2.3.2 等比数列的前n项和-王后雄学案

张喜林制

2.3.2 等比数列的前n 项和

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考点知识清单

1．等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 当公比1=/q 时，=n s = 当q=l 时，=n S 2．若数列}{n a 的前n 项和),1(n n q p s -=且,1,0=/=/q q 则数列}{n a 是

3．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有n n S q n a a ,,,,1五个量，在这五个量中 4．在等比数列中，若项数为偶s N n n ),(2+∈与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则=÷奇偶S S 5．数列}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则--n n n n s s s s 32,,,,2 n s 仍构成

要点核心解读

1．等比数列前n 项和公式 (1)前n 项和公式的导出，

解法一：设等比数列 ,,,,,321n a a a a 它的前n 项和是

⋅+++=n n a a a S 21

由等比数列的通项公式可将n S 写成

112111-++++=n n q a q a q a a s ①

①式两边同乘以q ，得

.131211n n q a q a q a q a qs ++++= ②

①一②，得,)1(11n

n q a a S q -=-

由此得1=/q 时，q

q a s n n --=

1)

1(1 ,11-=n n q a a

所以上式可化为q

q

a a s n n --=

11

当q=l 时，⋅=1na s n

解法二：由等比数列的定义知⋅====-q a a

a a a a n n 1

2312

当1=/q 时，,1

2132q a

a a a

a a n n

=++++++- 即

⋅=--q a S a s n

n n 1

故当1=/q 时，q

q a q q a a S n n n --=--=

1)

1(111 当q=l 时，⋅=1na s n

解法三：112111-++++=n n q a q a q a a S

)(21111-++++=n q a q a a q a

11-+=n qs a ).(1n n a s q a -+=

当1=/q 时，q

q a q q a a s n n n --=--=

1)

1(111 当q=l 时，⋅=1na S n

(2)注意问题，

①上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种解法在今后的解题中都经常用到，要用心体会，

②公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．

③当已知n q a ,,1时，用公式,1)

1(1q

q a S n n --=当已知,,1q a n a 时，用公式q q a a S n n --=11

④在解决等比数列问题时，如已知n n s q n a a ,,,,1中的任意三个量，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个量．

(3)等比数列前n 项和的一般形式

一般地，如果q a ,1是确定的，那么--=--=q a q

q a S n n 11)1(1

1,11n q q a -设,11q a A -=则上式可写为

⋅=/-=)1(q Aq A s n n

2．等比数列前n 项和的性质

(1)数列}{n a 为等比数列，n s 为其前n 项和，则,,2n n n s S S - ,23n n S S -仍构成等比数列，且有

⋅-⋅=-)()(2322n n n n n s S s s s

(2)若某数列前n 项和公式为),1,0(1=/=/-=a a a s n n 则}{n a 为等比数列．

(3)在等比数列中，若项数为奇偶与S S N n n ),(2+∈分别为偶数项与奇数项的和，则⋅=÷q S S 奇偶 (4)若}{n a 是公比为q 的等比数列，则⋅⋅+=+m n n m n s q S s 由此性质，在解决有些问题时，能起到简化解题过程的作用．

如：设}{n a 是由正数组成的等比数列，它的前n 项和为,n s 试比较222log log ++n n S S 与12log 2+n S 的大小．

解：设}{n a 的公比为q ，由已知,0,01>>q a

,,11211++++=+=n n n n qS a S qS a S

+=+-+=-∴++++11111212)()(a S S qS a qS a S S S S n n n n n n n n 1111+++--n n n n n S qS a S S qS

.0)(1111<-=-=++n n n a a s s a

.212++<∴n n n S S S 而,0>n S 且函数x y 2log =在),0(+∞上单调递增，

⋅<+∴++12222log 2log log n n n S S S

典例分类剖析

考点1 前n 项和公式的应用 命题规律

(1)等比数列前n 项和公式在具体题目中的应用．

(2)含有参数的等比数列中，如何运用等比数列的求和公式． [例1]在等比数列}{n a 中，,2

63

,2763==

s S 求⋅n a [答案] 方法一：由已知,236S S =/ 则,1=/q 又,2

63

,2763==

s S 即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⋅=--=-⋅-②①2631)1(,27

1),1(6

11q q a q

q a ②÷①得,913

=+q 所以.2=q