抛物线的参数方程
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2 1
2 MB ( 2 pt2 x ,2 pt2 y )且A, M , B三 点 共 线 ，
所 以( x 2 pt )(2 pt2 y ) ( 2 pt x )( y 2 pt1 )
2 1 2 2
化简，得 y( t1 t 2 ) 2 pt1 t 2 x 0.......... .....(10) 将(8), (9)代 入(10), 得 到 y y( ) 2 p x 0 x 2 2 即x y 2 px 0( x 0) 这就是点 M的 轨 迹 方 程
探究：在例 3中 ， 点 A, B在 什 么 位 置 时 ， AOB的 面 积 最小？最小值是多少 ? 由 例3可 得
OA＝ ( 2 pt ) ( 2 pt1 ) 2 p t1 t 1
2 2 1 2 2 1 2 2 2 OB ( 2 pt2 ) ( 2 pt2 ) 2 2 p t 2 t 2 1
因 为OM AB , 所 以OM OB 0,即 2 px( t t ) 2 py( t 2 t1 ) 0
2 2 2 1
所 以x( t1 t 2 ) y 0, y 即t1 t 2 ( x 0)......... .......... .......... ...(9) x 因 为AM ( x 2 pt , y 2 pt1 ),
所以， AOB的 面 积 为
2 S AOB 2 p 2 t1 t 2 ( t12 1) ( t 2 1)
2p
2
t t 2 2p
2 1 2 2
2
( t1 t 2 ) 4 4 p
2
2
当且仅当 t1 t 2， 即 当 点 A, B关 于x轴 对 称 时 ， AOB的 面 积 最 小 ， 最 小 值 4 为 p2 .
y 500
（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。 解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x， 垂直高度为y，所以
o
x
x 100t , 2 （ g=9.8m/s ) 1 2 y 500 gt . 2
抛物线的参数方程
设M （x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点， 以射线OM为终边的角记作。
The High School Affiliated to Henan Normal University
复习回顾:
x a cos 1. 焦点在x轴上的 { (为 参 数 ) y b sin 椭圆的参数方程
对应的普通 方程为: 2.焦点在x轴上的双曲线参数方程
x a se c
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y 程。 M的 轨 迹 方
A M
o B
x
解：根据条件，设点 M , A, B的 坐 标 分 别 为 ( x, y)
2 ( 2 pt12 ,2 pt1 ), ( 2 pt2 ,2 pt2 )(t1 t 2 , 且t1 t 2 0)则
OM ( x , y ), OA ( 2 pt ,2 pt1 ), OB ( 2 pt ,2 pt2 )
x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y
思考：P33
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程？
例1、 如 图 O是 直 角 坐 标 原 点 ， A, B是 抛 物 线 y 2 px( p 0)上 异 于 顶 点 的 两 动 点 且 ，
2
OA OB, OM AB并 于AB相 交 于 点 M， 求 点
y
M(x，y)
o x y H 因为点M （x,y）在的终边上，根据三角函数定义可得 tan . x
2p x= , 2 tan 解出x,y得到抛物线（不包括顶点）的参数方程： ( 为参数) y 2p . 1 tan 如果设t= ,t (-,0)(0,+),则有 tan x=2pt2 , (t为参数) 思考：参数t的几何意义是什么？ y 2pt . 当t 0时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。
练习:
x2 y2 1.若 点P是 椭 圆 1上 一 个 动 点 , 则 点P到 直 线 x 2y 2 0 16 4 的最大距离为 __________ . x se c 2.双 曲 线 的离心率是 _________ . y tan
练 习、 设 M为 抛物 线 y 2 2 x上 的动 点， 给 定点 M 0 ( 1,0)， 点P为 线段 M 0 M的 中点 ， 求 点 P的 轨迹 方程 。
x=2pt2 , 所以， (t为参数，t R )表示整条抛物线。 y 2pt.
又设抛物线普通方程为y2 =2px.
抛物线的参数方程
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数，t R) y 2pt.
y
M(x，y)
o H x
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
2 1 2 2
AB ( 2 p( tBaidu Nhomakorabea t ),2 p( t 2 t1 ))
2 2 2 1
因 为OA OB, 所 以OA OB 0, 即 ( 2 pt1 t 2 ) ( 2 p) t1 t 2 0, 所 以t1t 2 1.......... .(8)
2 2
y 焦点在y轴上的椭圆的参数方程 M(x,y) A
x b cos
y a sin
o
B
x
焦点在y轴上的双曲线的参数方程
y aA ' B
•
o
M
A
x
B'
b
1 x b b cot tan
1 y a a csc sin
对应的普通 方程为:
3 { (为参数， , ) y b tan 2 2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
探究P21
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 （不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？ 物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
2 MB ( 2 pt2 x ,2 pt2 y )且A, M , B三 点 共 线 ，
所 以( x 2 pt )(2 pt2 y ) ( 2 pt x )( y 2 pt1 )
2 1 2 2
化简，得 y( t1 t 2 ) 2 pt1 t 2 x 0.......... .....(10) 将(8), (9)代 入(10), 得 到 y y( ) 2 p x 0 x 2 2 即x y 2 px 0( x 0) 这就是点 M的 轨 迹 方 程
探究：在例 3中 ， 点 A, B在 什 么 位 置 时 ， AOB的 面 积 最小？最小值是多少 ? 由 例3可 得
OA＝ ( 2 pt ) ( 2 pt1 ) 2 p t1 t 1
2 2 1 2 2 1 2 2 2 OB ( 2 pt2 ) ( 2 pt2 ) 2 2 p t 2 t 2 1
因 为OM AB , 所 以OM OB 0,即 2 px( t t ) 2 py( t 2 t1 ) 0
2 2 2 1
所 以x( t1 t 2 ) y 0, y 即t1 t 2 ( x 0)......... .......... .......... ...(9) x 因 为AM ( x 2 pt , y 2 pt1 ),
所以， AOB的 面 积 为
2 S AOB 2 p 2 t1 t 2 ( t12 1) ( t 2 1)
2p
2
t t 2 2p
2 1 2 2
2
( t1 t 2 ) 4 4 p
2
2
当且仅当 t1 t 2， 即 当 点 A, B关 于x轴 对 称 时 ， AOB的 面 积 最 小 ， 最 小 值 4 为 p2 .
y 500
（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动； （2）沿oy反方向作自由落体运动。 解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x， 垂直高度为y，所以
o
x
x 100t , 2 （ g=9.8m/s ) 1 2 y 500 gt . 2
抛物线的参数方程
设M （x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点， 以射线OM为终边的角记作。
The High School Affiliated to Henan Normal University
复习回顾:
x a cos 1. 焦点在x轴上的 { (为 参 数 ) y b sin 椭圆的参数方程
对应的普通 方程为: 2.焦点在x轴上的双曲线参数方程
x a se c
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y 程。 M的 轨 迹 方
A M
o B
x
解：根据条件，设点 M , A, B的 坐 标 分 别 为 ( x, y)
2 ( 2 pt12 ,2 pt1 ), ( 2 pt2 ,2 pt2 )(t1 t 2 , 且t1 t 2 0)则
OM ( x , y ), OA ( 2 pt ,2 pt1 ), OB ( 2 pt ,2 pt2 )
x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= . y
思考：P33
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p>0)的 参数方程？
例1、 如 图 O是 直 角 坐 标 原 点 ， A, B是 抛 物 线 y 2 px( p 0)上 异 于 顶 点 的 两 动 点 且 ，
2
OA OB, OM AB并 于AB相 交 于 点 M， 求 点
y
M(x，y)
o x y H 因为点M （x,y）在的终边上，根据三角函数定义可得 tan . x
2p x= , 2 tan 解出x,y得到抛物线（不包括顶点）的参数方程： ( 为参数) y 2p . 1 tan 如果设t= ,t (-,0)(0,+),则有 tan x=2pt2 , (t为参数) 思考：参数t的几何意义是什么？ y 2pt . 当t 0时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。
练习:
x2 y2 1.若 点P是 椭 圆 1上 一 个 动 点 , 则 点P到 直 线 x 2y 2 0 16 4 的最大距离为 __________ . x se c 2.双 曲 线 的离心率是 _________ . y tan
练 习、 设 M为 抛物 线 y 2 2 x上 的动 点， 给 定点 M 0 ( 1,0)， 点P为 线段 M 0 M的 中点 ， 求 点 P的 轨迹 方程 。
x=2pt2 , 所以， (t为参数，t R )表示整条抛物线。 y 2pt.
又设抛物线普通方程为y2 =2px.
抛物线的参数方程
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数，t R) y 2pt.
y
M(x，y)
o H x
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
2 1 2 2
AB ( 2 p( tBaidu Nhomakorabea t ),2 p( t 2 t1 ))
2 2 2 1
因 为OA OB, 所 以OA OB 0, 即 ( 2 pt1 t 2 ) ( 2 p) t1 t 2 0, 所 以t1t 2 1.......... .(8)
2 2
y 焦点在y轴上的椭圆的参数方程 M(x,y) A
x b cos
y a sin
o
B
x
焦点在y轴上的双曲线的参数方程
y aA ' B
•
o
M
A
x
B'
b
1 x b b cot tan
1 y a a csc sin
对应的普通 方程为:
3 { (为参数， , ) y b tan 2 2
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
探究P21
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度 作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面 （不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？ 物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：