九年级数学上册 二次函数复习课件 浙教版
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1.1 二次函数(课件)九年级数学上册(浙教版)
2．y=(m-1)
是二次函数，则m的值是（ ）
A．m=0
B．m=-1
C．m=1
D．m=±1
2 +1
【详解】解：y=(m-1)
∴2 + 1=2，m-1≠0，
解得m=±1，m≠1，
∴m=-1．
故选：B．
是二次函数，
当堂检测
3．线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB
运动至点B．以点A为圆心、线段AP长为半径作圆心角为90°的扇形PAC，
③y=4x2-3x+1是二次函数，故③是二次函数；
④y=(m-1)x2+bx+c，时，该式不是二次函数；
⑤y=(x-3)2-x2，该式不是二次函数；
故答案为：③．
讲授新课
知识点二 列二次函数关系式
典例精析
【例3】一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降
价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x
2 +2−1
1)
+3是二次函数时，
【详解】（1）解：(1)当y=( −
−1≠0
有 2
，
+ 2 − 1 = 2
解得m=-3，
∴当m=-3时，此函数是二次函数；
2 +2−1
（2）当y=( − 1)
+3是一次函数时，
−1≠0
有 2
，
+ 2 − 1 = 1
解得,=-1+ 3或-1- 3，
数学（浙教版）
九年级 上册
第1章 二次函数
1.1 二次函数
学习目标
1．掌握二次函数的概念与一般形式，注意二次函数的字母系数
浙教版九上 二次函数复习 课件
x
y
6
B(6,5)
4 C
2 A(0,2)
o 2 4 6 8 10 12
x
解 : ( 1 ) 设 函 数 解 析 式 为 : y = a ( x - 6 )2 5
又
由
A(0, 2),得
aLeabharlann 1 12,y 1 ( x 6)2 5; y 1 x 2 x 2
12
12
( 2 )当 1 x 2 x 2 0时 , 12
当a﹤0时,开口向__,顶点是___,是抛物线的最__. 当x≤__时,y随x的增大而___,当x≥__时,y随x的增大 而___,当X=__时,y最大值=____.
知识点：
抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x轴的
交点由__b_2-_4_a_c_决定. 练习：判断下列抛物线与x轴的交点情况.
1、y=2x2-4x+1 2、y=-3x2-4x-2 3、y=5x2+20x+20
y B
P
OAx
试一试：
2、已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3, 如果它的图像的顶点在x轴上,求m的 值和顶点坐标.
3、已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点 移到x轴上的点A, 所得的抛物线与y 轴交于点B,且线段OA,OB满足关系 OA-1 =OB,试说明平移方法.
例4、在体育测试时，初三的一名高个子男 同学推铅球.
1、已知抛物线经过A（0，0），B（1，-3），C（2，-8）
2、抛物线的顶点坐标为（-1，6），且过点（3，-2）
3、已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标为2，-8，与y轴交于 （0，4）
y=yyya==＝（aaax（xx+22xm＋+）mb2x）+＋k2c 的图象是___,顶点坐标是___,
浙教版九年级上册数学课件%3A第1章 二次函数 复习课 (共31张PPT)
类型之五 二次函数的实际应用 例5 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件 40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的 售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖 10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期销售量为y 件．(1)求y与x的函数表达式及自变量x的取值范围；(2)如 何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星 期的最大利润是多少？ 【解析】 利用总利润＝件数×每件利润，建立二次 函数关系式，再利用二次函数性质解决问题．
已知二次函数y＝x2－bx＋1(－1≤b≤1)，当b从－1逐 渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变 动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是
A．先往左上方移动，再往左下方移动 B．先往左下方移动，再往左上方移动 C．先往右上方移动，再往右下方移动 D．先往右下方移动，再往右上方移动
(1)求抛物线的函数表达式； (2)若过点C的直线y＝kx＋b与抛物线相交于点E(4， m)，求△CBE的面积．
图1－1
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2－4，
将C(0，5)代入y＝a(x－3)2－4得a＝1，
抛物线的函数表达式为y＝(x－3)2－4； (2)∵抛物线 y＝(x－3)2－4 过点 E(4，m)，∴m＝1－4＝－3， ∴E(4，－3)， ∵E(4，－3)，C(0，5)， ∴4bk＝＋5b＝－3，
＝－10x－522＋1 562.5(0≤x≤5) ∵a＝－10＜0， ∴当 x＝2.5 时，W 有最大值 1 562.5. ∵0≤x≤5 且 x 为整数， ∴当 x＝2 时，40＋x＝42，y＝150－10x＝130， W＝1 560 元．
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为
浙教版九年级上册 1.2.2 二次函数的图象 课件(共35张PPT)
（1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 .
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x
…
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
D
A. B. C. D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
y轴
原点
向上
最低点
向下
最高点
越小
那么y=ax2+k 呢？
知识点1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的图象。
解：先列表：
x
…
当x≤-m时，y随x增大而减小；当x≥-m时，y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=-m
直线x=-m
（-m,k）
x=-m时，y最小值=k
x=-m时，y最大值=k
（-m,k）
图1-2-9
例3.某二次函数图象的一部分如图1-2-9所示，请求出该二次函数的表达式，并直接写出该二次函数图象在 轴右侧部分与 轴的交点坐标.
D
A. B. C. D.
B
9. 把二次函数 的图象绕原点旋转 后得到的图象的函数表达式为_________________.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，图象绕原点旋转 后得到的图象的顶点坐标为 ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 .
10.（2021杭州一模）已知二次函数 （ 是实数）.
-m
k
思考
想一想，试着画出二次函数y=a(x+m)2+k不同情况下的大致图象.（ 按a,m,k的正负分类 ）
二次函数y=a(x+m)2+k的图象和性质
归纳
a>0
a<0
图象
m>0
m<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
九年级数学上册-第1章 二次函数 复习课件-浙教版
解：（1）设二次函数表达式为 y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将 A，
B 及 C 的坐标代入得：
9a＋3b＋c＝0， a＝1，
c＝－3，
解得b＝－2，
4a－2b＋c＝5， c＝－3.
则函数表达式为 y＝x2－2x－3。
（2）y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4， 可得对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－4）， 则OB＝3，DP＝4，OD＝1，OA＝3，AD＝OA－ OD＝2， 画出草图，如答图所示：
（3）c决定抛物线与y轴交点的位置：当c＝0时，交于原点； 当c>0时，交y轴于正半轴；当c<0时，交y轴于负半轴。 （4）图象上的特殊点：当a＋b＋c＝0时，图象过点（1， 0）；当a－b＋c＝0时，图象过点（－1，0）。
变式跟进2 1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）的 图象如图1－2所示，有下列结论：①abc＞0，②b2－4ac ＜0，③a－b＋c＞0，④4a－2b＋c＜0，其中正确结论的 个数是（A）
表达式可变形为y＝－2（x－15）2＋1250且0＜x ＜40， 由此可知，当降价15元时，可以获得最大利润， 最大获利为1250元。
谢谢
第1章 二次函数 复习课件
类型之一——用待定系数法求二次函数表达式 用待定系数法求二次函数的表达式，一般有
三种形式：（1）已知二次函数的图象过三点，可 设一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；（2）已知二次 函数的顶点坐标（或对称轴，最大、最小值）， 可设抛物线的顶点式y＝a（x－m）2＋k（a≠0）； （3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0）， （x2，0），可设两根式y＝a（x－x1）·（x－x2） （a≠0）。
【解析】利用总利润＝件数×每件利润，建立二次函数关 系式，再利用二次函数性质解决问题。
浙教版九年级上数学第1章《二次函数复习》课件 (共12张ppt)
纠错大联盟
( x 4) 4 0
2
( x 4) 4
2
x 4 2
（4,4） (6,0) , (2,0) (0,12)
y （4,4）
4
(6,0) , (2,0)
0 2 4 6 x
(0,12)
(2)观察图像确定： x取何值时， y 0，y 0，y 0.
当x=2或6时，y=0 当2<x<6时，y>0
当x<2或x>6时，y<0
纠错大联盟
小结：
（１）这堂课复习了．．．．．．
（２）我还未掌握的是．．．．．．
2
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
口 诀 ： 上 下 左 右 加 减
x 6x 7
2
纠错大联盟
2、把二次函数y=-2x2+4x+3化成y=a(x+h)2+k的形 式. 配方法：
纠错大联盟
公式法：
纠错大联盟
b 2 2a
y1=12+m y2=5+m y3=-3+m
已知点A(1,8)与B(-3,8)为抛物线上两点，则这 直线x=-1 个抛物线的对称轴是_________
你能说出方程
1 x 4x 4 x
2
的实数根的个数吗？
ok
浙教版 九年级 上册
执教：潘振奇
你知道抛物线 形如
2
y x 4 x 4 是由哪个
2
y ax 的抛物线经过怎样平移而来的吗？
yx
2
向右平移 2个单位
y ( x 2)
2
向下平移2， 向左平移5个 单位
yy x3 ) bx 2 (ax c
浙教版初中九年级上册数学：第1章 二次函数 复习课件
图1－1
A.②④
B.①④
C.②③
D.①③
【解析】抛物线的对称轴为直线 x＝－1，即－2ba＝－1，所 以 b＝2a，②不正确。 抛物线的顶点在第二象限，所以4ac4－a b2>0， 又因为抛物线的开口向下，所以 a<0， 所以 4ac－b2<0，即 b2>4ac，①正确。 对称轴为直线 x＝－1， 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c>0，③不正确。 因为 a<0，所以 3a<0， 又因为 b＝2a，所以 2a＋3a<b， 即 5a<b，④正确。
【点悟】（1）a 决定抛物线的开口方向：当 a>0 时，开口向上；当 a<0 时，开口向下。 （2）a 与 b 共同决定抛物线对称轴的位置：当－2ba＝0 时，对称轴
是 y 轴，此时 b＝0；当－2ba<0 时，对称轴在 y 轴左侧，此时 a，b
同号；当－2ba>0 时，对称轴在 y 轴右侧，此时 a，b 异号．可总结 为“左同右异”，即对称轴在 y 轴左侧，a 与 b 同号；对称轴在 y 轴右侧，a 与 b 异号。
例1已知一个二次函数的图象经过A（3， 0），B（0，－3），C（－2，5）三点 （1）求这个函数的表达式； （2）画出这个二次函数的图象（草图）， 设它的顶点为P，求△ABP的面积。
【解析】 （1）设二次函数的一般式，将A，B及C的坐标代 入即可确定出表达式； （2）利用对称轴公式求出二次函数的对称轴及顶 点坐标，作出草图，求出△ABP的面积即可。
解此类问题应以抛物线的形状、位置（与x轴、y轴的交 点）、对称轴、特殊值（x＝1，－1，0等）来考虑、分析， 充分运用数形结合思想。
例2 图1－1是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部 分，图象过点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1。给出 四个结论：①b2>4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④ 5a<b。其中正确的结论是（ B ）
九年级数学上 二次函数的复习课件浙教版
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_y_=_a_(_x_-_x_1)_(_x_-x_2_) (a≠0)
交点式或两根式
练一练：填空
1、若 y(a1)x3a21 是关于x的二次函数，
则a= -1 。
2、抛物线y＝x2＋bx＋c ，经过A(-1,0),B(3,0)两
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
水位在AB位置时，水面宽 4 6 米，水位上升 3米就达到警戒线CD,这时水面宽 4 3 米， 若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度 上升，求过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
M
M
C
D
C
D
A
M
B
C
D
A
B
A
B
M
C
D
A
B
1、复习了二次函数解析式。 2、应用二次函数解析式解决实际问题
某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计 维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生 产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计 为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养费用为 2万元，第2年为6万元。
二次函数复习
基础再现
什么叫二次函数 ?
形如y＝ax2＋bx＋c （a、b、c是常数，a≠0）的函数 叫做二次函数
1、它的图象是一条＿抛＿物＿线＿＿；
2、当a＿＞＿0 时，开口向上；当a＜0时，开口向下； 3、它的对轴是＿直＿线＿x=＿- _2_ba_____；
顶点坐标为(＿- 2＿ba ＿4＿a4c＿a-b＿2 ；)
练习2、已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实 数根，且m＜n,抛物线y=-x2+bx+c的图像经 过点A(m,0),B(0,n)
交点式或两根式
练一练：填空
1、若 y(a1)x3a21 是关于x的二次函数，
则a= -1 。
2、抛物线y＝x2＋bx＋c ，经过A(-1,0),B(3,0)两
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
水位在AB位置时，水面宽 4 6 米，水位上升 3米就达到警戒线CD,这时水面宽 4 3 米， 若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度 上升，求过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
M
M
C
D
C
D
A
M
B
C
D
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B
A
B
M
C
D
A
B
1、复习了二次函数解析式。 2、应用二次函数解析式解决实际问题
某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计 维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万。该生 产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计 为y(万元)，且y=ax2+bx,若第1年的维修、保养费用为 2万元，第2年为6万元。
二次函数复习
基础再现
什么叫二次函数 ?
形如y＝ax2＋bx＋c （a、b、c是常数，a≠0）的函数 叫做二次函数
1、它的图象是一条＿抛＿物＿线＿＿；
2、当a＿＞＿0 时，开口向上；当a＜0时，开口向下； 3、它的对轴是＿直＿线＿x=＿- _2_ba_____；
顶点坐标为(＿- 2＿ba ＿4＿a4c＿a-b＿2 ；)
练习2、已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实 数根，且m＜n,抛物线y=-x2+bx+c的图像经 过点A(m,0),B(0,n)
浙教版数学九年级上册第1章二次函数复习课件(共16张ppt)
4.在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2
不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移
2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解
析式是 ( )
A．y＝2(x－2)2 + 2
C．y＝2(x－2)2－2
B．y＝2(x + 2)2－2
D．y＝2(x + 2)2 + 2
典型例题
例1.二次函数的图象经过A(1,0) B(3,0) C(2,-1)三点, (1)求这个函数的解析式. (2)求函数与直线 y=2x+1 的交点坐标 .
5 9 入得 : a 1, 顶点P ( , ) 2 4 5 2 9 (2)平移前的抛物线为 : y (x ) 2 4 5 向左平移只要超过 个单位,向上平移 2 9 超过 个单位即可 . 4
典型例题：例3
已知二次函数
y x 2 ax a 2 。
（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。 （2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为 13时，求 出此二次函数的解析式。 （3）在（2）中的二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象 上是否存在点P，使得△PAB的面积为 3 13 ，若存在求出P点坐 标，若不存在请说明理由。 2
例6:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分
别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知
点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线
相交于点D。(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关 于x的函数关系式； (2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时
浙教版九年级上册 1.1 二次函数 课件(共20张PPT)
情境
2.y = 2(1+x)2 =2x2+4x+2
知识
精讲
3.y= (56-x)(x-2)=-x2+58x-112
例题 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
解析
小结
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
梳理
(a,b,c是常数, 且a≠0 )
当堂 检测
概念讲解
二次函数的一般式
创设 情境
创设
情境 已知 AB＝6cm，CD＝3cm，AD＝4cm. (1)求四边形纸板 CGEF 的面积 S(cm2)关于 x 的函数表达式和 x 的取值范围；
知识 (2)当 S＝8 时，求 AE 的长度．
精讲
例题 解析
小结 梳理
当堂 检测
挖掘教材
1：函数 y m 3 xm27
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
解析
4.函数 y＝(x－1)2＋(2x－1)2 中二次项系数为________，一次项系数为________，
小结
梳理
常数项为
．
当堂 检测
例题解析
例 1 如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部 创设 分） ,设 AE＝BF＝CG＝DH＝X（cm），四边形 EFGH 的面积为 y（cm2） .
1.1 二次函数
知识回顾
创设 什么叫函数?
情境
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取
知识
精讲 一个确定的之间的关系我们把它叫做函数关系。
例题
解析
对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数，x叫自变量。
小结
九年级数学上册《二次函数图像和性质》复习课件 浙教版
y
-1
0
1 x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
（一）抛物线解析式的三种方法
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
2
例2.二次函数y=x2+bx+2 (1)若顶点在x轴上，则b= (2)若顶点在y轴上，则b= (3)若二次函数的最小值为1，则b= (4)若二次函数在x=1时，有最小值，则b= (5)若二次函数经过（1，0），则b= 例3（1）.y=6(x-1)(x+7)的对称轴是 小值是 . 最
（2）若（-3，5）和（7，5）是某个二次函数 上两点，则此 二次函数的对称轴是 .
2
6. 有一块铁皮拱形边缘呈抛物线状, MN=4，抛 物线的顶点处到MN的距离是 4，要 在 铁皮上截 下一矩形ABCD，是矩形的顶点B、C落在 MN 上， 点A、D 落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁 皮的周长能否等于 8，若能，求出矩形的长和宽。 若不能，说明理由。 p
A
0
D CM
NB
7.如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、 Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度 作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q 沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于 点 D。 (1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S， 求出S关于x的函数关系式；
7、函数 y＝ x － 2x－ 2 的图象如下图所示，根据其中 提供的信息，可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是 ( ) A．－ 1≤ x≤ 3 B．－ 1<x<3 C． x<－ 1 或 x>3 D． x≤－ 1 或 x≥ 3
-1
0
1 x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
（一）抛物线解析式的三种方法
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
2
例2.二次函数y=x2+bx+2 (1)若顶点在x轴上，则b= (2)若顶点在y轴上，则b= (3)若二次函数的最小值为1，则b= (4)若二次函数在x=1时，有最小值，则b= (5)若二次函数经过（1，0），则b= 例3（1）.y=6(x-1)(x+7)的对称轴是 小值是 . 最
（2）若（-3，5）和（7，5）是某个二次函数 上两点，则此 二次函数的对称轴是 .
2
6. 有一块铁皮拱形边缘呈抛物线状, MN=4，抛 物线的顶点处到MN的距离是 4，要 在 铁皮上截 下一矩形ABCD，是矩形的顶点B、C落在 MN 上， 点A、D 落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁 皮的周长能否等于 8，若能，求出矩形的长和宽。 若不能，说明理由。 p
A
0
D CM
NB
7.如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、 Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度 作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q 沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于 点 D。 (1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S， 求出S关于x的函数关系式；
7、函数 y＝ x － 2x－ 2 的图象如下图所示，根据其中 提供的信息，可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是 ( ) A．－ 1≤ x≤ 3 B．－ 1<x<3 C． x<－ 1 或 x>3 D． x≤－ 1 或 x≥ 3
浙教版九年级上册 1.1 二次函数 课件(共24张PPT)
（2）当 x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时 ，对 应的四边形 EFGH的面积，并列表表示.
2–X
X
X 2–X
2–X X
X 2–X
例题讲解：
求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
分析:S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4×SRt△AEH
解（1）由题意，得 y = 22 4 1 x(2 x)
t 2 + 24t +100 0 t 10
y = 240
10 t 20
7t + 380
20 t 40
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注
意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低 达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完 这道题目？
(4)拟建中的一个温室的 平面图如图,如果温室外
围是一个矩形，周长为 12Om , 室内通道的尺寸 如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)·
种植面积 通道
y =（x 2)(60 x 4) y = (x 2)(56 x)
y = x2 + 58x 112
合作学习：
y = x2 y = 1 x2 +13x y = 2x2 + 4x + 2 y = x2 + 58x 112
例题讲解：
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2) y=x+_1x_
2–X
X
X 2–X
2–X X
X 2–X
例题讲解：
求 （1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
分析:S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4×SRt△AEH
解（1）由题意，得 y = 22 4 1 x(2 x)
t 2 + 24t +100 0 t 10
y = 240
10 t 20
7t + 380
20 t 40
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注
意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低 达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完 这道题目？
(4)拟建中的一个温室的 平面图如图,如果温室外
围是一个矩形，周长为 12Om , 室内通道的尺寸 如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)·
种植面积 通道
y =（x 2)(60 x 4) y = (x 2)(56 x)
y = x2 + 58x 112
合作学习：
y = x2 y = 1 x2 +13x y = 2x2 + 4x + 2 y = x2 + 58x 112
例题讲解：
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2) y=x+_1x_
第1章 二次函数 浙教版九年级数学上册复习课件(共17张PPT)
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示， 图象经过（1，0），从中你能得到哪些结论？
（2）m满足什么条件时方程ax2+bx+c=m，①有两个不 相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实 数根？
y
4
-1
o
1
x
图1
• 若把图1的函数图象绕着顶点旋转180度，则能得
到函数的表达式是
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而减小 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的 增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的 增大而减小.
最值
得到y=2 x2 －4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝
.
3与.如分图别，经两过条点抛（物-2线,0）y,1（2,012）x且2 平1行、于y2y轴的12两x 2条1
平行线围成的阴影部分的面积为（ ） Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方 程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、二次函数的定义
如果函数 y k 1 xk2k2 kx 1 是关于x的二次函
数，则k＝
?
一般地， 如果y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)， 那么，y叫做x的二次函数。
2、二次函数的图像和性质(画两幅图)
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
浙教版九年级上-二次函数复习课件
y x2 6x 7
2 2
进行配方，正确的结果应（ Ｃ ）
A. y ( x 3) 2 C. y ( x 3) 2
B. y ( x 3) 2 2
D. y ( x 3) 2
2
4.抛物线y
x 4x 的对称轴是(
2
2
A )
A.直线x=2
B.直线x=-2 C.直线x=4
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC 解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时
1 1 CQ • PB S△PCQ＝ = AP•PB 2 12 2 即 S＝ x x (0<x<2） 2
； / 氢氧化钠生产厂家 氏，不过，这老四办事可真够绝の，冷落着年氏也就算咯，居然还跟她の丫环搞上咯，打人不打脸，说话不揭短，这回年氏の脸面可算 是让她の丫环给丢尽咯。德妃虽然很不喜欢水清，但是出咯这么大の事情，她还是要好好地嘱咐几句，别到时候跟四小格闹出啥啊大动 静来，再惹恼咯皇上可就糟咯。唉，四小格在诸人の问题上从来没有让她操过心，怎么三十好几の人咯，才突然开咯窍？居然这回偏偏 吃の还是窝边草？想到这里，德妃似同情、似真心地开口劝道：“好咯，这件事情呢，你也要想开壹点儿，诸人呢，是要为爷开枝散叶， 不可能就由你壹各人霸着，这次行围少说也有五、六各月呢，你又不讨爷の欢心，爷身边没各诸人怎么行？这也是再所难免，早早晚晚 の事情，当然肯定也不会是最后壹次。回去呢，你也别跟爷闹脾气，这种事情哪各府里都有，想开点就行咯。再说咯，你应该庆幸，好 在爷看上の是你自己の丫环，怎么说，总归还是壹家子人，俗话说，肉还是烂在自己家の锅里。至于你那各丫环呢，你也别太苛责咯， 反正也是爷の诸人咯，当各姐妹对待也不是啥啊天大の难事。你若是不知好歹，将来再惹恼咯爷，也没有你啥啊好果子吃。”德妃洋洋 洒洒地说咯壹大堆，连蒙带吓唬壹番，无非是劝水清放宽心，想开点儿，这是家家户户都会遇到の问题，不可避免の事情，没啥啊大惊 小怪の，虽然由于是自己の丫环脸上很没面子，但总比平白无故地便宜咯外人要强多咯吧。任凭德妃耐着性子地苦口婆心壹番长篇大论， 水清却是几乎壹句都没有听进去，她现在壹门心思都放在如何不会引发连环事件，暴露咯姐姐の身份，以及如何使德妃娘娘不要恼咯爷 の问题上。现在看来壹切还好，她终于踏实下心来。德妃也注意到水清の走神儿。这也怪不得她，小小年纪，嫁进夫家不得宠，最后还 被自己身边の丫环钻咯空子，搁谁能受得咯这么大の打击？壹想到这里，德妃有些可怜起她来。这些日子，水清壹门心思地精心地服侍 她，却将自己の丫环拱手相送到爷の床上，真是怪可怜の。于是德妃赶快说咯壹句：“行咯，今天没啥啊事情，你壹会儿就回去吧，下 午和晚膳也不用过来咯，好好料理壹下后院の事情，不过，我说の话，你也要好好地记着，别以后跟爷闹得不可开交咯，别怪我事先没 有教过你。还是那句话，跟爷闹，不会有啥啊好下场。”“谢额娘教诲。媳妇告退。”“行咯，去吧。”第壹卷 第275章 早退壹出咯 德妃の帐子，水清真是心花怒放，终于有惊无险地躲过咯壹劫！太庆幸刚才の决定咯，水清简直就要为她の急中生智而大大地自我赞扬 壹番！幸亏和娘娘坦白说咯“实话”，假如自己不承认玉盈姐姐是侍妾，而二十三叔、塔娜他们壹再坚持，惹得
九年级数学上册 第1章 二次函数的复习课件 (新版)浙教版
y
A．2 B．3
C．4 D．5
x
0
2
-3
第十页，共11页。
(4)根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量与函 数值的对应值，判断(pànduàn)方程ax2+bx+c =0
（a≠0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（ ）
x
6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c
y
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
O
-1
1
x
第九页，共11页。
（3）小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象观察得出(dé chū)下面的五条信息：① a＜ 0；② c
＝0；③ 函数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>gt; y2 你认为其中正确的个数
是（ ）
-0.03 -0.01 0.02
0.04
A．6.17＜ x ＜6.18 C．-0.01＜ x ＜0.02
B．6.18＜ x ＜6.19 D．6.19＜ x ＜6.20
第十一页，共11页。
( A)
A.9
B.3
C.-9
D.0
7.已知二次函数 y 2(x 1)2 1,2 x 1，那
么函数y的值( Ｄ)
A.最小是1,最大是5
B.最小是1,无最大值
C.最小是3,最大是9
D.最小是1,最大是9
8.某旅行社有100张床位,每晚每床收费10元,客床可全部出租,若每
床每晚提高2元,则减少10张床位出租,若每床每晚再提高2元,则再
二次函数的复习
第一页，共11页。
第二页，共11页。
二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象是一
浙教版九年级上册 1.3 二次函数的性质 课件(51张PPT)
[解析] 点 关于直线 的对称点的坐标是 ，所以抛物线与 轴的另一个交点坐标为 .
13.已知 ， ， 为实数，点 ， 在二次函数 的图象上，则 ， 的大小关系是 ___ （用“ ”或“ ”填空）.
[解析] 易知抛物线 的对称轴为直线 , 点 , 在对称轴的右侧. , 抛物线开口向上, 在对称轴右侧， 随 的增大而增大.又 ， .
大
6
6. 已知抛物线 （ ， ， 为常数）， ， ， 是抛物线上的三点，则 ， ， 由小到大依次排列为_____________.（用“ ”连接）
[解析] 抛物线 （ ， ， 为常数）的对称轴为直线 ，所以点 关于对称轴直线 对称的点为 ，在对称轴右侧, 随 的增大而增大.因为 ，所以 .
知识点2 二次函数的增减性
5.（1） 关于二次函数 ，当 _____时， 随 的增大而减小；当 _____时， 随 的增大而增大；当 ___时，函数取得最____值为___.
1
小
6
（2） 关于二次函数 ，当 ______时， 随 的增大而减小；当 ______时， 随 的增大而增大；当 ____时，函数取得最____值为___.
8.抛物线 与 轴的交点坐标是__________________；与 轴的交点坐标是______.
和
9.已知抛物线 .
（1） 用配方法求出它的对称轴和顶点坐标；
解： ， 对称轴是直线 ， 顶点坐标是 .
思考
方程ax²+bx+c=0(a≠0)与函数y=ax²+bx+c(a≠0)有什么关系?
一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象可得如下结论：如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为xo, 那么当x=xo时，函数值是0,因此x=xo是方程ax²+bx+c=0的一个根.
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二次函数
y = a（x＋m) 2
开口方向 a ＞ 0 向上
a＜0
对称轴
顶点坐标
直线X=－m （－m，0）
巩固练习1： 2 上 ,对称轴是 Y轴 （1）抛物线y =3x 2的开口向 , (0,0) 顶点坐标是 ,图象过第 一、二 象限 ； （2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 (不可能 )
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下 解：∵二次函数的对称轴是 x=1 平移4个单位,再向左平移 5个单位所到的新 ∴图象的顶点横坐标为1 抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
又∵图象的最高点在直线y=2x+4 分析: (1)由a+b+c=0 上 可知,原抛物线的图象经过(1,0) ∴当x=1时，y=6 (2) 新抛物线向右平移 5个单位, ∴顶点坐标为（ 1 ， 6） 再向上平移 4个单位即得原抛物线
上正下负
-2
基础练习
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 y=2(x+2)2-3 =2x2+8x+5 ________________________ 2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位, 再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式 y= - 3(x-1-4)2+2+3 =-3x2+30x-70 为_____________________________ 3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下 平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后 的解析式为______________; y=2(x+1)2-8 4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状 相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
（4）b2-4ac的符号： a、b同号 a、b异号 b=0
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
17.根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量 与函数值的对应值，判断方程ax2+bx+c =0 （a≠0, a, b, c为常数）的一个解的范围是（ ） x y＝ax2＋bx＋c 6.17 -0.03 6.18 -0.01 6.19 0.02 6.20 0.04
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数， a≠0) 的函数叫做二次函数
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值 呢?
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
二次函数的一般形式
• 函数y＝ax2＋bx＋c
• 二次函数的特殊形式：
– 其中a、b、c是常数 – 切记：a≠0 – 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式） – 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个 单位,再向上平移5个单位.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
(C )
( D)
（16）小明从右边的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象观察得出下面的五条信息：① a＜ 0；② c＝0； ③ 函数的最小值为-3； ④当x＜0时，y>0； ⑤当0 ＜x1＜x2＜2时，y1 > y2 你认为其中正确的个数有 y （ ） A．2 B． 3 C．4 D． 5
0 -3 2
二次函数
y = ax 2
(a≠0) 的二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标 a ＞ 0 向上 直线X=0 (0,0) a ＜ 0 向下
（二）形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标 ＞0 a 向上 2 y = ax +k a ＜0 向下 直线X=0（0，K） （三）、形如y = a (x+m) 2 ( a≠0 ) 的二次函数 二次函数
知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(5)y=x -2 +x
(4)y=2x2-2x+1
(6)y=x2-x(1+x)
知识运用
当m取何值时，函数是y= (m+2)x
m2-2
分别 是一次函数？ 反比例函数？ 二次函数？
驶向胜 利的彼 岸
（一）形如y = ax 2
答案:y=-x2+6x-5
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 ， 最高点在直线y=2x+4上。 (1) 求此抛物线的顶点坐标. （2）求抛物线解析式. （3）求抛物线与直线的交点坐标.
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分 别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。若OA=4，OB=1， ∠ACB=90°，求抛物线解析式。 解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴 OA=4，∴点A（4，0） y OB=1， ∴点B（-1，0） ∵ ∠ACB=90°ＯＣ⊥ ＡＢ ∴ ∠ CAO=∠BCO B O ∠CAO+∠OCA=90,∠OCA+∠BCO=90 ∴∠BOC=∠COA, C ∴△ＢＯＣ∽△COＡ ∴ＯＢ／ＯＣ＝ＯＣ／ＯＡ ∴OC=2，点C（0，-2） 由题意可设y＝a（x＋１）（x－４）得： a（０＋１）（０－４）＝－２ ∴a＝０.５ ∴ y＝０.５（x＋１）（x－４）
-2 -1
0 1
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点, 有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交 点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 有两个交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根
(四) 形如y = a (x+m) 2 +k (a ≠0) 的二次函数
二次函数 y = a（x+m)
2+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a ＞ 0 向上 直线X=-m （-m，k） a ＜ 0 向下
练习巩固2: （1）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向 上, （３，1） 对称轴 X=３ , 顶点坐标是 （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶 〈 0, m〈 0, n〈 0。 点在第四象限，则a 1 2 2、已知二次函数y=- 2 x +bx-5的图象的 0 。 顶点在y轴上，则b=___
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式
（b2-4ac） b2-4ac > 0
有一个交点
没有交点
有两个相等的实数根
没有实数根
b2-4ac = 0
b2-4ac < 0
选择
(1) 抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2 B (2)抛物线y=3x2-1的________________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点 (3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是_______ C A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3 (4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_______ A A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2