋅-= ，()()()420x x y y ∴---=，整理得：()(2234x y -+-=，所以4a c x ⋅=，因为232x -≤-≤，所以15x ≤≤，所以4420x ≤≤，即a c ⋅的取值范围为[]4,20.故答案为：[]4,20.四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知向量(),1a x = ，()2,3b =-r ，()6,1c =-.（1）求满足2c a yb =+的实数x ，y 的值；（2）若()4//a c b +，求实数x 的值.【答案】（1）2x =，1y =-（2）2x =-【解析】【分析】（1）运用向量相等条件可解；（2）运用向量平行坐标表示可解．【小问1详解】因为(),1a x = ，()2,3b =-r，则()222,23a yb x y y +=-+ ，又()6,1c =-，2c a yb =+ ，所以226231x y y -=⎧⎨+=-⎩，解得2x =，1y =-；【小问2详解】因为(),1a x = ，()6,1c =-，则()446,3a c x +=+ ，又()4//a c b +，()2,3b =-r ，所以46323x +=-，解得2x =-.16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，M 、N 分别是BC 、1CC 的中点，1AB MN ⊥.（1）证明：MN ⊥平面1AB M ；（2）求1C 点到平面1AB M 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）利用直三棱柱的构造特征，结合线面垂直的性质、判定推理即得.（2）由（1）中信息，结合相似三角形的性质求出BC ，再利用等体积法求解即得.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，由2AB AC ==，M 是BC 的中点，得AM BC ⊥，由1BB ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，得1B B AM ⊥，而11,,BB BC B BB BC ⋂=⊂平面11BCC B ，则AM ⊥平面11BCC B ，又MN ⊂平面11BCC B ，则AM MN ⊥，而1AB MN ⊥，11,,AB AM A AB AM =⊂ 平面1AB M ，所以MN ⊥平面1AB M .【小问2详解】在矩形11BCC B 中，由（1）知1AM B M ⊥，1MN B M ⊥，1B MB MNC ∠=∠，于是直角1B BM 与直角MCN △相似，则1BM CNB B CM=，即·2BM CM =，因此2BM MC ==22BC =2AM =，16B M =，11111222BCC B MB C S S == ，11312MB A S AM B M =⋅= ，设1C 点到平面1AB M 的距离为d ，由1111C MB A A MB C V V --=，得1111133MB A MB C d AM S S ⋅=⋅ ，3222d =33d =，所以点1C 到平面1AB M 的距离为33.17.某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示：100AB AD ==米，160BC =米，2120BAD BCD ∠∠==︒.（1）求cos BDC ∠的值；（2）若点,E F 分别为边,BC CD 上的点，且80CE =米，60CF =米，又点I 在以C 为圆心，CF 为半径的圆弧FG 上（BCD △内部），准备将四边形CEIF 区域种植郁金香.设ECI ∠θ=，求四边形CEIF 的面积关于θ的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）【答案】（1）35（2）()13sin S θϕ=+，其中ϕ为锐角且33tan 5ϕ=，最大值为13【解析】【分析】（1）由余弦定理可求BD ，由正弦定理可求sin BDC ∠，故可求cos BDC ∠，（2）由面积公式可求ECI S △，FCI S △，再利用辅助角公式可得S 及其最大值.【小问1详解】在ABD △上，由余弦定理BD ==在BCD △上，由正弦定理160200sin sin60BDC ∠==︒，所以4sin 5BDC ∠=，而160BD BC =>=，故π3BDC BCD ∠∠<=，故3cos 5BDC ∠=.【小问2详解】因为ECI ∠θ=，所以60FCI ∠θ=︒-，060θ︒<<︒，18060sin 2400sin 2ECI S θθ=⨯⨯=△，()()16060sin 601800sin 602FCI S θθ=⨯⨯︒-=︒- ，所以四边形CEIF 区域面积()12400sin 1800sin 602400sin 1800cos sin 22S θθθθθ⎛⎫=+︒-=+- ⎪ ⎪⎝⎭1500sin θθ=+()3005sin θθ=+()θϕ=+≤（平方米），其中ϕ为锐角且33tan 5ϕ=，因为3315<<，故4560ϕ︒<<︒，故当90θϕ=︒-时，S 有最大值且最大值为平方米.18.如图在直角梯形ABCD 中，2BC AD =，2BC CD ==，点E 为CD 的中点，以A 为圆心AD 为半径作圆交AB 于点G ，点P 为劣弧DG （包含D ，G 两点）上的一点，AC 与劣弧、BE 分别交于点F ，H .（1）求向量AF 与BE夹角α的余弦值；（2）若向量BH xBD y AC =+，求实数x ，y 的值；（3）若向量BP 与CP的夹角为β，求cos β的最小值.【答案】（1）2114（2）23x =，415y =（3）0【解析】【分析】（1）点B 为原点，BC 、BA分别为x 、y 轴正方向建立平面直角坐标系，由向量的夹角的坐标运算求解即可；（2）由平面向量基本定理可得324BH BA BC λλ=+，由A ，H ，C 三点共线求出4=5λ，由此可求出实数x ，y 的值；（3）法一：点O 为BC 中点，因为2AO =，所以以BC 为直径的圆与圆A 外切.由圆周角大于圆外角即可得出答案；法二：设DAP θ∠=，π0,2θ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭，则()cos 3sin P θθ，求出BP ，CP，由向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】易得90ABC BAD ∠=∠=︒，且BCD △为正三角形，所以AB =，AC =以点B 为原点，BC 、BA分别为x 、y轴正方向建立平面直角坐标系，(()()(,2,0,0,0,2,,A C B AC =(3,,22D E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，得2,AF AC ==，(12BE = ，所以cos 14AF BE AF BE α⋅====⋅.【小问2详解】()1322224BH BE BD BC BA BC BC BA BC λλλλλ⎛⎫==+=++=+ ⎪⎝⎭，又因为A ，H ，C 三点共线，所以3124λλ+=，解得4=5λ.()12BH xBD y AC x BA BC y BC BA⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭()2x x y BA y BC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，25325x y x y ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得23x =，415y =【小问3详解】法一：点O 为BC 中点，因为2AO =，所以以BC 为直径的圆与圆A 外切.因为圆周角大于圆外角，所以BPC ∠的最大值为90︒，即cos β的最小值为0.法二：设DAP θ∠=，π0,2θ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭且如（1）所建平面直角坐标系，则()cos sin P θθ-，()cos sin BP θθ∴= ，()cos sin CP θθ=-.22cos 2cos 3sin BP CP θθθθ⋅=-++-()42cos 44sin 06πθθθ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭当π3θ=时，BP CP ⋅ 取到最小值0，所以cos β的最小值为0.19.如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA PD ⊥，且44AD AB ==，2PA =，PC =，点E 为AD 中点，（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B PC E --的余弦值；（3）点F 为对角线AC 上的点，且FG PB ⊥，垂足为G ，求FG 与平面ABCD 所成的最大角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）58（3）5【解析】【分析】（1）结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可得；（2）面面垂直的性质定理PH ⊥平面ABCD ，线面垂直的判定定理得AD ⊥平面PHK ，HM ⊥平面PBC ，线面平行的判定定理得//AD 平面PBC ，作EN PC ⊥垂足为N ，由等面积法得求出EN 可得答案；（3）作GI ⊥平面ABCD ，在平面PAB 作GJ PB ⊥交AB 于点J ，设线FJ 交线BH 于点L ，由线面垂直的判定定理得⊥FJ 平面BGL ，得≤IL IF ，90∠∠∠≤=- GFI GLI GBL ，求出cos ∠GBL 可得答案.【小问1详解】PA PD ⊥，PD ∴=则22213PC PD CD =+=，CD PD ∴⊥，又CD AD ⊥ ，=PD AD D ⋂，、⊂PD AD 平面PAD ，CD \^平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ；【小问2详解】侧棱PA PD ⊥，点E 为AD 中点.，2AE PE ==，2PA =，PAE ∴ 为正三角形，取AE 中点H ，则PH AD ⊥，1AH =，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，HK ⊂平面ABCD ，所以PH HK ⊥，PH =，在BC 边上取1BK =，连接HK ，可得四边形ABKH 是长方形，可得HK AD ⊥，又= PH HK H ，、⊂PH HK 平面PHK ，所以AD ⊥平面PHK ，作HM PK ⊥，垂足为M ，HM ⊂平面PHK ，AD HM ⊥ ，BC HM ∴⊥，又= BC PK K ，、⊂BC PK 平面PBC ，HM ∴⊥平面PBC ，且2HM =，又//AD BC ，AD ⊄Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，//AD ∴平面PBC ，所以点E 到平面PBC 的距离2d =，且点E 的投影在PBC 内，在PCE 中，2PE =，EC =，由余弦定理得cosPEC ∠=，作EN PC ⊥垂足为N ，由等面积法得EN ==，所以二面角B PC E --的大小α的正弦值39sin 8d EN α==，5cos 8α=；【小问3详解】作GI ⊥平面ABCD ，则//GI PH ，BH 为PB 在平面ABCD 内的射影，所以点B ，I ，H 共线，再在平面PAB 作GJ PB ⊥交AB 于点J ，又FG PB ⊥ ，= FG GJ G ，、⊂FG GJ 平面GFJ ，PB ∴⊥平面GFJ ，设线FJ 交线BH 于点L ，则BG FJ ⊥，又GI FJ ⊥ ，= GI BG G ，、⊂GI BG 平面BGL ，FJ ∴⊥平面BGL ，⊂BL 平面BGL ，得FJ BL ⊥，IL IF ∴≤，90∠∠∠∴≤=- GFI GLI GBL ，又因为cos5BH GBL BP∠===，所以FG 与平面ABCD 所成的最大角的正弦值为5，当点F 为线BH 与AC 的交点时取到最大角.【点睛】方法点睛：求二面角的方法：1.概念法，概念法指的是利用概念直接解答问题；2.空间变换法，空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法；3.空间向量法.。
浙江省浙南联盟2019_2020学年高一数学下学期期中联考试题含解析
浙江省浙南联盟2019-2020学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线10x ++=的倾斜角为（ ） A.3π B.23π C.6π D.56π 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的点斜式即可得出斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】解：设直线的倾斜角为α．直线的点斜式方程是1)y x =+，∴直线的斜率tan k α==．[0α∈，)π，∴56πα=． 故选：D ．【点睛】本题考查了直线的点斜式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2.设数列{}n a 的前n 项和23nn S =+，则5a 的值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】利用数列的前n 项的和与第n 项的关系可得554a S S =-，运算求得结果．【详解】解：数列{}n a 的前n 项和23n n S =+，则()45554232316a S S =-=+-+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查根据数列的前n 项的和求数列的通项公式，利用了数列的前n 项的和与第n 项的关系1n n n a s s -=-，属于基础题．3.有一个内角为120°的三角形的三边长分别是m ，m +1，m +2，则实数m 的值为（ ） A. 1 B.32C. 2D.52【答案】B 【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可得2230m m --=，解方程可得m 的值.【详解】在三角形中，由余弦定理得：()()()22212cos12021m m m m m ︒++-+=+，化简可得：2230m m --=，解得32m =或1m =-（舍）. 故选：B.【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题. 4.设,a b ∈R ，若0a b +<，则下列不等式中正确的是（ ） A. 0a b -> B. 330a b +> C. 220a b -< D. 0a b +<【答案】D 【解析】 【分析】根据b b ≥及已知条件即可判断.【详解】因为b b ≥，所以0a b +<可化为b b a ≤<-，即b a <-，可得0a b +<. 故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质及绝对值的概念，属基础题. 5.已知a ，b ，c 是ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若1a =，b =2A+C =B ，则sin C =（ ） A. 1 B.12【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合三角形内角和可得3B π=，再由正弦定理可得1sin 2A =，求出A 、C 后即可得解. 【详解】由题意3A B C B π++==即3B π=，2sin sin sin 3a b A B ===，∴1sin 22a A ==， 由20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6A π=，∴2C A B ππ=--=， ∴sin sin12C π==.故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 6.下列关于等差数列和等比数列的叙述正确的是（ ） A. 若非常数列{}n a 为等差数列，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也可能是等差数列 B. 若非常数列{}n a 为等比数列，则{}2na 不可能是等差数列C. 若数列{}n a 的前n 项和1nn S a =-()a R ∈，则数列{}n a 可能是等差数列D. 若等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则公差d 可能大于零 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合等差数列的定义可判断A ；举出反例可判断B ；举出例子可判断C ；设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由等差数列前n 项和的函数特性可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，设数列{}n a 的公差为(),0d d ≠，则111111n n n n n n n na a d a a a a a a ++++--==-⋅⋅，由0d ≠、1n n a a +⋅不为定值可知111n na a +-不为定值，故1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不可能是等差数列，故A 错误； 对于B ，若()1nn a =-，则21n a =，此时{}2na 为等差数列，故B 错误；对于C ，若1a =，则110n S =-=，此时0n a =，数列{}n a 是等差数列，故C 正确； 对于D ，设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则()2111222n n n d d a n d a S n n -⎛⎫=+⋅=⋅+- ⎪⎝⎭，若0d >，结合二次函数的图象与性质可知n S 无最大值，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的判断，考查了等差数列前n 项和的函数特性，合理举例、牢记知识点是解题关键，属于中档题.7.已知过点()2,1P 的直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当PA PB ⋅最小时，直线l 的方程为（ ） A. 24x y +=B. 3x y +=C. 25x y +=D.35x y +=【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合三角函数的知识可得1sin PA θ=，2cos PB θ=，结合正弦的二倍角公式可得4sin 2PA PB θ⋅=，求出θ后即可得直线的斜率，再由点斜式即可得解. 【详解】设()090BAO θθ∠=<<，如图：则1sin PA θ=，2cos PB θ=， 所以124sin cos sin 2PA PB θθθ⋅=⋅=， 所以当290θ=即45θ=时，PA PB ⋅最小， 此时，直线的倾斜角为135，斜率tan1351k ==-， 所以直线l 的方程为()12y x -=--即3x y +=. 故选：B.【点睛】本题考查了三角函数、三角恒等变换的应用，考查了直线方程的求解，关键是合理转化条件，属于中档题.8.已知ABC 的面积等于1，且1BC =，则ABC 的外接圆的半径R 的最小值为（ ） A.1617B.1716C.178D.817【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式，结合二倍角公式、基本不等式、对钩函数的单调性可以求出BC 对的角的正弦值的取值范围，最后利用正弦定理进行求解即可.【详解】设ABC 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，所以1a =， 由余弦定理可知：2222cos 1a b c bc A =+-⋅=，而222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号），所以有12cos 2(1)bc A bc +⋅≥，又因为ABC的面积等于1，所以有1sin 1(2)2bc A ⋅=， 因此由(1)(2)得到：22sin 1cos 11cos 1112tan sin sin 4sin 44242sin cos 22A A A A A A A A A --≤⇒≤⇒≤⇒≤，因为(0,)A π∈，所以(0,)22A π∈，因此10tan 24A <≤，由正弦定理可知：222sin cos tan 11111112222(tan )sin 2sin 22422sin cos 2tan tan 2222A A A a A R R A A A AA A ++=⇒=⋅=⋅=⋅=+， 令1tan ,024A x x =<≤因为函数1()f x x x=+在(0,1)上单调递减，所以当1(0,]4x ∈时，也单调递减，故函数1()f x x x=+的最小值为：11117()14444f =+=，所以R 的最小值为117174416⨯=. 故选：B【点睛】本题考查了求三角形外接圆半径的最小值，考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了对钩函数单调性的应用，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.9.已知不等式2301x k kx k -+>-+对任意的正整数k 成立，则实数x 的取值范围为（ ）A. ()(),22,3-∞-⋃B. ()9,2,34⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C. ()(),23,4-∞-D. ()9;3,44⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意转化条件得231x k k x k ⎧>-⎨>-⎩或231x k kx k ⎧<-⎨<-⎩对任意的正整数k 成立，在同一直角坐标系内作出函数()231y x x x =-≥与()11y x x =-≥的图象，并标出x 取正整数的点，数形结合即可得解.【详解】不等式2301x k kx k -+>-+对任意的正整数k 成立，∴23010x k k x k ⎧-+>⎨-+>⎩或23010x k k x k ⎧-+<⎨-+<⎩对任意的正整数k 成立， 即231x k k x k ⎧>-⎨>-⎩或231x k k x k ⎧<-⎨<-⎩对任意的正整数k 成立，在同一直角坐标系内作出函数()231y x x x =-≥与()11y x x =-≥的图象，并标出x 取正整数的点，如图：数形结合可知，若要使231x k k x k ⎧>-⎨>-⎩或231x k k x k ⎧<-⎨<-⎩对任意的正整数k 成立，则()(),22,3x -∞-∈.故选：A.【点睛】本题考查了分式不等式求解及二次函数图象的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.10.已知数列{}n a 满足122n n a a ++≥()*n N ∈，则①数列{}na 单调递增；②()1122n n a a -≥-；③对于给定的实数()1,2r ∈，若n n a r ≤对任意的*n N ∈成立，必有2n a ≤．上述三个结论中正确个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个【答案】A 【解析】 【分析】①利用递增数列定义说明；②将不等式转化为()12n n a a λλ++≥+的形式，利用不等式的基本性质，可得结果；③还将不等式转化为()12n n a a λλ++≥+的形式，分类讨论n a 的取值范围，利用累乘法进行推导，可得结果. 【详解】①∵122n n a a ++≥， ∴12n n n a a a +-≥-，若数列{}n a 单调递增，则10n n a a +->，那么必有20n a ->，即恒有2n a >， ∴①错误；②∵122n n a a ++≥， ∴()1222n n a a +≥--，()1222n n a a -≥--， ()12222n n a a ---≥-，…()12222a a ≥--，∴()()2122222n n a a ---≥-，()()12322222n n a a --≥--，…()()22112222n n a a --≥--，∴()11222n n a a -≥--()()111122222n n n a a a --≥+≥--∴②正确；③∵122n n a a ++≥， ∴()1222n n a a +≥--，(ⅰ)若2n a >，则()1222n n a a +≥--，即1222n n a a +--≥， ∴1222n n a a --≥-， 12222n n a a ----≥，…21222a a --≥， ∴连续相乘得11222n n a a ---≥， ∴()11222n n a a --≥+，对于给定的实数()1,2r ∈，nn a r ≤对任意的*n N ∈不一定成立；(ⅱ)若2n a <，则()1222n n a a +≥--，即1222n n a a +--≤， ∴10222n n a a ---<≤，122202n n a a ----<≤，…210222a a --<≤， ∴连续相乘得11222n n a a ---≤， ∴()11222n n a a --≤+，对于给定的实数()1,2r ∈，nn a r ≤对任意的*n N ∈成立；(ⅲ) 若2n a =，当1n =时，对于给定的实数()1,2r ∈，12a r =>；综上所述对于给定的实数()1,2r ∈，若nn a r ≤对任意的*n N ∈成立，则有2n a <.∴③错误.【点睛】本题考查数列增减性的判断，数列不等式恒成立问题，构造不等式的能力，考查理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，36S =，则公差d =________；5S =________．【答案】 (1). 1- (2). 5 【解析】 【分析】由已知条件列方程组求出公差和首项，进而可求出5S . 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为31a =，36S =，所以112132362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=-⎩， 所以515454515(1)522S a d ⨯⨯=+=+⨯-=， 故答案为：1-；5【点睛】此题考查等差数列中的基本量的计算，属于基础题.12.已知直线l ：23y x =+，则点()1,0M 到直线l 的距离等于________；直线l 关于点M 对称的直线方程为________．【答案】270x y --= 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式求点()1,0M 到直线l 的距离；设00(,)x y 为对称直线上任一点，根据它关于点M 的对称点为00(2,)x y --在直线l 上，可得00=2(2)3y x --+，从而可得所求直线方程.【详解】解：点()1,0M 到直线l==， 设00(,)x y 为对称直线上任一点，则其关于点M 的对称点为00(2,)x y --，因为该点在直线l 上，所以00=2(2)3y x --+，化简得00270x y --=， 所以所求的直线方程为270x y --=，270x y --=【点睛】此题考查了点到直线的距离公式，考查了直线关于点对称的直线方程的求法，属于基础题.13.已知实数x ，y 满足31333x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________，1x yz x +=+的最小值为________.【答案】 (1). 6 (2). 1- 【解析】 【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组的表示的平面区域.空一：平行移动直线2y x =-，在平面区域内，找到一点使得直线2y x z =-+在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可；空二：对目标函数进行变形为斜率模型，利用斜率的几何意义进行求解即可. 【详解】在平面直角坐标系内画出不等式组的表示的平面区域如下图所示.空一：在平面区域内，平行移动直线2y x =-，当直线2y x z =-+经过点A 时，该直线在纵轴上的截距最大，点A 的坐标就是直线330x y --=与横轴交点的坐标，即(3,0)， 所以2z x y =+的最大值为：2306⨯+=； 空二：1111111x y x y y z x x x +++--===++++，其中11y k x -=+，要想求z 的最小值，就是求k 的最小值，k 的几何意义就是平面区域内一点与点(1,1)P -的斜率，显然平面区域由点(0,1)B -与点(1,1)P -的斜率最小，最小值为：min 11201k --==-+， 所以min 1(2)1z =+-=-. 故答案为：6；1-【点睛】本题考查了利用数形结合思想求目标函数的最值问题，考查了代数式的几何意义，考查了斜率的公式的应用，考查了数学运算能力.14.如图，在ABC 中，D 为边BC 上的一点，若3AB =，32AC =3cos 4BAD ∠=，2cos 4BAC ∠=，则sin CAD ∠=________，AD =________.【答案】 (1). 148(2). 2 【解析】 【分析】由题意结合同角三角函数的平方关系可得sin BAD ∠、sin BAC ∠，再由差角的正弦公式即可得sin CAD ∠；再利用三角形面积公式结合等面积法即可得AD ；即可得解. 【详解】3cos 4BAD ∠=，2cos 4BAC ∠=，()0,BAD π∠∈，()0,BAC π∠∈， ∴27sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=，214sin 1cos BAC BAC ∠=-∠=， ∴()sin sin sin cos cos sin CAD BAC BAD BAC BAD BAC BAD ∠=∠-∠=∠∠-∠∠14327414=-=又3AB =，322AC =， ∴ABC 的面积11322321497sin 248ABC AB AC BA S C ⋅⋅∠⨯===⨯△，∴11sin si 22n ABC ABD ADC AB AD S S S A BAD AD C CAD ⋅⋅∠+⋅⋅=+=∠△△△ 71497974816113232282AD AD AD ⨯⨯⨯=+⋅==， ∴2AD =.故答案为：148；2. 【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、差角正弦公式的应用，考查了三角形面积公式及等面积法的应用，属于中档题. 15.已知21a b +=（a ，0b >），则41a b b++的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【分析】 根据21a b +=，利用“1”的代换，将41a b b++转化为()414145b a b a b b a b b a b b a b b+⎛⎫+=+++=++ ⎪+++⎝⎭，利用基本不等式求解. 【详解】因为21a b +=， 所以1a b b ++=，所以()41414559b a b a b b a b b a b b a b b +⎛⎫+=+++=++≥+= ⎪+++⎝⎭， 当且仅当4b a b a b b +=+，即11,33a b ==时，取等号. 所以41a b b++的最小值为9. 故答案为：9【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 16.已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________． 【答案】()2,1 【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1.【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m =可得，2d b =-，令1m =可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =-，由31a a -=-可得，2a =，即有1b =或3b =．当定点A 为()2,1时，22111m d m +===+，符合题意； 当定点A 为()2,3时，22131m d m -==+，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为()2,1．故答案为：()2,1．【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．17.若对任意02x ≤≤，恒有2x ax b c ++≤成立，则当c 取最小值时，函数()24f x x a x b x c =-+-+-的最小值为________．【答案】198【解析】 【分析】由题意结合二次函数的图象与性质可得当c 可取最小值时，2a =-、12==b c ，再由零点分段法可得分段函数()f x 的解析式，即可得解.【详解】令()2h x x ax b =++，由题意知当()()()021h h h ==-时，c 可取最小值，此时()421b a b b a b =++⎧⎨=-++⎩，解得212a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，则()102c h ==，所以()112422422f x x a x b x c x x x =-+-+-=++-+- 171,41132,84153,2871,2x x x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪+<<⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎪⎪--≤-⎩， 所以()f x 的最小值为15193888f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭. 故答案为：198. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质与应用，考查了零点分段法的应用及分段函数最值的求解，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos c a B =． （1）判断ABC 的形状； （2）若1c =，6C π=，求ABC 的面积．【答案】（1）等腰三角形；（2. 【解析】 【分析】（1）由题意结合余弦定理可转化条件为22a b =，即可得解；（2）由题意结合余弦定理可得22a =.【详解】（1）∵2cos c a B =，∴22222a c b c a ac+-=⋅，∴2222a c b c +-=即22a b =， ∴a b =，ABC 为等腰三角形； （2）由（1）知a b =，∴2222221cos 22a b c a C ab a +--===，解得22a =∴2112sin sin 224ABC S ab C a C ===△． 【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 19.记数列n a 的前n 项和为n S ，且11a =，11n n a S +=+. （1）求数列n a 的通项公式； （2）求数列n na 的前n 项n T ． 【答案】（1）()1*2n n a n N -=∈；（2）()121nnT n =-+.【解析】 【分析】（1）根据n a 与n S 的关系1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出；（2）由（1）可知，12n n n b na n -==⋅，根据错位相减法即可求出．【详解】（1）由11n n a S +=+……①，可得11n n a S -=+……②（2n ≥） ①－②得12n n a a +=（2n ≥），而11a =， ∴21111122a S a =+=+==，即有()*12n na n N a +=∈ 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为1*2nna nN ．（2）由题得12n n n b na n -==⋅，令0121121222322n n n T b b b n -=+++=⋅+⋅+⋅++⋅，有12321222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，所以()1211212222212112nn nn n n T n n n ---=++++-⋅=-⋅=---，从而()121n n T n =-+．【点睛】本题主要考查利用n a 与n S 的关系1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求数列的通项公式，以及错位相减法的应用，属于基础题．20.已知直线l 的方程为()1210a x y a -+-+=（a R ∈）． （1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 正半轴、射线2y x =（0x ≥）分别交于P ，Q 两点，当a 为何值时，OPQ △的面积最小？【答案】（1）20x y -=或30x y +-=；（2）2a =. 【解析】 【分析】 （1）当12a =时，符合题意，当12a ≠时，将直线方程化为截距式，根据截距相等得到方程，解得即可；（2）依题意可得()(),11,a ∈-∞-+∞，联立两直线方程求出交点坐标，由()2221121OPQQ P a S y x a -==-△，令21t a =-，将上述式子化为222441411321OPQt S t t t ==+-⎛⎫-+⋅+ ⎪⎝⎭△根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）当12a =时，原直线方程即为20x y -=，符合题意． 当12a ≠时，原直线方程可化为截距式方程121211x ya a a +=---，此时，只需满足21211a a a -=--，即2a =．此时直线方程为30x y +-= 综上所述，直线l 的方程为20x y -=或30x y +-=．（2）∵直线l 与x 轴正半轴、射线2y x =（0x ≥）交于两点P ，Q ，有()(),11,a ∈-∞-+∞．由()12102a x y a y x⎧-+-+=⎨=⎩，解得()211Q a y a -=+，令0y =，可得211P a x a -=- 从而()222111214222111OPQQ P a a a S y x a a a ---==⋅=-+-△， 令21t a =-，有()22224344414111132133OPQ t S t t t t ===+-⎛⎫⎛⎫-+⋅+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△因为211334433t ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭，所以243113343OPQ S t =≤⎛⎫--+ ⎪⎝⎭△ 当3t =即2a =时取等号，此时直线l 的方程为30x y +-=．【点睛】本题考查了直线的截距式、二次函数的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了计算能力，属于中档题． 21.已知函数()21f x x ax a =-+-．（1）求不等式()0f x <的解集；（2）当[]0,x t ∈时，不等式()()121f x x a ≤+-对任意的0a >恒成立，求实数t 的最大值．【答案】（1）答案见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）由于方程()210f x x ax a =-+-=的两个根分别为1,1x x a ==-，所以分情况讨论求不等式()0f x <的解集；（2）()()121f x x a ≤+-等价于()2211210x a a x a a -+-+---≤，所以只需当0a >时，()21210211210a a t a a t a a ⎧---≤⎪⎨-+-+---≤⎪⎩成立即，所以构造函数()()221121h a t a a t a a =-+-+---分情况讨论即；或直接去绝对值求解.【详解】（1）∵()()21110x ax a x x a -+-=--+<，当2a >时，解集为()1,1-a ； 当2a <时，解集为()1,1a -； 当2a =时，解集为∅．（2）解法1：原不等式等价于()2211210x a a x a a -+-+---≤，只需()21210211210a a t a a t a a ⎧---≤⎪⎨-+-+---≤⎪⎩对任意的0a >成立， 而1210a a ---≤显然成立，记()()221121h a t a a t a a =-+-+---当12a ≥时， ()()2310h a t a t t =--++≤，只需310102t h --≤⎧⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01t ≤≤；当102a <<时，()()2320h a t a t t =++--≤，只需()00102h h ⎧≤⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01t ≤≤； 故t 的最大值为1． 解法2：直接去绝对值 当12a =时，原不等式等价于211022x x --≤，解得01x ≤≤； 当12a >时，即231x x a x +≥+恒成立，只需21231x x x +≥+，解得01x ≤≤；当12a <时，即223x x a x +-<+恒成立，只需21223x x x +-≤+，解得01x ≤≤；故t 的最大值为1.【点睛】此题考查了解一元二次不等式，绝对值不等式，及不等式恒成立问题，属于中档题. 22.已知等差数列{}n a 与数列{}n b 满足1133a b ==，222a b =，且()123n n n n nb nb a ++=-⋅()*n N ∈.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和分别为n S ，n T ，证明：2277n n n T S S +<. 【答案】（1）()()*314n n n b n N --=∈；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）令1n =，可由()123nn n n nb nb a ++=-⋅求出2b ，进而求出2a ，得到等差数列{}n a 的通项公式，于是有13n n n b b ++=，构造数列11113333n n n n b b +++⋅=，设3n n n b c =，可变形得到1111434n n c c +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，求出n c ，即可得数列{}n b 的通项公式．其它解法参考解析； （2）要证2277n n n T S S +<，即证2277n n n T S S <-，根据2n n S S -的表达式可知其关于n 单调递增，即证274n T <，再通过放缩法即可证出，多种放缩方式见解析． 【详解】（1）令1n =有()211323b b a +=-=，所以22b =，即24a =，所以2n a n =+，即13n n n b b ++=．由13n n n b b ++=得11113333n n n n b b +++⋅=， 设3n n n b c =，则11133n n c c ++=，可得1111434n n c c +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 又113c =，故11114123n n c -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，则()()*314n n n b n N --=∈． 解法2：由13n n n b b ++=，有113n n n b b --+=，（2n ≥），相减得11123n n n b b -+--=⨯，（2n ≥），则13123b b -=⨯，35323b b -=⨯，……，23212323n n n b b ----=⨯，相加得()12113914n n b b ----=，则2121314n n b --+=，（2n ≥），当1n =时上式也成立．又212213n n n b b --+=得22314n n b -=，故()()*314nn n b n N --=∈．解法3：由13n n n b b ++=构造等比11113344nn n n b b ++⎛⎫-⋅=--⋅ ⎪⎝⎭也可以．（2）只需证2277n n n T S S <-．由（1）有2n a n =+，所以21113422n n S S n n n -=++++++，记为n C ，而1111023243n n C C n n n +-=+->+++，所以n C 单调递增，有114n C C ≥=只需证()22244473131431n n n T =++<+---．证法1：∵()()()212212212212433114431313131n n n n n n n n b b ----++=+=+-+-()212212212433443333n n n n n n---+<=+⋅ 故3421212212111114444123333n n n n b b b b --++++<++++++223213231626371293291836364n -⎛⎫=+-<+==<= ⎪⎝⎭． 证法2：13211321111444313131n n b b b --+++=++++++352122444117111333636n n --⎛⎫<++++=+-< ⎪⎝⎭又2249(2)3123n nn <≥-⋅ 则242242111444313131n n b b b +++=+++--- 4219972232312n <++⋯⋯+<⋅⋅ 所以1221211117776124n n b b b b -++++<+=． 证法3：∵()21411(2)2331n n n n n b -=<⋅≥--， ∴2212212111111111122323n n n b b b b --++++<++⋅+⋅ 2111137231114413n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+<+=-． 【点睛】本题主要考查利用数列递推式和构造法求数列的通项公式，以及放缩法证明数列不等式的恒成立问题，涉及等差数列的通项公式，等比数列的定义和通项公式，前n 项和公式的应用，意在考查学生的转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，综合性强，属于较难题．。
浙江省浙东北(ZDB)联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学含答案
浙东北联盟（ZDB ）2022－2023学年第二学期期中考试高一数学试卷（答案在最后）命题学校：总分150分考试时间120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，则AE =（）A.12AB AD +B.12AB AD -C.12AB AD+ D.12AB AD- 【答案】A 【解析】【分析】直接根据向量基本定理分解向量即可.【详解】12A AD DC AB A E D +==+ .故选：A.2.已知复数()1iia z a +=∈R 是纯虚数，则a =（）A.1- B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】先将z 整理为i a b +的形式，再由纯虚数的概念求解即可.【详解】由题,21i (1i)i ii i i 1a a a z a ++-+====--,因为z 为纯虚数，所以0a =.故选：B .3.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若sin sin a B b C =，则ABC V 是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，即可判断三角形形状.【详解】在ABC V 中，由正弦定理及sin sin a B b C =，得ab bc =，而0b >，因此a c =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：A4.已知非零向量,a b 满足a b = ，且()2a a b ⊥+ ，则a 与b的夹角为（）A.π6B.5π6C.π3 D.2π3【答案】D 【解析】【分析】由题意可得220a a b +=，进而利用向量夹角公式可求a 与b 的夹角.【详解】因为()2a a b ⊥+ ，所以()2220a a b a a b +=+=，所以21||2a b a =- ，所以1cos ,2||||a b a b a b ==-，所以a 与b 的夹角为2π3.故选：D.5.已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（）A .1:1B.2:1C.2:3D.3:2【答案】A 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，由已知可得2R =，可求得圆锥的表面积与球的表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，因为圆锥的轴截面是正三角形，所以圆锥的高为h =，母线长为2l r =，由题意可得2h R =，所以32R =，所以圆锥的表面积为221ππ3πS rl r r =+=，球的表面积为22223S =4π4π()3π2R r r ==，所以12:1:1S S =.故选：A.6.任何一个复数()i ,R z a b a b =+∈都可以表示成()cos isin z r θθ=+的形式．其中r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量(),OZ a b =所在射线为终边的角，叫做复数i z a b =+的辐角．我们规定在02πθ≤<范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为arg z ．那么()arg 1-+=（）A.4π3 B.2π3C.π3D.π6【答案】B 【解析】【分析】根据复数辐角的主值的定义计算即可.【详解】1z =-对应的平面向量(OZ =-，设辐角为θ，1tan ,02π12θθθ-===≤<-，所以2π3θ=.()2πarg 1=3-+.故选：B.7.设A ，B ，C ，D 是同一个半径为5的球的球面上四点，ABC V 是斜边为8的直角三角形，则三棱锥A BCD -体积的最大值为（）A.643B.64C.1283D.128【答案】C 【解析】【分析】依题意可得ABC V 的外接圆的半径4r=，即可求出球心到平面ABC 的距离d ，求出ABC V 面积的最大值，及点D 到平面ABC 的距离的最大值，最后根据锥体体积公式计算可得.【详解】ABC 是斜边为8的直角三角形，ABC ∴ 的外接圆的半径4r =，又球的半径5R =，∴球心到平面ABC 的距离3d ===，又ABC V 面积的最大值为184162⨯⨯=，点D 到平面ABC 的距离的最大值为358d R +=+=，∴三棱锥A BCD -体积的最大值为112816833⨯⨯=．故选：C ．8.某人的正北方有一座高塔，此时测得塔顶的仰角为60︒．随后此人沿北偏东60︒的方向前进20米，再测得塔顶的仰角为45︒．那么，此人在行进过程中距离塔顶的最近距离为（）（人的身高忽略不计）A. B. C.20D.【答案】D 【解析】【分析】作出示意图，设塔AB 的高为x ，由题意得60,45ACB BCD ADB ∠=∠=︒∠=︒，利用余弦定理可求得x =A 到CD 的距离.【详解】设塔AB 的高为x ，由题意得60,45ACB BCD ADB ∠=∠=︒∠=︒，则,3CB x BD x ==，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-∠ ，所以2221120220332x x x =+-⨯⨯⨯，解得x =x =-（舍去），所以20,AC AD ==在ACD 中，由余弦定理可得4004006001cos 220204ACD +-∠==⨯⨯，所以sin 4ACD ∠=，所以A 到CD 的距离为204⨯=.故选：D.二、多项选择题（本题共有4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知复数1i z =+，则下列说法正确的是（）A.z 的虚部为iB.z =C.在复平面内与z 对应的点在第一象限 D.1iz =-【答案】BCD 【解析】【分析】根据复数虚部的定义，复数模的运算公式、复数在复平面的坐标、共轭复数的定义逐一判断即可.【详解】A ：因为复数1i z =+的虚部为1，所以本选项说法不正确；B ：因为1i z =+，所以z ==，所以本选项说法正确；C ：复数1i z =+在复平面内与z 对应的点的坐标为()1,1，所以本选项说法正确；D ：因为1i z =+，所以1i z =-，因此本选项说法正确，故选：BCD10.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知π,26A c ==，且该三角形仅有唯一解，则a 可能的取值有（）A.1B.C.D.【答案】AD 【解析】【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到sin a c A =或a c ≥，求出参数a 的取值范围，从而得解.【详解】由于π,26A c ==，ABC V 有唯一解，则sin 1a c A ==或2a c ≥=，即{1}[2,)a ∈+∞ ，所以a 可能的取值为，AD 正确，BC 错误.故选：AD11.已知点P 为边长为2的正方形ABCD 边上一动点，则AC AP ⋅可能的取值是（）A.0B.4C.8D.12【答案】ABC 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示即可得解.【详解】以点A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,2),A C 当P 在BC 上时，(2,),[0,2]P m m ∈，则(2,)(2,2)42[4,8]AC AP m m ⋅=⋅=+∈；当P 在AB 上时，(,0),[0,2]P m m ∈，则(,0)(2,2)2[04],AC AP m m ⋅=⋅=∈；同理可求P 在,CD AD 上时，AC AP ⋅的范围，综上可得[0,8]AC AP ⋅= .故选：ABC.12.如图，已知三棱锥P ABC -满足,AB BC P ⊥在底面的投影O 为ABC V 的内心，D 是棱AB 上的点（不含端点）．记直线PD 与直线BC 所成的角为α，直线PD 与平面ABC 所成的角为β，二面角P BC D --的平面角为γ，则下列关系一定正确的是（）A.αβ≤ B.γα≤ C.≤βγ D.≤βα【答案】BCD 【解析】【分析】过O 分别向,,AB BC CA 引垂线，设垂足分别为,,E F G ，过D 作//DH BC ，过F 作//FH AB ，则,,F O H 三点共线，通过线线角、线面角以及面面角的定义得出PDH α∠=，PDO β∠=，PFO γ∠=，通过余弦定理比较它们的大小即可得解.【详解】过O 分别向,,AB BC CA 引垂线，设垂足分别为,,E F G ，由题意P 在底面的投影O 为ABC V 的内心，所以OE OF OG r ===，其中r 是ABC V 的内切圆的半径，因为,,OE AB OF BC AB BC ⊥⊥⊥，所以四边形EBFO 为正方形，且边长为r ，过D 作//DH BC ，过F 作//FH AB ，则,,F O H 三点共线，所以PDH α∠=，因为⊥PO 平面ABC ，且点P 在平面ABC 内的投影是O ，则PDO β∠=，又因为⊂BC 平面ABC ，所以PO BC ⊥，而,,,OF BC PO OF O PO OF ⊥⋂=⊂平面POF ，从而⊥BC 平面POF ，因为PF⊂平面POF ，所以BC PF ⊥，又因为OF BC ⊥，OF ⊂平面DBC ，PF ⊂平面PBC ，平面DBC 平面PBC BC =，所以PFO γ∠=，设,0DE x x =≥，,0PO h h =>，,0OF r r =>，注意到DH EO r ==，HG DE x ==，则DO =PH =，PF =PD ==，由余弦定理有，222222cos r x r h x h α+++-+==，从而cos cos αβ==且cos cos βγ==，cos cos γα===而π,,0,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以≤βα，≤βγ，γα≤，故BCD 正确，A 错误.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：关键在于利用线线角、线面角以及面面角的定义找到对应的平面角，结合解三角形知识即可顺利得解.三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.一个菱形的边长为4，一内角为60︒，若用斜二测画法画出其直观图，则该直观图的面积为______．【答案】【解析】【分析】计算出菱形的面积，根据直观图面积与原图形面积之比为可计算得到结果.【详解】因为菱形的面积为2244⨯⨯=，其直观图的面积为4⨯=.故答案为：14.设复数232023i i i i z =+++⋅⋅⋅+，则z =______．【答案】1-【解析】【分析】根据复数的四则运算结合i 的性质运算求解.【详解】因为232023i i i i z =+++⋅⋅⋅+，则3422024i i i i i z =+++⋅⋅⋅+，两式相减得()()20241i i i 1i z -=-=--，所以1z =-.故答案为：1-.15.在凸四边形ABCD 中，已知60,30,2,4ABC ADC AB BC AD ∠=∠===︒=︒，则BD 的长为______．【答案】27【解析】【分析】根据题意画出草图，利用正弦定理、余弦定理解三角形即可.【详解】如图：凸四边形ABCD在ABC V 中，60ABC ∠=︒，2AB BC ==，所以ABC V 为等边三角形，所以2AC =；在ACD 中，2AC =，4=AD ，30ADC ∠=︒，由正弦定理：sin sin AC ADADC ACD =∠∠⇒24sin 30sin ACD=︒∠⇒sin 1ACD ∠=⇒=90ACD ∠︒；所以4cos303CD =︒=.在BCD △中，2BC =，3CD =，6090150BCD ∠=︒+︒=︒，由余弦定理：2222cos BD CB CD CB CD BCD =+-⋅⋅∠34122232⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭28=，所以7BD =.故答案为：2716.已知平面向量,,a b c，其中,a b 为单位向量．若1,2a b ⋅=- - a c 与b c - 的夹角为60︒，记m 为()()()1f t c ta t b t =---∈R的最小值，则m 的最大值是______．【答案】32【解析】【分析】根据π3ACB ∠=，2π3AOB ∠=可得四点共圆，即可共线得()()1f t c ta t b CD =---= ，结合图形即可求解最值.【详解】令a OA =，b OB =，c OC =，,a b为单位向量．1OA OB == ，1,2a b ⋅=- 则2π3AOB ∠=，由于- a c 与b c -的夹角为60︒，所以π3ACB ∠=，πAOB ACB ∠+∠= ，故不妨取,O A ，C ，B 四点共圆情况，π6∠=∠=OAB OBA ,∴外接圆的直径为22πsin6OA r==，C在优弧AB上，(1)1t t+-=，(1)ta t b∴+-表示起点为O，终点在直线AB上的向量OD，由于()1c ta t b OC OD DC---=-=()()1f t c ta t b DC=---=，O到AB的距离为π1sin62OA=，设C到AB的最大距离为π32sin62r OA-=由于m为()()()1f t c ta t b t=---∈R的最小值，则当DC AB⊥时()f t最小，故m的最大值为π32sin62r OA-=，此时CD过圆心且CD AB⊥故答案为：32．四、解答题（本题共6个小题，共70分）17.已知向量()()()1,2,2,1,,1a b c x==-=．（1）若()3a b c+∥，求实数x的值；（2）若()3a cab+⋅=，求实数x的值．【答案】（1）7x=-（2）x=±【解析】【分析】（1）由已知得710x--⨯=，求解即可；（2）由已知可得5=，求解即可.【小问1详解】()37,1a b+=-，故由()3a b c+∥，可得710x--⨯=，解得7x=-．【小问2详解】由()3a c a b +⋅=，得5=，解得x =±．18.如图，E 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 的中点．（1）求证：//AC 平面1BED ；（2）求直线AC 与1ED 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）根据中位线可得AC EO ∥，即可由线面平行的判定求证，（2）由线线平行可得1D EO ∠即为直线AC 与1ED 所成角，即可由余弦定理求解.【小问1详解】连接1AC 与1BD 交于点O ，连接EO ．显然O 为1AC 的中点，所以AC EO ∥．又因为EO ⊂平面1,BED AC ⊄平面1BED ，所以//AC 平面1BED ．【小问2详解】由（1）可知1D EO ∠即为直线AC 与1ED 所成角，在1Rt D EO 中,122OE AC AB ==,1111,222OD BD AB ED AB====由余弦定理得2221111cos 25D E EO D O D EO D E EO +-∠==⋅．19.在①2sin tan b A a B =，②()()a b c b c a ac +-+-=，③cos 2ABC S ac B =△这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且______．（1）求角B 的大小；（2）若ABC S = ，求b 的最小值．【答案】（1）π3B =（2）2【解析】【分析】（1）应用正弦定理边角互化或余弦定理计算求值；（2）先根据面积公式得出4ac =，再结合余弦定理结合基本不等式得出最小值.【小问1详解】选①sin sin 1π2sin tan 2sin sin cos cos 23A B b A a B B A B B B =⇒=⇒=⇒=；选②()()2221πcos 223a cb a bc b c a ac B B ac +-+-+-=⇒==⇒=；选③31πcos sin tan 223ABC S ac B ac B B B ==⇒=⇒=△．【小问2详解】由1sin 2ABC S ac B == 可得4ac =．根据余弦定理有2224b a c ac ac =+-≥=，因此当且仅当2a c ==时，b 的最小值为2．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，//,AB CD CD BC ⊥，22,PB CD AB PA BC =====．（1）若点O 为CD 中点，求证：AB ⊥平面PAO ；（2）若二面角P AB C --的平面角为60︒，求点D 到平面PAC 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）61313【解析】【分析】（1）只需分别证明PA AB ⊥，AB AO ⊥，再结合线面垂直的判定定理即可得证；（2）根据题设条件得60PAO ∠= ，进一步PE ⊥平面ABCD ，三角形PAO 是等边三角形，其中E 是AO 中点，分别算出,AC PC 的长度即可求出三角形PAC 的面积，求出13P ACD ACD V PE S -=⋅△，如何利用等面积法即可求解.【小问1详解】取CD 中点O ，连接PO ．因为22,3PB CD AB PA BC =====，所以222PA AB PB +=，即PA AB ⊥，AB OC =，因为//,AB OC CD BC ⊥，所以四边形ABCO 是矩形，所以AB AO ⊥，又因为PA AB ⊥，,PA AO ⊂平面PAO ，PA AO A = ，故AB ⊥平面PAO ．【小问2详解】因为,PA AB AO AB ⊥⊥，PA ⊂平面PAB ，AO ⊂平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，故PAO ∠即为二面角P AB C --的平面角，所以60PAO ∠= ．过点P 作PE AO ⊥于点E ，因为AB ⊥平面PAO ，PE ⊂平面PAO ，所以PE AB ⊥，因为,,AO AB A AO AB ⋂=⊂平面AOCB ，所以PE ⊥平面ABCD ．因为3PA BC AO ===，60PAO ∠= ，所以三角形PAO 是等边三角形，从而3313,3,233222ACD PO PE S ====⨯=△，故113333322P ACD ACD V PE S -=⋅=⨯=△．因为22222931244PC PE EC PE EO OC =+=++=++=，又132,3AC PA =+==则等腰三角形APC 的面积为：22133932224PAC S ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，记D 到平面PAC 的距离为d ，由13P ACD D PAC PACV V d S --==⋅△可求得33961332413d =÷=．21.丰义村位于海盐县通元镇，在村民的共同努力下近年来先后获得“浙江省新时代美丽乡村精品村”和“全国乡村治理示范村”称号，完成了从传统自然村落到网红景区村的华丽变身．目前村里有一块三角形区域ABC 待开发使用，其中3,1,2AB BC AC ===（单位：百米）．现规划于该区域中建造一座观景亭O ，始终满足OB OC ⊥．（1）求区域OBC 的最大面积；（2）当π6OCB ∠=时，求OA 的值；（3）若打算从观景亭出发铺设三条垂直到达区域边界的景观道，其中到达边界AB 的景观道造价为1百元/米，到达边界,AC BC 3百元/米．目前村委会筹集到2万元项目资金，问：这部分资金能否保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工？【答案】（1）14（百米2）（2）72（3）这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数可得sin ,cos ,OB OC θθ==即可由三角函数的性质求解最值，（2）由余弦定理即可求解，（2）根据三角恒等变换得1π5sin 2264y θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可由三角函数的最值求解.【小问1详解】记OCB θ∠=，则111sin ,cos ,sin cos sin2244OCB OB OC S θθθθθ====≤△（百米2）．当且仅当π22θ=，即π4θ=取等号，故最大值为14【小问2详解】此时1π,26OB OCB ABO =∠=∠=，在ABO 中，2272cos 2OA AB OB AB OB ABO =+-⋅∠=．【小问3详解】易得2πsin ,sin cos ,cos sin 3OD OE OF θθθθθ⎛⎫===-⎪⎝⎭，记造价为y 万元，则y OD =++2πsin cos sin 3θθθθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1π57sin 22644θ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，（π6θ=时取到最大值）故这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工．22.如图，在三棱台ABC DEF -中，360,120,13BAC ACF BCF BC CF AF ∠=︒∠=∠====︒．（1）证明：CF DE ⊥；（2）求直线DF 与平面ABF 所成角的正弦值；（3）当点C 到平面ABED 距离最大时，求三棱台ABC DEF -的体积．（注：()13V h S S =+'棱台，其中h 是高，,S S '分别是上下底面面积．）【答案】（1）证明见解析（2）11（3）108【解析】【分析】（1）根据正余弦定理可得BF AF ==,AB OF AB OC ⊥⊥，由线面垂直的判定即可求证，（2）根据可知平面ABF ⊥平面OCF ，作CG OF ⊥，连接AG ，则CAG ∠即为直线AC 与平面ABF 所成角．即可利用三角形的边角关系求解长度得解.（3）当OC ⊥平面ABED 时，C 到平面ABED 距离最大，进而根据三角形的边角关系求解长度，即可由体积公式求解.【小问1详解】证明：在ACF △11sin sin 22CAF CAF =⇒∠=∠，由于CAF ∠为锐角，故π6CAF ∠=，故π6CFA ∠=，所以1,CA =由60,BAC ∠=︒所以1,AB AC ==．又120,1ACF BCF BC ∠︒=∠==，所以BF =所以BF AF ==取AB 中点O ，连接,OF OC ，则,AB OF AB OC ⊥⊥，,,OF OC O OF OC ⋂=⊂平面OCF ，故AB ⊥平面,OCF CF ⊂平面,OCF AB CF ⊥，由三棱台的性质可知AB DE ∥，所以DE CF ⊥．【小问2详解】由三棱台的性质可知AC DF ∥，所以直线DF 与平面ABF 所成角即为直线AC 与平面ABF 所成角．由AB ⊥平面OCF ，AB ⊂平面ABF ，可知平面ABF ⊥平面OCF ，且两平面的交线为OF ，作CG OF ⊥，连接AG ，则CAG ∠即为直线AC 与平面ABF 所成角．在OCF △中，,222OC AB OF ===，余弦定理可得222cos 233OF OC CF COF OF OC +-∠==⋅，故sin ,sin 3311COF CG OC COF ∠==⋅∠=，所以sin 11CG CAG AC ∠==，故直线DF 与平面ABF所成角的正弦值为11．【小问3详解】取DE 中点H ，连接,OH HF ，,,,,OH AB OC AB OH OC O OH OC ⊥⊥⋂=⊂平面OHFC ，故AB ⊥平面OHFC ，AB ⊂平面ABED ，所以平面OHFC ⊥平面ABED ，故OC ⊥平面ABED 时，C 到平面ABED 距离最大．可以算得222353cos ,cos ,236CF OC OF OCF HF OC CF CFH CF OC +-∠==-=+∠=⋅56,sin 3332DE OH CF CFH ===∠=，,,,,OH AB OH OC AB OC O AB OC ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ，故OH ⊥平面ABC 故332,,436108ABC DEF ABC DEF S S V -===△△．。
浙江省浙北G2(湖州中学、嘉兴一中)2019-2020高一下学期期中数学试题(wd无答案)
浙江省浙北G2(湖州中学、嘉兴一中)2019-2020高一下学期期中数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 不等式的解集为（）A．B．C．D．(★) 2. 已知等差数列中，，，则公差（）A．B．C．1D．2(★) 3. 设、、，，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．(★) 4. 在中，若，则角的值为（）A．B．C．D．(★★) 5. 设公比为的等比数列的前项和为．若，，则（）A．B．C．D．2(★★) 6. 中，，的对应边分别为，，，满足，则角的范围是（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知各项均不为0的等差数列满足，数列为等比数列，且，则等于（）A．16B．8C．4D．2(★★★) 8. 在的条件下，目标函数的最大值为，则的最小值是（）A．B．C．D．(★★★) 9. 在锐角中，，的对边长分别是，，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 的值最接近（）A．B．C．D．二、双空题(★★★) 11. 中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则______，的面积______．(★★★) 12. 已知数列的前项和，则首项______，通项式______．(★★★) 13. 若实数，满足，，则的最大值为______，该不等式组表示的平面区域的面积是______．(★★★) 14. 在中，若，，，，则 ______ ，______ ．三、填空题(★★★) 15. 已知，，，则的最小值为______．(★★★) 16. 在数学课上，老师定义了一种运算“ ”：对于，满足以下运算性质：① ；② ，则的数值为______．(★★★) 17. 已知，，设函数的最大值为，则的最小值为______．四、解答题(★★★) 18. 已知的内角，，的对边分别是，，，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．(★★★) 19. 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式有且仅有2个整数解，求正实数的取值范围．(★★★) 20. 已知数列满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，，求数列的通项公式．(★★★)21. 的内角，，的对边分别为，，，已知，为的角平分线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的长．(★★★) 22. 设为数列的前项和，已知，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江省浙东北联盟(ZDB)2019-2020高一下学期期中数学试题(wd无
答案)
一、单选题
(★) 1. 不等式的解集是（）
A．B．或C．D．或
(★) 2. 在等差数列中，，，则（）
A．10B．8C．9D．11
(★) 3. 在中，内角、、所对的边分别为、、，，则（）
A．B．C．或D．
(★) 4. 若非零实数 a， b满足，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．D．
(★★) 5. 已知，，则（）
A．B．C．D．
(★) 6. 等比数列的各项均为正数，且，则（）
A．27B．81C．243D．729
(★★) 7. 数列是等差数列，前 n项和为，若，，那么当取得最大值时，
n等于（）
A．14B．17C．15D．16
(★★) 8. 已知，则（）
A．B．C．D．
(★★) 9. 若等差数列的公差为，前项和为，记，数列的前项和为，记，则（）
A．数列是等差数列，的公差也为
B．数列是等差数列，的公差为
C．数列是等差数列，的公差为
D．数列是等差数列，的公差为
(★★★) 10. 对于任意的，总存在，使得恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、双空题
(★) 11. ___________；_______________．
(★) 12. 在正项等比数列中，若，，则___________；___________．(★★) 13. 已知，，则____________；_______________．
(★★) 14. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则_________；_______________．
三、填空题
(★★★) 15. 已知实数、满足，，，则的最小值是
______________．
(★★) 16. 已知三条边上的高分别为3，4，6，则最小内角的余弦值为
______________．
(★★) 17. 以为始边作角，将的终边按照某种规律逆时针旋转得角，接下来按照
同样的规律进行旋转，，依此类推，的终边旋转得角，已知，，．则_______________（用含的代数式表示）．
四、解答题
(★★) 18. 设函数，．
（1）求的值；
（2）已知，，求的值．
(★★★) 19. 已知，若关于 x的不等式的解集是．
(1)求 a的值；
(2)若关于 x的不等式在上恒成立，求实数 b的取值范围.
(★★★) 20. 已知等差数列满足：，．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
(★★★) 21. 在中， A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知．（1）求角 B的大小；
（2）若，求角 C的大小．
(★★★) 22. 设数列的前项和为，已知数列和满足，，，
，．
（1）求和；
（2）求证：．。