复变函数与积分变换试题(重修)

华 北 水 利 水 电 学 院 试 题 纸

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线…………………………………

一 二 三 四 五 六

七 八 九 总 分

一、 单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1. 下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（ A ）

A.z·

z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg(z·z ) D. z·

z =|z| 2. 不等式4

z arg 4π

<<π-

所表示的区域为（ A ） A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部

D.椭圆内部

3. 下列函数中，不解析．．．的函数是（ ） A.w=z

B.w=z 2

C.w=e z

D.w=z+cosz 4. 在复平面上，下列关于正弦函数sinz 的命题中，错误．．的是（ ） A.sinz 是周期函数

B.sinz 是解析函数

C.|sinz|1≤

D.z cos )z (sin ='

5. 在下列复数中，使得e z =2成立的是（ ） A.z=2

B.z=ln2+2i π

C.z=2

D.z=ln2+i π

6. 若f(z)在D 内解析，)z (Φ为f(z)的一个原函数，则（ ） A.)z ()z (f Φ='

B. )z ()z (f Φ=''

C. )z (f )z (='Φ

D. )z (f )z (=Φ''

7. 设C 为正向圆周|z|=1,则⎰+-C

2

dz )i 1z (1等于（ ）

A.0

B.

i

21

π C.i 2π D.i π

8. 对于复数项级数∑

∞

=+0

n n

n

6

)i 43(，以下命题正确的是（ ）

A.级数是条件收敛的

B.级数是绝对收敛的

C.级数的和为∞

D.级数的和不存在，也不为∞ 9. 对于幂级数，下列命题正确的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数条件收敛 B.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 C.在收敛圆周上，幂级数必处处收敛 D.在收敛圆周上，幂级数必处处发散

10. z=0是函数z

z sin 2

的（ ）

A.本性奇点

B.极点

C.连续点

D.可去奇点

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11. z

1sin 在点z=0处的留数为（ ）

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

12. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性函数是（ ） A.1z z w -=

B. z 1z w -=

C. z

z 1w -= D. z

11

w -=

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 设4

i

e 2z π=,则Re （z ）=______，Im （z ）=______. 2. Ln(1i +)= , ln(1i +)=

3. 设'()43f z z =-，且(1)3f i i +=-，则()f z =________.

4. 设f(z)=(x 2-y 2-x)+i(2xy-y 2)在复平面上可导的点集为_________.

5.

30

(23)i

z dz +-⎰

=

三、综合计算题（共6题，共49分）

1. 计算积分()L

x iy dz +⎰，其中L 为从原点到1+i 的直线段（5分）．

2. 设C 为正向圆周|z|=2,计算积分I=2()

.231

C Sin z dz z z π++⎰ （7分）

3. 设22()32(23)f z x y x i xy y =--++-

(1)求出使()f z 可导的点, (2)求()f z 的解析区域. (10分)

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4. 求()2

1

1

f z z =+在1z >上的洛朗级数展开式.（7分）

5. 求0n n z ∞

=∑的和函数，并求出其收敛半径和收敛域.(10分)

6. 用拉普拉斯(Laplace)变换求微积分方程0()()1,t

y t y d ττ'+=⎰满足初始条件

()00y =的解. （10分）

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