第四章-解析函数的孤立奇点--有限点
孤立奇点的类型及判断方1
孤立奇点的类型及其判定方法摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定义法、极限值法、极点与零点关系法.接着阐述了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点类型的关系，并且结合一下例子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用.关键词: 可去奇点 极点 本质奇点1.引言复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇点往往就决定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒函数很容易判定出倒函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便.2.孤立奇点的类型及判断方法 2.1孤立奇点的定义定义1 如果函数)(z f 在点a 的某一去心领域R a z a K <-<-||0:}{（即除去圆心a 的某圆）内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点.2.2 孤立奇点的类型和判断以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质.如a 为函数)(z f 的孤立奇点，则)(z f 的某去心领域{}K a -内可以展成洛朗级数)(z f =∑∞-∞=-n n na z c)(.我们称非负幂部分∑∞=-0)(n nna z c为)(z f 在点a 的正则部分，而称负幂∑∞=---1)(n nn a z c 为)(z f 在点a 的主要部分.实际上非负幂部分表示在点a 的领域:||K z a R -<内的解析函数，故函数)(z f 在点a 的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上.定义2如果)(z f 在点a 的主要部分为零，则称a 为)(z f 的可去奇点； 如果)(z f 在点a 的主要部分为有限多项，设为),0(,)()(11)1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称a 为)(z f 的m 阶极点，一阶极点也称为单极点；如果)(z f 在点a 的主要部分为无限多项，则称a 为)(z f 的本质奇点；以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征.如果a 为函数)(z f 可去奇点，则有),0(,)()()(2210R a z a z c a z c c z f <-<+-+-+=上式等号右边表圆:||K z a R -<内的解析函数.如果命,0)(c a f =则)(z f 在圆K 内与一个解析函数重合，也就是说，我们将)(z f 在点a 的值加以适当定义，则点a 就是)(z f 的解析点.这就是我们称a 为)(z f 的可去奇点的由来.定理1 如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z af z b →=≠∞.证明 充分性 因为a 为函数)(z f 可去奇点，则有)(z f =)0()()(2210R a z a z c a z c c <-<+-+-+ ，于是()()00lim z af z c c →=≠∞，必要性 ()()lim z af z b →=≠∞则对任给的0ε>，有δ0>，只要δ<-a z ,就有εη<-)(z f ，于是εη+<)(z f ，所以在点a 的某去心邻域{}K a -内)(z f 是以M 为界的，考虑)(z f 在点a 的主要部分+-++-+----nn a z c a z c a z )()(c 221,....)3,2,1()()(211=-=⎰Γ+--n d a f i c n n ξξξπ， 而Γ为全含于K 内的圆周ρρξ,=-a 可以充分小，n n n M M c ρπρρπ=≤+--2211，即知当1,2,n =时0n c -=，即是说)(z f 在点a 的主意部分为0，即a 为)(z f 的可去奇点.说明0=z 是sin zz的可去奇点，32sin 1()1,03!3!z z z z z z z =-+=-+<<∞，0sin lim1→=≠∞z zz.如果孤立奇点是极点时，孤立奇点的洛朗展开式的主要部分比为有限项，我们还有分级数，称为多少级极点.洛朗展开式中的负次方的项的系数必然满足一定的关系，总存在一个负最多的次数项，那么我们就把这个负多少次数的项称为函数的多少阶极点.比如，一个m 阶极点，表示洛朗展开式不是有m 个负次方的项，而是非零系数负次方的次数最大是m 次数了.定理2 如果函数)(z f 以a 为孤立奇点，则点a 是函数)(z f 的m 阶极点充要条件是下面两个条件中任意一条.① 在点a 的某一去心领域内能表成)(z f =ma z z ）-()(λ其中()z λ在点a 领域内解析，且0)(≠a λ；② )(1)(z f z g =以点a 为m 阶零点（极点与零点的关系）. 证明 充分性 点a 是函数)(z f 的m 阶极点，则在点a 的某去心邻域内有+-++-++-+-=-----)()()()(1011)1(a z c c az c a z c a z c z f m m m mmmm m a z z a z a z c c )()()()()1(-=-+-+=---λ，其中)(z λ显然在点a 的邻域内解析，且.0)(≠=-m c a λ所以在点a 的某去心邻域内有)()()(1)(z a z z f z g mλ-==，其中)(1z λ在点a 的某邻域内解析，且0)(1≠z λ，因此点a 位)(z g 的可去奇点，只要令()0g z =，a 就为)(z g 的m 阶零点.必要性 如果)(1)(z f z g =以点a 为m 阶零点，则在点a 的某邻域 )()()(z a z z g m ϕ-=，其中)(z ϕ在此邻域内解析，且0)(≠z ϕ，所以)(1)(1)(z a z z f mϕ⋅-=在此邻域内)(1z λ解析，在此邻域内命+-+=---)()(1)1(a z c c z m m ϕ， 则)(z f 在点a 的主要部分就是(1)111,(0),()()()m mm m m c c c c z a z a z a a ϕ------+++=≠--- 所以点a 是函数)(z f 的m 阶极点.在充分性中已经证明条件①可以推导出条件②，所以条件①可以推导出点a 是函数)(z f 的m 阶极点.定理3 函数)(z f 的孤立奇点a 为极点的充要条件是lim()z af z →=∞.证明 函数)(z f 以点a 为极点的充要条件是)(1z f 以点a 为零点（定理2），由此知定理为真.因此，若点a 为函数)(z f 的m 阶零点时，则点a 为函数1()f z 的m 阶极点；若点a 为函数)(z f 的m 阶极点，则点a 为函数1()f z 的m 阶零点.但是判断多少阶极点时要注意条件. 例如 函数21()z e f z z-=，0z =不是函数)(z f 的二阶极点，因为 231211()(),2!3!2!3!z z zf z z z z -=+++=+++所以，0z =是函数)(z f 的一阶极点.定理4 函数)(z f 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是lim ()z af z →不存在. 这个可以由定理1和定理3得到证明.定理5若z a =为函数)(z f 的本质奇点，且在点a 的充分小的去心邻域内部不为零，则z a =必为)(1z f 的本质奇点. 证明：令)(1)(z f z =ϕ，有假设得z a =必为)(z ϕ的孤立奇点.若点a 为)(z ϕ的可去奇点，则点a 必为)(z f 的可去奇点或者极点，与假设矛盾；若点a 为)(z ϕ的极点，则点a 必为)(z f 的零点，与假设矛盾，故z a =必为)(z ϕ的本质奇点.2.3在∞点的孤立奇点定义3设函数)(z f 在无穷远点（去心）领域{}:||K z -∞+∞>内解析，则称点∞为)(z f 的一个孤立奇点.如果点∞为)(z f 的一个孤立奇点，令1t z =,1()()()g t f f z t==则函数()g t 某去心领域{0}:0||K t R -<<内解析，0t =就为()g t 之一孤立奇点.于是得到下面结论:（1）在对应点z 与t 上，函数)(z f 与()g t 的值相等； （2）0lim ()lim ()z t f z g t →∞→=,或两个极限都不存在.定义4 若0t =为()g t 的可去奇点，m 阶极点或本质极点，则我们相应的称z =∞为)(z f 的可去奇点，m 阶极点或本质极点.定理6 如果z =∞是函数)(z f 的可去奇点的充要条件lim ()z f z b →∞=≠∞；如果z =∞是函数)(z f 的m 阶极点的充要条件)(z f 在z =∞的某去心领域{}K -∞内能表成()()m f z z h z =其中()h z z =∞在)(z u 的领域K 内解析，且()0h z ≠或者1()()h z z f z ==∞以为m 阶零点或者lim ()z f z →∞=∞；函数)(z f 的孤立奇点∞为本质奇点的充要条件不存在lim ()z f z →∞.证明 令1t z =，1()()()g t f f z t==，再根据定理1,2,3,4可证. 综上所述①如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z af z b →=≠∞；②如果a 为函数)(z f 极点充要条件lim()z af z →=∞；③如果a 为函数)(z f 本质奇点充要条件lim ()z af z →不存在.3.复变函数中的应用定理7 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的可去奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点；当()0f a ≠，()0g a ≠时，则z a =函数)()(z f z g ，)()(z g z f 的可去奇点. 证明 因为点z a =为)(z g 的可去奇点，所以lim ()z ag z b →=（有限复数）由)(z f 在点z a=解析知)(z f 在点z a =必连续，从而lim()()z af z f a →=，于是[]lim ()()()z af zg z f z b →±=±（有限复数），lim ()()()z af zg z bf z →=（有限复数），所以点z a =也为)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点.因为z a =是函数)(z g 的可去奇点，则lim ()z ag z b →=(有限数)，函数)(z f 在点z a =解析，所以lim()()z af z f a →=，因为()0f a ≠,所以()lim ()()z ag z bf z f z →=（有限数）所以点z a=是函数)()(z f z g 的可去奇点.同理可证点z a =是函数)()(z g z f 的可去奇点. 定理8 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的m 阶极点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的m 阶极点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数的)()(z g z f ，)()(z f z g 的m 阶极点.证明：因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成ma z z z g )()()(-=λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠a λ.于是()()()()()()m mz a f z z f z g z z a λ-±±=-,令)()()()(z z f a z z m λ±-=Φ则在点z a =解析，且0)()(≠±=Φa a λ所以点z a =也为)()(z g z f ±的m 阶极点.因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成ma z z z g )()()(-=λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠z λ，于是()()()()()mf z z f zg z z a λ=-，这里)()()(z z f z λ=Φ在点z a =解析，且0)(≠Φa ，所以点z a =是函数)()(z g z f 的m 阶极点.同理可证点z a =是函数)()(z f z g 的m 阶极点. 定理9 若函数)(z f 在点z a =解析,点z a =为函数)(z g 的本质奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数)()(z g z f ，)()(z f z g 的本质奇点.证明 因为函数)(z f 在点z a =解析，所以()f z b =，点z a =为函数)(z g 的本质奇点 所以lim ()z ag z →不存在，假设lim[()()]lim ()z a z ag z f z g z b →→+=+存在，则lim ()(z ag z b c →+=有限数）或者∞； lim ()(z ag z c b →=-∞有限数）或者 矛盾，所以点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点.因为点z a =为函数)(z g 的本质奇点，所以lim ()z ag z →不存在；函数)(z f 在点z a =解析,且()0f a ≠，所以lim ()()z af z f a →=，假z a =不是函数)()(zg z f 的本质奇点，则lim ()()(z af zg z b →=∞有限数）或，lim[()()]lim (=()(z az af zg z bg z f a f a →→=∞）或）相矛盾， 所以z a =是函数)()(z g z f 的本质奇点.同理可证也是)()(z f z g 的本质奇点. 定理10 若)(z f 在点a 的某去心邻域内能表示成)()()(z g z h z f =，a 为()h z 的n 阶零点，为)(z g 的m 阶零点，当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a 为)(z f 的可去奇点.证明：0)()(,)()(,))(()(1111解析，且都不等于和z g z h a z g z g a z z h z h mn-=-=,于是，11()()()()n mh z z a f z g z --=，所以当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a为)(z f 的可去奇点.例1 判断()2z z z f z e+=∞=点函数的孤立奇点类型.解 令z 1=ξ则得ξξ211)1(+=e f ，记函数为)(ξϕ所以点0=ξ是此函数的解析点()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=''+-='++432112112214218)()21(2)(ξξξϕξξϕξξee所以e e e 12)0(,2)0(,)0(=''-='=ϕϕϕ，()() ++-=2621ξξξϕe ，()()+∞<<⎪⎭⎫⎝⎛++-=z z z e z f 26212 ，这里∞=z 是函数)(z f 的可去奇点. 例2 求下列函数奇点的类型 ⑴z z cos sin 1+ ⑵()321iz + ⑶z 2tan ； 解：⑴4ππ-=k z () ,2,1±±=k 是原式的孤立奇点，41limsin cos z k z zππ→-=∞+，4ππ-=k z 是函数)(z f =z z cos sin +的一阶零点，所以4ππ-=k z () ,2,1±±=k 是一阶极点.⑵()i z -±=122是孤立奇点，()i z -±=122是函数()32i z +的3阶零点，所以()i z -±=122是三阶极点. ⑶π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是孤立奇点，π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是函数z z 22sin cos 的2阶零点，所以π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是二阶极点.例3求下列函数在扩大平面上的孤立奇点，并确定它们的类别.⑴226)1(1++z z z (2)21ze z+ (3)1111---z z ee (4)ztge1解：（1）令原式为)(z f ，则)(z f 是有理分式，显然0z =是单极点，当z i =±时，此时分子分母均为零，)1)(1(12426+-+=+z z z z ，))((1)1()1)(1()(2422242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=， 可见z i =±也是)(z f 的一阶极点.当z =∞时))((1)1()1)(1()(2422242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=，可见z =∞是)(z f 的一阶极点.（2）显然z i =±是)(z f 的一阶极点. 当z =∞时，令0z x =>211lim lim 0()x x x x f x e→∞→∞+==, ()()2110,lim lim x x x x z x x f x e-→∞→∞+=->==∞-,因此极限1lim()z f z →∞不存在（包括不为∞），所以，z =∞是)(1z f 的本性奇点，故z =∞是)(z f 的本质奇点.注：若lim ()z f z →∞不存在，则z =∞是)(z f 的本性奇点，这是显然的，否则若z =∞是可去奇点（正则点）或极点，则lim ()z f z →∞存在且有限，或lim ()z f z →∞=∞，矛盾.（3）显然k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是分母的零点，而分子仅有),0(10==k z 分子为零，所以k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是)(z f 的一阶极点. 当10==z z 时，令1,-==x y x z ，则()11lim lim 1yy x y ef x e ++→→==+∞-11lim ()lim 0,(),1pp x p ef x p y e -+--→→===--所以1lim ()z f z →不存在，故1=z 是)(z f 的本性奇点.又∞→k z （∞→k ），故z =∞不是孤立奇点.（4）由下列注知：函数ζe 仅有唯一的奇点∞=ζ，且它是本质奇点，于是令ztg1=ζ，则)(z f 仅为函数ζe 又由z 1cos =0知，当k z =π)12(2+k （0k =， ,1±）时，∞=ζ所以k z 是的)(z f 本质奇点.显然0z =是)(z f 的本质奇点.当z =∞时，若定义,01=∞则z =∞是)(z f 可去奇点.综上对孤立奇点的研究，要判断孤立奇点类型主要有2种方法：①根据主要部分，但有一些函数的洛朗展开式不容易求出；②函数的极限值，当极点时，无法判断极点的阶数.所以求函数的奇点类型一般方法先求函数在孤立奇点的极限值，如果我们求出的是极点，在根据极点和零点的关系求出极点的阶数.结束语本论文所论述的判定孤立奇点类型的方法只是为了判定孤立奇点的类型提供参考，在具体的判定孤立奇点类型时，可以根据函数的不同采用不同的判定方法判定孤立奇点类型.本文中的方法不一定是解题时最简便的判定孤立奇点的方法.参考文献[1]尹水仿，李寿贵，复变函数与积分变换[M],科学出版社，2009.[2]苏变萍，陈东立,复变函数与积分变换（第二版）[M], 高等教育出版社 ，2010. [3]陈宗煊，孙道椿，刘名生, 复变函数[M],科学出版社 ，2010. [4]钟玉泉, 复变函数论（第三版）[M], 高等教育出版社， 2004. [5]沈燮昌, 复变函数论基础[M], 上海科学技术出版社,1982. [6]庄圻泰, 复变函数[M], 北京大学出版社， 1984. [7]冯复科，复变函数与积分变换[M]，科学出版社,2008.[8]Brown, James Ward., Complex variables and applications[M], China Machine Press ， 2004.Types and Their Judgment of The Isolated SingularityAuthor ：Dong Zhaolin Supervisor: Wu DaiyongAbstract ：This article generalizes type and main determination way of the isolated singularity.Respectively studying function in finite number of points and infinite point of the isolated singularity, we get three to determine the method which are definition of law , limit law and poles and zeros relations act with isolated singularity type. This article describes relationship of new function which two functions and, difference, product, business receive with the original function in isolated singularity type. Combination of what the example describes the application of the three methods to determine the type of isolated singularity.Keywords: removable singularity extreme essential singularity。
(优选)解析函数的孤立奇点与留数.
内 ， f(z) 的Laurent 展式为: f (z) C n (z z0 )n n
L为0 z z0 内包含z0的任一条简单闭曲线，
对 上 式 两 边 积 分 得 L
f
(z)dz
2iC1
称
C 1
1
2
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
例2.
z
=
是
f
(z)
(z
1 1)( z
2)
的可去奇点.
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
sin z 1 1 1 z 2
z3
z 2 3! 5!
z 0为f (z)的2级极点, z 为f (z)的本性奇点
四 .留数
设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域 0 z z0
n
z 为极点
f (z) Cn z（ n R z )只含有限个正幂项 n
z 为m级极点 Cm 0,Cn 0(n m)
lim f (z) z
z 为本性奇点
f (z) Cn z（ n R z )含无穷多个正幂项 n
lim f (z)不存在且不为 z
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定， 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。
C n z n中z 1的 系 数
n
留数计算法：
(1) 若z0为f (z)的可去奇点,则 Res[ f (z), z0 ] 0
(2) 若z0为f (z)的1级极点,则
4.0解析函数的孤立奇点
其中
( z ) a m a m1 ( z z 0) ( z0 ) 0
z z0
a0 ( z z0 ) m 是解析函数，且
如果z0是f(z)的极点，lim | f ( z ) | 或写作 lim f ( z )
z z0
极点的判定定理 （1）f(z)在奇点z0的去心邻域内的Laurent级数的主要 部分为有限多项； （2）f(z)在z0点的去心邻域0<|z-z0|<R内能表示为如下 ( z) 形式：
f ( z0 ) f '( z0 )
f
( m 1)
( z0 ) 0,
f
( m)
( z0 ) 0
例如：z=0,z=1分别为函数f(z)=z(z-1)3的一级与三级零点。
（2）极点的概念 如果f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域内，Laurent级数中的主 要部分为优先多项（即有限个负幂项），即为
奇点是z=kπ (k=0,±1, ±2, …)，很显然他们都是孤立 奇点，又
(sin z )'| z k cos z | z k (1) 0 1 所以z=kπ都是sin z的一级零点，从而是 的一阶 sin z 极点
k
3.本性奇点 如果f(z)在其孤立奇点z0的去心邻域的Laurent级数中 主要部分为无限多项（即含无限多个负幂项），则 称z0为f(z)的本性奇点。
2、非孤立奇点
z z0
f ( z)
( z)
二、孤立奇点的分类 奇点
z0
k k k 0 0
∞
| R
k
类型
展开 a ( z z ) ,0 | z z 式
谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法
谈解析函数中有限孤立奇点的判定方法有限孤立奇点是一种重要的数学概念，它是一种有限、孤立的特殊点，具有解析函数的性质。
有限孤立奇点的存在及其判断具有重要的理论和应用价值。
本文主要就解析函数中的有限孤立奇点作一深入的研究，主要介绍以下内容：一、有限孤立奇点的定义有限孤立奇点是指一类有限的孤立的点，这些点具有解析函数的性质。
可定义为：若函数f（x）在x=x_0处及它的邻域内无有限值，则称x_0是f（x）的有限孤立奇点。
这里，f（x）一般指定义域上的可导分析函数，并且特征点x_0也要满足函数f（x）在有限范围内无有限值。
二、有限孤立奇点的重要性有限孤立奇点对于解析函数有着重要的意义。
首先，有限孤立奇点可以帮助数学研究人员更加深入地研究函数，从而有助于函数分析。
其次，有限孤立奇点也可以用来分析一些特定问题，比如求解方程。
在应用中，有限孤立奇点的存在也可以提供一种有力的理论基础，涉及到一些数学上的研究，如解析函数的求解、有限元素分析等。
三、有限孤立奇点的判定方法判断一个点是否为有限孤立奇点，有多种方法可以实现。
首先，是通过函数的求导，利用极值定理，从而判断函数是否有孤立的极值点，若是的话，这个点就可能是有限孤立奇点。
其次，还可以利用超参数曲面，观察曲面的拐点以及曲线的行为来判定。
再次，可以利用数值求解的方法，给定函数的定义域，进行穷举，并利用精确数值计算和迭代法，不断收敛，最后达到极值点。
最后，还可以通过分离变量法来进行求解。
四、总结本文讨论了解析函数中有限孤立奇点的判定方法，提出了多种判定方法，以便解析函数中有限孤立奇点的判断。
借助这些方法，可以更深入地了解函数的性质，为函数分析和应用提供有力的理论支持。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点孤立奇点是复变函数中的一种特殊情况，指的是某个点处的函数不连续且无法进行泰勒展开的点。
在实际应用中，孤立奇点经常出现在复函数的分母中，导致分母为零从而使得函数的值无法计算。
因此，了解孤立奇点及其性质对于理解复变函数的研究和应用至关重要。
首先，我们来看一个简单的例子：设$f(z)$为复变函数$\frac{1}{z}$。
此时，我们可以发现，当$z=0$时，函数$f$的值为无穷大，即$f$在$z=0$处有一个孤立奇点。
这是因为当$z$无限地接近于0时，分母会无限地接近于零，从而使得$f$的值趋向于无穷大或负无穷大。
因此，我们可以将孤立奇点定义为“使得函数无法在该点处连续的点”。
在复平面上，孤立奇点通常具有以下几个性质：1. 孤立奇点必须是函数的“独立点”。
也就是说，如果一个点是函数的“可去奇点”、“极限奇点”或“本性奇点”，那么它就不可能是孤立奇点。
2. 孤立奇点是函数的“聚点”。
也就是说，无论以任何方式接近孤立奇点，都必然会进入到“不可解析”的区域内。
3. 孤立奇点有限。
也就是说，一个复变函数的孤立奇点不能无限多。
有了这些性质，我们可以更好地理解孤立奇点的特性和行为。
例如，对于一个孤立奇点，我们可以通过求解$f$的洛朗级数来近似描述它附近的函数行为。
洛朗级数可以看做是泰勒级数在孤立奇点处的推广形式，是一种形如$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$的级数，其中$a_n$为常数，$z_0$为孤立奇点。
通过求解这个级数，我们可以得到$f$的近似值，并进一步研究其性质。
此外，我们还可以通过研究孤立奇点的类型来判断复变函数在该点附近的行为。
根据孤立奇点的定义，我们可以将其分为三类：可去奇点、极限奇点和本性奇点。
可去奇点指的是在该点附近可以重新定义函数使其连续的点；极限奇点指的是在该点附近函数的绝对值无限地增大或减小的点；本性奇点则是既非可去奇点也非极限奇点的孤立奇点，我们通常将这类点称为“真正的”孤立奇点。
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义于复平面上的函数，即自变量和函数值都是复数。
与实变函数不同的是，复变函数的导数可以沿任意方向取值，因此具有许多特殊的性质。
其中最重要的特征之一就是奇点。
奇点是指函数在该点处没有定义或者是不连续的点，可以分为两类：可去奇点和孤立奇点。
本文将重点讨论孤立奇点，探讨其性质和在实际问题中的应用。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指复变函数在某一点处不解析的奇点。
通俗地讲，如果函数在某一点附近有定义，但在该点处没有定义，则该点就是该函数的孤立奇点。
例如，函数f(z)=1/z在z=0处就是其孤立奇点，因为它在z=0附近有定义，但在z=0处没有定义。
孤立奇点有三种分类方法：性质、类型和阶。
这里主要介绍性质和类型。
1、性质孤立奇点的性质取决于该点周围函数的行为。
根据函数的行为，孤立奇点可以分为以下三类：（3）本质奇点：如果函数在孤立奇点处的行为不能用有限阶极限描述，则该点为本质奇点。
例如，函数f(z)=exp(1/z)在z=0处的行为不能用有限阶极限描述，因此z=0是它的本质奇点。
本质奇点的特点是函数在该点附近不能被解析延拓为任何解析函数，任何方法都无法消除奇点。
2、类型（1）一阶孤立奇点：如果孤立奇点的极限存在，则其阶数为1阶。
例如，函数f(z)=(z-1)/((z-2)(z-3))在z=2处有一个一阶极点。
孤立奇点作为复变函数的重要特点，在实际问题中具有广泛的应用。
其中，最常见的应用是在物理和工程学科中。
例如，孤立奇点可以用于描述流体的天然涡旋或分离特性，还可以用于电磁场中的场分布计算，以及通信系统中的信号传输分析等。
此外，在数学中，孤立奇点还被用于研究解析延拓和拓扑，以及在复分析中的一些基础问题中。
总之，孤立奇点作为复变函数中的重要特征，是理解复分析基础理论中不可或缺的概念之一。
掌握孤立奇点的分类和性质对进一步的研究和应用都至关重要。
解析函数的孤立奇点类型判断及应用讲解
解析函数的孤立奇点类型判断及应用摘 要 孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。
解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。
本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m 阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。
并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。
关键词 孤立奇点 可去奇点 极点 本质奇点 判断 留数计算前言在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。
目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的《复变函数论》中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。
但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。
本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。
此项研究内容可以对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。
在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。
在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。
通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。
解析函数的孤立奇点毕业论文
本科毕业论文学 院数学与信息科学学院 专 业信息与计算科学 年 级2011级 姓 名***论文题目解析函数的孤立奇点 指导教师 职称 讲 师2015年 月 日学号：目录摘要 (1)关键词 (1)A b s t r a c t (1)K e y w o r d s (1)前言 (1)1 解析函数的概念 (1)2 解析函数的洛朗展式 (2)2.1解析函数在孤立奇点邻域的洛朗展式 (2)3 解析函数的孤立奇点 (2)3.1孤立奇点的三种类型 (2)3.2 可去奇点 (3)3.3 极点 (5)3.4 本质奇点 (7)4 无穷远点是奇点的情形 (8)总结 (10)参考文献 (11)解析函数的孤立奇点学生:***学号:*****数学与信息科学学院 信息与计算科学专业 指导教师:书香 职称:讲师摘 要：本文介绍了解析函数的概念和解析函数在孤立奇点邻域的洛朗展式，以与解析函数的孤立奇点的三种类型：可去奇点、极点、本质奇点与无穷远点是奇点的情形．关键词：解析函数;洛朗展式;孤立奇点The isolated singularity of analytic functionAbstract ：W e will introduce the definition and Laurent exhibition type of analyticfunction and three types of the isolated singularity,that is , removable singularity ，the pole and essential singularity as well as the singularity at infinity in this paper ．Key words ： Analytic function ；Laurent exhibition type ；Isolated singularity前言在复变函数中，解析函数是复变函数论的主要研究对象，它是一类具有某种特性的可微函数．在本文中，首先简单的给出了解析函数和孤立奇点的定义，解析函数的洛朗展式，以与解析函数在孤立奇点邻域的洛朗展式．接下来，详细的介绍了解析函数的孤立奇点的三种类型：可去奇点、极点、本质奇点，并结合具体的列子来研究各类奇点的性质与特点．1解析函数的概念定义[]11.1假设函数()z f =ω在0z z =的邻域()0z S 上有定义，且在此邻域中函数()z f 处处有导数，那么称函数()z f =ω在0z z =处解析．假设函数()z f =ω在区域D 有定义，且在D 处处有导数，那么称函数()z f =ω在区域D 解析，或称()z f 是区域D 的解析函数．容易看出，函数()z f 在区域D 解析与函数()z f 在区域D 处处解析的说法是等价的．2解析函数的洛朗展式定理[]41.2〔洛朗定理〕 在圆环H ：()+∞≤≥<-<R r R a z r ,0解析的函数()z f 必可展成双边幂级数()()∑∞-∞=-=n nna z c z f ， 〔2.1〕其中()()ξξξπτd a f i c n ⎰-=21()⋅⋅⋅±=,1,0n ， 〔2.2〕 Γ为圆周()R r a <<=-ρρξ，并且展式是惟一的〔即()z f 与圆环H 惟一地决定了系数n c 〕．定义2.1 〔2.1〕称为函数在点的洛朗展式，〔2.2〕称为其洛朗系数，而〔2.1〕等号右边的级数那么称为洛朗级数．2.1 解析函数在孤立奇点邻域的洛朗展式定义 2.2 如果函数()z f 在点a 的某一去心邻域{}a K -：R a z <-<0〔即除去圆心a 的某圆〕解析，点a 是()z f 的奇点，那么称a 为()z f 的一个孤立奇点．注 因函数()z f 在{}a K -是单值的，故也称a 为()z f 的单值性孤立奇点；如遇到()z f 在{}a K -是多值的，那么称a 为()z f 的多值性孤立奇点，即支点〔由于在支点的邻域函数能由一支变到另一支，故函数在支点邻域缺少单值性．因而它以最简单的方式破坏了函数的解析性．因此支点也是函数的奇点〕．如无特别声明，提到孤立奇点总指单值性孤立奇点．当然，我们也会遇到非孤立奇点．如果a 为函数()z f 的一个孤立奇点，那么必存在正数R ，使得()z f 在点a 的去心邻域{}a K -：R a z <-<0可展成洛朗级数．3 解析函数的孤立奇点孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型．以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域充分研究一个解析函数的性质．[]51.3 孤立奇点的三种类型由上文知，我们可以在邻域R a z <-<0将()z f 展开成洛朗级数．下面，根据函数展开成洛朗级数的不同情况我们将孤立奇点作以下的分类．如()z f 是单值函数，a z =是()z f 的孤立奇点，()z f 可以展开为在R a z <-<0为收敛的洛朗级数：()()()∑∑∞=--∞=-+-=1n nn n nn a z c a z c z f ，()∑∞=---1n nn a z c 叫做()z f 关于奇点a z =的主要局部，因为可依靠它来决定奇点的性质．()∑∞=-0n nn a z c 叫做()z f 的正那么局部．现在有三种可能性：〔1〕主要局部恒等于零，就是所有0=-n c ．例如()zzz f sin =，在原点的邻域除了原点以外为正那么，在R z <<0，洛朗展开式为⋅⋅⋅-+-=!5!31sin 42z z z z ， 其主要局部等于零．在这种情形，a z =叫做()z f 的可去奇点．〔2〕主要局部只包含有限个项，就是当n 为某一数以后，0=-n c ．在这种情形，a z =叫做()z f 的极，或极点．〔3〕主要局部的项数是无穷的．在这种情形，a z =叫做()z f 的本质奇点．以下将分别考虑函数在各种奇点邻域的性质． 3.2 可去奇点定理[]21.3a z =为()z f 的可去奇点的充要条件为()z f a z lim→存在〔有限值〕．证明： 必要条件，假设0=-n c ()⋅⋅⋅=,2,1n ， 那么 ()()∑∞=-=0n nn a z c z f ．由于幂级数在收敛圆是一个解析函数，因此，在上面的这个等式的右端函数在a z =点连续，所以()()00lim lim c a z c z f n nn a z az =-=∑∞=→→．充分条件，假设()l z f a z =→lim〔有限值〕那么对于任意给定的0>ε，存在0>δ，当δ<-<a z 0时，就有()ε<-l z f ．于是()M l z f =+<ε．这就是说()z f 在a z =点的一个邻域有界．又因为()z f 在点a 的邻域的洛朗展开式中的n c -可以表示为()()⎰Γ---=dz a z z f ic n 121τπ()⋅⋅⋅=,2,1n ． Γ：ρ=-a z ()δρ<，那么n M M c ρπρρπτ=⋅⋅⋅≤--22111()1≥n ． 所以，令0→ρ，得0=-n c ．于是()01≡-∑∞=--n nn a z c ．故()()∑∞=-=0n nn a z c z f ．定理[]32.3在定理3.1的假设下，a z =是()z f 的可去奇点的充分必要条件是：存在着某一正数R ≤0ρ，使得()z f 在00ρ<-<a z 有界．综上，我们知道如果a 为函数()z f 的孤立奇点，那么以下三条是等价的．因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征． 〔1〕()z f 在a 点的主要局部为零；〔2〕()()∞≠=→b z f a z lim；〔3〕()z f 在点a 处的某去心邻域有界．例[]11考虑函数()⎪⎩⎪⎨⎧=,2,sin zz z F .0;0=≠z z 这个函数以0=z 为它的孤立奇点．根据上述可去奇点的特征，知0=z 是()z F 的可去奇点．如果我们定义一个函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==→,1sin ,sin lim 0z z zz z g z .0;0=≠z z 那么这个函数在全平面上就处处等于由()()⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++-=!121!5!31sin 242n z z z z z nn中的级数所确定的全平面上的解析函数了．所以，当函数()z f 在0z z =处或者没有定义，或者定义的“不好〞，但当0z z =是它的可去奇点时，只要我们重新构造一个函数()z g ，使它在0z z =处取()z f 的极限值，而在其他地方与()z f 完全相等．这样的函数()z g 就在0z z =解析了，这表示已将奇点去掉了，因此称0z z =是可去奇点．[]53.3 极点如果a z =是()z f 的一个极点．设()z f 的洛朗展开式的主要局部最后一个不等于零的系数为m c -，即()()()∑∑=--∞=-+-=mn nn n nn a z c a z c z f 1．a z =叫做m 阶的极点．当⋅⋅⋅=,2,1m 时，a z =又分别叫做简单极点，二阶极点，…．定理3.3 设a z =是函数()z f 的一个极点，那么当a z →，()∞→z f ． 证 设a z =是m 阶的极点，()z f 的主要局部：()()∑∑=---=----=-mn nm n mmn nn a z c az a z c 11()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---≥∑-=----11m n n m n m ma z c c az 当a z →，括号趋近于n c -．所以当a z →，()∞→z f ．定理3.4 在一个m 阶的极点的邻域，函数()z f 可以表示为下形：()()()ma z z z f -=ϕ，其中()z ϕ在a z =为正那么，并不为零．由于()z ϕ在a z =为正那么并不为零，那么()()()z f a z z m-=1ψ在a z =为正那么并不为零．所以()()()z a z z f mψ-=1， 在a z =有一个m 阶的零．反过来，如果a z =是()z f 的m 阶的零，那么a z =是()z f 1的m 阶的极点． 综上，如果函数()z f 以点a 为孤立奇点，那么以下三条是等价的．因此，它们中的任何一条都是m 阶极点的特征． 〔1〕()z f 在点a 的主要局部为()()01≠-+⋅⋅⋅+----m mm c a z c a z c ； 〔2〕()z f 在点a 的某去心邻域能表成()()()ma z z z f -=λ，其中()z λ在点a 邻域解析，且()0≠a λ．〔3〕()()z f z g 1=以点a 为m 阶零点〔可去奇点要当作解析点看，只要令()0=a g 〕． 例[]12函数2z z e e shz --=以0=z 为几阶零点？函数shz1以0=z 为几阶极点？解： 显然02110=-=sh ， 且 ()12=+='=-=z z z z e e shz ．因此shz 以0=z 为一阶零点．根据上面的极点的特征知0=z 就是shz1的一阶极点．例[]13函数z 2sec 以ππk z +±=2〔k 是整数〕为几阶极点？解： 考虑函数z 2cos ，显然02cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛+±ππk ，且 ()0cos sin 2cos 222=⋅-='+±=+±=ππππk z k z zz z，()()ππππk z k z z z +±=+±='-="2222sin cos()012cos ≠=+±-= ππk ．因此z 2cos 以0=z 为二阶零点．0=z 就是z z22sec cos 1=的二阶极点． []44.3 本质奇点定理3.5 函数()z f 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是()()⎩⎨⎧∞≠→有限数b z f az lim ，即()z f a z lim→不存在． 定理3.6 假设a z =为函数()z f 之一本质奇点，且在点a 的充分小去心邻域不为零，那么a z =亦必为()z f 1的本质奇点．证 命()()z f z 1=ϕ．由假设，a z =必为()z ϕ的孤立奇点．假设a z =为()z ϕ的可去奇点〔解析点〕，那么a z =必为()z f 的可去奇点或极点，此与假设矛盾；假设a z =为()z ϕ的极点，那么a z =必为()z f 的可去奇点〔零点〕，亦与假设矛盾．故a z =必为()z ϕ的本质奇点．例4 0=z 为ze 1的本质奇点．因为⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=nzz n z z e !1!211121． ()+∞<<z 0由定理3.6，我们可以确定0=z 亦为ze 1-的本质奇点．在上式中将z 改成z -，也可看出这一点．4 无穷远点是奇点的情形定义[]21.4如果()z f 在+∞<<z R 解析，R 为某一个正数，那么称∞=z 为()z f 的孤立奇点．令z1=ξ，以与()()z f f g =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ξξ1． 假设∞=z 为()z f 的孤立奇点，那么0=ξ为()ξg 的孤立奇点，因为这时()ξg 在0=ξ的邻域R10<<ξ为解析．这样便把()z f 在∞=z 的邻域的性质化()ξg 为在0=ξ的邻域的性质来研究．定义4.2 假设0=ξ为()ξg 的可去奇点，那么称∞=z 是()z f 的可去奇点． 利用0=ξ为()ξg 的可去奇点的充要条件，即可得到∞=z 为()z f 的可去奇点的充要条件．定理4.1 ∞=z 为()z f 的可去奇点的充要条件为()⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=------n n z c z c z c c z f 22110，在+∞<<z R 成立．定理4.2 ∞=z 为()z f 的可去奇点的充要条件为()z f z lim∞→存在〔有限值〕．假设规定()()z f f z lim ∞→=∞， 这时就把∞=z 看作是()z f 的解析点．例[]45由()()()211--=z z z f 在∞+<z 2的洛朗展式，知它以∞=z 为可去奇点，并且作为解析点来看是二阶零点〔只要让()0=∞f 〕．又 ()()()()211--==z z z f z g =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-z z z 21112， 以∞=z 为二阶极点．这里()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z z z 2111μ，()01≠=∞μ．定义4.3 假设0=ξ是()ξg 的极点，那么称∞=z 为()z f 的极点，其级数也规定一样．定理4.3 ∞=z 为()z f 的m 阶极点的充要条件为()∑∑∞=--=+=01n n n m n nn z c z c z f ， ()0≠m c 在+∞<<z R 成立．定理4.4 ∞=z 为()z f 的极点的充要条件为()∞=∞→z f z lim．定理4.5 函数()z f 的孤立奇点∞为本质奇点的充要条件是以下两条中的任何一条成立：（1）()z f 在∞=z 的主要局部有无穷多项正幂不等于零；（2）()z f z lim ∞→不存在〔即当z 趋向于∞时，()z f 不趋向于任何〔有限或无穷〕极限〕．例[]46将多值解析函数bz a z Ln--的各分支在无穷远点的某去心邻域展成洛朗级数． 解 无穷远点不是 b z a z Ln-- 的支点，故能在点∞的邻域}{b a z ,max >分出单值解析分支．且在此去心邻域，各支均能展成洛朗级数．现在第k 支z b z ab z a z --=--11ln ln =ki z b z a 21ln 1ln +⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-， 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-z a 1ln 与⎪⎭⎫ ⎝⎛-z b 1ln 均表主值支．故 ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--11112ln n n nn z b n z a n i k b z a z π =()⋅⋅⋅±±=⋅-+∑∞=,2,1,0121k z n a b i k n n n n π． 由此可见，∞=z 实为各单值解析分支点的单值性孤立奇点即可去奇点． 例[]47求出函数()11tan --z z 的奇点〔包括无穷远点〕，并确定其类别． 解 ()()()()1cos 11sin 11tan ---=--z z z z z ， 以1=z 为可去奇点；π2121++=k z k ，⋅⋅⋅±=,1,0k 为一阶极点；∞=z 为这些极点的聚点，是个非孤立奇点．总结解析函数是复变函数研究的主要对象，在理论和实际问题中有着广泛的应用．本文主要研究的是解析函数在孤立奇点邻域的性质，在许多问题中也具有重要意义，例如在留数理论与其应用中，在线性常微分方程的解析理论中，等等．在本文中，我们主要研究单值函数〔或者多值函数的单值分支〕的孤立奇点．其中无穷远点是一个特殊的孤立奇点，所以解析函数在无穷远点的性质也是比拟重要的．参考文献[1]燮昌．复变函数论根底[Ｍ]．：科学技术，1982．[2] 周正中．复变函数论[Ｍ]．：人民，1982．[3] 余家荣. 复变函数[Ｍ]．：科学，1979．[4] 钟玉泉. 复变函数论[Ｍ]．第三版．：高等教育，2004．[5] 锐夫，程其襄. 复变函数论[Ｍ]．：高等教育，1960．。
解析函数的孤立奇点
f (z) (z 1)3 (z i )1(z i )1(z 2),
所以, z i 是 f (z) 的1级极点,
z 1 是f (z)的3级极点.
数学学院
例4
求
1 f (z) ez 1
的孤立奇点,
并指出奇点的类型.
解 zk (2k 1) i (k 0, 1, 2, ) 是 ez 1 的零点，
有无穷多个奇点. 1
1
k
o
x
z 0 不是函数 sin 的孤立奇点.
z
数学学院
一. 可去奇点 定义1 如果 f (z)在 0 z z0 内的Laurent
级数中不含有 z z0 的负幂项, 即当 n 1, 2, 3, 时, cn 0, 则称 z0 是 f (z) 的可去奇点.
f (z) c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n .
内解析，则称 z0 是 f (z) 的孤立奇点.
z0
例如 z 0
是函数
1
ez
和
sin z z
的孤立奇点.
o
x
数学学院
1
例1 证明:z 0不是函数 sin 的孤立奇点.
z
证明
令sin 0，得 k , z 1 , k 1, 2,
z
z
k
lim 1 0, k k
y (z)
所以, 0,在0 | z | 内,
数学学院
第五章 留数及其应用
5.1 孤立奇点 主讲人:魏平 教授 数学与统计学院
数学学院
回顾 若 z0 是 f (z) 的孤立奇点，此时 f (z)在圆环域
0 z z0 内解析, 展开为Laurent级数
f (z)
cn (z z0 )n ,
解析函数的洛朗展式与孤立奇点
❖ 定义5.3 设 a 是 f z 的孤立奇点，
❖ （ 1 ） 若 主 要 部 分 为 0 ， 则 称 f z 是 的可去奇点 f(z)。
❖ （2）若主要部分为有限多项，则称 a 是
的 f z 极点，此时主要部分的系数必满足
cm 0 此时称a 为 f z 极点 m 阶级点，
亦称为 m 级极点。
❖ 若主要部分有无限多项，则称 a 是f(z)
在
z 1
的（最大）去心邻域
0 z 1 1
内
f z 1 1
z 1 z 2
z
1＋ 1
z
1
1
１
1
z 1n
z 1 n0
❖ 在 z 2 的（最大）去心邻域
0 z 1 1
内
f
z
z
1
2
z
1
2 １
1
1n z 2n
z 2 n0
5.2 解析函数的孤立奇点
❖ １孤立奇点的分类 可去奇点、极点、本性奇点。
亦为 1 的本性奇点。
ez
❖ 6、毕卡定理
❖ 定理5.8 若 a 为 f z 的本性奇
点，则对任意数 （可以是 ），
都有一个收敛于 A 的点列 zn
使
lim
n
f
zn
A
❖ 定理5.9（毕卡大定理） 若a f 为z
的本性奇点，则对每一个 A ，
a 除 掉 可 能 一 个 值A A0 外 ， 必 有 趋 于
的本性奇点。
❖ 2、可去奇点的判断
❖ 定理5.3 设 a 为 f z 的孤立奇点，
则下述等价：
❖ （1）f z 在 a 的主要部分为0；
❖ （2） lim f z b za （３） f z 在点 a 的某去心邻域内 有界。
4.3.2 解析函数的孤立奇点
第四章 级 数 第三节 洛朗展式 8、解析函数的孤立奇点：设函数f (z )在去掉圆心的圆盘)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内确定并且解析，那么我们称0z 为f (z )的孤立奇点。
在D 内，f (z )有洛朗展式,)()(0∑+∞-∞=-=n nnz z z f α其中,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+ρζζζπαC n n n d z f i ρC 是圆)0(||0R z z <<=-ρρ。
例如，0是z e zz z z 12,sin ,sin 的孤立奇点。
一般地，对于上述函数f (z )，按照它的洛朗展式含负数幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：（1）、如果当时n =-1,-2,-3,…，0=n α，那么我们说0z是f (z )的可去奇点，或者说f (z )在0z有可去奇点。
这是因为令00)(α=z f ，就得到在整个圆盘R z z <-||0内的解析函数f (z )。
（2）、如果只有有限个（至少一个）整数n ，使得0≠n α，那么我们说0z是f (z )的极点。
设对于正整数m ，0≠-m α，而当n<-m时，0=n α，那么我们0z 是f (z )的m 阶极点。
按照m=1或m>1，我们也称0z是f (z )的单极点或m 重极点。
（3）、如果有无限个整数n<0，使得0≠n α，那么我们说0z 是f (z )的本性奇点。
例如，0分别是z e zz z z 12,sin ,sin 的可去奇点、单极点及本性奇点。
定理8.1函数f (z )在)0(||0:0+∞≤<<-<R R z z D 内解析，那么0z是f (z )的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，0)(lim 0α=→z f zz ，其中0α是一个复数。
证明：（必要性）。
由假设，在R z z <-<||00内，f (z )有洛朗级数展式：...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R ，所以它的和函数在R z z <-||0内解析，于是显然存在着0)(lim 0α=→z f z z 。
解析函数零点与孤立奇点
定义法：将函数f(z)在a处的洛朗级数展开，通过找出负指数项的个数的方法来判断处解析函数的孤立奇点的三种类型.
极限法：通过对函数f(z)在a处的极限求解，即可判断出孤立奇点的类型.即:
当a是函数f(z)的可去奇点时，有lim┬(z→a) f(z)存在但是为有限个;
当a是函数f(z)的极点时，有lim┬(z→a) f(z)=∞;
当n<m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =∞.[7]
孤立奇点在复变函数极限求解中主要是利用极点来求解∞/∞型的复变函数求极限问题.如果函数f(z)和g(z)在点z_0的去心邻域：0<|z-z_0 |<R内解析，并且z_0是函数f(z)的n阶极点，是函数g(z)的m阶极点，则有：
当n>m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =∞;[8]
解析函数的零点在极限的求解中的应用主要是针对于0/0型的复变函数求极限问题.如果z_0是解析函数f(z)的n阶零点，也是g(z)的m阶零点，则有：
当n>m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =0; [5]
当n=m时，lim┬(z→z_0 )=f(z)/g(z) =(f^m (z_0 ))/(g^n (z_0 ) ) ，即是分子、分母展开式中的首项系数之比;[6]
对于孤立奇点的分类，我们主要是以解析函数的洛朗展开式为工具，根据洛朗展开式中的负指数的有无和系数将孤立奇点分为以下三种类型：
对于f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项的系数为0，则称a为函数f(z)的可去奇点；
如果f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项有无数多项，则称a为函数f(z)的本质奇点；
如果f(z)在a处的洛朗展开式中负指数项存在，则称a为函数f(z)的极点，而且a还是函数f(z)的一阶极点，一阶极点也称为单极点。
解析函数的孤立奇点与留数
)
0,
Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,则
Res[ f
(z),
z0 ]
P(z0 ) Q(z0 )
11
(5) Res[f
2020/7/9
(z),
]
Res[ f
(
z
)
z2
,0]
14
注：1（. 3）中取m 1,即得（2）；
2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m, 也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式
i
L
f
( z )dz
为f
(
z
)在z
的
0
留
数
，
记为Res[ f (z), z0 ],即
1
Res[ f (z), z0 ] 2 i L f (z)dz C 1
2020/7/9
12
无穷远点处的留数
设f (z)在无穷远点z 的去心邻域R z 内解析, L为R z 内任一条逆时针方向的 简单闭曲线，则f (z)在处的留数定义为
lim(z
z z0
z0 )k
f
(z)
,0
k
lim(z
zz0
z0 )m
f
(z)
cm ,
m
c-m为有限复常数;
(3) z0为f(z) 的本性奇点：
lim f (z)不存在也不为
zz0
2020/7/9
3
二. 零点与极点的关系
(1) 定义: 若解析函数f(z)能表示成 f(z) = (zz0)m(z),
2020/7/9
23
例6. 计算
2
I
dx
,其中a > 0且a 1.
0 1 2a cos x a 2
高等数学孤立奇点
课堂练习
求
z3
1 z2
z
1
的奇点,
如果是极点,
指出它的
阶数.
答案
由于
z3
1 z2
z1
1 (z 1)(z 1)2
,
所以 : z 1是函数的一级极点,
z 1是函数的二级极点.
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
其中 c0 (z0 ) 0,
从而f (z)在z0的泰勒展开式为 f (z) c0(z z0 )m c1(z z0 )m1 c2(z z0 )m2 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
说明: (1) g(z) cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2 特点: 1. 在 z z0 内是解析函数 2. g(z0 ) 0 (2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 等价于
lim f (z) .
zz0
例5
有理分式函数
f
(z)
z
3z 2 2(z 2)
z
的孤立奇点.
z
z
1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
解析函数孤立奇点的分类
解析函数孤立奇点的分类。
函数孤立奇点是复杂学科数学中概念，它指的是给定函数f（x），在某个合理的定义域内，使得f（x）的导数不存在的点，又称为函数的驻点，孤立奇点。
孤立奇点有各种分类，根据它们的奇性、个数、特征等，可以将它们分为局部奇点、全局奇点、桥点、谷点、极点、波动点、交叉点、分叉点、折点等。
局部奇点指的是一个函数在某个区间上存在一个奇点，此区间除了这一个奇点外，函数f （x）在其余点上都是单调或满足另外一种定义条件。
这种孤立奇点多数出现在非线性函数图像上，由于它是一种极值，具有局部最小或最大的特点，而且只存在于这一个特定的区间，因此也被称为局部奇点。
全局奇点是指在函数f（x）在整个定义域内有一个"孤立"的奇点，此时它既不是极值也不是波动点。
只有一个这样的点，这种奇点称为"全局奇点"。
桥点，也称拱点，是指函数f（x）在某一区间内，其对应的值在两个序列段中，存在一个连续曲线，将每个序列段连接起来，这个点被称为桥点。
谷点指的是函数f（x）本身的一个极值点，即某一区间的函数值处于最低，该点被称为谷点，也被称为凹点。
极点是指一个函数在某一定义域内，函数值变化不灵敏，梯度趋近于零值，这类孤立奇点被称为极点。
交叉点是指在函数f（x）的曲线图上，在某个区间中，函数值有两个连续的极值，这两个极值的中点，被称为交叉点。
分叉点，也叫报分点，是指在函数f（x）的曲线图上，函数值在某个区间开始处为一个极值，在两个区间的中点处变成另一个极值，这样的点就是分叉点。
折点是指在函数f（x）的曲线图上，如果在两个定义域上，函数值有连续极值，而转折点之间有一个孤立点，这个点就是折点。
以上就是函数孤立奇。
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例 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
11
Schwarz 引理
如果f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件 f(0)= 0,|f(z)|<1 (|z|<1),则在单位圆内恒有：
z z0
这样得到下面的结论：
7
设 f (z)在 0 z z0 R上解析，则 z0 为 f (z)
的可去奇点的充要条件为 lim f (z)存在并且是有限值。 zz0 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
由有界性判断：若f(z)在点z0的去心邻域内有界
z 2! 3!
z
(z) 解析且 (0) 0
所以 z 0不是二级极点, 而是一级极点.
思考
z 0是
sin z z3
的几级极点?
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
19
定理 点 z为0 的f (z) 阶极m 点的充要条件为
z0
是 1的
f (z)
阶m零点。
推论2 若点 z0为函数 fk的(z) 阶m零k点(k=1,2)，则
z
k
是
sin
z的一阶零点，即
1 sin
z
的一阶极点.
21
例3 求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级
数
（2） f2(z) sin z z 12 z 13
解： 显然 z 和1 z是 函1数 的孤f2立(z)奇点，分别取
和
2(z)
sin z
z 13
2(z)
sin z
z 12
则可见z=1和z=-1分别是f2(z)的二阶极点和三阶极 点。
则孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
1
例如， e z
1
z 1
1
z2
1
zn
,
2!
n!
含有无穷多个z的负幂项 (0 z )
1
所以 z 0 为本性奇点， 同时 lim e z 不存在. z0
特点: 在本性奇点的邻域内 lim f (z)不存在且不 z z0 为.
25
例
f (z) e1/ z , z0 0 为f(z)的本性奇点，因为：
z=a
亦必为φ（z）=
1 的本质奇点。 f(z)
26
魏尔斯特拉斯定理
如果a为函数f(z)的本质奇点，则对于任何常数A,不管它是 有限数还是无穷，都有一个收敛于a的点列 {z_n} , 使得
lim f z A
z _ na
Picard 定理（198）
27
综上，当z0为f(z)的孤立奇点时，可用极限
例
有理分式函数
f (z)
3z 2 z2(z 2) ,
z 0是二级极点, z 2 是一级极点.
16
由定义判别：f (z) 的Laurent展开式中含有z z0
的负幂项为有限项.
由定义的等价形式判别：在点 z0的某去心邻域内
(z)
f (z) (z z0 )m
其中 (在z) 的z0邻域内解析, 且
lim
zz0
f
z
值存在有限、为 、不存在，来区分奇点是可
去奇点、极点还是本性奇点。
28
综上所述: 孤立奇点 可去奇点
Laurent级数的特点 无负幂项
lim f (z)
z z0
存在且为 有限值
含有限个负幂项
m级极点 关于(z z0 )1的最高幂
为 (z z0 )m
本性奇点 含无穷多个负幂项
不存在
当z x 0, 有f (z) ；当z x 0, 有f (z) 0；
当z iy 0, 有f (z) cos 1 i sin 1 无极限。
y
y
于是当z 0, f(z)无极限，也不以 为极限。
1
ez
1 zn
n0 n!
定理 若z = a为f(z)的本性奇点，且在点的充分小去心
邻域内不为零，则
22
（4）
ez f4(z) z(ez 1)
解： 点 z0 为 0 f的(z)一 级z 零点; 函数
ez 1
的零点为 zk 2，ki k 0且,1,2,
(e z 1)' e z
在这些点处不为零，由定理，这些点为函数
ez 的1 一级零点。由定理2的推论2， z0 为0 函数 的二z(e级z 零1)点，又由推论1及其注意， 它为 的二
29
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 z
的可去奇点.
另解
因为
ez lim
1
lim ez 1,
z0 z
z0
所以 z 0 为 ez 1 z
的可去奇点.
9
由于z=0为函数 f (z) (ez 1) 的z 可去奇点， 且当z→0时，f(z)→1，因此可补充定义 f(0)=1， 使 f(z) 在整个复平面上处处解析。
z0为函数 f1(z) f的2(z) 阶m1零 m点2 ；当
z0为函数
f1 ( z的)
f2(z)
m阶2 极m点1 。
时，m1 m2
注意： 若函数 g(在z) 点 解z析0 ， g，(z0则) 当0
z0
为函数 f (z的) 阶m零点或 阶m极点时， 也分z0
别是函数 f (z)g的(z) 阶m零点或 阶极m点。
级极f4(点z) ，而 为 f4(z的) 简单极点。
zk 2ki, k 1,2,
23
练习
求
z3
1 z2
z
1
的奇点,
如果是极点,
指出它的
级数.
答案
由于
z3
1 z2
z1
1 (z 1)(z 1)2
,
所以 : z 1是函数的一级极点,
z 1是函数的二级极点.
24
3 本质（性）奇点
若Laurent级数中含有无穷多个 z z0 的负幂项,
20
上述定理为判断函数的极点提供了一个较为简 便的方法.
1 例2 函数 sin z 有些什么奇点, 如果是极点, 指出
它的阶.
解 函数的奇点是使 sin z 0 的点,
这些奇点是 z k (k 0, 1, 2 ) 孤立奇点.
因为 (sin z) zk cos z zk (1)k 0,
所以
即 f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 ) (m 1, cm 0)
那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的(m级)极点.
13
由极点的定义
f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1 c0 c1(z z0 )
则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点，且规
定 f (z0 ) c0
8
例 说明 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
1 1 z 1 zn1 , 0 z
在 z z0 内是解析函数, 且 (z0 ) 0
由此可得：
z0 为函数 f (z) 的m级极点的充要条件是
f
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
这里 z0 为函数 (z) 的解析点，并且有 (z0 ) 0
15
由此也得：
z0 为函数 f (z) 的极点的充要条件是
lim f (z) .
zz0
(z0 ) 0.
由极限判别：lim f (z) 判断 . z z0
17
例如 z0 是i 函数
f
(z)
(z2
1 1)2
cos
z
的二级极点，这里
z
z
1
i2 cos
z
18
例1
问
z 0是
ez 1 z2
的二级极点吗?
解
ez
z2
1
1 z2
n0
zn n!
1
1 1 z 1(z),
函数的孤立奇点及其分类(P193)
一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型 四*、函数在无穷远点的性态
1
一Δ 、函数孤立奇点的概念及其分类
定义 如果函数 f (z) 在 z0不解析, 但 f (z)在
z0 的某一去心邻域 0 z z0 内处处解析, 则
(k 1, 2, )
k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
3
讨论函数在孤立奇点的情况
如果点
z
为函数
0
f的(z)孤立奇点，则在点
某去z 0
心邻域
0 内z 可z设0 的Laurefn(tz级) 数展开式
为
f (z) cn (z z0 )n
|f(z)|≤|z|且有|f'(0)|≤1
特别的，如果上式等号成立或存在圆内一点z0 使得|f(z0)|=|z0 |,则有f(z)= eiαz(|z|<1)
12
2 极点
定义 如果Laurent级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1的最高幂为 (z z0 )m ,
6