浙江大学博士学位论文答辩会

浙江大学博士学位论文答辩会

答辩人：高欣

指导教师：汪元美教授

浙江大学生物医学工程与仪器科学学院

新型迭代图像重建算法的理论研究与实现The theoretical study and realization of new iterative image reconstruction algorithms

作者：高欣

指导教师：汪元美教授

研究背景

➢由于各种物理条件的限制，CT在获得实际测量

投影数据的过程中，会产生各种不同的误差，

而可靠有效的数据是任何重建算法的基础。

➢在许多工程领域中，由于受客观条件的限制，

经常会遇到不完全数据重建问题（少量投影数

据或投影数据不是均匀分布在180/360度范围）；➢迭代重建算法对于含噪声的不完全投影数据的

图像重建是一种比较有效的算法。

研究目标

➢针对少数、扇形投影数据，采用迭代算法进行重建；

➢为了提高成像的精度和分辨率，一般采用正则化方法或者增加迭代次数；

➢由于投影矩阵的维数很高，必然延长重建时间，保证重建图像的精度和分辨率的同时，提高重建速度，是迭代重建法必须考虑的重要因素。

内容概要

➢图像重建系统中的数学变换及变换法成像➢迭代重建法

➢一种约束最小二乘估计的图像重建算法➢向量优化为基础的图像重建

➢模糊向量优化图像重建

➢总结与展望

图像重建的分类

图像重建算法大体分两类：一类是对Radon变换进行反变换求解，又称为空间变换重建法；另一类是将区域离散化并采用一系列迭代优化过程求解，也称为迭代重建法。

图像重建系统中的数学变换

及变换法成像

()()()()p ,f ,f(,)cos sin D

t R t x y t x y dxdy θδθθ=Θ=-+⎰⎰图像重建中Radon 变换的具体形式 Radon 变换在图像重建中的具体形式表现为截面函数沿着直线的线积分等于其Radon 变换，而图像重建过程即是将截面函数沿许多不同角度下直线的线积分所产生的投影数据进行逆Radon 变换从而得到截面函数。 二维图像重建文献中常见的Radon 变换形式为

非衍射源的重建算法

变换成像法核心内容是傅里叶切片定理——将投影数据与物体截面的二维傅里叶变换关联起来。

傅里叶切片定理的含义是：平行投影的一维傅里叶变换等同于原始物体的二维傅里叶变换的一个切片。

变换法重建过程实际上就是逆Radon 变换过程，分三步：⑴投影的傅里叶变换由频域响应为的一维滤波器滤波；⑵滤波后的结果进行傅里叶逆变换；⑶最后进行反投影得到重建的图像。滤波运算可以在空域或者频域进行，这便导致了重建算法的不同。 滤波反投影法(FBP)和卷积反投影法(CBP)。w 变换重建法

迭代重建算法

该方法的主导思想是，假设断层截面由一个

未知的矩阵组成，然后由测量投影数据建立

一组未知向量的代数方程式，通过方程组求

解未知图像向量。

此方法虽然比变换重建法易于理解，但对于

图像要求较高的应用来说，这一方法缺少精

度和速度。然而在不可能获取大量投影数据

或者投影不均匀分布于180或360之间情况下，迭代法是一个非常有效的方法。

迭代重建的数学模型

设为被重建的图像向量.设

为M*N 维投影矩阵，其中(i,j)元素a ij 为加权因子，表示第个j 像素对第i 根射线线积分的贡献，亦即第i 根射线与第j 个像素相交的面积，则投影重建图像问题为如下方程描述：式中为已知个M 投影数据。

()T

12,,,N x x x =x ij a ⎡⎤=⎣⎦A 11,2,,N ij j i j a

x y i M

===∑,1,2,,i y i M =

Kaczmarz 交替投影法

求解思想：先从一个初始图像

开始，把这一初始向量投影到第一个等式所表示的超平面，把投影点再投到第二个等式所表示的超平面上，然后将所得到的投影点再投到下一个等式所表示的超平面上，依此类推。若方程组唯一解存在，迭代终究会收敛到那一点。

0x 1

1i i i i i i i i y ---=-⋅A x x x A A A

代数重建法(ART )

如今通常所谓的ART 是指kaczmarz 算法。其基本步骤为：

⑴设定任一初始图像向量，一般情况取0；⑵迭代步骤：（上式），射线号循环选择。

为了减小噪声的影响，引进松驰系数()mod 1i i M =+1i

a <11i i i i i i i i i

y α---=-⋅A x x x A A A

联立迭代重建法(SIRT )

对于投影方程组还可以采用数值计算中的Jacobi 迭代法来求解，其特点为采用的是并行迭代，即仅当所有投影数据都计算完以后，才对图像值进行更新。其迭代步骤

111i M i i i i i

i i i y --=-=+⋅∑A x x x A A A

单目标优化为基础的成像理论

图像重建是由投影数据以及投影矩阵求重建图像，此过程实际上是一个逆问题。如果选取适当的优化准则，则可以适当克服图像重建的非唯一性问题，即离散问题具有局部唯一的“最优解”。这种重建方法的数学基础是单目标优化理论。

常用的目标函数是最小二乘函数。

()2

x Ax y

=-

min f||||

最速下降法(SG)

最速下降法的思想源于：函数沿梯度方向具有最大变化率[Fletcher1981]，即函数沿梯度方向增加得最快，亦即沿负梯度方向下降得最快。

基本迭代形式：

其中

1

k k k k

λ

+=+

x x p

()

f

k k

=-∇

p x