二元一次不定方程精品教案
全国初中数学竞赛辅导第十七讲《二元一次不定方程的解法》教案
第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at 的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．练习十七1．求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y＝5．2．求下列不定方程的正整数解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．3．求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．5．求不定方程组的正整数解.。
探究二元一次不等式方程组——教案设计
本文旨在探究二元一次不等式方程组的教学方法和策略，为教师教授这一知识点提供有益的参考和指导。
一、教学目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.掌握二元一次不等式方程组的相关概念和基本性质；2.了解如何解二元一次不等式方程组，并掌握相关的解法技巧；3.培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
二、教学内容本课程的教学内容主要分为以下几个部分：1.二元一次不等式方程组的定义和性质；2.二元一次不等式方程组的解法；3.相关例题及习题训练。
三、教学方法1.导入通过讲述一个实际生活中的例子，引导学生了解不等式方程组的基本概念和作用，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.讲授根据教材的要求，讲授二元一次不等式方程组的定义、性质及解法。
教师应该注重从事例中引出概念，从概念中深化理解，从求解中提高技巧，使学生能够全面了解这一知识点。
3.案例演练通过多个实例演练，让学生更深入地理解二元一次不等式方程组的解法及相关的技巧，提升学生的解题能力和创造性思维。
4.小组合作通过小组合作，让学生合作解决难题，激发学生的独立思考和团队协作能力。
教师应该在小组合作中起到引导和辅导的作用，及时解答学生的疑惑和困惑。
5.反思与总结及时进行学生的反思和总结，让学生在理论和实践的基础上形成系统化的知识体系，为下一步的学习打下扎实的基础。
四、教学策略1.启发学生的思维，培养学生的创新能力和实践能力，充分发挥学生的主体性和积极性。
2.通过案例演练提高学生的解题能力和分析问题的能力，让学生在思考之中掌握知识。
3.促进学生之间的互动和合作，增强学生的团队合作能力和集体荣誉感，提高课堂教学的实效性和互动性。
4.不断创新教学方法，吸收新鲜的教学资源和信息，提高教师的教育教学水平和知识储备。
五、教学评估1.以课堂讨论、小组合作、答辩演讲等形式进行教学评估和考核，全面了解学生的学习状态和成果。
2.使用量化的评估工具，如试卷、成绩单、考试、调查表等，对学生的成绩和专业素养进行评估和分析，以便及时调整教学策略和方法。
新人教版七年级数学上册第三章二元一次不等式教案设计
新人教版七年级数学上册第三章二元一次不等式教案设计一、教学目标1. 理解二元一次不等式的概念和基本性质。
2. 掌握解二元一次不等式的方法和技巧。
3. 能够应用二元一次不等式解决实际问题。
二、教学内容1. 二元一次不等式的定义和基本性质。
2. 解二元一次不等式的方法和步骤。
3. 应用二元一次不等式解决实际问题的例子。
三、教学步骤1. 导入通过一个简单的问题引入二元一次不等式的概念：“小明今年的数学成绩比小红高，且小红今年的数学成绩比去年提高了10分。
设小明去年的数学成绩为x分，小红去年的数学成绩为y分，如何用不等式表示出小明今年的数学成绩比小红今年的数学成绩高？”2. 讲解- 介绍二元一次不等式的定义和基本性质，例如大于等于和小于等于符号的意义。
- 解释解二元一次不等式的方法和步骤，包括变形、消元和代入等操作。
3. 练通过一些简单的练题帮助学生掌握解二元一次不等式的方法和技巧。
例题1：解不等式组{x + y > 10，x - y < 5}。
例题2：解不等式组{3x - 2y ≥ 4，2x + y ≤ 10}。
4. 拓展给学生提供一些应用二元一次不等式解决实际问题的例子，例如购买商品的优惠条件、约束条件等。
例子1：小明去商场购买了苹果和橙子，记苹果的单价为x元/斤，橙子的单价为y元/斤。
小明购买了3斤苹果和5斤橙子，总共支付了18元。
问苹果和橙子的单价各是多少？例子2：某公司生产A、B两种产品，每个月生产的数量分别为x件和y件。
已知A产品的利润为3x元/件，B产品的利润为2y元/件。
设某月总利润不少于100元，且A产品的数量不少于20件。
问B产品的最少生产数量是多少？四、教学评价通过课堂练习的情况和学生的思维表达评价学生的掌握程度。
可采用小组讨论、个人答题等方式进行评价。
高中数学二元一次不等式教学设计
高中数学二元一次不等式教学设计般地,关于两个未知数的几个二元一次不等式合在一起,就组成一个二元一次不等式组。
下面店铺为你整理了高中数学二元一次不等式教学设计，希望对你有帮助。
高中二元一次不等式教学设计高中二元一次不等式教学反思通过本节课的教学实践，我发现一些比较成功的地方：利用知识联系实际的教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生学习效果。
例如：在新课引入时，提出了上节课所留的问题，老牛背上的包裹数是多少，小马驮的是多少，很自然的引入本节课的内容：解二元一次方程组。
你想知道x、y是多少吗?如何求出来呢?我们解过什么样的方程?是如何解的，能把这个二元一次方程组变成我们学过的一元一次方程组吗?提出了一连串的问题，激发了学生的好奇心、好胜心，学生们争先恐后的回答问题，增加了课堂的活跃氛围。
这样的教学方法使学生对如何解二元一次方程组的印象更加深刻。
注重学生的合作精神与探究能力的培养，体现了新课改的精神。
例如：在解决老牛与小马驮的包裹数时，我采用了分组讨论的方法，学生通过这个活动后，最好一致认为要想解决此类问题，关键是把其中的一个未知数用另一个未知数表示出来，从而达到了消元的目的。
于是，我借机就把用一个未知数表示另一个未知数的形式复习了一遍，总结了解题的五个步骤。
注重知识的拓展与综合。
比如：在做最后一个练习时，联系了完全平方与绝对值的综合性问题。
求式子(x+y-2)2+|x-y-4|=0中x与y 的值。
注重及时巩固练习，加深印象。
本节课我采用了一对一的练习，每讲一种类型就让学生做三道相应的练习题，起到了很好的巩固效果。
同时，在本节课的教学过程中与出现了一些不足之处：我觉得虽然课堂纪律不太好，但基本上所有学生都动了起来，注意力比较集中，对重点内容也都能掌握，感觉比以前所上的这节课效果要好。
所以我想无论什么样的课只要在备课时能真正的将“备教材”“备学生”“用学生的眼光看教材”三者结合起来，那么我们就能将每一节课都上成学生不仅能学到知识，同时能主动参与其中的课，让数学课不再枯燥，不再死板，让学生在愉悦的心情中学到知识，成为学生喜爱的课课堂上没有顾及到全体学生，虽然有大部分学生都参与到了教学过程当中，但有一部分学生的积极性还没有调动起来，他们还没有真正完全的参与到教学当中。
二元一次不定方程优秀教学设计
二元一次不定方程【教学目标】1．掌握二元一次不定方程。
2．熟练运用二元一次不定方程解决实际问题。
3．亲历二元一次不定方程求解的探索过程，体验分析归纳得出二元一次不定方程通解规律，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握二元一次不定方程和求解。
难点：解二元一次不定方程。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习二元一次不定方程，这节课的主要的内容有二元一次不定方程以及解二元一次不定方程，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解二元一次不定方程内容，形成初步感知。
（2）首先，我们来学习二元一次不定方程的概念，它的具体内容是：未知数个数多于方程的个数的方程或方程组叫做不定方程.二元一次不定方程是最简单的不定方程，它的一般形式为ax by ca b c位置整数，且,a b不等于零。
+=其中,,它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：241+=是否是不定方程？x y解析：因为未知数个数多于方程的个数，所以241+=是不定方程。
x y根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：写出3个二元一次不定方程。
解：514-=x y+=p e11311+=12139r t（3）接着，我们再来看下二元一次不定方程有整数解的内容，它的具体内容是： 已知不定方程（1）()00ax by c a b c a b +=∈≠≠、、整数，且，，如果不定方程（1）有整数解，那么(),a b c |.反过来，当(),a b c |时，不定方程（1）有整数解.它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：判断不定方程3155x y +=有没有整数解.解析：显然()3,155Œ，所以不定方程3155x y +=没有整数解. 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：判断不定方程4168x y +=有没有整数解.解：显然()4,168|，所以不定方程4168x y +=有整数解.（4）最后，我们来看二元一次不定方程的求解的内容，它的具体内容是：设(),=1a b ，则不定方程ax by c +=的整数通解为00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩其中t 为任意整数，00,x x y y ==为不定方程ax by c +=的一个特解。
第一节二元一次不定方程教程文件
Q P0 1, P1 q1 2, P2 q2P1 P0 1 2 1 3, P3 q3P2 P1 8 3 2 26, 37 (26) 107 9 1,即(-26,9)是37x 107 y 1的解. 37x -107 y 1的一组解是(-26, -9), 从而(-26 25, -9 25)是37x -107 y 25的一组解,
若d c ,则存在整数q,使c dq, 可知存在整数x0 , y0 , 适合ax0 by0 d , 则ax0q by0q dq, 即方程ax by c有整数解(qx0 , qy0 ).
定理2
若 (a,b)1,如 果 (x0,y0)是 方 程 axbyc的 一 组 解 , 则 它 所 有 整 数 解 都 可 写 成 x y x y0 0 b att,其 中 t为 任 意 整 数 .
证 明 :由 定 理 1知 ,当 ( a , b ) 1时 , 方 程 (1)有 解 ,
如 果 ( x 0 , y 0 )是 方 程 (1)的 解 ,
Q ax by a(x0 bt) b(y0 at)
ax0 abt by0 abt ax0 by0 c,
x
y
x0 bt 为 y0 at
• 中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的 问题:
• “鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱 一.百钱买百鸡.问鸡翁母雏各几何？”
• 此题系《张丘建算经》卷下的最后一题,作 者生卒年代已不易考,该书今传本在《算经 十书》之内.
设用x, y, z分别表示鸡翁, 鸡母, 鸡雏的数目, 得到下列方程 :
5x 3y 1 z 100, 3
x y z 100 化简,得7x 4y 100.
第二章 不定方程
第一节 二元一次不定方程
二元一次不等式与方程教案
二元一次不等式与方程教案教案目标：1. 了解二元一次不等式与方程的概念；2. 掌握解二元一次不等式与方程的方法；3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 区分二元一次不等式与方程的特点；2. 掌握解二元一次不等式与方程的步骤；3. 运用所学知识解决实际问题。
教学难点：1. 理解与运用二元一次不等式与方程的理论知识；2. 理解并解决实际问题中的二元一次不等式与方程。
教学准备：1. 教师：黑板、粉笔、教案；2. 学生：教科书、笔记本电脑。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师出示一道二元一次不等式或方程的例题，并引导学生分析其解法；2. 学生回顾上节课学习的知识，尝试解答导入问题。
二、学习二元一次不等式（15分钟）1. 教师通过讲解，引导学生理解二元一次不等式的定义；2. 教师给出解决二元一次不等式的步骤，并用示例进行辅助说明。
三、练习解决二元一次不等式（20分钟）1. 学生在教师的指导下，通过课本上的练习题独立解答；2. 学生相互之间交流解题思路与方法，教师巡回指导并纠正错误。
四、总结二元一次不等式的解题方法（10分钟）1. 教师与学生共同总结解决二元一次不等式的步骤，将重要内容写在黑板上；2. 学生将总结内容整理到笔记本上，以备复习使用。
五、学习二元一次方程（15分钟）1. 教师通过示例引导学生理解二元一次方程的定义与特点；2. 教师给出解决二元一次方程的步骤，并用示例进行辅助说明。
六、练习解决二元一次方程（20分钟）1. 学生在教师的指导下，通过课本上的练习题独立解答；2. 学生相互之间交流解题思路与方法，教师巡回指导并纠正错误。
七、总结二元一次方程的解题方法（10分钟）1. 教师与学生共同总结解决二元一次方程的步骤，将重要内容写在黑板上；2. 学生将总结内容整理到笔记本上，以备复习使用。
八、应用实际问题（15分钟）1. 教师给出一些实际问题，并引导学生将其转化为二元一次不等式或方程；2. 学生在教师的指导下解决实际问题，并将解题过程记录在笔记本上。
二元一次不定方程.ppt
6x 8y 46
二、新课
（一）有关概念
1.不定方程的定义 不定方程是指未知数个数多于方程的个数，且
其解受到某种条件限制（例如要求整数解，非负整
数解等）的方程或方程组。
2.二元一次不定方程的定义
形如：ax by c
a,b, c都是整数
a, b都不为零
3.二元一次不定方程的整数解
（二）不定方程ax by c在什么条件下有整数解？
1.先考察下面几个方程有没有整数解：
（1）2x y 10
x 5, y 0
（2）4x 2 y 20 2x y 10 x 5, y 0
（3）4x 2 y 25 （2 2x y） 25 没有整数解
2.再进一步考察这些方程x，y的系数a, b与方程 的解是否存在相互间的关系
d c.
（2）充分性
（a，b) d 存在两个整数x0，y0，使得ax0 by0 d
ax0q by0q dq
d c 可令c dq
不定方程ax
by
c
ax
by
dq
不定方程ax by c有整数解x x0q, y y0q
3.定理2.1 不定方程ax by c有整数解的必要 且充分条件是d c,这里（a，b) d.
四、小结
（一）有关概念 1.不定方程的定义 不定方程是指未知数个数多于方程的个数，且
其解受到某种条件限制（例如要求整数解，非负整
数解等）的方程或方程组。
2.二元一次不定方程的定义
形如：ax by c
a,b, c都是整数
a, b都不为零
（二）定理2.1 不定方程ax by c有整数解的 必要且充分条件是d c,这里（a，b) d.
胡关于“二元一次不定方程”的说课稿
一、说教材：1、地位、作用和特点：《》是高中数学课本第册（修）的第章“”的第节内容。
本节是在学习了之后编排的。
通过本节课的学习，既可以对的知识进一步巩固和深化，又可以为后面学习打下基础，所以是本章的重要内容。
此外，《》的知识与我们日常生活、生产、科学研究有着密切的联系，因此学习这部分有着广泛的现实意义。
本节的特点之一是：；特点之二是：。
2、教学目标：根据《教学大纲》的要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：（1）知识目标：A、B、C（2）能力目标：A、B、C（3）德育目标：A、B3、教学的重点和难点：（1）教学重点：（2）教学难点：二、说教法：基于上面的教材分析，我根据自己对研究性学习“启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合本校学生实际，主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。
二是运用启发式教学方法，就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程，以求获得最佳效果。
另外还注意获得和交换信息渠道的综合、教学手段的综合和课堂内外的综合。
并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。
三是注重渗透数学思考方法（联想法、类比法、数形结合等一般科学方法）。
让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质。
四是注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维。
当然这就应在处理教学内容时能够做到叶老师所说“教就是为了不教”。
因此，拟对本节课设计如下教学程序：学生学习的过程实际上就是学生主动获取、整理、贮存、运用知识和获得学习能力的过程，因此，我觉得在教学中，指导学生学习时，应尽量避免单纯地、直露地向学生灌输某种学习方法。
有效的能被学生接受的学法指导应是渗透在教学过程中进行的，是通过优化教学程序来增强学法指导的目的性和实效性。
(完整版)二元一次不等式教案
(完整版)二元一次不等式教案
一、知识点
本教案涉及的知识点为二元一次不等式，需要学生掌握以下几个方面：
- 一次不等式的基本概念和解法；
- 二元一次不等式的概念和解法；
- 二元一次不等式的图像和性质。
二、教学目标
- 掌握二元一次不等式的基本概念和解法；
- 能够使用图像解决二元一次不等式；
- 熟练掌握二元一次不等式的解题技巧。
三、教学重点与难点
教学重点：
- 二元一次不等式的概念和解法；
- 二元一次不等式的图像和性质。
教学难点：
- 如何将二元一次不等式的图像和解法结合起来。
四、教学方法
- 课堂讲解法；
- 实例演示法；
- 课堂练法。
五、教学过程
第一步：引入知识点
引入一次不等式的概念和解法，并通过实例演示法，了解二元一次不等式的概念。
第二步：掌握二元一次不等式的解法
通过课堂讲解法，让学生知道使用代数法解决二元一次不等式
的方法，并通过实例演示法加深对此方法的理解。
第三步：掌握二元一次不等式的图像和性质
通过课堂讲解法，让学生掌握二元一次不等式的图像和性质，
同时运用图像解决二元一次不等式。
第四步：课堂练
通过课堂练法，加深学生对二元一次不等式的理解和掌握程度，检验教学效果。
六、教学反思
通过本次教学，教师在引入和解决二元一次不等式的教学过程中，加强了和代数和图像的联系，增强了学生对不等式的理解能力和解决问题的能力。
《二元一次不等式(组)》教案新部编本1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《二元一次不等式（组）》教案一、教学目标：1．知识目标：能做出二元一次不等式（组）所表示平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示。
2．能力目标：培养学生用数形结合思想分析问题、解决问题的能力。
3．情感目标：体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域。
难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域。
三、教学方法与手段本节课采用探究式教学法，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学．并充分利用多媒体辅助教学。
四、课时1课时五、教学过程（一）创设情景，引入新课本班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点元旦晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？分析：（1）引入问题中的变量：设买大球x 个，买小球y 个；（2）把文字语言转化为数学符号语言：（少于100元的钱购买） ⇒ 1002<+y x（1） （大球数不少于10） ⇒ 10≥x ，N x ∈（2） （小球数不少于20） ⇒ 20≥y ，N y ∈ （3）（3）抽象出数学模型： 2x y 100x 10y 20,x,y N +<⎧⎪≥⎨⎪≥∈⎩（二）讲授新课1．二元一次不等式（组）的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式．（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．注意：二元一次不等式（组）是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分．2．探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间二元一次方程表示的是什么图形？ 直线思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线Ax By C 0++=分为几部分？两部分 以x y 10+-=为例进行直观说明，引出以下概念：每部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面．以不等式解（x,y ）为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．如何求二元一次不等式表示的平面区域？我们先研究具体的二元一次不等式x y 10+->的解集所表示的图形．问题二：平面内所有的点被直线x y 10+-=分成几类？如图：在平面直角坐标系内，x y 10+-=表示一条直线．平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线x y 10+-=上的点；第二类：在直线x y 10+-=左下方的区域内的点；第三类：在直线x y 10+-=右上方的区域内的点．问题三：每部分中的点都有哪些特点？在直线的上方、下方取一些点：上方：（0，2），（1，3），（0，5），（2，2）下方：（-1，0），（0，0），（0，-2），（1，-1）分别把点的坐标代入式子x y 1+-中，会有什么结果？直线上方的点使的x y 10+->；直线下方的点使的x y 10+-<．猜想：直线同侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号？问题四：直线x y 10+-=右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？ x y 10+->；x y 10+-<．由学生自行归纳总结，不要求证明．结论：直线Ax By C 0++=把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分，同一侧点的坐标使式子Ax By C ++的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使式子xAx By C ++的值符号相反，一侧都大于0，一侧都小于0．问题五：如何判断Ax By C 0++>表示直线Ax By C 0++=哪一侧平面区域？ 根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x 0 , y 0)，从00A B C y ++x 的正负即可判断不等式Ax By C 0++>表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法．概括为： “直线定界，特殊点定域”．特别地，当0≠C 时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”．问题六： 0≥++C y Ax B 表示的平面区域与0>++C y Ax B 表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？把直线画成实线以表示区域包含边界直线；把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线．（三）应用新知，练习巩固例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：（1）2x y 30-->； （2）3x 2y 60+-≤．设计以下几个问题:(1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？这条直线是画实线还是虚线？(2)运用代点法判断平面区域的位置时取哪个特殊点代入较好?学生完成，师指导．例2．画出下列不等式组表示的平面区域（1）2x y 10x y 10-+>⎧⎨+-≥⎩ （2）2x 3y 202y 10x 30-+>⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩设计以下几个问题：(1)不等式组表示的平面区域如何确定？(各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分)(2)第二小题中加上条件x,y N∈，又会是什么图形呢？多媒体演示平面区域 (是上述公共平面区域内的整点)例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨．如果在此基础上进行生产，设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：x,y满足的数学关系式为：4x y10 18x15y66 x0y0+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩分别画出不等式组中，各不等式表示的区域，然后取交集．如图中的阴影部分．反馈练习：教材89页练习A组2（4）．（四）课堂小结知识上：1．二元一次不等式（组）表示平面区域2．判定方法:“直线定界，特殊点定域”．小诀窍：如果C≠0,可取(0,0)；如果C＝0,可取(1,0)或(0,1)．思想方法上：数形结合的数学思想方法．（五）布置作业教材89页练习B组1、2．大屏幕展示思考题：（再次回到引例）为下一节课做准备。
【精品】二元一次不等式(组)与平面区域辅导教案
已知直线l ：x －y －1＝0.问题1：点A (1,0)、B (1,1)、C (1,2)、D (0，－2)、E (1，－2)与直线l 有何位置关系？ 提示：点A 在直线l 上，点B 、C 、D 、E 均不在直线l 上．问题2：通过作图可以发现，点B 、C 、D 、E 分别在直线l 的哪个方向的区域内？ 提示：点B 、C 在直线l 的左上方，点D 、E 在直线l 的右下方．问题3：点B 、C 、D 、E 的坐标分别满足下列哪个不等式？(1)x －y －1<0；(2)x －y －1>0. 提示：点B 、C 的坐标满足(1)，D 、E 的坐标满足(2)．问题4：满足这两个不等式的解有多少个？这些解对应的平面直角坐标系中的点在相应的直线上吗？若不在直线上，它们在这条直线的同一侧吗？提示：这两个不等式的解有无穷多个；它们对应的点不在直线上；而是在这条直线的同一侧． [导入新知]1．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 2．二元一次不等式表示的平面区域的确定(1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符号都相同．(2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号可以断定Ax ＋By ＋C ＞0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．[化解疑难]确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C ≠0)．题型一、二元一次不等式(组)表示的平面区域 [例1] 画出下列不等式(组)表示的平面区域． (1)2x －y －6≥0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.[解] (1)如图，先画出直线2x －y －6＝0， 取原点O (0,0)代入2x －y －6中， ∵2×0－1×0－6＝－6＜0，∴与点O 在直线2x －y －6＝0同一侧的所有点(x ，y )都满足2x －y －6＜0，因此2x －y －6≥0表示直线下方的区域(包含边界)．(2)先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O (0,0)代入x －y ＋5，∵0－0＋5＝5＞0，∴原点在x －y ＋5＞0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．右上图中阴影部分就表示原不等式组的平面区域．[类题通法]1．在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．2．要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的正负判定．[活学活用]1．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，x －2y ＞3，x ＋2y ≥0表示的平面区域．解：不等式x ＋y ≤5表示直线x ＋y －5＝0上及左下方的区域． 不等式x －2y ＞3表示直线x －2y －3＝0右下方的区域． 不等式x ＋2y ≥0表示直线x ＋2y ＝0上及右上方的区域． 所以不等式组表示的平面区域如图所示 题型三、用二元一次不等式组表示实际问题[例3] 投资生产A 产品时，每生产100 吨需要资金200 万元，需场地200 平方米；投资生产B 产品时，每生产100 米需要资金300 万元，需场地100 平方米．现某单位可使用资金1 400 万元，场地900 平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．[解] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．[类题通法]用二元一次不等式组表示实际问题的方法用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时，(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示， (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来，(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式， (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来． [活学活用]3．有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：货物 轮船运输量飞机运输量粮食/t 300 150 石油/t250100现在要在一天之内运输2 000 t 粮食和1 500 t 石油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和运输数量满足的关系．解：设需要x 艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如右图)分别为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥40，5x ＋2y ≥30，x ，y ∈N .[典例] 画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＞0表示的区域．[解] 原不等式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0，x －y ＋4＞0.或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0，x －y ＋4＜0.分别画出不等式组①和②表示的平面区域取并即可(如图阴影部分)．[易错防范]1．由(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＞0不能正确转化两个不等式组． 2．未注意不包括边界，而把边界画成实线．画出不等式(x －y )(x －y －1)≤0表示的平面区域．解：不等式(x －y )(x －y －1)≤0等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －y －1≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0，，而不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x －y －1≥0，无解，故(x －y )(x －y －1)≤0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．二、简单的线性规划问题1、简单的线性规划 [提出问题]某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．问题1：设投资甲、乙两个项目的资金分别为x 、y 万元，那么x 、y 应满足什么条件？提示：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.问题2：若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z 万元，那么z 与x ，y 有何关系？提示：z ＝0.4x ＋0.6y .问题3：x ，y 取值对利润z 有无影响？ 提示：有．[导入新知]线性规划的有关概念名称 意义约束条件 变量x ，y 满足的一组条件线性约束条件 由x ，y 的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式 线性目标函数 目标函数是关于x ，y 的二元一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题[化解疑难]1．线性约束条件包括两点：一是变量x ，y 的不等式(或等式)，二是次数为1.2．目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x ，y 的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．3．可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合． 题型一、求线性目标函数的最值[例1] 设z ＝2x ＋y ，变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.[类题通法]解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．题型二、简单的线性规划问题的实际应用[例2] 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)．∴z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．[类题通法]利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．课后作业1．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z 2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z2过直线x ＝－1和x －y＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.2．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3，求z ＝x ＋2y 的最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3的可行域，如图所示．画出直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内某点，且可行域内其他点都在l 的不包含直线l 0的另外一侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点使z ＝x ＋2y 取最小值．显然，点A 满足上述条件，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －3y ＝3得点A ⎝⎛⎭⎫125，35， ∴z 最小值＝125＋2×35＝185.3、某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24 立方米，总重量不能低于650 千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：货物 每袋体积(单位：立方米)每袋重量(单位：百千克)每袋利润(单位：百元)甲 5 1 20 乙42.510问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时，可获得最大利润？ [规范解答]设一个大集装箱托运甲种货物x 袋，乙种货物y 袋，获得利润为z (百元)，则目标函数为z ＝20x ＋10y .(1分) 依题意得，关于x ，y 的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，x ＋2.5y ≥6.5，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≥13，x ≥0，y ≥0.(4分)作出上述不等式组表示的平面区域，如右图阴影部分所示．(6分由目标函数z ＝20x ＋10y ， 可得y ＝－2x ＋z10.当直线y ＝－2x ＋z10的纵截距最大时，对应的目标函数z ＝20x ＋10y 也会取得最大值．(8分)画直线l 0：20x ＋10y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，当直线l 过直线5x ＋4y ＝24与2x ＋5y ＝13的交点M 时，目标函数z ＝20x ＋10y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝24，2x ＋5y ＝13，得点M (4,1)．(10分)因此，当x ＝4，y ＝1时，z 取得最大值， 此时z 最大值＝20×4＋10×1＝90.(11分)答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋时，可获得最大利润，最大利润为9 000元．(12分) 1.由题意得约束条件，易忽略x ≥0，y ≥0(或x ∈N *，y ∈N *)．2.由约束条件作可行域不规范，从而无法判断最优解，解题步骤易缺失，直接把M (4,1)代入求解，没有一定的文字说明．3.解答此类问题要考虑问题的实际意义，与自然数有关的问题往往是求最优整数解，要通过画网格线或逐步逼近的方法找到．如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0.在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．解析：首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z 最大． 答案：(0,5)10．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a 的钢条2根，长度为b 的钢条1根；或截成长度为a 的钢条1根，长度为b 的钢条3根．现长度为a 的钢条至少需要15根，长度为b 的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？解：设按第一种切割方式切割的钢条x 根，按第二种切割方式切割的钢条y 根， 根据题意得约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x >0，x ∈N *，y >0，y ∈N *，目标函数是z ＝x ＋y ，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3.6，y ＝7.8.此时z ＝11.4，但x ，y ，z 都应当为正整数， 所以点(3.6,7.8)不是最优解．经过可行域内的整点且使z 最小的直线是x ＋y ＝12， 即z ＝12，满足该约束条件的(x ，y )有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求．。
《二元一次不等式(组)》教案新部编本2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《二元一次不等式（组）》教案一、教学目标1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。
2．培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点教学重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法 教学难点：正确串根（根轴法的使用）三、教学方法引导法四、课时1课时五、教学过程复习再现： 1．填写下列表格：0>∆ 0=∆ 0<∆二次函c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根的解集)0(02>>++a c bx ax的解集)0(02><++a c bx ax（列表法）解不等式)1)(4(<-+xx解： (x-1)(x+4)=0，解得两根分别为-4，1，列表：（标根法）－－问题的提出与解决二高次不等式与分式不等式的解法例1：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；例2：解不等式：(x+1)(x+2)(x-3)(x+4)<0；例3: 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)(x-1)<0.【变式】(x-2)2(x-3)3(x+1)(x-1)≤0.【归纳】在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始归纳为"奇过偶不过".例4: 解不等式：73<+-xx.例5:解不等式：322322≤--+-xxxx.例6: 解不等式1116-<-xx【归纳】分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为)()(xgxf>0(或)()(xgxf≤0)的形式，转化为：()()0()()0()()0f xg xf xg xg x<⎧>⎨≠⎩或，即转为一次、二次或特殊高次不等式形式作业：A.1．解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0.2．解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.3．求不等式)2()2()23()1()2(22334+--+-+x x x x x x 的解集B. 若不等式1122+-->++-x x bx x x a x 的解为121<<x ,求b a ,的值3.K 为何值时，13642222<++++x x kkx x 恒成立4．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围1）解一元一次不等式 240x ->的解，并在数轴上表示出来。
人教版高中选修(B版)4-61.7二元一次不定方程课程设计
人教版高中选修(B版)4-61.7二元一次不定方程课程设计一、课程目标本课程旨在让学生了解二元一次不定方程的基本概念和解题方法，掌握解题技能，培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、课程内容1. 二元一次不定方程1)基本概念2)解法分类3)解法技巧2. 经典例题讲解1)示例问题分析2)解题步骤3)练习题讲解3. 自主设计题1)题目设计2)解题步骤3)分组讨论三、教学方法1.案例教学法：利用实际问题，引导学生探究问题的产生和解决方法。
2.观察法：通过观察问题，找出问题的规律，引导学生探究深层的数学本质。
3.合作学习法：采用协作式学习，鼓励学生结对或组队探究问题，让学生之间互相学习学习。
4.交互式教学法：打破传统的讲课模式，通过多种媒介交互，引导学生积极思考和发言。
四、教学过程1. 热身阶段1)抛出问题：设 $x,y\\in \\mathbf{N}^*$，求解方程2x+3y=7。
2)学生自主尝试解题。
3)学生交流探讨。
2. 重点讲解1)二元一次不定方程的基本概念：二元一次不定方程指一般形式为ax+by=c，其中a,b,c均为整数，且a,b不同时为0。
2)二元一次不定方程的解法分类：•辗转相除法•公式法•带余除法•同余方程法3)二元一次不定方程的解法技巧：•判定结果的有效性•制作通分分母•消元•填空法4)经典例题讲解：（1）已知7x+5y=94，求x,y的值。
（2）x,y为正整数，且满足x−y=3，xy=42，求x,y的值。
（3）x,y为正整数，满足x+y=71，2xy+9=5x2+5y2，求x,y的值。
3. 个性化训练1)学生自主设计题目。
2)学生自主解题。
3)学生分组讨论。
4. 课堂总结1)回顾本次课程重点内容。
2)汇总难点问题。
3)再次强调解题技巧。
五、作业布置1.题库练习：完成课堂提供的练习题。
2.标准化测试：完成模拟考试题，检测掌握情况。
六、教学评价本课程采用多种教学方法，旨在培养学生的自主学习和合作学习能力。
高中数学新人教版A版精品教案《二元一次不定方程》
二元一次不定方程一、教学内容分析本节是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修4-6》（人教A版）。
本节课之前学习过整除、最大公约数、同余的知识，为本节课有解性的证明提供依据。
本节课程体现数学文化的特色，百钱买百鸡问题使学生对二元一次不定方程产生浓厚的兴趣。
学生通过分析，试验，猜想、验证等，从中获得新的知识，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程，感受数学的魅力。
二、学生学情分析学生之前可能通过课后阅读或资料，故事书听说过百钱买百鸡问题，或曾经尝试过此类问题进行解决，难度较大。
现在是第一次系统性的学习，学生的兴趣浓厚，的积极性很高，有热情和新鲜感。
通过课前导学能对有解性和整数通解提出猜想，但难以给出证明。
所以需要教师精心设计，做好引导工作，充分体现教师的“引路人”角色。
特别小组合作学习中在分组时注意学生的合理搭配（成绩的好坏、分析解决问题能力、口头表达能力等）。
三、教学目标知识目标：1、掌握二元一次不定方程有解的充要条件;2、会求二元一次不定方程的整数通解能力目标1．从特殊到一般，先猜后证的方法。
培养观察、分析、归纳、总结、证明的能力;2．培养学生的口头表达能力和合作意识情感目标1．了解不定方程的发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感；2 使学生感受到数学应用于实践四、教学重点和难点重点：1二元一次不定方程有解的充要条件；2二元一次不定方程的整数通解的证明。
难点：1 利用裴蜀等式证明二元一次不定方程有解的充分条件；2 引导学生利用整除的知识对二元一次不定方程的整数通解进行证明。
六、教法与学法教法：以问题驱动。
学生成为课堂的主人，教师层层引导，关键地方点拨的教学模式。
学法：鼓励学生“动脑想、大胆猜、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法。
七、教法过程1、引入播放视频【相传在南北朝时期,我国北方出了一个“神童”,他反映敏捷,计算能力超群,传到当时宰相的耳中为了弄清“神童”是真是假,宰相给“神童”的父亲 100 文钱,让他第二天带 100 只鸡来，一定要刚好百钱百鸡 在当时，买1只公鸡5文钱,买1只母鸡3文钱,买3只小鸡才1文钱怎样才能凑成百钱百鸡呢？此题就是著名的“百钱买百鸡”问题，这个神童就是中国古代数学家张邱建。
高中数学新人教版A版精品教案《二元一次不定方程》
二元一次不定方程教学设计甘肃省会宁县第二中学马瑞宁电话：授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪一、教材分析选修4-6（人教A版）初等数论初步包括四方面内容：整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程、数论在密码中的应用。
这四讲内容有相对的独立性，也有内在的联系，知识结构框图如下：第一讲整除的性质第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数论在密码中的应用本节课位于普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4-6（人教A版）第三讲一次不定方程的第一节，主要介绍最简单的不定方程--二元一次不定方程。
二、教学目标分析（一）知识与技能：1 了解我国古代数学家在不定方程研究方面取得的重要成就；2 探索二元一次不定方程有整数解的条件；3 探究二元一次不定方程有解时，解的个数及通解的描述；4 能够根据二元一次不定方程的一个特解写出通解的表达式；5 能够解一些简单的二元一次不定方程（二）过程与方法：1 通过学生自己探究二元一次不定方程有整数解的条件，培养学生总结和类比的学习能力，并使学生明白考虑问题要细致，说理要明确；2 培养从概念出发，进一步研究其它性质的意识及能力；3 通过二元一次不定方程的通解的表达式的探究过程，使学生既掌握“概念性”知识，又掌握“方法性”知识，同时发展学生探究新知的能力。
（三）情感、态度与价值观：1 使学生在动手算、动脑思和集体合作讨论的过程中，树立敢于战胜困难的信心，养成主动获取知识和敢于探究求新知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识；2 领会用转化的思想去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析的良好思维习惯；3 由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
三、学习重点、难点分析（一）学习重点：1 理解二元一次不定方程有整数解的判别准则；2 掌握二元一次不定方程有解时，整数通解的表示（二）学习难点1 探究二元一次不定方程有整数解的判别准则；2 探究二元一次不定方程有解时，整数通解的表示；3 二元一次不定方程的实际应用，要求学生能用不定方程解决一些简单实际问题。
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【教学目标】
1．掌握二元一次不定方程。 2．熟练运用二元一次不定方程解决实际问题。 3．亲历二元一次不定方程求解的探索过程，体验分析归纳得出二元一次不定方程通解 规律，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】
重点：掌握二元一次不定方程和求解。 难点：解二元一次不定方程。
【教学过程】
（4）最后，我们来看二元一次不定方程的求解的内容，它的具体内容是：
设 a,b =1 ，则不定方程 ax by c 的整数通解为
x y
x0 y0
bt at
其中 t 为任意整数， x x0 , y y0 为不定方程 ax by c 的一个特解。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：求不定方程 5x 3y 10 的整数通解.
1/3
12r 13t 9
（3）接着，我们再来看下二元一次不定方程有整数解的内容，它的具体内容是：
已知不定方程（1） ax by ca、b、整c 数，且， a 0 b 0 ，如果不定方程（1）有整数
解，那么 a,b c .反过来，当 a,b c 时，不定方程（1）有整数解.
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例： 2x 4 y 1 是否是不定方程？
解析：因为未知数个数多于方程的个数，所以 2x 4 y 1 是不定方程。
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：写出 3 个二元一次不定方程。 解： 5x 1 4 y
11p 3e 11
再将 x, y 的值代入方程 x y z 100 ，可求得原不定方程有四组非负整数解：
x 0 x 4 x 8 x 12
y
25
，
y
18
，
y
4
z 75 z 78 z 81 z 84
三、课堂总结 （1）这节课我们主要讲了二元一次不定方程的概念，求通解的方法。 （2）它们在解题中具体怎么应用？
四、习题检测 1．求不定方程的整数通解： 5x 4 y 11
2．求不定方程的整数通解： 25x 13y 7
3．（百马问题）一百马，一百瓦，大马驮三，中马驮二，两小马驮一瓦，最后不剩马 和瓦．大马、中马、小马各有多少？
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它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：判断不定方程 3x 15y 5 有没有整数解.
解析：显然 3,15 Œ5 ，所以不定方程 3x 15y 5 没有整数解.
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习：判断不定方程 4x 16 y 8 有没有整数解.
解：显然 4,16 8 ，所以不定方程 4x 16 y 8 有整数解.
根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：（百钱买白鸡）求下列不定方程的非负整数解：
5x 3y 1 z 100
3
x y z 100
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解：首先由原不定方程中第一个方程的 3 倍减去第二个方程，得 7x 4 y 100 ．通过观察发现，不
定方程 7x 4 y 1 有一个特解 x 1, y 2 因此 x 100, y 200 是不定方程 7x 4 y 100 的一个特
解．所以它的整数通解为
x 100 4t
y
200
7t
其中 t 为任意整数.
注意到 0 x 100,0 y 100 ，因此有 25 t 50 ，14 2 t 28 4
7
7
即 25 t 28 4 .从而 t 25, 26, 27, 28 7
一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习二元一次不定方程，这节课的主要的内容有二元一次不定
方程以及解二元一次不定方程，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问 题。 二、讲授新课
（1）教师引导学生在预习的基础上了解二元一次不定方程内容，形成初步感知。 （2）首先，我们来学习二元一次不定方程的概念，它的具体内容是： 未知数个数多于方程的个数的方程或方程组叫做不定方程.二元一次不定方程是最简单 的不定方程，它的一般形式为 ax by c 其中 a,b,c 位置整数，且 a,b 不等于零。
解：因为 5,3 1，而110 ，所以元不定方程有整数解.容易观察， 5x 3y 1有一个特解
x 1, y 2 ，因此 x 10, y 20 就是原不定方程的一个特解.由上述结论，原不定方程的整数
通解为
x
y
10 3t 20 5t
其中
t
为任意整数