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2.3.2 等比数列的前n项和-王后雄学案

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学案5：2.3.2 等比数列的前n项和

学案5：2.3.2 等比数列的前n项和

2.3.2 等比数列的前n 项和学习目标：1.掌握等比数列前n 项和的性质的应用.2.掌握等差数列与等比数列的综合应用.3.能用分组转化方法求数列的和.学习过程：基础·初探等比数列前n 项和的性质性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n －A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列.性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则①S n ＋m ＝S n ＋q n S m .②在等比数列中，若项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶S 奇＝q . ③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列.例题探究：类型1：等比数列前n 项和性质应用例1：(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21(2)等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________. 变式训练1：(1)等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝________. 类型2：分组求和法例2：已知数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n －a n －1)，…此数列是首项为1，公比为13的等比数列. (1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .变式训练2：求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .类型3：等差、等比数列的性质应用对比例3：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N ＋，求{b n }的前n 项和T n .变式训练3：数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1).(1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .课堂检测：1.等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝( )A ．1－a n1－aB ．1－a n －11－aC ．⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a n 1－a ，(a ≠1) n ，(a ＝1)D ．⎩⎪⎨⎪⎧1－a n －11－a ，(a ≠1) n ，(a ＝1) 2.数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项和为( )A ．14B ．512C ．34D ．7123.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 4.在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________.5.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值.参考答案例题探究：例1：【解析】(1)∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列.即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2.∴S 4＝28.(2)设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3即S 1＝3S 2. 又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24. 即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.【答案】(1)A (2)24变式训练1：【解析】(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240， S 奇－S 偶＝80， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80， S 偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2,14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2＝2(14－x )，(14－x )2＝(x －2)(y －14)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6， y ＝30或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4， y ＝－40(舍去)， 所以S 4n ＝30.【答案】(1)2 (2)30例2：解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n -1＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫13n. (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…a n＝32⎝⎛⎭⎫1－13＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫132＋…＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫13n＝32n －34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ＝34(2n －1)＋14⎝⎛⎭⎫13n -1. 变式训练2：解：S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝⎛⎭⎫2n ＋12n ＋1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝⎛⎭⎫14＋18＋…＋12n ＋1 ＝n (2n ＋2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1. 例3：解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ， a 1＋(2n －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1， d ＝2， 因此a n ＝2n －1，n ∈N ＋.(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N ＋， 当n ＝1时，b 1a 1＝12； 当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝12n . 所以b n a n ＝12n ，n ∈N ＋. 由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N ＋，所以b n ＝2n －12n ，n ∈N ＋. 所以T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ， 12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1. 两式相减，得12T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以T n ＝3－2n ＋32n . 变式训练3：解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n (n ≥2).又∵a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d .又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2.解得d 1＝2，d 2＝－10.∵等差数列{b n }的各项为正，∴d >0，∴d ＝2.T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 课堂检测：1.【解析】当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－a n1－a. 【答案】C2.【解析】依题意b n ＝1a n ＝1n 2＋3n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以{b n }的前10项和为S 10＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋⎝⎛⎭⎫14－15＋…＋⎝⎛⎭⎫111－112＝12－112＝512，故选B. 【答案】B3.【解析】法一：设公比为q (q ≠0)，由题意知q ≠－1，根据等比数列前n 项和的性质， 得S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝1＋q 3＝3，即q 3＝2. 于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73. 法二：因为{a n }是等比数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，设S 3＝m (m ≠0)，则S 6＝3m ，所以4m 2＝m (S 9－3m )，解得S 9＝7m ，所以S 9S 6＝73. 【答案】734.【解析】法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k )＝3n －3n －1＝2·3n －1. 由题意知{a n }为等比数列，∴a 1＝3＋k ＝2，∴k ＝－1.法二：由题意，{a n }是等比数列，a 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝6，a 3＝S 3－S 2＝18， 由a 22＝a 1a 3得18(3＋k )＝36，解得k ＝－1.【答案】－15.解：由等比数列前n 项和的性质可知，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列.由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2，故S 4n －S 4n －4＝2n (n ≥2)， 所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32.。

2.3.1 等比数列-王后雄学案

2.3.1 等比数列-王后雄学案

张喜林制2.3.1 等比数列教材知识检索考点知识清单1．一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比都等于 ，那么这个数列就叫做2．等比数列的通项公式： 3．等比数列的重要性质：(1) ； (2) ． 4．判断一个数列为等比数列的方法：(1) ；}{n a ⇔是公比为q 的等比数列， (2) ．}{n a ⇔是公比为q 的等比数列． 5．等比中项的定义：6．如果,0=/n a 且221++=n n n a a a 对任意的正整数n 都成立，则数列}{n a 是7．(1)若}{n a 为等比数列，且),,,,(1+∈+=+N n m l k n m k 则l k a a ⋅n m a a (2)若}{n a 为等比数列，公比为q ，则}{2n a 也是 ，公比为 (3)若}{},{n n b a 是等比数列，则}{n n b a 也是 (4)若}{n a 为等比数列，则)0}({=/k ka n 也为(5)若 ,,,,4321a a a a 排列的一列数n a 为等比数列，则按,1a ,,53a a 排列的一列数也为 8．等差数列与等比数列的比较(1)相同点：①强调的都是 的关系． ② 或 确定．(2)不同点：①等差数列强调的是每一项与其前一项的 ，等比数列强调的是每一项与其前一项的 .②等差数列的首项和公差可以为零，等比数列的首项和公比③等差中项唯一，是 ，等比中项有 ，分别为_____________ . 即两个正数（或两个负数）的等比中项有 ，它们互为 ；一个正数和一个负数 等比中项，要点核心解读1．等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项之比都等于同一常数q ，这个数列叫等比数列，常数q 叫做等比数列的公比定义还可以叙述为：在数列}{n a 中，若),(1++∈=N n q a ann 则}{n a 是等比数列．易知.0=/q 关于定义理解的几点注意：(1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此g 也不能是0； (2)“从第二项起”是因为首项没有“前一项”；nn a a 1)3(+均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒；(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列；(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列；(6)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列：若常数列是各项都为O 的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列；(7)证明一个数列为等比数列，其依据是),(1++∈=N n q a ann 利用这种形式来判定，就便于操作了； (8)在现实生活及国民经济建设中，常出现增长率（降低率）、利率等问题，多与等比数列有联系，应用广泛．2．等比中项在任意两个非零实数a 和b 之间，也可以插入n 个数使之成为等比数列，但要注意，在实数范围内，当a >0时，a 、b 之间可以插入任意个数，当ab <0时；在a 和b 之间只能插入偶数个数使之成为等比数列. 当ab >0时，在a 和b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么，G 就叫做a ，b 的等比中项．.,2ab G ab G Gba G ±==∴=， 3．通项公式等差数列的通项公式是用不完全归纳法得到的．类似地，在等比数列}{n a 中，由等比数列的定义，有：===q a a q a a 2312;;)(211q a q q a =.)(312134 q a q q a q a a ===归纳可得：1).0(1111==/⋅⋅==--n q a q a q a a n n n 时，等式也成立，即对一切+∈N n 成立．于是可得：等比数列的通项公式为⋅=/⋅⋅=-)0(111q a qa a n n除了上面的证明方法，也可以用累乘法来证明，如下：因为}{n a 是等比数列，所以2≥n 时，有,,,,342312 q a a q a a q a a ===⋅=-q a a n n 1将上面n-l 个等式的左右两边分别相乘，得..2312a a a a ,..1134--=n n n q a a a a 即11-=n n q a a 所以).2(11≥=-n q a a n n 当n=l 时，左边,1a =右边,1a =所以等式成立．所以等比数列的通项公式为：).0(111=/⋅⋅=-q a q a a n n(1)对于等比数列的通项公式，我们还要注意如下几点： ①不要把n a 错误地写成.1n n q a a =②公比q 是任意一个常数，可以为正数，也可以为负数，在不同数列中，公比q 可以有不同的取值．但在同一数列中，公比q 的值不变．③对于公比g ，它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”，不能把相邻两项的次序颠倒．④由等比数列的通项公式，已知n a q a n ,,,1中三个便可求出另外一个量，即“知三求一”， ⑤在碰到与等比数列的某一项有关的问题时，常常运用等比数列的通项公式来解决． (2)用函数观点看等比数列的通项公式，等比数列的通项公式可整理为.1n n q q aa ⋅=当q 为不等于l 的正数时，x q y =是一个指数函数，而x q q a y ⋅=1是一个不为零的常数与指数函数的积．因此，等比数列}{n a 中的各项所表示的点离散地分布在第一或第四象限，并且当1=/q 时，这些点在曲线x q qay ⋅=1上． 当⎩⎨⎧>>1,01q a 或⎩⎨⎧<<<10,01q a 时，}{n a 是递增数列，反之也对，当⎩⎨⎧<<>10,01q a 或⎩⎨⎧><1,01q a 时，}{n a 是递减数列，反之也对，当q=l 时，}{n a 是常数列，当q<0时，}{n a 是摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但奇数项与偶数项异号）． 4．等比数列的主要性质若数列}{n a 是公比为g 的等比数列，则(1)若,,,,,+∈+=+N q p n m q p n m 则,..q p n m a a a a =);()2(+-∈⋅=N n m q a a h m n m n,0.)3(2>+n n a a 即奇数项与奇数项同号，偶数项与偶数项同号；(4)下标成等差数列的项构成等比数列；(5)数列)0}({=/λλn a 仍是公比为q 的等比数列；(6)若}{n b 是公比为q 的等比数列，则数列}{n n b a ⋅是公比为q q ⋅的等比数列．5．解题基本方法(1)直接依据等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式（下节将要学习）思考并解决有关等比数列的问题是最基本的解题方法，也是十分重要的解题方法．(2)注意灵活选设未知数，例如，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为;,,aq a qa当四个数成等比数列且公比为正数时，可设这四个数分别为.,,,33aq aq qaq a 依次类推． （3)在要求的几个数中，若有若干个数成等差数列，若干个数成等比数列，应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数，典例分类剖析考点1 等比数列的定义 命题规律(1)利用等比数列的概念判断或证明某个数列是否为等比数列． (2)等比数列定义的变式应用．[例1] 设数列}{n a 的前n 项和为,n S 且+=/+1,0n n S a ⋅>=+)1|(|1k ka s n n 问数列}{n a 是否为等比数列？并说明理由．[答案] ,1111,++++=-=+n n n n n n a s S ka S S y,)1(211+++=∴n n a k s 则),2()1(2≥+=n a k S n n以上两式相减得：),2()1()1(211≥+-+=++n a k a k a n n n ⋅≥+=-∴+)2()1()1(1n a k a k n n).2(111≥-+=∴+n k k a a n n又⋅-==+∴=+122,12.221221k a aka a a ka S s 若}{n a 为等比数列，则,1211-=-+k k k ,1=∴k 这与1||>k 矛盾．}{n a ∴不是等比数列．[方法技巧] 判定或证明数列}{n a 是否为等比数列，一般用如下三种形式说明：q a a n n ⋅=-1①=/≥q n ,2();0);0,2(.112=/≥=+-n n n n a n a a a ②q c q c a nn ,(⋅=③为非零常数），本例用了形式①， 说明某数列不是等比数列时，可以通过已知的某三个项连续不成等比数列来证明，也可用反证法．母题迁移 1．(1)已知,2,1111++=+=n n n a S S a 求通项⋅n a(2)（2010年杭州调考题）已知数列},{n C 其中+=n n C 2,3n 且数列}{1n n pc C -+为等比数列，求常数p ．考点2 通项公式的运用和等比数列的设项法 命题规律(1)利用等比数列的通项公式判断某些项是否是等比数列中的项． (2)利用“对称设项”的方法来解决等比数列问题．[例2] 已知无穷数列,,10,,10,10|10 sn ss-求证：(1)这个数列是等比数列；(2)这个数列中的任一项是其后第5项的;101 (3)数列中任两项之积仍为数列中的项． [答案] (1)任取数列中的相邻两项==+-151,10n n n a a ,105n则.10101055151tn rl nn a a ==-+由等比数列定义可知此数列为等比数列． (2)任取数列中一项,1051-=m m a 则其后第5项应为=+5m a 5410+m则⋅====-----+1011010101015415515m m m m m a a 问题得证． (3)任取数列中两项,10,105121|17-===n n sn n a a则52215121|2|1101010-+--=⋅=⋅n n n sn n n a a,1,121≥≥n n 且,,,2]21n n N n n =/∈+ ,0221>-+∴n n 且⋅∈-++N n n 2212n n a a ∴符合已知数列中项的特点，即,21n n a a 为数列中的项．[启示] 由本例可知，等比数列的通项公：式是解决某些问题的关键，它的作用在于用较少的量1(a 和q ）来表示数列中任意一项，它就是起到了“消元”的作用．母题迁移2．在四个正数中，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8000.求此四个数，考点3 等比数列性质的应用 命题规律(1)利用等比数列的性质简化计算，优化解题过程．(2)等比数列性质的灵活运用．[例3] (1)在1与100之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为 (2)实数等比数列}{n a 中，,24,352==a a 则数列,,,741a a a ,10a 的通项公式为 [解析] (1)利用性质“”q n m a a a a ρ=便可迅速获得，设插入的n 个数为,,,,,2121n n a a a G a a a = 则,)1001()())()((1231212n n n n n a a a a a a a a G ⨯==--.10n G =∴22233252328~,)2(--⨯====∴=n n n q a a q q q a a由题意知，数列 ,,,,10741a a a a 的通项432323--⨯==n n n a b[答案] n 10)1( 4323)2(-⨯n母题迁移3．在等差数列}{n a 中，若,010=a 则有等式)(...192121N n a a a a a a n n ∈+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地，在等比数列}{n b 中，若,19=b 则有等式 成立．考点4 等比数列实际应用题 命题规律(1)利用等比数列的知识从实际生活中抽象出等比数列模型． (2)利用等比数列的有关知识解决一些简单的实际问题．[例4] 从盛满a 升（a>1）纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a=2，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于10%? [解析] 开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是=1a ,11a-操作n 次后的溶液浓度可构成一个数列 },{n a 此数列为等比数列．[答案] 设操作n 次后溶液的浓度为n a 依题意可得=1a ),11(1,11a a a a n n -=+-}{n a ∴是以a11- 为首项，a11-为公比的等比数列． ,)11(11n n n a q a a -==∴-即第n 次操作后酒精的浓度为.)11(n a -当a=2时，由,101)21(<=n n a 得.4≥n 故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%．母题迁移4．李政道博士1979年访问中国科技大学，给少年班同学提出一个“猴子分苹果”的趣题：海滩边5只猴子分一堆苹果，第一只 猴子把苹果分成5等份，还多一个，把多的一个扔到海里，取走一份；第二只猴子把剩下的分成5等份，也多一个，把多的一个扔到海里，取走一份，以后的3只猴子都是如此办理，问最初至少有多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？考点5 可化为等比数列的递推数列问题命题规律(1)利用给出的递推关系转化为等比数列． (2)利用等比数列知识解决简单的综合问题．[例5]设二次方程),3,2,1(0112 ==+-+n x a x a n n 有两根α和β，且满足,3626=+-βαβα (1)试用n a 表示 ,1+n a (2)求证}32{-n a 是等比数列； (3)当671=a 时，求数列}{n a 的通项公式． [解析] 它是有关数列、二次方程的根与系数关系的综合题．根据题目条件列出等量关系，，找到递推关系即可获解．[答案] (1)根据根与系数关系，有关系式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+==+nnn a a a1,1αββα代入题设条件,32)(6=-+αββα得.3261=-+nn n a a a).,3,2,1(31211 =+=∴+n a a n n (2)因为,31211+=+n n a a 所以⋅-=-+)32(21321n n a a 故数列}32{-n a 是以21为公比的等比数列(3)当671=a 时，⋅=-21321a故数列}32{-n a 是首项为,21321=-a 公比为21的等比数列．⋅=+=∴),3,2,1()21(32 n a n n即数列}{n a 的通项公式为,2,1()21(32=+=n a nn ).,3[启示] 将二次方程根与系数的关系与数列联系起来，将数列的递推关系式用方程根与系数的关系表示出来，从而求出数列的通项公式．问题：31211+=+n n a a 恒等变换为：=-+321n a )32(21-n a 是怎样变换得到的呢？同类问题在没有(2)问的提示下你能解决吗？母题迁移 5．(1)数列}{n a 满足0a 为常数，-=-13n n a ,21-n a 求数列}{n a 的通项公式； (2)已知数列}{n a 的前n 项和n s 满足,)1(2nn n a S -+=,1≥n 求数列}{n a 的通项公式．优化分层测讯学业水平测试1．已知等比数列}{n a 的公比,31-=q 则86427531a a a a a a a a ++++++等于( )．31.-A 3.-B 31.C 3.D2．若a ，b ，c 成等比数列，其中n c b a ,0<<<是大于1的整数，那么n n og n c b a log ,],log 组成的数列是( )．A ．等比数列B ．等差数列C ．每项的倒数成等差数列D ．第二项与第三项分别是第一项与第二项的n 次幂3．已知}{n a 是等差数列，公差,0=/d 且931,,a a a 成等比数列，则⋅++++1042931a a a aa a 等于( )．167.A 169.B 1611.C 1613.D4．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是( )．25.A 251.-B 52.C 215.-D5．在等比数列}{n a 中，,36,462==a a 则=10a6．在6和768之间插入6个数，使它们组成共有8项的等比数列，则这个等比数列的第7项是 7．已知等比数列}{n a 中，,20,55331=+=+a a a a 则公比=q8．在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是100台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的30台计算机，到第5轮可以感染到多少台计算机？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）1．（2009年江西高考题）公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 若4a 是3a 与7a 的等比中项，,328=s 则10s 等于( )．18.A 24.B 60.C 90.D2．（2009年广东高考题）已知等比数列}{n a 满足,1,0=>n a n ,,2 且),3(2.2525≥=-n a a n n 则当1≥n时，+12]a og =++-12232log log n a a ( )．)12(.-n n A 2)1.(+n B 2.n C 2)1.(-n D3．在等比数列}{n a 中，公比.120,30,04321=+=+<a a a a q 则通项公式为( )．1210.-⋅=n n a A 1)2(30.---=n n a B n n a C )2(30.-= n n a D 230.⋅-=4．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低2000,31年价格为8100元的计算机到2015年时的价格应为( )．A ．900元 B.2200元 C.2400元 D ．3600元5．在等比数列}{n a 中，,124,512.8374=+-=a a a a 且公比q 为整数，则10a 的值等于( )． 512.-A 512.B 4096.C 4096.-D6．一个直角三角形三边的长成等比数列，则( )．A ．三边边长之比为3:4:5B ．三边边长之比为3:3:1C ．较小锐角的正弦为215- D ．较大锐角的正弦为215- 7．三个互不相等的实数a ，1，b 依次成等差数列，且22,1,b a 依次成等比数列，则ba 11+的值是( )． A.2 B ．-2 C.2或-2 D ．不确定8．如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么( )． 9,3.==ac b A9,3.=-=ac b B9,3.-==ac b C9,3.-=-=ac b D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）9．（2009年浙江高考题）设等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 则1216812484,,,S S S s s s s ---成等差数列．类比以上结论有：设等比数列}{n b 的前n 项积为,n T 则,4T ， ，1216T T 成等比数列． 10.（2011年江苏高考题）设,1721a a a ≤≤≤= 其中,,31a a 75,a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a成公差为1的等差数列，则q 的最小值是11.（2010年黄冈中学模拟题）已知等差数列}{n a 的公差,0=/d 且931,,a a a 成等比数列，则=++++1074963a a a aa a 12.（2010年南昌市模拟题）设}{n a 为公比q>l 的等比数列，若2004a 和2005a 是方程03842=+-x x 的两根，则=+20072006a a三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）（2009年全国高考题）设等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 公比是正数的等比数列}{n b 的前n项和为,n T 已知.17,3,13311=+==b a b a ,1233=-S T 求}{},{n n b a 的通项公式．14.（13分）（2010年北京模拟题）已知=-=)(,)1()(2x g x x f ),1(4-x 数列}{n a 满足)(,211n n a a a -=+=+)()(n n a f a g ,0数列}{n b 满足),()(31+-=n n n a g a f b 求数列}{n b 的最大项和最小项．15.（14分)是否存在一个等比数列},{n a 使其满足下列三个条件：11)1(61=+a a 且;93243=a a );()2(1++∈>N n a a n n (3)至少存在一个),4,(>∈+m N m m 使++-121,,32m m m a a a 94依次成等差数列．若存在，请写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．。

人教新课标版数学高二B必修5学案 2.3.2 等比数列的前n项和(二)

人教新课标版数学高二B必修5学案 2.3.2 等比数列的前n项和(二)

2.3.2 等比数列的前n 项和(二)明目标、知重点 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关的问题．1．等比数列的前n 项和的变式(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1－a n q 1－q ＝a 1q nq －1－a 1q －1； 当q ＝1时，S n ＝na 1.(2)当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·qn＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 2．等比数列前n 项和的性质(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) (2)S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .上一节我们学习了等比数列的前n 项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n 项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？这是我们本节研究的主要内容．探究点一 等比数列前n 项和S n 的函数特征思考1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ＝1时，S n 对应怎样的函数？其函数图象又如何？答 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 与n 成正比．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．思考2 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n 对应怎样的函数？其函数图象又如何？答 当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 11－q (1－q n )＝a 1q －1(q n －1)．设A ＝a 1q －1，则上式可以写为S n ＝A (q n －1)．由此可见，q ≠1时，由等比数列前n 项和S n 构成的点列(1，S 1)，(2，S 2)，(3，S 3)，…，(n ，S n )位于函数y ＝A (q x －1)的图象上．思考3 数列{a n }的前n 项和S n 构成了一个新的数列：S 1，S 2，S 3，…，S n ，….你能完成这个新数列的递推关系⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝S n ＝S n －1＋ (n >1)吗？答 S 1＝a 1，当n >1时，S n ＝S n －1＋a n .小结 思考3中的递推关系，变式可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1 (n ≥2).就是前面学过的已知S n 求通项a n .例1 设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1 (n ∈N ＋)，则f (n )等于( ) A.27(8n －1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋2－1) D.27(8n ＋3－1) 答案 B解析 f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1＝2(1－8n ＋1)1－8＝27(8n ＋1－1)． 反思与感悟 数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n 项和公式都是关于n 的函数．所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法．跟踪训练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. 答案 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)， 又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.探究点二 等比数列前n 项和的性质思考1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，S m ＋n 与S m 及S n 有怎样的关系？为什么？ 答 S m ＋n ＝S m ＋q m S n .证明如下：左边＝S m ＋n ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )＋(a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋n )＝S m ＋(a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a n q m ) ＝S m ＋(a 1＋a 2＋…＋a n )q m ＝S m ＋q m S n ＝右边， ∴S m ＋n ＝S m ＋q m S n .思考2 在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．怎样证明这个关系？ 答 ∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n ， ∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m . 同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m ，…，在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍组成等比数列．例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n＋S 3n )．证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·＝⎝⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二 根据等比数列性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n)， S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )． ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．反思与感悟 运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． 跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48a 1(1－q 2n)1－q ＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 探究点三 等差、等比数列前n 项和的综合问题例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N ＋)，在数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解 (1)由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＝2n . ∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列，∵b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1② ①－②得：－T n ＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1 ＝(3－2n )·2n ＋1－6 ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.反思与感悟 等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．跟踪训练3 在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn 最大时，求n 的值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1. ∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝⎛⎭⎫12n －1＝25－n . (2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S nn >0；当n ＝9时，S nn＝0；当n >9时，S nn<0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn最大．1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( ) A ．190 B ．191 C ．192 D ．193答案 C解析 设最底面一层灯的盏数为a 1， 则公比q ＝12，n ＝7，由a 1(1－127)1－12＝381，解得a 1＝192.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且a ≠1的常数)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 答案 B解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N ＋. ∴a n ＋1a n＝a . 3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( ) A ．180 B ．108 C ．75 D ．63 答案 D解析 由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48,12,3，即S 21－S 14＝3，∴S 21＝63. 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 答案 －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k ) ＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2， ∴k ＝－1.1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列． 2．等比数列中用到的数学思想：(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论； ②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)也与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a 11－q当成整体求解．一、基础过关1．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 C解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2， ∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3， 即a 4＝4a 3，∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1 答案 A解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列， ∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列，∴q ＝a na n －1＝1.3．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30 答案 C解析 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10a 1(1－q 30)1－q ＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.4．等比数列{a n }前n 项和为S n ＝3n －2＋k ，则实数k 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 D解析 S n ＝3n －2＋k ＝19·3n ＋k ，根据等比数列前n 项和S n 的有关性质可得k ＝－19.5．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝______.答案 73解析 q ≠1，否则S 6S 3＝6a 13a 1＝2≠3.∴S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2. ∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73. 7．已知a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个等差数列，其前n 项和为S n ＝n 2，设b n ＝a n3n ，记{b n }的前n 项和为T n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：T n ＜1. (1)解 a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1； 由于n ＝1时符合公式，∴a n ＝2n －1. (2)证明 ∵b n ＝a n 3n ＝2n －13n ，∴T n ＝13＋39＋527＋…＋2n －13n ，①∴13T n ＝19＋327＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，② ①－②，得23T n ＝13＋29＋227＋…＋23n －2n －13n ＋1 ＝13＋13⎝⎛⎭⎫1－13n －1－2n －13n ＋1. ∴T n ＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－13n －1－2n －12×3n ＝1－n ＋13n ＜1.二、能力提升8．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172 答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1. ∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q 2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．45 D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列． 又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，3×4n －2(n ≥2).∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.10．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 答案 16解析 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)． 又∵S 3＝2，S 6＝6，∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， 即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)， 求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.也可以由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16. 11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 解 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝3. 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n －1. 12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n .(2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.② ①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.三、探究与拓展13．等比数列{a n }的各项均为正数，2a 4，a 3,4a 5成等差数列，且a 3＝2a 22.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ＋5(2n ＋1)(2n ＋3)a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意可知，⎩⎨⎧ a 3＝2a 4＋4a 52，a 3＝2a 22，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 4＋2a 5，a 3＝2a 22， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝a 1q 3＋2a 1q 4，a 1q 2＝2a 21q 2， 由于a 1≠0，q ≠0，解得⎩⎨⎧ a 1＝12，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q ＝－1. 又a 1＞0，q ＞0，所以a 1＝12，q ＝12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n (n ∈N ＋)． (2)由(1)得b n ＝2n ＋5(2n ＋1)(2n ＋3)·a n ＝2n ＋5(2n ＋1)(2n ＋3)·12n ， 所以b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ＋1－12n ＋3·12n ＝1(2n ＋1)2n －1－1(2n ＋3)2n . 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫13－15×2＋⎝⎛⎭⎫15×2－17×22＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(2n ＋1)2n －1－1(2n ＋3)2n ＝13－1(2n ＋3)2n. 故数列{b n }的前n 项和S n ＝13－1(2n ＋3)2n .。

教学设计5：2.3.2 等比数列的前n项和

教学设计5：2.3.2 等比数列的前n项和

2.3.2 等比数列的前n 项和●教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题.情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神.●教学重点等比数列的前n 项和公式推导●教学难点灵活应用公式解决有关问题●教学过程Ⅰ.课题导入创设情境提出问题：传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人——他的宰相西萨•班•达依尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四粒麦子……以此类推，每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求.实际国王能满足宰相的要求吗？ Ⅱ.讲授新课分析问题：如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和.下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式.1.等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q =1时，1na S n =当已知1a , q , n 时用公式①；当已知1a , q , n a 时，用公式②.公式的推导方法一：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n nn n q a a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ② 当q =1时，1na S n =公式的推导方法二： 有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a n n n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）解决问题有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题.由11,2,64a q n ===可得1(1)1n n a q S q-=-=641(12)12⨯--=6421-. 6421-这个数很大，超过了191.8410⨯.国王不能实现他的诺言. 例题讲解例1：等比数列{a n }的前5项和S 5＝10，前10项和S 10＝50，求它的前15项和S 15. 解：法一：由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5， S 15－S 10成等比数列，故(S 10－S 5)2＝S 5(S 15－S 10)，即(50－10)2＝10(S 15－50)，解得S 15＝210.法二：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 5)1－q ＝10，① a 1(1－q 10)1－q ＝50，②由①÷②得1＋q 5＝5，所以q 5＝4，代入①得a 11－q＝－103， 所以S 15＝a 1(1－q 15)1－q＝－103×(1－43)＝210. 例2：在等比数列{a n }中，(1)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n ；(2)若a 3＝32，S 3＝92，求a 1和公比q . 解：(1)法一：由S n ＝a 1(1－q n )1－q ，a n ＝a 1q n －1以及已知条件得⎩⎨⎧ 189＝a 1(1－2n )1－2， 96＝a 1·2n －1，∴a 1·2n ＝192，∴2n ＝192a 1. ∴189＝a 1(2n －1)＝a 1⎝⎛⎭⎫192a 1－1，∴a 1＝3.又∵2n －1＝963＝32，∴n ＝6. 法二：由公式S n ＝a 1－a n q 1－q及条件得 189＝a 1－96×21－2，解得a 1＝3，又由a n ＝a 1·q n －1，得96＝3·2n －1，解得n ＝6. (2)①当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝92， 又a 3＝a 1·q 2＝32， ∴a 1(1＋q ＋q 2)＝92， 即32q 2(1＋q ＋q 2)＝92， 解得q ＝－12(q ＝1舍去)，∴a 1＝6. ②当q ＝1时，S 3＝3a 1，∴a 1＝32. 综上得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6， q ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32， q ＝1.Ⅲ.课堂练习课本的练习1、2、3.Ⅳ.课时小结等比数列求和公式：当q =1时，1na S n = 当1≠q 时，q q a a S n n --=11 或qq a S n n --=1)1(1 Ⅴ.课后作业课本习题的第1、2题.。

数学人教B版必修5教学设计：2.3.2等比数列的前N项和 Word版含答案

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教学设计2．3.2 等比数列的前n项和整体设计教学分析本节是数列一章的最后内容，分两课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用．等比数列的前n项和是教材中很重要的一部分内容，是等比数列知识的再认识和再运用，它对学生进一步掌握、理解等比数列以及数列的知识有着很重要的作用．等比数列前n项和公式的推导，也是培养学生分析、发现、类比等能力的很好的一个工具．在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律、结合律、分配律)．培养学生逻辑思维的习惯和代数运算技能．新大纲中对本知识有较高层次的要求，教学地位很重要，是教学全部学习任务中必须优先完成的任务．这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化到等比数列的求和上来才能得到解决．如增长率、浓度配比、细胞分裂、储蓄信贷、养老保险、分期付款的有关计算等许多方面均用到等比数列的知识，因而考题中涉及数列的应用问题屡见不鲜．掌握等比数列的基础知识，培养建模和解模能力是解决数列应用问题的基本途径．等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，a n，q，n，S n五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想．其中解指数方程的难度比较大，训练时要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”．数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用．教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间．三维目标1．通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和的问题，将等比数列前n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题．2．通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养．3．通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观．重点难点教学重点：等比数列前n 项和公式的推导及灵活运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题．教学难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(故事导入)国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分别涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩．高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢？数学家开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求．国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢？”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子？”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋．假定千粒麦子的质量为40 g ，那么，数学家要求的麦粒的总质量究竟是多少呢？由此传说向学生发问：怎样算出小麦的总质量呢？思路2.(问题导入)买24枚钉子，第一枚14分钱，第二枚12分钱，第三枚1分钱，以此类推，每一枚钉子的钱是前一枚的2倍，共要多少钱？请学生想一想，多数学生认为大概没有多少钱，结果一算吓一跳，大约要4万2千元．事实上，这是等比数列的求和问题，即S ＝14＋12＋1＋2＋…＋221＝？那么怎样求等比数列的前n 项和呢？在学生急于揭开谜底的强烈欲望下展开新课的探究．推进新课新知探究提出问题(1)回忆等差数列前n 项和公式的推导过程，是用什么方法推导的？(2)对任意数列{a n }，前n 项和与通项a n 的关系是什么？(3)对首项为1的等比数列{a n }，你能探究它的前n 项和吗？(4)对任意等比数列{a n }，怎样推导它的前n 项和公式呢？你能联想到哪些推导思路？(5)对于思路1中麦粒问题，国王应发给数学家多少麦粒？对于S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1的两边为什么要乘以2而不是乘以3或4呢？活动：教师引导学生回忆前面学过的等差数列前n 项和问题，我们用倒序相加法推得了它的前n 项和公式，并且得到了求等差数列通项公式的一个方法：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，S n －S n －1， n ＝1，n ≥2，还知道这个由数列S n 来确定a n 的方法适用于任何数列，且a 1不一定满足由S n －S n －1＝a n 求出的通项表达式．类比联想以上方法，怎样探究等比数列的前n 项和呢？我们先来探究象棋格里填麦粒的问题，也就是求S ＝1＋2＋…＋263＝？让学生充分观察这个式子的特点，发现每一项乘以2后都得它的后一项，点拨学生找到解决问题的关键是等式左右同乘以2，再相减得和．通过这个问题的解决，先让学生有一个感觉，就是等比数列的前n 项和可化为一个比较简单的形式，关键的问题是如何简化．再让学生探究首项为1的等比数列的前n 项和，即1，q ，q 2，…，q n －1的前n 项和．观察这个数列，由于各项指数不同，显然不能倒序相加减．但可发现一个规律，就是次数是依次增加的，教师引导学生模仿等差数列写出两个求和式子，给学生以足够的时间让其观察、思考、合作交流、自主探究．经过教师的点拨，学生的充分活动，学生会发现把两个S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1错一个位，两边再同乘以公比q ，那么相同的指数就对齐了．这一发现是突破性的智慧发现，是石破惊天的发现．这样将S n＝1＋q＋q2＋…＋q n－1与qS n＝q＋q2＋q3＋…＋q n两式相减就有(1－q)S n＝1－q n，以下只需讨论q的取值就可得到S n了．在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法．我们将这种方法简称为“错位相减法”．在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”．如果记S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，那么qS n＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋a n q，要想得到S n，只要将两式相减，就立即有(1－q)S n＝a1－a n q.这里要提醒学生注意q的取值．如果q≠1，则有S n＝a1－a n q 1－q.上述过程我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，那么qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1＋a1q n，要想得到S n，只要将两式相减，就立即有(1－q)S n＝a1－a1q n.如果q≠1，则有S n＝a1(1－q n) 1－q.上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”．形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1，q，a n，S n，n中a1，q，a n，S n 四个；后者出现的是a1，q，S n，n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地．值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的．言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式．对于等比数列的一般情形，如果q ＝1会是什么样呢？学生很快会看出，若q ＝1，则原数列是常数列，它的前n 项和等于它的任一项的n 倍，即S n ＝na 1.由此我们得到等比数列{a n }的前n 项和的公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ，q ≠1.教师进一步启发学生根据等比数列的特征和我们所学知识，还能探究其他的方法吗？经过学生合作探究，联想初中比例的性质等，我们会有以下推导方法：思路一：根据等比数列的定义，我们有a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q ， 再由合比定理，则得a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ， 即S n －a 1S n －a n ＝q ，从而就有(1－q)S n ＝a 1－a n q.当q ＝1时，S n ＝na 1，当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q 1－q. 思路二：由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，得S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＝a 1＋q(S n －a n )，从而得(1－q)S n ＝a 1－a n q.(以下从略)在思路二中，我们巧妙地利用了S n －S n －1＝a n 这个关系式，教师再次向学生强调这是一个非常重要的关系式，应引起足够的重视，几乎在历年的高考中都有它的影子．但要注意这里n ≥2，也就是n 的取值应使这个关系式有意义，若写S n －1－S n －2＝a n －1，则这里n ≥3，以此类推．教师引导学生对比等差数列的前n 项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识这个公式，以便正确灵活地运用它．(1)在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量；(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件q ≠1，当q ＝1时，应按常数列求和，即S n ＝na 1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，常应分类讨论q ＝1与q ≠1两种情况．讨论结果：(1)倒序相加法；(2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)；(3)利用错位相减法；(4)利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)；(5)乘以2的目的是为了错位相减，共有麦粒264－1(颗)，每千粒麦子按40 g 计算，共约7 000亿吨．应用示例例1求下列等比数列的前8项的和：(1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q ＜0. 活动：本例目的是让学生熟悉公式，第(1)小题是对等比数列的前n 项和公式的直接应用；第(2)小题已知a 1＝27，n ＝8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q.题目中要求q ＜0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q 既可为正数，又可为负数．本题中由条件可得q 8＝a 9a 1＝1243×27，再由q ＜0可得q ＝－13.将所得的值代入公式就可以了．本例可由学生自己探究解答．解：(1)因为a 1＝12，q ＝12，所以当n ＝8时，S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256. (2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得q 8＝a 9a 1＝1243×27，又由q ＜0，可得q ＝－13， 于是当n ＝8时，S 8＝27(1－1243×27)1－(－13)＝1 64081. 点评：通过本例要让学生熟悉方程思想，再次让学生明确，等比数列的通项公式与前n 项和公式中共五个量：a 1，a n ，q ，n ，S n ，五个量中已知任意三个就可以求出其余的两个，其中a 1，q 为最基本的两个量．同时提醒学生注意，由于等比数列涉及到指数问题，有时解题计算会很烦琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质．例2(教材本节例2)活动：本例是等比数列求和公式的直接运用，引导学生结合方程思想，按算法的思路来解答．本例可由学生自己完成．点评：通过本例让学生明确，等比数列的通项公式和求和公式共涉及5个量：a 1，q ，a n ，n ，S n ，已知其中3个量就可以求出另外的2个量．变式训练设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128答案：C解析：∵a 5＝a 1q 4，∴16＝q 4.又∵q ＞0，∴q ＝2.∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q＝127.例3(教材本节例3)活动：本例仍属等比数列求和公式的直接应用．虽然原数列不是等比数列，不能用公式求和，但可这样转化：9＝10－1,99＝100－1,999＝1 000－1，…，这样就容易解决了．点评：让学生体会本例中的转化思想．变式训练求和：2＋22＋222＋…＋.解：原式＝29(10－1)＋29(102－1)＋…＋29(10n －1) ＝29(10＋102＋…＋10n －n) ＝29[10(1－10n )1－10－n] ＝2081(10n －1)－29n.例4求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项的和．活动：教师引导学生观察数列特点，其形式是{a n ·b n }型数列，且{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．根据本节等比数列求和公式的推导方法，可采用错位相减法进行求和．教学时可让学生自己独立探究，教师适时地点拨，要注意学生规范书写．解：当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n[1＋(2n －1)]2＝n 2. 当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，①aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②，得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ，(1－a)S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )1－a . 又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a －2(a －a n )(1－a )2. 点评：通过本例，让学生反思解题时要善于识别题目类型，善于分类讨论．在应用错位相减时，写出的“S n ”与“qS n ”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”，以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．变式训练等差数列{a n }中，a 2＝8，S 6＝66.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{C n }的通项为C n ＝2n ，求数列{a n C n }的前n 项和A n .解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝8，(a 1＋a 6)62＝66，解得a 1＝6，d ＝2. ∴a n ＝2n ＋4.(2)由题意，知a n C n ＝(2n ＋4)·2n ，∴A n ＝6·21＋8·22＋10·23＋…＋(2n ＋4)·2n .①在上式中两边同乘以2，得2A n ＝6·22＋8·23＋10·24＋…＋(2n ＋4)·2n ＋1.②①－②，得－A n ＝6·21＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n ＋4)·2n ＋1＝4－(2n ＋2)·2n ＋1， ∴A n ＝(n ＋1)·2n ＋2－4.例5已知数列{a n }中，a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个新数列：a 1，(a 2－a 1)，…，(a n－a n －1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .活动：教师引导学生观察新数列的各项，不难发现这样一个事实：新数列的前n 项和恰为a n ，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n 项和，数列{a n }的通项公式求出后，计算其前n 项和S n 就容易多了．解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋13＋(13)2＋…＋(13)n －1＝32[1－(13)n ]． (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝32(1－13)＋32[1－(13)2]＋…＋32[1－(13)n ]＝32{n －[13＋(13)2＋…＋(13)n ]} ＝32n －34[1－(13)n ] ＝34(2n －1)＋14(13)n －1. 点评：本例思路新颖，方法独特，解完本例后教师引导学生反思本例解法，注意平时学习中培养思路的灵活性．知能训练1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶32．在等比数列{a n }中，(1)已知a 2＝18，a 4＝8，求a 1与q ；(2)已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3.答案：1．C 解析：∵S 6∶S 3＝1∶2，由a 1(1－q 6)1－q ＋a 1(1－q 3)1－q＝12，得q 3＝－12. ∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 2．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－27，q ＝－23. (2)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6. 方程两边分别相除，得a 1q 4－a 1a 1q 3－a 1q ＝156. 整理，得2q 2－5q ＋2＝0.解这个方程，得q ＝2或q ＝12. 当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16. 所以a 3＝4或a 3＝－4.课堂小结1．由学生总结本节学习的内容：等比数列前n项和公式的推导，特别是在推导过程中，学到了错位相减法；在运用等比数列求和时，注意q的取值范围是很重要的一点，需要放在第一位来思考．2．等比数列求和公式有两种形式，在应用中应根据题目所给的条件灵活选用，注意从方程的角度来观察公式，并结合等比数列的通项公式共5个量，知三可求二，并注意解题中的化简技巧．作业课本习题2—3 B组2、3.设计感想“探索是教学的生命线”，本教案设计体现以学生为本的思想．为了让学生较好掌握本课内容，本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学．通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活．本教案设计加强数学思想方法的训练．因为数列内容几乎渗透了中学数学所有的数学思想方法，而数列模型运用中更是蕴含着丰富的数学思想方法，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等有着不可替代的作用．教学中应充分让学生体会这些思想方法的运用．“问题是数学的心脏”，本教案设计注重了情境教学．通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得的成功．(设计者：张晓君)第2课时导入新课思路1.(情境导入)一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，假设可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？银行复利计息的计算方法正是我们今天要探究的内容，由此展开新课．思路2.(习题导入)在等比数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，则数列前15项的和S15为()A.112B.312C ．5D ．15 本题如果运用方程的思想，求数列{a n }的首项a 1和公比q 之后再求S 15，是一种常规思路，但运算量较大．可将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列，S 15又刚好是新数列前5项的和，新数列的首项和公比又容易求得，使得小题巧解．具体解法如下：解析：设b 1＝a 1＋a 2＋a 3＝8；b 2＝a 4＋a 5＋a 6＝－4；…；b 5＝a 13＋a 14＋a 15，则b 1，b 2，b 3，b 4，b 5构成一个等比数列，其首项为8，公比为－12. 故S 15＝S 5′＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝112.选A. 由此展开本课的进一步探究．答案：A推进新课新知探究提出问题(1)回忆等比数列前n 项和公式的推导过程，是用什么方法推导的？需要注意什么问题？(2)比较等差、等比数列的前n 项和公式，从推导方法到应用有什么不同？怎样从方程的角度理解等比数列的求和公式？(3)利用等比数列求和的关键是什么？(4)你能对等差、等比数列求和问题作一归纳总结吗？(5)应用等比数列可解决哪些类型的实际问题？活动：教师引导学生回忆上节课所学的等比数列的求和公式，通过“错位相减”的思路方法很巧妙地将等式S n ＝a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1的两边同乘以该数列的公比q ，使得等式右边各项都向右错了一位；然后通过求S n －qS n 把相同项消去，达到简化的目的，最后解出S n .这种求和方法具有普通性，教师再次引导学生回顾这种求和方法的精髓，注意的问题是必须注意q 是否等于1，如果不确定，就应分q ＝1与q ≠1两种情况或更多的情况进行讨论．等比数列求和的关键与等差数列求和一样，在于数列通项公式的表达形式，由通项公式的形式特点确定相应的求和方法．为了达到求和时的简化运算，应充分利用等比数列的前n 项和的性质．(1)若某数列的前n 项和公式为S n ＝a n －1(a ≠0,1)，则{a n }成等比数列．(2)若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列；若项数为2n(n ∈N *)，则S 偶S 奇＝q. 应用等比数列可解决的实际问题有：产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题．解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题，要让学生明了数列的实际应用一直是全国各地市高考的热点、重点，考题的形式多种多样，难度为中、高档．等比数列求和问题作为数列的重要内容之一，蕴含着丰富的数学思想方法，教学时可与等差数列对比，归纳、总结．(1)求和问题可以利用等差、等比数列的前n 项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数．(2)非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思路是：①设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法和倒序相加法求和．一般地，如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法；如果每项可写成两项之差一般可用拆项法；如果能求出通项，可用拆项分组法．(3)数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题诀窍．(4)通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时要注意需分项数n 的奇偶性讨论． 讨论结果：(1)(2)(3)(5)略．(4)数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法，这也是高考常考的几种求和方法．例1某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)活动：教师引导学生探究，根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知S n ＝30 000求n 的问题．本例的解答应先根据等比数列的前n 项和公式列方程，再用对数的知识解方程．解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000.于是得到5 000(1－1.1n )1－1.1＝30 000， 整理，得1.1n ＝1.6，两边取对数，得nlg1.1＝lg1.6，用计算器算得n ＝lg1.6lg1.1≈0.20.041≈5(年)． 答：大约5年可以使总销售量达到30 000台．点评：本例是一道关于等比数列模型的应用题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型．从实际背景的角度讲，本例的设计一方面是想让学生了解计算机日益普及，其销量越来越大；另一方面，对于一个商场来讲，为实现一定的商品销售目标而制订计划也是一件自然的事情．变式训练某市2003年共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13？ 解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a n }，其中a 1＝128，q ＝1.5，则在2010年应该投入的电力型公交车为a 7＝a 1·q 6＝128×1.56＝1 458(辆)．(2)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，依据题意，得S n 10 000＋S n ＞13. 于是S n ＝128(1－1.5n )1－1.5＞5 000(辆)， 即1.5n ＞65732，则有n －lg 65732lg1.5≈7.5， 因此n ≥8.所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.例2(教材本节例4)活动：这是本单元教材安排的最后一道例题．教师引导学生写出每个月的产值，建立等比数列的数学模型，通过数量分析理解任一月份的计算表达式和求总和的计算方法．例3某教师购买安居工程集资房72 m 2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为1年，等额付款．签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款1次等等，共付10次，10年后还清．如果按年利率7.5%，每年复利1次计算，那么每年应付多少元？(计算结果精确到百元．下列数据供参考：1.0752≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221)活动：教师引导学生理清问题中的基本数量关系，建立等比数列的模型，然后按等比数列的知识就很容易解决了．本例由教师与学生共同探究完成．解：设每年应付款x 元，那么到最后1次付款时付款金额的本利和为x(1＋1.075＋1.0752＋1.0753＋…＋1.0759)元；购房余款10年后的本利和为[1 000×72－(28 800＋14 400)]·1.07510＝28 800×1.07510元，根据10年后还清，得x(1＋1.075＋1.0752＋…＋1.0759)＝28 800×1.07510，∴x ＝28 800×1.07510×1.075－11.07510－1≈4 200(元)， 即每年应付4 200元．点评：解决本例的关键是建立等比数列模型．分期付款以及新生利息之和，应等于购房个人分担部分10年后的本息和．变式训练假如一个人得到了一条消息，他偷偷地告诉了两个朋友，半小时后这两个朋友又各自偷偷地告诉了自己的两个朋友．如果每个得到消息的人在半小时内把这一消息告诉两个朋友，计算一下，24小时后有多少人知道了这条消息？解：按题意，半小时有1＋2人，一小时有1＋2＋22人，...，设24小时后有x 人知道，则x ＝1＋2＋22＋23＋ (248)2x ＝2＋22＋23＋24＋ (249)两式相减得x ＝249－1.利用对数计算可知x ≈5.61×1014.也就是说从第一个人知道消息开始，只过了一天时间，就有五百六十一万亿人知道了这条消息．例4某地现有居民住房的总面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建新住房．(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少？(可取1.110≈2.6)(2)过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？(保留到小数点后第1位)解：(1)根据题意，可知1年后住房总面积为1.1a －x ；2年后住房总面积为1.1(1.1a －x)－x ＝1.12a －1.1x －x ；3年后住房总面积为1.1(1.12a －1.1x －x)－x ＝1.13a －1.12x －1.1x －x ；……；10年后住房总面积为1.110a －1.19x －1.18x －…－1.1x －x＝1.110a －1.110－11.1－1x ＝2.6a －16x. 由题意，得2.6a －16x ＝2a.解得x ＝380a(m 2)．(2)所求百分比为a 2－380a ×102a ＝116≈6.3%. 答：每年应拆除的旧住房总面积为380a m 2，过10年还未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.知能训练1．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，求证：S 7，S 14－S 7，S 21－S 14成等比数列．设k ∈N *，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？2．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每月为一期，购买一个月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)答案：1．证明：∵S 14－S 7＝(a 1＋a 2＋…＋a 14)－(a 1＋a 2＋…＋a 7)＝a 8＋a 9＋…＋a 14＝a 1q 7＋a 2q 7＋…＋a 7q 7＝S 7·q 7.同理，S 21－S 14＝q 14·S 7，∴S 7(S 21－S 14)＝(S 14－S 7)2.可用同样的方法证明S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列．2．解：设每期付款x 元，则第1期付款后还欠款2 000(1＋0.008)－x ＝2 000·1.008－x ，第2期付款后还欠款[2 000(1＋0.008)－x]·1.008－x ＝2 000·1.0082－1.008x －x ，…，第12期付款后欠款应为0，所以有2 000·1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0，∴x ＝2 000·1.008121.00812－11.008－1≈175.46(元)， 即每期付款175.46元．课堂小结1．由学生自己总结本节所探究的内容与方法：教育储蓄中的计算问题，用计算机程序。

(教学案)2.3.2等比数列的前n项和Word版含解析

(教学案)2.3.2等比数列的前n项和Word版含解析
案例设计
2.3.2 等比数列的前n项和
学校
案例名称
?等比数列前n项和?
教师姓名
案例类型
新授课
学段
高中教学/活动目标Fra bibliotek1.德育目标：通过国际象棋的故事，引导学生做一名老实守信的好少年，借用吉尼斯纪录的事例，说明做人做事要讲究方式方法，才能获得成功：在例题教学中，引用?庄子天下篇?对学生进行哲学教育，体会数学的文化价值。
2.教学目标:
〔1〕.掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程；
〔2〕.能用等比数列求和公式进行有关的运算，会运用公式解决有关问题.。
学习者分析
1.知识根底：前几节课学生已经学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,为本节的学习起到了铺垫作用. 2.认知水平与能力：高二学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．
0.9+0.99+0.999+···+0.999···99
教学/活动反思
根本完成教育教学目标，班级的学生根本可以掌握公式及推导方法，但他们自主探究和练习的时间有点少。
通过例题的两种解法，让学生学会转化，多角度地去分析思考问题。
例3．求和：
9+99+999+……+9999…99
分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和，
但将它转化为
10－1，100－1，1000－1，……，
就可以解决了。
〔五〕练习：
1.根据以下条件，求相应的等比数列的

高中数学必修5学案 2.3.2等比数列的前n项和(一)

高中数学必修5学案 2.3.2等比数列的前n项和(一)

2.3.2 等比数列的前n 项和(一)自主学习知识梳理1．等比数列前n 项和公式(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1) (q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．等比数列前n 项和的一个常用性质在等比数列中，若等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝－1，且m 为偶数时，S m ＝S 2m ＝S 3m ＝0，此时S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 不成等比数列；当q ≠－1或m 为奇数时，S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等比数列．3．推导等比数列前n 项和的方法叫____________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．自主探究阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .由等比数列的通项公式可将S n 写成S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.①①式两边同乘以q 得qS n ＝____________________________________.②①－②，得(1－q )S n ＝____________，由此得q ≠1时，S n ＝________________，因为a n ＝____________，所以上式可化为S n ＝________________.当q ＝1时，S n ＝____________.方法二：由等比数列的定义知a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a n a n －1＝q . 当q ≠1时，a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n＝q . 故S n ＝________________.当q ＝1时，S n ＝________________.方法三：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2)＝a 1＋qS n －1＝a 1＋q (S n －a n )当q ≠1时，S n ＝________________＝________________.当q ＝1时，S n ＝________________.对点讲练知识点一 等比数列前n 项和的计算例1 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .总结 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 变式训练1 在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .知识点二 利用等比数列前n 项和的性质解题例2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .总结通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．变式训练2等比数列的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝30，S60＝630，求S70的值．知识点三错位相减法的应用例3求和：S n＝x＋2x2＋3x3＋…＋nx n (x≠0)．总结一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n b n}的前n项和时，可采用这一思路和方法．变式训练3求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·a n－1的前n项和．1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，a n，n，q，S n，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{a n b n }的求和，其中{a n }代表等差数列，{b n }代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法.课时作业一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．333．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A.q nS nB.S n q nC.1S n q n －1D.S n a 21qn －1 4．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．5105．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )A ．90B ．70C ．40D ．30二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________. 7．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．8．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.三、解答题9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．2．3.2 等比数列的前n 项和(一)知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－qna 1 3．错位相减自主探究a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n －1＋a 1q n a 1－a 1q na 1(1－q n )1－q a 1q n －1 a 1－a n q 1－q na 1 a 1－a n q 1－qna 1 a 1－a n q 1－q a 1(1－q n )1－qna 1 对点讲练例1 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 3)1－q ＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632. ②②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2. 变式训练1 解 ∵a 3·a n －2＝a 1·a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66， 得①⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，或②⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q，可得q ＝12， 由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q 1－q，可得q ＝2， 由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2. 例2 解 方法一 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n )1－q ＝48a 1(1－q 2n )1－q ＝60 ①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③ 将③代入①得a 11－q＝64， 所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，且q ≠1，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63. 变式训练2 解 设b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，…，则b 7＝S 70－S 60. 因为S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 70－S 60成等比数列，所以b 1，b 2，…，b 7成等比数列，首项为b 1＝10，公比为q ＝b 2b 1＝2010＝2.求得b 7＝10·26＝640.由S 70－S 60＝640， 得S 70＝1 270.例3 解 (1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. (2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1. ∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x. 综上可得S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x (x ≠1且x ≠0).变式训练3 解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2. (3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )1－a， 又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (a ＝0)n 2 (a ＝1)1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n)(1－a )2 (a ≠0且a ≠1).课时作业1．C [设公比为q ，则由a 1＝1，a 5＝16得a 5＝a 1q 4，即16＝q 4，由q >0，得q ＝2.则S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.] 2．D [由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.] 3．D [数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，且首项为1a 1，公比为1q ， 其前n 项和为：1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q＝1a 21q n －1·a 1(q n －1)q －1＝S n a 21q n －1.] 4．D [由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12. ∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.] 5．C [q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，由⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140， 得⎩⎪⎨⎪⎧ S 10＝10S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 10)1－q ＝10a 1(1－q 30)1－q ＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.]6.152解析 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 7．10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q 1－q，∴q ＝－2， 又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1，∴n ＝10.8．2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1， ∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.9．解 方法一 由已知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝2， ①a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ②由②得1－q 4＝5(1－q 2)．∴(q 2－4)(q 2－1)＝0. 又q <1.∴q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1.当q ＝－2时，a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1. 方法二 ∵S 4＝5S 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)． ∴a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)．(1)当a 1＋a 2＝0，即a 2＝－a 1， 即q ＝－1时，a 3＋a 4＝0适合；高中数学-打印版精心校对 ∵a 3＝2，∴a 1＝2(－1)2＝2，∴a n ＝2×(－1)n －1. (2)当a 1＋a 2≠0时，a 3＋a 4a 1＋a 2＝4.即q 2＝4.又q <1，∴q ＝－2，a 1＝2(－2)2＝12，此时，a n ＝12×(－2)n －1.。

等比数列的前n项和王后雄学案

等比数列的前n项和王后雄学案

2.3.2 等比数列的前n 项和教材知识检索考点知识清单1．等比数列}{n a 的前n 项和为当公比1=/q 时，=n s =当q=l 时，=n S 2．若数列}{n a 的前n 项和),1(n n q p s -=且,1,0=/=/q q 则数列}{n a 是3．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有n n S q n a a ,,,,1五个量，在这五个量中 4．在等比数列中，若项数为偶s N n n ),(2+∈与分别为偶数项与奇数项的和，则=÷奇偶S S 5．数列}{n a 为等比数列，为其前n 项和，则--n n n n s s s s 32,,,,2 n s 仍构成要点核心解读1．等比数列前n 项和公式 (1)前n 项和公式的导出，解法一：设等比数列 ,,,,,321n a a a a 它的前n 项和是⋅+++=n n a a a S 21由等比数列的通项公式可将写成112111-++++=n n q a q a q a a s①式两边同乘以q ，得.131211n n q a q a q a q a qs ++++= ②①一②，得,)1(11n n q a a S q -=-由此得1=/q 时，qq a s n n --=1)1(1 ,11-=n n q a a所以上式可化为qqa a s n n --=11当q=l 时，⋅=1na s n解法二：由等比数列的定义知⋅====-q a aa a a a n n12312当1=/q 时，,12132q aa a aa a n n=++++++- 即⋅=--q a S a s nn n 1故当1=/q 时，qq a q q a a S n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，⋅=1na s n解法三：112111-++++=n n q a q a q a a S)(21111-++++=n q a q a a q a 11-+=n qs a ).(1n n a s q a -+=当1=/q 时，qq a q q a a s n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，⋅=1na S n(2)注意问题，①上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种解法在今后的解题中都经常用到，要用心体会，②公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．③当已知n q a ,,1时，用公式,1)1(1qq a S n n --=当已知,,1q a 时，用公式q q a a S n n --=11④在解决等比数列问题时，如已知n n s q n a a ,,,,1中的任意三个量，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个量．(3)等比数列前n 项和的一般形式一般地，如果q a ,1是确定的，那么--=--=q a qq a S n n 11)1(11,11n q q a -设,11q a A -=则上式可写为⋅=/-=)1(q Aq A s n n2．等比数列前n 项和的性质(1)数列}{n a 为等比数列，为其前n 项和，则,,2n n n s S S - ,23n n S S -仍构成等比数列，且有⋅-⋅=-)()(2322n n n n n s S s s s(2)若某数列前n 项和公式为),1,0(1=/=/-=a a a s n n 则}{n a 为等比数列．(3)在等比数列中，若项数为奇偶与S S N n n ),(2+∈分别为偶数项与奇数项的和，则⋅=÷q S S 奇偶 (4)若}{n a 是公比为q 的等比数列，则⋅⋅+=+m n n m n s q S s 由此性质，在解决有些问题时，能起到简化解题过程的作用．如：设}{n a 是由正数组成的等比数列，它的前n 项和为试比较222log log ++n n S S 与12log 2+n S 的大小．解：设}{n a 的公比为q ，由已知,0,01>>q a,,11211++++=+=n n n n qS a S qS a S+=+-+=-∴++++11111212)()(a S S qS a qS a S S S S n n n n n n n n 1111+++--n n n n n S qS a S S qS.0)(1111<-=-=++n n n a a s s a.212++<∴n n n S S S 而,0>n S 且函数x y 2log =在),0(+∞上单调递增，⋅<+∴++12222log 2log log n n n S S S典例分类剖析考点1前n 项和公式的应用 命题规律(1)等比数列前n 项和公式在具体题目中的应用．(2)含有参数的等比数列中，如何运用等比数列的求和公式． [例1]在等比数列}{n a 中，,263,2763==s S 求⋅n a [答案] 方法一：由已知,236S S =/ 则,1=/q 又,263,2763==s S 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=--=-⋅-②①2631)1(,271),1(611q q a qq a ②÷①得,913=+q 所以.2=q 可求出211=a ，因此2112--==n n n q a a 方法二：已知等比数列}{n a 中，n m S S 15求g ，还可利用性质m nn m n S q s s +=+转化为mnm n ns S S q -=+ 求得，即,827283363==-=S s s q ,2=∴q 再代入,1)1(313qq a s --=求得⋅=211a2112--==∴n n n q a a[误区诊断]解答此类题目容易漏掉对q=l 这一步的讨论．[方法技巧]使用等比数列的前n 项和公式要注意公比q=1和q ≠1情况的区别，而在解方程组的过程中，一般采用两式相除的方法．[例2] 已知数列}{n a 是等差数列，且++=21,2a a a i ,123=a (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,3n n n a b ⋅=求数列}{n b 的前n 项和公式．[答案] (1)设数列}{n a 的公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又,21=a 得.2=d 所以.2n a n = (2)由,323n n n n n a b ⋅=⋅=得n n n n n S 323)22(343212⋅+⋅-++⋅+⋅=- 132323)22(34323+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n s①一②得13232)3333(22+⋅-++++=-n n n n S,3)21(332)13(311--=⋅--=++n n n n n所以⋅+⋅-=+2332121n n n s [方法技巧] 本题第(1)问主要是将问题转化为利用基本量口，和d 联立方程组求解，从而确定出通项公式；第(2)问结合{b n }的特点采用错位相减法求和，变形时式子较复杂，要注意运算准确．母题迁移 1．若数列}{n a 成等比数列，且,0>n a 前n 项和为80，其中最大项为54，前2n 项之和为6560，求⋅100S2．求和.3232n n nx x x x s ++++=考点2等比数列前n 项和性质的应用 命题规律（1)利用等比数列前n 项和的性质简化运算，优化解题过程． (2)等比数列前n 项和的性质在解题中的灵活运用． [例3] 已知数列}{n a 是等比数列， (1)若,112,492==n n S s 求,3n S(2)若⋅+++≡==2019181784%/,6.2a a a a S S [答案] (1)由性质可得.)()(2223n n n n n S s s s S -=-,63)112(4923=-∴n S 解得.1933=n s,,,)2(812484s s S s s --构成等比数列，设为},{n b 公比为g ，.2,24481=-==∴s S S q b .3222441201918175=⨯=⋅=+++=∴q b a a a a b[启示] 等比数列前凡项和具有的一些性质：(1)连续m 项的和（如),,,232 m m n m m s s s S S --仍组成等比数列（注意：这连续m 项和必须非零才能成立）．}){2(n a 为等比数列⋅=++=⇔)0(B A B Aq s n nn m m m n S q s S +=+)3(（q 为公比）． 利用性质(1)可以快速地求某些和．如等比数列}{n a 中，.60,202==m m S S 求⋅m S 3}{n a 为等比数列，m m m m m s s S S S 232,,--∴也成等比数列，且首项为20，公比为,80240222=⨯=-=-⋅m hn mm m S S s S s .1403=∴m S但在运用此性质时，要注意的是 ,,,232m m m m m S s s s S --成等比数列，而不是 ,,,32m m m S s S 成等比数列．母题迁移3．(1)已知：数列}{n a 是等比数列，,0>n a 若=+++=103231365log log log ,9.a a a a a (2)在101与11之间插入10个正数，使这12个数成等比数列，则所插入的这10个正数之积为 (3)一个等比数列中，,60,482==n n S s 则=n s 3(4)等比数列}{n a 中，,126,128.,66121===+-n n n s a a a a 则q=考点3等比数列前n 项和的应用问题 命题规律(1)从实际问题中抽象出等比数列前n 项和的数学模型． (2)利用等比数列前n 项和公式解决一些简单的应用问题．[例4]某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房，假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%． (1)分别求2005年底和2006年底的住房面积； (2)求2024年底的住房面积．（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [答案] (1)2005年底的住房面积为1200(1+5%) -20 =1240（万平方米）， 2006年底的住房面积为128220%)51(20%)51(12002=-+-+（万平方米）． ∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米． (2)2024年底的住房面积为--+-+-+ 181920%)51(20%)51(20%)51(120020%)51(20-+05.0105.120%)51(12002020-⨯-+=64.2522≈（万平方米）．∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米．母题迁移4．一件家用电器现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期一月，购买后一个月付款一次，再过一个月后又付款一次，共付12次，即购买一年后付清．如果按月利率8‰每月复利一次计算，那么每期应付款多少？)1.1008.1(12≈学业水平测试1．等比数列}{n a 的各项都是正数，若,16,8151==a a 则它的前5项和是( )．179.A 211.B 243.C 275.D2．等比数列}{n a 的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列}1{na 则 }1{na 的前n 项的和是( ) 51.A S q B n 1.1.-n qsC S qD n .3．各项均为实数的等比数列}{n a 的前n 项和记作若=10S ,70,1030=S 则等于( )．150.A 200.-B 200150.-或C 50400.-或D4．设),(22222)(131074N n n f n ∈+++++=+ 则)(n f 等于( )．)18(72.-n A )18(72.1-+n B )18(72.3-+n C )18(72.4-+n D 5．数列 ,213,,819,416,213n n 的前n 项和为6．已知等比数列}{n a 的公比,1>q 第17项的平方等于第24项，求使n a a a a ++++ 321na a a 11121+++>成立的n 的取值范围， 高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2009年辽宁高考题）设等比数列}{n a 的前n 项和为若,336=S s 则=69s s ( )． 2.A 37.B 38.C 3.D 2．一个小球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n 次着地时，共经过了,2,≥n m a n 则有( )．312100.--+=n n n a a A 212100.--+=n n n a a B n n n a a C 2100.1+=-21210021.--+=n n n a a D 3．（2010年东北八校联考题）某人为了观看2010年世博会，从2003年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2010年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为( )．7)1(.p a A +8)1(.p a B +)]1()1[(.7p p p a C +-+)]1()1[(.8p p paD +-+4．在14与87之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为,877则此数列的项数为( )． 4.A 5.B 6.C 7.D5．等比数列}{n a 的首项为1，公比为g ，前n 项和为S ，则数列}1{na 的前n 项之和为( )． s A 1.S B .1.-n q S C Sq D n 11.- 6．设数列}{n x 满足,0(log 1log 1>+=+a x x n u n u 且,1=/a ),+∈N n 且,100121=+++ωx x x 则200102101x x x +++ 的值为( )．a A 100.2101.a B 100101.a C 100100.a D7．（2010年福建部分重点中学联考题）已知等比数列}{n a 的公比,0<q 前n 项和为则54a S 与45a s 的大小关系是( )．4554.a S a s A =4554.a S a S B >4554.a S a S C <D ．无法确定8．已知等比数列}{n a 的首项为n S ,8是其前n 项的和，某同学经计算得,36,2032==S S ,654=S 后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为( )．1.S A2.S B3.S C4.S D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 9．（2009年浙江高考题）设等比数列}{n a 的公比,21=q 前n 项和为则=44a s10.某科研单位，欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第七名恰好将奖金分完，则需拿出奖 金万元． 11．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设}{n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列}{n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组．（写出所有符合要求的组号） 21s s 与①32S a 与②n a a 与③1n a q 与④（其中n 为大于1的整数，为}{n a 的前n 项和）12. 一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是．三、解答题（本题包括3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）（2011年山东高考题）等比数列}{n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足：,ln )1(n n n n a a b -+=求数列}{n b 的前2n 项和⋅n s 214.（13分）（2010年浙江模拟题）在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元徊公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%．设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A 、B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？ 15.（14分）（2010年山东模拟题）函数)(x f 定义在（-1，1）上，,1)21(-=f 且仅当)1,1(,-∈y x 时，恒有：),()()(xy i yx f y f x f --=-又数列}{n a 满足=+=1,211n a a ⋅+212nna a 设⋅+++=)(1)(1)(121n n a f a f a f b (1)证明：)(x f 在（-1，1）上为奇函数； (2)求)(n a f 的表达式；(3)是否存在自然数m ，使得对任意+∈N n 都有48-<m b n 成立；若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由.单元知识整合二、本章知识整合1．数列的概念．(1)定义：按一定次序排列的一列数，从函数观点看，对于一个定义域为正整数集（或它的真子集{1，2，3，4，…，n}）的函数来说，数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值．(2)数列的表示法有三种：列表法、解析法（通项公式和递推公式法）、图象法．(3)分类：按项数可分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列．(4)前n 项和与通项的关系：⎩⎨⎧⋅≥-==-)2(),1(11n s S n S a n nn3．数学思想方法总结．(1)函数的思想．数列是一个定义域为正整数集(或它的有限子集{1，2，…，n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，并且，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看做以项数n 为自变量的函数，用函数的观点处理数列问题，是我们常用的方法．(2)方程的思想，在等差数列中，通项公式和前n 项和公式共有5个量,,1d a n a n ,和这5个量中知道其中3个量的值，就可以通过列方程的方法求l 出另外2个量的值，在等出数列中，也有类似的性质．方程的思想是本章最重要的思想方法．(3)分类讨论的思想，当给出一个数列的前n 项和的表达式求数列的通项时，一定要分别去求及),2(≥n a n 即⎩⎨⎧≥-==-),2(),1(11n s S n S a n nn （当n=l 时，若两个式子一致，要写成))((+∈=N n n f a n 的形式）；关于等比数列的前n 项和公式有两个，即1=q 与1=/q 的公式不同，所以在运用等比数列求和公式时，要对q=l 和q#l 两种情况进行讨论．雀关于绝对‘值的数列问题中，要注意脱去绝对值符号时需分类讨论，在一些判断题中也常用到分类讨论．(4)转化与化归的思想将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想称之为转化与化归的思想，它一般表现为将陌生的问题转化为我们熟悉的或已经解决了的问题或方法．在数列中，将非等差、非等比数列转化为等差、等比数列问题：是我们常采用的方法．(5)整体的思想．在数列部分，根据式子的结构特点，视某一部 分为一个整体，采用整体代换、整体消元，可以大大简化运算量，还可以沟通已知与未知的联系，提高解题速度．(6)类比的思想．类比是指通过两个对象类似之处的比较，而由其中一个对象已有的性质去推出另一对象也有类似的性质，是我们认识事物发展规律的重要思想方法，等差数列与等比数列有着密切的内在联系，在平时的学习中，将二者类比，能够增强对概念和性质的记忆及理解，使知识系统化、网络化，4.数列中两类重要问题的解法．(1)求一般数列通项公式的常用方法．数列的通项公式是数列的核心之一 ，有了数列的通项公式，便可求出数列的任何一项，研究数列的单调性，求数列的前n 项和，因此我们应熟练掌握求数列通项公式的常用方法，①观察归纳法：通过观察、分析数列的各项与其项数之间的关系，经归纳得到通项公式，②累加法：若给出或由题设可得到与)(1n f a a n n =-+)}({n f <是可求和的数列），则可由)(121-=-+=∑i i n i n a a a a 求⋅n a③累乘法：若给出或由题设可得到与)(1n f a an n =+)}({n f <是可求积的数列），则可由123121....-=n n n a a a a a a a a )2(≥n 求⋅n a ④构造法：若由给出的条件直接求较难，可以通过变形、转化，并运用整体思想，构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项．⑤利用和的关系：若给出或可求出则可利用⋅⎩⎨⎧≥-==n n n a n S S S a 求（.)2),1n (1-n 1由上式算出和)2(≥n a n 后，若将)2(≥n a n 中的n 取1算得的值正好等于则将统一到)2(≥n a n 中，得通项为⋅∈+)(N n a n(2)数列求和的常用方法．数列求和是数列部分的重要内容，因此我们应掌握数列求和的常用方法.①公式法：直接利用等差数列、等比数列或某些常见数列的求和公式求和，常见数列的求和公式有：2)1(321+=++++n n n （特殊的等差数列）； ;6)12)(1(3212222++=++++n n n n .)1(41)321(3212223333+=++++=++++n n n n ②分组法：根据数列或其通项的特征，将数列的前n 项和分成易于求和的若干组，通过对各组分别求和得到整个数列的和．③倒序相加法：若数列中与首末两项等距离的两项的和为定值或有某种特殊关系，则可用推导等差数列求和公式的方法（倒序相加法）求和.④错位相减法：若数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 是等比数列，则求数列}{n n b a 的前n 项和可用推导等比数列求和公式的方法（错位相减法）求和．⑤裂项法：根据通项的特征，将通项进行合理的分拆，然后再分组或消去中间若干项，转化为易求和的数列求和问题．5．有关数列在分期付款中的应用问题在日常生活中，一些商家为了促销商品，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上较为灵活，可以一次性付款，也可以分期付款，采用分期付款时，又可以提供几种方案以便选择，到底选用哪种方式更合算呢？(1)分期付款的几种模型，①银行存：款计息方式有两 种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为模型，②单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为：利息=本金×利率×存期，以符号P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金和利息和，则有 ).1(nr P S +=③复利：把上期末的本息和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式是.)1(nr P S +=④分期付款中，每月的利息均按复利计算，规定每期所付款额相同．⑤各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和．(2)复利的概念和计算．银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利． 一般地，一期期满后，借贷者（银行）收到的款额为=1s ),1(0r S +⋅其中为初始贷款额，r 为每期的利率，假若在一期期满后，银行又把贷出，利率不变，则银行在下一期期满时，可以收取的款额为 .)1()1(2012r S r S s +=+=依次类推，若把贷出t 期，期利率为r ，这笔款额到期后就会增到.)1(0t t r S s +=注意此处的利息是重复计算的，我们称为复利（期复利）．(3)关于分期付款方案的确定．分期付款即借款后不是一次性付清，而是分几次分别付款的一种借款方法，对于每一种分期付款方案，应明确以下几点：①规定多长时间内付清全部款额；②在规定的时间内分几期付款，并且规定每期的付款额相同；③规定多长时间结算一次利息，并且在规定的时间段内利息按复利计算．在选择分期付款方案时，必须计算出各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于顾客比较，从而选择优化方案，三、重要专题选讲专题1求数列的通项数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前几项和等，现将求数列的通项公式几种常见类型及方法总结如下：1．观察归纳法．[例1] 根据数列的前几项，写出下歹Jj 数列的一个通项公式．;,3231,1615,87,43,21)1( ;,63,51,43,31,23,1)2( --- ;,177,73,115,21,53)3( ;,26,17,10,5,2)4(;,541,431,321,211)5( ⨯⨯-⨯⨯- ,15,10,6,3,1)6([答案] (1)观察数列的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列2，4，8，16，32，…，可用项数表示为分子是数列1，3，7，15，31，…， 每一项比对应的分母少1，可用项数表示为,12-n所以，所求的数列的通项公式是;212nn n a -= (2)这个数列即：,512,412,312,212,112--+--+--,,612 +其结构特征是：①分母与项数相同；②分子是2加上或减去l ，即;)1(2n -+③各项的符号为负、正相间，即为.)1(n -所以，所求的通项公式是;)1(2.)1(n a nnn -+-= (3)观察数列的项，这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为：,,177,146,115,84,53 分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为;232++=n n a n (4)每一项都是项数的平方加上1，其通项公式为;12+=n a n(5)通项公式是;)1()1(+-=n n a nn (6)仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律：=-=-=-342312;3;2a a a a a a.54145n a a a a n n =-⋅⋅=-⋅--++-+-+-+=∴n n a a a a a a a a a ()()()(3423121 +++=-321)1n a 2)1(+=+n n n [启示] (1)根据所给数列的前n 项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号n 之间的关系．(2)记住以下数列的前n 项：},2{},1{},{},{22n n n n ±⋅+±)}1({},3{},12{n n nn(3)第(6)小题通过观察很难总结规律，可用如下方法进行：-⋅=-⋅=-=-=-n a a a a a a a a a ,54,3,245342312 .1n a n =-+=-++-+-+=∴-1)()()(123121n n n a a a a a a a a 2)1(32+=+++n n n 2．公式法．数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出与d 或与q ，再代入公式d n a a n )1(1-+=或=n a 11-⋅n q a 中即可．[例2]数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 是等比数列，数列}{n c 中，对任何+∈N n 都有,n n n b a c -= 且,61,021==c c ,547,9243==c c 求数列N n a }{数列N n b }{数列}{n c 的通项公式．[答案] 设数列}{n a 的首项为公差为d ，数列}{n b 的首项为公比为q ．由已知条件可得 ;011=-b a;6111=-+q b d a ;922211=-+q b d a ⋅=-+5473311q b d a 联立①②③④，解得,34,21,111====q d b a 由此可以得到,2121)1(211+=-+=n n a n ,)34()34(11111---=⨯==n n n n q b b 1)34(2121--+=-=∴n n n n n b a c 3．利用与的关系．如果给出条件中是与的关系式，可利用⎩⎨⎧≥-===-),2(),1(111n S s a n S a n n n 先求出,11S a =若计算出的中，当1=n 时，求出,11s a =则可合并为一个通项公式，否则要分段．[例3](1)数列}{n a 的前n 项和,)1(1n S n n +-=求(2)数列}{n a 的前n 项和,23n n s +=求⋅n a[答案] (1)当2≥n 时，1--=n n n s s a)1()1()1(1----=+n n n n),21()1(n n --=当n=l 时，,11)1(21=⨯-==l s a上式中,1)21()1(11=--=a⋅--=∴)21()1(n a n n(2)当n ≥2时，,2)23(23111---=+-+=-=n n n n n n S s a当n=l 时，⋅=+==,523111s a 上式中,12111==-a⎩⎨⎧⋅≥==∴-)2(2),1(51n n a n n [启示] 已知求即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是),2(1≥-=-n S S a n n n 这里常常因为忽略了条件n ≥2而出错，即1--=n n n S s a 求得时的n 是从2开始的自然数，否则会出现当n=l 时01s s n =-而与前n 项和的定义矛盾，可见由此求得的不一定是它的通项公式，必须验证1=n 时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数=n a ⎩⎨⎧≥-=-)2(),1(11n S S n s n n 来表示．[例4]数列}{n a 的首项,11=a 前n 项和与之间满足).2(1222≥-=n S S a n n n (1)求证：数列⋅}1{ns 是等差数列； (2)求数列}{n a 的通项公式．[解析] 审题知}1{⋅⋅nS 应为构造的等差数列，可利用公式先求出)(1n f s n =来，进一步用⎩⎨⎧≥-==-),2(),1(11n s S n S a n n n 即可解决． [答案],,2)1(1--=≥n n n s s a N n⋅-=-∴-12221n n n n S s S S .2)12)((21n n n n S S s s =--∴-.111,211111===-∴-a s s S n n 11}1{1=∴s s n 是以为首项，2为公差的等差数列，,122)1(11)2(1-=⨯-+=n n s s n ⋅-=∴121n S n 当n ≥2时，1)1(211211----=-=-n n S S a n n n ,)32)(12(2---=n n ⎪⎩⎪⎨⎧≥---==∴).2()32)(12(2),1(1n n n n a n思考：若直接求}{n a 的通项公式怎样求呢？4．累差法．[例5] 已知,2,111n a a a n n n -=-=+求⋅n a[解析]2≥n 时．++-+-+= )()(23121a a a a a a n ).(1--n n a a[答案],21n a a n n n -=-+,32,22,12334223112-=--=--=-∴a a a a a a2≥n 时，),1(211--=---n a a n n n2≥∴n 时，有++-+++=--21[)222(121n n a a ⋅-++|)1(3n2)1()2221(12--++++=∴-n n a n n .12)1(2---=n n n 而11=a 也适合上式．}{n a ∴的通项公式.12)1(2---=n n a n n [启示]形如：已知且)()[1n f n f a a n n <=-+是可求和数列]的形式均可用累差法．5．累商法．[例6] 已知,2,111nn a a a n n +==+求 [解析]2≥n 时，,....123121-=n n n a a a a a aa a 故可用累商法． [答案],21nn a a n n +=+2≥∴n 时，⨯⨯⨯⨯=-46352413....1342312n n a a a a a a a a 2)1(11257+=-+⨯-⨯⨯n n n n n n 即2)1(1+=n n a a n 又2)1(,11+=∴=n n a a n 而11=a 也适合上式，}{n a ∴的通项公式).1(21+=n n a n [启示]形如：已知且))[(1n f n f a a nn <=+是可求积的数列]的形式均可利用累商法． 6．换元法．[例7] 已知,32,311+==+n n a a a 求⋅n a[答案],321+=+n n a a∴可设),(21ββ+=++n n a a由待定系数法可得.3=β解法一：由,321+=+n n a a 得⋅+=⋅++)3(231n n a a令⋅=∴=++n n n n b b b a 2,31}{n b ∴是等比数列，其首项,6311=+=a b 公比为2．,261-⨯=∴n n b 即1263-⨯=+n n a).12(33261-=-⨯=∴-n n n a解法二：由321+=+n n a a 得2≥n 时，.321+=-n n a a).(211-+-=-∴n n n n a a a a}{1--∴n n a a 是公比为2的等比数列，其首项为=-12a a 2126,6--⋅=-∴n n n a a则有-⨯=-⨯=-=-n a a a a a a a ,,26,26,62342312 ,2621--⨯=n n a).12(621)21(611-⋅=--=-∴--n n t n a a ).12(33261-=-⨯=∴-n n n a而31=a 也适合上式，)12(3-=∴n n a 即为}{n a 的通项公式．[启示] 形如：已知q p q pa a a n rt ,(,11+=+为常数）均可用上述两种方法， 特别地，若1=p 时，}{n a为等差数列；若,0=q 0=/p 时，}{n a 为等比数列．强化练习11．写数列 ,3,3,3,32311π--+--k h 的一个通项公式．[答案] 观察数列从首项起，各项的符号正、负相间，故通项公式中含有,)1(1+-n 各项的幂底数为3，指数为,1,12+ ,223,12--指数依次改写为 ,)12(,)12(21--即 2221)12(,)12----（ ,)12(,)122423----，（ 故2)12(13)1(--+⋅-=n n n a2．(1)已知数列}{n a 的前n 项和,)1(1n s n n +-=求(2)已知数列的前n 项和,23n n S +=求⋅n a[答案](1)当2≥n 时，--=-=+-n S s a n n n n .)1(11=--)1()1(n n ),21()1(n n --当1=n 时，==11s a ,11)1(2=⋅-上式中.1)21()1(11=-⨯-=a即当1=n 时，适合∴⋅≥--=)2)(21()1(n n a n n 数列}{n a 的通项公式为⋅-⋅-=)21()1(n a n n(2)当2≥n 时，;2)23(23111---=+-+=-=n n n n n n s s a 当1=n 时，,523111=+==s a 上式中,12111==-a 即1=n 不适合上式．∴通项公式⎩⎨⎧⋅≥==-)2(2),1(51n n a n n [启示] 已知求即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是⋅≥-=-)2(1n s s a n n n 这里常常因忽略了条件n ≥2而出错，即由1--=n n n S s a 求得的n 是从2开始的自然数，否则会出现当1=n 时，⋅=-01s S n 而与前n 项和的定义相矛盾．由此可见，此法求得的不一定是它的通项公式，必须验证n=l是否也成立，若不成立，通项公式只能用．分段函数⎩⎨⎧≥-==-)2(),1(11n s s n S a n nn 表示．3．已知数列),2()1(1,1},{11≥-+==-n n n a a a a n n n 求数列}{n a 的通项公式. [答案]),2)(111()1(111≥--+=-+=--n nn a n n a a n n n nn a a n n 1111--=-∴- ,21112-=-∴a a,312123-=-a a ……nn a a n n 1111--=-- +-++-+-=-∴--)()()(2123121n n n a a a a a a a a =--)(1n n a a +-+-3121211=--+nn 111 n11- n a n 12-=∴当1=n 时，11121=-=a 也适合上式． n a n 12-=∴4．(1)已知数列}{n a 中，,22,111+==+n nn a a a a 求通项公式 (2)数列}{n a 中，,132,111+==+n n a a a 求通项公式⋅n a [答案]⋅=+∴+=+++1.112)2(,22)1(n n n n n n n a a a a a a a ⋅-=+122n n n a a a 两边同除以,.21n n a a +得 ∴=-+.21111n n a a 数列⋅}1{n a 为等差数列，首项为,111=a 公差为+=∴⋅11121a a n ∴+=⨯-.2121)1(n n .12+=n a n ,132)2(1①=-+n n a a .)2(1321②≥=-∴-n a a n n ①②两式相减得，321=-+n n a a ),(1--n n a a 令 ,1n n n a a b -=+则}{321n n n b b b =-是以3213211121=-+=-=a a a a b 为首项，以32为公比的等比数列． ,)32()32(321n n n b =⨯=∴-即n n n a a )32(1=-+③，结合已知条件，①一③，得⨯-=33n a .)32(n [启示] 若数列}{n a 满足)0(.,11=/+==+c d a c a b a n n 的条件，求通项公式时，通常转化为}{A a n + 为等比数列，利用待定系数法确定A 的值，先求出A a n +的表达式，再求⋅n a专题2数列求和数列的求和是数列的一个重要内容，是数列知识的综合体现，求和问题在高考试题中经常出现，它考查我们分析问题和解决问题的能力，可以利用数列的前n 项和求数列的某些元素，如q d n a a n ⋅,,,1等．应当注意任何一个数列的前n 项和都是从第一项一直加到第n 项，求数列前n 项和的常用方法有： (1)公式法，即对于等差数列或等比数列，直接应用其前n 项和公式；(2)对于非等差数列或等比数列，常利用错位相减、倒序求和、裂项求和等方法，将数列变得有规律，再加以求和． 1．公式法．[例1] 设数列}{n a 的通项为),(72+∈-=N n n a n 则=+++||||||1521a a a [解析] 由,0≥n a 得,27≥n 取.4≥n 则+++ ||||21a a +++++-=5432115)(||a a a a a a （+++=+)531()15a =++++)23531( .15312)231(219=⨯++[答案】 153[启示] 要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号．去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键就是要看的符号，又因为数列}{n a 是等差数列，所以只需确定0≥n a 或0≤n a 时n 的值，然后再分开求和．[例2] 已知等比数列}{n a 中，,321-⨯=n n a 求此数列的偶数项组成的新数列的前n 项和． [答案]数列}{n a 的偶数项也是等比数列，设为},{n b 则数列的首项为,621==a b 公比为.932==q所以数列}{n b 的前n 项和为=--=--=91)91(61)1(1n n n q q b S ⋅-)19(43n2．倒序相加法．[例3]设,244)(+=xx x f 求和+++= )222()221(.ωωf f S ⋅)20022001( [解析]：本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决．[答案] 因为,244)(+=xx x f 所以=+=---244)1(11x x x f ,2424244+=⋅+x x 所以.1)1()(=-+x f x f所以),2002120(.)20022()20021(0f f f s +++= ⋅⋅+++=)20021()20022000()20022001(f f f s ①+②得,2001)]20022001(.)20021([20012=+=f f S 所以⋅=22001S [例4] 求在区间),,](,[+∈>N b a a b b a 上分母是3的不可约的分数之和．[解析]本题主要考查如何确定区间[a ，b]上的数哪些是符合条件的，然后寻找各数之间的关系，利用数列 问题求解．[答案] 解法一：（倒序相加法）因为+-+++++++++=323353343323313b a a a a S ,313-b 所以+++++++++= )35()34()32()31(a a a a S ),31()32(-+-b b而又有++-⋅+-+-+-= )35()34()32()31(b b b b s ⋅+++)31()32(a a两式相加得⋅++++++=)()()(2b a b a b a S 其个数是以3为分母的所有分数个数减去可约分数个数． 即).(2)1(1)(3a b a b a b -=+--+-所以),)((22b a a b S +-=所以.22a b S -= 解法二：区间[a ，b]上分母为3的所有分数是,313,33+a a ,1,323++a a ,,2,353,343 +++a a a ,33,323,1b b b --它是以33a 为首项．以31为公差的等差数列，项数为,133+-a b 其和=S ).)(133(21b a a b ++-其中，可约分数是,,,2,1,b a a a ++其和).)(1(21/b a a b S ++-=故不可约分数之和为-+-+<=-)133)[(21a b b a S S .)]1(22a b a b -=+-[启示] 当数列}{n a 满足=+-k n k a a 常数时，可用倒序相加法求数列}{n a 的前n 项和． 3．错项相减法．若在数列}{n n b a ⋅中，}{n a 成等差数列，}{n b 成等比数列，则可采用错项相减法求和． [例5] 求和).(3232N n na a a a n∈++++ [答案]记,)1(32132n n n na a n a a a S +-++++=- 则1132)1()2(2+-+-+-+++=n n n n na a n a n a a as 两式相减，得132)()1(+-++++=-n n n na a a a a S a 若,1=a 则;2)1(21+=+++=n n n s n 若,1=/a 则a na a a a S n n n ----=+1)1()1(12 [例6] 求和.2)23(27242132n n n S ⨯-++⨯+⨯+⨯=[解析] 本题是由等差数列23-=n a n 及等比数列n n b 2=对应项的乘积构成的，故可以使用乘公比错位相减求和．[答案] 因为-++⨯+⨯+⨯=n s n (3[27242132 ,2)23(2]2)11n n n ⨯-+⨯--⨯-+⨯--++⨯+⨯=)23(2]2)1(3[2421232n n S n n ,21+n ②所以①一②得1322)23(23232321+⨯--⨯++⨯+⨯+⨯=-n n n n s42)23()222(312-⨯--+++=+n n n 42)23()22(311-⨯---=++n n n4223623211-+⨯--⨯=+++n n n n.102)1(3212-⨯-+=++n n n所以.1022)1(321+-⨯-=++n n n n s4．裂项相消法， 所谓裂项相消，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项折成两项之差，以达到隔项相消之目的． 常用的裂项变形有;111)1(1)1(+-=+=n n n n a n);121121(21)12)(12(1)2(+--=+-=n n n n a n];)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3(++-+=++=n n n n n n n a n;!)!1(.)4(n n n n a n -+==)];1()1()2)(1([31)1()5(+--++=+=n n n n n n n n a n-+++<=++=)3)(2)(1[41)2)(1()6(n n n n n n n a n ⋅++-)]2)(1()1(n n n n[例7] (1)求数列,,431,321,211 +++,11++n n 的前n 项和(2)求和1)1(1)1(14141313121222222222-+++++-++-++-+=n n S n [解析] 首先弄清的特征． 在第(1)题中，=++=11n n a n ;1)1)(1(1n n n n n n nn -+=++-+-+在第(2)题中，=++=+++=-+++=)2(212221)1(1)1(2222n n nn n n n n a n ⋅+-+)211(1n n [答案],111)1(n n n n a n -+=++=-+++-+-+-=∴1)34()23()12(n S n （ .11)-+=n n=+++=-+++=nn n n n n a n 2221)1(1)1()2(2222 ),211(1)2(21+-+=++n n n n +-++-+=∴)]4121(1[)]311(1[n s +-+)]5131(1[)]6141(1[-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++1[)11311n n （++--++--+)]1111(1[)]121(n n n n =+-+)]211(1[n n ⋅+-+-+211123n n n [启示] (I)分母有理化是一种常用的数学方法．(2)使用拆项法时，不妨多写出几项以便于找出变化规律． 5．分解求和法与并项求和法．[例8] (1)求和：++-+-= 221111211n s ;2221111.2+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n n(2)求和：);12()1(11975311--++-+-+-=-n S n n (3)求和：.)12(5312222-++++n[解析]通项公式是解决数列求和问题的关键，先求出通项公式，分析通项公式的特点，判断采用哪种求和方法．[答案] (1)因为)999(92)9999(912...22111122 个个个个n n n n n a ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅= )]110(2110[912-⨯--⋅=n n ),110(31)110(312-=-=n n 所以)110(31)110(31)110(312-++-+-=nn S←-+++=])101010[(312n n n n .31110)110(10.31---= ⋅--=+32710101n n(2)当)(2+∈=N k k n 时，)14()1(1197531122--++-+-+-=-k S k k)]14()34[()119()75()31(---++-+-+-=k k ;2k -=当)(12+∈-=N k k n 时，--++-+-+-=-)74[)119()75()31(12k s k （ )34()]54(-+-k k.12342...22)1-=-+-++-+-=-k k k个（）（）（）（ 综上：⋅∈-=++)()1(1N n n S n n (3)因为,144)12(22+-=-=n n n a n所以++-+++++=+21[4])1321[422221n S n （ ++⨯=+++++n n n n )(1(614)1)]1(3（ -+)32)(2n +++⨯)2)(1(214n n ⋅+++=+)384)(1(31)1(2n n n n[启示] (1)和(3)不能直接求和，但可以分解为特殊数列再求和；(2)注意正负相间可以将两项并在一起再求和． 强化练习21．(1)求和++++= 333333n s ;333个n (2)求数列)13(,,103,72,41+⋅⋅⋅n n 的前n 项和 [解析] (1)此数列的通项为),110(313...33-==nn n a个既不是等差数列也不是等比数列，但}10{n 却是一个等比数列，因此可转化为等比数列求和的问题．[答案]⋅-==)110(31333n n a )110(31)110(31)110(312-++-+-=∴n n S3101)101(10313)101010(312n n n n---⨯=-+++= ⋅--=3)110(2710n n ,3)13()2(2n n n n +=+n n S n ++++⨯++⨯++⨯=∴22223333223113)321()321(32222n n +++++++++=2)1(6)12)(1(3++++⨯=n n n n n.)1(2+=n n2．(1)求数列]21)12[(,,815,413,211nn +- 的前n 项和． (2)求数列： ,3211,,3211,211,1n +++++++的前n 项和． [答案]]21)12[(815413211)1(n n n s +-++++=n n 21...814121)12531(+++++-++++=（211])21(1[212)121(--+-+=n n n n n 2112-+=122)1(23211)2(+-=+=++++=n n n nn a n -++-+-==∴∑=n a S ni i n 1()3121()211[(21=+)]11n )111(2+-n 12+=n n 3．求和：132)12(7531--+++++=n n x n x x x S。

高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和(2)学案 新人教B版必修5(2021年整理)

高中数学 第二章 数列 2.3.2 等比数列的前n项和(2)学案 新人教B版必修5(2021年整理)

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2.3.2（2）等比数列前n 项和的性质【学习目标】1。

探索并学会等比数列前n 项和公式的推导思路与方法2。

学会灵活应用等比数列前n 项和公式与性质解决一些相关问题 【重难点】 重点：等比数列前n 项和公式的推导方法 难点：掌握公式的有关性质及灵活应用 知识点：等比数列前n 项和的性质(1) 数列{}n a 是等比数列，公比1-≠q ，n S 是其前n 项和，则 ,,,232n n n n n S S S S S --仍构成 数列(2) 若数列{}n a 前n 项和公式为n S =)1(nq a -)1q 0,0(≠≠≠且q a 则数列{}n a 为(3) m n m S S =++ =+n S(4) 在等比数列中，若项数)(,*N n n ∈为偶数，则奇偶S S = 若n 为奇数，=奇S一、典型例题例1。

在等比数列{}n a 中,126,128,66121===+-n n n S a a a a ，求n 和q 。

变式：一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。

例2.各项均为正数的等比数列{}n a ，若403010S ,70,10求==S S变式：等比数列{}n a 中，2019181784,3,1a a a a S S +++==求=例3。

2.2.2 等差数列的前n项和-王后雄学案

2.2.2 等差数列的前n项和-王后雄学案

张喜林制2.2.2 等差数列的前n 项和教材知识检索考点知识清单1．等差数列的前n 项和公式为=n S =2．若数列}{n a 的前n 项和公式为B A Bn An S n ,(2+=为常数），则数列}{n a 为 3．以前n 项的项数为横坐标，前n 项和为纵坐标的图象为抛物线上的一些4．等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为,n S 那么数列-k k 2S ,S )(,,23+∈-N k S S S k k k 是等差数列，其公差等于5．若在等差数列}{n a 中，,0,01<>d a 则n s 存在 ；若在等差数列}{n a 中，,0,01><d a 则n s 存在6．等差数列的项数若为)(2+∈N n n 项，则=n S 2 ．且=-奇偶S S =偶奇S S ,7．等差数列的项数若为)(12+∈-N n n 项，则=-12n S ,).12(n a n -且1,S S -==-n nS S a n 偶奇偶奇（其中 =奇S =偶S , ）8．若}{},{n n b a 为等差数列，,,11k nk n k n k n b B a A ∑∑====则=mmb a 要点核心解读1．等差数列的前n 项和公式及应用公式1：;2)(1n n a a n s +=公式2：;2)1(1d n n na s n -+= 公式3：Bn An S n +=2一般地，若已知首项1a 和n a 或,1n a a +求n S 用公式1；若已知首项1a 和公差d ，求n S 用公式2；其他情况下，应视条件灵活运用所学知识（等差数列的性质、通项公式、前n 项和公式等）进行转化，使问题得到解决．如：已知等差数列}{n a 中，(1)若,1285=+a a 求;12s (2)若,18,684==a a 求;20S (3)若,5,12125==S S 求⋅10s对于(1)可利用等差数列的性质得.72126)(62)(128512112=⨯=+=+=a a a a S对于(2)可先由条件求出首项1a 和公差d ，再由公式2求⋅20S对于(3)可先由条件利用公式3得到关于A 、B 的方程组，解出A 和B 的值，再由公式3求⋅10S 2．前n 项和公式与通项公式的结合，即方程思想的运用等差数列的通项公式与前n 项和公式反映了等差数列的首项、1a 公差d 、通项n a 前n 项和n s 以及项数n 之间的关系，通过它们可由n n t S a d a ,,,和n 五个量中的任意三个求出另外两个，即“知三求二”，运用这一方法可以解决等差数列中基本量的求解，如求1a 和d ，项数n 等问题．3．等差数列前n 项和的主要性质等差数列}{n a 的前n 项和n s 具有以下常用性质：,,,,)1(34232n n n n n n n S s s S S s s ---仍成等差数列．Bn An S n +=2)2(即n s 是n 的缺常数项的二次函数．(3)若等差数列首项1a 与公差d 异号，即01<d a 时，前n 项和n s 必有最值，若1a 与d 同号，即,01>d a 则11a s =即是n S 的最值（此种情况较明显，一般不必研究）．(4)等差数列}{n a 中，当n 为奇数时，+=-1,a S S h 偶2121+=-n a d n （中间项）； 21.+=n n a n S （项数与中间项的积）； 11-+=n n s s 偶奇（项数加1比项数减1）．当n 为偶数时，;2d n s s =-⋅奇偶 12122S ,22.++=+=nnn a n a S a n an s 偶奇4．等差数列前n 项和的最值解决等差数列前n 项和最值的基本思想是利用前n 项和公式与函数方法解决，常用的有以下几种： (1)找转折项：若给出等差数列的通项公式或首项、公差易求时，一般可找转折项来求n s 的最值，若n S d a ,01<必有最值，当0,01><d a 时，n s 有最小值；当0,01<>d a 时，n S 有最大值，由通项0≥n a （或)0≤n a 便可求出转折项，从而求出n S 的最值．(2)二次函数法：利用前n 项和公式=-+=d n n na s n 2)1(1,)2(212n da n d -+结合二次函数的性质讨论最大值或最小值．（将n s 看做自变量n 的二次函数）．(3)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使n S 取最值． 5．数列的前n 项和n S 与通项n a 的关系由n n n a a a a a s +++++=-1321 与++=-211a a s n ,123--+++n n a a a 可得n n n a S S =--1).2≥n （又,11a S =⎩⎨⎧⋅≥-==∴-)2(),1(11n S S n s a n nn利用此关系式可由n S 求n a 或进行n S 与n a 的相互转化．典例分类剖析考点1 前n 项和公式的运用命题规律(1)利用前n 项和公式求其他的量（如首项,1a 公差d ．项数n 等）．(2)利用前n 项和公式解决一些简单的求和问题． [例1] （2010年浙江模拟题）在小于100的正整数中共有多少个数被3除余27这些数的和是多少？ [解析] 被3除余2的正整数可以写成)(23N n n ∈+的形式．[答案] 由,10023<+n 得,3232<n 即n 可取0，1，2，3，…，31，32，所以在小于100的正整数中共有33个数被3除余2．把这些数从小到大排列出来就是2，5，8，…，98，它们组成一个等差数列},{n a 其中,33,98,2331===n a a 因此它们的和为.16502)982(3333=+⨯=S[启示] 本题运用等差数列通项公式和前n 项和公式解题．[例2] 已知}{n a 为等差数列，,,n S m S m n ==其中,n m =/,,+∈N n m 求⋅+n m S [答案] 解法一：（常规解法，方程思想）思路：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=d m m m a n d n n na m 2)1(,2)1(11由可解出.,1d a故 .2)1)(()(1d n m n m a n m S n m -++++=+解法二：（常规方法，整体代换，不求),1d a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=-+=],)1(2[22)1(],)1(2[22)1(1111d m a m d m m m a n d n a n d n n na m 以上两式相减，即=+--+-])()(2[21221d m m n n m n a .n m -.0,=/-∴=/n m n m∴ 上式可化为.2)1(21=--+-d n m a 即.2)1(21-=-++d n m a 由 2)1)(()(1dn m n m a n m s n m -++++=+])1(2[2)(1d n m a n m -+++=.)2(2n m n m --=-⋅+=解法三：设),(2+∈+=N x Bx Ax s x则⎩⎨⎧=+=+②①.,22m Bn An n Bm Am ①一②得.)()(22m n n m B n m A -=-+-.1)(,-=++∴=/B n m A n m故),()()(2n m n m B n m A +-=+++即.)(n m n m S n m --=+-=+ 解法四：（利用性质，简化运算）等差数列中若,q p n m +=+则⋅+=+q p n m a a a a 不妨设,n m >m m n n n m a a a a S S ++++=--++121⋅+-=-=+)(2)(1m n a a n m m n .2)(211-=--=+=+∴++nm m n a a a a m n n m.)()(2)(1n m n m a a n m S n m n m --=+-=++=∴++注意多种方法的比较．[启示] 由于本题是字母系数，用解法一太繁琐，此法不可取．d a ,1是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素,1a ,d 再解决其他问题．但本题解法二关键在于求出了-+-(|21a .2)=-d n m解法三的关键在于求出了,1)(4-=++B n m 这种设而不解的“整体化”思想，在解决有关数列的问题中要注意运用，同时要注意等差数列中Bn An s n +=2的应用．母体迁移 1．(1)（上海高考题）已知数列}{n a 中，=1a ,2,71+=-+n n a a 求=+++1721a a a (2)（2010年湖北省重点中学联考题）已知数列}{n a 中，,2,3,7221+==-=+n n a a a a 则=100S 考点2 等差数列的性质 命题规律(1)利用等差数列前n 项和的性质简化运算过程． (2)等差数列的性质在求和中的灵活运用．[例3] (1)等差数列}{n a 的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为27：32，求公差d ．(2)有两个等差数列},{},{n n b a 满足=++++++++n n b b b b a a a a 321321,327++n n 求⋅55b a[解析] (1)前12项中奇数项，偶数项分别构成以21,a a 为首项，2d 为公差的新的等差数列，n n b b b a a a ++++++ 2121,)2(分别为等差数列}{},{n n b a 的前玮项和，因此可用等差数列前n项和公式或其他相关性质解答．[答案] (1)解法一： 前12项中=⨯⨯+=d a S 225661奇,3061d a +,3662256)(611d a d d a S +=⨯⨯++=偶 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++∴,354)366()306(,3236630611127:d a d a d a d a l 解得⎩⎨⎧==.2,51a d 解法二：)()(11311242a a a a a a S S +++-+++=- 奇偶)()()(11123412a a a a a a -++-+-=⋅=d 6⎪⎩⎪⎨⎧=+=,354,3227偶奇偶奇S S S S ⎩⎨⎧==∴.162,192S 奇偶S.5,6162192=∴=-=-∴d d S S 奇偶(2)解法一：设等差数列}{},{n n b a 的公差分别为,,21d d 则,21212)1(2)1(211121112121d n b d n a d n n nb d n n na b b b a a a n n -+-+=-+-+=++++++ 则有 ⋅++=-+-+32721212111n n d n b d n a ①又由于,44211155d b d a b a ++= ② 观察①②，可在①中取,9=n得⋅=++⨯=++126539297442111d b d a 故⋅=126555b a解法二：设}{},{n n b a 的前n 项和分别为,,n n B A 则有=n n B A ,327++n n 其中2)(1na a A n n +=由于,2591a a a =+即,2591a a a =+ 故.929)(5919⨯=⨯+=a a a A同理.959⨯=b B 故995599⨯⨯=b a B A 故⋅=++⨯==1265392979955B A b a解法三：因为等差数列前n 项和.2a bn an s n =+=⋅+)(abn n 根据已知，可令=+=n n B kn n A ,)27( .)3(kn n +,654)247(5)257(455k k k A A a =⨯+⨯-⨯+⨯=-=∴ .124)34(5)35(455k k k B B b =⨯+-⨯+=-=⋅==∴1265126555k k b a 解法四：由⋅=++⨯==-=--126539297,99551212B A b a k b a B A n n n n [启示] (1)把目标式用o ．与d 两个基本量来表示，此法具有普遍性．若能进一步利用好等差数列的性质，则可使求解过程简捷．(2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征，而等差数列的性质则是这一特征的具体反映，利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考，分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果．母体迁移 2．(1)在等差数列}{n a 中，=++1272a a a ,24求⋅13S (2)等差数列}{n a 的公差,21=d 且,145S 001=求++31a a ⋅++995|a a (3)已知等差数列}{n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项和中奇数项和与偶数项和之比为7：6，求中间项．(4)已知等差数列}{n a 的前4项和为25，后四项和为63，前n 项和为286，求项数n ． 考点3 等差数列}{n a 各项取绝对值后组成的数列|}{|n a 的前n 项和 命题规律(1)将不熟悉的数列问题转化为熟悉的数列问题．(2)利用数列与二次函数的关系确定哪些项为正，哪些项为负．[例4] 在等差数列}{n a 中，,12,60171-=-=a a 求数列|}{|n a 的前n 项和．[解析] 本题实质是求等差数列}{n a 前n 项绝对值的和，需要先搞清哪些项是正的，哪些项是负的． [答案] 等差数列}{n a 的公差.316)60(12117117=---=--=a a d)1(360)1(1-+-=-+=∴n d n a a n.633-=n又.21,0633,0<<-∴<⋅n n a n∴ 等差数列}{n a 的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．设n S 和/n S 分别表示数列}{n a 和|}{|n a 的前n 项和．当20≤n 时，]2)1(360[/-+--=-=n n n S S n n .2161232n n +-=当20>n 时，202020/2)(S S S S S S n n n -=-+-=)3219202060(22)1(360⨯⨯+⨯---+-=n n n .12602161232+-=n n ∴ 数列|}{|n a 的前n 项和为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤+-=.20,1260216123,20,21612322/n n n n n n S n[特别提醒] (1)对于这类数列的求和问题，一是要弄清哪些项为正，哪些项为负；二是要尽量将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，即等差数列的问题．(2)解答本题的关键是确定等差数列}{n a 的前20项是负数，第20项以后的项是非负数．母体迁移3．（2010年烟台模拟题）数列}{n a 的前n 项和为,102n n S n -=求数列|}{|n a 的前n 项之和．考点4 n S 的最值问题 命题规律(1)用求二次函数的最值方法求其前，n 项和的最值，但要注意的是⋅∈+N n (2)利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使n S 取最值． (3)利用“通项法”来求n s 的最值．[例5]等差数列}{n a 中，,,0941S S a =>则n S 取最大时，=n [解析] 解法一：n S 有最大值，n S ∴是开口向下的抛物线．由于,94s s =故对称轴为.5.6294=+=n 从而6=n 或7时，n S 最大，如图2 -2 -2 -1所示．解法二：=⨯+∴=d a S S 2344,194 .6,289911d ka d a -=⨯+ .0,01<∴>d a-=-+-⋅=-+=∴2122)1()6(2)1(n d d n n d n d n n na S n .213n d∴<,0d 开口向下，且对称轴⋅∈==+N n n ,5.62136=∴n 或7时，n S 最大．解法三：由解法二中①得-+-=-+=n d d n a a n (6)1(1.)7()1d n d -=由⎩⎨⎧≤≥+,0,01n n a a 得⎩⎨⎧≤-≥-.0)6(,0)7(d n d n ⎩⎨⎧≥-≤-∴<.06,07,0n n d 解得,76≤≤n 故6=n 或.7 [答案] 6或7[方法点拨] 解法一利用等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，结合二次函数的性质解答此题；解法二是从写出n s 的二次函数表达式入手；解法三是采用正负项分界法，解法更为简便．母题迁移 4．（2010年广东省部分重点中学联考题）数列}{n a 是等差数列，.6.0,501-==d a (1)从第几项开始有;0<n a(2)求此数列的前n 项和的最大值，考点5 等差数列的前n 项和公式的实际应用 命题规律(1)从实际生活应用中抽象出等差数列的前n 项和公式模型． (2)利用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的实际问题．[例6] 某地在抗洪抢险中接到预报，24 h 后有一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24 h 内另筑起一道堤坝作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时工作25 h ，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20 min 就有一辆车到达并投入工作，问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24 h 内完成第二道防堤，请说明理由．[解析] 本题利用总工时来计算总工作量的应用问题，而每辆车工时之和可以表示成一个等差数列的和，问题的本身可转化为求解关于翻斗车数量的不等式即可． [答案] 设从现有的一辆车投入工作算起，各车的工作时间，依次组成数列},{n a 则⋅-=--311n n a a ∴ 数列}{n a 构成首项为24，公差为31-的等差数列，设还需组织（n-l ）辆车，则=+++n a a a 21 ≥--+)31.(2)1(24n n n .2520⨯ .0)120)(25(,030001452≤--≤+-∴n n J n n η.241,2512025[]=-∴=≤≤∴n n n m i故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24 h 内完成第二道防堤[启示] 本题的基本关系是每辆车每小时的工作量×车数×时间=工作总量，母题迁移5．（原创题）假设某市2010年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2010年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造的住房面积的比例首次大于85%?优化分层测讯学业水平测试1．已知}{n a 是等差数列，,1010=a 前10项和,7010=s 则其公差=d ( )．23.-A 31.-B 31.C 32.D 2．等差数列}{n a 的前n 项和为,n s 若,10,242==S s 则6s 等于( )．12.A 18.B 24.C 42.D3．已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和,n B 且,3457++=n n B A n n 则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数有( )．A.2个B.3个C.4个 D ．5个4．在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项的和为165．所有偶数项的和为150，则n 等于( )．A ．9 B.10 C ．11 D ．125．等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有 项．6．设,221)(+=x x f 利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求+-+-)4()5(f f f f +++ )0( )6()(5)f +的值为7．在数列}{n a 中，,66,2171==a a 且它的通项公式是关于正自然数n 的一次函数，则它的前10项和为8．（2010年济南市模拟题）近日国内某大报纸有如下报道：加薪的学问学数学，其实是要使人聪明，使人思维更加缜密．在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案，一是每年增加薪水1000元；二是每半年增加薪水300元，请选一种．一般不擅数学的，很容易选前者，因为一年加1000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如：在第二年的年末依第一种方案可以加得l 000 +2000 =3000(元)；而第二种方案在第一年加得300+ 600= 900（元），第二年加得900 +1200=2100（元），总数也是3000元．但到第三年，第一种方案加得1000+2000 +3000=6000（元）；第二种方案则为300+600 +900 +1200 +1500 +1800=6300（元），比第一种方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若能在该公司干三年以上，则应选第二种方案根据以上材料，如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少元？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意）1．（2011年全国高考题）设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，若,11=a 公差,24,22=-=+k k S S d 则k=( )．8.A 7.B 6.C 5.D2．若数列}{n a 是等差数列，首项.,0,020*********a a a a >+>ω,02006<a 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是( )．4009.A 4010.B 4011.C 4012.D3．等差数列}{n a 与},{n b 它们的前n 项之和分别为n S 与,n S 若),(27417+∈++=N n n n S S n n 则1111b a 的值是( )． 47.A 23.B 34.C 7178.D 4．已知等差数列的前n 项和为,n s 若,0,01213><S S 则此数列中绝对值最小的项为( )，A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项5．（2009年安徽高考题）已知}{n a 为等差数列，=++531a a a .99,105642=++a a a 以n S 表示 }{n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( )．21.A 20.B 19.C 18.D6．根据市场调查结果，预测某种家用电器从年初开始的n 个月内累积的需求量n S （万件），近似地满足--=2ln 2(90n n S n )12,,2,1)(5 =n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )． A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月 D ．8月、9月7．等差数列}{n a 中，,51-=a 它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项．余下的10项的平均值为4．则抽去的是( )．8.a A 6.a B 10.a C 11.a D8．设等差数列}{n a 满足,53138a a =且,01>a 则前n 项和n S 中最大的是( )．10.s A 11.S B 20.S C 21.s D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）9．等差数列}{n a 中，其前n 项和为100，其后的2n 项和为500，则紧随其后的3n 项和为10.（2009年辽宁高考题）等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且==-435,556a s S11.若一个等差数列前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的翱为390，则这个数列有 项．12.（北京高考题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列}{n a 是等和数列，且,21=a 公和为5，那么8]a 的值为____，这个数列的前n 项和n s 的计算公式为三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）等差数列}{n a 的前n 项和记为,n s 已知,3010=a .5020=a(1)求通项,n a(2)令,242=n s 求n ．14.（13分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走Im ，乙每分钟走5 m ．(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15.（14分） （2010年湖北省部分重点中学联考题）已知}{n b 是首项为l ，公差为34的等差数列，且 nna a a b n n ++++++= 21221 (1)求证：}{n a 也是等差数列；(2)若++=++=+==874654332211,,,a a c a a a c a a c a c ,109a a +如此构成数列},{n c 求数列 }{n c 的通项公式，。

人教版高中必修5(B版)2.3.2等比数列的前n项和教学设计

人教版高中必修5(B版)2.3.2等比数列的前n项和教学设计

人教版高中必修5(B版)2.3.2等比数列的前n项和教学设计课程背景等比数列是高中数学重点内容之一，本教学设计是对《人教版高中必修5(B 版)》中2.3.2等比数列的前n项和的教学设计。

在掌握等比数列的基本概念和性质的前提下，本教学设计旨在通过学生自主学习、小组合作和整体讲评三个环节，提高学生的数学思维和解决实际问题的能力。

教学目标1.理解等比数列的概念和通项公式。

2.掌握等比数列的项与项之间的关系和性质。

3.能够求等比数列的前n项和，同时应用所学知识解决实际问题。

4.培养学生的自主学习、合作学习和创新精神。

教学重点和难点教学重点：等比数列的前n项和的计算方法。

教学难点：如何将所学知识应用到实际问题中去。

教学过程设计知识导入（15分钟）知识拓展•向学生介绍等比数列的概念和性质•通过ppt讲解等比数列的基本概念，让学生进一步理解等比数列。

•引导学生掌握等比数列的通项公式和项与项之间的关系。

学生自主探究•给学生分组进行小组活动•学生在小组内制定计划，利用教材、课外书籍和互联网进行自主学习，理解等比数列。

•学生要求在小组中查找至少一个与等比数列相关的实际问题，从中引出等比数列的前n项和的问题。

合作学习（30分钟）教师引导•在小组活动进行一段时间后，教师介绍等比数列的前n项和的计算方法。

•让学生对前n项和的计算方法进行分析和讨论。

小组合作•通过ppt讲解前n项和的计算方法，让学生进行计算实践。

•学生在小组内共同解决所选实际问题，并讨论答案的正确性和实际意义。

整体讲评（30分钟）分享与展示•让小组进行汇报，在全班分享所选实际问题的解决过程和答案，并讨论各组的优点和不足。

•引导学生总结等比数列前n项和的计算方法及其实际应用。

•通过实例分析，加深学生对等比数列及其前n项和的理解。

作业布置及反思（5分钟）•布置课后作业，要求学生选择一道求等比数列前n项和的问题进行解答。

•让学生反思本节课的学习过程和结果。

教学评价•通过小组合作和整体讲评，学生们在全方位地学习中体验到了自主学习的乐趣和合作的必要性。

学案8：2.3.2 等比数列的前n项和

学案8：2.3.2 等比数列的前n项和

2.3.2 等比数列的前n 项和学习目标1．会用方程的思想认识等比数列前n 项和公式，会用等比数列前n 项和公式及有关知识解决现实生活中存在的大量的数列求和的问题，将等比数列前n 项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题．2．通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养．3．通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观．学习重点难点学习重点：等比数列前n 项和公式的推导及灵活运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题．学习难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题．学习案例例1 (1)已知等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝3，求S 3；(2)求等比数列1，12，14，18，…的前10项的和．变式训练在等比数列{a n }中，(1)已知a 2＝18，a 4＝8，求a 1与q ；(2)已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3.例2 五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在以后5年中每年比上年利税增长10%.问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少(结果精确到万元)?变式训练某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p (p ＞0)，求这个工厂去年全年产值的总和．例3 一个热气球在第一分上升了25 m 的高度，在以后的每一分里，它上升的高度都是它在前一分上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？例4 如图1所示，作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n 个内切圆的面积和．图1知能训练1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由一个可以繁殖成( )．A ．511个B ．512个C ．1 023个D ．1 024个2．在等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )．A ．(2n －1)2B.13(2n －1)2 C ．4n －1 D.13( 4n －1) 3．设f (x )＝3x 3x ＋3，则f ⎝⎛⎭⎫1101＋f ⎝⎛⎭⎫2101＋…＋f ⎝⎛⎭⎫100101＝__________. 4．数列{a n }的通项a n ＝2n －12n ，其前n 项的和S n ＝__________. 5．用砖砌墙，第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……，依次类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第十层恰好把砖块用完，问共有多少砖块？6．某商场今年销售计算机5 000台．如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?参考答案例1 解：(1)S 3＝2×(1－33)1－3＝26；(2)因为公比q ＝12，所以S 10＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12101－12＝1 023512. 变式训练 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8. 解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－27，q ＝－23.(2)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6. 方程两边分别相除，得a 1q 4－a 1a 1q 3－a 1q ＝156.整理得2q 2－5q ＋2＝0. 解这个方程，得q ＝2或q ＝12. 当q ＝2时，a 1＝1；当q ＝12时，a 1＝－16. 所以a 3＝4或a 3＝－4.例2 解：每年的利税组成一个首项a 1＝300，公比q ＝1＋10%的等比数列．从今年起，第5年的利税为a 6＝a 1q 5＝300×(1＋10%)5＝300×1.15≈483(万元)；这5年的总利税为S ＝a 2(q 5－1)q －1＝300×1.1×1.15－11.1－1≈2 015(万元)． 答：从今年起第5年的利税约是483万元，这5年的总利税约是2 015万元．变式训练 解：该工厂去年2月份的产值为a (1＋p )元，3月，4月，……的产值分别为a (1＋p )2，a (1＋p )3，……去年12个月的产值组成以a 为首项，(1＋p )为公比的等比数列．因此，该厂去年全年的总产值为S 12＝a [1－(1＋p )12]1－(1＋p )＝a [(1＋p )12－1]p . 答：该工厂去年全年的总产值为a [(1＋p )12－1]p元. 例3 解：用a n 表示热气球在第n 分上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ， 因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列． 热气球在n 分时间里上升的总高度S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n ＜125. 答：这个热气球上升的高度不可能超过125 m.例4 解：设第n 个正三角形的内切圆的半径为a n .因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的12，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的12，故 a 1＝12a tan 30°＝12a ×33＝36a ， a 2＝12a 1， …a n ＝12a n －1. 数列{a n }是首项为36a ，公比为12的等比数列． 所以a n ＝36×⎝⎛⎭⎫12n －1a . 设前n 个内切圆的面积和为S n ，则S n ＝π(a 21＋a 22＋…＋a 2n) ＝πa 21⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫142＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －12 ＝πa 21⎣⎡⎦⎤1＋14＋⎝⎛⎭⎫142＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1 ＝43×a 212⎝⎛⎭⎫1－122n π ＝a 29⎝⎛⎭⎫1－122n π. 答：前n 个内切圆的面积和是a 29⎝⎛⎭⎫1－122n π. 知能训练1．【答案】B【解析】细菌繁殖问题为一个等比数列问题，其首项为1，公比为2，经过3小时分裂9次．因此末项为a 10，∴a 10＝a 1q 9＝29＝512.2．【答案】D【解析】∵S n ＝2n －1，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－1－(2n －1)＝2n .又a 1＝S 1＝21－1＝20，∴a n ＝2n －1.∴a 21＝1.∴a 2n ＝(2n －1)2＝4n －1，a 2n ＋1a 2n＝4. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝13(4n －1)． 3．【答案】50【解析】直接求和几乎不可能，而隐蔽的信息是1101＋100101＝1，2101＋99101＝1，…，于是猜想：如果x 1＋x 2＝1，则f (x 1)＋f (x 2)是一个常数．经检验，f (x 1)＋f (x 2)＝1，则所求之和为50.4．【答案】3－2n ＋32n 【解析】S n ＝12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n ， 12S n ＝14＋38＋516＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1， 两式相减，得12S n ＝12＋24＋28＋216＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋2⎝⎛⎭⎫14＋18＋116＋…＋12n －2n －12n ＋1， ∴S n ＝1＋4⎝⎛⎭⎫14＋18＋116＋…＋12n －2n －12n ＝1＋4×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n . 5．解：设从上层到底层砖块数分别为a 1，a 2，…，a n ，则a n ＝12S n ＋1，从而a 1＝2，当n ≥2时，a n －a n －1＝12(S n －S n －1)＝12a n ，即a n ＝2a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)．因此，每层砖块数构成首项为2，公比为2的等比数列，故S 10＝2(1－210)1－2＝2 046(块)． 6．解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5 000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30 000.于是得到5 000(1－1.1n )_1－1.1＝30 000.整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6.用计算器算得n ＝lg 1.6lg 1.1≈0.200.041≈5(年)． 答：大约5年可以使总销量达到30 000台．。

教学设计7：2.3.2 等比数列的前n项和

教学设计7：2.3.2 等比数列的前n项和

2.3.2 等比数列的前n 项和(一)教学目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路(重点)；2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题(难点). 教学知识梳理知识点 等比数列的前n 项和公式 等比数列的前n 项和公式已知量首项、公比和项数 首项、末项和公比公式S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1a 1（1－q n ）1－q，q ≠1S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1a 1－a n q 1－q，q ≠1【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列的前n 项和可以直接套用公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q .( )(2)等比数列的前n 项和不可以为0.( )(3)数列{a n }的前n 项和为S n ＝a n ＋b (a ≠0，a ≠1)，则数列{a n }一定是等比数列.( ) 提示 (1)当q ＝1时，S n ＝na 1.(2)可以为0，比如1，－1，1，－1，1，－1的和.(3)由于等比数列的前n 项和为S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－q q n .可以发现b ＝－1，则数列{a n }一定为等比数列. 【答案】(1)× (2)× (3)× 教学讲解题型一 等比数列前n 项和公式的基本运算【例1】 已知一个等比数列{a n }，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5. 解 设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q 2）＝10， ①a 1q 3（1＋q 2）＝54. ②∵a 1≠0，1＋q 2≠0，②÷①得q 3＝18， ∴q ＝12，∴a 1＝8， ∴a 4＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，∴S 5＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.【迁移1】 设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q .解 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件. 当q ≠1时，a 1（1－q 3）1－q＝3a 1q 2.因为a 1≠0，所以1＋q ＋q 2＝3q 2，2q 2－q －1＝0， 解得q ＝－12.所以此数列的公比q ＝1或－12.【迁移2】 在等比数列{a n }中，S 2＝30，S 3＝155，求S n . 解 法一 由题意知⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝30，a 1（1＋q ＋q 2）＝155，解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝5（1－5n ）1－5＝54(5n－1)或S n ＝180⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝1 080⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.法二 若q ＝1，则S 3∶S 2＝3∶2， 而事实上，S 3∶S 2＝31∶6，故q ≠1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 2）1－q ＝30， ①a 1（1－q 3）1－q ＝155， ②两式作比，得1＋q 1＋q ＋q 2＝631，解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝5（1－5n ）1－5＝54(5n－1)或S n ＝180⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＝1 080⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.题型二 等比数列求和的实际应用【例2】 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解 用a n 表示热气球在第n 分钟内上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ；因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列. 热气球在前n 分钟内上升的总高度S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1（1－q n ）1－q＝25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ＜125，即这个热气球上升的高度不可能超过125 m.【训练】 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式.解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…， 第n 年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元，所以总投入a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋ (800)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n (万元).同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元.所以总收入b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋ (400)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1. 综上，a n ＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.课堂达标1.等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－x n1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎨⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ，x ＝1D.⎩⎨⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ，x ＝1【解析】当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n1－x .【答案】C2.设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A.2B.4C.152D.172【解析】由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 【答案】C3.等比数列{a n }中，a 3＝8，a 6＝64，则{a n }的前5项的和是________. 【解析】∵q 3＝a 6a 3＝8，∴q ＝2，从而a 1＝2.∴S 5＝2（1－25）1－2＝62.【答案】624.某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________.【解析】注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a ，1.13a ，1.14a ，1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1). 【答案】11a (1.15－1) 5.在等比数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n . 解 (1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得112＝2－162q1－q， ∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得162＝2(－2)n －1， ∴n ＝5.(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不合题意，∴q ≠1， ∴S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝1，S 8＝a 1（1－q 8）1－q ＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4， ∴q ＝2或q ＝－2， ∴a 1＝115或a 1＝－15， ∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.。

导学案1：2.3.2 等比数列的前n项和

导学案1：2.3.2 等比数列的前n项和

2.3.2 等比数列的前n项和【学习目标】1．理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程；2．能够应用前n项和公式解决等比数列的有关问题；3．进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代换思想的应用能力.【重、难点】重点：探索并掌握等差数列前n项和公式.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得【知识链接】完成下面的因式分解：（1）q3−1=______________________________；（2）q3−3q+2=______________________________.【答案】（1）(q−1)(q2+q+ 1)；（2）(q−1)2(q+2).【新知探究】探究一. 等比数列的前n项和公式问题1. 已知等比数列{a n}中，公比为q.（1）若a1+a2+a3+⋯+a n−1=m，①求a2+a3+⋯+a n的值；②求a n−a1.（2）若已知a1=a，a n=b，求S n.解：（1）①a2+a3+⋯+a n−1+a n=q(a1+a2+a3+⋯+a n−1)=qm ②a n−a1=(a2+a3+⋯+a n)−(a1+a2+a3+⋯+a n−1)=qm−m（2）S n=a1+a2+a3+⋯+a n−1+a nqS n=a2+a3+⋯+a n−1+a n+qa n以上两式相减，得(1−q)S n=a1−qa n∵q≠1，即1−q≠0∴S n=a1−qa n1−q.问题2. 当q≠1时，把等比数列通项公式代入上式，你会得到什么呢？答：S n=a1−qa n1−q =a1−q(a1q n−1)1−q=a1(1−q n)1−q【获取新知】（1）等比数列前n 项和公式：_______________________________________. （2）上面推导等比数列前n 项和公式的方法是:_______________ 【答案】（1）S n ={na 1 ，q =1a 1−qa n 1−q =a 1(1−q n )1−q ，q ≠1（2）错位相减法 【典例突破】典例突破（一）等比数列前n 项和公式的基本运算 例1.（1）求下列等比数列前8项的和： ① 12，14，18，…；② a 1＝27，a 9＝1243；（2）已知等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q .【解析】（1）① 由条件易得 a 1=12， q =12 ∴ S 8=12[1−(12)8]1−12=255256② 由a 1＝27，a 9＝1243，可得 27q 8=1243，解得q =±13 当q =13 时，S 8=27[1−(13)8]1−13=328081； 当q ＝－13 时，S 8=27[1−(−13)8]1+13=164081.（2） 若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意，此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2. 若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式得S 3=2(1−q 3)1−q=6，即q 3−3q +2=0，化简整理得(q −1)2(q +2)=0，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8. 【解题反思】（1）等比数列前n 项和公式的使用条件是什么？利用该公式解题时，需要注意什么问题？ （2）在等比数列的五个基本量a 1，a n ，n ，q ，S n 中，至少要知道几个量才能求其他的量呢？答：（1）等比数列前n 项和公式的使用条件是q ≠1. 利用该公式解题时，要注意对公比q 是否为1进行讨论.（2）在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可通过方程组求出其余两个量．变式1. 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n . 【解析】由已知 S 6≠2S 3 ∴ q ≠1又S 3＝72，S 6＝632 ∴ {a 1(1−q 3)1−q=72a 1(1−q 6)1−q=632，解得a 1＝12，q ＝2.∴ a n ＝a 1q n －1＝2n －2典例突破（二）等比数列前n 项和公式的实际应用例2．某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?【解析】根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30000. 于是得到5000（1−1.1n ）1−1.1=30000，整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6.用计算器算得n =lg1.6lg1.1≈5n (年)．∴大约5年可使总销售量达到30 000台【解题反思】如何求解以等比数列为模型的应用题？建立数列的模型，首先要确定数列类型，然后根据题意找准首项、公比和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n 的取值与年份的对应．变式2. 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．已知西部某地区有耕地3 000万亩需要退耕还林，国家确定2000年在该地区退耕还林的土地面积为300万亩，以后每年退耕还林的土地面积比上一年递增20%.那么从2000年起，到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？(计算时取log 1.23＝6)【解析】设该地区从2000年起每年退耕还林的面积组成一个数列{a n }， 由题意，得a n ＋1＝a n (1＋20%)，∴ {a n }是首项为a 1＝300，公比为1.2的等比数列． 设 {a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝3 000. ∴5000（1−1.2n ）1−1.2=3000，即1.2n ＝3，解得n ＝log 1.23＝6.∴ 到2005年该地区基本解决退耕还林问题．问题3. 类比等差数列前n 项和的性质，你能否得出等比数列前n 项和的性质? 请完成下表.一．前n 项和公式与函数的关系二．性质对比典例突破（二）等比数列前n项和性质的应用例3. 在正项等比数列{a n}中，S n是其前n项和，若S10＝10，S30＝130，则S20的值为________．【答案】40【解析】由S10，S20－S10，S30－S20 成等比数列，得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30又 S 20>0 ∴ S 20＝40.变式3. 在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=14，则a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1=( )A ．16(1−4−n )B ．16(1−2−n )C ．323(1−4−n ) D ．323(1−2−n )【答案】C 【解析】∵ q 3=a 5a 2=18∴ q =12∴ a 1=a 2q=4 ∴ a 1a 2=8又 {a n a n+1} 也是等比数列，且首项为a 1a 2=8，公比为q 2=14∴ a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1=8[1−(14)n ]1−14=323(1−4−n ) .。

高中数学 2.3.2 等比数列的前n项和(二)学案 新人教B版必修5

高中数学 2.3.2 等比数列的前n项和(二)学案 新人教B版必修5

2.3.2 等比数列的前n 项和(二)自主学习知识梳理1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝________________＝____________；当q ＝1时，S n ＝________.2．等比数列前n 项和的性质(1)连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )，仍构成________数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数)(2)S m ＋n ＝S m ＋q mS n (q 为数列{a n }的公比)．(3)若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝________. 3．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n－1)．其中A＝________.4．解决等比数列的前n 项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．自主探究利用等比数列前n 项公式证明a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋b n ＝a n ＋1－b n ＋1a －b，其中n ∈N *a ，b是不为0的常数，且a ≠b .对点讲练知识点一 等比数列前n 项和的证明问题例1 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明：log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22>log 0.5S n ＋1.总结 本题关键是证明S n ·S n ＋2<S 2n ＋1.证明时要分q ＝1和q ≠1两种情况．变式训练1 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n .求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．知识点二 等比数列前n 项和的实际应用例2 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.总结 本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度．变式训练2一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？知识点三 等差数列、等比数列的综合问题例3 设{a n }是等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项a n .总结 (1)一般地，如果{a n }是等差数列，公差为d ，且c n ＝ca n (c >0且c ≠1)，那么数列{c n }是等比数列，公比q ＝c d.(2)一般地，如果{a n }是各项为正数的等比数列，公比为q ，且c n ＝log a a n (a >0且a ≠1)，那么数列{c n }为等差数列，公差d ＝log a q .变式训练3 在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2 a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，求n 的值．1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a 1与项数n 的实际含义，同时要搞清是求a n 还是求S n 的问题.课时作业一、选择题1．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10(1.15－1)aD ．11(1.15－1)a2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.12(2n －1)2C ．4n－1 D.13(4n －1)3．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米4．若等比数列{a n }的公比q >0，且q ≠1，又a 1<0，那么( )A ．a 2＋a 6>a 3＋a 5B ．a 2＋a 6<a 3＋a 5C ．a 2＋a 6＝a 3＋a 5D ．a 2＋a 6与a 3＋a 5的大小不确定5．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝6，a 2＋a 3＋a 4＝－3，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8等于( )A.2116B.1916C.98D.34 二、填空题6．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝______.7．如果b 是a ，c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且x ，y ，z 都是正数，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝______.8．等比数列{a n }的首项a 1＝511，公比q ＝12，记C n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，则当C n 达到最大时，n 的值是________．三、解答题9．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n的表达式；(2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入？2．3.2 等比数列的前n 项和(二)知识梳理1.a 1－q n1－q a 1－a n q1－q na 12．)(1)等比 (3)q 3.a 1q －1自主探究证明 ∵a ≠0，b ≠0，a ≠b ，∴b a≠1.∴左端＝a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋b n＝a n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a n ＝a n⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a n ＋11－b a＝a n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a n ＋1a －b ＝a n ＋1－b n ＋1a －b ＝右端．∴a n＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋b n＝a n ＋1－b n ＋1a －b.对点讲练例1 证明 设{a n }的公比为q ，由题设知a 1>0，q >0，当q ＝1时，S n ＝na 1，从而S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝na 1·(n ＋2)a 1－(n ＋1)2a 21＝－a 21<0.当q ≠1时，S n ＝a 1－q n1－q ，从而S n ·S n ＋2－S 2n ＋1＝a 21－q n －q n ＋2－q 2－a 21－q n ＋12－q2＝－a 21q n <0. 综上知，S n ·S n ＋2<S 2n ＋1，∴log 0.5(S n ·S n ＋2)>log 0.5S 2n ＋1. 即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋22>log 0.5S n ＋1.变式训练1 证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )． 当q ≠1时，则S n ＝a 11－q(1－q n)，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n)，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n)， ∴S 2n ＋S 22n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝⎝⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )．又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二 根据等比数列性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2nS n ， ∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n)，S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n)． ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．例2 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1(n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a －0.9101－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．变式训练2 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1－qn1－q＝25×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 例3 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d . ∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d.∴b 1b 2b 3＝b 32＝18，∴b 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178b 1·b 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18.当⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2时，q 2＝16，∴q ＝4(q ＝－4<0舍去)此时，b n ＝b 1qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18·4n －1＝22n －5. 由b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125－2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，∴a n ＝5－2n . 当⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18时，q 2＝116，∴q ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝－14<0舍去此时，b n ＝b 1qn －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，∴a n ＝2n －3.综上所述，a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.变式训练3 解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1.∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n.(2)b n ＝log 2 a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n －n 2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n >9时，S n n<0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn最大．课时作业1．D [注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．]2．D [易知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1.∴{a 2n }也是等比数列，a 21＝1，公比为4.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n －1)．]3．A [小球10次着地共经过100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝2993964≈300.]4．B [(a 2＋a 6)－(a 3＋a 5)＝a 1(q ＋q 5)－a 1(q 2＋q 4)＝a 1q (q 4－q 3－q ＋1)＝a 1q (q －1)2(q 2＋q ＋1)∵a 1<0，q >0且q ≠1，q 2＋q ＋1>0，∴a 1q (q －1)2(q 2＋q ＋1)<0，∴a 2＋a 6<a 3＋a 5.] 5．A6．－13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n－1)，又S n ＝13·3n＋t ，∴t ＝－13.7．0解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，设公差为d ， 则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝－d log m x ＋2d log m y －d log m z＝d log m y 2xz＝d log m 1＝0.8．9解析 由a n ＝511×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1>1，解得n ≤9.即a 1>a 2>…>a 9>1>a 10>a 11>….∴当n ＝9时，C n 最大．9．解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x －y －y ＝y ＋－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.10．解 (1)第一年投入为800万元，第二年投入为800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…， 第n 年投入为800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元．所以n 年内总投入为：a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋…＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1 ＝800×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋45＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45n －1＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年旅游业收入为400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元，所以n 年内的旅游业总收入为：b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1 ＝400×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋54＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，则b n －a n >0，即1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1－4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n >0， 化简得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫54n ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫45n－7>0，设x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ，则5x 2－7x ＋2>0，解得x <25或x >1，∵n ≥1，∴x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45n<1，∴x >1(舍去)， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <25，由此得n ≥5. ∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．。

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张喜林制2.3.2 等比数列的前n 项和教材知识检索考点知识清单1．等比数列}{n a 的前n 项和为,n S 当公比1=/q 时，=n s = 当q=l 时，=n S 2．若数列}{n a 的前n 项和),1(n n q p s -=且,1,0=/=/q q 则数列}{n a 是3．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有n n S q n a a ,,,,1五个量，在这五个量中 4．在等比数列中，若项数为偶s N n n ),(2+∈与奇S 分别为偶数项与奇数项的和，则=÷奇偶S S 5．数列}{n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则--n n n n s s s s 32,,,,2 n s 仍构成要点核心解读1．等比数列前n 项和公式 (1)前n 项和公式的导出，解法一：设等比数列 ,,,,,321n a a a a 它的前n 项和是⋅+++=n n a a a S 21由等比数列的通项公式可将n S 写成112111-++++=n n q a q a q a a s ①①式两边同乘以q ，得.131211n n q a q a q a q a qs ++++= ②①一②，得,)1(11nn q a a S q -=-由此得1=/q 时，qq a s n n --=1)1(1 ,11-=n n q a a所以上式可化为qqa a s n n --=11当q=l 时，⋅=1na s n解法二：由等比数列的定义知⋅====-q a aa a a a n n 12312当1=/q 时，,12132q aa a aa a n n=++++++- 即⋅=--q a S a s nn n 1故当1=/q 时，qq a q q a a S n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，⋅=1na s n解法三：112111-++++=n n q a q a q a a S)(21111-++++=n q a q a a q a11-+=n qs a ).(1n n a s q a -+=当1=/q 时，qq a q q a a s n n n --=--=1)1(111 当q=l 时，⋅=1na S n(2)注意问题，①上述证法中，解法一为错位相减法，解法二为合比定理法，解法三为拆项法．各种解法在今后的解题中都经常用到，要用心体会，②公比为1与公比不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论．③当已知n q a ,,1时，用公式,1)1(1qq a S n n --=当已知,,1q a n a 时，用公式q q a a S n n --=11④在解决等比数列问题时，如已知n n s q n a a ,,,,1中的任意三个量，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个量．(3)等比数列前n 项和的一般形式一般地，如果q a ,1是确定的，那么--=--=q a qq a S n n 11)1(11,11n q q a -设,11q a A -=则上式可写为⋅=/-=)1(q Aq A s n n2．等比数列前n 项和的性质(1)数列}{n a 为等比数列，n s 为其前n 项和，则,,2n n n s S S - ,23n n S S -仍构成等比数列，且有⋅-⋅=-)()(2322n n n n n s S s s s(2)若某数列前n 项和公式为),1,0(1=/=/-=a a a s n n 则}{n a 为等比数列．(3)在等比数列中，若项数为奇偶与S S N n n ),(2+∈分别为偶数项与奇数项的和，则⋅=÷q S S 奇偶 (4)若}{n a 是公比为q 的等比数列，则⋅⋅+=+m n n m n s q S s 由此性质，在解决有些问题时，能起到简化解题过程的作用．如：设}{n a 是由正数组成的等比数列，它的前n 项和为,n s 试比较222log log ++n n S S 与12log 2+n S 的大小．解：设}{n a 的公比为q ，由已知,0,01>>q a,,11211++++=+=n n n n qS a S qS a S+=+-+=-∴++++11111212)()(a S S qS a qS a S S S S n n n n n n n n 1111+++--n n n n n S qS a S S qS.0)(1111<-=-=++n n n a a s s a.212++<∴n n n S S S 而,0>n S 且函数x y 2log =在),0(+∞上单调递增，⋅<+∴++12222log 2log log n n n S S S典例分类剖析考点1 前n 项和公式的应用 命题规律(1)等比数列前n 项和公式在具体题目中的应用．(2)含有参数的等比数列中，如何运用等比数列的求和公式． [例1]在等比数列}{n a 中，,263,2763==s S 求⋅n a [答案] 方法一：由已知,236S S =/ 则,1=/q 又,263,2763==s S 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=--=-⋅-②①2631)1(,271),1(611q q a qq a ②÷①得,913=+q 所以.2=q可求出211=a ，因此2112--==n n n q a a 方法二：已知等比数列}{n a 中，n m S S 15求g ，还可利用性质m n n m n S q s s +=+转化为mnm n ns S S q -=+ 求得，即,827283363==-=S s s q ,2=∴q 再代入,1)1(313qq a s --=求得⋅=211a2112--==∴n n n q a a[误区诊断] 解答此类题目容易漏掉对q=l 这一步的讨论．[方法技巧] 使用等比数列的前n 项和公式要注意公比q=1和q ≠1情况的区别，而在解方程组的过程中，一般采用两式相除的方法．[例2] 已知数列}{n a 是等差数列，且++=21,2a a a i ,123=a (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,3n n n a b ⋅=求数列}{n b 的前n 项和公式．[答案] (1)设数列}{n a 的公差为d ，则,12331321=+=++d a a a a 又,21=a 得.2=d 所以.2n a n = (2)由,323n n n n n a b ⋅=⋅=得n n n n n S 323)22(343212⋅+⋅-++⋅+⋅=- ① 132323)22(34323+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n s ②①一②得13232)3333(22+⋅-++++=-n n n n S,3)21(332)13(311--=⋅--=++n n n n n所以⋅+⋅-=+2332121n n n s [方法技巧] 本题第(1)问主要是将问题转化为利用基本量口，和d 联立方程组求解，从而确定出通项公式；第(2)问结合{b n }的特点采用错位相减法求和，变形时式子较复杂，要注意运算准确．母题迁移 1．若数列}{n a 成等比数列，且,0>n a 前n 项和为80，其中最大项为54，前2n 项之和为6560，求⋅100S2．求和.3232n n nx x x x s ++++=考点2 等比数列前n 项和性质的应用 命题规律（1)利用等比数列前n 项和的性质简化运算，优化解题过程． (2)等比数列前n 项和的性质在解题中的灵活运用． [例3] 已知数列}{n a 是等比数列， (1)若,112,492==n n S s 求,3n S(2)若⋅+++≡==2019181784%/,6.2a a a a S S [答案] (1)由性质可得.)()(2223n n n n n S s s s S -=-,63)112(4923=-∴n S 解得.1933=n s,,,)2(812484s s S s s --构成等比数列，设为},{n b 公比为g ，.2,24481=-==∴s S S q b .3222441201918175=⨯=⋅=+++=∴q b a a a a b[启示] 等比数列前凡项和具有的一些性质：(1)连续m 项的和（如),,,232 m m n m m s s s S S --仍组成等比数列（注意：这连续m 项和必须非零才能成立）．}){2(n a 为等比数列⋅=++=⇔)0(B A B Aq s n nn m m m n S q s S +=+)3(（q 为公比）． 利用性质(1)可以快速地求某些和．如等比数列}{n a 中，.60,202==m m S S 求⋅m S 3}{n a 为等比数列，m m m m m s s S S S 232,,--∴也成等比数列，且首项为20，公比为,80240222=⨯=-=-⋅m hn mm m S S s S s .1403=∴m S但在运用此性质时，要注意的是 ,,,232m m m m m S s s s S --成等比数列，而不是 ,,,32m m m S s S 成等比数列．母题迁移3．(1)已知：数列}{n a 是等比数列，,0>n a 若=+++=103231365log log log ,9.a a a a a(2)在101与11之间插入10个正数，使这12个数成等比数列，则所插入的这10个正数之积为 (3)一个等比数列中，,60,482==n n S s 则=n s 3(4)等比数列}{n a 中，,126,128.,66121===+-n n n s a a a a 则q=考点3 等比数列前n 项和的应用问题 命题规律(1)从实际问题中抽象出等比数列前n 项和的数学模型． (2)利用等比数列前n 项和公式解决一些简单的应用问题．[例4]某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房，假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%． (1)分别求2005年底和2006年底的住房面积； (2)求2024年底的住房面积．（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01） [答案] (1)2005年底的住房面积为1200(1+5%) -20 =1240（万平方米）， 2006年底的住房面积为128220%)51(20%)51(12002=-+-+（万平方米）． ∴ 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米． (2)2024年底的住房面积为--+-+-+ 181920%)51(20%)51(20%)51(120020%)51(20-+05.0105.120%)51(12002020-⨯-+=64.2522≈（万平方米）．∴ 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米．母题迁移 4．一件家用电器现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期一月，购买后一个月付款一次，再过一个月后又付款一次，共付12次，即购买一年后付清．如果按月利率8‟每月复利一次计算，那么每期应付款多少？)1.1008.1(12≈优化分层测讯学业水平测试1．等比数列}{n a 的各项都是正数，若,16,8151==a a 则它的前5项和是( )．179.A 211.B 243.C 275.D2．等比数列}{n a 的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列}1{na 则 }1{na 的前n 项的和是( ) 51.A S q B n 1. 1.-n qsC S qD n .3．各项均为实数的等比数列}{n a 的前n 项和记作,n S 若=10S ,70,1030=S 则40S 等于( )．150.A 200.-B 200150.-或C 50400.-或D4．设),(22222)(131074N n n f n ∈+++++=+ 则)(n f 等于( )．)18(72.-n A )18(72.1-+n B )18(72.3-+n C )18(72.4-+n D 5．数列 ,213,,819,416,213n n 的前n 项和为6．已知等比数列}{n a 的公比,1>q 第17项的平方等于第24项，求使n a a a a ++++ 321na a a 11121+++>成立的n 的取值范围， 高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2009年辽宁高考题）设等比数列}{n a 的前n 项和为,n s 若,336=S s 则=69s s ( )． 2.A 37.B 38.C 3.D2．一个小球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n 次着地时，共经过了,2,≥n m a n 则有( )．312100.--+=n n n a a A 212100.--+=n n n a a B n n n a a C 2100.1+=- 21210021.--+=n n n a a D 3．（2010年东北八校联考题）某人为了观看2010年世博会，从2003年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2010年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为( )．7)1(.p a A + 8)1(.p a B + )]1()1[(.7p p p a C +-+ )]1()1[(.8p p paD +-+4．在14与87之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为,877则此数列的项数为( )． 4.A 5.B 6.C 7.D5．等比数列}{n a 的首项为1，公比为g ，前n 项和为S ，则数列}1{na 的前n 项之和为( )． s A 1. S B . 1.-n q S C Sq D n 11.- 6．设数列}{n x 满足,0(log 1log 1>+=+a x x n u n u 且,1=/a ),+∈N n 且,100121=+++ωx x x 则200102101x x x +++ 的值为( )．a A 100. 2101.a B 100101.a C 100100.a D7．（2010年福建部分重点中学联考题）已知等比数列}{n a 的公比,0<q 前n 项和为,n s 则54a S 与45a s 的大小关系是( )．4554.a S a s A = 4554.a S a S B > 4554.a S a S C < D ．无法确定8．已知等比数列}{n a 的首项为n S ,8是其前n 项的和，某同学经计算得,36,2032==S S ,654=S 后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为( )．1.S A2.S B3.S C4.S D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 9．（2009年浙江高考题）设等比数列}{n a 的公比,21=q 前n 项和为,n S 则=44a s10.某科研单位，欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第七名恰好将奖金分完，则需拿出奖 金 万元． 11．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设}{n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列}{n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组．（写出所有符合要求的组号） 21s s 与① 32S a 与② n a a 与③1 n a q 与④（其中n 为大于1的整数，n S 为}{n a 的前n 项和）12. 一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是 ．三、解答题（本题包括3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）（2011年山东高考题）等比数列}{n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足：,ln )1(n n n n a a b -+=求数列}{n b 的前2n 项和⋅n s 214.（13分）（2010年浙江模拟题）在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元徊公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%．设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A 、B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？15.（14分）（2010年山东模拟题）函数)(x f 定义在（-1，1）上，,1)21(-=f 且仅当)1,1(,-∈y x 时，恒有：),()()(xy i yx f y f x f --=-又数列}{n a 满足=+=1,211n a a ⋅+212nna a 设⋅+++=)(1)(1)(121n n a f a f a f b (1)证明：)(x f 在（-1，1）上为奇函数； (2)求)(n a f 的表达式；(3)是否存在自然数m ，使得对任意+∈N n 都有48-<m b n 成立；若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由.单元知识整合二、本章知识整合 1．数列的概念．(1)定义：按一定次序排列的一列数，从函数观点看，对于一个定义域为正整数集 N （或它的真子集{1，2，3，4，…，n}）的函数来说，数列就是这个函数当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值．(2)数列的表示法有三种：列表法、解析法（通项公式和递推公式法）、图象法．(3)分类：按项数可分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列．(4)前n 项和n s 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧⋅≥-==-)2(),1(11n s S n S a n nn3．数学思想方法总结．(1)函数的思想．数列是一个定义域为正整数集(或它的有限子集{1，2，…，n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，并且，数列的通项公式及前n 项和公式都可以看做以项数n 为自变量的函数，用函数的观点处理数列问题，是我们常用的方法． (2)方程的思想，在等差数列中，通项公式和前n 项和公式共有5个量,,1d a n a n ,和,n S 这5个量中知道其中3个量的值，就可以通过列方程的方法求l 出另外2个量的值，在等出数列中，也有类似的性质．方程的思想是本章最重要的思想方法． (3)分类讨论的思想，当给出一个数列的前n 项和的表达式求数列的通项时，一定要分别去求1a 及),2(≥n a n 即⎩⎨⎧≥-==-),2(),1(11n s S n S a n n n （当n=l 时，若两个式子一致，要写成))((+∈=N n n f a n 的形式）；关于等比数列的前n 项和公式有两个，即1=q 与1=/q 的公式不同，所以在运用等比数列求和公式时，要对q=l 和q#l 两种情况进行讨论．雀关于绝对‘值的数列问题中，要注意脱去绝对值符号时需分类讨论，在一些判断题中也常用到分类讨论．(4)转化与化归的思想将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想称之为转化与化归的思想，它一般表现为将陌生的问题转化为我们熟悉的或已经解决了的问题或方法．在数列中，将非等差、非等比数列转化为等差、等比数列问题：是我们常采用的方法．(5)整体的思想．在数列部分，根据式子的结构特点，视某一部 分为一个整体，采用整体代换、整体消元，可以大大简化运算量，还可以沟通已知与未知的联系，提高解题速度． (6)类比的思想．类比是指通过两个对象类似之处的比较，而由其中一个对象已有的性质去推出另一对象也有类似的性质，是我们认识事物发展规律的重要思想方法，等差数列与等比数列有着密切的内在联系，在平时的学习中，将二者类比，能够增强对概念和性质的记忆及理解，使知识系统化、网络化， 4.数列中两类重要问题的解法．(1)求一般数列通项公式的常用方法．数列的通项公式是数列的核心之一 ，有了数列的通项公式，便可求出数列的任何一项，研究数列的单调性，求数列的前n 项和，因此我们应熟练掌握求数列通项公式的常用方法，①观察归纳法：通过观察、分析数列的各项与其项数之间的关系，经归纳得到通项公式，②累加法：若给出或由题设可得到1a 与)(1n f a a n n =-+)}({n f <是可求和的数列），则可由)(121-=-+=∑i i ni n a a a a 求⋅n a③累乘法：若给出或由题设可得到1a 与)(1n f a ann =+)}({n f <是可求积的数列），则可由123121....-=n n n a a a aa a a a )2(≥n 求⋅n a④构造法：若由给出的条件直接求n a 较难，可以通过变形、转化，并运用整体思想，构造出一个等差数列或等比数列，从而求出通项．⑤利用n a 和n s 的关系：若给出n s 或可求出,n S 则可利用⋅⎩⎨⎧≥-==n nn a n S S S a 求（.)2),1n (1-n 1由上式算出1a 和)2(≥n a n 后，若将)2(≥n a n 中的n 取1算得的值正好等于,1a 则将1a 统一到)2(≥n a n 中，得通项为⋅∈+)(N n a n(2)数列求和的常用方法．数列求和是数列部分的重要内容，因此我们应掌握数列求和的常用方法. ①公式法：直接利用等差数列、等比数列或某些常见数列的求和公式求和， 常见数列的求和公式有：2)1(321+=++++n n n （特殊的等差数列）； ;6)12)(1(3212222++=++++n n n n.)1(41)321(3212223333+=++++=++++n n n n②分组法：根据数列或其通项的特征，将数列的前n 项和分成易于求和的若干组，通过对各组分别求和得到整个数列的和．③倒序相加法：若数列中与首末两项等距离的两项的和为定值或有某种特殊关系，则可用推导等差数列求和公式的方法（倒序相加法）求和.④错位相减法：若数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 是等比数列，则求数列}{n n b a 的前n 项和可用推导等比数列求和公式的方法（错位相减法）求和．⑤裂项法：根据通项的特征，将通项进行合理的分拆，然后再分组或消去中间若干项，转化为易求和的数列求和问题．5．有关数列在分期付款中的应用问题 在日常生活中，一些商家为了促销商品，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上较为灵活，可以一次性付款，也可以分期付款，采用分期付款时，又可以提供几种方案以便选择，到底选用哪种方式更合算呢？(1)分期付款的几种模型，①银行存：款计息方式有两 种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为模型，②单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为：利息=本金×利率×存期，以符号P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金和利息和，则有).1(nr P S +=③复利：把上期末的本息和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式是.)1(nr P S +=④分期付款中，每月的利息均按复利计算，规定每期所付款额相同．⑤各期所付款额连同到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和．(2)复利的概念和计算．银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利．一般地，一期期满后，借贷者（银行）收到的款额为=1s ),1(0r S +⋅其中0s 为初始贷款额，r 为每期的利率，假若在一期期满后，银行又把1S 贷出，利率不变，则银行在下一期期满时，可以收取的款额为.)1()1(2012r S r S s +=+=依次类推，若把0S 贷出t 期，期利率为r ，这笔款额到期后就会增到.)1(0t t r S s +=注意此处的利息是重复计算的，我们称为复利（期复利）． (3)关于分期付款方案的确定．分期付款即借款后不是一次性付清，而是分几次分别付款的一种借款方法，对于每一种分期付款方案，应明确以下几点：①规定多长时间内付清全部款额；②在规定的时间内分几期付款，并且规定每期的付款额相同；③规定多长时间结算一次利息，并且在规定的时间段内利息按复利计算．在选择分期付款方案时，必须计算出各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于顾客比较，从而选择优化方案， 三、重要专题选讲 专题1求数列的通项数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中解析式一样，有解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式，便可求出任何一项及前几项和等，现将求数列的通项公式几种常见类型及方法总结如下： 1．观察归纳法．[例1] 根据数列的前几项，写出下歹Jj 数列的一个通项公式．;,3231,1615,87,43,21)1( ;,63,51,43,31,23,1)2( ---;,177,73,115,21,53)3( ;,26,17,10,5,2)4( ;,541,431,321,211)5( ⨯⨯-⨯⨯-,15,10,6,3,1)6([答案] (1)观察数列的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列2，4，8，16，32，…，可用项数表示为,2n分子是数列1，3，7，15，31，…， 每一项比对应的分母少1，可用项数表示为,12-n所以，所求的数列的通项公式是;212nn n a -= (2)这个数列即：,512,412,312,212,112--+--+--,,612 +其结构特征是：①分母与项数相同；②分子是2加上或减去l ，即;)1(2n-+③各项的符号为负、正相间，即为.)1(n-所以，所求的通项公式是;)1(2.)1(na nnn -+-= (3)观察数列的项，这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为：,,177,146,115,84,53 分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为;232++=n n a n (4)每一项都是项数的平方加上1，其通项公式为;12+=n a n(5)通项公式是;)1()1(+-=n n a nn (6)仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律：=-=-=-342312;3;2a a a a a a.54145n a a a a n n =-⋅⋅=-⋅--++-+-+-+=∴n n a a a a a a a a a ()()()(3423121 +++=-321)1n a 2)1(+=+n n n [启示] (1)根据所给数列的前n 项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号n 之间的关系．(2)记住以下数列的前n 项：},2{},1{},{},{22n n n n ±⋅+±)}1({},3{},12{n n n n (3)第(6)小题通过观察很难总结规律，可用如下方法进行：-⋅=-⋅=-=-=-n a a a a a a a a a ,54,3,245342312 .1n a n =- +=-++-+-+=∴-1)()()(123121n n n a a a a a a a a 2)1(32+=+++n n n 2．公式法．数列符合等差数列或等比数列的定义，求通项时，只需求出1a 与d 或1a 与q ，再代入公式d n a a n )1(1-+=或=n a 11-⋅n q a 中即可．[例2]数列}{n a 是等差数列，数列}{n b 是等比数列，数列}{n c 中，对任何+∈N n 都有,n n n b a c -= 且,61,021==c c ,547,9243==c c 求数列N n a }{数列N n b }{数列}{n c 的通项公式．[答案] 设数列}{n a 的首项为,1a 公差为d ，数列}{n b 的首项为,1b 公比为q ．由已知条件可得;011=-b a ①;6111=-+q b d a ② ;922211=-+q b d a ③⋅=-+5473311q b d a ④ 联立①②③④，解得,34,21,111====q d b a 由此可以得到,2121)1(211+=-+=n n a n,)34()34(11111---=⨯==n n n n q b b1)34(2121--+=-=∴n n n n n b a c3．利用n a 与n S 的关系．如果给出条件中是n a 与n s 的关系式，可利用⎩⎨⎧≥-===-),2(),1(111n S s a n S a n n n 先求出,11S a =若计算出的na 中，当1=n 时，求出,11s a =则可合并为一个通项公式，否则要分段．[例3](1)数列}{n a 的前n 项和,)1(1n S n n +-=求,n a (2)数列}{n a 的前n 项和,23n n s +=求⋅n a [答案] (1)当2≥n 时，1--=n n n s s a)1()1()1(1----=+n n n n ),21()1(n n --=当n=l 时，,11)1(21=⨯-==l s a 上式中,1)21()1(11=--=a⋅--=∴)21()1(n a n n(2)当n ≥2时，,2)23(23111---=+-+=-=n n n n n n S s a 当n=l 时，⋅=+==,523111s a 上式中,12111==-a⎩⎨⎧⋅≥==∴-)2(2),1(51n n a n n [启示] 已知,n s 求,n a 即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是),2(1≥-=-n S S a n n n 这里常常因为忽略了条件n ≥2而出错，即1--=n n n S s a 求得n a 时的n 是从2开始的自然数，否则会出现当n=l 时01s s n =-而与前n 项和的定义矛盾，可见由此求得的n a 不一定是它的通项公式，必须验证1=n 时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数=n a ⎩⎨⎧≥-=-)2(),1(11n S S n s n n来表示．[例4]数列}{n a 的首项,11=a 前n 项和n s 与n a 之间满足).2(1222≥-=n S S a n nn (1)求证：数列⋅}1{ns 是等差数列； (2)求数列}{n a 的通项公式． [解析] 审题知}1{⋅⋅n S 应为构造的等差数列，可利用公式先求出)(1n f s n=来，进一步用⎩⎨⎧≥-==-),2(),1(11n s S n S a n n n 即可解决． [答案] ,,2)1(1--=≥n n n s s a N n⋅-=-∴-12221n n n n S s S S .2)12)((21n n n n S S s s =--∴-.111,211111===-∴-a s s S n n 11}1{1=∴s s n 是以为首项，2为公差的等差数列，,122)1(11)2(1-=⨯-+=n n s s n⋅-=∴121n S n 当n ≥2时，1)1(211211----=-=-n n S S a n n n ,)32)(12(2---=n n⎪⎩⎪⎨⎧≥---==∴).2()32)(12(2),1(1n n n n a n思考：若直接求}{n a 的通项公式怎样求呢？ 4．累差法．[例5] 已知,2,111n a a a n n n -=-=+求⋅n a[解析]2≥n 时．++-+-+= )()(23121a a a a a a n ).(1--n n a a [答案],21n a a n n n -=-+,32,22,12334223112-=--=--=-∴a a a a a a2≥n 时，),1(211--=---n a a n n n2≥∴n 时，有++-+++=--21[)222(121n n a a ⋅-++|)1(3n2)1()2221(12--++++=∴-n n a n n .12)1(2---=n n n 而11=a 也适合上式．}{n a ∴的通项公式.12)1(2---=n n a n n [启示] 形如：已知,1a 且)()[1n f n f a a n n <=-+是可求和数列]的形式均可用累差法． 5．累商法．[例6] 已知,2,111n n a aa nn +==+求⋅n a [解析] 2≥n 时，, (1)23121-=n n n a aa aa aa a 故可用累商法．[答案] ,21nn a ann +=+ 2≥∴n 时，⨯⨯⨯⨯=-46352413....1342312n n a a a a a a a a 2)1(11257+=-+⨯-⨯⨯n n n n n n即2)1(1+=n n a an 又2)1(,11+=∴=n n a a n而11=a 也适合上式，}{n a ∴的通项公式).1(21+=n n a n [启示]形如：已知1a 且))[(1n f n f a a nn <=+是可求积的数列]的形式均可利用累商法． 6．换元法．[例7] 已知,32,311+==+n n a a a 求⋅n a [答案],321+=+n n a a ∴ 可设),(21ββ+=++n n a a 由待定系数法可得.3=β解法一：由,321+=+n n a a 得⋅+=⋅++)3(231n n a a 令⋅=∴=++n n n n b b b a 2,31}{n b ∴是等比数列，其首项,6311=+=a b 公比为2．,261-⨯=∴n n b 即1263-⨯=+n n a ).12(33261-=-⨯=∴-n n n a解法二：由321+=+n n a a 得2≥n 时，.321+=-n n a a).(211-+-=-∴n n n n a a a a}{1--∴n n a a 是公比为2的等比数列，其首项为=-12a a 2126,6--⋅=-∴n n n a a则有-⨯=-⨯=-=-n a a a a a a a ,,26,26,62342312 ,2621--⨯=n n a).12(621)21(611-⋅=--=-∴--n n t n a a).12(33261-=-⨯=∴-n n n a而31=a 也适合上式，)12(3-=∴n n a 即为}{n a 的通项公式．[启示] 形如：已知q p q pa a a n rt ,(,11+=+为常数）均可用上述两种方法， 特别地，若1=p 时，}{n a 为等差数列；若,0=q 0=/p 时，}{n a 为等比数列．强化练习11．写数列 ,3,3,3,32311π--+--k h 的一个通项公式．[答案] 观察数列从首项起，各项的符号正、负相间，故通项公式中含有,)1(1+-n 各项的幂底数为3，指数为,1,12+ ,223,12--指数依次改写为 ,)12(,)12(21--即2221)12(,)12----（ ,)12(,)122423----，（故2)12(13)1(--+⋅-=n n n a2．(1)已知数列}{n a 的前n 项和,)1(1n s n n +-=求,n a (2)已知数列的前n 项和,23n n S +=求⋅n a[答案](1)当2≥n 时，--=-=+-n S s a n n n n .)1(11=--)1()1(n n ),21()1(n n--当1=n 时，==11s a ,11)1(2=⋅-上式中.1)21()1(11=-⨯-=a即当1=n 时，适合∴⋅≥--=)2)(21()1(n n a n n 数列}{n a 的通项公式为⋅-⋅-=)21()1(n a n n(2)当2≥n 时，;2)23(23111---=+-+=-=n n n n n n s s a 当1=n 时，,523111=+==s a 上式中,12111==-a 即1=n 不适合上式．∴ 通项公式⎩⎨⎧⋅≥==-)2(2),1(51n n a n n[启示] 已知n S 求,n a 即已知数列的前n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是⋅≥-=-)2(1n s s a n n n 这里常常因忽略了条件n ≥2而出错，即由1--=n n n S s a 求得的n 是从2开始的自然数，否则会出现当1=n 时，⋅=-01s S n 而与前n 项和的定义相矛盾．由此可见，此法求得的n a 不一定是它的通项公式，必须验证n=l 是否也成立，若不成立，通项公式只能用．分段函数⎩⎨⎧≥-==-)2(),1(11n s s n S a n nn表示．3．已知数列),2()1(1,1},{11≥-+==-n n n a a a a n n n 求数列}{n a 的通项公式.[答案] ),2)(111()1(111≥--+=-+=--n nn a n n a a n n nn n a a n n 1111--=-∴- ,21112-=-∴a a,312123-=-a a ……nn a a n n 1111--=-- +-++-+-=-∴--)()()(2123121n n n a a a a a a a a =--)(1n n a a +-+-3121211=--+nn 111 n11- n a n 12-=∴当1=n 时，11121=-=a 也适合上式． n a n 12-=∴4．(1)已知数列}{n a 中，,22,111+==+n nn a a a a 求通项公式,n a (2)数列}{n a 中，,132,111+==+n n a a a 求通项公式⋅n a [答案]⋅=+∴+=+++1.112)2(,22)1(n n n n n n n a a a a a a a ⋅-=+122n n n a a a 两边同除以,.21n n a a +得 ∴=-+.21111n n a a 数列⋅}1{n a 为等差数列，首项为,111=a 公差为+=∴⋅11121a a n ∴+=⨯-.2121)1(n n .12+=n a n ,132)2(1①=-+n n a a .)2(1321②≥=-∴-n a a n n ①②两式相减得，321=-+n n a a ),(1--n n a a 令,1n n n a a b -=+则}{321n n n b b b =-是以3213211121=-+=-=a a a a b 为首项，以32为公比的等比数列． ,)32()32(321n n n b =⨯=∴-即n n n a a )32(1=-+③，结合已知条件，①一③，得⨯-=33n a .)32(n [启示] 若数列}{n a 满足)0(.,11=/+==+c d a c a b a n n 的条件，求通项公式时，通常转化为}{A a n + 为等比数列，利用待定系数法确定A 的值，先求出A a n +的表达式，再求⋅n a专题2 数列求和数列的求和是数列的一个重要内容，是数列知识的综合体现，求和问题在高考试题中经常出现，它考查我们分析问题和解决问题的能力，可以利用数列的前n 项和求数列的某些元素，如q d n a a n ⋅,,,1等．应当注意任何一个数列的前n 项和都是从第一项一直加到第n 项，求数列前n 项和的常用方法有： (1)公式法，即对于等差数列或等比数列，直接应用其前n 项和公式；(2)对于非等差数列或等比数列，常利用错位相减、倒序求和、裂项求和等方法，将数列变得有规律，再加以求和． 1．公式法．[例1] 设数列}{n a 的通项为),(72+∈-=N n n a n 则=+++||||||1521a a a [解析] 由,0≥n a 得,27≥n 取.4≥n 则+++ ||||21a a +++++-=5432115)(||a a a a a a （ +++=+)531()15a =++++)23531( .15312)231(219=⨯++[答案】 153[启示] 要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号．去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键就是要看n a 的符号，又因为数列}{n a 是等差数列，所以只需确定0≥n a 或0≤n a 时n 的值，然后再分开求和．[例2] 已知等比数列}{n a 中，,321-⨯=n n a 求此数列的偶数项组成的新数列的前n 项和． [答案] 数列}{n a 的偶数项也是等比数列，设为},{n b 则数列的首项为,621==a b 公比为.932==q所以数列}{n b 的前n 项和为=--=--=91)91(61)1(1n n n q q b S ⋅-)19(43n2．倒序相加法．[例3] 设,244)(+=xx x f 求和+++= )222()221(.ωωf f S ⋅)20022001( [解析]：本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决．[答案] 因为,244)(+=xx x f 所以=+=---244)1(11x x x f ,2424244+=⋅+x x 所以.1)1()(=-+x f x f所以),2002120(.)20022()20021(0f f f s +++= ① ⋅⋅+++=)20021()20022000()20022001(f f f s ② ①+②得,2001)]20022001(.)20021([20012=+=f f S 所以 ⋅=22001S [例4] 求在区间),,](,[+∈>N b a a b b a 上分母是3的不可约的分数之和．[解析] 本题主要考查如何确定区间[a ，b]上的数哪些是符合条件的，然后寻找各数之间的关系，利用数列 问题求解．[答案] 解法一：（倒序相加法）因为 +-+++++++++=323353343323313b a a a a S ,313-b所以+++++++++= )35()34()32()31(a a a a S ),31()32(-+-b b 而又有++-⋅+-+-+-= )35()34()32()31(b b b b s ⋅+++)31()32(a a两式相加得⋅++++++=)()()(2b a b a b a S 其个数是以3为分母的所有分数个数减去可约分数个数． 即).(2)1(1)(3a b a b a b -=+--+- 所以),)((22b a a b S +-=所以.22a b S -= 解法二：区间[a ，b]上分母为3的所有分数是,313,33+a a ,1,323++a a ,,2,353,343 +++a a a ,33,323,1b b b --它是以33a 为首项．以31为公差的等差数列，项数为,133+-a b 其和=S ).)(133(21b a a b ++-其中，可约分数是,,,2,1,b a a a ++其和).)(1(21/b a a b S ++-=故不可约分数之和为-+-+<=-)133)[(21a b b a S S .)]1(22a b a b -=+-[启示] 当数列}{n a 满足=+-k n k a a 常数时，可用倒序相加法求数列}{n a 的前n 项和． 3．错项相减法．若在数列}{n n b a ⋅中，}{n a 成等差数列，}{n b 成等比数列，则可采用错项相减法求和． [例5] 求和).(3232N n na a a a n∈++++ [答案] 记,)1(32132n n n na a n a a a S +-++++=- 则 1132)1()2(2+-+-+-+++=n n n n na a n a n a a as 两式相减，得132)()1(+-++++=-n n n na a a a a S a 若,1=a 则;2)1(21+=+++=n n n s n 若,1=/a 则a na a a a S n n n ----=+1)1()1(12[例6] 求和.2)23(27242132nn n S ⨯-++⨯+⨯+⨯=[解析] 本题是由等差数列23-=n a n 及等比数列n n b 2=对应项的乘积构成的，故可以使用乘公比错位相减求和．[答案] 因为-++⨯+⨯+⨯=n s n (3[27242132,2)23(2]2)11n n n ⨯-+⨯-- ①⨯-+⨯--++⨯+⨯=)23(2]2)1(3[2421232n n S n n ,21+n ②所以①一②得1322)23(23232321+⨯--⨯++⨯+⨯+⨯=-n n n n s42)23()222(312-⨯--+++=+n n n 42)23()22(311-⨯---=++n n n4223623211-+⨯--⨯=+++n n n n.102)1(3212-⨯-+=++n n n所以.1022)1(321+-⨯-=++n n n n s4．裂项相消法， 所谓裂项相消，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项折成两项之差，以达到隔项相消之目的． 常用的裂项变形有;111)1(1)1(+-=+=n n n n a n);121121(21)12)(12(1)2(+--=+-=n n n n a n];)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3(++-+=++=n n n n n n n a n;!)!1(.)4(n n n n a n -+==)];1()1()2)(1([31)1()5(+--++=+=n n n n n n n n a n-+++<=++=)3)(2)(1[41)2)(1()6(n n n n n n n a n ⋅++-)]2)(1()1(n n n n[例7] (1)求数列,,431,321,211 +++,11++n n 的前n 项和,n s(2)求和1)1(1)1(14141313121222222222-+++++-++-++-+=n n S n [解析] 首先弄清n a 的特征． 在第(1)题中，=++=11n n a n ;1)1)(1(1n n n n n n nn -+=++-+-+在第(2)题中，=++=+++=-+++=)2(212221)1(1)1(2222n n nn n n n n a n ⋅+-+)211(1n n[答案] ,111)1(n n n n a n -+=++=-+++-+-+-=∴1)34()23()12(n S n （ .11)-+=n n=+++=-+++=nn n n n n a n 2221)1(1)1()2(2222 ),211(1)2(21+-+=++n n n n +-++-+=∴)]4121(1[)]311(1[n s +-+)]5131(1[)]6141(1[-++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++1[)11311n n （++--++--+)]1111(1[)]121(n n n n =+-+)]211(1[n n ⋅+-+-+211123n n n [启示] (I)分母有理化是一种常用的数学方法．(2)使用拆项法时，不妨多写出几项以便于找出变化规律． 5．分解求和法与并项求和法．[例8] (1)求和：++-+-= 221111211n s ;2221111.2+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅n n (2)求和：);12()1(11975311--++-+-+-=-n S n n (3)求和：.)12(5312222-++++n[解析] 通项公式是解决数列求和问题的关键，先求出通项公式，分析通项公式的特点，判断采用哪种求和方法．[答案] (1)因为)999(92)9999(912...22111122 个个个个n n n n n a ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅= )]110(2110[912-⨯--⋅=n n ),110(31)110(312-=-=n n 所以)110(31)110(31)110(312-++-+-=nn S←-+++=])101010[(312n nn n .31110)110(10.31---= ⋅--=+32710101n n(2)当)(2+∈=N k k n 时，)14()1(1197531122--++-+-+-=-k S k k)]14()34[()119()75()31(---++-+-+-=k k ;2k -=当)(12+∈-=N k k n 时，--++-+-+-=-)74[)119()75()31(12k s k （ )34()]54(-+-k k.12342...22)1-=-+-++-+-=-k k k个（）（）（）（ 综上：⋅∈-=++)()1(1N n n S n n (3)因为,144)12(22+-=-=n n n a n所以++-+++++=+21[4])1321[422221n S n （ ++⨯=+++++n n n n )(1(614)1)]1(3（ -+)32)(2n +++⨯)2)(1(214n n ⋅+++=+)384)(1(31)1(2n n n n[启示] (1)和(3)不能直接求和，但可以分解为特殊数列再求和；(2)注意正负相间可以将两项并在一起再求和． 强化练习21．(1)求和++++= 333333n s ;333个n (2)求数列)13(,,103,72,41+⋅⋅⋅n n 的前n 项和⋅n s [解析] (1)此数列的通项为),110(313...33-==nn n a个既不是等差数列也不是等比数列，但}10{n 却是一个等比数列，因此可转化为等比数列求和的问题．[答案] ⋅-==)110(31333n n a )110(31)110(31)110(312-++-+-=∴n n S3101)101(10313)101010(312n n n n---⨯=-+++= ⋅--=3)110(2710n n ,3)13()2(2n n n n +=+n n S n ++++⨯++⨯++⨯=∴22223333223113)321()321(32222n n +++++++++=。

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