求函数最值的12种方法

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求函数的极限值的方法总结

求函数的极限值的方法总结在数学中，函数的极限值是指函数在某一特定区间上取得的最大值或最小值。

求解函数的极限值是数学分析中经常遇到的问题之一，下面将总结一些常用的方法来求解函数的极限值。

一、导数法对于给定的函数，可以通过求导数来判断函数在某一点附近的单调性和极值情况。

导数表示了函数在某一点处的变化率，通过求导数可以获得函数的驻点（导数为零的点）以及极值点。

一般来说，当函数从单调递增变为单调递减时，即导数由正变负，函数的极大值出现；当函数从单调递减变为单调递增时，即导数由负变正，函数的极小值出现。

所以，通过求导数可以找到函数的极值点，然后通过比较极值点和边界点的函数值，即可确定函数的极限值。

二、二阶导数法在某些特殊情况下，求函数的二阶导数可以提供更加准确的信息来确定函数的极限值。

当函数的二阶导数恒为正时，表示函数处于凸型，此时函数可能有极小值但没有极大值；当函数的二阶导数恒为负时，表示函数处于凹型，此时函数可能有极大值但没有极小值。

通过对二阶导数进行符号判断，可以帮助确定函数的极限值。

三、极限值存在性判定对于一些特殊的函数，通过判定函数的极限值是否存在可以快速确定函数的极限值。

当函数在某一区间上连续且存在最大最小值时，函数的极限值也会存在。

因此，可以通过求解函数在区间端点的函数值，并比较这些函数值来确定函数的极限值。

四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种通过引入约束条件来求解极值的方法，特别适用于求解带有约束条件的函数的极值。

通过构造拉格朗日函数，将原始问题转化为无约束的极值问题，然后通过求解极值问题来确定函数的极限值。

五、切线法切线法是一种直观而有效的求解函数极值的方法。

通过观察函数图像，在极值附近找到一条切线，使得切线与函数图像的接触点的函数值最大或最小。

通过近似切线与函数图像的接触点，可以获得函数的极值的近似值。

六、数值法数值法是一种通过计算机进行数值逼近的方法来求解函数的极限值。

通过将函数离散化，并在离散点上进行计算，可以得到函数在这些离散点上的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的极限值。

求最值常用的24种方法

求最值常用的24种方法以下是一些最值求解的常用方法：1.穷举法：对所有可能的值进行穷举，并比较得到最值。

2. 列表解析：使用列表解析式生成包含待求值的列表，然后使用max(或min(函数找到最值。

3.排序法：将待求值的列表进行排序，再取首位元素得到最大值或最小值。

4.循环比较法：通过循环遍历列表，比较每个元素与当前最值的大小。

5.递归法：使用递归函数来逐步减小问题的规模，直到问题规模变得足够小，然后求解最值。

6.动态规划法：将复杂问题分解成多个子问题，并使用递推关系式求解每个子问题的最值，然后得到整体最值。

7.分治法：将问题划分为多个独立的子问题，分别求解每个子问题的最值，并根据子问题的解得到整体的最值。

8.贪心法：根据其中一种贪心策略，每次选择当前最优解，并希望通过这种局部最优解来达到全局最优解。

9.分支界定法：通过建立树，并使用剪枝技术来减少空间，从而逐步逼近最值。

10.动态变界法：通过动态改变问题的界限来缩小空间，从而加速求解最值。

11.遗传算法：模拟自然界进化过程，通过随机变异和选择操作来最值。

12.蚁群算法：借鉴蚂蚁寻找食物的行为，通过信息素的传递和启发式来寻找最值。

13.模拟退火算法：模拟金属退火的过程，通过随机和接受劣解的方式来寻找最值。

14.遗传规划算法：建立数学模型，通过遗传算法的进化过程来求解最值。

15.线性规划法：将最值问题转化为线性规划问题，并使用线性规划算法求解最值。

16.二分法：通过不断二分区间来求解最值。

17.近似算法：通过近似的方式来求解最值，例如贪心算法的近似解。

18.深度优先：通过递归的方式对问题的解空间进行深度优先，并记录最值。

19.广度优先：通过队列的方式对问题的解空间进行广度优先，并记录最值。

20.A*算法：通过启发式函数来评估状态的优先级，并选择优先级最高的状态进行。

21.蒙特卡罗方法：通过大量的随机样本来估计最值。

22.布谷鸟算法：模拟布谷鸟建立巢穴的行为，通过迭代和局部最优解的更新来寻找最值。

高中数学最值问题12种

高中数学最值问题12种高中数学最值问题是指在一定条件下，找出某个函数的最大值和最小值的问题。

这些问题需要通过一定的方法来求解，涉及到导数、不等式、二次函数、三角函数等数学知识。

下面我们将介绍12种高中数学最值问题的解法和相关概念。

1.函数的最大值和最小值：函数的最大值和最小值是指函数的各个值中最大和最小的值。

一元函数的最大值和最小值通常可以通过求解导数为0的点来获得。

多元函数的最大值和最小值可能需要使用拉格朗日乘数法等方法。

2.二次函数的最值：二次函数的最值可以通过求解顶点坐标来获得。

二次函数的最大值发生在开口向下的情况下，最小值发生在开口向上的情况下。

3.三角函数的最值：三角函数的最值可以通过研究函数的周期性和对称性来获得。

一般情况下，三角函数的最值为1和-1。

4.不等式的最值：不等式的最值是指不等式的解集中最大和最小的值。

不等式的最值可以通过求解方程来获得。

需要注意确定不等式边界的方式。

5.绝对值函数的最值：绝对值函数的最值可以通过研究函数的分段性质来获得。

需要考虑绝对值函数的参数取值范围。

6.对数函数的最值：对数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。

对数函数的最大值和最小值通常发生在底数小于1的情况下。

7.指数函数的最值：指数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。

指数函数的最大值和最小值通常发生在指数大于1的情况下。

8.等式的最值：等式的最值是指满足等式的变量的最大和最小的值。

等式的最值通常可以通过求解方程组来获得，在求解过程中需要注意排除无解的情况。

9.不定积分的最值：不定积分的最值可以通过求导和临界点的方式来获得。

需要注意确定积分的上下界。

10.定积分的最值：定积分的最值可以通过函数在积分区间上的最值来获得。

需要注意确定积分的上下界和积分变量的取值范围。

11.矩形面积的最值：矩形面积的最值可以通过求解矩形的边长和面积关系来获得。

需要注意确定矩形的条件和限制条件。

12.三角形面积的最值：三角形面积的最值可以通过求解三角形的边长和高的关系来获得。

有关函数最值问题的十二种解法

本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。

例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。

解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。

2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。

即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。

例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。

解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。

因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。

三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。

例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。

解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。

四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。

求函数值域最值的方法大全

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.,反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 二、求函数值域最值的常用方法 1.直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域最值的简单函数例1、求函数y=211x +的值域解： 22111,011x x +≥∴<≤+显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y=2－x 的值域;解：x ≥0∴－x ≤02－x ≤2故函数的值域是：-∞,22、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5,x ∈-1,2的值域;解：将函数配方得：y=x-12+4, x ∈-1,2,由二次函数的性质可知：当x=1时,y m in =4 当x=-1,时m ax y =8 故函数的值域是：4,8例4、求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥,则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤,所以04μ≤≤,故[]0,2,所以,y =的值域为[]0,2. 3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断;例5、求函数的值域22221x x y x x -+=++解：210x x ++>恒成立,∴函数的定义域为R.由22221x x y x x -+=++得()()22120y x y x y -+++-= ;① 当20y -=即2y =时,300,0x x R +=∴=∈； ② 当20y -≠即2y ≠时,x R ∈时,方程()()22120y x y x y -+++-=恒有实根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域; 解：两边平方整理得：22x -2y+1x+y 2=01x ∈R,∴△=4y+12-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x2-x≥0,得：0≤x≤2;由△≥0,仅保证关于x 的方程：22x -2y+1x+y 2=0在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1有实根,由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为21,23;可以采取如下方法进一步确定原函数的值域; 0≤x≤2,∴y=x+)2(x x -≥0,∴y min =0,y=1+2代入方程1,解得：1x =222224-+∈0,2,即当1x =222224-+时,原函数的值域为：0,1+2;注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除; 4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数即有理分式一次型,也可用于其它易反解出自变量的函数类型;例7、求函数12+=x xy 的值域; 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数;12+=x x y 反解得y y x -=2即xxy -=2知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域; 故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y ; 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域; 适用类型：一般用于三角函数型,即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等;例8、求函数y=11+-x x e e 的值域;解：由原函数式可得：xe =11-+y y x e ＞0,∴11-+y y ＞0 解得：-1＜y ＜1; 故所求函数的值域为-1,1.例9、求函数y=3sin cos -x x的值域;解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：12+y sinxx+β=3y即sinxx+β=132+y y∵x∈R,∴sinxx+β∈-1,1;即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤y≤42故函数的值域为-42,42 6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值;原理：同增异减例10、求函数)4(log 221x x y -=的值域;分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数内层函数复合而成,故可令：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：)4,0)(4)2()(2（所以∈+--=x f x x f 由复合函数的单调性同增异减知：),2[+∞-∈y ; 例11、求函数y=+-25x log31-x 2≤x≤10的值域解：令y 1=25-x ,2y =log31-x ,则y 1,2y 在2,10上都是增函数;所以y=y 1+2y 在2,10上是增函数; 当x=2时,y m in =32-+log312-=81,当x=10时,m ax y =52+log39=33;故所求函数的值域为：81,33; 例12、求函数y=1+x -1-x 的值域;解：原函数可化为：y=112-++x x令y 1=1+x ,2y =1-x ,显然y 1,2y 在1,+∞上为无上界的增函数,所以y=y 1+2y 在1,+∞上也为无上界的增函数;所以当x=1时,y=y 1+2y 有最小值2,原函数有最大值22=2;显然y ＞0,故原函数的值域为0,2; 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型;换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用; 适用类型:无理函数、三角函数用三角代换等; 例13、求函数y=x+1-x 的值域; 解：令x-1=t,t≥0则x=2t +1 ∵y=2t +t+1=2)21(+t +43,又t≥0,由二次函数的性质可知当t=0时,y m in =1,当t→0时,y→+∞; 故函数的值域为1,+∞;例14、求函数y=x+2+2)1(1+-x 的值域解：因1-2)1(+x ≥0,即2)1(+x ≤1 故可令x+1=cosβ,β∈0,∏;∴y=cosβ+1+B 2cos 1-=sinβ+cosβ+1 =2sinβ+∏/4+1∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4 ∴-22≤sinβ+∏/4≤1 ∴0≤2sinβ+∏/4+1≤1+2; 故所求函数的值域为0,1+2;例15、求函数y=12243++-x x xx 的值域解：原函数可变形为：y=-21⨯212x x +⨯2211x x +- 可令x=tgβ,则有212xx+=sin2β,2211x x +-=cos2β∴y=-21sin2β⨯cos2β=-41sin4β 当β=k∏/2-∏/8时,m ax y =41;当β=k∏/2+∏/8时,y m in =-41而此时tgβ有意义; 故所求函数的值域为-41,41; 例16、求函数y=sinx+1cosx+1,x∈-∏/12∏/2的值域; 解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=212t -1 y=212t -1+t+1=212)1(+t 由t=sinx+cosx=2sinx+∏/4且x∈-∏/12,∏/2 可得：22≤t≤2 ∴当t=2时,m ax y =23+2,当t=22时,y=43+22故所求函数的值域为43+22,23+2; 例17、求函数y=x+4+25x -的值域解：由5-x≥0,可得∣x∣≤5 故可令x=5cosβ,β∈0,∏y=5cosβ+4+5sinβ=10sinβ+∏/4+4 ∵0≤β≤∏,∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时,m ax y =4+10,当β=∏时,y m in =4-5;故所求函数的值域为：4-5,4+10; 8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目;适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域;解：原函数可化简得：y=∣x -2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,B-8间的距离之和; 由上图可知：当点P 在线段AB 上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：10,+∞ 例19、求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点Px,0到两定点A3,2,B-2,-1的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,y m in =∣AB∣=)12()23(22+++=43,故所求函数的值域为43,+∞; 例20、求函数y=1362+-x x-542++x x的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22--+x -)10()2(22-++x上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点B-2,1到点Px,0的距离之差;即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P1,则构成△ABP1,根据三角形两边之差小于第三边,有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣=)12()23(22-++=26即：-26＜y ＜262当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=26;综上所述,可知函数的值域为：-26,-26;注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B 在x 轴的同侧; 如：例17的A,B 两点坐标分别为：3,2,-2,-1,在x 轴的同侧；例18的A,B 两点坐标分别为：3,2,2,-1,在x 轴的同侧; 例21、求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=,将原函数视为定点2,3到动点)sin ,(cos x x 的斜率,又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点2,3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:]3326,3326[+-∈y 9、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值;如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例22、求函y=sinx+1/sinx+cosx+1/cosx 的值域解：原函数变形为： y=x sin2+x cos 2+1/x sin 2+1/x cos 2=1+x csc2+x sec 2=3+x tg 2+x ctg 2当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时k∈z,等号成立; 故原函数的值域为：5,+∞; 例23、求函数y=2sinxsin2x 的值域解：y=2sinxsinxcosx=4x sin2cosxx By2=16x sin4x cos 2=8x sin 2x sin 22-2x sin 2≤8x sin2+x sin 2+2-x sin 2=8x sin2+x sin 2+2-x sin 2/33=2764 当且当x sin2=2-2x sin 2,即当x sin 2=时,等号成立;由y2≤2764,可得：-938≤y≤938 故原函数的值域为：-938,938; 例24、当0>x 时,求函数248)(xx x f +=的最值,并指出)(x f 取最值时x 的值; 分析与解：因为2244448)(xx x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：324443)(xx x x f ••≥所以12)(≥x f 当且仅当244x x =即1=x 时取”=”当1=x 时)(x f 取得最小值12;例25、双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ,双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ,则21e e +的最小值是;A 22B4C2D 2分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：bb a a b a e e 222221+++=+,我们知道xy y x 2≥+所以abb a e e 22212+≥+当且仅当bb a a b a 2222+=+时取“=”而ab b a 222≥+故2221≥+e e 当且仅当b a =时取“=”22)(min 21=+e e 所以;10、导数法设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,则()f x 在[],a b 上的最大值和最小值为()f x 在(),a b 内的各极值与()f a ,()f b 中的最大值与最小值;要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法;导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视;例26、求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值;解:()2'366f x x x =-+,令()'0f x =,方程无解.()2'366f x x x =-+()23130x =-+>∴函数()f x 在[]1,1x ∈-上是增函数.故当1x =-时,()()min 112f x f =-=-,当1x =时,()()max 12f x f == 例27、求函数221)(2++=x x x f 的最值. 解析:函数)(x f 是定义在一个开区间()∞+∞-，上的可导函数,令0)22(22)('2=+++-=x x x x f 得)(x f 的唯一驻点1-=x 即为最点.1-<x 时,0)('>x f ,函数递增, 1-<x 时,0)('<x f ,函数递减,故)(x f 有最大值1)1(=-f .说明本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.11)1(1)(2≤++=x x f ,等号成立条件是1-=x . 注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数)(x f y =有导函数)()(x g x f ='存在,那么)(x f 是否有最值的问题可转化为)(x f 的导函数)(x g 是否有最根的问题来研究：1若导函数)(x g 无根,即0)(≠x g ,则)(x f 无最值；2若导函数)(x g 有唯一的根0x ,即0)('0=x f ,则)(x f 有最值)(0x f .此时,导函数)(x f '的根0x 即是函数)(x f 最根0x .3若导函数)(x g 有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性. 11、多种方法综合运用例28、求函数y=32++x x 的值域解：令t=2+x t≥0,则x+3=2t +1 1当t ＞0时,y=12+t t=t t /11+≤21,当且仅当t=1,即x=-1时取等号所以0＜y≤21; 2当t=0时,y=0;综上所述,函数的值域为：0,21; 注：先换元,后用不等式法; 例29、求函数y=xx x x x x 424322121++++-+的值域;解：y=x x xx 42422121+++-+x x xx 42321+++=)11(222xx +-+x x 21+令x=tg2β,则)11(222xx +-=βcos 2,x x21+=21sin β, ∴y=βcos2+21sin β=-βsin 2+21sin β+1=-)41(sin 2-β+1617 ∴当sin β=41时,m ax y =1617;当sin β=-1时,y m in =-2; 此时tg2β都存在,故函数的值域为：－2,1617; 注：此题先用换元法;后用配方法,然后再运用sin β的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法; 学生巩固练习1函数y =x 2+x1x ≤－21的值域是A －∞,－47]B －47,+∞)C 2233,+∞)D －∞,－32232函数y =x +x 21-的值域是 A －∞,1]B －∞,－1]C RD1,+∞)3一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于20V 2千米,那么这批物资全部运到B 市,最快需要_________小时不计货车的车身长4设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根,当m =_________时,x 12+x 22有最小值_________ 5某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为Rx =5x －21x 2万元0≤x ≤5,其中x 是产品售出的数量单位百台1把利润表示为年产量的函数； 2年产量多少时,企业所得的利润最大3年产量多少时,企业才不亏本6已知函数fx =lg a 2－1x 2+a +1x +11若fx 的定义域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围； 2若fx 的值域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围7某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周按120个工时计算生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调器彩电冰箱工时产值千元432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少以千元为单位 8在Rt△ABC 中,∠C =90°,以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S 1,△ABC 的内切圆面积为S 2,记ABCABC +=x 1求函数fx =21S S 的解析式并求fx 的定义域 2求函数fx 的最小值参考答案1解析∵m 1=x 2在－∞,－21上是减函数,m 2=x 1在－∞,－21上是减函数,∴y =x 2+x1在x ∈－∞,－21上为减函数,∴y =x 2+x1x ≤－21的值域为－47,+∞)答案B2解析令x 21-=tt ≥0,则x =212t -∵y =212t -+t =－21t －12+1≤1∴值域为－∞,1] 答案A 3解析t =V 400+16×20V 2/V =V 400+40016V≥216=8 答案84解析由韦达定理知x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m , ∴x 12+x 22=x 1+x 22－2x 1x 2=m 2－22+m =m －412－1617,又x 1,x 2为实根,∴Δ≥0∴m ≤－1或m ≥2,y =m －412－1617在区间－∞,1上是减函数,在2,+∞)上是增函数,又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴故m =1时,y min =21答案－121 5解1利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入Rx 与其总成本Cx 之差,由题意,当x ≤5时,产品能全部售出,当x >5时,只能销售500台,所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x 2在0≤x ≤5时,y =－21x 2+475x －05,当x =－ab2=475百台时,y max =1078125万元,当x >5百台时,y ＜12－025×5=1075万元,所以当生产475台时,利润最大3要使企业不亏本,即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或解得5≥x ≥475－5625.21≈01百台或5＜x ＜48百台时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本6解1依题意a 2－1x 2+a +1x +1>0对一切x ∈R 恒成立,当a 2－1≠0时,其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即, ∴a ＜－1或a >35又a =－1时,fx =0满足题意,a =1时不合题意故a ≤－1或a >为35所求 2依题意只要t =a 2－1x 2+a +1x +1能取到0,+∞上的任何值,则fx 的值域为R ,故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时,t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意,∴1≤a ≤35为所求 7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台,由题意得x +y +z =360 ①120413121=++z y x ② x >0,y >0,z ≥60③假定每周总产值为S 千元,则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下,为求目标函数S 的最大值,由①②消去z ,得y =360－3x ④将④代入①得x +360－3x +z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30⑥再将④⑤代入S 中,得S =4x +3360－3x +2·2x ,即S =－x +1080 由条件⑥及上式知,当x =30时,产值S 最大,最大值为S =－30+1080=1050千元得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元 8解1如图所示设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab, ∴S 1=πah +πbh =,)2(),(22c b a S b a cab-+=+ππ,∴fx =221)()(4c b a c b a ab S S -++= ①又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ,得fx =1)(22-+x x x在Rt△ABC 中,有a =c sin A ,b =c cos A 0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin A +4π∴1＜x ≤2 2fx =]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈0,2－1,y =2t +t2+6在0,2－1]上是减函数,∴当x =2－1+1=2时,fx 的最小值为62+8abCBcA。

求函数最值的10种方法

一、定义法函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值．我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法．
【例 2】已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学）设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．
【例 6】函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．
【例 3】设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值是______．（以后学）分析由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法求a＋b的最值．解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz

求极值的若干方法

求极值的若干方法求解函数的极值是数学分析中重要的问题之一、找出函数的极值可以帮助我们确定函数的最大值或最小值，并且有助于解决各种实际问题。

本文将介绍常见的求解极值的若干方法。

一、导数法（一阶导数法、二阶导数法）导数是函数在其中一点的变化率，求导数的过程可以帮助我们确定函数的增减性，从而找出函数的极值点。

常见的导数法包括一阶导数法和二阶导数法。

1.一阶导数法：首先求函数的一阶导函数，然后将导函数等于零，解出方程得到函数的临界点，再将临界点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。

2.二阶导数法：首先求函数的二阶导函数，然后将二阶导函数等于零，解出方程得到函数的拐点，再将拐点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。

二阶导数法可以帮助我们判断函数的临界点是极值点还是拐点。

二、边界法（最大最小值定理）边界法是基于最大最小值定理求解函数极值的方法。

最大最小值定理指出，在闭区间内的连续函数中，最大值和最小值一定存在。

因此，我们可以通过求解函数在闭区间端点和临界点处的函数值，找出函数的最大值或最小值。

三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是用于求解带约束条件的极值问题的方法。

在求解极值问题时，如果还存在一些约束条件，可以引入拉格朗日乘数，通过构建拉格朗日函数，将约束条件加入目标函数中，然后求解拉格朗日函数的极值点。

最终，通过求解得到的极值点，再进行函数值的比较，找出最大值或最小值。

四、二分法二分法是一种在有序列表中查找特定元素的方法，也可以用于求解函数的极值。

二分法的基本思想是通过将区间一分为二，然后比较中间点与两侧点的大小关系，逐步缩小范围，最终找出函数的极值点。

二分法的效率较高，适用于一些连续单调函数。

五、牛顿法牛顿法是一种用于求解多项式函数的根的方法，也可以用于求解函数的极值。

牛顿法的基本思想是通过构建一个逼近曲线，以曲线与函数的交点为新的逼近值。

然后不断迭代逼近，最终找到函数的极值点。

求函数的值域、最值的13种方法

⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部

求函数最值的12种方法

求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。

下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。

1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。

例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。

如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。

2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。

3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。

4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。

例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。

5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。

通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。

6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。

例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。

7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。

首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。

8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。

求函数最值的10种方法

求函数最值的10种方法1.符号法：通过观察函数的符号变化来找到最值点。

首先将函数的导数找出并求出导函数的零点，然后根据适当的区间划分关心的区域，根据导函数的正负性确定最值的位置。

2.迭代法：通过迭代的方式来逼近函数的最值点。

首先选取一个初始点，通过函数的变化规律逐步逼近最值点。

3.化简法：对函数进行化简，将其转化为更简单的形式，然后找到最值点。

通常利用函数的对称性或特殊性质进行化简，如利用函数的周期性、对称轴等。

4.一阶导数法：通过求函数的一阶导数，找到导数的零点，然后判断导数的增减性来确定最值点。

5.二阶导数法：通过求函数的二阶导数，找到导数的零点，并进行二阶导数测试，来判断极值的类型。

根据极值类型确定最值点。

6.平均值定理：根据函数的连续性和可导性，利用平均值定理找到函数变化最大或最小的点。

平均值定理指出，对于连续函数，必定存在一点使其导数等于函数的平均变化率。

7.极值定理：根据极值定理，函数在闭区间上的最大值和最小值必然出现在临界点或者函数的端点上。

8.最值的组合法：通过将函数分成多个子区间，找到每个子区间上的最大值或最小值，然后将它们组合起来，得到整个区间上的最大值或最小值。

9.边界法：通过找出定义域的边界点，并将其与函数值进行比较，找到最大值或最小值。

这种方法适用于非连续函数或无导数的函数。

10.数值计算法：当无法找到解析解时，可以利用计算机进行数值计算，通过穷举法或优化算法来找到函数的最值。

以上是求解函数最值的10种常用方法，每种方法都有其特点和适用范围。

在实际问题中，选择合适的方法可以更快地找到函数的最值。

最值问题19种题型

最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。

在解决最值问题的过程中，我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算，以找到正确的答案。

下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。

1.一元一次函数最值问题：给定一个一元一次函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

2.二次函数最值问题：给定一个二次函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

3.分段函数最值问题：给定一个分段函数，求其最大值或最小值。

解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值，并比较大小。

4.绝对值函数最值问题：给定一个含有绝对值的函数，求其最大值或最小值。

解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况，并比较大小。

5.指数函数最值问题：给定一个指数函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

6.对数函数最值问题：给定一个对数函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

7.三角函数最值问题：给定一个三角函数，求其最大值或最小值。

解法一般是对函数进行求导，然后令导数为零求解。

8.组合函数最值问题：给定一个由多个函数复合而成的函数，求其最大值或最小值。

解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导，并令导数为零求解。

9.线性规划最值问题：给定一组线性不等式和线性目标函数，求其满足约束条件的最大值或最小值。

解法一般是使用线性规划的方法进行求解。

10.几何图形最值问题：给定一个几何图形，求其最大面积、最小周长等最值问题。

解法一般是使用几何知识和公式进行计算。

11.统计问题最值问题：给定一组数据，求其中的最大值、最小值或其他统计量。

解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。

12.矩阵最值问题：给定一个矩阵，求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。

解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。

13.排列组合最值问题：给定一组元素，求其中的最大值、最小值或特殊组合。

求函数最值的12种方法

求函数最值的12种方法在数学中，函数的最值是指函数在定义域上的极大值和极小值。

求函数的最值有很多不同的方法，下面将介绍12种常用的方法。

希望能够帮助你对函数的最值求解有更深入的理解。

方法一：函数图像法这是最直观的方法之一，通过绘制函数的图像，可以清楚地观察到函数的最值点所在的位置。

最大值对应函数的极大值点，最小值对应函数的极小值点。

方法二：导数法求函数的最值，常常使用导数法。

首先求函数的导数，然后将导数为零的点与定义域的边界进行比较，即可得到函数的最值点。

方法三：导数的符号法求函数的最值，还可以通过分析导数的符号来求解。

当导数恒大于零时，函数是递增的，函数的最大值出现在定义域的上界；当导数恒小于零时，函数是递减的，函数的最小值出现在定义域的下界。

方法四：高次函数的极值点对于高次函数来说，还可以通过求导数的高阶导数来找到极值点。

当高阶导数为零时，该点可能是极值点；当高阶导数不为零时，可通过判断导数的符号来确定它是极大值还是极小值。

方法五：函数的平均值定理利用函数的平均值定理可以得到函数最值的一个粗略的估计。

平均值定理指出，如果函数连续且可微分，那么在两个点之间存在一个点，使这三个点的斜率与两点之间切线的斜率相同。

这个点可能是函数的极值点。

方法六：拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解带有约束条件的函数最值问题。

通过引入拉格朗日乘子，将带有约束条件的函数最值问题转化为无约束条件的函数最值问题。

然后可以利用导数法等方法来求解。

方法七：边界法对于函数的有界定义域，可以通过比较边界处函数值的大小来求解最值问题。

找到定义域的上界和下界，并将其代入函数，比较函数值的大小即可得到最值。

方法八：几何法对于一些特殊的函数图像，可以利用函数的几何性质来求解最值。

如对于抛物线函数，其最值点处对应抛物线的顶点。

方法九：二次函数的最值对于二次函数，可以通过求取顶点坐标来得到函数的最值。

二次函数的顶点坐标即为函数的最值点。

方法十：三角函数的最值对于一些三角函数，可以利用函数图像的周期性来求解最值问题。

求函数最值的方法总结

求函数最值的方法总结1.图像分析法：将函数的图像绘制出来，通过观察图像的形状和变化趋势来确定函数的最值。

例如，对于单调递增的函数，最大值就是定义域的最右端点，最小值就是定义域的最左端点。

2.导数法：求函数的导数，通过导数的零点和变号的位置来确定函数的最值。

导数的零点对应函数的极值点，而导数的变号对应函数的区间最值。

使用导数法需要对函数的导数性质有一定的了解，例如导数的单调性和函数的凹凸性。

3.积分法：对于一些特殊的函数，可以使用积分法来求函数的最值。

积分法的思路是将函数的最值问题转化为求解区间上的面积问题。

例如，对于一个带有约束条件的函数，可以通过求解约束条件下的面积来确定函数的最值。

4.极值判别法：对于一个在闭区间上连续的函数，可以通过判别函数的驻点和端点来确定函数的最值。

首先求解函数在定义域内的驻点（即导数为零的点），然后求解函数在区间的端点上的值，最后比较这些点的函数值来确定最值。

5.约束条件法：对于一个函数在一个区域上的最值问题，可以引入一个或多个约束条件来求解。

这种方法常用于优化问题中，其中一个约束条件是函数的取值在一个约束集内。

6.数学归纳法：对于一些特殊的函数序列，可以使用数学归纳法来证明函数的最值。

数学归纳法的思路是先证明当n为一些初始值时函数的最值成立，然后再证明当n+1时函数的最值也成立。

7.动态规划法：对于一些复杂的问题，可以使用动态规划法来求解函数的最值。

动态规划法是将问题分解为多个子问题，然后通过求解子问题的最值来求解原问题的最值。

8.枚举法：对于一些简单的函数，可以通过枚举函数的值来确定最值。

枚举法的思路是列举函数在定义域上的所有可能取值，然后比较这些值来确定最值。

9.近似法：对于一些复杂的函数，可以使用近似法来求解函数的最值。

近似法的思路是将函数结合数值计算方法来进行近似求解。

常见的近似方法有牛顿迭代法和二分法等。

总之，求函数最值是一个重要的数学问题，有多种方法可以求解。

函数的极值与最值的求解

函数的极值与最值的求解在数学中，我们经常需要求解函数的极值和最值。

函数的极值指的是函数在某个定义域内取得的最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。

本文将介绍如何求解函数的极值和最值的方法。

一、函数的极值求解方法1. 导数法导数法是求解函数极值的一种常用方法。

根据函数的极值定义，极值点处函数的导数为零或不存在。

因此，我们可以通过以下步骤求解函数的极值：1）求函数的导数；2）令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标；3）将极值点的横坐标代入原函数，求得纵坐标。

例如，对于函数f(x) = x^2 - 2x + 1，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 2x - 2；2）令导数等于零：2x - 2 = 0，解得x = 1；3）将x = 1代入原函数：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0，得到极小值0。

2. 二阶导数法在某些情况下，使用二阶导数可以更方便地求解函数的极值。

根据函数的极值定义，当函数的一阶导数为零且二阶导数大于零时，函数取得极小值；当一阶导数为零且二阶导数小于零时，函数取得极大值。

例如，对于函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9；2）求二阶导数：f''(x) = 6x - 12；3）令一阶导数等于零，解方程得到极值点的横坐标：3x^2 - 12x +9 = 0，解得x = 1；4）将x = 1代入二阶导数：f''(1) = 6 - 12 = -6，表明函数在x = 1处取得极大值。

二、函数的最值求解方法函数的最值即为整个定义域内的最大值或最小值。

求解函数最值的方法有以下几种：1. 导数法和求解极值类似，我们可以通过求解函数在定义域内的导数来找到函数的最值。

例如，对于函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，我们可以进行如下计算：1）求导：f'(x) = -2x + 4；2）令导数等于零，解方程得到最值点的横坐标：-2x + 4 = 0，解得x = 2；3）将x = 2代入原函数：f(2) = -(2^2) + 4(2) - 3 = 1，得到函数的最大值1。

求极值的若干方法

求极值的若干方法一、导数法导数法是求函数极值最常用的方法之一、通过计算函数的导数并将其置为0，可以找到函数的驻点。

驻点即为函数可能的极值点。

对驻点进行二阶导数测试，如果二阶导数为正则为极小值点，如果二阶导数为负则为极大值点。

二、边界点法对于定义在一定范围内的函数，其极值点可能出现在这个范围的边界上。

因此，通过计算函数在边界点处的值，并与内部驻点的值进行比较，可以得到函数的极值。

三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法适用于带有约束条件的优化问题。

对于求解函数在约束条件下的极值问题，通过引入拉格朗日乘数，将约束条件加入到目标函数中，然后对引入的约束条件和目标函数进行求导，可以得到关于约束条件和目标函数的一组方程，通过求解这组方程可以得到极值点。

四、牛顿法牛顿法是一种迭代法，通过不断地进行线性逼近来逐步逼近极值点。

该方法通过迭代逼近函数的根，利用函数的一阶导数和二阶导数进行求解。

通过不断迭代，可以逐步逼近极值点。

五、切线法切线法是一种简单但有效的求解极值的方法。

切线法基于函数在极值点处的切线垂直于函数曲线的性质。

首先选择一个初始点，然后沿着函数曲线进行迭代，在每一步迭代中，找到当前点处的切线，然后将切线与坐标轴相交的点作为下一步的迭代点，直至找到极值点。

六、割线法割线法是一种介于切线法和牛顿法之间的方法。

该方法适用于函数的导数不能很容易地求解的情况。

割线法通过选择两个初始点，然后计算这两个点处的斜率，使用割线的性质来逼近极值点。

通过不断迭代计算新的割线与x轴相交的点，可以逐步逼近极值点。

七、二分法二分法适用于具有单调性的函数的极值求解。

该方法通过选择一个区间，然后将其一分为二，比较中点和两个区间端点处函数的值，缩小区间范围，直至找到极值点。

八、遗传算法遗传算法是一种模拟进化过程的优化算法，常用于求解复杂问题中的极值。

该方法模拟生物进化的过程，通过随机生成一组初始解，然后通过交叉、变异等操作对解进行改进和演化，最终得到一个相对较优的解。

求函数极值的若干方法

求函数极值的若干方法函数极值是数学中一个重要的概念，用于描述函数在一些点上取得的最大值或最小值。

求函数极值的方法有很多种，下面将介绍一些常见的方法，包括微积分法和图像法。

一、微积分法1.导数法：函数在极值点上的导数为0，因此可以通过求导数的方法来寻找函数的极值点。

具体步骤如下：a.首先求出函数的导数；b.解方程f'(x)=0，求出所有导数为0的点，这些点就是函数的可能极值点；c.求出这些可能极值点对应的函数值，找出最大值或者最小值。

2.二阶导数法：函数在极值点上的二阶导数有特殊的性质。

具体步骤如下：a.首先求出函数的导数和二阶导数；b.解方程f'(x)=0，求出所有导数为0的点，这些点就是函数的可能极值点；c.计算这些可能极值点对应的二阶导数的值。

如果f''(x)>0，则函数在该点上有极小值；如果f''(x)<0，则函数在该点上有极大值。

3.极值判别法：对于一些特殊的函数，可以利用极值判别法来判断函数的极值。

常见的极值判别法有如下几种：a.变号法：判断函数在极值点左右两侧的变化趋势，如果左侧是增量，右侧是减量，则函数在该点上有极大值；如果左侧是减量，右侧是增量，则函数在该点上有极小值。

b.拐点法：寻找函数的拐点，拐点是函数的导数的极值点。

如果函数在拐点上的二阶导数大于0，则函数在该点上有极小值；如果函数在拐点上的二阶导数小于0，则函数在该点上有极大值。

c.边界法：求解函数在区间的边界点上的函数值，将这些函数值与函数的内部极值点的函数值比较，找出最大值或最小值。

二、图像法1.函数图像法：通过观察函数的图像来估计函数的极值点。

函数的极值点对应函数图像上的最高点或最低点。

2.导数图像法：通过观察函数的导数图像来判断函数的极值点。

导数的图像上的极值点对应原函数的极值点。

需要注意的是，以上的方法仅仅是一些基本的求函数极值的方法，对于特殊的函数，可能需要应用更复杂的方法来求解。

求函数最值的10种方法

求函数最值的10种方法函数的最值是指函数在定义域内，取得的最大值和最小值。

确定函数的最值对于问题的解决非常重要，因此有很多方法可以找到函数的最值。

下面我将介绍十种常见的方法来求解函数的最值。

1. 图像法（Grpahical Method）：这是最常见的方法之一，通过绘制函数的图像来确定函数的最值。

找到函数的最高点和最低点，并确定定义域的范围以确定最值。

2. 导数法（Derivative Method）：使用导数的概念，通过求解函数的导数来确定函数的最值。

找到导数为零的点，并判断其是否为极值点，进而确定函数的最值。

注意，导数为零的点并不一定是函数的最值点，还需要判断其是极大值还是极小值。

3. 欧拉公式法（Euler’s Formula Method）：对于一些特殊的函数形式，如指数函数和三角函数，可以使用欧拉公式来求解函数的最值。

欧拉公式的核心思想是将函数用指数函数和三角函数的形式来表示，然后利用指数函数和三角函数的性质来确定最值。

4. 一阶必要条件法（First-order Necessary Condition Method）：根据一阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零。

通过求解函数的导数，找到导数为零的点，并判断是否为函数的最值点。

5. 二阶必要条件法（Second-order Necessary Condition Method）：根据二阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零，且二阶导数必须存在且不为零。

通过求解函数的导数和二阶导数，找到导数为零的点，然后判断其二阶导数的符号来确定函数的最值。

6. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）：用于求解带有约束条件的优化问题，可以将函数与约束条件一起构建为一个拉格朗日函数，然后通过求解拉格朗日函数的最值来确定函数的最值。

7. 线性规划法（Linear Programming Method）：适用于求解线性约束下的函数最值问题。