最优下料问题 ppt课件
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（3）增加一种下料方式大致相当于使原 材料总损耗增加0.08%。
（4）每种零件有各自的交货时间，若某 零件无交货时间，则记该零件交货时间为 无穷大。
最优下料问题
变量定义（符号）
m
零件种类总数
xi
第i种下料方式下料的根数
k
下料方式的种类数
i
第i种下料方式每根的余料
最优下料问题
模型的建立
借助函数
主讲：
研究生建模2004年B题
实用下料问题
最优下料问题
“下料问题(cutting stock problem)”是把 相同形状的一些原材料分割加工成若干 个不同规格大小的零件的问题，此类问 题在工程技术和工业生产中有着重要和 广泛的应用. 这里的“实用下料问题” 则是在某企业的实际条件限制下的单一 材料的下料问题。
i 其中 yi,d j ：第 种下料方式前 d j 天内下料总根数， Sdj ：
最优下料问题
一个好的下料方案首先应该使原材料的 利用率最大，从而减少损失，降低成本， 提高经济效益。其次要求所采用的不同 的下料方式尽可能少，即希望用最少的 下料方式来完成任务。因为在生产中转 换下料方式需要费用和时间，既提高成 本，又降低效率。此外，每种零件有各 自的交货时间，每天下料的数量受到企 业生产能力的限制。因此实用下料问题 的目标是在生产能力容许的条件下，以 最少数量的原材料，尽可能按时完成需 求任务, 同时下料方式数也尽量地小.请 你们为某企业考虑下面两个问题。
最优下料问题
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈 长方形，长度为L,宽度为W，现在需要将一 批这种长方形原料分割成m种规格的零件, 所 有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽 度分别为(l1,w1) ，…，(lm,wm )，其中wi＜li<L， w为i<nW1,n. 2(,i…=1,n,2m,…。下,m料)。时m，种零零件件的的边需必求须量分分别别和 原材料的边平行。这类问题在工程上通常简 称为二维下料问题。特别当所有零件的宽度 均与原材料相等，即，则问题称为一维下料 问题。特别当所有零件的宽度均与原材料相 等下，料即 问题wi=。W. (i=1,2,…,m) ，则问题称为一维
最优下料问题
问题 ：
1.建立一维单一原材料实用下料问题的数学模 型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产 能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时 求出等额完成任务所需的原材料数，所采用 的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长 度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度 零需件求的零件下的料长任度务，. 具n体i为数需据求见零表件一的，数其量中. 此li外为， 在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为 5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是 100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i)为:
最优下料问题
最优下料问题
词汇:
1、下料问题(cutting stock problem)”是把 相同形状的一些原材料分割加工成若干 个不同规格大小的零件的问题；
2、二维下料问题----下料时，零件的边必 须分别和原材料的边平行 ;
3、一维下料问题----所有零件的宽度均与 原材料相等 。
最优下料问题
最优下料问题
最优下料问题
2.建立二维单一原材料实用下料问题的数学模 型, 并用此模型求解下列问题.制定出在企业生 产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同 时求出等额完成任务所需的原材料块数和所 需下料方式数.这个问题的单一原材料的长度 为 3000mm,宽度为100mm, 需要完成一项有 43种不同长度和宽度零件的下料任务. 具体数 据度见、表宽二 度， 和其 数中量. li,切wi割,ni时分的别锯为缝需可求以零是件直的的长也 可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不 计.据估计，该企业每天最大下料能力是20块 要求在4天内完成的零件标号(i)为: 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36.
5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48;
最优下料问题
要求不迟于6天完成的零件标号(i) 为:4,11,24,29,32,38,40,46,50. (提示：可 分层建模。(1).先考虑用材料既少,下料 方式又少的模型, 或先仅考虑所用材料 最少的模型及增加一种下料方式大致相 当于使原材料总损耗增加0.08%情况下 的最佳方案。 (2).在解决具体问题时,先 制定4天的下料方案,再制定6天的下料方 案,最后制定53种零件的下料方案. 这一 提示对第2题也部分适用.)
分析:
本题是有交货时间限制的大规模单一原 材料下料问题。 1、目标是既要所用材料最少，也要下 料方式少。 2、有交货时间限制
最优下料问题
一维下料问题
假设
（1）每天下料的数量受到企业生产能力 的限制，在未完成需求任务前，每天下料 的数量等于最大下料能力。
（2）每个切割点处由于锯缝所产生的损 耗不可忽略。
j 1,...,m
k
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y d max ，i,推d j得该线光j源的范围为[－0.03, 0j.03]m1。, , m
i 1
k
a yij i,d j n j
j Sd j
i 1
yi,dl yi,d j xi
(i 1, , k; dl d j )
xi , yi,d j 0且为整数(i 1, , k; j 1, , m)
k
mf( ix) n
最优下料问题
i 1
ixi 1 0 .0% 8 i k1sig xin 1 a l
根据上述分析，得到有时间限制的一维单一下料问题模型：
min
f
x
k
i xi
i 1
1
0.08%
k i 1
signalxi
1
s.t.
k
i1 a然ij 后xi代入 n j
signal(
xi
)
1 0
xi xi
0 0
，可得所用材料
的余料 f1(x) 和采用的下料方式 f2 (x) 分别为：
k
k
f1 (x) i xi ， f2 (x) signalxi
i 1
i 1
借助模型假设中假设(3)：增加一种下料方式
大致相当于使原材料总损耗增加 0.08% 。故可
将双目标转化为单目标：
（4）每种零件有各自的交货时间，若某 零件无交货时间，则记该零件交货时间为 无穷大。
最优下料问题
变量定义（符号）
m
零件种类总数
xi
第i种下料方式下料的根数
k
下料方式的种类数
i
第i种下料方式每根的余料
最优下料问题
模型的建立
借助函数
主讲：
研究生建模2004年B题
实用下料问题
最优下料问题
“下料问题(cutting stock problem)”是把 相同形状的一些原材料分割加工成若干 个不同规格大小的零件的问题，此类问 题在工程技术和工业生产中有着重要和 广泛的应用. 这里的“实用下料问题” 则是在某企业的实际条件限制下的单一 材料的下料问题。
i 其中 yi,d j ：第 种下料方式前 d j 天内下料总根数， Sdj ：
最优下料问题
一个好的下料方案首先应该使原材料的 利用率最大，从而减少损失，降低成本， 提高经济效益。其次要求所采用的不同 的下料方式尽可能少，即希望用最少的 下料方式来完成任务。因为在生产中转 换下料方式需要费用和时间，既提高成 本，又降低效率。此外，每种零件有各 自的交货时间，每天下料的数量受到企 业生产能力的限制。因此实用下料问题 的目标是在生产能力容许的条件下，以 最少数量的原材料，尽可能按时完成需 求任务, 同时下料方式数也尽量地小.请 你们为某企业考虑下面两个问题。
最优下料问题
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈 长方形，长度为L,宽度为W，现在需要将一 批这种长方形原料分割成m种规格的零件, 所 有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽 度分别为(l1,w1) ，…，(lm,wm )，其中wi＜li<L， w为i<nW1,n. 2(,i…=1,n,2m,…。下,m料)。时m，种零零件件的的边需必求须量分分别别和 原材料的边平行。这类问题在工程上通常简 称为二维下料问题。特别当所有零件的宽度 均与原材料相等，即，则问题称为一维下料 问题。特别当所有零件的宽度均与原材料相 等下，料即 问题wi=。W. (i=1,2,…,m) ，则问题称为一维
最优下料问题
问题 ：
1.建立一维单一原材料实用下料问题的数学模 型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产 能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时 求出等额完成任务所需的原材料数，所采用 的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长 度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度 零需件求的零件下的料长任度务，. 具n体i为数需据求见零表件一的，数其量中. 此li外为， 在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为 5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是 100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i)为:
最优下料问题
最优下料问题
词汇:
1、下料问题(cutting stock problem)”是把 相同形状的一些原材料分割加工成若干 个不同规格大小的零件的问题；
2、二维下料问题----下料时，零件的边必 须分别和原材料的边平行 ;
3、一维下料问题----所有零件的宽度均与 原材料相等 。
最优下料问题
最优下料问题
最优下料问题
2.建立二维单一原材料实用下料问题的数学模 型, 并用此模型求解下列问题.制定出在企业生 产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同 时求出等额完成任务所需的原材料块数和所 需下料方式数.这个问题的单一原材料的长度 为 3000mm,宽度为100mm, 需要完成一项有 43种不同长度和宽度零件的下料任务. 具体数 据度见、表宽二 度， 和其 数中量. li,切wi割,ni时分的别锯为缝需可求以零是件直的的长也 可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不 计.据估计，该企业每天最大下料能力是20块 要求在4天内完成的零件标号(i)为: 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36.
5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48;
最优下料问题
要求不迟于6天完成的零件标号(i) 为:4,11,24,29,32,38,40,46,50. (提示：可 分层建模。(1).先考虑用材料既少,下料 方式又少的模型, 或先仅考虑所用材料 最少的模型及增加一种下料方式大致相 当于使原材料总损耗增加0.08%情况下 的最佳方案。 (2).在解决具体问题时,先 制定4天的下料方案,再制定6天的下料方 案,最后制定53种零件的下料方案. 这一 提示对第2题也部分适用.)
分析:
本题是有交货时间限制的大规模单一原 材料下料问题。 1、目标是既要所用材料最少，也要下 料方式少。 2、有交货时间限制
最优下料问题
一维下料问题
假设
（1）每天下料的数量受到企业生产能力 的限制，在未完成需求任务前，每天下料 的数量等于最大下料能力。
（2）每个切割点处由于锯缝所产生的损 耗不可忽略。
j 1,...,m
k
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y d max ，i,推d j得该线光j源的范围为[－0.03, 0j.03]m1。, , m
i 1
k
a yij i,d j n j
j Sd j
i 1
yi,dl yi,d j xi
(i 1, , k; dl d j )
xi , yi,d j 0且为整数(i 1, , k; j 1, , m)
k
mf( ix) n
最优下料问题
i 1
ixi 1 0 .0% 8 i k1sig xin 1 a l
根据上述分析，得到有时间限制的一维单一下料问题模型：
min
f
x
k
i xi
i 1
1
0.08%
k i 1
signalxi
1
s.t.
k
i1 a然ij 后xi代入 n j
signal(
xi
)
1 0
xi xi
0 0
，可得所用材料
的余料 f1(x) 和采用的下料方式 f2 (x) 分别为：
k
k
f1 (x) i xi ， f2 (x) signalxi
i 1
i 1
借助模型假设中假设(3)：增加一种下料方式
大致相当于使原材料总损耗增加 0.08% 。故可
将双目标转化为单目标：