b a
c 442
-]；
3.反比例函数)0,0(≠≠=
x k x
k
y
的值域为}0|{≠y y ；
4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；
5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；
6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2
k (x tan Z k x y ∈+
≠=π
π,
cot x
y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；
7.对勾函数)0,0(≠>+=x a x
a x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a x
a x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x
二、求值域的方法
1.直接法(观察法)
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域
例1
求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值
解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.
例2求函数323y x =+-的值域。
解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+
-≥3.
∴函数的值域为)∞+,3[.
2.反函数法求值域
对于形如)0(≠++=
a b
ax d
cx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例3求函数1
2
x y x +=
+的值域。解：显然函数1
2
x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y
∈R｝。
3.换元法求值域
对形如)0,0(≠≠+++=c a d cx b ax y 的函数常设d cx t +=来求值域；对形如
)0,0(2≠≠-++=c a cx c b ax y 的函数常用“三角换元”
，如令αcos =x 来求值域。例4
求函数321y x x =-++的值域。
解：设21
(0)t x t =
+≥,则21(1)2x t =-。于是221117
(1)3(1)442222
y t t t =--+=+-≥-=-.
所以，原函数的值域为：7,2⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭
。例5已知),(y x p 是圆42
2
=+y x 上的点，试求xy y x t 32
2
-+=的值域。
解：在三角函数章节中我们学过：1cos sin 22=∂+∂注意到42
2
=+y x 可变形为：1)2
()2(22=+y x
令
,0[,sin 2
,cos 2∈∂∂=∂=y
x 2π)则∂-=∂⨯∂⨯-=2sin 64sin 2cos 234t 4,0[2∈∂又π)即]1,1[2sin -∈∂故]10,2[-∈t 例6
求函数2
1x x y -+=的值域
解：∵1-x 2≥0,∴|x|≤1,设])2,2[(sin π
πθθ-
∈=x ,则)
4
sin(2cos sin π
θθθ+=+=y 21,4
34
4
≤≤-∴≤
+
≤-
y π
π
θπ
例7求函数2()43f x x x x =+-+-的值域。
解：由22()43(2)1f x x x x x x =+-+-=+--+，令2sin x θ=+，其中,22ππθ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，则()2sin cos 22sin()4
f x π
θθθ=++=++，
因为,22ππθ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，所以3,444πππθ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，从而2sin(),142πθ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，因此()1,22f x ⎡⎤∈+⎣⎦。4.配方法求值域
二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意
等价性，特别是不能改变定义域。
例8求x x x f 432)(2⨯-=+在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得
3
4
)322(3432)(22+
--=⨯-=+x x x x f []1,0x ∈- ，
所以1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43
；当21x
=即0x =
时()f x 取得最小值1。
5.用“方程判别式”法求值域
对形如)0(22212
22
21121≠+++++=
a a c x
b x a
c x b x a y 的函数常转化成关于x 的二
次方程，由于方程有实根，即0≥∆从而求得y 的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。
例9求函数y =
2
2122+-+-x x x x 的最值
解：∵分母1)1(2+-x ≠0,∴定义域为R .原式化为)12()12()1(2-+---y x y x y =0.
当y ≠1时，此二次方程有实根.∴△=)12)(1(4)12(2----y y y =)32)(12(+--y y ≥0，即21
≤y ≤23；当y =1时，x =1，即x =1时，y =1∈[21,2
3].∴max y =2
3
，min y =21
.
例10求函数y =
4
x 4132
+×－
2
x
的最值解：由y ＋
2
x
=4
x 4132
+×平方整理得：2x 8－3yx 16+－0y 162=.由于x 为实数，
∴△=2)16(y -－)163(842y -⨯≥0，故y ≥
4
2或y ≤－
4
2.
当函数在x ＞0时，y =4
x 4132
+×－
2
x ＞4
x 23×－
2
x =2
1
3-x＞0；在x ≤0时，显然有y ＞0，∴y ≤－4
2不属于所给函数的值域，这是由于在变形过程中采用了两边平方
后而引起值域扩大的部分，应舍去.∴min y =
4
2.
6.利用函数的有界性求值域
借助20,sin 1x x ≥≤等解决。例如对形如d
x b c
x a y ++=
cos sin ，由于正余
弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。
例11求函数22
4
1
x y x +=-的值域。解：由2241
x y x +=-得241y x y +=-，有由2
0x ≥得
401y y +≥-，解得41y y ≤- 或，∴函数值域为：(]()
,41,-∞-+∞ 例12求函数x
x
y cos 2sin -=
的值域
x x y y sin cos 2:=+解y x y 2)sin(12
=-+⇒ϕy
=ϕtan 其中2
12)sin(y
y
x +=
-⇒ϕ1
|)sin(|≤-∴ϕx 1
|12|2
≤+y y 即21|2|y y +≤⇒221)2(y y +≤⇒y x y x 2cos sin =-⇒R x ∈ 3333≤≤-y 解得：
