上海市2018届高三数学复习幂、指、对函数专题练习.docx

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专题08 二次函数与幂函数(解析版)

2023高考一轮复习讲与练08 二次函数与幂函数练高考明方向1．(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在0+∞（，）上递减，则α=_____【答案】1-【解析】由题意()f x 为奇函数，所以α只能取1,1,3-，又()f x 在(0,)+∞上递减，所以1α=-． 2．（2017浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】函数()f x 的对称轴为2a x =-， ①当02a-≤，此时(1)1M f a b ==++，(0)m f b ==，1M m a -=+； ②当12a-≥，此时(0)M f b ==，(1)1m f a b ==++，1M m a -=--； ③当012a<-<，此时2()24a a m f b =-=-，(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++，24a M m -=或214a M m a -=++．综上，M m -的值与a 有关，与b 无关．选B ．3．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若101a b c >><<，，则( ) (A )c c a b < (B )c c ab ba < (C )log log b a a c b c <(D )log log a b c c <【答案】C【解析】对A ：由于01c <<，∴函数cy x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；对B ：由于110c -<-<，∴函数1c y x-=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；对C ：要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b 和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a，只需ln b b 和ln a a ，构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确，对D ：要比较log a c 和log b c ，只需比较 ln ln c a 和ln ln c b ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b>>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c cc c a b>⇔>，D 错误 4．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（） A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟 D ．4.25分钟【答案】B【解析】由题意可知2p at bt c =++过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入2p at bt c =++中可解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，∴20.2 1.52p t t =-+-=20.2( 3.75)0.8125t --+， ∴当 3.75t =分钟时，可食用率最大．5．(2013广东)定义域为的四个函数,,,中，奇函数的个数是A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】是奇函数的为与，故选C ．讲典例备高考O 5430.80.70.5t p R 3y x =2x y =21y x =+2sin y x =43213y x =2sin y x =二次函数与幂函数奇函数的定义偶函数的定义函数的对称性奇偶性的判断奇偶性的应用周期性的判断周期性的应用类型一、幂函数的定义基础知识：1、幂函数的定义一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．基本题型：1．（幂函数的判断）下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2 B ．y ＝10x C ．y ＝1x 3D ．y ＝x ＋1【答案】C【详解】根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．（幂函数的判断）给出下列函数：①31y x =；②32y x =-；③42y x x =+；④35y x=；⑤()21y x =-；⑥0.3xy =，其中是幂函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】由幂函数的定义：形如y x α=（α为常数）的函数为幂函数，则可知①331y x x -==和④5353y x x ==是幂函数.类型二、幂函数的图象基础知识：1、五个常见幂函数的图象基本题型：1．（根据解析式确定图象）已知(),1,m n ∈+∞，且m n >，若26log log 13m n n m +=，则函数()nmf x x =的图像为（）.A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得：26log log 2log 6log 13m n m n n m n m +=+=，令()log 01m t n t =<<，则6213t t+=，解得12t =或6t =（舍去），所以n =，即21mn =，所以()2m n f x x =的图像即为()f x x =的图像．2．（根据图象确定解析式）图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3 D ．1-、12、3 【答案】D【详解】由题意得，根据幂函数的图象与性质可知，2310C C C ααα>>>，所以解析式中指数α的值依次可以是11,,32-， 3．（利用图象比较大小）对于幂函数()45f x x =，若120x x <<，则122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭，()()122f x f x +的大小关系是（）A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫=⎪⎝⎭D ．无法确定【答案】A【解析】幂函数()45f x x =在0,上是增函数，大致图象如图所示.设()1,0A x ，()2,0C x ，其中120x x <<，则AC 的中点E 的坐标为12,02x x +⎛⎫⎪⎝⎭，且()1AB f x =，()2CD f x =，122x x EF f +⎛⎫= ⎪⎝⎭.()12EF AB CD >+，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫∴>⎪⎝⎭.4．（利用图象比较大小）已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ，01b <<，0c <，所以选A ． 5．（幂函数图象的性质）下列命题中，假命题的个数为_________． ①幂函数的图象有可能经过第四象限；②幂函数的图象都经过点()1,1；③当0a =时，函数a y x =的图象是一条直线；④当0a <时，函数a y x =在定义域内是严格减函数； ⑤过点()1,1-的幂函数图象关于y 轴对称．【答案】3【详解】对于①，正数的指数幂为正数，故幂函数的图象不可能经过第四象限，故错误；对于②，1的任何指数幂均为1，所以幂函数的图象都经过点()1,1，故正确；对于③，当0a =时，函数a y x =的定义域为{}0x x ≠，其a y x =图象是两条射线，故错误；对于④，当1a =-时，1y x=在定义域内不具有单调性，故错误；对于⑤，当幂函数过点()1,1-时，()11a-=得a 为偶数，故幂函数图象关于y 轴对称，故正确.类型三、幂函数的性质基础知识：1、五个常见幂函数的性质1．（幂函数单调性）已知点(2,8)在幂函数()nf x x =的图象上，设,(ln ),a f b f c f π===⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b a c <=，又0-==<，所以ln π<<，由3()f x x =在R 上递增，可得：(ln )f f f π<<⎝⎭⎝⎭，所以a c b <<.2．（幂函数图象的对称性）已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______. 【答案】1【详解】因为()()22322n nf x n n x-=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=. 3．（幂函数的奇偶性）设11,2,3,,12a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且函数a y x =为奇函数的所有a 的值为（）A ．1,3-B ．1,1-C ．1,3D ．1,1,3-【答案】C【详解】1a =时，函数解析式为y x =满足题意；2a =时，函数解析式为2yx ，偶函数，不符合题意；3a =时，函数解析式为3y x =满足题意；12a =时，函数解析式为12y x =，定义域为[)0,+∞，不符合题意；1a =-时，函数解析式为1y x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，不符合题意.类型四、二次函数的解析式基础知识：二次函数解析式的三种形式基本题型：1．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 【答案】12x 2－32x ＋2【解析】因为f (x )是二次函数且f (0)＝2，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)．又因为f (x ＋1)－f (x )＝x －1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－(ax 2＋bx ＋2)＝x －1，整理得(2a －1)x ＋a ＋b ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝0，a ＋b ＋1＝0，解得a ＝12，b ＝－32，所以f (x )＝12x 2－32x ＋2.2．已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f (x )＝________. 【答案】f (x )＝x 2＋2x .【解析】法一：设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 法二：由二次函数f (x )与x 轴交于(0,0)，(－2,0)，知f (x )的图象关于x ＝－1对称．设f (x )＝a (x ＋1)2－1(a >0)，又f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝(x ＋1)2－1＝x 2＋2x .3．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象经过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.基本方法：求二次函数解析式的方法类型五、二次函数的图象与性质基础知识：函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减函数，在⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞上是增函数在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数，在⎣⎡⎭⎫－b 2a，＋∞上是减函数基本题型：1．（根据函数图象求范围）(多选)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A ．b ＝－2aB ．a ＋b ＋c <0C ．a －b ＋c >0D ．abc <0 【答案】AD【解析】根据对称轴x ＝－b2a＝1得到b ＝－2a ，A 正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c >0，B 错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c <0，C 错误；函数图象开口向下，所以a <0，b ＝－2a >0，当x ＝0时，y ＝c >0，故abc <0，D 正确．2．（根据解析式确定函数图象）(多选)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1和函数g (x )＝ax ＋1的图象可能是( )【答案】ABD【解析】若a ＝0，则f (x )＝x ＋1，g (x )＝1，A 符合；若a <0，则f (x )的图象开口向下，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a ，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a <－1a ，B 符合；若0<a <14，则f (x )的图象开口向上，与x 轴有两个交点，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a >－1a ，C 不符合；若a >14，则f (x )的图象开口向上，与x 轴没有交点，过点(0,1)，对称轴的方程为x ＝－12a ，g (x )的图象过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫－1a ，0，且－12a >－1a ，D 符合．基本方法：1、分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号，它决定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和顶点，它们决定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．类型四、二次函数给定区间上最值问题基础知识：1、闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．2、二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．基本题型：1．（轴定区间定）已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则f (x )的最小值是________．【答案】－1【解析】∵函数f (x )＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数f (x )＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减，∴f (x )min ＝2－6＋3＝－1.2、（轴动区间定）已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，则实数a 的值为________．【答案】－1或2【解析】易知y ＝－x 2＋2ax ＋1－a (x ∈R)的图象的对称轴为直线x ＝a .当a <0时，函数f (x )的图象如图①中实线部分所示，当x ＝0时，y max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，即a ＝－1. 当0≤a ≤1时，函数f (x )的图象如图②中实线部分所示，当x ＝a 时，y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1.∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52不满足题意．当a >1时，函数f (x )的图象如图③中实线部分所示，当x ＝1时，y max ＝f (1)＝a ＝2，∴a ＝2.综上可知，a 的值为－1或2.3、（轴定区间动）设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【解析】f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为直线x ＝1.当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，当t ≤0时，f (x )min ＝t 2＋1；当0<t <1时，f (x )min ＝1；当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.新预测破高考1．已知幂函数()f x 的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在定义域上是单调递增函数C ．()f x 的值域为RD ．()f x 在定义域内有最大值【答案】B【详解】设()f x x α=，则42α=，解得12α=，()12f x x ∴==()f x 的定义域为[)0,+∞，故A 错误；可得()f x 在定义域上是单调递增函数，故B 正确；值域为[)0,+∞，故C 错误；故()f x 在定义域内没有最大值，故D 错误.2．下列关于幂函数的结论，正确的是（）.A ．幂函数的图象都过(0,0)点B ．幂函数的图象不经过第四象限C ．幂函数为奇函数或偶函数D ．幂函数在其定义域内都有反函数【答案】B【解析】幂函数1y x -=不过点(0,0)，则A 错误；当()0,x ∈+∞时，0a x >，则幂函数的图象不经过第四象限，则B 正确；12y x =的定义域为[0,)+∞，不关于原点或y 轴对称，则C 错误；2y x 在(,)-∞+∞内无反函数，则D 错误；3．已知函数：①2xy =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③1y x -=；④12y x =；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（）A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②【答案】D【详解】①：函数2xy =是实数集上的增函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第三个图象符合；②：函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，且图象过点(0,1)，因此从左到右第四个图象符合；③：函数1y x-=在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；④：函数12y x =在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，4．(多选)函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1与g (x )＝x a 在同一坐标系中的图象可能为( )【答案】ACD【详解】当a <0时，g (x )＝x a 为奇函数，定义域为{x |x ≠0}，且在(0，＋∞)上递减，而f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向下，对称轴为x ＝－1a >0，f (0)＝1，故A 符合；当a ＝2n (n ∈N *)时，g (x )＝x a 为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向上，且对称轴为x ＝－1a <0，Δ＝4－4a <0，其图象和x 轴没有交点，故D 符合；当a ＝12n (n ∈N *)时，函数g (x )＝x a 的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上递增，f (x )＝ax 2＋2x ＋1的图象开口向上，且对称轴为x ＝－1a <0，Δ＝4－4a >0，图象和x 轴有两个交点，故C 符合．B 明显不符合题意，故选A 、C 、D. 5．若幂函数()222333m m y m m x+-=++的图象不过原点且关于原点对称，则（）A ．2m =-B ．1m =-C ．2m =-或1m =-D ．31m -≤≤-【答案】A【详解】根据幂函数的概念，得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，①若1m =-，则4y x -=，令()4f x x -=，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()44f x x x f x ---=-=≠-，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；②若2m =-，则3y x -=，令()3f x x -=，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x ---=-=-=-，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以2m =-.6．若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（）A ．12B ．12-C ．34-D ．-1【答案】C【解析】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα，故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.7．幂函数()0y xαα=≠，当α取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一簇曲线（如图）.设点1,0A ，()0,1B ，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数m y x =，n y x =的图象三等分，即有BM MN NA ==，则mn 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定【答案】A【解析】由题1,0A ，()0,1B ，BM MN NA ==，所以12,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233m ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，2133n⎛⎫= ⎪⎝⎭，11213333mmnn m⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，1mn ∴=.8．幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】∵幂函数f(x)＝x 3m －5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m ＜53.又∵m∈N， ∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．当m ＝0时，f(x)＝x －5是奇函数；当m ＝1时， f(x)＝x －2是偶函数．∴m ＝1,故选B.9．已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =-的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是A．(0,1])⋃+∞ B ． (0,1][3,)⋃+∞ C ．)⋃+∞ D ．[3,)⋃+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y m=单调递增，且[,1]y m m m =∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m 时，101m<< ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥. 10．已知幂函数()()22644m m f x m m x--=-+，()m R ∈，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则()3f -，()1f -，()f π的大小关系是（）A ．()()()π31f f f <-<-B ．()()()13πf f f -<-<C ．()()()31πf f f -<-<D ．()()()3π1f f f -<<-【答案】A【详解】对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，即()f x 在0,上单调减，又()f x 是幂函数，知：2244160m m m m ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =或3m =（舍去），∴6()f x x -=，()f x是偶函数，∴(1)(1)f f -=，(3)(3)f f -=，而(1)(3)()f f f π>>，即(1)(3)()f f f π->->， 11．已知点⎝⎛⎭⎫2，18在幂函数f (x )＝x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫33，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫22，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a 0时，f (x )单调递减．因为33<22<1，ln π>ln e ＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫33>f ⎝⎛⎭⎫22>f (ln π)，即a >c >b ，故选C. 12．(多选)已知函数f (x )＝3x 2－6x －1，则( )A ．函数f (x )有两个不同的零点B ．函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增C ．当a ＞1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝3D ．当0＜a ＜1时，若f (a x )在x ∈[－1,1]上的最大值为8，则a ＝13【答案】ACD【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，所以函数f (x )有两个不同的零点，A 正确．因为二次函数f (x )图象的对称轴为x ＝1，且图象开口向上，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，B 不正确．令t ＝a x ，则f (a x )＝g (t )＝3t 2－6t －1＝3(t －1)2－4. 当a ＞1时，1a ≤t ≤a ，故g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上先减后增，又a ＋1a 2＞1，故最大值为g (a )＝3a 2－6a －1＝8，解得a ＝3(负值舍去)．同理当0＜a ＜1时，a ≤t ≤1a ，g (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫1a ＝3a 2－6a －1＝8，解得a ＝13(负值舍去)．故C 、D 正确．13．已知幂函数()223mm y f x x --+==（其中22m -<<，m ∈Z ）满足：①在区间,0上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.则()f x 在[]0,4x ∈的值域为__________. 【答案】()4f x x =，值域为[]0,256【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256。

2018年高考数学(理)总复习达标检测(六)幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式含答案

高考达标检测（六）幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式一、选择题1．(2017·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2017·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3；当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (1)＝0≠4.故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a 0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．(2017·济南统考)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．[0,4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3解析：选D 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.5．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )A ．f (1)≥25B ．f (1)＝25C ．f (1)≤25D ．f (1)>25解析：选A 函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫m8，＋∞，由已知可得m8≤－2⇒m ≤－16，所以f (1)＝4×12－m ×1＋5＝9－m ≥25.6．(2017·合肥教学质量检测)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋a ，g (x )＝2x －x 2，若f (g (x ))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－e ，＋∞)B ．[－ln 2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0解析：选C 如图所示，在同一坐标系中画出y ＝x 2＋1，y ＝2x，y ＝x 2＋32的图象，由图象可知，在[0,1]上，x 2＋1≤2x <x 2＋32恒成立，即1≤2x －x 2<32，当且仅当x ＝0或x ＝1时等号成立，∴1≤g (x )<32，∴f (g (x ))≥0⇒f (1)≥0⇒－1＋3＋a ≥0⇒a ≥－2，即实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选C.二、填空题7．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：18．(2017·江苏扬州中学测试)二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－29．(2017·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：8 三、解答题10．(2017·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增，又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . ∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．11．(2017·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝5，f ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2＋b ＝5，2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f＝2，f ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2＋b ＝2，2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调， ∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4. ∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．。

2018年高考数学一轮总复习专题2.4二次函数与幂函数练习含解析文

专题2.4 二次函数与幂函数考点分析从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质. 融会贯通考点一幂函数的图象和性质【例1】幂函数（是常数）的图象（） A. 一定经过点 B. 一定经过点C. 一定经过点D. 一定经过点【答案】C考点：幂函数的性质. 【变式训练1】幂函数的图象经过点，则是（）A. 偶函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是减函数C. 奇函数，且在上是增函数D. 非奇非偶函数，且在上是增函数【答案】C 【解析】设幂函数为，代入点，解得，所以，可知函数是奇函数，且在上是增函数，故选C.【变式训练2】【2017届云南曲靖一中高三上月考】已知幂函数nx x f =)(的图象过点)41,8(，且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（）A.13<<-aB.3-<a 或1>aC.1<aD.1>a 【答案】B【解析】因为幂函数n x x f =)(的图象过点)41,8(，所以321282243nn n -=⇒=⇒=-，23()f x x-=　是偶函数，且在()0,+∞上递减，在(),0-∞上递增，由)2()1(f a f <+得，12,a +>解得3-<a 或1>a ，故选B.考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.【例2】【2017届福建福州外国语学校高三上学期期中数学】已知函数是幂函数25m 3f(x)=(m m 1)x －－－－且幂函数是(0,+∞)上的增函数,则m 的值为（）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 【答案】B【变式训练】【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学（文）】已知p ：幂函数()21m y m m x =--在()0,+∞上单调递增； :21q m -<，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 .0C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，命题:p 幂函数()21my m m x =-- 在()0,+∞上单调递增，则211{,20m m m m --=∴=> ，又:2112113q m m m -<⇔-<-<⇔<<，故p 是q 的充分不必要条件，选A. 【知识链接】(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较函数特征性质y ＝x y ＝x 2y ＝x 312y x =1y x -=定义域RR R[0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞) 时，减；x ∈(－∞，0)时，减【解题方法与技巧】1．幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．考点二二次函数的图象与性质命题一：二次函数与不等式【例1】已知函数()()236f x x a a x c =-+-+.（1）当19c =时，解关于a 的不等式()10f >；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,3-，求实数a 、c 的值. 【答案】（1）()2,8-;（2）33a =±， 9c =.【变式训练】已知函数2)(2+-+=a bx ax x f .（1）若关于x 的不等式0)(>x f 的解集是)3,1(-，求实数b a ,的值；（2）若2=b ，0>a ，解关于x 的不等式0)(>x f .【答案】（1）2,1=-=b a ，（2）当1≥a 时，解集为),2()1,(+∞---∞aa ；当10<<a 时，解集为),1()2,(+∞---∞ aa . 【解析】（1）由题3,1-=x 是方程022=+-+a bx ax 的两根.代入有⎩⎨⎧=++=02382b a b ，∴⎩⎨⎧=-=21b a（2）当2=b 时，)1)(2(22)(2++-=+-+=x a ax a x ax x f ∵0>a ，∴0)(>x f 化为0)1)(2(>+--x aa x ①当12-≥-a a ，即1≥a 时，解集为1|{-<x x 或}2a a x -> ②当12-<-a a ，即10<<a 时，解集为aa x x 2|{-<或}1->x 综上，1≥a 时，解集为),2()1,(+∞---∞aa ； 10<<a 时，解集为),1()2,(+∞---∞ aa .【知识链接】1、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．2、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;z.xxk当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔ 20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞.命题二：二次函数的单调性【例1】【2017届福建连城县一中高三上期中数学（文）】已知函数()()2210f x ax ax a =-+<，若1212,0x x x x <+=，则()1f x 与()2f x 的大小关系是（） A.()()12f x f x = B.()()12f x f x > C.()()12f x f x < D.与a 的值无关【答案】C考点：二次函数图象与性质.【例2】如果函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a 的取值范围是（）A ．a≤3 B．a≥﹣3 C ．a≤5 D．a≥5 【答案】B【解析】∵抛物线函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2开口向上，对称轴方程是x=1﹣a ，在区间[4，+∞）上递增， ∴1﹣a≤4，解得a≥﹣3．故选B ．【变式训练】已知函数2()2f x x ax b =-++且(2)3f =-．（1）若函数()f x 的图象关于直线1x =对称，求函数()f x 在区间[2,3]-上的值域；（2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上递减，求实数b 的取值范围．【答案】(1)[]1,19--；(2)3-≥b .考点：1.二次函数的值域；2.二次函数的单调性..0【例3】【2017届江苏泰州中学高三上学期月考】函数()()2212f x x a x =--+在区间[]1,4-上为单调函数，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),05,-∞⋃+∞所以当11-≤-a 或41≥-a 时,即0≤a 或4≥a 时函数单调,故应填答案(][),05,-∞⋃+∞. 考点：二次函数的图象和性质及运用．【变式训练1】【江苏省张家港2016-2017学年高二期中数学（文】若函数()261f x x x =-+-在区间(),12a a +上不是单调函数,则实数a 的取值范围是____. 【答案】（1，3）【解析】因为函数()261f x x x =-+-的对称轴为3x = ，函数在(),12a a + 不单调，312a a ∴<<+ ，解得： 13a <<，故答案为 ()1,3 .命题三：二次函数根的分布【例1】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 . 【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【变式训练】已知关于x 的方程11()()2042x xa -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,0-【知识链接】设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理.【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042；【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042；【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af .推论1 210x x <<⇔0<ac . 推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a .【定理4】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】在区间(,)a b 内有且只有一根，则()()0f a f b ≤，且检验等号．【解题方法与技巧】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑．命题四：二次函数的最值【例1】【2016-2017学年江苏省泰州中学高二期中数学（文）】若函数24y x x =-的定义域为[]4,a -，值域为[]4,32-，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]2,8【变式训练1】已知函数432--=x x y 的定义域是[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值范围是（）A. (]4,0B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23【答案】C【解析】由题432--=x x y ，对称轴为：32x =.则325()24f =-，(0)4(3)f f =-=。

2018届高三高考数学复习练习：2-4二次函数与幂函数含

2-41．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5【解析】函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称， ∴m ＝－8，∴f (1)＝2＋8＋3＝13. 【答案】 B2．(2017·湛江模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是( )A ．0<α<1B ．α<1C ．α>0D ．α<0【解析】方法一当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象．由图象可知α<1时满足题意．故选B.方法二当x >1时，f (x )<x 恒成立，即xα－1<1＝x 0恒成立．因为x >1，所以α－1<0，解得α<1.故选B. 【答案】 B3．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)【解析】由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4. 【答案】 C4．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．[0，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 【解析】二次函数图象的对称轴为x ＝32且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.【答案】 D5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2【解析】 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点处取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 【答案】 B6．(2018·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．[0，4]C ．(0，4]D ．[0，4)【解析】因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.【答案】 B7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．【解析】 ∵幂函数f (x )＝x －12单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5. 【答案】 (3，5)8．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________．【解析】如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0，1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．【答案】 h (x )>g (x )>f (x )9．当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．【解析】方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1，2)恒成立， ∴mx <－x 2－4对x ∈(1，2)恒成立，即m <－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x 对x ∈(1，2)恒成立，令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1，2)上是减函数．∴4<y <5，∴－5<－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5.方法二设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1，2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5. 【答案】 (－∞，－5]10．若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞），x 2＋ax －a ，x ∈（－∞，1），x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a －a 24，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a －a 24. ①当a2>1，即a >2时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，不合题意； ②当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意；③当a2<0，即a <0时，不符合题意．综上，a 的取值范围是[0，2]．【答案】 [0，2]11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数．【解析】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5，5]． ∵f (x )的对称轴为x ＝1， ∴当x ＝1时，f (x )取最小值1；当x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的对称轴为x ＝－a ， ∵f (x )在[－5，5]上是单调函数， ∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围为a ≤－5或a ≥5. 12．已知幂函数f (x )＝(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．【解析】 (1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数f (x )＝ (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，所以2＝，即212＝，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12，又因为f (2－a )>f (a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。

2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.4幂函数与二次函数模拟演练文

2018版高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用 2.4 幂函数与二次函数模拟演练文[A 级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·泰安检测]若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1答案 B解析由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.2．[2017·沧州质检]如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x 都有f (x ＋1)＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)答案 D解析由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又抛物线f (x )开口向上，∴f (0)<f (2)<f (－2)．3．已知幂函数f (x )＝x α，当x >1时，恒有f (x )<x ，则α的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D．(－∞，0) 答案 B解析当x >1时，恒有f (x )<x ，即当x >1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意，故选B.4．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，235答案 C解析解法一：令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意知f (x )的图象与x 轴在[1,5]上有交点，又f (0)＝－2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤0，5a ＋23≥0，∴－235≤a ≤1.解法二：方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x ＋a －2x ＝0，也即方程a ＝2x－x 在区间[1,5]上有根，而函数y ＝2x －x 在区间[1,5]上是减函数，所以－235≤y ≤1，则－235≤a ≤1.5．[2016·上海静安期末]已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5)答案 C解析二次函数f (x )＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1,2]．6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2在[－5,5]上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－5]∪[5，＋∞)解析 f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，图象的对称轴为x ＝－a ，由题意可知－a ≥5或－a ≤－5，解得a ≤－5或a ≥5.7．[2014·江苏高考]已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝2m 2－1<0，f m ＋＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 8．[2016·北京西城模拟]已知函数f (x )＝其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则c 的取值范围是________．答案－1和0 (0,4]解析当0≤x ≤c 时，由x 12 ＝0得x ＝0.当－2≤x <0时，由x 2＋x ＝0，得x ＝－1，所以函数零点为－1和0.当0≤x ≤c 时，f (x )＝x 12，所以0≤f (x )≤c ；当－2≤x <0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以此时－14≤f (x )≤2.若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则有c ≤2，即0<c ≤4，即c 的取值范围是(0,4]．9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围．解 (1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)． (2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．10．[2017·运城模拟]已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2>0恒成立，求实数a 的取值范围．解二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝a2，又x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2>0恒成立，即f (x )最小值>0.①当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (－1)＝1＋a ＋a 2>0，解得a >－23，与a ≤－2矛盾；②当a 2≥1，即a ≥2时，f (1)＝1－a ＋a2>0，解得a <2，与a ≥2矛盾； ③当－1<a 2<1，即－2<a <2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝14a 2－12a 2＋a2>0，解得0<a <2.综上得实数a 的取值范围是(0,2)．[B 级知能提升](时间：20分钟)11．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2] D ．(－∞，－2)答案 C解析当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的取值范围是－2<a ≤2.故选C.12．[2017·吉林松原月考]设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＞0)，已知f (m )＜0，则( ) A ．f (m ＋1)≥0 B．f (m ＋1)≤0 C ．f (m ＋1)＞0 D ．f (m ＋1)＜0 答案 C解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a ＞0，∴f (x )的大致图象如图所示．由f (m )＜0，得－1＜m ＜0， ∴m ＋1＞0，∴f (m ＋1)＞f (0)＞0.答案 (0,1) 解析14．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－214，又x ∈[－2,3]，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，所以值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.。

(完整版)-2018年上海高考试题汇编-函数

函数知识点1：函数的概念与函数三要素（2018秋16）设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数,若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（ ) A. 3 B. 32C. 33D. 0答案:B解析：()1f 是A 、C 、D 时，图像为如图中的12个点，不能构成函数的图像答案:(],2a ∈-∞（2014年文3）设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =,则(1)f = ．答案：3知识点2函数的单调性（2016年高考18）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数,则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ )A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题,②为真命题答案：D（2014年理4）设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =，则a 的取值范围为．(2014年文理20）设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(．(1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数()1y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．解：（1）因为2424x x y +=-,所以()4121xy y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-．因此,所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-,()(),11,x ∈-∞-+∞．（2)方法一：当0a =时，()1f x =，定义域为x R ∈，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x xx f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数;当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．方法二:若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-对任意x 均成立,∴2222x x x x a aa a--++=--，整理可得()220x x a --= ∵220x x --≠，∴0a =，此时()1,f x x R =∈,满足条件；若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--对任意x 均成立,∴2222x x x x a aa a--++=---，整理可得210a -=,1a =± ∵0a ≥,∴1a =,此时()21,021x x f x x +=≠-，满足条件;综上所述，当0a =时，函数为偶函数；当1a =时，函数为奇函数；当0a ≠且1a ≠时，函数为非奇非偶函数（2013年理12）设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+一切0x ≥成立，则a 的取值范围为．答案：8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(2018年春20）设0a >,函数1()12xf x a =+⋅．（1)若1a =，求()f x 的反函数1()f x -;（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示)；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞,)(()0g x g ≥恒成立,求a 的取值范围．答案．（1）121()log (01)xf x x x--=<<；（2）2112max y a a=++（0x =时取最值)；（3）提示： 12211()=,(2(0,1])2212122332xx x x x a a g x t a a a a a t a t---=-==∈+⋅+⋅⋅++⋅++因为0a -<,所以当0,1xt ==时，分母取到最小值，从而分式值取到最小值，此时2210a t t a t =⇒=≥⇒<≤(2014文9)设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ___ ．答案:(],2a ∈-∞（2014理18）设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ） (A ） [1,2]- （B) [1,0]- (C) [1,2] (D) [0,2]答案：D（2013理12）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+一切0x ≥成立,则a 的取值范围为．答案：8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦题型:奇函数、不等式恒成立（2017秋21）、已知函数)(x f 满足：（1）R x ∈；(2）当21x x <时，)()(21x f x f ≤; （1）若()31f x ax =+，求a 的范围;（2)若)(x f 是周期函数，求证：)(x f 是常值函数；（3）若)(x g 是R x ∈上的周期函数，且0)(>x g ,且)(x g 最大值为M ，)()()(x f x g x h ⋅=,求证：)(x h 是周期函数的充要条件是)(x f 是常值函数；证：(3)必要性若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ，(){}A x g x M ==①若存在0x ，使得()00f x =,进而()00h x =，由()h x 的周期性，知()00,h h x kT k Z +=∈,而()g x 恒大于0，故()00h f x kT +=，所以对任意()00,1h h x x kT x k T ∈+++⎡⎤⎣⎦，再利用()f x 的单调增性可知，()0f x =恒成立②若存在1212,,x x x x >，使得()()120,0f x f x ><，则由题可知，12x x >，那么必然存在正整数1N 使得211k x N T x +>，∴()()211k f x N T f x +>，因为()()212k h x N T h x +=,但是()()()2121210k k k h x N T f x N T g x N T +=++>，()()()2220h x f x g x =<,矛盾综上,()0f x =恒成立或()0f x >恒成立或()0f x <恒成立③若()0f x >恒成立，第一步：任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020k g x N T x T -≤-，即[]00020,,g h x T x x N T x ⎡⎤-⊆-⎣⎦,()()()()()()000020202h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵()()002h g x M g x N T =≥- ，故()()002h f x f x N T ≤-，再由单调性可知()()()0020h g f x f x N T f x T =-=-，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T -=-, 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00+g f x T f x =，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性,可得()f x 为常数；④若()0f x <恒成立第一步:任取0x A ∈，则必存在3N N ∈,使得003g k x T x N T +≤+，即[]00002,g h x x T x x N T ⎡⎤+⊆+⎣⎦，，()()()()()()000030303h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==+=++，∵()()003h g x M g x N T =≥+ ，故()()003h f x f x N T ≥+，再由单调性可知()()()0030h g f x f x N T f x T =+=+,第二步:用0g x T -代替第一步中的0x ,同理可得()()002g g f x T f x T +=+，再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00g f x T f x -=，依次下去,可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；知识点6（2017年高考8）定义在),0(+∞上的函数)(x f y =的反函数为()1y f x -=，若⎩⎨⎧>≤-=0)(013)(x x f x x g x 为奇函数,则()12f x -=的解为_______答案：89题型：单调性与反函数（2013年理14）对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==,若方程()0f x x -=有解0x ，则0x =______答案：2(2018秋4）设常数a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a = 参考答案：7a =(2018秋7）已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈---，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =参考答案：1a =-(2017秋9）给出四个函数：（1）x y -=;（2）xy 1-=；（3）3y x =；（4)21x y =；从四个函数中任选2个,事件A ：“所选2个函数的图像有且只有一个公共点”的概率为___（2015年理10）设()1f x -为()22+2x xf x -=，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_______ 答案：4答案：31(2014年理9文11）若2132()f x x x -=-,则满足()0f x <的x 的取值范围是．答案：(0,1)（2018秋11）已知常数0a >,函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6(,)5P p 、1(,)5Q q -，若236p q pq +=，则a =参考答案:6a =（2015年理7)方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为________ 答案：2（2013年理6文8）方程1313313x x-+=-的实数解为__________．答案：4log 3知识点10(2018秋19）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%x （0100x <<)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30030()180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式，讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义。

2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)

【点评】考察解指对数方程.
【知识点 9】新定义
【例 1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数 y f (x) 的图像恰好经过 k 个格点，则称函数 y f (x) 为 k 阶格点函数，已知函数： ① y x2 ；② y 2sin x ；③ y x 1 ；④ y cos(x ) ；其中为一阶格点函数的序号为
6
6
x 3 2k ，显然 x 不可能为整数；综上，该函数图像只经过一个格点. 2
函数③：借助 y x 的图像来看，因为底数为，所以当 x 0 时， y 才有可能取整数 1， y x 1 是
y x 向下平移一个单位，所以只经过格点（0，0），所以是一阶格点函数；
3
一阶格点函数.
【点评】考察函数的新定义题型，重点是对题意的理解.
【例 2】设函数 y （f x）的定义域为 D，如果存在非零常数 T，对于任意 x∈D，都有（f x） T T • f (x) ，则称函数 y （f x）是“似周期函数”，非零常数 T 为函数 y （f x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周
y

x2
1 ；③
y

ex
1 ；④
y

ln
x
0
x0 ，其中“ H 函数”的序号是
x0
.
【答案】①③.
【解析】 x1 f
x1 x2 f
x2
x1 f
x2 x2 f
x1 可转化成
f
x1 f x2 0 ，即
x1 x2
f
x 为单调递增的函数，
3
___________.（注：把你认为正确的序号都填上）【答案】②③.

2018年上海高三二模真题汇编——函数专题(教师版)

2018年二模汇编——函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】若函数()f x 的定义域是[]1,4，求函数()2f x +的定义域 .【答案】[]12,-.【解析】124x ≤+≤，12x -≤≤.【点评】考察抽象函数的定义域.【例2】对于函数bx ax x f +=2)(，其中0>b ，若)(x f 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为_____________．【答案】4-. 【解析】由题意可求定义域为0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以值域也是0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即2y ax bx =+在0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以2224b b a a -=，解得4a =-. 【点评】考察函数三要素.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知椭圆191622=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=；③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）．A .0个.B 1个 C .2个 D .3个【答案】C . 【点评】考察函数的奇偶性.【例2】已知函数[)22sin(),0(),0,23cos(),0x x x f x x x x παπα⎧++>⎪=∈⎨⎪-++<⎩是奇函数，则α= ．【答案】76π.【解析】当0x >时，0x -<，此时()()2f x x cos x α-=-+-+，因为函数是奇函数，所以可得，()223x cos x x sin x πα⎛⎫-+-+=--+ ⎪⎝⎭，由诱导公式易得，76πα=. 【点评】函数的奇偶性，已知函数为奇函数求参数的值.【知识点3】函数的单调性【例1】已知函数())2017201720172x x f x log x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为 . 【答案】14,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】由题意可得函数为R 上的单调递增函数且()()4f x f x +-=，可得()()31f x f x +>-，即31x x +>-，14x >-. 【点评】根据函数单调性解不等式.【例2】若函数3 (0),() 1 (0)x x a x f x a x -+<⎧=⎨+≥⎩(a >0,且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是．【答案】2[ 1)3，.【解析】由0132a a <<⎧⎨≥⎩解得213a ≤<. 【点评】考察函数单调性的定义.【知识点4】函数的最值与恒成立有解问题【例1】设0>a ，若对于任意的0>x ，都有x xa 211≤-，则a 的取值范围是________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,42. 【解析】112x a x <+，即112min x a x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，所以1a<，a >. 【点评】不等式恒成立问题.【例2】设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .【答案】2-≤a .【解析】令[]11cos x t,t ,=∈-，可得()2210t a t a ---≤，即()221y t a t a =---在[]11,-上的最大值小于等于0，对称轴为102a t -=<，所以()211max y a a =---，即()2110a a ---≤，2-≤a . 【点评】二次函数的最值问题.【知识点5】函数的零点【例1】函数21()(2)1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ．【答案】4.【解析】由函数的图像特征可得：120x x +=，344x x +=，所以12344x x x x +++=.【点评】从图像角度解决零点问题.【例2】若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】令()0f x =，可得12x x a =+，函数有零点即两个函数图像有交点，从图上即可得出112a -≤≤. 【点评】考察函数零点的存在性问题.【知识点6】函数的对称性和周期性【例1】若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，则=)2016(f .【答案】0.【解析】由()()2f x f x +=-可得函数周期为4，所以()()20160f f =.【点评】考察周期对函数值的影响.【例2】已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．【答案】6.【解析】由()()20f x f x +-=可得，函数图像关于()10,；由()()20f x f x ---=可得，函数图像关于直线1x =-对称，根据函数在[]11,-上的图像可将函数图像补充完整，从图像的交点个数得出答案.【点评】考察函数的对称性对图像的影响.【知识点7】反函数【例1】若函数1()42x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称，则(3)g = ．【答案】0.【解析】令()3f x =，可得21x =，0x =，即()30g =.【点评】考察求函数的反函数.【例2】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x R ∈，都有(4)()f x f x +=，当[]4,6x ∈的时候，()21x f x =+，()f x 在区间[]2,0-上的反函数为1()f x -，则1(19)f -= ．【答案】28log 9.【解析】当[]02x ,∈时，()()4421x f x f x +=+=+；当[]20x ,∈-时，根据偶函数的性质，()()421x f x f x -+=-=+；根据反函数相关性质，即42119x -++=，解得2323x log =-，所以()1219323f log -=-.【点评】考察反函数与原函数的关系.【知识点8】幂指对方程【例1】方程()3log 212x +=的解是．【答案】4x =.【解析】219x +=，4x =.【点评】考察解指对数方程.【例2】方程22log (97)2log (31)x x +=++的解为 .【答案】{}0,1.【解析】()()4497434x x log log +=⨯+，97434x x +=⨯+，解得31x =或33x =，即0x =或1x =.【点评】考察解指对数方程.【知识点9】新定义【例1】设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ，其中),1[∞+∈x ，则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23x 时，函数x C x f 10)(=的值域是____________________．【答案】(]45,15320,5 ⎥⎦⎤ ⎝⎛. 【解析】看到取整函数可分段讨论： 1当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,23x 时，[]1=x ，故()xx f 10=在定义域内单调递减，故值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛320,5，； 2当[)3,2∈x 时，[]2=x ，故()()1910-⨯=x x x f 在定义域内单调递减，故值域为(]45,15。

2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题2.9 幂函数、指数函数与对数函数(讲)

2.9 幂函数、指数函数与对数函数【考纲解读】【直击考点】题组一常识题1．[教材改编] 如果3x＝4，则x ＝________．【解析】由指数式与对数式的互化规则，得x ＝log 34. 2．[教材改编] 2log 510＋log 50.25＝________．【解析】 2log 510＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 3．[教材改编] 函数y ＝log 2(x 2－1)的单调递增区间是________．【解析】由x 2－1>0得x <－1或x >1.又函数y ＝log 2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，＋∞)．题组二常错题4．函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为________．【解析】由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＞1或x ＜12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1或x <12在(1，＋∞)上是增函数，所以原函数的单调递减区间为(1，＋∞)．5．设a＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝14＝log 949＝log 93<log 83＝c ，a ＝log 93>log 985＝b ，所以c >a >b .题组三常考题6． lg 52＋2lg 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－1＝________．【解析】原式＝lg 5－lg 2＋2lg 2＋5＝lg 5＋lg 2＋5＝1＋5＝6.7．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________________．8．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1x 2＋2，若f (x )>f (2x －1)，则x 的取值范围为________．【解析】由f (x )＝ln(1＋|x |)－12＋x2可知f(x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，即|x |>|2x －1|，解得13<x <1.【知识清单】1 幂函数的概念、图象与性质常用幂函数的图象与性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象定义域RRR[0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函奇函数数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减2指数函数的概念、图象与性质y＝a x a>10<a<1 图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【考点深度剖析】1.与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．2.关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．3.从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．【重点难点突破】考点1 幂函数的概念、图象与性质【1-1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？【答案】1m=-【1-2】若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)22m m x --的图象不经过原点，则实数m 的值为________．【答案】 1或2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合.【1-3】设424999244(),(),()999a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是________．【答案】b c a >>【解析】∵函数49(0)y x x =>是增函数，∴c a >，又∵函数4()9xy =是减函数，∴b c >，∴b c a >>. 【思想方法】1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.2..幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．【温馨提醒】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 考点2 指数函数的概念、图象与性质【2-1】若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 3【2-2】设f (x )＝|3x－1|，c f (a )>f (b )，由在关系式①3c>3b ；②3b >3a ；③3c＋3a >2；④3c ＋3a<2中一定成立的是 . 【答案】④【解析】作f (x )＝|3x－1|的图象如图所示，由图可知，要使c f (a )>f (b )成立，需有c <0且a >0，所以3c<1<3a，所以f (c )＝1－3c，f (a )＝3a－1.又f (c )>f (a )，所以1－3c>3a－1，即3a＋3c <2，故填④.【思想方法】指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论．指数函数与其他函数构成的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【温馨提醒】一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解．考点3 对数函数的概念、图象与性质【3-1】已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)，若当x ∈(－1，0)时，f (x )<0，则f (x )在定义域上单调性是 . 【答案】增函数【解析】由于(1,0)x ∈-，即1(0,1)x +∈时()0f x <，所以1a >，因而()f x 在(1,)-+∞上是增函数．【3-2】已知f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．【答案】（1）1a >时，定义域为(0,)+∞，01a <<时，定义域为(,0)-∞；（2）1a >时，增函数，01a << 时，减函数．【解析】(1)由a x －1>0得a x>1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2，故0<ax 1－1<ax 2－1，∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)． ∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．【3-3】已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)；（2）存在，12a =．【基础知识】a>10<a<1图像定义域(0，＋∞)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值正负当x>1时，y>0；当0<x<1，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0【思想方法】利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．【温馨提醒】解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到．如：若()()22132a a --+>-，则a 的取值范围是．【分析】由2y x -=的图象关于y 轴对称知，函数2y x -=在()0,+∞上是减函数，在(),0-∞上是增函数．因为()()22132a a --+>-，所以32010321a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩或32010321a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩或 ()32010321a a a a ⎧->⎪+<⎨⎪->-+⎩或()32010321a a a a ⎧-<⎪+>⎨⎪-->+⎩，解得213a -<<或a ∈∅或1a <-或4a >，所以a 的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U U ．【易错点】本题容易只考虑到1a +，32a -在同一单调区间的情况，不全面而致误．【练一练】已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N ＋)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围。

2018届高三数学复习幂、指、对函数专题练习

幂、指、对函数一、填空题1、函数()()2232log x x f x +-=的定义域是2、幂函数23y x -=的定义域为，值域为3、函数()2xf x =与函数()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像关于对称。

4、设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b c >>”是“33log log a b <”的条件。

5、函数221x y=+的值域为 6、函数()22312log x x y --=的递增区间是________________.7、已知幂函数()a f x x =是偶函数，在[)0,+∞上是递增的，且满足1122f ⎛⎫> ⎪⎝⎭。

请写出一个满足条件的a 的值，a = ____. 8、已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数()1f x -过点()2,4，则()f x 的解析式是________________。

9、已知点()(),Aa b a b ≠位于直角坐标平面的第一象限，点A 以及点A 关于直线y x =的对称点B 都在一个幂函数()y f x =的图像上，则()f x =____________10、若函数()()23log x ax a f x +-=的值域是R ，则实数a的取值范围是 11、已知01a a >≠且，函数()2x f x x a =-当()1,1x ∈-时恒有()12f x <成立，则实数a 的取值范围是 .12、已知函数()21311log 12x x x k x f x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，()()()22ln 1x x g x a a R x +=+∈+，若对任意的{}12,2x x x x R x ∈∈>-，，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围为二、选择题13、下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递增的函数是（）（A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2y x = （D ）13y x=14、设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（）（A ）奇函数，在()0,1上是增函数（B ）奇函数，在()0,1上是减函数（C ）偶函数，在()0,1上是增函数（D ）偶函数，在()0,1上是减函数15、为了得到函数310lg x y +=的图像，只需把函数lg xy =的图像上所有的点（）（A ）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（B ）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（C ）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度（D ）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 16、已知集合()(){}A f x f x =是幂函数且为奇函数，集合()(){}=B f x f x 是幂函数且在R 上单调递增，集合()(){}=C f x f x 是幂函数且图像过原点，则（）（A ）A B C =⋂ （B ）B A C =⋂ （C ）C A B =⋂ （D ）A B C =⋃三、解答题（12分+12分+14分+14分） 17、已知函数()()32+log 19x f x x =≤≤，求函数()()23y f x f x =+的最大值和最小值。

高考专题---函数综合-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版

母题九函数综合【母题原题1】【2018上海卷，19】设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（）（A （B （C （D ）0 【答案】B【母题原题2】【2017上海卷，21】设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.（1）若，求的取值范围；（2）若为周期函数，证明：是常值函数；（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）由，可得函数是一个不递减函数，得，即可求解实数的令，且存在一个，使得.由于的性质可知，，且.因为是周期函数，所以，这与前面的结论矛盾，所以假设不成立，即是常值函数.（3）充分性证明：当为常值函数时，令，即，因为是周期函数，所以也是周期函数. 必要性证明：当是周期函数时，令周期为.即有，则，又因为是周期函数，所以.即可得到，所以是周期函数，由（2）的结论可知，是常值函数.综上所述，是周期函数的充要条件是是常值函数.点睛：本题考查抽象函数的新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可，着重考查了逻辑思维能力与理论运算能力，及分类讨论的数学思想方法，试题难度较大，属于难题.【母题原题3】【2016上海卷，21】已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+. （1）当1a =时，解不等式()f x ＞1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a ＞0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(0,1)x ∈；（2）0或14-；（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】试题分析：（1）由21log 11x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得112x +>，从而得解．（2）转化得到2221log ()log ()0a x x++=，讨论当0a =、0a ≠时的情况即可．（3）讨论()f x 在()0,+∞上的单调性，再确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差，由此当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-．综上，0a =或14-．（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【考点】对数函数的性质、函数与方程、二次函数的性质【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答本题的关键是利用转化与化归思想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，再应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题的易错点是将复杂式子进行变形的能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.【命题意图】了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题【命题规律】上海高考近几年对这部分的考查主要集中在函数综合问题上，为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.【答题模板】应用问题的解法解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后再用相应的数学知识去解决，其一般步骤为：(1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系； (2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型； (3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论； (4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答．【方法总结】1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N 为基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.2.在解决指数函数、对数函数、幂函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数.1．【上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】给出下列三个命题:命题1：存在奇函数和偶函数 ,使得函数是偶函数；命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数, 但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在处均取到最大值，但在处取到最小值.那么真命题的个数是 ( )．A ．B ．C ．D ．【答案】D2．【上海市十二校2018届高三联考】已知函数()2log 1xf x x x=++，在8行8列的矩阵111213182122232881828388a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭中， i j i a f j ⎛⎫= ⎪⎝⎭（18,18i j ≤≤≤≤且,i j N ∈），则这个矩阵中所有数之和为________ 【答案】323．【上海市浦东新区2018届高三5月综合练习（三模）】已知函数，(1)分别求的值: (2)讨论的解的个数: (3)若对任意给定的,都存在唯一的,满足，求实数的取值范围.【答案】(1)-1,0. (2) 解:解:解:解.(3) .【解析】【分析】（1）直接由分段函数求得，的值；（2）求出函数的解析式并作出图象，数形结合可得的解的个数；（3）由题意可得的取值必须大于1，然后根据的范围分析关于的二次函数的值域，从而可得实数的取值范围．【详解】（1）∵，∴．∵，∴．（2），画图的图象如图，由图可知，当时，方程有0解；当时，方程有2解；当时，方程有4解；【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把当作是一个整体，然后再确定数的大小后再把它作为一个关于的函数求解，是难题．4．【上海市大同中学2018届高三三模】函数和的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点，，且.（1）设曲线，分别对应函数和，请指出图中曲线，对应的函数解析式，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（2）若，，且、，求、的值.【答案】(1)答案见解析;(2)，.【解析】【分析】（1）由函数的特征可知对应的函数为，对应的函数为，将不等式进行恒等变形可（2）令，则，为函数的零点，由于，，，，则方程的两个零点，，因此整数，.【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数图象的识别，函数零点存在定理及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模）】已知函数()221x x af x +=+， x ∈R.（1）证明：当1a >时，函数()y f x =是减函数；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =，且b c <时，证明：对任意()(),d f c f b ⎡⎤∈⎣⎦，存在唯一的0x ∈R ，使得()0f x d =，且[]0,x b c ∈.【答案】(1)见解析(2) 当1a =-时，函数()y f x =是奇函数；当1a =时，函数()y f x =是偶函数；当1a ≠且1a ≠-时，函数()y f x =是非奇非偶函数，（3）见解析(3)由（1）知，当2a =时函数()y f x =是减函数，结合函数的单调性分别证明0x 的存在性(利用函数的值域)和唯一性(利用反证法)即可证得题中的结论. 试题解析：（1）任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()()()2112121222121xx x x a f x f x ---=++，∵12x x <，所以2122x x >，又1a >，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以当1a >时，函数()y f x =是减函数.(2)当1a =时， ()1f x =，所以()()f x f x -=，所以函数()y f x =是偶函数，当1a =-时， ()2121x x f x -=+， ()()21122121x xxx f x f x -----===-++，所以函数()y f x =是奇函数，当1a ≠且1a ≠-时， ()213a f +=， ()2113a f +-=，因为()()11f f -≠且()()11f f -≠-，若10x x >，则()()10f x f x <，若10x x <，则()()10f x f x >，与()()10f x f x d ==矛盾，故0x 是唯一的，假设[]0,x b c ∉，即0x b <或0x c >，则()()0f x f b >或()()0f x f c <，所以()(),d f c f b ⎡⎤∉⎣⎦，与()(),d f c f b ⎡⎤∈⎣⎦矛盾，故[]0,x b c ∈.6．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟】若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域 D 上是“k -利普希兹条件函数”．（1）若函数()()14f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ,都有()()121f x f x -≤．【答案】(1)12；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）不妨设12x x >，则12k ≥=立．211114,42x x ≤≤≤∴<< ，从而可得结果；（2）令1211,24x x ==，则∵1≤x 2＜x 1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为．（2）f （x ）=log 2x 的定义域为（0，+∞），令x 1=，x 2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x 1﹣x 2|=，∴f（x 1）﹣f （x 2）＞2|x 1﹣x 2|， ∴函数f （x ）=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a﹣b|．若|a ﹣b|≤1，显然有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|a﹣b|≤1．若|a ﹣b|＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b+2﹣a ＜1，∴|f（x 1）﹣f （x 2）|≤M﹣m=f （a ）﹣f （b+2）≤|a﹣b ﹣2|＜1．综上，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．7．【上海市浦东新区2018届高三数学一模】已知函数()f x 的定义域为D ，值域为()f D ，即()(){|,}f D y y f x x D ==∈，若()f D D ⊆，则称()f x 在D 上封闭. （1）分别判断函数()20172017log xf x x =+， ()21x g x x =+在()0,1上是否封闭，说明理由；（2）函数()f x k =的定义域为[],D a b =，且存在反函数()1y f x -=，若函数()f x 在D 上封闭，且函数()1fx -在()f D 上也封闭，求实数k 的取值范围；（3）已知函数()f x 的定义域为D ，对任意,x y D ∈，若x y ≠，有()()f x f y ≠恒成立，则称()f x 在D上是单射，已知函数()f x 在D 上封闭且单射，并且满足()x f D D ，其中()()()1n nf x f f x +=（*n N ∈），()()1f xf x =，证明：存在D 的真子集， n D ⋅⋅⋅1n D - 3D 2D 1D D ，使得()f x 在所有i D （1,2,3,,i n =⋅⋅⋅）上封闭. 【答案】（1）见解析；（2）5,14k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦；（3）见解析.(){}()()(){}(){}111\\\f D f D p f D f p D f p D ≠≠⊂==⊂这样就有了()11f D D ≠⊂.接着令()1n n D f D +=，并重复上述论证证明1n n D D +≠⊂..试题解析：（1）因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，值域为(),-∞+∞，（取一个具体例子也可），所以()f x 在()0,1上不封闭.()11,2t x =+∈ ()()()()211120,0,12t g x h t t tt -⎛⎫===+-∈⊆ ⎪⎝⎭()g x 在()0,1上封闭（2）函数()f x 在D 上封闭，则()f D D ⊆.函数()1f x -在()f D 上封闭，则()D f D ⊆，得到： ()D f D =.()f x k =在[],D a b =单调递增.则()(),f a a f b b == ()f x k x ⇔==在[)1,-+∞两不等实根．()()221g 2110{ x x x k x k x k ≥-⎛⎫=-++-= ⎪≥⎝⎭，故()()()22(410g 10g 0{2122112k k k k k -->-≥≥+>+>-，解得5,14k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．接下来证明()11f D D ≠⊂，因为()f x 是单射，因此取一个1\p D D ∈，则p 是唯一的使得()()f x f p =的根，换句话说()()1f p f D ∉考虑到1\p D D ∈，即{}1\D D p ⊆，因为()f x 是单射，则(){}()()(){}(){}111\\\f D f D p f D f p D f p D ≠≠⊂==⊂这样就有了()11f D D ≠⊂.接着令()1n n D f D +=，并重复上述论证证明1n n D D +≠⊂..8．若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L 函数”；（2）若函数为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数为“L 函数”，且，求证：对任意，都有．【答案】（1）是“L 函数”.不是“L 函数”.（2）（3）见解析可知，即对一切正数恒成立，又，可得对一切正数恒成立，所以．由，可得，故，又，故，由对一切正数恒成立，可得，即．综上可知，a 的取值范围是．（3）由函数为“L 函数”，可知对于任意正数，都有，且，令，可知，即，故对于正整数k 与正数，都有，【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L 函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L 函数”的定义，说明是“L 函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数是“L 函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.9．已知(),f x x R ∈是有界函数，即存在0M >使得()f x M ≤恒成立．（1）()()()1F x f x f x =+-是有界函数，则(),f x x R ∈是否是有界函数？说明理由；（2）判断()()1224,92323x x xf x f x x x ==-⋅-+是否是有界函数？（3）有界函数(),f x x R ∈满足()()117,,4312f x f x f x f x f x x R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是否是周期函数，请说明理由．【答案】（1）否，（2）()1f x ，有界，()2f x 无界．（3）是【解析】试题分析：（1）由及时定义，需确定函数值域，值域有上下确界时为有界函数，肯定就需证明，否定只需找个反例：举一个一次函数就行（2）()()()111440,0;0,0,3322x f x x f x x f x x x xx==>=∈<=∈-+-+所以()1f x ∈，有界；()()222923(31)11||0x x x f x f x =-⋅=--≥-⇒≥，无界．（3）由()117,4312f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()473121212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()4()12h x f x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()3()12h x h x +=，因此()(1)h x h x +=，即()()16411212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得()()16421212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()()()()121f x f x f x f x +-=+-+，又(),f x x R ∈是有界函数，所以必有()()1f x f x =+综上()()13111212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()()()121f x f x f x f x +-=+-+∴()()()()()1f x n f x n f x f x +=++-，∵()f x 有界，∴()()1f x f x =+，是周期函数．考点：及时定义10．已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.（1）若∈a R 且0≠a ，证明：函数a x ax x f -+=2)(必有局部对称点；（2）若函数b x f x +=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数b 的取值范围；（3）若函数324)(21-+⋅-=+m m x f x x 在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）详见解析;（2） ;（3）【解析】试题分析：（1）由a x ax x f -+=2)(得a x ax x f +-=-2)(，代入0)()(=+-x f x f 得，()()022=+-+-+a x ax a x ax，得到关于x 的方程02=-a ax （0≠a ），其中24a =∆，由于R a ∈且0≠a ，所以0>∆恒成立，所以函数a bx ax x f -+=2)(（0≠a ）必有局部对称点；（2）方程0222=++-m x x 在区间]2,1[-上有解，于是x x m -+=-222；设x t 2=（21≤≤-x ），421≤≤t ， t t m 12+=-，其中41712≤+≤t t ；即可求出结果.（3）324)(21-+⋅-=-+--m m x f x x ，由于0)()(=+-x f x f ，所以)324(3242121-+⋅--=-+⋅-++--m m m m x x x x 于是0)3(2)22(2)44(2=-++-+--m m x x x x （*）在R 上有解,令t x x =+-22（2≥t ），所以方程（*）变（2）方程0222=++-m x x 在区间]2,1[-上有解，于是xx m -+=-2225分设xt 2=（21≤≤-x ），421≤≤t ，6分 t t m 12+=-7分其中41712≤+≤t t 9分即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-22312222m m ，化简得2231≤≤-m 18分.。

2018年上海高三一模真题汇编——函数专题

2018年一模汇编——函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= .【答案】2-.【解析】()11144f --==，()()1124f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭. 【点评】考察函数的概念.【例2】函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .【答案】()1a ,∈-∞-. 【解析】①当0a ≥时，112a a ->，2a <-（舍）；② 当0a <时，1a a>，1a >（舍）或1a <-；综上，所以()1a ,∈-∞-.【点评】考察分段函数的概念.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2xf x x x -=+，则(1)g(1)f += .【答案】12-. 【解析】()()()2xf xg x x ----=+-，根据奇偶性可得，()()2x f x g x x -+=-，所以()()1111212f g -+=-=-.【点评】考察函数的奇偶性，利用奇偶性求解析式.【例2】已知函数()121x f x a =-+为奇函数，求实数a 的值. 【答案】12a =. 【解析】方法一：()()f x f x -=-，112121x xa a --=-+++，解得12a =；方法二：因为函数为R 上的奇函数，所以()00f =，解得12a =. 【点评】函数的奇偶性，已知函数为奇函数求参数的值。

注意方法二在使用时一定要确保“0”在定义域内.【知识点3】函数的单调性【例1】已知定义在(2,2)上的函数()f x 满足()()f x f x ，且在(2,2)上单调递增，若(2)(12)0f a f a ，求a 的取值范围.【答案】102a -<<. 【解析】已知函数为件数，可得2221212202221a a a a a -<+<⎧⎪-<-<⇒-<<⎨⎪+>-⎩.【点评】根据函数的奇偶性和单调性解不等式.【例2】如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称()f x 为“H 函数”。

上海市2018届高三数学复习幂、指、对函数专题练习

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！幂、指、对函数一、填空题1、函数()()2232log xx f x +-=的定义域是2、幂函数23yx -=的定义域为，值域为3、函数()2xf x =与函数()12xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像关于对称。

4、设a b ，都是不等于1的正数，则“333a b c >>”是“33log log a b <”的条件。

5、函数221xy=+的值域为 6、函数()22312log xx y --=的递增区间是________________.7、已知幂函数()a f x x =是偶函数，在[)0,+∞上是递增的，且满足1122f ⎛⎫> ⎪⎝⎭。

请写出一个满足条件的a 的值，a = ____. 8、已知幂函数()f x 存在反函数，且反函数()1f x -过点()2,4，则()f x 的解析式是________________。

9、已知点()(),Aa b a b ≠位于直角坐标平面的第一象限，点A 以及点A 关于直线y x =的对称点B 都在一个幂函数()y f x =的图像上，则()f x =____________10、若函数()()23log xax af x +-=的值域是R ，则实数a 的取值范围是11、已知01aa >≠且，函数()2x f x x a =-当()1,1x ∈-时恒有()12f x <成立，则实数a 的取值范围是 .12、已知函数()21311log 12x x x k x f x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，()()()22ln 1x x g x a a R x +=+∈+，若对任意的{}12,2x x x x R x ∈∈>-，，均有()()12f xg x ≤，则实数k 的取值范围为二、选择题13、下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递增的函数是（）（A ）2y x -= （B ）1y x -= （C ）2y x = （D ）13y x=14、设函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，则()f x 是（）（A ）奇函数，在()0,1上是增函数（B ）奇函数，在()0,1上是减函数（C ）偶函数，在()0,1上是增函数（D ）偶函数，在()0,1上是减函数15、为了得到函数310lgx y+=的图像，只需把函数lg x y =的图像上所有的点（）（A ）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（B ）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（C ）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度（D ）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 16、已知集合()(){}A f x f x =是幂函数且为奇函数，集合()(){}=B f x f x 是幂函数且在R 上单调递增，集合()(){}=C f x f x 是幂函数且图像过原点，则（）（A ）A B C =⋂ （B ）B A C =⋂ （C ）C A B =⋂（D ）A B C =⋃三、解答题（12分+12分+14分+14分） 17、已知函数()()32+log 19x f x x =≤≤，求函数()()23y f x f x =+的最大值和最小值。

高三数学习题详解第四章幂函数、指数函数、对数函数 Word版含解析

第四章幂函数、指数函数、对数函数幂函数基础练习．研究下列函数的性质，并作出其图像．①错误！未指定书签。

；②错误！未指定书签。

．解：错误！未指定书签。

的图像错误！未指定书签。

的图像题1解题配图．设错误！未指定书签。

，已知幂函数错误！未指定书签。

为偶函数，且在错误！未指定书签。

上递减，试确定满足条件的幂函数，并作出它们的大致图像．函数错误！未指定书签。

的图像解：函数错误！未指定书签。

的图像函数错误！未指定书签。

的图像题2解题配图．已知错误！未指定书签。

，错误！未指定书签。

是幂函数，其图像分布在第一、第三象限，求错误！未指定书签。

的解析式．解：春回大地为错误！未指定书签。

是幂函数，所以错误！未指定书签。

，解得错误！未指定书签。

或错误！未指定书签。

．由于错误！未指定书签。

是幂函数，且图像分布在第一、第三象限，故错误！未指定书签。

．所以错误！未指定书签。

．．已知函数错误！未指定书签。

为偶函数，且错误！未指定书签。

，求错误！未指定书签。

的值，并确定错误！未指定书签。

的解析式．解：由于错误！未指定书签。

是偶函数，则错误！未指定书签。

应为偶数．又由于错误！未指定书签。

，即错误！未指定书签。

，整理，得错误！未指定书签。

，由于错误！未指定书签。

，则错误！未指定书签。

．又由于错误！未指定书签。

，则错误！未指定书签。

或错误！未指定书签。

．当错误！未指定书签。

时，错误！未指定书签。

为奇数（舍去）；当错误！未指定书签。

时，错误！未指定书签。

为偶数．故错误！未指定书签。

的值为，错误！未指定书签。

．．若错误！未指定书签。

，试求实数错误！未指定书签。

的取值范围．解：由于函数错误！未指定书签。

在错误！未指定书签。

上单调递增，所以错误！未指定书签。

，解得错误！未指定书签。

．．若错误！未指定书签。

2018届二轮考点9 幂函数专题卷(全国通用)

考点九幂函数知识梳理1．幂函数的概念如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．注意区分幂函数与指数函数：幂函数的一般形式是y＝xα，幂函数中自变量x处在底数位置，幂指数为常数；指数函数的一般形式是y＝αx，指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数．2．五个简单幂函数的图象和性质(1)图象比较典例剖析题型一幂函数的概念例1下列函数中是幂函数的是________．①y＝2x②y＝2x③y＝x2④y＝答案③解析根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出y＝x2是幂函数，y＝2x、y＝2x、y＝不是幂函数．变式训练下列函数：①y＝x2+1；②；③y＝2x2；④；⑤，其中幂函数是________．答案②④解析根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出②④是幂函数，例2已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)－f(1)＝________．答案解析设幂函数f(x)＝x a，它的图象经过(9，3)，所以3＝9a，∴a＝，幂函数为f(x)＝，所以f(2)－f(1)＝变式训练函数y＝(m2－m+1)是幂函数，且f(－x)＝f(x)，则实数m的值为________．答案 1解析因为函数y＝(m2－m+1)是幂函数，所以m2－m+1＝1，解得m＝1或m＝0．因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，当m＝0时，幂函数为y＝x－3．函数表示奇函数，当m＝1时y＝x－4．函数是偶函数．解题要点(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．题型二幂函数的图象例3下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()答案①②③④解析图①说明函数定义域为R，有，且观察图象可知图②为，则图①为；又图③中函数定义域为，所以其对应，综上可知：①②③④.变式训练下列命题中正确的是________．①幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)②若函数f(x)＝x n是奇函数，则它在定义域上单调递增③幂函数的图象上的点一定不在第四象限④幂函数的图象不可能是直线答案③解析幂函数y＝x－1的图象不过点(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，于是①，②都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，④不正确．当x>0时，f(x)＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为③．解题要点若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.熟记5个简单幂函数的图象是解题的关键．题型三幂函数有关的大小比较问题例4已知，则a，b，c从小到大用“﹤”号排列为．答案解析因为幂函数在单调递增，且，所以，即.又，又因为对数函数在单调递减，所以，因此.变式训练设，则的大小关系是________．答案 a >c >b解析因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.解题要点同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性．同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性：若指数大于0，对应的幂函数在上是增函数；若指数小于0，对应的幂函数在上是减函数．若指数和底数都不相同，则可借助中间值0或1比较．当堂练习1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过(4，2)点，则＝________．答案解析 ∵已知幂函数y ＝x α的图象过点(4，2)，则4α＝2，∴α＝，故函数的解析式为y ＝f (x )＝，∴ ＝.2．当x ∈(0，+∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x－5m －3为减函数，则实数m 的值为________．答案 m ＝2解析因为函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3既是幂函数又是(0，+∞)的减函数，所以解得：m ＝2．3. 设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 a >c >b 解析 ∵y ＝x25(x >0)为增函数，∴a >c .∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )为减函数，∴c >b ，∴a >c >b . 4．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值为________．答案 125．若幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是________．答案(－∞，0)解析设y＝x a，则14＝2a，∴a＝－2，∴y＝x－2.课后作业一、填空题1．在函数y，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，幂函数的个数是．答案 1解析∵幂函数的定义是“形如y＝xα，α∈R的函数，叫做幂函数”，∴在函数y＝，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，只有一个y＝＝x－2符合定义，是幂函数；2．已知幂函数f(x)＝x m的图象经过点(4，2)，则f(16)＝．答案 4解析由于知幂函数f(x)＝x m的图象经过点(4，2)，则有4m＝2，解得m＝，故f(16)＝4．3．若函数是幂函数，则m的值为．答案－1解析∵是幂函数，∴2m+3＝1，∴m＝－1．4．已知幂函数y＝f(x)的图象过(36，6)，则此函数的解析式是．答案解析设幂函数y＝f(x)＝xα，由于它的图象过(36，6)，故有36α＝6，α＝，故此函数的解析式是．5．在同一坐标系中，函数的图象可能是．①②③④答案④解析对①，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对②，中中，不符合题意；对③，中中，不符合题意；对④，中中，符合题意.6．设，则的大小关系是．答案解析由函数的性质得到所以，.7．已知幂函数y＝f(x)的图象过点()，则log4f(2)的值为．答案解析由设f(x)＝x a，图象过点()，∴()a＝，解得a＝∴log4f(2)＝．8．对于幂函数f(x)＝xα(α是有理数)给出以下三个命题：①存在图象关于原点中心对称的幂函数；②存在图象关于y轴轴对称的幂函数；③存在图象与直线y＝x不重合，但关于直线y＝x对称的幂函数．其中真命题的是．答案③解析幂函数y＝x3是奇函数，所以，结论①正确；幂函数y＝x2是偶函数，所以，结论②正确；幂函数y＝的图象关于直线y＝x对称，所以，结论③正确．9．下列函数(1)y＝x3，(2)y＝x2，(3)y＝，(4)y＝，在(－∞，0)上是增函数的是．答案(1)解析由幂函数的图象和性质得(1)是奇函数，在(－∞，0)上递增．(2)是偶函数，在(－∞，0)上递减．(3)奇函数，在(－∞，0)上递减．(4)在(－∞，0)上无意义，故区间(－∞，0)不是函数的单调区间．故答案是(1)．10．函数f(x)＝x n+1恒过一个定点，这个定点坐标是．答案(1，2)解析由于函数y＝x n恒过一个定点(1，1)，故函数f(x)＝x n+1恒过一个定点(1，2)，故答案为(1，2)．11．比较大小(填“＞”“＜”或“＝”)：(1)；(2)(－π)3(－3)3．答案(1)＞(2)＜解析(1)因为幂函数y＝x0.5在区间[0，+∞)上是增函数，又＞，所以＞；(2)因为幂函数y＝x3在区间(－∞，+∞)上是增函数，又－π＜－3，所以(－π)3＜(－3)3．二、解答题12．比较大小：(1) ；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，解析(1)∵y＝x12∴；(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，∴(－1.2)3>(－1.25)3；(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.13．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A().(1)求实数α的值;(2)求证：f(x)在区间(0，+∞)内是减函数.解析(1)解：∵f(x)＝xα的图象经过点A()，∴()α＝，即2－α＝，解得α＝－；(2)证明：任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝. ∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，，于是f(x2)－f(x1)<0. 即f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝在区间(0，+∞)内是减函数.。

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幂、指、对函数
一、填空题
1、函数 f x
x 2
2x 3
log 2
的定义域是
2
2、幂函数 y
x 3 的定义域为，值域为
3、函数
f x
2x
与函数 g x
1
2
x
的图像关于
对称。

4 、设 a ， b 都是不等于 1 的正数，则 “ 3a
3b 3c ” 是 “ log a 3 log b 3 ” 的
条件。

5、函数 y
2
的值域为
1
2x
6、函数 y log 1
x 2 2x
3
的递增区间是 ________________.
2
7、已知幂函数
f x
x a
是偶函数，在 0,
上是递增的，且满足
f
1
1。

请写出
2 2
一个满足条件的 a 的值， a
____.
8、已知幂函数
f x 存在反函数，且反函数
f
1
x 过点 2, 4 ，则 f x
的解析式是
________________ 。

9、已知点 A a,b
a b 位于直角坐标平面的第一象限，
点 A 以及点 A 关于直线 y x 的
对称点 B 都在一个幂函数
y
f x
的图像上，则
f x
____________
10、若函数 f x
x 2
ax a
的值域是 R ，则实数 a 的取值范围是
log 3
11、已知 a 0且
a
1 ，函数 f x
x 2 a x 当 x
1,1 时恒有 f
x
1 成立，则实
2
数 a 的取值范围是
.
x 2
x k ， x
1
a ln
x 2
x
12、已知函数 f
x
1 log 1 x
， x
， g
x
a R ，若对任 1
x
2
1
2 3
意的
x 1， x 2
x x R, x
2
，均有 f
x 1 g x 2 ，则实数 k 的取值范围为
二、选择题
13、下列函数中，既是偶函数，又在区间0,上单调递增的函数是（）
（A）y x2（ B）y x1x21
（ C）y（D）y x3 14、设函数f x ln 1x ln 1 x ，则 f x 是（）
（A）奇函数，在0,1 上是增函数（B）奇函数，在0,1 上是减函数
（C）偶函数，在0,1上是增函数（D）偶函数，在0,1上是减函数
x3
lg x的图像上所有的点（
15、为了得到函数y lg 10的图像，只需把函数 y）（A）向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
（B）向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
（C）向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
（D）向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度
16、已知集合A f x f x 是幂函数且为奇函数，集合B=f x f x是幂函数且在 R上单调递增，集合
C=
f 是幂函数且x图像过原
点f，则（x）
A B C B A C C A B A B C
（A）（B）（ C）（ D）
三、解答题（12 分 +12 分 +14 分+14 分）
17、已知函数f x2+log 3x1x9，求函数y f2x f 3x 的最大值和最小值。

18、设函数f x a e x 1a R 是上的奇函数；
1e x
（1）求a的值；
（2）求函数f x的反函数f1x的解析式。

19、对于在区间m, n 上有意义的两个函数 f x 与g x ，如果对任意 x m, n ，均有
f x
g x1成立，则称 f x 与 g x在 m, n上是亲近的，否则称 f x 与 g x 在 m, n 上是非亲近的。

现有两函数
x 3a 1
f1 x log a 与f2
x log a x a a0, a 1 ，给定区间 a 2, a3
（1）若
f1 x与 f2x 在给定区间 a2,a3上都有意义，求 a 的取值范围；（2）试讨论f1x与f2x在给定区间a2, a 3 上是否是亲近的。

对于函数 f x ，若在定义域内存在实数x ，满足 f x f x ，称 f x 为“局部奇
函数”。

若函数 f x log2x22mx ，x2
是定义在 R 上的“局部奇函数” ，求实数 m的，
x2
3
取值范围。

21、若函数 f x 定义域为R，满足对任意x1， x2R ，有 f x 1 x 2 f x 1 f x 2，
则称f x
为“ V 形函数”；若函数
g x
定义域为
g x
恒大于 0，且对任意
x1， x2R ，
R，
有 lg x1x2lg g x1lg g x2，则称 g x 为“对数V形函数”
（1）当g x x2 2 时，证明： g x是对数 V 形函数；
（2）若f x是 V 形函数，且满足对任意x R ，有 f x 2 ，问 f x 2 ，问 f x 是否为对数V 形函数？证明你的结论。

参考答案
一：填空题
1、, 31,；
2、,00,，0,；
3、y轴；
4、充分非必要；
211
5、0,2 6 、,1 ；78 、f xx2; 9
；、；、; 10、
5x , 40,;
11、1
,11,2 ;12、 -4 2
二：选择题
13、 A; 14、A;15、C ;16.、A 三：解答题
17、y max21， y min7
f 11x
18、a1，x ln 1x， x1,1
19、略
20、
21、略。