定理与证明北师大版八年级数学上册作业本PPT精品课件
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7.2.2定理与证明课件北师大版八年级数学上册
此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关 系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如，如果 a = b，b = c，那么 a = c，这一性质也可以作为证明的依据， 称为“等量代换”. 又如，如果 a > b，b > c，那么 a > c，这一性质同 样可以作为证明的依据.
思考 公理与定理的区别是什么？
8.一村庄积极响应国家“燃气设备村村通”的政策号召，修建天然气管
道，在规划天然气管道路线时，尽量让户与户之间的管道走直线，节省修
建费用，这样做所依据的基本事实是 两点之间线段最短
.
9. 在证明过程中，不能用来作为推理依据的是( D )
A. 公理 C. 定义
B. 定理 D. 命题
10. 小明在证明“同角的余角相等”时，给出了如下推理过程：
1. 两点确定一条直线. 2. 两点之间线段最短. 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6. 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． 7. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 8. 三边对应相等的两个三角形全等．
第10题图
11.根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定 理. (1)在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C'，则 △ABC≌△A'B'C'； 解：依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等， 是定理； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 解：依据：等量代换，是公理； (3)三角形的任意两边之和大于第三边. 解：依据：两点之间线段最短，是公理.
八年级数学上册第7章平行线的证明5三角形内角和定理第2课时三角形的外角课件新版北师大版
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知识点3 三角形内角和定理推论2
7. 如图，点 D 为△ ABC 的边 BC 延长线上一点，关于∠ B 与
∠ ACD 的大小关系，下列选项正确的是(
A. ∠ B ＞∠ ACD
B. ∠ B ＝∠ ACD
C. ∠ B ＜∠ ACD
D. 无法确定
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内角和与内外角的关系得出结论.如图①，想要找到∠
BDC 与∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C 之间的关系，通过连接 AD
并延长到点 E ，得到△ ABD 和△ ADC ，进而得出∠
BDC ＝∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C 的结论.
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请你应用上述材料中的方法，探究图②中∠ A ＋∠ B ＋
∠ C ＋∠ D ＋∠ E 的度数.
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解：连接 AF 并延长至点 M .
因为∠ BAC ＝∠ BAM ＋∠ CAM ，∠BFM ＝∠B ＋∠BAM ，
∠ CFM ＝∠ C ＋∠ CAM ，
所以∠ BFC ＝∠ BFM ＋∠ CFM ＝∠ B ＋∠ BAM ＋∠CAM
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初中数学八年级上册(北师大版) 7.5.1三角形内角和定理证明课件
B
等式的性质
A
D
C
BAC
ADB 已知
角平分线
ADB
三角形内角和定理
已证
等式的性质
1.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度 数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A， ∠B，∠C的度数.
列方程解答
在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解 设∠B为x °则∠A为(3x)°，∠C为(x+ 15)°
∠1=∠B
∠2=∠C (两直线平行,内错角相等)
又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定义) ∴ ∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
问题：你还能用其他的推理 方法证明三角形内角和定理 吗？
A
D
A
旋转平移
B
CB
A
C
D
1 2
规范作图
B
C
自主学习，合作探究
1.添加辅助线的目的：
三角形 添加辅助线
420、:2千敏87淘而.1万好4.浪学20虽，20辛不20苦耻:2，下87吹问.1尽。4.黄。20沙72.10始42.0到2:02金2802。707.:12.1484.:23.2002720.102470..:2120482.220002:2008:22807:2.1842:3.020:0228002:208:2:380:3020:28:30
亲爱的读者： 2、仁千世者里上见之没仁行有，绝智始望者于的见足处智下境。，二只20〇有20二对年〇处7月年境1七绝4日月望星十的期四人二日。二20〇20二年〇7月年1七4日月星十期四二日2020年7月14日星期二 春亲去爱春的又读回者，：新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、为少成中年功华易都之学永崛老远起难不而成会读，言书一弃。寸，光放20阴弃:28不者7可永.14轻远.2。不02。会02成0功:28。7.14.202020:28270.1:248.2:300270.2104:.22802200:208:23807.14.202020:287.14.2020
等式的性质
A
D
C
BAC
ADB 已知
角平分线
ADB
三角形内角和定理
已证
等式的性质
1.在△ABC中，∠A的度数是∠B的度 数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A， ∠B，∠C的度数.
列方程解答
在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍， ∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解 设∠B为x °则∠A为(3x)°，∠C为(x+ 15)°
∠1=∠B
∠2=∠C (两直线平行,内错角相等)
又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定义) ∴ ∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
问题：你还能用其他的推理 方法证明三角形内角和定理 吗？
A
D
A
旋转平移
B
CB
A
C
D
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规范作图
B
C
自主学习，合作探究
1.添加辅助线的目的：
三角形 添加辅助线
420、:2千敏87淘而.1万好4.浪学20虽，20辛不20苦耻:2，下87吹问.1尽。4.黄。20沙72.10始42.0到2:02金2802。707.:12.1484.:23.2002720.102470..:2120482.220002:2008:22807:2.1842:3.020:0228002:208:2:380:3020:28:30
亲爱的读者： 2、仁千世者里上见之没仁行有，绝智始望者于的见足处智下境。，二只20〇有20二对年〇处7月年境1七绝4日月望星十的期四人二日。二20〇20二年〇7月年1七4日月星十期四二日2020年7月14日星期二 春亲去爱春的又读回者，：新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、为少成中年功华易都之学永崛老远起难不而成会读，言书一弃。寸，光放20阴弃:28不者7可永.14轻远.2。不02。会02成0功:28。7.14.202020:28270.1:248.2:300270.2104:.22802200:208:23807.14.202020:287.14.2020
北师版八年级数学上册作业课件(BS) 第一章 勾股定理 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的简单运用
10．直角三角形的一条直角边是另一条直角边的13 ，斜边长为 10，它的面积 为( B )
A．10 B．15 C．20 D．30
11．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正
方形．如图，直角三角形的两条直角边的长分别是 2 和 4，则中间小正方形的面积
占整个大正方形面积的( C )
解：100 m2
9．在四边形ABCD中，已知AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形的周 长为32.
(1)连接BD，求∠ADB的度数； (2)若BD＝8，求BC的长．
解：(1)如图，连接 BD，因为 AB＝AD＝8，∠A＝60°，所以∠ADB＝21 (180 °－∠A)＝60°
(2)因为∠BDC＝150°－60°＝90°，四边形的周长为 32，所以 DC＋BC＝32－ AB－AD＝16，设 BC＝x，在 Rt△BCD 中，由勾股定理可得 BC2＝CD2＋BD2，即 x2＝(16－x)2＋82，解得 x＝10，所以 BC＝10
17 ． 在 △ ABC 中 ， BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝ c ， 若 ∠ C ＝ 90° ， 如 图 ① ， 则 直 角 △ABC的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2＋b2＝c2.若△ABC不是直角三角 形，如图②，图③，请你类比直角三角形三边的这一关系式，猜想a2＋b2与c2的大小 关系，并证明你的猜想．
16．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大 正方形面积为49，小正方形面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)， 下列四个结论：①x2＋y2＝49；②x－y＝3；③2xy＋9＝49；④x＋y＝10，其中正确 的是( B )
A.①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
北师大版数学八年级上册全册复习ppt课件
北师大版八年级上册 期末总复习典型题
CONTEN
目T录
第一章 勾股定理 第二章 实数
第三章 位置与坐标 第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
第六章 数据分析 第七章 平行线的证明
第一章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么a2＋b2＝c2
各种表达形式：在 RБайду номын сангаас△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样
的点有____6____个．
图1－8 图1－9
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
3.已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
图1－19
15.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁 上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上 ，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下 底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这 个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？
CONTEN
目T录
第一章 勾股定理 第二章 实数
第三章 位置与坐标 第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
第六章 数据分析 第七章 平行线的证明
第一章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么a2＋b2＝c2
各种表达形式：在 RБайду номын сангаас△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样
的点有____6____个．
图1－8 图1－9
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
3.已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
图1－19
15.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁 上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上 ，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下 底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这 个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？
定理与证明北师大版八年级数学上册作业本精品课件PPT
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
解：（1）题设：两个角是对顶角；结论：这两个 角相等. 是真命题. （ห้องสมุดไป่ตู้）题设：两条直线相交；结论：这两条直线只 有一个交点.是真命题.
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章 平行线的证明
第3课 定理与证明
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
A
组
1. 在证明过程中，可以用来作为推理依据的是
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定义）. ∵在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴AB=AC（全等三角形对应边相等）.
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
（3）题设：如果两个数互为相反数；结论：这两 个数的商为1.是假命题；反例：a=3，b=-3，则=-1. （4）题设：一个数能被5整除，结论：这个数的个 位数字是0.是假命题；反例：如1 165能被5整除， 它的个位数字是5.
是假命题的反例:
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
解：（1）题设：两个角是对顶角；结论：这两个 角相等. 是真命题. （ห้องสมุดไป่ตู้）题设：两条直线相交；结论：这两条直线只 有一个交点.是真命题.
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章 平行线的证明
第3课 定理与证明
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
A
组
1. 在证明过程中，可以用来作为推理依据的是
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定义）. ∵在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴AB=AC（全等三角形对应边相等）.
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
（3）题设：如果两个数互为相反数；结论：这两 个数的商为1.是假命题；反例：a=3，b=-3，则=-1. （4）题设：一个数能被5整除，结论：这个数的个 位数字是0.是假命题；反例：如1 165能被5整除， 它的个位数字是5.
是假命题的反例:
318.45.北师大版八年级数学上册7.2 第2课时 定理与证明(课件)
香 。 雪 入 窗 ， 今
苍 茫 ， 罂 粟 纷 纷
不 若 笑 醉 一 回 。
一 杯 ？ 前 尘 旧 梦
繁 华 ， 怎 敌 我 浊
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
开离留去不念倾一为夜 古
始，不别成，了丝何静 去，终下离双道天纠泪谧 ；陌是相相，是涯缠悄，
路缠思思抹相的，落佳
韵 风 味
梦明
国 落 月
花， 间 。
…… …… ……
余
飞
恰惆壶红拾夜飘忆，酒世
生 茫 茫 。
只 叹 伊 人 已 去 ，
雪 ， 茫 然 又 一 岁
举 杯 独 醉 ， 饮 罢
如 流 年 负 了 青 春
怅 泪 溶 了 雪 ，
月 光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮 一
弹 指 雪 花 ？ 谁 痴
无 月 亦 无 殇 。 谁
想一想：说明一个命题是假命题，通常举出一个例子就可以了， 使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。 如何证实一个命题是真命题呢？
读一读
在数学发展史上，数学家们也遇到过类 似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了 大量知识，在此基础上，古希腊数学家 欧几里得（公元前300前后）编写了一本书， 书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在 编写这本 书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真 命题作为证实其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名， 公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通 过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称 为定理，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明 的这个定理的前面。《原本》问世之前，世界上还没有一本数学 书籍像《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意 义的著作。
新版北师大版八年级数学上册全册课件共570张PPT
二、新课讲解
二、新课讲解
例 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中
∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺
寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
图1
图2
解：∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角. ∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2, ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此,这个零件符合要求.
一、新课引入
观察右边两图并填写下表(每个小正方形的面积为 单位1)
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图
9
9
右图
4
4
怎样计算正
方形C 的面积
呢？
一、新课引入
分析表中数据，你发现了什么？ A的面积 B的面积 C的面积
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
16
9
25
1
9
10
以直角三角形两直角边为边长的 小正方形的面积的和，等于以斜边为 边长的正方形的面积.
9,12,15
12,16,20
30,40,50
5,12,13
10,24,26
15,36,39
20,48,52
50,120,130
8,15,17 7,24,25
16,30,34 14,48,50
24,45,51 21,72,75
32,60,68 28,96,100
80,150,170 70,240,250
四、强化训练 5、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝15，S△ABC＝120
北师版八年级数学上册课件 第七章 平行线的证明 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理的证明
三、解答题(共36分) 14．(10分)如图，△ABC中，∠ABC＝40°，∠C＝60°，AD⊥BC于点 D，AE是∠BAC的平分线．求∠AED的度数．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，∴∠BAD＝50°，∠CAD＝ 30°.∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝50°＋30°＝80°. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝40°.∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE ＝50°－40°＝10°.∴∠AED＝90°－∠DAE＝80°
7．(4分)(天门中考)如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB∶∠BDC＝ 1∶2，则∠DBC的度数是__5_0_°_．
8．(8分)如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F， ∠A＝57°，∠ACD＝35°，∠ABE＝19°，求∠BFD的度数．
解：∵∠A＝57°，∠ACD＝35°，∴∠ADC＝180°－∠A－∠ACD＝ 180°－57°－35°＝88°.∴∠BDC＝180°－∠ADC＝180°－88°＝ 92°.
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．(3分)已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B＋∠C＝ 2∠A，则此三角形( B )
A．有一个内角为45° B．有一个内角为60° C．是直角三角形 D．是钝角三角形
4．(3分)如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC，若 ∠A＝70°，∠AED＝60°，则∠B的大小为( A)
∵∠ABE＝19°，∴∠BFD＝180°－∠BDC－∠ABE＝180°－92°－ 19°＝69°
9．(9分)(教材P185复习题T6变式)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过 点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A＝54°，∠B＝48°，求∠CDE的度数．
八年级数学上册1《勾股定理的应用》课件 2022年北师大版八上数学PPT+
9．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，
但他把这三个数据与其他的数据弄混了，请你帮助他找出来为( C )
A．13，12，12
B．12，12，8
C．13，10，12
D．5，8，4
10．如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以
长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，
思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分 线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).
第一章 三角形的证明 复习
回顾 思考1
“原名〞 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.
推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推 论可以当作定理使用.
第8题图
第9题图
15．(8分)在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20 m的池塘，而另一只爬向树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距 离相等，问这棵树有多高？ 解：如图，点B为树顶，D处有两只猴子，那么AD＝10 m，C为池塘， 那么AC＝20 m．设BD的长为x m，那么树的高度为(10＋x) m．因为 AC＋AD＝BD＋BC，所以BC＝20＋10－x＝(30－x)m.在△ACB中， ∠A＝90°，所以AC2＋AB2＝BC2.即202＋(10＋x)2＝(30－x)2，解得 x＝5，所以x＋10＝5＋10＝15，即这棵树高为15 m
结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶 角的一半.
结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高.
北师大版八年级数学上册 (探索勾股定理)勾股定理教育教学课件
“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
C
4
B
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
常用数据： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361
15 cm 17 cm
64.cm²
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2 b2 c2
B
几何语言：
c
a
∵在Rt △ABC,∠C=90°
C
b
A
∴a2+b2=c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画 直角三角形三边平方的关系.
趣味小常识
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ，
在中国古代，
斜边称为 弦 .
人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分 勾
弦
称为“勾”，下半
部分称为“股”.
（在西方称为毕达
股
勾2 + 股2 = 弦2
哥拉斯定理）
a2 b2 c2
四、探究活动
观察图片，分别求出正方形A，B，C的面积。
2. 思考：任意一个的直角三角形都满足你 所猜测的规律吗？用网格纸中画的直角三角 形尝试证明一下吧？
语言表述： 几何表示：
勾股定理 P3
A c
b
C
a
B
赵爽弦图
2002年国际数学家大会会标
1. 从这个会标中你能证明你的猜想吗？如何证明？ 你的思路是什么？ 2. 给四个完全一样的直角三角线，你能否把它们 拼成正方形？能同样推导出勾股定理吗？
八年级数学上册 第13章 全等三角形 13.1 命题、定理与证明 2 定理与证明导学课件
第十一页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
【归纳总结(zǒngjié)】证明文字叙述的真命题的一般步骤： (1)分清条件和结论；(2)画出图形；(3)根据条件写出已知，根据结论写出
求证；(4)证明.
第十二页，共十七页。
13.1 命题、定理与证明
总结(zǒngjié)反思
小结(xiǎojié)
图 13－1－1
第九页，共十七页。
13.1 命题、定理(dìnglǐ)与证明
解：可以判定(pàndìng)AB∥CD.理由： ∵ ∠1＋∠2＝80°＋100°＝180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【归纳总结】证明(zhèngmíng)几何命题的依据： 已知条件、定义、基本事实、定理等．
正确性需要进行证明；如果要说明它是假命题，只要举一个反例就可以 了．
第八页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
目标三 会进行(jìnxíng)简单的推理证明
例 3 教材补充例题如图 13－1－1，直线 AB，CD 被直线 EF 所截， 若∠1＝80°，∠2＝100°. 由此你可以判定 AB 和 CD 平行吗？为什 么？ [全品导学号：90702083]
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
第13章 全等三角形。13.1 命题、定理与证明。2．经过观察(guānchá)、讨论、发现，理解由特殊事例得到的结论不一 定正确．。于是小华猜想：不论a，b为何值，总有a2＋b2＞2ab.。理由：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，。【归纳总结】由特 殊事例递推猜想所得到的命题不一定是真命题，其正确性需要进行证明。解：可以判定AB∥CD.理由：。已知条件、定义、 基本事实、定理等．。【归纳总结】证明文字叙述的真命题的一般步骤：
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
【归纳总结(zǒngjié)】证明文字叙述的真命题的一般步骤： (1)分清条件和结论；(2)画出图形；(3)根据条件写出已知，根据结论写出
求证；(4)证明.
第十二页，共十七页。
13.1 命题、定理与证明
总结(zǒngjié)反思
小结(xiǎojié)
图 13－1－1
第九页，共十七页。
13.1 命题、定理(dìnglǐ)与证明
解：可以判定(pàndìng)AB∥CD.理由： ∵ ∠1＋∠2＝80°＋100°＝180°， ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
【归纳总结】证明(zhèngmíng)几何命题的依据： 已知条件、定义、基本事实、定理等．
正确性需要进行证明；如果要说明它是假命题，只要举一个反例就可以 了．
第八页，共十七页。
13.1 命题(mìng tí)、定理与证明
目标三 会进行(jìnxíng)简单的推理证明
例 3 教材补充例题如图 13－1－1，直线 AB，CD 被直线 EF 所截， 若∠1＝80°，∠2＝100°. 由此你可以判定 AB 和 CD 平行吗？为什 么？ [全品导学号：90702083]
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
第13章 全等三角形。13.1 命题、定理与证明。2．经过观察(guānchá)、讨论、发现，理解由特殊事例得到的结论不一 定正确．。于是小华猜想：不论a，b为何值，总有a2＋b2＞2ab.。理由：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，。【归纳总结】由特 殊事例递推猜想所得到的命题不一定是真命题，其正确性需要进行证明。解：可以判定AB∥CD.理由：。已知条件、定义、 基本事实、定理等．。【归纳总结】证明文字叙述的真命题的一般步骤：
北师大版八年级上册数学全册课件
北师大版八年级上册 数学全册课件
汇报人： 202X-01-01
contents
目录
• 第一章 勾股定理 • 第二章 实数 • 第三章 分式 • 第四章 平行四边形 • 第五章 一次函数
01
第一章 勾股定理
勾股定理的证明
毕达哥拉斯学派
勾股定理最早由古希腊的毕达哥 拉斯学派证明，他们通过观察直 角三角形的三边关系，发现了勾
平方根与算术平方根的区别
平方根包括正负两个解，而算术平方根只取非负 的那个解。
无理数与实数
01
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数之比的数，常见的无理数有无限不循环小
数和无法精确表示的数（如圆的周长与直径之比π）。
02 03
无理数的性质
无理数具有稠密性和连续性，即任意两个无理数之间都存在其他无理数 。此外，无理数在实数集中占据了“无处不在”的位置，即任意两个不 同的无理数之间都存在其他无理数。
一次函数的性质
一次函数图像的斜率为k，截距为b。 当k>0时，函数为增函数；当k<0时 ，函数为减函数。
一次函数的应用
一次函数在生活中的应用
一次函数可以用于描述生活中的许多问题，如速度与时间的 关系、成本与数量的关系等。
一次函数在实际问题中的应用
通过建立数学模型，将实际问题转化为一次函数问题，可以 方便地解决许多实际问题，如最优解问题、预测问题等。
勾股定理和其逆定理是密切相关的， 它们是互为逆命题的两个命题，具有 等价性。
逆定理的应用
勾股定理的逆定理在判断三角形是否 为直角三角形时非常有用，可以通过 检查三边的平方关系来确定。
02
第二章 实数
实数的定义与性质
实数的定义
汇报人： 202X-01-01
contents
目录
• 第一章 勾股定理 • 第二章 实数 • 第三章 分式 • 第四章 平行四边形 • 第五章 一次函数
01
第一章 勾股定理
勾股定理的证明
毕达哥拉斯学派
勾股定理最早由古希腊的毕达哥 拉斯学派证明，他们通过观察直 角三角形的三边关系，发现了勾
平方根与算术平方根的区别
平方根包括正负两个解，而算术平方根只取非负 的那个解。
无理数与实数
01
无理数的定义
无理数是不能表示为两个整数之比的数，常见的无理数有无限不循环小
数和无法精确表示的数（如圆的周长与直径之比π）。
02 03
无理数的性质
无理数具有稠密性和连续性，即任意两个无理数之间都存在其他无理数 。此外，无理数在实数集中占据了“无处不在”的位置，即任意两个不 同的无理数之间都存在其他无理数。
一次函数的性质
一次函数图像的斜率为k，截距为b。 当k>0时，函数为增函数；当k<0时 ，函数为减函数。
一次函数的应用
一次函数在生活中的应用
一次函数可以用于描述生活中的许多问题，如速度与时间的 关系、成本与数量的关系等。
一次函数在实际问题中的应用
通过建立数学模型，将实际问题转化为一次函数问题，可以 方便地解决许多实际问题，如最优解问题、预测问题等。
勾股定理和其逆定理是密切相关的， 它们是互为逆命题的两个命题，具有 等价性。
逆定理的应用
勾股定理的逆定理在判断三角形是否 为直角三角形时非常有用，可以通过 检查三边的平方关系来确定。
02
第二章 实数
实数的定义与性质
实数的定义
北师大版八年级数学上册《平行线的性质》平行线的证明PPT课件
例1：如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD，
AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？
A
D
解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D.
理由：∵AB∥CD （已知 ）
B
C
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知）
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
C
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠B=∠D（已知）
∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质）
∴∠2=∠3
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
平行线的判定与性质
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是
什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
线的关系
判定
角的关系
平行线的判定 两直线平行
平行线的性质
所以∠BDF=∠EDF.
课堂小结
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
判定 性质
得到 两直线平行
已知
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直
线a，b被直线c截出的同旁内角. a
求证： ∠1+∠2=180°.
b
证明：∵a∥b (已知)
c
3 1
2
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠3 =180°(平角等于180°)
∴∠1+∠2=180 °(等量代换) .
定理：如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行.
两直线平行,同旁内角互补.
a
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
b
北师大版八年级数学上册《一定是直角三角形吗》勾股定理PPT教学课件
10.已知两条线段的长为 3 cm 和 4 cm,当第三条线段的长为 5 cm
或 7 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.
第六页，共十一页。
11.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为
直角三角形的点C有 4 个.
12.已知△ABC 中,BC=m-n( m>n>0 ),AC=2 ,AB=m+n,
所以∠B=∠C=35°,所以∠BAC=180°-35°-35°=110°.
因为∠BAD=73°,所以∠DAE=110°-73°=37°.
因为DE=3,AD=4,AE=5,
所以DE2+AD2=32+42=25,AE2=52=25,
所以DE2+AD2=AE2,
( 1 )请你通过画图探究并判断:当△ABC的三边长分别为6,8,9时,△ABC为 锐角 三角形;当△ABC的三边长
分别为6,8,11时,△ABC为 钝角 三角形.
( 2 )小明同学根据上述探究,有下面的猜想:“当a2+b2>c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2<c2时,△ABC
为钝角三角形.”请你根据小明的猜想回答下面的问题:
北师大版八年级数学上册《一定是直角三角形吗》勾股定理PPT教学课件
科
目：数学
适用版本：北师大版
适用范围：【教师教学】
第一章 勾股定理
一定是直角三角形吗
第一页，共十一页。
知识点1 直角三角形的判定
1.如图所示,小明家里刚铺了正方形地砖,他把其中的三个顶点A,B,C,连成了三角形,则这个三角形是( A )
当a=3,b=4时,最长边c在什么范围内取值时,△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形?
或 7 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.
第六页，共十一页。
11.如图,在2×2的正方形网格中有9个格点,已经取定点A和B,在余下的7个点中任取一点C,使△ABC为
直角三角形的点C有 4 个.
12.已知△ABC 中,BC=m-n( m>n>0 ),AC=2 ,AB=m+n,
所以∠B=∠C=35°,所以∠BAC=180°-35°-35°=110°.
因为∠BAD=73°,所以∠DAE=110°-73°=37°.
因为DE=3,AD=4,AE=5,
所以DE2+AD2=32+42=25,AE2=52=25,
所以DE2+AD2=AE2,
( 1 )请你通过画图探究并判断:当△ABC的三边长分别为6,8,9时,△ABC为 锐角 三角形;当△ABC的三边长
分别为6,8,11时,△ABC为 钝角 三角形.
( 2 )小明同学根据上述探究,有下面的猜想:“当a2+b2>c2时,△ABC为锐角三角形;当a2+b2<c2时,△ABC
为钝角三角形.”请你根据小明的猜想回答下面的问题:
北师大版八年级数学上册《一定是直角三角形吗》勾股定理PPT教学课件
科
目：数学
适用版本：北师大版
适用范围：【教师教学】
第一章 勾股定理
一定是直角三角形吗
第一页，共十一页。
知识点1 直角三角形的判定
1.如图所示,小明家里刚铺了正方形地砖,他把其中的三个顶点A,B,C,连成了三角形,则这个三角形是( A )
当a=3,b=4时,最长边c在什么范围内取值时,△ABC是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形?
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是假命题的反例:
a=-2，b=-1
.
B
组
5. 对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个 论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b;④a∥c；⑤a⊥c，以 其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认 为正确的命题： ①② 推出 ④ （用序号写 出一个即可）.
6. 下列命题的题设是什么？结论是什么？并判断它们 的真假，是假命题的举出一个反例. （1）对顶角相等； （2）两条直线相交，只有一个交点； （3）互为相反数的两个数的商等于1； （4）能被5整除的数的个位数字是0.
3. 给出下列4个命题：
①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全
等；
②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
③两边及一角对应相等的两个三角形全等；
④有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形Leabharlann 等.其中正确的个数有（ B ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4. 写出一个能说明命题：“若a2>b2，则a>b”
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
C
组
7. 写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程. 命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简称：“等角对等边”）.
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
（3）题设：如果两个数互为相反数；结论：这两 个数的商为1.是假命题；反例：a=3，b=-3，则=-1. （4）题设：一个数能被5整除，结论：这个数的个 位数字是0.是假命题；反例：如1 165能被5整除， 它的个位数字是5.
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
解：（1）题设：两个角是对顶角；结论：这两个 角相等. 是真命题. （2）题设：两条直线相交；结论：这两条直线只 有一个交点.是真命题.
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
第七章第3课 定理与证明-2020秋北师大版八年级数 学上册 作业本 课件
∴∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定义）. ∵在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴AB=AC（全等三角形对应边相等）.
第七章 平行线的证明
第3课 定理与证明
A
组
1. 在证明过程中，可以用来作为推理依据的是
（ B）
A. 公理，定义
B. 定理，定义，公理
C. 公理
D. 定理，公理
2. 下列命题是假命题的有（ C ） A. 锐角小于90° B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 若a>b，则a2>b2 D. 若a2 ≠b2，则a≠b