1.2 事件间的关系与运算

1. 2事件间的关系与运算
Relation and operation of events 一、事件间的关系与运算※
二、事件间的运算规律
知识点与基本要求：


理解事件间的包含、互不相容、对立关系，事件 之和、事件之积、事件之差运算； 理解事件间的运算规律，特别是对偶律的意义； 掌握事件间关系及运算，会将一些较复杂的事件 用简单事件的运算来表示。
事件间的关系
1. 包含关系 若事件A发生, 则B必然发生, 则称事件B包含事件A,记作 A B A B A的样本点都是B的样本点 S
对于任何事件A，都有 2.相等关系
A S
若事件A 包含事件B,且事件B 包含事件A, 则称事件A 与事件B 相等,记作A=B. A与B含有相同的样本点
例1：判别下列事件间的关系
习题2：以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” 则A的对立事件表示( ) (A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B)“甲、乙两种产品均畅销”； (C)“甲种产品滞销”； (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
习题3： 从一批产品中抽出4件产品进行抽样调查，Ai表示 取出的第i件产品为正品，i=1,2,3,4，试用Ai的运算 表示下列事件 (1)没有一个是次品; (2)至少有一个是次品; (3)只有一个是次品;
S
A A B A B
e
AU B AB A B A
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪 些事件，更重要的是想知道事件出现的可 能性大小，也就是事件的概率。
问题: 如何求解随机事件的概率呢?是否有 什么规律呢？下面几节就来回答这个问题.
1.2节内容回顾
一、事件间的关系与运算

事件间的关系： 包含、相等、互不相容 事件间的运算： 和、积、差、逆
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
E2(不放回抽样)：取一个，不放回接着再取一个。
{(i1 , i2 )
E3:一次性取出两个球(同时取出2个球)。
{(i j ) 1 i j 6}
(2) A A
A
A S
(3) AB =A-B=A-AB (4)若A ⊂B， 则A ⊃B
思考题：事件间互斥与事件间对立是一回事吗？
A、B 互斥 A、B 对立
A
B
AB
S
A
B A S
A U B S , AB
对 立
互
斥
A∪B，AB，A-B为E中的复杂事件，如何用简单事件 表示复杂事件，通过一些实例来解释。
S
A A B A B
e
AU B AB A B A
习题1：设A,B,C 表示三个随机事件, 试用A,B,C的运算表示下列事件 (1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
教学重点：事件间的关系与运算； 教学难点：复杂的事件用简单事件的运算表示。
一、事件间的关系与运算
设试验E的样本空间为S，A,B,..,Ak,为E中的事件
问题1：幼稚园根据小朋友个人爱好开设了钢琴、美术、 演讲、武术课程，事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B 表 示“虫虫喜欢画画”, A∪B,A∩B由哪些样本点组成， 表 问题 2：从一批产品中抽取2件零件，A1表示第一个零 示意义？ 件是正品，A2表示第二个零件是正品，是否可以用A1, A2表示下列事件呢？ (1)均为正品；(2)恰有1个零件是次品； (3)只有第二个零件是次品；(4)至少2个零件是次品。
概率论与集合论之间的对应关系
记号 概率论
必然事件 不可能事件 基本事件 随机事件A 事件A包含于事件B A与B相等 事件A与事件B的和 事件A与事件B的积 事件A与事件B的差 事件A的逆事件
集合论
全集 空集 元素e 集合A A是B的子集 A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的补集
A B A B 表示A，B不都发生
或A,B不同时发生
例3：从一批产品中抽取2件零件，A1表示第一 个零件是正品，A2表示第二个零件是正品，试 用A1，A2表示下列事件： (1)均为正品；(2)恰有一个零件是次品；(3)只有 第2个零件是次品；(4)至少一个零件是次品。
练习：向指定目标射三枪，观察射中目标的情 况，事件Ai表示某射手第i次击中目标(i=1,2,3) 试用Ai表示以下各事件：(1)只击中第一枪;(2) 只击中一枪;(3)三枪都没击中;(4)至少击中一枪。
(1) AB C; ( 2) ABC;
( 3) ABC ;
(4) A U B U C;
( 5) A B C ;
(6)不多于一个事件出现; (7)不多于两个事件出现; (8)三个事件至少有两个出现;
(9)A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰好有两个出现.
(6) ABC U ABC U ABC U ABC;
例2：将一枚硬币抛掷二次，观察正面H,反面T 出现的情况，A=“第一次出现正面”,B=“两次出 现同一面“，求：(1)AB, A U B, AB, AB U AB, AB 包含哪些样本点；(2)上述事件表示的意义。
A
二、事件间的运算规律
设A,B,C为随机事件，则有 (1)交换律 AUB=BUA,A∩B=B∩A (2)结合律 (AUB)UC=AU(BUC) (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (3)分配律 (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C) (A∩B)UC=(AUC)∩(BUC) (4)对偶律※ A B A B 表示A，B都不发生。
讨论题：
①社会经济现象是否只分成确定性现象和随机现象？试举出 不属于这两类现象的社会经济现象。“某天的天气状况”是 否属于这两类现象？ ②同时掷两枚骰子，观察其点数，试写出该试验的样本空间 与随机事件，A表示“点数之和等于10”；B表示“点数之和 大于8”；C表示“点数之差小于2”。 ③袋中共5个球，3个白色，2个红色，以三种不同的方式取2 个球，试写出下列试验的样本空间： E1：放回抽样：取1个，看后放回，再取1个。 E2：不放回抽样：取1个，看后不放回接着再取1个。 E3：同时取出2个球。
二、事件间的运算规律

交换律、结合律、分配律 对偶律※ A U B AB 表示A,B都不发生
AB A U B
表示A,B不都发生或A,B不同时 发生或A,B至少一个不发生
作业：P9：1，4。 练习：P10：2，3。 讨论题：
①事件A表示3个人对某问题的回答中至少有1人说 “否”，B表示3个人对某问题的回答都说“是”。 试问：事件A∪B、A∩B各表示什么涵义？ ②事件与集合的对应关系是怎样的？ ③对立事件和不相容事件有何区别？
S A 表示A不发生
对立 “不出现1点” eg.1 掷一枚骰子，“出现1点” 对 “至多于4人” eg.2 在某客运站等车试验中, “至少5人” 立
事件间的运算
4.逆事件(Opposite events)
逆事件的有关性质 设S为E的样本空间，A为任意事件，则 (1) AA , A∪A S
(8) ABC U ABC U ABC U ABC;
7ABC
(9)(A U B) C;
(10) ABC U ABC U ABC.
练习1：以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报 和体育报。试用A,B,C的运算表示以下事件： (1)只订阅日报； (2)只订日报和晚报； (3)只订一种报； (4)正好订两种报； (5)至少订阅一种报； (6)不订阅任何报； (7)至多订阅一种报； (8)三种报纸都订阅； (9)三种报纸不全订阅。
B
B
S
A B A
S
A-B由属于A的样本点但不属于B的样本点组成。
A-B表示“A发生但B不发生”。 eg 事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜 欢画画”， A-B，B-A表示意义？
事件间的关系
互不相容(互斥)事件(Incompatible events) 若 AB . 则称事件A与B互不相容(互斥) 。 即若事件A与B互不相容(互斥) 。 A B A与B没有相同的样本点 S A,B互不相容表示A,B不能同时发生
本节小结
事件间的关系：包含、相等、互不相容 事件间的运算：和、积、差、逆
教学重点：事件间的关系与运算 教学难点：复杂的事件用简单事件的运算表示
作业
练习

P9：1，4。

P10：2，3。
讨论题
①事件A表示3个人对某问题的回答中至少有1人 说“否”，B表示3个人对某问题的回答都说“是” 试问：事件A∪B、A∩B各表示什么涵义？ ②事件与集合的对应关系是怎样的？ ③对立事件和不相容事件有何区别？
B
AU B
S A∪B由A或B中的样本点组成 A A∪B表示“A发生或B发生” A∪B表示“A,B至少有一个发生”
eg 事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜 欢画画”， A∪B表示意义？
事件间的运算
2. 事件的积 (交)
事件A与事件B同时发生的事件， 称为事件A与B的积，记作A∩B或AB A AB
eg 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 .
“骰子出现1点” 互不
相容
“骰子出现2点”
基本事件是两两互不相容的
事件间的运算
4.逆事件(Opposite events) 若A∪B=S，A∩B= 则称事件 A与B互为对立事件，
称事件B为A的对立事件或逆事件,记作 B A A
A.
A 由所有不属于A的样本点组成
B
S A∩B由A且B中的样本点组成 A∩B表示“A发生且B发生”。
A∩B表示“A,B同时发生”。
eg 事件A表示“虫虫喜欢弹钢琴”，B表示“虫虫喜 欢画画”， A∩B表示意义？
事件间的运算
3. 事件的差
事件A发生但事件B不发生， 称该事件为 A 与 B 的差. 记作A- B. B A B A
A B A
(8) ABC ABC ABC ABC; (9) ( A B) C; (10) ABC ABC ABC .
A U B AB A B AU B A B AU B A
习题2：
以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” 则A的对立事件表示( ) (A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B)“甲、乙两种产品均畅销”； (C)“甲种产品滞销”； (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
概率论与集合论之间的对应关系
记号 概率论
必然事件 不可能事件 基本事件 随机事件A 事件A包含于事件B A与B相等 事件A与事件B的和 事件A与事件B的积 事件A与事件B的差 事件A的逆事件
集合论
全集 空集 元素e 集合A A是B的子集 A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的补集
1、观察天气状况，A表示 “明天晴天”，B表示 “明天 无雨” 2、将一枚硬币抛两次，A表示“第一次是正面”， B表示“至少有一次正面”。 3、公共汽车站某日某时间段内等车人数， A表示“至少有10人候车”，B表示“至少有5人候 车”
A B
事件间的运算
1.事件的和(并)
事件A与事件B中至少有一个发生的事件, 称为事件A与B的和，记作A∪B或A+B
1.1节内容回顾


E的所有可能基本结果组成的集合,记作S。 样本空间：
随机事件： E的某些基本结果组成的集合，记作A,B等，
Baidu Nhomakorabea
随机事件是样本空间S的子集。

E的结果中A的某个样本点出现。 事件A发生：
练习题：袋中装有6个球，4白(1,2,3,4)，2红 (5,6)，试写出下列试验的样本空间。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
( 4) A B C ;
( 5) A B C ; (6) ABC ABC ABC ABC;
(7) ABC ABC ABC ABC ABC 或 ABC; ABC ABC ,
(8) 三个事件至少有两个出现; (9) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (10) A, B, C 中恰有两个出现.
习题1：设A,B,C 表示三个随机事件, 试用A,B,C的运算表示下列事件
(1) A 出现 , B, C 不出现;
(2) A, B都出现, C 不出现;
(1) AB C; ( 2) ABC;
( 3) ABC ;
(3) 三个事件都出现;
(4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现; (6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;